Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Вспомогательные утверждения .
1.1. Основные обозначения и определения. 14
1.2. Абстрактные линейные краевые задачи . 21
1.3. Оператор Чезаро. 28
1.4. Коэффициент сюръективности и его свойства. 36
1.5. Вычисление и оценки коэффициента сюръективности. 40
1.6. Коэффициент сюръективности линейных краевых задач . 48
1.7. Некоторые теоремы о неподвижных точках. 55
Глава 2. Коэффициент сюръективности ФДУ и линейных краевых задач .
2.1. Коэффициент сюръективности оператора Чезаро. 57
2.2. Оператор Грина с минимальной нормой. 61
2.3. Примеры построения оператора Грина с минимальной нормой . 67
Глава 3. Краевые задачи для ФДУ .
3.1. Задача Коши для квазилинейного сингулярного дифференциального уравнения первого порядка. 71
3.2. Конечномерная параметризуемость квазилинейного функционально-дифференциального уравнения . 81
3.3. Разрешимость краевой задачи для квазилинейного функционально-дифференциального уравнения. 91
Литература. 94
- Абстрактные линейные краевые задачи
- Коэффициент сюръективности линейных краевых задач
- Примеры построения оператора Грина с минимальной нормой
- Конечномерная параметризуемость квазилинейного функционально-дифференциального уравнения
Введение к работе
Основным объектом исследования диссертационной работы является квазилинейная краевая задача для функционально-дифференциальных уравнений. Особое внимание в диссертации уделяется вопросам разрешимости краевых задач.
Пусть X и Y - банаховы пространства, L: X —> Y - линейный ограниченный оператор, F: X —> Y - непрерывный оператор,
l:X->Rn - линейный вектор-функционал, (р'.Х —»Rn непрерывный вектор-функционал. Тогда квазилинейную краевую задачу можно записать в виде двух операторных уравнений
1^Гх' (0..)
называемых абстрактной краевой задачей [12].
В виде (0.1) можно записать многие классы краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) или систем, для уравнений с частными производными (ДУЧП), для функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) и интегро-дифференциальных уравнений. Как правило, первое уравнение в (0.1) - это дифференциальное уравнение или система уравнений, а второе уравнение является краевыми условиями, в случае ОДУ, или начальными и граничными условиями, в случае ДУЧП.
Вопросами разрешимости краевых задач для ОДУ занимались многие авторы. Основы теории абстрактных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений заложены в работах [9, 10, II, 13, 14, 41]. Условия разрешимости различной степени общности для краевых задач, записанных в виде (ОЛ), получены в работах Азбелева Н.В., Кигурадзе И.Т., Максимова В.П., Рахматуллиной Л.Ф., Васильева Н.И., Клокова Ю.А., Слугина С.Н. и др.
Основные известные методы исследования на разрешимость квазилинейных краевых задач используют следующую схему. Наряду с краевой задачей (ОЛ) рассматривается линейная краевая задача
^f' (0.2)
Lx-а.
Если оператор [Lj]:X -*Y х R" обратим, то решение задачи (0.2) можно представить в виде
x = Ua + Gf. (0.3)
Здесь U — фундаментальный вектор решений однородного уравнения Lx = 0, удовлетворяющий условию l(u)= Е, где Е -единичная матрица порядка « х я. Оператор G: Y —> X называется оператором Грина задачи (0.2). В данном случае исследование на
разрешимость краевой задачи (0.1) основано на применении теорем о неподвижных точках.
Многие исследователи краевых задач для дифференциальных уравнений уделяли особое внимание вопросу нахождения наиболее слабых требований на нелинейность, но, как выяснилось, этот вопрос непосредственно связан с оператором Грина с минимальной нормой. Этот вопрос рассматривался в работах [3, 10,40].
В работе [10] предложен новый метод исследования на разрешимость задачи вида (0.1). Оказывается, что эффективность применения упомянутого метода зависит так же и от специального выбора вспомогательной задачи, а именно таким образом, что бы ее оператор Грина имел минимальную норму. Тематика данной диссертационной работы тесно переплетается с идеями работы [40].
В настоящей диссертационной работе для специального случая, а именно, когда линейный функционально-дифференциальный оператор действует из гильбертового пространства, дается полное решение проблемы существования и построения оператора Грина с минимальной нормой (глава 2 параграф 2). Этот результат в работе используется для получения эффективных признаков разрешимости краевых задач.
Приведем краткое содержание диссертационной работы.
Содержание главы 1 носит вспомогательный характер. Здесь приведены необходимые для дальнейшего определения и утверждения.
В первом параграфе этой главы рассмотрены основные определения, связанные с линейными операторами в банаховых пространствах.
В параграфе 1.2. вводится понятие абстрактной линейной краевой задачи
{
(0.4)
где L: Dn —> Ln - линейный ограниченный оператор и l:Dn —> Rm -линейный ограниченный вектор-функционал.
В параграфе 1.3 сформулированы сведения, связанные с оператором Чезаро вида:
(Ax)(t) = -jx{s)ds, A:Lp[0,\)^>Lp[0,\], l^/Xcc. ro
Получена оценка нормы оператора А, приведено описание спектра,
а также резольвенты. Кроме того, даны представления точечного,
остаточного и непрерывного спектров. Во второй половине этого
параграфа получены аналогичные утверждения для обобщенного
оператора Чезаро.
' 'о
В следующих параграфах вводится понятие коэффициента сюръективности, формулируются его основные свойства, а также геометрический смысл. Кроме того, получены формулы для вычисления и оценки коэффициента сюръективности некоторых линейных операторов и линейных краевых задач.
В заключительном параграфе первой главы приведены некоторые теоремы о неподвижных точках в удобной для нас формулировке.
Абстрактные линейные краевые задачи
При исследовании сингулярных дифференциальных уравнений возникает интегральный оператор, называемый оператором Чезаро [66], Этот параграф посвящен основным утверждениям об операторе Чезаро (условия действия, норма, спектр, резольвента).
Изложение первой части параграфа (1.3) ведется, в основном, следуя результатам работы [66]. Во второй части парафафа (1.3) исследуется обобщенный оператор Чезаро. Обозначим банахово пространство измеримых по Лебегу и суммируемых с р-й степенью функции y:L [atb]- Rl с нормой JJC = x{t\pdt Определение 1.3.1. Интефальный оператор А с областью определения в L и действующий в Lp, определяемый равенством называется оператором Чезаро. Выясним условия, при выполнении которых оператор А определен на пространстве Z, [f0,l]) где 0 /Q 1 И офаничен, а также определим его норму. Предварительно докажем вспомогательное утверждение. На основании этой леммы сформулируем утверждение о норме оператора Л. Теорема 1.3,1.[66] Пусть 1 р ю, тогда оператор Чезаро определен на Z, /0,l] и ограничен. Кроме того, его норма удовлетворяют неравенству: Доказательство основано на применении неравенства (1.3.1) при S = О. Приведем описание спектра оператора Чезаро. Предварительно сформулируем утверждение о представлении спектра как объединение трех непересекающихся частей: о - точечный спектр, состоящий из всех тех Я є С, для которых оператор Л М имеет нетривиальное ядро. JC - непрерывный спектр, состоящий из всех техЯєС, для которых оператор А — Я/ инъективно отображает Хна всюду плотное подмножество, не совпадающее с Y. тг - остаточный спектр включающий вес остальные значения Я є сг(л). Теорема 1.3.2. [47, стр. 365] Спектр оператора может быть представлен в виде Таким образом, сгр состоит из тех точек Я комплексной плоскости, для которых оператор А — Я/ не инъективен, а егс содержит только те Я g сг„, для которых оператор А - Я/ не сюръективен. Теорема 1.3.3. [66] При 1 /7 оо, точечным спектром оператора А является открытый диск Ответ на вопрос о виде спектрального и резольвентного множества, а также резольвенты оператора А дает следующая теорема. Если Я є р(л), то резольвента оператора А определена равенством: x(t) = (A-AJry(t)=-\y(t)-±t)s y(S)ds. Для полного описания спектра осталось определить как представлены в (Т(А) остаточный и непрерывный спектры. Теорема 1.3.5. [66] Для \ р«х непрерывный спектр представлен множеством остаточный спектр пуст, то есть етг =0. 1.3.2. В этом пункте будем рассматривать обобщенный оператор Чезаро, имеющий вид: где or,/? О - некоторые константы. Следующая теорема формулирует достаточные условия действия оператора A: Lp - Lp, а также определяет норму оператора A.
Коэффициент сюръективности линейных краевых задач
В теории функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) возникает следующая задача: для данного линейного уравнения среди всех краевых задач найти такую, оператор Грина которой имеет минимальную норму.
В работе [40] норма оператора Грина заменена оценкой сверху. Обозначим через v(G{) такой функционал, что С/,я Dn v(C/) V/ и запишем экстремальную задачу: inf где } - постоянная л х и-матрица, столбцы яхя-матрицы Ф/( ) принадлежат пространству L". В качестве примера возьмем следующее уравнение Lx x-x = f. В работе [40] показано, что экстремальное значение достигается при v(G/)= 1 + — е. При этом соответствующий функционал определен равенством 1х = 1 в х\0) + — х{\). В предлагаемом параграфе дано полное решение поставленной задачи в случае, когда пространство решений уравнения является гильбертовым. Лемма 2.2.1. Оператор Р: X - X, Px — Vlx является проектором на kerb. Оператор Грина G/ является правым обратным для оператора L, соответствующим проектору Р. Задачу об операторе Грина с минимальной нормой сформулируем в следующем виде. Рассмотрим линейное уравнение с сюръективным оператором L. Множество всех операторов Грина для уравнения (2.2.2) обозначим через G(L). Отметим, что эти операторы порождаются только теми функционалами, которые удовлетворяют условиям [8]: Если для некоторого оператора GeG(L) выполняется равенство G\\ = fi{L), то будем говорить, что он имеет минимальную норму. если По теореме 1.5.6. выполнено равенство проектор Рс имеет единичную норму. Таким образом, минимально возможным значением нормы правого обратного оператора для данного линейного оператора является величина (q(b)) l. Если построен такой проектор Р на kerb, что Рс = 1, то соответствующий правый обратный имеет минимальную норму. Пусть D - гильбертово пространство со скалярным произведением (v), В - банахово пространство и D изоморфно прямому произведению BxR", L:D- B - линейный ограниченный оператор, / ; D - R" - линейный ограниченный вектор-функционал. Рассмотрим задачу (2.2.1) в предположении однозначной разрешимости ее для любых пар правых частей. Справедлива Теорема 2.2.1. Пусть U-{xi,.,.,xn) - ортонормированный базис kerL и вектор-функционал / определен равенством Іх = соі{ііХ,І2х,...Іпх}, l;X = (Xj,x). Тогда оператор Грина краевой задачи (2.2.1) имеет минимальную норму. Доказательство. Рассмотрим проектор Р : X - X, определенный равенством (лемма 2.2.1) Оператор Грина задачи (2.2.1) совпадает с правым обратным для L, соответствующим проектору Р (лемма 2.2.1). Так как для ортогонального проектора \Р\ = Рс =1, то можно применить теорему 1.5.6., из которой и следует требуемое утверждение. Таким образом, в соответствии с утверждением теоремы 2.2.1. для построения требуемой краевой задачи достаточно описание базиса однородного уравнения. В этом смысле это утверждение достаточно эффективно. Вернемся к неравенству: Как известно, норму оператора Грина можно найти только в исключительных случаях. Даже для простых краевых задач для ОДУ известны лишь оценки нормы оператора Грина. В вопросах разрешимости квазилинейных краевых задач актуален вопрос о нахождении эффективных оценок на норму оператора Грина. Неравенство (2.2.3) дает возможность оценки снизу нормы оператора Грина без построения последнего, если известно значение или оценки снизу q\L), Неравенство (2.2.3) можно также использовать для оценки коэффициента сюръективности. В соответствии с неравенством для коэффициента сюръективности получается оценка снизу. Для этого построим оператор Грина некоторой краевой задачи и оценим сверху норму этого оператора.
Примеры построения оператора Грина с минимальной нормой
Рассмотрим квазилинейное уравнение где L: X — Y - линейный ограниченный оператор, F : X — Y - нелинейный оператор, X,Y - (В) - пространства. Напомним, что в виде уравнения (3.2.1) записывается абстрактная квазилинейная краевая задача. При этом пространство Xизоморфно прямому произведению YxRm [12]. Через М обозначим множество всех решений уравнения (3.2.!). Определение 3.2.1. Говорят, что уравнение (3.2.1) допускает конечномерную параметризацию, если множество М гомеоморфію пространству Rm. Таким образом, если уравнение (3.2.1) параметризуемо, то существует такой непрерывный оператор Т \Rm — X, что при каждом а є Rm х — Та является решением уравнения (3.2.1). В этом параграфе получены достаточные условия параметризуемости уравнения (3.2Л), в некотором смысле «предельные», то есть при наиболее слабых ограничениях на оператор F. Вопрос об условиях параметризуемости уравнения (3.2.1) является актуальным. Действительно, если таковые условия известны, то можно получить достаточные условия разрешимости квазилинейных краевых задач. Отметим, что этот вопрос для функционально-дифференциальных уравнений рассматривался в работах [2, 40]. Через X обозначим пространство сопряженное с X, (у) - билинейная форма на произведении X х X . Для линейного оператора L : X — Y через кег L обозначим ядро. Коэффициент сюръективности оператора L определим равенством: где L : У — X сопряженный с L оператор. Пусть Р : X —» X - проектор на ker L. Через G: У - X обозначим оператор Грина, соответствующий проектору Р, то есть оператор, ставящий в соответствие каждому у є Y единственное решение краевой задачи Через U обозначим фундаментальный вектор решений однородного уравнения Lx=d, что выполняется условие 1{U)=E, Е - единичная матрица. Здесь вектор-функционал /: X - Rm определяется проектором Р по формуле lx = U Рх. Нам потребуются следующие вспомогательные утверждения. Лемма 3.2.1. Пусть Т\Х- Х удовлетворяет условию Липшица с константой к 1, тогда (/ — Т) : X — X - гомеоморфизм. Определение 3.2.2. Оператор Т: X — X называется сильно монотонным если существует функция c(f), удовлетворяющая условиям: с(0)=0; Hm c{t) - оо такая, что для любых ы, v є X выполнено неравенство Определение 3.2.3. Оператор Т:Х- Х называется монотонным если для любых и, v є X выполнено неравенство Следующее вспомогательное утверждение может быть доказано, используя известные утверждения теории монотонных по Митни-Браудеру операторов [26]. Лемма 3.2.2. Пусть оператор Т: X — X сильно монотонный. Тогда Т — гомеоморфизм. Основными утверждениями этого параграфа являются следующие теоремы. Теорема 3.2.1. Пусть выполнены условия: 1) оператор F: X — У удовлетворяет условию Липшица с константой А; 2) существует проектор единичной нормы на ядро оператора L\ 3) выполняется неравенство к q(L). Тогда уравнение (3.2,1) допускает конечную параметризацию, то есть существует такой непрерывный оператор Г :Rm — М, что все решения уравнения (3.2.1) имеют представление Га Ха + Г0а, причем Г0 удовлетворяет условию Липшица с константой.
Конечномерная параметризуемость квазилинейного функционально-дифференциального уравнения
Рассмотрим квазилинейную краевую задачу видагде L:X Y -линейный ограниченный оператор, /: X -» Rm - линейный ограниченный вектор-функционал, FltF2 :X — Y - нелинейные операторы, X,Y- (В) — пространства. Представление правой части уравнения (3.3.1) в виде суммы двух слагаемых связано с тем, что первое из них является гладким, а второе вполне непрерывным. Рассмотрим две схемы исследования на разрешимость задачи (3.3.1). Через X обозначим фундаментальную матрицу линейной краевой задачи А через С оператор Грина этой задачи. Пусть /0 - такой функционал, что оператор Грина задачи (3.3.2) имеет минимальную норму. Тогда /0дг = рх + (lQ - l)x. Систему (3.3.1) перепишем в следующем виде: Тогда задача (3.3.3) эквивалентна следующему операторному уравнению Полагая F\X Х( рс + (/0 -/)лг)+ (rF , a F2x = GF2x уравнение (3.3.4) можно записать в виде тогда вопрос о разрешимости краевой задачи (3.3.3) сводится к вопросу о существовании неподвижной точки суммы операторов Ft и F2. Для доказательства существования неподвижное точки Fx + F2 воспользуемся теоремой 1.7.2. Далее рассмотрим схему, основанную на применении утверждений о параметризуемости из параграфа 3.2. Предположим, что выполнено условие, при которых все решения задачи параметризуемы, то есть существует такой гомеоморфизм F0, что х = Ха + F0f, Тогда краевая задача (3.3.1) эквивалентна задаче def Теперь нужно доказать существование неподвижной точки оператора определенного в правой части (3.3.7) Используя теорему 1.7.2..сформулируем следующее утверждение. Теорема 3.3.1. Пусть гомеоморфизм Г удовлетворяет условию Липшица с константой кг и F2 - вполне непрерывный оператор, причем krb(F2) 1 ,тогда задача (3.3.1) имеет хотя бы одно решение. Используя результаты, полученные в предыдущем параграфе можно сформулировать следующие теоремы. тогда существует хотя бы одно решение задачи 3,3.1). Доказательство теоремы следует из того, что в теореме 3.2.1. получена оценка на константу Липшица гомеоморфизма Г : Значит для выполнения условий теоремы 3.3.1. требуется неравенство (3.3.8).
Похожие диссертации на Разрешимость краевых задач для квазилинейных функционально-дифференциальных уравнений
