Содержание к диссертации
Введение
1 Внешнее разложение 13
1.1 Вспомогательные построения 13
1.1.1 Замена неременных 18
1.2 Решение внешней системы уравнений при є = 0 19
1.3 Вспомогательная замена функций 21
1.4 Решение линеаризованной внешней системы уравнений 24
1.5 Построение полной асимптотики внешнего разложения 31
1.6 О точном решении внешней системы 33
2 Внутреннее разложение 40
2.1 Решение внутренней системы уравнений при = 0 41
2.2 Линеаризованная система и первое приближение 44
2.3 Построение полной асимптотики внутреннего разложения 52
3 Согласование и второе внешнее разложение 56
3.1 Внешнее разложение во внутренних переменных 56
3.2 Условия согласования 58
3.3 Сравнение а^ и а^ 59
3.4 О точном решении внутренней системы 64
3.5 Вычисление параметров для второго внешнею разложения 67
3.6 Взаимосвязь между асимптотиками внутреннего разложения при 9 -со и при 9 68
3 7 Построение Ml,rl,ipl,t*k 69
3 8 Заключение 70
Приложения 72
4 1 Решение линеаризованной внешней системы 72
4 2 Решение линеаризованной внутренней системы 83
Работы автора по теме диссертации 98
Литература
- Вспомогательная замена функций
- Построение полной асимптотики внешнего разложения
- Линеаризованная система и первое приближение
- Вычисление параметров для второго внешнею разложения
Введение к работе
В настоящей работе изучается задача движения материальной точки в гравитационном поле двух масс. Рассматривается ограниченная задача трёх тел (см. напр. [5]), в которой материальная точка Во является непритягивающей, т.е. Во никак не влияет на движение В\ и Вч. Оіраниченная задача трёх тел давно привлекает к себе внимание исследователей. По-видимому, первым понятие ограниченной задачи трех тел ввёл Эйлер в работе [35], посвященной изучению движения Земли и Луны относительно Солнца. В ней было возможно пренебречь массами Земли и Луны относительно массы Солнца, а также принималось во внимание малость отношения масс Луны и Земли. Пренебрежение массой одною тела по сравнению с массами двух других существенно упрощает решение задачи. Кроме того, Брунс и Пуанкаре доказали, что общее решение задачи трех тел нельзя выразить через аліебраические или через однозначные трансцендентные функции координат и скоростей тел [26]. В некоторых случаях (задача с неподвижными центрами) имеется точное решение [34]. В остальных случаях удается построить разложение решения в ряды но различным малым параметрам. Если, например, Во движется по орбите вблизи В\, то вклад от притяжения к Б2 будет мал но сравнению с вкладом от притяжения к В\, это позволит разложить решение в ряды но степеням малого параметра pmax{^Q,^l}/pmin{^\^2}-Другим возможным допущением может быть малость отношения масс Мч/М\. Так происходит, например, при рассмотрении системы спутник - Земля - Луна. Здесь є — Мї/Мі — отношение масс Луны и Земли — равно примерно 1/81. Это сильно упрощает решение. Если не учитывать влияние Вч, то получается задача двух тел, которая имеет точные решения — кеплеровские орбиты. Для учёта вклада от приія-жения к Вг используются разные методы, например метод оскулирующих элементов (предложенный Лаіранжем). В нем строится зависимость элементов кенлеровых орбит (движения Во относительно В\) от времени. Эти методы хороши до тех пор, пока Во не приближается к Вч- Вблизи В2 притяжение к Вч становится сопоставимым с притяжением к В\, несмотря на малость отношения их масс. Для решения задачи в такой постановке используеіся следующий метод [5].
1. Рассчитывается іеоцентрическое движение от Земли до сферы действия Луны по законам Кеплера.
О 1 Перечень основных обозначении и определения
2. На ірашще сферы действия переемитываются параметры іеоценірическою движения на параметры селеноцентрического движения.
3 Рассчитывается селеноцентрическая кеплерова траектория.
4. Расчёт можно продолжить и дальше: после выхода из сферы дейсівия Луны рассчитать новую геоцентрическую траекторию.
Такой метод расчёта траекторий предложен Лапласом [49] (применительно к движению естественных небесных тел). Этот метод принято называть методом игнорирования возмущений [18, 30]. Он дает хорошие приближенные результаты.
В XIX веке оіраниченную задачу трёх тел изучали Якоби [36], Хилл [43]. В XX исследование ограниченной задачи активно продолжалось. Можно отметить книгу В.И. Арнольда, В.В. Козлова и А.Н. Нейштадта [3]. Там не только исследуются задачи небесной механики, включая ограниченную задачу трёх тел, но и методы но шущений, их развитие и применение.
В [52] Пуанкаре ввёл понятие решений второго рода (second-species solutions), в которых при стремлении е = Мъ/Мх к нулю решение приближается к частям двух эллипсов, состыкованных в точке нахождения малого тела 1. В эпоху развития космических полётов задача исследования решений второго рода также продолжила свое развитие В работах Д. Кеворкяна, Ю. Ши и М. Экштейна [39, 53], Л. Перко [50, 51] и других авторов было построено асимптотическое разложение решений задач вплоть до степени 0(є2), были доказаны теоремы существования задачи поиска периодических решений и других задач. Кроме того, небольшой об юр этих задач содержится в [41].
В последние юды оіраииченная задача трёх тел исследуется в направлении изучения семейств периодических решений ([8, 38, 40, 42, 44] и др.). В реальных приложениях в космонавтике используется постановка задачи оптимального управления в задаче трех тел (см. напр. [21]).
В настоящей работе происходит в каком-то смысле углубление метода, предложенною Лапласом. Строится полное асимптотическое разложение решения в ряды но степеням є — отношения масс тел #2 и В\. При этом не только строится асимпгоіи-ческое разложение с точностью до любой степени ", но и доказывается существование точного решения начальной задачи, имеющего эту асимптотику. Полное асимптотическое разложение состоит из трёх частей. Первая часть {внешнее разложение) становится непригодной при приближении В0 к Б2. Вторая часть (внутреннее раз-лооїсение) справедлива в окрестности Б2. Наконец, третья часть (второе внешнее разлооїсепис) описывает движение Bq после облёта Вг.
В некоторых задачах при построении асимптотических решений возникают нарастающие степенные особенности. Такие задачи называются бисиигулярными. Их исследование является одним из важнейших направлений научной школы A.M. Ильи-
Вспомогательная замена функций
Рассматривается ограниченная задача трёх тел (см. напр. [5]), в которой материальная точка Во является непритягивающей, т.е. Во никак не влияет на движение В\ и Вч. Оіраниченная задача трёх тел давно привлекает к себе внимание исследователей. По-видимому, первым понятие ограниченной задачи трех тел ввёл Эйлер в работе [35], посвященной изучению движения Земли и Луны относительно Солнца. В ней было возможно пренебречь массами Земли и Луны относительно массы Солнца, а также принималось во внимание малость отношения масс Луны и Земли. Пренебрежение массой одною тела по сравнению с массами двух других существенно упрощает решение задачи. Кроме того, Брунс и Пуанкаре доказали, что общее решение задачи трех тел нельзя выразить через аліебраические или через однозначные трансцендентные функции координат и скоростей тел [26]. В некоторых случаях (задача с неподвижными центрами) имеется точное решение [34]. В остальных случаях удается построить разложение решения в ряды но различным малым параметрам. Если, например, Во движется по орбите вблизи В\, то вклад от притяжения к Б2 будет мал но сравнению с вкладом от притяжения к В\, это позволит разложить решение в ряды но степеням малого параметра pmax{ Q, l}/pmin{ \ 2}-Другим возможным допущением может быть малость отношения масс Мч/М\. Так происходит, например, при рассмотрении системы спутник - Земля - Луна. Здесь є — МЇ/МІ — отношение масс Луны и Земли — равно примерно 1/81. Это сильно упрощает решение. Если не учитывать влияние Вч, то получается задача двух тел, которая имеет точные решения — кеплеровские орбиты. Для учёта вклада от приія-жения к Вг используются разные методы, например метод оскулирующих элементов (предложенный Лаіранжем). В нем строится зависимость элементов кенлеровых орбит (движения Во относительно В\) от времени. Эти методы хороши до тех пор, пока Во не приближается к Вч- Вблизи В2 притяжение к Вч становится сопоставимым с притяжением к В\, несмотря на малость отношения их масс. Для решения задачи в такой постановке используеіся следующий метод [5].
Такой метод расчёта траекторий предложен Лапласом [49] (применительно к движению естественных небесных тел). Этот метод принято называть методом игнорирования возмущений [18, 30]. Он дает хорошие приближенные результаты.
В XIX веке оіраниченную задачу трёх тел изучали Якоби [36], Хилл [43]. В XX исследование ограниченной задачи активно продолжалось. Можно отметить книгу В.И. Арнольда, В.В. Козлова и А.Н. Нейштадта [3]. Там не только исследуются задачи небесной механики, включая ограниченную задачу трёх тел, но и методы но шущений, их развитие и применение.
В [52] Пуанкаре ввёл понятие решений второго рода (second-species solutions), в которых при стремлении е = Мъ/Мх к нулю решение приближается к частям двух эллипсов, состыкованных в точке нахождения малого тела 1. В эпоху развития космических полётов задача исследования решений второго рода также продолжила свое развитие В работах Д. Кеворкяна, Ю. Ши и М. Экштейна [39, 53], Л. Перко [50, 51] и других авторов было построено асимптотическое разложение решений задач вплоть до степени 0(є2), были доказаны теоремы существования задачи поиска периодических решений и других задач. Кроме того, небольшой об юр этих задач содержится в [41].
В последние юды оіраииченная задача трёх тел исследуется в направлении изучения семейств периодических решений ([8, 38, 40, 42, 44] и др.). В реальных приложениях в космонавтике используется постановка задачи оптимального управления в задаче трех тел (см. напр. [21]).
В настоящей работе происходит в каком-то смысле углубление метода, предложенною Лапласом. Строится полное асимптотическое разложение решения в ряды но степеням є — отношения масс тел #2 и В\. При этом не только строится асимпгоіи-ческое разложение с точностью до любой степени ", но и доказывается существование точного решения начальной задачи, имеющего эту асимптотику. Полное асимптотическое разложение состоит из трёх частей. Первая часть {внешнее разложение) становится непригодной при приближении В0 к Б2. Вторая часть (внутреннее раз-лооїсение) справедлива в окрестности Б2. Наконец, третья часть (второе внешнее разлооїсепис) описывает движение BQ после облёта Вг.
В некоторых задачах при построении асимптотических решений возникают нарастающие степенные особенности. Такие задачи называются бисиигулярными. Их исследование является одним из важнейших направлений научной школы A.M. Ильи на Для решения бисингулярных задач используется метод согласования асимиготических разложений, сформулированный в монографии A.M. Ильина. [20].
В рассматриваемой задаче происходит то же самое — возникают нарастающие степенные особенности. Поэтому и рабо 1С используется метод согласования асимптотических разложений. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений асимптотические методы развивались в работах А.Б. Васильевой, [11], М И Вишика и Л А Люстерника [15], в работах А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова [12, 13, 14] и MHOI их других.
Построение полной асимптотики внешнего разложения
Теорема 1. В рассматриваемой задаче (1.37), (1.38) функции в а раскладываются в асимптотические ряды (1.39), где функции еа„ рекуррентпо строятся как решения линейных уравнений (1.63) и имеют следующие асимптотики при в — 0; Л/0 = const, г0 = /?ь ф0 = Ях, t0 = Ro, A/n = F_n, rn = 0F-n, Vn = 0F_nj in = 0F_n + /u,lnn0, nl. (1.64) Доклшельство. СОГЛАСНО (1.35) функции ao и согласно (1 60), (1.61) и (1 62) функции Mi,ri,iJ)\,t\ удовлетворяют (1.64), т.е. Mi=F.u n BF.u i=0F.u ti=Ro + Holn\0\. Предположим, чіо для любых к п (к 0) справедливо Mk = F.k, rk = 9F.k, = 0F_b tk = 9F.k + n»\nk\0\. (165)
Докажем, что (1.65) верно и для к = п. По предположению индукции (1.65) M„_i является функцией вида а. То же самое справедливо в отношении in-\, a rn_i и фп \ являются функциями вида Оа. Найдём асимптотики остальных функций, стоящих в (1-63).
Таким образом, найдено частное решение v линейной системы уравнений (1.45). Общее решение (vi, г 2, Уз, щ) получается прибавлением линейной комбинации шести линейно независимых решений однородной системы уравнений (1.44):
Эти асимптотики не зависят от выбора произвольных постоянных hj,j = 1..6, так как асимптотика решений однородной системы включается в асимптотику решения неоднородной системы. Решение системы уравнений (1.63) с начальной задачей в щ получается из ап прибав-лением решения однородной системы (1.44), решения которой не меняют полученных асимптотик (1.66), (1.67), (1.68). Теорема 1 доказана.
Таким образом рекурреитно строятся все члены рядов (1.39). Получается формальное асимтотческое решение системы (1.37), т.е. подстановка бесконечных рядов (1.39) в (1 37) даёт тождественный нуль. Кроме того справедливо
Утверждение 2. Если вшпь лишь конечные частичные суммы в (1.39), то они удовлетворяют системе (1.37) приблио/сённо — после подстановки в (1.37) остаётся невязка порядка 0(єп+1/вп+2) в первом, втором и третьем уравнениях, порядка О(єп+1/0п+1) в четвёртом уравнении системы (1.37). И функции ап, и невязка имеют нарастающие особенности при в - 0.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 — достаточно рассмотреть асимптотики /ь /2, /з, !А ДЛЯ а„. Доказательство. По построению а„ для ро 0 9\ 0 из утверждения 2 имеем:
Из обіцеіі теоремы о существовании решения задачи Коши вытекает, что решение а задачи (1.37), (1.38) существует при 0 Є [ / о,А], где постоянная А зависит, вообще юворя, от е. При этом решение (Л/,г) может быть продолжено на весь отрезок [ Л),0і], если оио равномерно ограничено. Будем рассматривать функции v на отрезке [ 0,-4 )] и докажем, что функции в v ограничены (и даже малы). Отсюда сразу следует, что решение а продолжимо на отрезок [ /?o,0i]. Здесі частные производные берутся в некоторых точках на отрезке (0,0,0,0,0,0) --(щ,У2,у3,уА,г/2,ь 3).
Это следует из того факта, что дифференцирование по m и t функций G\,Gi, G-\, G\ и их частных производных не изменяет их асимптотику при 0 - 0, а дифференцирование по г, гр добавляет к асимптотикам C?i,C?2,Сз, и их 1асТ1,ых производных множшель 1/0
Тогда, пользуясь асимптотиками для Кг] в (1.55), (1.57), (1.58), (1.59) при іро 0 Л получаем оценки Аналогично равномерно при в А, причём оценки остаются справедливыми при А = в\ = -е1 5 Поэтому далее решение продолжается вплоть до А = -є1 5, 0 5 1. Теорема 2 доказана.
Как уже упоминалось в утверждении 2, члены рядов (1.39) имеют нарастающие особенности при 0 - 0. Поэтому для исследования поведения решения сисіемьі уравнений (1.37) вблизи тела малой массы В2 в (1.37) проводится замена независимой переменной, а также М,г,ф,
Линеаризованная система и первое приближение
Определение (см. [20]). Пусть M = Y,8k(s)uk(x) (3.1) формальный ряд, 8к(е) — калибровочная последовательность, обладающая следующим свойством: для любого п 6 N найдётся ко такое, что 0(є) = о(єп) при є - О, содержащих степени є с показателями не выше п. Через Aa xU будем обозначать частичную сумму ряда (3.1), составленную из тех его членов, для которых = о(і/к(є)) при всех Р а. Если калибровочная последовательность ик{є) состоит из функций вида п \п} є, n,j Є Z, го для целого п величина АПуХ означает частичную сумму ряда (3.1), содержащую все члены, для которых показатель степени є ие превосходит п
Пусть для некоюрою п построены а ; к п. Тогда функции из а по построению являются точными решениями систем уравнений, которые получаются из системы (1.37) после подстановки в них рядов (1.39) при степенях ек (системы (1.29), (1.42) и (1.G3) для к = 0,\,п соответственно). Разложим все функции в а в ряды по степеням в, подставим еО вместо 0 и отбросим члены порядка ек \п] є при к п и получим
По построению ад,; удовлетворяет почти той же системе уравнений (2.35), котрая получается при ек lnJ є после подстановки (2.3) в (2.2) (следует учесть тот факт, что функции а построены не из бесконечных рядов (1.39) а только из их частичных сумм). Разница как раз и возникает из неучтённых функций n+1an+i. Асимптотика невяжи после подстановки а„ в (1.37) получается из асимптотики М п+1 в G\, r„+l в G2, +1 в G3 и t n+1 в d.
Числа А, В, J, Е определяются в (1.40), (1.35), (1.61) и (1.62) соответственно. Из этих уравнений однозначно находятся йі,а2, з,ё,р и бс из (2.16). Для устранения шестипараметрического произвола при построении а л j А;, необходимо согласовывать с внешним разложением коэффициенты, стоящие при 0 в разложениях Л7 л Г л а также при 0,0 в разложениях г л 4 kj при 0 - -со.
Для всех к, j эти условия можно выполнить, так как решения {wij,xu2J,W3j,U!ij,tV2J,w 3j),j = 1..6, однородной системы уравнений (2.22), которые с произвольными коэффициентами можно прибавлять к некоторому частному решению системы (2.35), имеют асимптотики (0(1),0(0),0(0),0(1),0(1),0(1)), а определитель Вронского (2.24) не обращается в нуль.
Это следует из того факта, что дифференцирование по М функций Оі,С?2,Оз и их частных производных не изменяет их асимптотику при 0 — -со, а дифференцирование по г,ф добавляет к асимптотикам 61,62,63 и их частных производных множитель 1/0.
Интегрируем систему с учётом д\ = 0(1/6),92 = 0(1/9),9з = 0(1/0), 55 = 0(1/0), = 0(1/0), 0 - -00. Аналогично (2.30), (2.31), (2.32) получаем систему интегральных уравнений, эквивалентную уравнению (3.12) с условием (3.11).
Лемма 2. Пусть аоо получены из а„ (см. раздел 3.1)), SLQQ — решение (2.6)-(2.9) системы (2.4), удовлетворяющее условиям согласования (3.6), (3.8). Тогда при в -» -со имеем Моо - Л/оо = 0(0-"- ), гоо - foo = 0(Г"), $оо - V oo = О{0 п), t00 - ко = О, или, другими словами, у этих функций совпадают коэффициенты при О3 при —п j 0 с?лл Л/оо и -п + 1 j 1 для foo, $оо
Доказательство. Из условий согласования (3.6), (3.8) следует, что у М00 и Моо, а. также у 7"оо и foo, фоо и $оо совпадают коэффициенты при в, 0. Следовательно, выполняется условие (3.11). Кроме того, (3.4) даёт другое условие леммы 1 (правые части ведут себя как O{0 N), N = п + 2), применение которой сразу даёг искомый результат.
Пользуясь асимптотиками функций К1} в раздело 2.2, получим требуемую асимшо-тику решения. Замечание. Частное решение v не является единственным решением системы (3.13). К нему можно добавлять решения однородной системы (2 20). Однако, новые решения системы (3.13) не будут удовлетворять условию (3.14).
Интегрируем систему (3.21), предполагая, что в точке 9 і справедливы оценки (3.19), (3.20). Для эюю используется метод сжимающих отображений. Вводятся новые функции Vf, = v z, щ = v 3 и рекуррентно строятся последовательности
Вычисление параметров для второго внешнею разложения
В настоящей работе изучается задача движения материальной точки в гравитационном поле двух масс. Рассматривается ограниченная задача трёх тел (см. напр. [5]), в которой материальная точка Во является непритягивающей, т.е. Во никак не влияет на движение В\ и Вч. Оіраниченная задача трёх тел давно привлекает к себе внимание исследователей. По-видимому, первым понятие ограниченной задачи трех тел ввёл Эйлер в работе [35], посвященной изучению движения Земли и Луны относительно Солнца. В ней было возможно пренебречь массами Земли и Луны относительно массы Солнца, а также принималось во внимание малость отношения масс Луны и Земли. Пренебрежение массой одною тела по сравнению с массами двух других существенно упрощает решение задачи. Кроме того, Брунс и Пуанкаре доказали, что общее решение задачи трех тел нельзя выразить через аліебраические или через однозначные трансцендентные функции координат и скоростей тел [26]. В некоторых случаях (задача с неподвижными центрами) имеется точное решение [34]. В остальных случаях удается построить разложение решения в ряды но различным малым параметрам. Если, например, Во движется по орбите вблизи В\, то вклад от притяжения к Б2 будет мал но сравнению с вкладом от притяжения к В\, это позволит разложить решение в ряды но степеням малого параметра pmax{ Q, l}/pmin{ \ 2}-Другим возможным допущением может быть малость отношения масс Мч/М\. Так происходит, например, при рассмотрении системы спутник - Земля - Луна. Здесь є — МЇ/МІ — отношение масс Луны и Земли — равно примерно 1/81. Это сильно упрощает решение. Если не учитывать влияние Вч, то получается задача двух тел, которая имеет точные решения — кеплеровские орбиты. Для учёта вклада от приія-жения к Вг используются разные методы, например метод оскулирующих элементов (предложенный Лаіранжем). В нем строится зависимость элементов кенлеровых орбит (движения Во относительно В\) от времени. Эти методы хороши до тех пор, пока Во не приближается к Вч- Вблизи В2 притяжение к Вч становится сопоставимым с притяжением к В\, несмотря на малость отношения их масс. Для решения задачи в такой постановке используеіся следующий метод [5].
Такой метод расчёта траекторий предложен Лапласом [49] (применительно к движению естественных небесных тел). Этот метод принято называть методом игнорирования возмущений [18, 30]. Он дает хорошие приближенные результаты.
В XIX веке оіраниченную задачу трёх тел изучали Якоби [36], Хилл [43]. В XX исследование ограниченной задачи активно продолжалось. Можно отметить книгу В.И. Арнольда, В.В. Козлова и А.Н. Нейштадта [3]. Там не только исследуются задачи небесной механики, включая ограниченную задачу трёх тел, но и методы но шущений, их развитие и применение.
В [52] Пуанкаре ввёл понятие решений второго рода (second-species solutions), в которых при стремлении е = Мъ/Мх к нулю решение приближается к частям двух эллипсов, состыкованных в точке нахождения малого тела 1. В эпоху развития космических полётов задача исследования решений второго рода также продолжила свое развитие В работах Д. Кеворкяна, Ю. Ши и М. Экштейна [39, 53], Л. Перко [50, 51] и других авторов было построено асимптотическое разложение решений задач вплоть до степени 0(є2), были доказаны теоремы существования задачи поиска периодических решений и других задач. Кроме того, небольшой об юр этих задач содержится в [41].
В последние юды оіраииченная задача трёх тел исследуется в направлении изучения семейств периодических решений ([8, 38, 40, 42, 44] и др.). В реальных приложениях в космонавтике используется постановка задачи оптимального управления в задаче трех тел (см. напр. [21]).
В настоящей работе происходит в каком-то смысле углубление метода, предложенною Лапласом. Строится полное асимптотическое разложение решения в ряды но степеням є — отношения масс тел #2 и В\. При этом не только строится асимпгоіи-ческое разложение с точностью до любой степени ", но и доказывается существование точного решения начальной задачи, имеющего эту асимптотику. Полное асимптотическое разложение состоит из трёх частей. Первая часть {внешнее разложение) становится непригодной при приближении В0 к Б2. Вторая часть (внутреннее раз-лооїсение) справедлива в окрестности Б2. Наконец, третья часть (второе внешнее разлооїсепис) описывает движение BQ после облёта Вг.
В некоторых задачах при построении асимптотических решений возникают нарастающие степенные особенности. Такие задачи называются бисиигулярными. Их исследование является одним из важнейших направлений научной школы A.M. Ильи на Для решения бисингулярных задач используется метод согласования асимиготических разложений, сформулированный в монографии A.M. Ильина. [20].
