О гладкости решений эллиптических и параболических уравнений вблизи нерегулярной граничной точки Мамедов Фарман Имран Оглы

Данный автореферат диссертации должен поступить в библиотеки в ближайшее время
Уведомить о поступлении

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - 240 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья

Мамедов Фарман Имран Оглы. О гладкости решений эллиптических и параболических уравнений вблизи нерегулярной граничной точки : ил РГБ ОД 61:85-1/138

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Эллиптические уравнения 31

1.1 Лемма о внешней устойчивости 31

1.2 Теорема об ограниченности производных 37

1.3 Геометрические.теоремы.об.ограниченности производных 42

ГЛАВА I. Параболические уравнения . 47

2.1 Лемма о внешней устойчивости 47

2.2 Теорема об ограниченности производных 54

2.3 Геометрические.теоремы.об.ограниченности. производных 60

ГЛАВА III. Уравнение теплопроводности 71

3.1 Оценки фундаментального.решения.и.интег ральное представление 71

3.2 Оценки типа Бернштейна 77

3.3 Оценка вблизи иррегулярной точки 86

Литература 9

Теорема об ограниченности производных
Геометрические.теоремы.об.ограниченности производных
Геометрические.теоремы.об.ограниченности. производных
Оценки типа Бернштейна

Введение к работе

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию поведения решений эллиптических и параболических уравнений видов: ^ш^аи^щщ^ІНОО-зт^соби^м CD тиЛ ацМ^фи^Щ-^ь^и-^т ₍₂₎ вблизи граничной точки.

Хорошо известно, что если граница о 2 области 2 имеет гладкость заданного порядка, то решение Щ (*) задачи Дирихле

Ни - /(*) О) iea^slt с достаточно гладкими коэффициентами CL[j (X) , б((Х) , С(Х) , /(X) и граничной функцией *f имеет гладкость того же порядка, что и ее граница, вплоть до границы. Это является следствием оценок Шаудера (см.напр.[8 , 22 , 33, 41, 64 , 65]. Причем гладкость решения, вообще говоря, неулучшаема.

Иначе обстоит дело при произвольном строении границы. В этом случае существует тесная связь между емкостной характеристикой множеств дополнения к области и поведением решения задачи Дирихле вблизи исследуемой граничной точки.

Точка Хо границы ds2 называется регулярной, если,какова бы не была непрерывная на д-2 функция f , обобщенное по Винеру решение (см. 28 ) Uy(X) задачи (3) удовлетворяет условию: tim Щ (x) = 4>(x₀)

Критерий регулярности граничной точки для уравнения Лапласа впервые был получен в работах Винера[9]и Келдыша [21]. Критерий заключается в расходимости ряда X 2 COD Нт (4) где Нт - множество дополнений к области 2 , лежащей в шаре радиуса 2 с центром в х₀єд&, сор Нт - Винеровская емкость множества Нт (точное определение см.ниже),

Для общих уравнений вида (I) критерий регулярности был получен в работах[3 , 19 , 25 , 36 , 37 , 38 , 49 , 50 , 52 , 56 , 66] , для нелинейных уравнений в[14 , 39 , 53|, а для вырождающихся уравнений в[1 , 2 ,11 , 17 , 27 , 42 , 52].

Исследовав скорость расходимости ряда (4), можно дать оценку модуля непрерывности решения вблизи граничной точки [28 , 29 37 , 38 , 50 , 53 , 55] . Из этих результатов, в частности следует, что чем сильнее скорость расходимости ряда (4) тем глаже решение задачи Дирихле вблизи граничной точки. Здесь следует отметить также исследования Урыссона[бХJ, которые в терминах расходимости интегралов от уравнения симметрической границы дают простые легко проверяемые геометрические критерии регулярности граничной точки.

Однако, решение гладко не только в случае расходимости ряда (4). Рассмотрим задачу %и=0 в S?\E , ^/^=^ , где Е компакт нулевой емкости, а

Известно, что в этом случае решение Ы{х) , ограниченное в 2 , можно доопределить на множестве Е среди функций 0)(х) , совпадающих с ЫСх) на S2\E _Так, что уравнение У!со=0 удовлетворяется в 2 классически (см.[23 ,10 ]). Т.е. решение уравнения (І) в окрестности границы, лежащей строго внутри 2 и имеющей нулевую Винеровскуго емкость, ведет себя как бесконечно дифференцируемая и даже аналитическая функция. Подставив в этом случае все емкости дополнения формально в ряд (4), получаем, что ряд Винера-Келдыша тождественно равен нулю, не говоря уже о его расходимости.

Таким образом, остается некоторый зазор в исследовании поведения решения вблизи граничной точки, связанный со случаем сходимости ряда (4).

Настоящая диссертационная работа посвящена подробному исследованию этого случая для уравнений эллиптического и параболического типов. Близкими по тематике вопросами занимались в[45 , 15 , 16 3 . Так как в случае сходимости ряда (4) решение задачи Дирихле для уравнения (I), вообще говоря, разрывно, то появление гладкости у решения естественно ожидать не во всей окрестности исследуемой граничной точки Х₀ , а в некоторой подокрестности Q_s П S2. ( 2 С J52J . А из результатов данной работы следует, что несмотря на то, что решение, вообще говоря, разрывно в граничной точке, его можно доопределить в точке разрыва так, что полученная функция будет гладкой и непрерывной в указанной здесь подобласти S2¹ , зависящей от исходной области

2 и которая возможно содержит нерегулярную граничную точку как предельную.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и

рио. I списка использованной литературы.

В первой главе в зависимости от скорости сходимости ряда (4) для уравнения (I) даются оценки производных решения в подобласти 2;' исходной области Я2. , не зависящие от расстояния до границы dsz . Причем, полученные оценки будут завысить от выбора подобласти Н . Главный результат этих исследовании содержится в теореме I.2.I (см.рис.1).

В 1.3 мы подобно[61] в терминах сходимости интегралов от уравнения симметрической границы доказываем легко проверяемые достаточные условия ограниченности производных решения в подобласти, уравнение границы которой явно выписывается (см.рис.2).

При произвольном строении границы поведение решения задачи Дирихле для параболического уравнения тесно связано с потенциалами дополнения к области вблизи исследуемой точки.

Пусть UipQX) обобщенное по Винеру-Ландису (см.[28 , 30]) решение задачи Дирихле m_U=f в 52 ^и/г(Я)= У (5) где Г(2) - собственная граница области -S2 (см.обозначения ниже), а V⁷ непрерывная на Г (2) функция. Точка (to,Х^єдїі называется регулярной относительно первой краевой задачи (5), если _lint _{Uu>(f,x)= _Чо,Хо) (t,x)->(to,x₀) (І,Х)Є52 для любой непрерывной на OS? функции V*}

Для уравнения теплопроводности в [30] доказано, что граничная точка (to,Хо) будет регулярной тогда и только тогда, когда расходится ряд из тепловых потенциалов ^- 0 + х_Л СНт) т=о ^toXo

Здесь Нт - множество дополнений к области, заключенное в fx-XoMp_m , to-T_m^t^to-T_m+1; р_т , Т_т -некоторая рекуррентная последовательность,]^ _х (Н_т)~ тепловые потен-циалы множеств Нт (см. определение 5 ниже).

Исследовав скорость расходимости ряда (6), можно дать оценку модуля непрерывности решения вблизи исследуемой точки [30]. Для общих уравнений, аналогичные результаты получены в [18 , 43 , 51 , 53 , 54]. Весьма важные результаты в этом направлении для вырождающихся уравнений вида (2) получены в[44 , 51 , 53].

Следует отметить еще работы[31 , 32], где получены интерес-

РИС. ные результаты по регулярности граничной точки для параболических уравнений.

Критерий (6) имеет тот недостаток, что является трудно проверяемым, В связи с этим b[28J приведены простые достаточные условия регулярности граничной точки в терминах ряда из тепловых емкостей. А недавно в[12] получен критерий типа Винера-Келдыша в терминах расходимости ряда

ОО ^ГПГЬ ^{2 2} ² ^cap ^Нт ^<⁷⁾ из тепловых емкостей Сар Нт - множеств Нт - лежащих в дополнении к области, заключенной между поверхностями уровней фундаментального решения сопряженного уравнения теплопроводности.

В связи с этим при исследовании гладкости решения вблизи нерегулярной граничной точки по параболическим уравнениям мы различаем два случая:

I. Дополнение как-то "близко" устроено к характеристике, т.е. когда дополнение к области имеет вид горизонтального заострения, лежащего над областью (см. рис. 3 ) и направленная с острием в исследуемую точку. Здесь в зависимости от емкостей множеств дополнений, остающихся под характеристикой, даются количественные оценки числа ограниченных производных и вида того множества S2C&. где эти производные от решения ограничены.

дК-т мчмч _т рис. 5 - ІЗ - граничной точки работы[28]. Это результат теоремы. 2.2.1. б) В третьей главе изучается поведение гладкости решения уравнения теплопроводности в зависимости от степени сходимости ряда типа (7) (см. рис. 5). Результат этих исследований содержится в теореме 3.3.1. Ее доказательство существенно использует результаты 3.2, где доказаны оценки типа Бернштейна (см.[7 , 34 , 63]).

Поясним сущность этих оценок.

Пусть в цилиндре ц_г = f{i,x)e Rⁿ*'//*l« \/«, -z*t4,o} определено ограниченное решение U(t,x) уравнения теплопроводности. Тогда U(t,x) будет удовлетворять уравнению теплопроводности при ~Ь = 0 и для его производных в (0,0) справедливы оценки _{/>^/з уз ,-г. лі / <} _с _max/u(t,x)l \Ц .% U(0,0)1 ^ ^2p_o+p_l ₊... + /W2 ц_г ' (8) где С>0 некоторая константа, зависящая от п, р>_0> fi₍, . . .,/3^

В 3.2 доказывается, что цилиндр Uz можно заменить некоторой фигурой вращения вокруг оси и подобной поверхности уровня фундаментального решения сопряженного уравнения и при этом оценки (8) остаются в силе.

Для случая гъ=1 и у3₀= 0 , уЗ=/ в конце 3.3 доказана отдельная оценка, которая представляет самостоятельный интерес (см. условия работы[57]). _-я рис. 4 _t

рис. 6 в) В 2.3 мы даем оценки производных в подобласти исходной области в зависимости от сходимости интегралов уравнения граничной поверхности. Причем, явно указана подобласть, где производные заданного порядка ограничены. В связи с этим отметим работу И.Г.Петровского[57], где были даны наглядные геометрические критерии регулярности граничной точки в терминах расходимости интегралов от уравнения граничной поверхности (см.рис.4).

2. Случай, когда дополнение GS2 "близко." устроено не к характеристике, а к перпендикуляру к нему. Другими словами, дополнение представляет заострение, направленное снизу вверх к исследуемой точке (см.рис. 6. ). А сама область & , где рассматривается решение, находится как бы выше & (через & обозначено дополнение Я. ).

В 2.2 в зависимости от емкостей множеств & , заклю- -Qn-1) __т ченных между поверхностями ~b = i₀~2 и t = t₀-2 даются оценки производных и подобластей, где они справедливы. Кроме того, в 2.3 для этого случая доказана отдельная геометрическая теорема об ограниченности производных в терминах сходимости интегралов от уравнения границы дополнения.

Для доказательства всех теорем о гладкости вблизи нерегулярной граничной точки в диссертации предлагается некоторая общая техника, пригодная в эллиптическом и в параболическом случаях. В ее основе лежат использование соответствующей леммы о внешней устойчивости задачи Дирихле по некоторым специальна выбранным вариациям границы области вблизи исследуемой точки, оценки Шауде-ра или Бернштейна и принципа максимума.

В I и П главах приведены примеры, касающиеся точности полученных результатов.

Прежде чем сформулировать основные результаты диссертации приведем определения и обозначения, используемые в работе. R , ft Л/ и ^ + f - мерные евклидовы пространства точек х=(Х/,Х2,...,Хл) и (,Х)=(Х,Х/,х₂,.. .,Х/г) соответственно; _пгь гъ+1 j> G-, 52 - ограниченные области в к и к ; д2 - граница области ^ ;

С52 - дополнение к области 5? до всего пространства; Qe - открытый шар в R радиуса Z с центром в точке S_z - сфера /х-х₀/ = г 1x1= (2 X,)⁷

2_г_г - ШарОВЫЙ СЛОЙ ^,4/Х-Хо/^ ^2 ;

Д - класс непрерывных, монотонно возрастающихся положительных функций 4>(t) таких, что Ц>(0)~0 ;

2р - множество точек ХЄ52 таких, что Qp2 ;

Цхо.г - ЦИЛИНДР /Х-Хо/^ 2 _f tf ^ t ^ t₂ ; S?pt - множество точек (, Х)Є52 _Таких, что t.-тЛ „

Ц*,г ^С52

Для области 62 с Р множество точек (,Х)Є02 для которых существует /ъ>0 такое, что цилиндр Ц^Н. ^е ^² » а цилиндр Ч^/г ^-⁵² называется верхней крышкой УС-²²) об- ласти

Множество точек и& , не являющихся точками верхней крышки, называется собственной границей области ^² и обозначается

0(.= (0(/,0(2,...,^ мультииндекс, /d| = Oil + с(₂ + + ^п. *>t ~х л+/ - «v «/г-/ ^{0=(0.0) = (0,0.-.0)} ^{є/? , О = (О,...,0)є} о=(о,... ,о)єП^п'

С (^) - пространство К - раз непрерывно дифференцируемых функций f (X) , ограниченных по норме: // f(X)l_c*(a) = suplf(x)j + 2 sup/^fwl

С С^²) - пространство К - раз непрерывно дифференцируемых функций т^(X) , ограниченных по норме

Ifih* хГуєя / x - У/< ^{+ X„syp - ...}^„ .К/К*

С (?) - пространство функций , ограниченных по норме lf(t,x)J_eK =suplf(t,x)l+2. je ^supK4M Boy - внутренность замкнутой поверхности /x-Xo/²=/(to-1)^:^^ b-p^t^io' множество точек (І,Х) таких, что /x/ ^ '/'(-і) ; ?Uo ._/Ь . ./77

Для заданной области S2CU через Ц (52) обозначим множест-во точек (, Х)ек хє я л (^ = -2^ te[-2^m, О] а через 52(Т) множество хє 2)H(t=Z) в к

А) условие. Пусть 2 - ограниченная область в к и Оєд& . Тогда если, область 5? такова, что при любом 2І =7" множество Я2(Т) имеет гладкую границу и для любых ft/ , tz выполнено S2(t3,) =э52(т3₂) будем говорить, что 2 в точке 0 удовлетворяет А) условию.

Через С будем обозначать положительные константы, значение которых нам безразлично и по необходимости будем их различать снизу индексами.

Функцию ЇЛ(Х)С7>(Х)) , удовлетворяющую неравенству !u^0Wv-Z0), назовем суперрешением (субрешением) оператора ^ . ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Пусть Е компакт в R меру fi(y) , определенную на Борелевских подмножествах компакта Е - назовем допустимой, если V(x) = \ (х - У/ ²'ⁿd/JL (

ПОЛОЖИМ cap_ Е = sup /и (Е) где верхняя грань берется.по всем допустимым мерам и.(и) , Число Сар Е - называется Винеровской емкостью множества Е

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Меру и. (U) , реализующую верхнюю грань в определении I, назовем равновесной мерой Е . По поводу существования такой меры и его различных оценок см.[28 , 35 , 59].

ОПРЕДЕДЕНИЕ 3. Пусть t компакт в к . Меру jU(T,u) определенную на Борелевских подмножествах компакта Є - назовем допустимой, если VU.X) = \ (*-тҐ²ехр[-^-]сІМ (т, у 4 / при (І₇Х)Є Е

Положим cap E=SupU(E) где верхняя грань берется по всем допустимым мерам jul(t,u) . Число cap Е - называется vj'/*) - параболической емкостью множества , (-о"' 0 - емкость множества , по- рожденное фундаментальным решением уравнения теплопроводности называется тепловой емкостью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Мера й(Т, Ц) - реализующая верхнюю грань в определении 3 называется равновесной мерой С . По поводу существования такой меры и его некоторых свойств см.[15 , 28 , 31] 32 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Функции У(Х) _и U(t,X) в определениях 1,3 следует называть потенциалами множества

На протяжении всей работы, если не оговорено противное, предполагается, что коэффициенты уравнений (I), (2) и правые части _пп достаточно гладкие функции и определены на всем пространстве к и К соответственно.

Кроме того, предполагается существование положительных констант Со , С/ _f Сг таких, что для любых ХЄІЇ. _t eR (, х)є R^a+ выполнены неравенства ^с,/Г/²^« ^g./WHj* ^с^{^/^'}

П 1 = 1 _О) ^Со 4 С(Х) ^о І І6і(і,х)ІіСо _- _{Со ^ с(х) ^ О}

Сформулируем результаты, полученные в первой главе.

ТЕОРЕМ I. Пусть U(X) - ограниченное решение уравнения (П в J) , принимающее непрерывные граничные значения на всей границе д 2) , кроме быть может точки О є. О2) и ГЪ^д .

Пусть далее

О/ДХ), Ьцх), С(х), /<*) є С* ⁺ {0.) <¹⁰>

Тогда если для некоторой последовательности положительных монотонно убывающих чисел Q_m относительно области Д) - выполнено: оо -(n-2 + K + dL) Z-Am cap Нт< т=0 ^п 2

Ит - СХ)П (Q2 -(т-1)\а₂~^т)

II U. IIпк+^ґ-Т)') ^

При этом JD = П (> )п ; «2) = Х)иц₂'^т

ТЕОРЕМА 2. Пусть а(Х) - ограниченное в Х)СК решение уравнения (I), принимающая непрерывные граничные значения на всей границе дХ) кроме быть может точки ОєдХ) и гь^д .

Пусть далее выполнено (10). Пусть, кроме того, граница дХ) вблизи точки 0= (0,0) устроено так, что для заданных функций Ш) и jut(b) из класса М выполнены следующие условия: a) CnQ,cV(iu,Xn,, х), xeR (5) J> (*) Г(Т) eft" < /і(й 0 ^{в) й}^/m ^—т г) styp-uTtr^<00 ^styP ~W^<0

Тогда справедливы оценки SupjJb^UiX)! < при Ifi/^K

4 ^/х~^^/0( где верхняя грань берется по множеству Q?\/"V(/"->>.x_n,x)]-

ТЕОРЕМ 3. Пусть /г=3, выполнены все условия теоремы 2 относительно области 52 оператора л и решения W(X) и функций Ц(Ь) , ^(t) , а вместо условия и) выполнено -(1+K+cL) _dT ₀ ^Ш JU(T) тогда в Qy \ [ y(yU+>), X₃, X)J справедливы неравенства: Supjz>^fiu (X)/< oo _при до_4К

Сформулируем результаты второй главы.

, _Dn+1

ТЕОРЕМ 4. Пусть U(t,X) ограниченное в 2)с К решение уравнения (2), принимающее непрерывные граничные значения на всей границе Ъз , кроме быть может точки ОєдХ) .

Пусть область Z) , лежащая в t^O такова, что для нее выполнено А) условие (см.опред. и обознач.) и существует последовательность положительных монотонно убывающих чисел CLm такая, что сходится ряд: оо -ZKo-k U2E , т-2р 2 ч /. ^IS ^а^т ²² ^{ехр(-2 оа}^т^{) сор Н}^т где Нт-СЬП[Ц^ПМ(7»\Ц^тШ], ЦЪ) определено в обозначениях.

Тогда для любого мультииндекса fl =(/3₀ ,/3,...,уЗ) такого, что /3₀^^К> А ⁺Р₂⁺'"⁺Рп ^ ^К ^сп^^зве^^ШВ0 неравенство: SUpljbbxu(t,X)l<~> где верхняя грань берется по множеству

Л = П (Z) )а_т,а_т ; > = 3U Ц (Я)

ТЕОРЕМА 5. Пусть & ограниченная область, лежащая в полупространстве 0^0 , удовлетворяющая А) условию и Оєд(г

Рассмотрим вне G в некоторой другой области 2 ^ G , для которой точка 0 является либо внутренней, либо точкой верхней крышки, ограниченное решение уравнения (2), принимающее непрерывные граничные значения в дб\0 .

Тогда если для заданных целых Ко, К существует последовательность положительных монотонно убывающих чисел От , такая, оо -2К₀~к тп X Ь_т 2^г cap Нт < н^вЩ-Ґ^і.-Г)

То для любого мультииндекса С/3₀, /3 . . Я ) такого, что (5^ К₀, /3+/3+.-- + /3 4- К справедливо неравенство: SupjX)/ Z)/u(t,x)l где верхняя грань берется по множеству (рис. 6 ) Я =г П -2 ; 52 = (2\ G ), *2 ; /77=0 О^» ^^ G^m=G\ (-2^m$t±0).

ТЕОРЕМ 6. Пусть U(b,X) , ограниченное в области > , лежащей в полупространстве t^O решение уравнения (2), принимающая непрерывные граничные значения на всей границе dJO , кроме быть может точки ОєдТ) .

Пусть далее граница о такова, что для нее выполнено А) условие и существуют функции \(Ь) и 9() из класса М такие, что для заданных целых /Со , К имеют место: ^{і) OU}^{=>V(0 + >,} ⁱ₇^x_)} _xs^{q* t}_e^tf

3)J* ]—J «K"⁶ *Н~МЇГ ₄₎ _fi_m _jm._>2 t^o 8'(T) SUp ^² ' < m ///77 Г" >* U

Тогда для любого мультииндекса(fi₀,p₇В«,...,/3) такого, что справедливо неравенство: supltf Z)fu(t,x)j где верхняя грань берется по множеству )1(6,1},Х) .

ТЕОРЕМ 7. Пусть G область в полупространстве, удовлетворяющая А) условию и и.иО , a 2 3>G некоторая дру-вая область, для которой точка 0 является либо внутренней, либо точкой верхней крышки.

Пусть, далее существуют функции и (t) _f Л(Ь) _из класса Х(, такие, что множество G вблизи точки 0 содержится в ]/(Q t, X) » ^а множество V(6+X*>X) содержится в 2

Рассмотрим ограниченное в 2\G решение U(t,X) уравнения (2), принимающее непрерывные граничные значения на всей границе S2\G кроме быть может точки О

Тогда вели для заданных целых K_Q,K выполнены следующие условия относительно Bit) и МЬ) _{» ім ["Г-к<-} ^f ~²^Ко~^кгв²(т) IT dT ^о ^{- *} ^вНТ) km Я (Г) Т-+0 тб'СО з) sup _2IIL< оо

4) ЙТИ -в-Ш-< <~ Т-+0 ^т то для любого мультииндекса (fio,fti,p>₂,<--ftn) ^такого» ^чт0

Р₀ Ко , уЗ, +р₂+ - -+/3л,< К справедливо неравенство где верхняя грань берется по множеству 2

Сформулируем результаты третьей главы.

ТЕОРЕМА 8. Пусть U(t,X) решение уравнения теплопроводности дц-^-U-O в йсй"*' и П-2 л р\ ^ 2 где Л = 2. 0 \ GXj - оператор Лапласа.

Возьмем" некоторую точку (Ь₀', Хо)^«^ (не нарушая общности можно полагать (о,Хо) = 0 ).

Тогда если существует число р>0 такое, что множество gp = V( \2nt Ьп4г, ,х) тоже содержится в <> , то /й_хі u(0)/< -fLrтак llltt,x)\ (jT-=f,2...., n) где Сі > 0 константа, зависящая от размерности ^ .

ТЕОРЕМ 9. Пусть У.{Ь,Х) решение уравнения теплопроводности дх² dt

Возьмем некоторую точісу (to,Xo) %) (можно полагать, что (t_o,x_o) = 0 )

Пусть существует положительное число Z>0 такое, что множество C_e = V(V2-fc&i^gUx) также содержится в <> . p(t) - функция из класса л* такая, что j _p(t) _« - 29 -Тогда справедливо неравенство

Сг>0 некоторая константа, не зависящая от U(t,X) и / .

ТЕОРЕМ 10. Пусть U(t,X) решение уравнения теплопроводности

Пусть для некоторой точки (Ь₀,Хо)єВ (не нарушая общности можно полагать (_о,Хо)=0 ) и заданных целых Ко , К существует число р>0 такое, что множество E^ = v(V2^2Ke+n і to -'.**) тоже содержится в X)

Тогда для любого мультииндекса(/3₀,]3> ,.-_п) такого, что /З_о ^ Ко, /3, +/3₂ + . . . + /З_л ^ К справедливо неравенство

1Ъ^Л*и1<П1*_рк.%/2 maxjuaM

Ко+К/2 2Ко + К где Сз — С^Ко+К; ,^ , а С| -константа неравенства теоремы 8.

ТЕОРЕМА II. Пусть X) ^ ^к ограниченная область, лежащая в полупространстве ^ и

Пусть далее, дХ) пересекает все при 0^f^f_o, 2Ko+K^^₂2(/+v5)²

Предположим, что все точки дХ) - регулярны, кроме точки - зо -

Далее, множество V содержится в Ъ

Рассмотрим ограниченное в # решение уравнения теплопроводности принимающая непрерывные граничные значения на дя\ (t₀,Xo)

Тогда если относительно области # и заданных целых К_0гК вблизи (о,Хо) выполнено ₁₂ _cap _Н_т _{< <*>} т=0 Л,1 -(тч) \V(^2^2K^+K+Inttn^'> *_fx)flCZ) то для любого мультииндекса (А,,/3„Д,.. .,))такого, что справедливо Sup l&_t)_xU(t,X)l < «о где верхняя грань берется по множеству точек оси t

Автор считает приятным долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю проф.А.А.Новрузову за постоянное внимание и помощь.в работе_м а танке.к. ф-м. я. Ибрагимову А И за полезные обсуждения. - ЗІ -

Теорема об ограниченности производных

Неравенство (I.I.I3) сохраняется и на части Oz Х)т границы д X) , лежащей вне сферы /52 /", так как Um(x)-U(x)=0 на д2 Х)т . По принципу максимума неравенство (I.I.I3) будет справедливо и в о Поэтому в -2) 1ит т - и(x)l - 2supM( A + А)/% _2fm с 2csuplul(--+J)A2 2 - 0 При А77- —,ГДЄ Д І/?/, / -У/ (I.I.I4) гей ueFm Из соотношений (I.I.I2) и (I.I.I4) получаем, что последова K-hdL , тельность Urn (X) фундаментальна по норме пространства С (А?) и равномерно в X) сходится к U(x) . Ввиду полноты пространства С (X)) заключаем, что Um(x)— U(x) по норме С (Х ) Лемма доказана. 1.2. Теорема об ограниченности производных ТЕОРЕМА I.2.I. Пусть Ц(х) - ограниченное решение уравнения (I.I.3) в X) , принимающее непрерывные граничные значения на всей границе д X) , кроме быть может точки Оє дЗЭ и п, -

Пусть далее aljW, kw, С(Х) Є С 2 {аі) . (I.2.D Тогда если для некоторой последовательности положительных монотонно убывающих чисел О (О — 0, л?- о) относительно области . выполнено -(n-2+K+di) .. J Q Сап йт с (1,2.2) т=0 т П-2 ГДЄ Нт = CD П (Q(m-l)\Q2-m) ТО 11и11ск+ы(Х)1) (1.2.3) при этом X) == П (Dm)o 9 3)m J0(JQ9-m т=0 rm L ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По предыдущей лемме I.I.I функцию и(х) и ее производные можно аппроксимировать в любой точке (t,X ) последовательностью Um(X) . Оценку (1.2.3) достаточно доказать для U/JJ(X) с постоянными, не зависящими от номера т Имеем: т т " "m (1.2.4) - 39 где т0 достаточно большой номер такой, что х)па2-т.=Ф. 2 т г. Применяя к слагаемым в правой части неравенства (1.2.4) оценку (1.1.5), полагая V(x)« UL (X)- и 1 (х), 2 = (Z /) S2 = (Z))o. получим, что правая часть (1.2.4) не превосходит т -(K+dO , . Далее, как это проделано в лемме І.І.І для ХЄІ)1 , имеем: ІЩ(х)-ич wl 2suPlul( + )jl -Ljl2-n d су). Hi Итак, выражение (1.2.4) не превосходит X 2 ч 2sup/ul(-±+-)sup \х_»\ х Ні immJl ГП-2 уД. 7 „К+2+1 і / в, /3?\ /«- -(П-2+K-hOL) ч П-2 Теорема доказана. пГ/77 Заметим, что если = Ц (2 ) ДДя некоторой функции /?єі/ - 40 то условие (I.2.I) можно записать в интегральной форме. Так как - -(n-2+K+d) -(П-2+К+4) Z cap Нт Х 4(2 ) . cap Ит /я-0 "" Л-2 = V2 -/77 -//77+0 „о i?"777 / -2 / V f ,п, -(П 2+К ГСП . . Г -(n-2+K+aC)WT) , т 2(тн) о где уст) = сар (QTncD) СЛЕДСТВИЕ 1.2Л. Если в условиях теоремы 1.2Л относительно области «Z) вместо (1.2.2) выполнено - 2-т(п-2+к+«)сар Нт ж (1 2 5) /77=0 Л"2 ТО IJD?U(X)I с , 1/зЫ к внутри любого конуса А с вершиной в 0 t лежащего в X) . Константа С 0 зависит от выбора конуса J\ . -т Для доказательства надо положить в (1.2Л) Q —62 с достаточно малым Є О В заключении параграфа приведем один пример на точность условия (1.2.5). Пусть 2. Г Y = У "" d t и ч- -1ш ; f-y+J" - fl U(x, у, г) = j2x V(-x)2 +f г +(х-П&г ф І + + -rl4-x) 4-x)4f+$bbp-x) У(?-Х)2+рг /}Г = = A(x,p)-2x2%. символ / - означает разность по при =і и =0 х Ц[ хф-Х) ] Х+л/х )\ + Выражение /4 (X , Р)—5- 0 при любом стремлении Р Х — - О а выражение -2х &&р принимает разные значения при ftx— 0 вдоль поверхности Р = ех/ (— -) для разных С О . Если за область ) брать внешность поверхности р= ехр 2 ) 0 Х і » т0 как можно видеть из[35 , 59] Х її 7 п5т величина cap Нт для такой области будет иметь порядок 2 Поэтому условие (1.2.5) выполнено для К = 1 и нарушается при Вычислим теперь при J= 0 , х— -0 производные .U-РЩ -42-, -0 3 I - 2PX , / x \ x-? + -7===.+ HAF V P y V(x- p v/ rote du 2, , О (?-x) й« f d г зр-f 1 Г eft d ц = г а? г зр-1 ] r Ш-хіФШ-х)2 ! J oo 2,- .2 OO т.е. производные первого порядка ограничены, а вторые - неограни чены при Р=0 , X -— 0.

В этом параграфе мы докажем две геометрические теоремы об ограниченности производных вблизи нерегулярной граничной точки в зависимости от уравнения симметрической границы самой области и подобранной подобласти. Они будут получены как следствие применения теоремы 1.2,1 и оценок сверху емкостей множеств дополнения к области.

Геометрические.теоремы.об.ограниченности производных

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию поведения решений эллиптических и параболических уравнений видов: вблизи граничной точки. Хорошо известно, что если граница о 2 области 2 имеет гладкость заданного порядка, то решение Щ ( ) задачи Дирихле Ни - /( ) О) "/с ieaslt с достаточно гладкими коэффициентами CL[j (X) , б((Х) , С(Х) , /(X) и граничной функцией f имеет гладкость того же порядка, что и ее граница, вплоть до границы. Это является следствием оценок Шаудера (см.напр.[8 , 22 , 33, 41, 64 , 65]. Причем гладкость решения, вообще говоря, неулучшаема.

Точка Хо границы ds2 называется регулярной, если,какова бы не была непрерывная на д-2 функция f , обобщенное по Винеру решение (см. 28 ) Uy(X) задачи (3) удовлетворяет условию: - 4 tim Щ (x) = 4 (x0) Критерий регулярности граничной точки для уравнения Лапласа впервые был получен в работах Винера[9]и Келдыша [21]. Критерий заключается в расходимости ряда X 2 COD Нт (4) где Нт - множество дополнений к области 2 , лежащей в шаре радиуса 2 с центром в х0єд&, сор Нт - Винеровская емкость множества Нт (точное определение см.ниже),

Для общих уравнений вида (I) критерий регулярности был получен в работах[3 , 19 , 25 , 36 , 37 , 38 , 49 , 50 , 52 , 56 , 66] , для нелинейных уравнений в[14 , 39 , 53, а для вырождающихся уравнений в[1 , 2 ,11 , 17 , 27 , 42 , 52].

Однако, решение гладко не только в случае расходимости ряда (4). Рассмотрим задачу %и=0 в S?\E , / = , где Е компакт нулевой емкости, а / непрерывная на д& функция. - 5 Известно, что в этом случае решение Ы{х) , ограниченное в 2 , можно доопределить на множестве Е среди функций 0)(х) , совпадающих с ЫСх) на S2\E Так, что уравнение У!со=0 удовлетворяется в 2 классически (см.[23 ,10 ]). Т.е. решение уравнения (І) в окрестности границы, лежащей строго внутри 2 и имеющей нулевую Винеровскуго емкость, ведет себя как бесконечно дифференцируемая и даже аналитическая функция. Подставив в этом случае все емкости дополнения формально в ряд (4), получаем, что ряд Винера-Келдыша тождественно равен нулю, не говоря уже о его расходимости. Таким образом, остается некоторый зазор в исследовании поведения решения вблизи граничной точки, связанный со случаем сходимости ряда (4).

Геометрические.теоремы.об.ограниченности. производных

Настоящая диссертационная работа посвящена подробному исследованию этого случая для уравнений эллиптического и параболического типов. Близкими по тематике вопросами занимались в[45 , 15 , 16 3 . Так как в случае сходимости ряда (4) решение задачи Дирихле для уравнения (I), вообще говоря, разрывно, то появление гладкости у решения естественно ожидать не во всей окрестности исследуемой граничной точки Х0 , а в некоторой подокрестности Qs П S2. ( 2 С J52J . А из результатов данной работы следует, что несмотря на то, что решение, вообще говоря, разрывно в граничной точке, его можно доопределить в точке разрыва так, что полученная функция будет гладкой и непрерывной в указанной здесь подобласти S21 , зависящей от исходной области 2 и которая возможно содержит нерегулярную граничную точку как предельную.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и

В первой главе в зависимости от скорости сходимости ряда (4) для уравнения (I) даются оценки производных решения в подобласти 2; исходной области Я2. , не зависящие от расстояния до границы dsz . Причем, полученные оценки будут завысить от выбора подобласти Н . Главный результат этих исследовании содержится в теореме I.2.I (см.рис.1).

Вторая и третья главы посвящены параболическим уравнениям. Во второй главе рассматриваются общие параболические уравнения вида (2), а в третьей главе - уравнение теплопроводности. Ситуация, аналогичная эллиптическому случаю, возникает и при рассмотрении параболических уравнений. В случае гладкой границы и отсутствия касания к характеристике (гиперповерхности t-const ) решение задачи Дирихле для параболического уравнения вида (2) с достаточно гладкими коэффициентами и граничной функцией f имеет гладкость того же порядка, как и ее граница[34 , 63] . Справедлива теорема об устранимой особенности, аналогичная эллиптическому случаю [24J. При произвольном строении границы поведение решения задачи Дирихле для параболического уравнения тесно связано с потенциалами дополнения к области вблизи исследуемой точки. Пусть UipQX) обобщенное по Винеру-Ландису (см.[28 , 30]) решение задачи Дирихле

Оценки типа Бернштейна

. Точка (to,Х єдїі называется регулярной относительно первой краевой задачи (5), если lint Uu (f,x)= /Чо,Хо) (t,x)- (to,x0) (І,Х)Є52 для любой непрерывной на OS? функции V Для уравнения теплопроводности в [30] доказано, что граничная точка (to,Хо) будет регулярной тогда и только тогда, когда расходится ряд из тепловых потенциалов - 0 + хЛ СНт) т=о toXo Здесь Нт - множество дополнений к области, заключенное в fx-XoMpm , tom t tom+1; рт , Тт -некоторая рекуррентная последовательность,] х (Нт) тепловые потен-циалы множеств Нт (см. определение 5 ниже).

Следует отметить еще работы[31 , 32], где получены интерес -10 РИС. - II ные результаты по регулярности граничной точки для параболических уравнений.

Критерий (6) имеет тот недостаток, что является трудно проверяемым, В связи с этим B[28J приведены простые достаточные условия регулярности граничной точки в терминах ряда из тепловых емкостей. А недавно в[12] получен критерий типа Винера-Келдыша в терминах расходимости ряда ОО ГПГЬ 2 2 2 cap Нт 7) из тепловых емкостей Сар Нт - множеств Нт - лежащих в 2 дополнении к области, заключенной между поверхностями уровней фундаментального решения сопряженного уравнения теплопроводности.

Дополнение как-то "близко" устроено к характеристике, т.е. когда дополнение к области имеет вид горизонтального заострения, лежащего над областью (см. рис. 3 ) и направленная с острием в исследуемую точку. Здесь в зависимости от емкостей множеств дополнений, остающихся под характеристикой, даются количественные оценки числа ограниченных производных и вида того множества S2C&. где эти производные от решения ограничены.

Этот случай мы условно разбиваем на три самостоятельные ситуации:. : а) В 2.2 и 2.3 изучаем поведение гладкости решения для общих уравнений (2) в зависимости от степени нарушения грубого, но вместе с этим более наглядного достаточного условия регулярности -12 t дК-т мчмч т рис. - ІЗ граничной точки работы[28]. Это результат теоремы. 2.2.1. б) В третьей главе изучается поведение гладкости решения уравнения теплопроводности в зависимости от степени сходимости ряда типа (7) (см. рис. 5). Результат этих исследований содержится в теореме 3.3.1. Ее доказательство существенно использует результаты 3.2, где доказаны оценки типа Бернштейна (см.[7 , 34 , 63]). Поясним сущность этих оценок. Пусть в цилиндре цг = f{i,x)e Rn // l« \/«, -z t4,o} определено ограниченное решение U(t,x) уравнения теплопроводности. Тогда U(t,x) будет удовлетворять уравнению теплопроводности при Ь = 0 и для его производных в (0,0) справедливы оценки / /з уз ,-г. лі / с max/u(t,x)l \Ц .% U(0,0)1 2po+pl +... + /W2 цг (8) где С 0 некоторая константа, зависящая от п, р 0 fi(, . . .,/3 В 3.2 доказывается, что цилиндр Uz можно заменить некоторой фигурой вращения вокруг оси и подобной поверхности уровня фундаментального решения сопряженного уравнения и при этом оценки (8) остаются в силе. Для случая гъ=1 и у30= 0 , уЗ=/ в конце 3.3 доказана отдельная оценка, которая представляет самостоятельный интерес (см. условия работы[57]).

О гладкости решений эллиптических и параболических уравнений вблизи нерегулярной граничной точки Мамедов Фарман Имран Оглы

Теорема об ограниченности производных

Геометрические.теоремы.об.ограниченности производных

Геометрические.теоремы.об.ограниченности. производных

Оценки типа Бернштейна

Похожие диссертации на О гладкости решений эллиптических и параболических уравнений вблизи нерегулярной граничной точки