Содержание к диссертации
Введение
1 Методы группового анализа дифференциальных уравнений 19
2 Симметрийный анализ одномерного течения двухфазной среды 28
2.1 Ядро основных алгебр системы уравнений динамики двухфазной среды 29
2.2 Оптимальные системы подалгебр 37
2.3 Инвариантные и частично инвариантные решения 40
3 Подмодели и точные решения уравнений динамики двухфазной среды в трехмерном случае 47
3.1 Ядро основных алгебр Ли 47
3.2 Инвариантные подмодели ранга 3 51
3.3 Простые решения 58
3.4 Частично инвариантные решения 60
4 Приложения 74
4.1 Область гиперболичности системы уравнений 74
4.2 Мгновенные источники газа и частиц 80
5 Заключение 89
Список литературы
- Ядро основных алгебр системы уравнений динамики двухфазной среды
- Инвариантные и частично инвариантные решения
- Инвариантные подмодели ранга
- Область гиперболичности системы уравнений
Ядро основных алгебр системы уравнений динамики двухфазной среды
Предложенная программа имела своей основной целью как можно более полное использование свойств симметрии системы для ее качественного анализа. Основными задачами данной программы являются: групповая классификация, поиск основной алгебры Ли симметрии, нахождение оптимальной системы подалгебр алгебры Ли, построение подмоделей, поиск инвариантных и частично инвариантных решений, их качественный анализ. Реализация поставленной программы имеет как глубокие классификационные результаты [9,47,49,58,62,64,96,99,102], так и результаты, касающиеся понимания качественных особенностей различных движений газа [10,48,59,60,91,105,106]. Применением и развитием методов теории групп Ли в уравнениях математической физики посвящено большое количество работ различных авторов. В области динамики сплошной среды: дифференциально инвариантные подмодели, законы сохранения, построение и анализ точных решений рассматривались в работах СВ. Хабирова и Ю.А. Чиркунова [100,105], А.А. Че-ревко и А.П. Чупахина [103], А.А. Талышева [80,81], СВ. Головина [11,12], А.А. Чеснокова [104]. Исследование различных уравнений математической физики, теория групп Ли-Беклунда, построение законов сохранения и многие другие вопросы исследования дифференциальных уравнений методами группового анализа рассмотрены в работах Н.Х. Ибрагимова [21-23]. Использование двойственного подхода — поиска симметрии уравнений через дифференциальные формы — можно найти в работах Н.Н. Яненко, А.А. Талышева, СВ. Мелешко [74, 82, 127]. Групповой анализ интегро-дифференциальных, стохастических уравнений, уравнений с запаздыванием развивается в работах Ю.Н. Григорьева, Н.Х. Ибрагимова, В.Ф. Ковалева, СВ. Мелешко и соавторов [51, 121, 134]. Симметрии уравнений с дробными производными исследуются в работах Р.К. Газизова, А.А. Касаткина, СЮ. Лукащу-ка [7,8]. Групповому анализу конечно-разностных уравнений посвящены работы В.А. Дородницына [122]. Решение краевых задач с использованием ре-нормгрупповых симметрии осуществлялось в работах В.Ф. Ковалева [32,124]. В работах А.В. Жибера, И.Т. Хабибуллина и соавторов исследуются вопросы интегрируемости нелинейных уравнений методом характеристических колец Ли [15-17,101]. Применение дискретных и нелокальных симметрии для решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно найти в работах В.Ф. Зайцева [18,19]. Необходимо отметить также развитие методов теории групп Ли и глубокие результаты в гамильтоновой механике, дифференциальной геометрии и общей теории нелинейных уравнений в частных производных, полученные школами В.И. Арнольда, СП. Новикова, А.Т. Фоменко, A.M. Виноградова.
Среди зарубежных авторов, занимавшихся групповыми свойствами дифференциальных уравнений в частных производных, можно отметить работы основоположника теории S. Lie [125,126], а также ранние работы A.V. Backlund [114], P. Appell [113], Е. Cunningham [120], Е. Noether [129], R.D. Carmichael [118]. Большой вклад в развитие теории групп Ли и ее приложений к дифференциальным уравнения зарубежом внесли Е. Cartan [28,29], С.С. Cheval-ley [108], G. Birkhoff [115], G.W. Bluman и J.D. Cole [116,117], W.F. Ames [111], S. Steinberg [133], P.J. Olver [69], J.F. Pommaret [71], B.K. Harrison и F.B. Estabrook [123], R.L. Anderson [112].
Положения, выносимые на защиту
1. Найдено ядро основных алгебр Ли системы уравнений в частных производных, описывающей динамику смеси газа и частиц, в случае одной и трех пространственных переменных. Для случая одной пространственной переменной построена оптимальная система подалгебр алгебры Ли симметрии системы.
2. Найдены все инвариантные и частично инвариантные решения системы уравнений в одномерном случае, за исключением одной подмодели, существенным образом зависящей от спецификации функции давления. 3. В случае трех пространственных переменных выведены все инвариантные подмодели ранга 3, перечислены все инвариантные решения ранга нуль. Также получены частично инвариантные подмодели дефектов 1 и 2, найдены частично инвариантные решения ранга 1, дефекта 1 и ряд других точных решений системы уравнений в частных производных.
4. Исследованы качественные особенности движения двухфазной среды: некоторые из найденных решений описывают мгновенный источник или коллапс газа и частиц как на прямой, так и в пространстве. Показано, что в последнем случае размерность многообразия коллапса может быть О, 1 или 2. Изучена структура области гиперболичности на семействе решений системы.
Степень достоверности и апробация результатов. Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена математической строгостью методов исследования и корректным использованием математического аппарата, адекватностью рассматриваемых моделей.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Челябинского государственного университета, лаборатории волновых процессов в ультрадисперсных средах Института теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, на международных и всероссийских конференциях: «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна», Воронежский государственный университет, г. Воронеж, 2010 г., 2014 г.; «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», Институт вычислительных технологий СО РАН, Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, г. Новосибирск, 2011 г.; «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», Башкирский государственный университет, г. Уфа, 2012 г; «Нелинейные уравнения и комплексный анализ», Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН, оз. Банное, Башкортостан, 2013 г., 2014 г.; «Дифференциальные уравнения и их приложения», Белгородский государственный университет, г. Белгород, 2013 г.; «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск, 2013 г.; «Современный групповой анализ: MOGRAN-16», Уфимский государственный авиационный технический университет, г. Уфа, 2013 г.; «Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение», Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, г. Новосибирск, 2014 г.; «XII Забабахинские научные чтения», Российский Федеральный Ядерный Центр - Всероссийский научно-исследовательский институт технической физики им. Е. И. Забабахина, г. Снежинск, 2014 г.
Работа поддержана грантом №11-01-16013 Российского фонда фундаментальных исследований, грантом Фонда поддержки молодых учёных Челябинского государственного университета, программой «Академическая мобильность» Фонда Михаила Прохорова. Все результаты диссертации получены лично автором. В совместных работах с В.Е. Фёдоровым научному руководителю принадлежат постановка задачи и общее руководство.
Инвариантные и частично инвариантные решения
Видно, что уравнения (3.1.17)-(3.1.28) на функции U2)V2)W2 идентичны уравнениям (3.1.5)-(3.1.16) на функции /i, Vi, W\. Решим систему (3.1.5)-(3.1.16). Складывая первые уравнения в (3.1.5) и (3.1.13), получим 9t = х. Так же из вторых уравнений в (3.1.5) и (3.1.13) получим 9t = %, из третьих — $t = (z. Подставляя (3.1.6) и (3.1.18) в (3.1.14) и приводя подобные при p2,vhwh получим, что х = 0, tt = 0, уу = 0, zz = 0, ty = 0, tz = 0, ,yz = 0. Таким образом, функция есть многочлен первой степени от переменных /;,у, z. Функция в есть константа.
Далее, подставив (3.1.7) и (3.1.19) в (3.1.15), учитывая равенства 9t = г)у = 0 и приводя подобные при ui,Wi, получим Г)и = 0, T]zz = 0, Г]хх = 0, 7tz = 0, Щх = 0, 7]xz = 0. Таким образом, функция ц есть многочлен первой степени от переменных t,x,z. Так же, подставив (3.1.8) и (3.1.20) в (3.1.16), найдем, что ( есть многочлен первой степени от переменных t,x,y. Итак, получены выражения в = с, = (i\t + а у + a z + as, Ц = bit + b2x + 64 + &5? С = ci + c2 + Задавая в последних формулах для коэффициентов допускаемого векторного поля произвольные константы равными нулю, кроме одной, равной единице, получим требуемые векторные ПОЛЯ.
В работе Л.В. Овсянникова [58] была предложенна программа «Подмодели», направленная на максимальное использование свойств симметрии систем уравнений, с целью их решения и качественного исследования: постановки краевых задач, исследование траекторий, характеристик и т. д. Для нахождения всех существенно различных подмоделей необходима классификация всех подалгебр основной алгебры Ли с точностью до преобразований внутренних автоморфизмов, так как решения одной подмодели переводятся в решения другой, если подалгебры, соответствующие этим подмоделям, переводятся друг в друга внутренним автоморфизмом. Такие подалгебры будем называть подобными.
Алгебра Ли L\Q является алгеброй Ли группы Галилея. Оптимальная система подалгебр всех размерностей данной алгебры была найдена Л.В. Овсянниковым в работе [130], а позднее, как часть оптимальной системы большей алгебры, СВ. Хабировым [95]. В третьем столбце таблицы 2 приведена система всех одномерных неподобных подалгебр из работы [130]. Символ D во втором столбце означает декартову систему координат, а С — цилиндрическую. В двух последних столбцах таблицы вычислены инварианты соответствующих операторов.
Выпишем инвариантные подмодели системы (3.1.1)-(3.1.4) для оптимальной системы одномерных подалгебр. При этом номер подмодели будет соответствовать номеру подалгебры в таблице.
Относительно подалгебр размерности 4 можно искать решения ранга 0, дефекта 0. Данные решения были названы Л.В. Овсянниковым в работе [65] «простыми». Такие инвариантные подмодели сводятся к алгебраическим уравнениям, решения которых дают точные решения исходной системы дифференциальных уравнений. С использованием оптимальной системы четырехмерных подалгебр из работы [95] были найдены все простые решения системы уравнений двухфазной газодинамики.
Пусть /3 = 0. Случай Г2 = 0 ведет к г\ = 0 — это рассмотрено выше, либо к решению с условиями г\ Ф 0, V\ = 0. При Г2 т 0 уравнения на первые компоненты скорости дадут а\ = а2. Оставшиеся уравнения импульса влекут равенства V\ = V2 = 0. Таким образом, получено односкоростное одномерное движение среды.
В случае а = 0 получим частично инвариантую подмодель (1,1). При тех же обозначениях инвариантами можно взять: t: pi, p2l V\, V2l щ — u2l u2 — bW2, W\ — W2. При /3 = 0 инварианты будут иметь вид: t, pi, р2, V\, V2, щ, щ, W\ — W2. В двух последних случаях одна из функций, например W2, считается зависящей от всех переменных (t, ж, y,z): а все оставшиеся функции выражаются через W2 и искомые функции времени.
Рассмотрим подалгебру (Х2,Хз,аХ\ + 7,/3 + Хю). Рассмотрим случай инвариантной подмодели ранга 0, дефекта 0 (а 0), при а = 0 будет частично инвариантная подмодель ранга 1, дефекта 1. Решение ищется в виде р\ = П, р2 = г2, щ = аг + /3t, и2 = а2 + /3t, V\ = bhV2 = b2, Wi = ci + f, W2 = C2 + і где = x - It2, V2 = v2 + w\, Wx = arctg , V2 = v\ + w2, W2 = arctg —. Пусть /З Ф 0. При r2 = 0 получим r\ = 0, других ограничение в этом случае нет. При г2 ф 0 из уравнений на первые компоненты скорости следует Г\ = —Г2,(3 = аі а 2 ф 0, оставшиеся уравнения будут иметь решения только при Ъ\ = Ъ2 = 0.
Инвариантные подмодели ранга
Известно, что данная система является системой составного типа [39, 89]. При исследовании корректности задачи Коши оказывается существенным знание размеров области гиперболичности, так как при переходе из области гиперболичности в область составного типа необоходимо ставить новую начально-краевую задачу [39]. Условие гиперболичности системы имеет вид
Условие гиперболичности примет вид H{t) 0. Видно, что при любом выборе констант, присутствующих в выражении для Н, функция Н будет принимать отрицательные значения при достаточно малых временах. Таким образом, при фиксированных значениях констант область гиперболичности будет полосой {0 t th}, где th — время, до которого система имеет гиперболический тип: H{th) = 0.
Константа Сз в решении (2.3.2) не существенна, так как слагаемое с данной константой можно убрать допускаемым системой преобразованием сдвига по координате. Кроме того, в условие гиперболичности (4.1.1) Сз также не входит. Константа с существенна, она определяется начальной разностью скоростей и начальным моментом времени: с = ( 2( 0) — U\(to))toA(to), и может быть интерпретирована как приближенная величина перемещения частиц вещества по газу к моменту времени to- Безразмерная величина A(to) зависит от to экспоненциально: A{to) = с!с є ci т. Рассматриваемое решение имеет особенность в нулевой момент времени. Для постановки задачи Коши в момент времени t = 0 нужно осуществить допускаемое системой преобразование сдвига по времени на произвольную константу Ъ Є Ш. Область гиперболичности полученного решения также сдвинется влево (Ь 0) или вправо (Ь 0), в первом случае это может привести к сдвигу всей области гиперболичности в область отрицательных значений
Рассмотрим движение частиц песка в воздухе. Для этого зададим в момент времени t = to начальные данные рц = 1 кг/м (воздух), р22 = 2400 кг/м (частицы песка SiC ), rri2 = 10 3,ші = 1 — 77. Время релаксации примем равным т = 10 4 с, a to = JQ = Ю-5 с. Отсюда найдем с\ = p\to = pnrriito, С2 = P2h = PTi Hto- Скорость звука примем постоянной и равной а = 340 м/с.
Графики скоростей при различных значениях с будут меняться, однако, общий вид будет неизменен. На рис. 1 приведены характерные распределения скоростей первой и второй фазы, показан характерный вид области гиперболичности: вертикальная плоскость соответсвует значению времени t = th и отделяет область гиперболичности от области составного типа.
Рассмотрим зависимость размера области гиперболичности от начальной разности скоростей щ—Щ. Вычисления проводились в программе расчета двухфазных течений, написанной Д.А. Тропиным, и в среде Maple 15. Ито 77 ги записаны в табл. 3. В первой колонке записано значение параметра С4, во второй — приближенное значение начальной разности скоростей, в третьей — значения концов интервала (а, 6), рассчитанных в программе Д.А. Тропина, в котором лежит значение времени th- В четвертой колонке записаны результаты численного решения уравнения H{t) = 0 в среде Maple 15. Таблица 3.
Константу сз можно занулить сдвигом по ж. Система уравнений динамики газовзвеси не допускает растяжений в случае произвольного уравнения состояния, но при барохронных движениях появляется допускаемая группа однородных растяжений по координатам х,щ,и2: используя которую можно константу сі сделать равной 1. Данное решение описывает мгновенный источник газа и частиц на прямой, либо коллапс, если сдвинуть время на отрицательную константу. Существует много теоретических исследований коллапсов в однофазной газовой динамике (см., например, [46,65,77,97,106]). Экспериментальные исследования разлета вещества с образованием двухфазной среды проведены в работе [73].
Используя предельный переход при можно убедиться, что многообразием источника являются две точки xi(0) = -, 2(0) = -1. При t — +ос слагаемое с логарифмическим интегралом стремится к нулю, таким образом, траектории движения газа и частиц имеют наклонные асимптоты. Это согласуется с известным из газовой динамики фактом прямолинейного движения газа в барохронном случае. Данное решение также задает барохронное движение газовзвеси (Р = P(pi,p2))- Отклонение от прямолинейных траекторий связано с наличием сил межфазного взаимодействия, когда же t много больше времени релаксации, вклад данных сил становится мал и траектории стремятся к прямым линиям. Простым анализом функции а как функции аргумента = — 0 можно показать справедливость неравенств 0 OL{C\,C2) 1. Перебирая различные начальные значения x\tQ, X2t0, получим характерный вид мгновенного источника газа и частиц на прямой (см. рис. 4). Газ X\{t) по всем траекториям начинает двигаться влево. Далее происходит разделение. Существует траектория хщ = f-a, стремящаяся к прямой х = 0 (объём газа, движущийся вдоль данной кривой, останавливается). Газ, движущийся по траекториям с начальными значениями хщ —ск, продолжает двигаться влево. Другая часть газа, движущаяся по траекториям с Хщ —ск, разворачивается вправо. Газворот вправо происходит тем быстрей, чем больше значение хщ (величина характеризующая скорость движения вдоль кривой) у траектории. Для траекторий дисперсной фазы характер движения имеет подобный вид (пунктир на рисунке 4). Всю данную картину можно сдвигать по х на любую константу и масштабировать, меняя константу С4 растяжением по ж, щ: Щ- Применив сдвиг по времени на отрицательную константу, получим коллапс газа и частиц. Характер движения при этом не изменится, так как оно будет определяться теми же уравнениями для траекторий, сдвинутыми по времени на заданную константу.
Область гиперболичности системы уравнений
Известно, что данная система является системой составного типа [39, 89]. При исследовании корректности задачи Коши оказывается существенным знание размеров области гиперболичности, так как при переходе из области гиперболичности в область составного типа необоходимо ставить новую начально-краевую задачу [39]. Условие гиперболичности системы имеет вид [89]
Условие гиперболичности примет вид H{t) 0. Видно, что при любом выборе констант, присутствующих в выражении для Н, функция Н будет принимать отрицательные значения при достаточно малых временах. Таким образом, при фиксированных значениях констант область гиперболичности будет полосой {0 t th}, где th — время, до которого система имеет гиперболический тип: H{th) = 0.
Константа Сз в решении (2.3.2) не существенна, так как слагаемое с данной константой можно убрать допускаемым системой преобразованием сдвига по координате. Кроме того, в условие гиперболичности (4.1.1) Сз также не входит. Константа с существенна, она определяется начальной разностью скоростей и начальным моментом времени: с = ( 2( 0) — U\(to))toA(to), и может быть интерпретирована как приближенная величина перемещения частиц вещества по газу к моменту времени to- Безразмерная величина A(to) зависит от to экспоненциально: A{to) = с!с є ci т.
Рассматриваемое решение имеет особенность в нулевой момент времени. Для постановки задачи Коши в момент времени t = 0 нужно осуществить допускаемое системой преобразование сдвига по времени на произвольную константу Ъ Є Ш. Область гиперболичности полученного решения также сдвинется влево (Ь 0) или вправо (Ь 0), в первом случае это может привести к сдвигу всей области гиперболичности в область отрицательных значений Рис. 1. Распределения скоростей и область гиперболичности времени. Таким образом, для каждого набора констант Ci,C2,C4 необходимо делать сдвиги на соответствующие величины параметра 6, если есть необходимость в «положительной» области гиперболичности: th 0.
Рассмотрим движение частиц песка в воздухе. Для этого зададим в момент времени t = to начальные данные рц = 1 кг/м (воздух), р22 = 2400 кг/м (частицы песка SiC ), rri2 = 10 3,ші = 1 — 77. Время релаксации примем равным т = 10 4 с, a to = JQ = Ю-5 с. Отсюда найдем с\ = p\to = pnrriito, С2 = P2h = PTi Hto- Скорость звука примем постоянной и равной а = 340 м/с.
Графики скоростей при различных значениях с будут меняться, однако, общий вид будет неизменен. На рис. 1 приведены характерные распределения скоростей первой и второй фазы, показан характерный вид области гиперболичности: вертикальная плоскость соответсвует значению времени t = th и отделяет область гиперболичности от области составного типа.
Рассмотрим зависимость размера области гиперболичности от начальной разности скоростей щ—Щ. Вычисления проводились в программе расчета двухфазных течений, написанной Д.А. Тропиным, и в среде Maple 15. Ито 77 ги записаны в табл. 3. В первой колонке записано значение параметра С4, во второй — приближенное значение начальной разности скоростей, в третьей — значения концов интервала (а, 6), рассчитанных в программе Д.А. Тропина, в котором лежит значение времени th- В четвертой колонке записаны результаты численного решения уравнения H{t) = 0 в среде Maple 15. Таблица 3.
Константу сз можно занулить сдвигом по ж. Система уравнений динамики газовзвеси не допускает растяжений в случае произвольного уравнения состояния, но при барохронных движениях появляется допускаемая группа однородных растяжений по координатам х,щ,и2: используя которую можно константу сі сделать равной 1. Данное решение описывает мгновенный источник газа и частиц на прямой, либо коллапс, если сдвинуть время на отрицательную константу. Существует много теоретических исследований коллапсов в однофазной газовой динамике (см., например, [46,65,77,97,106]). Экспериментальные исследования разлета вещества с образованием двухфазной среды проведены в работе [73].
Используя предельный переход при —? О, можно убедиться, что многообразием источника являются две точки xi(0) = -, 2(0) = -1. При t — +ос слагаемое с логарифмическим интегралом стремится к нулю, таким образом, траектории движения газа и частиц имеют наклонные асимптоты. Это согласуется с известным из газовой динамики фактом прямолинейного движения газа в барохронном случае. Данное решение также задает барохронное движение газовзвеси (Р = P(pi,p2))- Отклонение от прямолинейных траекторий связано с наличием сил межфазного взаимодействия, когда же t много больше времени релаксации, вклад данных сил становится мал и траектории стремятся к прямым линиям. Простым анализом функции а как функции аргумента = — 0 можно показать справедливость неравенств 0 OL{C\,C2) 1. Перебирая различные начальные значения x\tQ, X2t0, получим характерный вид мгновенного источника газа и частиц на прямой (см. рис. 4). Газ X\{t) по всем траекториям начинает двигаться влево. Далее происходит разделение. Существует траектория хщ = f-a, стремящаяся к прямой х = 0 (объём газа, движущийся вдоль данной кривой, останавливается). Газ, движущийся по траекториям с начальными значениями хщ —ск, продолжает двигаться влево. Другая часть газа, движущаяся по траекториям с Хщ —ск, разворачивается вправо. Газворот вправо происходит тем быстрей, чем больше значение хщ (величина характеризующая скорость движения вдоль кривой) у траектории. Для траекторий дисперсной фазы характер движения имеет подобный вид (пунктир на рисунке 4). Всю данную картину можно сдвигать по х на любую константу и масштабировать, меняя константу С4 растяжением по ж, щ: Щ- Применив сдвиг по времени на отрицательную константу, получим коллапс газа и частиц. Характер движения при этом не изменится, так как оно будет определяться теми же уравнениями для траекторий, сдвинутыми по времени на заданную константу.
