Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Основные понятия группового анализа 14
1.1 Введение в непрерывные группы Ли 14
1.2 Точечная группа, допускаемая дифференциальными уравнениями. Использование точечных групп для исследования и решения дифференциальных уравнений 27
1.3 Высшие симметрии дифференциальных уравнений 33
1.4 Законы сохранения 41
1.5 Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных 45
Глава 2 Групповой анализ уравнений теории идеальной пластичности анизотропных материалов 48
2.1 Группа Ли - Беклунда и законы сохранения уравнений идеально пластической анизотропной среды 48
2.1.1 Основные уравнения и их линеаризация 48
2.1.2 Симметрии системы уравнений (2.5) 50
2.1.3 Классические симметрии системы уравнений (2.5) 50
2.1.4 Высшие симметрии системы уравнений (2.5) 53
2.1.5 Законы сохранения системы уравнений (2.5) 57
2.1.6 Симметрии исходной системы уравнений (2.1) 59
2.1.7 Законы сохранения для системы уравнений (2.1) 60
2.2 Групповая классификация уравнений, описывающих течение сжимаемой пластической среды 61
2.2.1. Основные уравнения, описывающие течение сжимаемой пластической среды 61
2.2.2 Групповая классификация системы уравнений (2.35) 62
2.2.3 Оптимальная система одномерных и двумерных подалгебр алгебры Ли (2.35) 63
2.2.4 Вид некоторых инвариантных решений системы уравнений (2.35) 64
2.3 Групповые свойства и точные решения уравнений двумерной анизотропной пластичности 66
2.3.1 Основные системы уравнений, описывающие течение анизотропной идеальной пластической среды 66
2.3.2 Групповые свойства системы уравнений (2,51) 68
2.3.3 Инвариантные решения системы уравнений (2.51) 70
2.3.4 Эволюция решений системы уравнений (2.51) 74
Глава 3 Численное решение задачи об определении теплового состояния стенки цилиндрической трубы при течении в ней высокотемпературного газа 80
3.1 Математическая постановка задачи и вывод уравнений 80
3.2 Численный алгоритм 90
3.3 Результаты расчетов 92
Заключение 98
Библиографический список
- Точечная группа, допускаемая дифференциальными уравнениями. Использование точечных групп для исследования и решения дифференциальных уравнений
- Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных
- Классические симметрии системы уравнений (2.5)
- Основные системы уравнений, описывающие течение анизотропной идеальной пластической среды
Введение к работе
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию дифференциальных уравнений механики сплошных сред аналитическими и численными методами.
Актуальность. До сегодняшнего времени все основные математические модели, описывающие механические процессы написаны на языке дифференциальных уравнений. Выведенные более сотни лет назад дифференциальные уравнения пластичности до сих пор не достаточно исследованы, хотя они описывают важнейшие технологические процессы: штамповку, прокат металла, ковку и т.п. Теория пластичности, которой посвящена большая часть этой работы, не исключение. Групповой анализ дифференциальных уравнений широко применяется в исследовании систем уравнений в частных производных. Исследованию систем дифференциальных уравнений теории идеальной пластичности для плоского случая групповыми методами посвящены работы Б.Д. Аннина, СИ. Сенашова, А.Н. Яхно, ГШ.Кирякова, основанные на фундаментальных работах Л.В. Овсянникова. А.М. Виноградова и др..
Точные решения изотропной и анизотропной теории пластичности построены в работах Р. Хилла, В. Прагера, Л. Прандтяя, Д.Д. Ивлева, А.Ю. Ишлннского, Б.Д. Аннина, Л.А. Толокоиникова, Н.М. Матченко, С.И.Сенашова и некоторых других.
Но любой новый результат, полученный для этих уравнений, по-новому позволяет взглянуть на оценку прочности конструкций, понять природу пластичности, улучшить технологические процессы. Все это характеризует актуальность работы.
Цель работы. Аналитическое исследование и численное решение систем дифференциальных уравнений механики сплошных сред
Методика исследования, В работе применяются методы группового анализа дифференциальных уравнений, а также методы численного анализа. Для
численной реализации методов использованы пакеты прикладных программ Maple и Mathcad. ' Научная новизна.
1. Найдена группа Ли-Беклунда и законы сохранения для системы
дифференциальных уравнений теории анизотропной пластичности при условии
предельного сопротивления отрыву;
-
Найдена группа непрерывных преобразований и построены новые точные решения системы дифференциальных уравнений сжимаемой пластической среды;
-
Найдена группа непрерывных преобразований, допускаемых системой дифференциальных уравнений анизотропной теории пластичности;
4. С помощью группы преобразований из точного решения уравнений
пластичности в анизотропном случае построены целые классы новых точных
решений, описывающие сжатие пластического слоя жесткими плитами;
5. Численно решена начально - краевая задача для уравнения теплопроводности
об определении теплового состояния стенок цилиндрической трубы при
течении в ней высокотемпературного газа.
Теоретическое н практическое значение. В работе построены новые точные решения, которые могут найти применение, как в теоретических, так и практических исследованиях. Эти решения можно использовать как тестовые при численных расчетах и в экспериментальных работах для определения параметров анизотропии, применимости моделей и теоретических допущений. Апробация. Осноаные результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: I В сес и бирс кий конгресс женщин-математиков, Красноярск, 2000; VIII Всероссийской научной конференции с международным участием «Решетневские чтения», посвященной памяти академика М.Ф. Решетнева. Красноярск, 2004; Всероссийская конференции «Информационные технологии и математическое моделирование-2005»; X Международной научной
конференции «Решетневские чтения», посвященной памяти академика М.Ф. Решетнева. Красноярск, 2006; II Всероссийская научно-практическая конференция творческой молодежи Красноярск, 2006; на семинарах Сибирского государственного аэрокосмического университета «Симметрии и законы сохранения дифференциальных уравнений» под руководством проф. СИ. Сенашова.
Публикации. Основное содержание диссертационной работы представлено в работах [1-8]. Из них 2 статьи опубликованы в научных изданиях из Перечня ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата. Структура н объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 79 наименований. Общий объем работы составляет 10S страниц.
Точечная группа, допускаемая дифференциальными уравнениями. Использование точечных групп для исследования и решения дифференциальных уравнений
Для группового анализа очень важна задача о перечислении всех различных подалгебр данной алгебры Ли Lr. К этой задаче, например, приводит задача описания существенно различных решений дифференциальных уравнений. Замечание. В теории алгебр Ли, где решаются подобные задачи, достигнуты замечательные результаты в перечислении неподобных подалгебр над полем комплексных чисел. Над полем действительных чисел, а именно этот случай нас интересует, достигнуты определенные результаты в описании подалгебр малой размерности. Из-за отсутствия общих результатов построение оптимальных подалгебр приходится делать практически для каждой конкретной системы дифференциальных уравнений, для которой построена алгебра Ли. Определение. Изоморфизм алгебры L на себя называется автоморфизмом.
Нетрудно видеть, что автоморфизмы образуют группу. Особую роль играет группа внутренних автоморфизмов, потому что она может быть описана в терминах исходной алгебры L. Каждый элемент а є Gr определяет внутренний автоморфизм fa: Ъ - аЪах группы Gn множество }а образует группу, которая часто обозначается IntGr. Всякому автоморфизму группы Gr соответствует некоторый автоморфизм алгебры Ли L„ следовательно, группе lntGr соответствует локальная группа Ли автоморфизмов алгебры Ли. Эта группа локально изоморфна группе lntGr, она называется группой внутренних автоморфизмов алгебры Lr или присоединенной группой группы Gr и обозначается G,A. Определение. Две подгруппы Я и И группы G,. сопряжены (подобны), если существует такой А є IntGr, что А(Н) = Я .
Группа разбивает все подгруппы группы G, на непересекающиеся семейства сопряженных подгрупп. Выбирая из каждого семейства по представителю, мы получим оптимальную систему подгрупп группы Gr. При конкретных вычислениях следует ограничиваться подгруппами определенной размерности, так появляются оптимальные системы s- мерных подалгебр. Так 0,- это система неподобных одномерных подгрупп, 02- двумерных и т.д. Соответствие между подгруппами группы Gr и подалгебрами соответствующей алгебры Ли Lr позволяет все свести к построению оптимальной системы подалгебр.
Присоединенная группа GfA изоморфна фактор-группе G,JZ, где Z - центр группы Gr. Для описания присоединенной группы следует построить касательный вектор к элементу aba l, a,b Gr. Для этого надо построить касательный вектор к произведению двух элементов аЪ, а,Ь є G,. Теорема 1.1. Пусть ц - векторы Ln соответствующие элементам а,Ь є Gr, тогда элементу аЪ соответствует вектор
Формула (1.27) дает образ элемента г/ под действием внутреннего автоморфизма, соответствующего вектору я Эта формула позволяет строить неподобные подалгебры в терминах алгебры Ли Lr без построения группы GA,-, а таюке используется в асимптотических методах и других вопросах группового анализа.
Поэтому для более полной характеризации оптимальных систем Л.В. Овсянников [42] предложил для каждой оптимальной системы подалгебр своеобразный паспорт, который позволяет сравнивать оптимальные системы, построенные разными авторами. Этот паспорт, в отличие от оптимальной системы, имеет инвариантный вид.
Определение. Система уравнений (1.33) инвариантна относительно группы G преобразований или допускает эту группу, если многообразие, заданное уравнениями (1.34), инвариантно относительно s-ro продолжения G группы G. S Пусть X — инфинитезимальный оператор группы G, тогда в соответствии с критерием инвариантности многообразия (1.34) относительно группы G s получаем (pJU„ = 0. (1.35) где X - продолжение порядка s оператора X.
Условия (1.35) служат для определения неизвестных координат ;(х,и) и т(х,и) оператора X, поэтому они называются определяющими уравнениями группы, допускаемой системой (1.33). Уравнения (1.35) представляют из себя систему линейных однородных уравнений относительно искомых координат 4(х,и) и л(х,и), поэтому векторы [ ,ті] образуют векторное пространство. Если X и Y — два решения уравнения (1.35), то и их коммутатор [X, Y] тоже является решением уравнения (1.35); это следует из геометрического смысла определяющих уравнений как условия инвариантности многообразия (1.34) и перестановочности операций умножения и продолжения операторов X, Y. Следовательно, множество всех решений определяющего уравнения (1.35) образует алгебру Ли. Соответствующая этой алгебре группа Ли представляет собой максимальную группу преобразований, допускаемую данной системой дифференциальных уравнений (1.33).
В уравнениях (1.35) все переменные х,и,р,р, р независимыми и связаны только условиями (1.34). Поскольку условие (1.35) должно выполняться тождественно по всем свободным переменным, ТО "ЭТО приводит к тому, что определяющие уравнения реализуются, обычно, как переопределенная система дифференциальных уравнений относительно искомых функций (х,и) и г(х,и).
Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных
Дифференциальные уравнения в частных производных имеют широїше приложения в математической физике, гидродинамике, задачах теплопроводности, теории упругости, акустике и других областях знаний. В большинстве своем такие уравнения в явном виде не решаются. Задачи для нелинейных уравнений с коэффициентами достаточно общего вида или даже линейные задачи, но в областях сложной формы, редко удается решить классическими методами. Основным способом решения таких задач являются численные методы. В отличие от аналитических методов, где зачастую для каждой задачи разрабатываются свои самостоятельные приемы решения, численные методы отличаются большой универсальностью и применимы для исследования широкого класса явлений. Среди них чаще всего применяют разностные методы опять же благодаря их универсальности и наличию хорошо разработанной теории, описанной, например, в работах [5, 20, 35, 49, 50]. На изложении теории численных методов здесь подробно останавливаться не будем, а лишь приведем некоторые общие понятия и положения.
Для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных применяется метод конечных разностей или метод сеток. Этот метод основан на замене производных, входящих в дифференциальное уравнение и краевых (граничных) условий, приближенными значениями, выраженными через разности (или другими алгебраическими комбинациями) значений функции в отдельных точках (узлах) сетки.
Сущность его состоит в том, что искомое решение дифференциального уравнения находится в виде таблицы значений решения в точках некоторого множества. Для вычисления таблицы используются алгебраические уравнения, приближенно заменяющие дифференциальное уравнение. Таким образом, в основе методов лежит сведение дифференциальной задачи к системе линейных алгебраических уравнений, которые потом решаются, например, методом прогонки [5,20, 50].
Численные методы наиболее разработаны для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными. Для решения многих практических задач необходимо рассматривать так называемые линейные уравнения в частных производных, т.е. дифференциальные уравнения первой степени относительно искомой функции и всех её производных и не содержащие их произведений.
Для решения задачи при помощи конечно-разностных методов необходимо построить такие разностные схемы, которые бы обеспечивали сходимость получаемого решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной при измельчении сетки. В теории разностных схем доказана теорема о том, что если разностная краевая задача аппроксимирует дифференциальную задачу и устойчива, то при измельчении сетки решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной. Из этого следует, что необходимо строить аппроксимирующие разностные схемы и выбирать среди них устойчивые.
Есть численные методы, близкие к разностным. В методе прямых сетка вводится только для части переменных, эти переменные рассматриваются как дискретные, а одна переменная (обычно время t) остается непрерывной. Производные по дискретным переменным заменяются разностями. При этом уравнение в частных производных аппроксимируется дифференциально-разностными уравнениями, которые представляют собой систему большого числа обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод прямых оказывается в некоторых случаях удобным.
Для некоторых важных классов задач развиты специальные численные методы, обычно основанные на каких-либо грубых физических моделях процессов. Так, для задач многомерной газодинамики разработан метод частиц в ячейке; для задач разреженной плазмы предложен метод «водяного мешка» и ряд других; в задачах переноса нейтронов комбинируют разностный метод с разложением угловой части функции распределения частиц по сферическим гармоникам и т. д.
Численные методы позволяют решить сложнейшие задачи для систем многомерных уравнений. Однако для сложных задач численные методы очень трудоемки и рассчитаны на использование для их реализации компьютеров.
Поэтому численные методы целесообразно использовать в сочетании с аналитическими методами. Например, ищут такие упрощенные постановки задачи или частные случаи, когда можно найти точные или автомодельные решения и преобразования подобия. В тоже время, точные решения широко используются для тестирования численных методов.
Классические симметрии системы уравнений (2.5)
Следует отметить, что существует несколько подходов при решении задачи фильтрационного горения пористой среды. Одним из наиболее широко применяемых является двухтемпературная модель с химическими реакциями [23, 24]. При этом предполагается, что каждая фаза (газовая и твердый "каркас") обладает своей температурой (Tg Tk), между которыми происходит тепломассообмен, причем во многих работах [4, 24] скорость газовой фазы полагается известной величиной. Характерно, что при исследовании фильтрационного горения обычно выделяются два режима: режим высоких скоростей (РВС) и режим низких скоростей (РНС) и указывается в качестве главного механизма прогорания ТЗП режим низких скоростей.
В случае воздействия высокотемпературного газового потока на ТЗП задача становится намного сложнее в связи с возникающими физико-химическими реакциями на внутренней стенке трубы. Как указывается в работе [46], начиная примерно с температур более 300С, разложение ТЗП сопровождается поглощением тепла и при этом образуется значительное количество газообразных продуктов разложения, соответственно формируется пористая среда и внутренняя поверхность становится изрытой.
Наиболее отвечающей физике процесса, является математическая модель пиролиза ТЗП, предложенная в работе [11]. Данная модель построена в предположении о двухстадийности химической реакции процесса пиролиза, причем одна из стадий эндотермическая, а другая экзотермическая. Энергия активации эндотермического процесса деструкции и экзотермического процесса структирования одинакова и каждая из стадий подчиняется закону Аррениуса, тогда двухстадийный процесс формально записывается одной химической реакцией, тепловой эффект которой меняет знак и величину после достижения определенной температуры Т,, названной температурой перехода. Предложенная математическая модель реализована численно с применением разностных схем.
Результаты этих расчетов показывают, что процесс имеет две характерные стадии. Первая отличается прогревом материала и пиролиз не оказывает существенного влияния на фильтрацию газов в порах. На этой стадии под действием теплового потока с левой (нагреваемой) области потока происходит расширение газов в порах, образуется максимум давления в зоне прогрева, и газ начинает растекаться в обе стороны. На второй стадии (при условии дальнейшего роста температуры) химическая реакция продолжается и увеличивается выделение газов, которые вытекают к границе нагрева (правая граница области полагается непроницаемой). Авторы также делают вывод о малости влияния переноса энергии конвекцией на первой стадии вплоть до перехода 20% исходного материала в газообразные.
К рассматриваемой ниже математической модели наиболее близки модели, предложенные в работах [1, 34, 45, 66]. В работах [45, 66] в основу математической модели положена гипотеза о существовании интервала температур, в котором происходит разрушение ТЗП, и о линейном характере изменения плотности материала в зависимости от температуры в интервале разрушения. В работах [45, 65] уравнение энергии выписано для случая плоской стенки с движущей с постоянной скоростью границей разрушения и приведено решение этого уравнения при упрощенных граничных условиях.
Обугливание и горение древесной плиты под воздействием потока тепла, создаваемого пламенем, исследовано в работах [1, 34]. В первой из них в предположении о линейном характере распределения температуры в зонах обугливания и разрушения получены интегральные характеристики - время стойкости и время сопротивляемости огню древесной плиты. Во второй работе [1] задача решается численно и в ней принят закон Аррениуса вида: зі Pw-pe \ RTJ где рс и pw - плотность древесины в исходном и обуглившемся состоянии соответственно; R - универсальная газовая постоянная; параметры а и Е характеризуют химическую кинетику реакции разложения. Предложенная модель авторами реализована численно с применением неявной разностной схемы Кранка-Никольсона. В работе [1] подчеркивается, что более значительную роль при определении времени стойкости материала воздействию пламени огня играет температура разложения древесины, чем кинетика пиролиза.
Основная цель здесь состоит . в исследовании численным методом влияния высокотемпературного газового потока на ТЗП внутренней стенки цилиндрической трубы на основе математической модели, включающей уравнения баланса энергии и массы ТЗП, выписанные при следующих предположениях: разрушение ТЗП происходит в известном интервале температур Те [т„,Тй2], причем
Основные системы уравнений, описывающие течение анизотропной идеальной пластической среды
Нижеприведенные расчеты были выполнены со следующими значениями физических параметров: (Ро-Р2 Рз) = (600,1750,7800), (\,Х2ЛЪ) = (0,450;0,472;23,3), (с0,с2,с3) = (860,880,500), Т0=3000К, Т, =750К, ДТ,=100К, Т3 - 1000К, ср = 10000, L = 210000, В„, =0,035, М0 = 0.575ПО"3, р,=1яш; ps-0,25; є3=0,6; SH=0,6; us=100. Здесь и далее индексы: «S» - стенка внутренняя, «SH» - стенка наружная.
Шаги разностной сетки были выбраны на основе численных экспериментов, которые были выполнены исходя из соображений необходимой точности. Наиболее приемлемыми оказались шаги с N =51, N2=ll, N3=ll, а по времени т- 2сек. Координаты участков были взяты следующие: Го=0,5; Гг-0,52; г3=0,53; г4=0,55; т.е. толщина участка ТЗП 1=2см; металла 12=1см и внешнего ТЗП13 = 2см.
При отладке программы проводились сравнения с инвариантными решениями уравнения (3.13), построенными в предыдущем параграфе. Они показали хорошее соответствие. — T На рис. 15 представлены безразмерные профили температур Т = —- в различные моменты времени для всех трех случаев: а) выгорание стенки, состоящей только из ТЗП, б) выгорание стенки, ограниченной металлической оболочкой, в) стенка состоит из ТЗП, металла и ТЗП.
Все расчеты были выполнены при условии полного выгорания внутреннего ТЗП. Как видно, из рис. 15, проникновение тепла наиболее быстро происходит в случае «в». Физически это можно объяснить тем, что при наличии металлической оболочки газообразные продукты пиролиза не выходят за пределы ТЗП и свою очередь способствуют дальнейшему повышению температуры. Процесс выгорания ТЗП еще более ускоряется, если стенка имеет внешнее теплозащитное покрытие (рис.15 «в», где г = —-, \-ц- 1 исходная толщина ТЗП). Об этом наглядно свидетельствует изменение во времени координаты левой границы г0 =-—-, а также г, = L" и d = ——— - ширина зоны деструкции. Время полного выгорания для трех случаев составляет: ta=0,92; t6 =0,8745; tB =0,8285, где t = , 10 =г2 -г0.
Изменение температуры оказывает существенное влияние на распределения плотности во времени. Об этом наглядно свидетельствуют кривые, представленные на рис.16.
График изменения левой границы во времени (кривая 70 рис.17) показывает, что на начальном этапе, пока идет нагрев стенки она практически не меняется, а затем, процесс уноса остатков горения ускоряется и выходит на режим, протекающий с постоянной скоростью горения ТЗП. Ширина зоны разрушения ТЗП в зависимости от времени, как видно из данного рисунка в начальные моменты времени расчет достаточно быстро, затем, - почти с постоянной скоростью вплоть до достижения максимального значения, происходящего при Г = - - (t к - время полного выгорания ТЗП). Этот максимум держится примерно до t = - -, а затем ширина зоны разрушения начинает уменьшаться до предельного значения. Очевидно, что уменьшения величины d при t — связано в первую очередь с уменьшением толщины всего ТЗП. Это наглядно видно по графику изменения координаты г., которая достигает своего максимального значения с некоторым опозданием во времени, чем кривая d. Для практики представляет интерес изменение массового расхода газообразных продуктов пиролиза (см. рис.18): Р M-JJr- df. оо at На этом же рисунке приведены кривые, характеризующие изменения температуры на внутренней - Ts и наружных стенках -ТЕн трубы. Изменение энтальпии ТЗП 00 1 в зависимости от времени представлено на рис. 19. Различие характеров процесса, протекающих в трех различных трубах («а», «б», «в»), особенно наглядно видно из графиков, представленных на рис. 20 и рис. 21.
Первый из этих примеров будет очевидно иметь физическую основу, если, например, стенка трубы есть любой материал, разрушающийся под воздействием огня. Им может быть, например, гипс, дерево.
Прежде чем провести серийные расчет с целью проверки точности математической модели и численного алгоритма, была решена задача о горении древесной плиты с теплофизическими параметрами, приведенными в работе [34]. Все необходимые данные для расчета здесь приведены кроме R -универсальной газовой постоянной. В расчетах было принято К=8,314дж/(к-моль), Т =325С и ДТ =75С. Несмотря на различие моделей совпадение результатов достигает нескольких процентов. Объяснить, очевидно, это можно тем, что в физическом процессе, кроме теплового воздействия, наиболее значительную роль играет процесс конвективного переноса продуктов пиролиза, зависящего от локального изменения по времени плотности материала. В работе [34] авторами применяется для экспоненциальная зависимость от температуры, здесь - полином третьей степени. При решении задачи применительно к горению древесной плиты левая граница считалась неподвижной, т.е. UT=0. При движущейся границе, т.е. когда остатки горения уносятся вместе с газовым потоком, наиболее трудным является определение ит скорости уноса остатков горения. Для определения скорости уноса остатков горения была взята формула вида [46], т.е. до момента появления зоны с остатками горения считается, что унос отсутствует:
