Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию разрешимости задачи Коши для нестационарных операторных уравнений первого порядка с подчиненными операторами в сепарабельном гильбертовом пространстве, а также разработке и обоснованию приближенных методов решения указанных уравнений на основе проекционных и сеточных методов. При специальном выборе проекционных подпространств доказаны теоремы о разрешимости аппроксимаци- онных уравнений, исследована зависимость асимптотических оценок скорости сходимости рассматриваемых приближенных методов от порядка подчинения дополнительных членов главному оператору уравнения. Предлагаемые приближенные методы позволяют провести качественный анализ решений исследуемых уравнений. Из полученных оценок погрешности следует, что построенные приближенные решения дают достаточно полное представление о поведении точного решения. Развитая в ^иссбртОііі^ии теория для абстрактных дифференциально-операторных уравнений дала возможность установить теоремы существования и получить новые оценки скорости сходимости проекционных и проекционно-разностных методов решения начально-краевых задач для линейных и квазилинейных нестационарных уравнений в цилиндре и в областях с подвижной границей. В частности, разработанная методика использована при исследовании начально-краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений, описывающих движение бароклинной жидкости, уравнений тепловой конвекции, двумерной системы уравнений Бюргерса.
Актуальность темы. Одним из важных направлений современной математики является исследование операторных уравнений. Здесь мы имеем ряд обстоятельных монографий и обзоров, среди которых отметим книги Ф.Е. Браудера (1966), Ж.-Л. Лионса (1972), X. Гаевского, К. Грёгера и К. Захариа- са (1978), М.М. Вайнберга (1972), С.Г. Крейна (1967), И.О. Fattorini (1983), Е. Zeidler (1990), а также обзоры Ю.А. Дубинского (1990), И.В. Скрыпника (1976), Р.И. Качуровского (1968). Операторный подход позволяет исследовать довольно широкий класс уравнений. Различные виды уравнений, такие как линейные и нелинейные дифференциальные уравнения, интегральные, интег- ро-дифференциальные и функциональные уравнения можно трактовать как абстрактные операторные уравнения и применять к ним методы функционального анализа и теории операторов, которые позволяют эффективно исследовать не только вопросы существования и единственности, но и алгоритмы нахождения приближенных решений.
Начало теории дифференциально-операторных уравнений в банаховом пространстве положено в работах Э. Хилле и К. Носили, в которых получены первые теоремы существования решения задачи Копій с автономным линейным неограниченным оператором в терминах теории полугрупп операторов. В дальнейшем Т. Като развил теорию полугрупп для установления существования решения задачи Коши с переменным линейным неограниченным оператором. Интенсивные исследования по изучению задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений проводятся Воронежской математической школой. Основные результаты этих исследований представлены в монографии С.Г. Крейна. Слабые решения дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах изучались в работах О.А. Ладыженской, М.И. Вишика, Ж.-Л. Лионса и других авторов. Однако вопрос о разрешимости задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений в функциональных пространствах, являющихся аналогом пространств Соболева Wpbm,m (Q), остается открытым.
Важными методами исследования и приближенного решения краевых заДЛЯ ЛИН6ИНЫХ її ІЇ(3«/ЇІЇІЇ(ЗІЇІЇІзІ-]К^ обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, различных задач механики и т.д. являются методы, которые принято называть проекционными и проекционно- сеточными. Эти методы восходят к известным исследованиям И.Г. Бубнова, Б.Г. Галёркина, В. Ритца, Н.Н. Боголюбова, Н.М. Крылова, М.Б. Келдыша, Г.И. Петрова, Л.В. Канторовича и других авторов.
Общие положения теории проекционных методов изложены, в частности, В К H И TcLX С.Г. Михлина (1970, 1983), М.А. Красносельского, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкого, В.Я. Стеценко (1969), М.А. Красносельского, П.П. Забрейко (1975), Г.И. Марчука, В.И. Агошкова (1981), Г.М. Вайникко (1976), X. Раевского, К. Ррёгера, К. Захариуса (1978), Ж-П. Обэна (1977), Р. Варги (1974), R. Glowinski (1984), V. Thomee (2006), К. Флетчера (1988), В.В. Шайдурова (1989), М. Chen, Z. Chen, G. Chen (1997).
Для нестационарных уравнений метод Галёркина был обобщен С. Фаэдо, и в дальнейшем этот метод стал называться методом Фаэдо-Галёркина.
Как процесс доказательства существования решения, метод Фаэдо-Галёр- кина использовался в работах М.И. Вишика, О.А. Ладыженской, Ю.А. Дубі пісного и многих других авторов.
Метод Фаэдо-Галёркина как численный метод для нестационарных уравнений изучался в работах Г.М. Вайникко, П.Э. Оя, П.Е. Соболевского М.А. Велиева, А.Г. Зарубина, В.Р. Кардашова, С.В. Поборчего, В.В. Смагина, и других авторов.
Для нестационарных уравнений построение дискретизации по временной переменной было начато Е. Ротэ в работе, в которой исследования дискретизации по времени для абстрактной задачи Копій применялись к параболическим уравнениям в частных производных. Первой теоремой о сходимости конечно-разностного метода для решения линейного эволюционного уравнения в банаховом пространстве была теорема П.Д. Лакеи. Значительные результаты в этой области получены Г.И. Марчуком, В.В. Шайдуровым, А.А. Самарским, А.В. Гул иным. Р.Д. «Назаровым, В.Jl. Макаровым, Р.С. Варгой. Определенный вклад в развитие разностных методов решения абстрактных параболических уравнений внесли П.Е. Соболевский, Jl.И. Якут, Н.Н. Ионкин, Ю.И. Мокин, Д.А. Исмайлов, А.Д. Ляшко, П.П. Матус, П.Н. Вабищевич и многие другие ученые.
При решении нестационарных операторных уравнений разностный метод применяется для аппроксимации решения лишь по временной переменной, а приближение по пространственным переменным часто осуществляется проекционным методом. Такую аппроксимацию называют проекционно-разност- ным методом.
Л.В. Канторович в своей широко известной работе указал на ряд проблем, возникающих в теории приближенных методов, а именно: установление сходимости алгоритма, исследование скорости сходимости, получение эффективных оценок погрешности. Решению этих проблем посвящено достаточно большое количество работ. Однако, несмотря на полученные многочисленные результаты, эта область исследований все еще далека от своего завершения.
При нахождении асимптотических оценок погрешности для проекционных методов особое внимание уделяется выбору базисных функций, от свойств которых зависит скорость сходимости приближенных решений к точному решению. В работе П.Е. Соболевского предложено в качестве базисных функций выбирать собственные функции сходного оператора, независящего от времени и образующего с оператором исследуемого уравнения острый угол. Идея этой работы была использована А.Г. Зарубиным для исследования нестационарного операторного уравнения с подчиненными операторами, который установил оценки погрешности для разности приближенных решений и проекции точного решения на подпространства базисных функций.
Большой цикл работ посвящен различным проекционным и проекционно- разностным методам решения дифференциально-операторных уравнений первого порядка в случае произвольного базиса, например, работы Г.М. Вайник- ко, П.Э. Оя, А.Д. Ляшко, Е.М. Федотова, В.В. Смагина. В работах указанных авторов вводится понятие слабого решения, причем главный оператор A(t) уравнения порождается симметричной дифференцируемой билинейной формой, определенной в некотором банаховом пространстве V. При определенных условиях гладкости входных данных и оператора A(t), действующего из V в сопряженное пространство, получены оценки скорости сходимости приближенных решении к слабому решению.
Исследование зависимости асимптотических оценок скорости сходимости приближенных решений к точному от выбора системы базисных элементов, свойств параметров уравнения и его решения является довольно трудной задачей, которая в общем случае не решена до сих пор. Некоторые частные результаты для обыкновенных дифференциальных уравнений получены Н.М. Крыловым, А.Ю. Лучка, для стационарных операторных уравнений - Г.М. Вайникко, М.Л. Горбачуком, А.В. Джишкариани, для эволюционного уравнения второго порядка - С.Е. Железовским. В диссертации указанная задача решается в том случае, когда в качестве базиса выбираются собственные элементы самосопряженного, положительно определенного оператора, сходного с главным оператором уравнения и образующего с ним острый угол. В отличие от работ, в которых рассматривается обобщенное решение ЗОїДОіЧИ Коши для дифференциально-операторных уравнений, здесь возмущающий оператор может быть подчинен главному оператору уравнения с порядком, большим 2.
Известно, что многие классы краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений (в частности начально-краевые задачи в нецилиндрических областях) можно трактовать как абстрактные операторные
уравнения в гильбертовых пространствах. Если разработаны M6TОДЫ р6TTT6HIfTя операторных уравнений, то их можно перенести на решение указанных задач.
Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа в областях с границей, меняющейся со временем, возникают во многих задачах естествознания, например, в проблемах атомной энергетики и безопасности атомных реакторов; при изучении процесса горения в ракетных двигателях; при использовании электрических разрядов, явления электрического взрыва проводников и т.д.
Обзор аналитических методов решения начально-краевых задач для линейного уравнения нестационарной теплопроводности в некоторых областях, меняющихся во времени, приведен в работе Э.М. Карташова. Однако, как известно, уравнения в нецилиндрических областях точно решаются лишь в рсдт^ких честных случаях. Поэтому актуальной задачей является разработка и теоретическое обоснование приближенных IviCTOrZitOB р ст тт сн и я таких задт^ач.
Для решения указанных задач часто используют наиболее распространенный вариант метода Галёркина - метод конечных элементов. Для задач в нецилиндрических областях одним из основоположников этого метода был Ж. Т. О ден. В большинстве работ для проекционных методов устанавливаются оценки скорости сходимости приближенных решений к слабому решению. С точки зрения обоснования метода Галёркина интерес представляет установление сходимости и получение оценок скорости сходимости в сильных нормах, на которых определен главный (эллиптический) оператор уравнения.
В связи с вышеизложенным представляются актуальными установление теорем существования и единственности сильных решений нестационарных задач первого порядка, разработка проекционных и проекционно-разностных методов, которая позволила бы конструировать и обосновывать вычислительные алгоритмы для широких классов задач с удобными главными членами и подчиненными им дополнительными членами уравнений.
В диссертации развивается единый подход к решению указанных проблем, основанный на взаимосвязи подчиненного и главного операторов уравнения, а также на дифференциальных свойствах операторов и входных данных.
Цель работы. Комплексно исследовать задачу i\onin для ..пшенных и нелинейных дифференциально-операторных уравнений первого порядка с
главным самосопряженным оператором и подчиненным ему несамосопряженным оператором в сепарабельном гильбертовом пространстве. А именно:
доказать теоремы существования и единственности решения задачи Копій в функциональных пространствах, являющихся аналогами пространства Соболева W2bmm(Q);
на основе проекционных и проекционно-разностных методов построить аппроксимационные уравнения и исследовать их разрешимость;
установить сходимость приближенных решений к точному решению в сильных нормах;
исследовать скорость сходимости приближенных решений и их производ-
установить зависимость асимптотических оценок погрешности от порядка подчинённости дополнительных членов главному оператору уравнения в равномерной по временной переменной топологии;
полученные абстрактные теоремы применить к различным математическим моделям, возникающим в задачах естествознания.
Методы исследования. В диссертации используются методы линейного и нелинейного функционального анализа, теория операторов в гильбертовом пространстве, теория пространств С.Jl. Соболева, проекционные и разностные методы построения приближенных решений.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
-
-
Доказаны теоремы существования и единственности сильных решений задачи Коши для абстрактных нестационарных уравнений первого порядка и для соответствующих аппроксимационных задач.
-
Для линейных и квазилинейных дифференциально-операторных уравнений первого порядка получены теоремы о сходимости приближенных решений, построенных по методу Фаэдо-Галёркина, в сильных нормах.
-
В зависимости от порядка подчинённости получены оценки скорости сходимости приближенных решений, построенных по методу Фаэдо-Галёркина, к точному решению в равномерной по времени топологии. Разработана общая методика получения оценок скорости сходимости для производных по времени и дробных степеней главного оператора.
-
Исследованы проекционно-разностные методы для линейных и квазили- неиных дифференциально-операторных уравнений на основе трехслойных и двухслойных схем. Установлены оценки погрешности рассматриваемых апп- роксимационных схем в зависимости от порядка подчинения дополнительных членов главному оператору уравнения, шага временной сетки и размерности аппроксимационных подпространств.
-
Применение установленных абстрактных теорем позволило получить новые теоремы о разрешимости начально-краевых задач для линейных и нелинейных параболических уравнений, интегро-дифференциальных уравнений в цилиндрических и нецилиндрических областях, а также новые оценки скорости сходимости соответствующих проекционных и проекционно-разностных методов.
-
Исследованы проекционный и проекционно-разностный методы для уравнений нестационарной тепловой конвекции. Получены оценки скорости сходимости приближенных решений и их производных по времени и пространственным переменным.
-
Исследована начально-краевая задача для двумерных уравнений Бюргер- са в нецилиндрической области. Доказана теорема об однозначной разрешимости в пространстве Гёльдера. Для метода Ротэ установлены оценки скорости сходимости приближенных решений и их градиентов.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при дальнейшем развитии теории дифференциально-операторных уравнений в гильбертовом пространстве. Кроме того, результаты работы могут иметь применения при исследовании широкого класса линейных и квазили- НбИНТЫХ Д^ИС|эс|э(Зр(ЗНЦИ^ЛВНТЬ1Х И ИНТЄГрО-ДиффєрЄНЦИШТЬНЬІХ ур^ВНеНИЙ В Ч8.СТ- H ых п р ОИ 3 в одн ых.
Апробация работы. Доклады, основанные на результатах диссертации, сделаны на Дальневосточной математической школе-семинаре им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2002, 2003, 2006, 2007, 2008, 2010, Хабаровск 2005, 2009), на международной конференции "Байкальские чтения II по моделированию процессов в синергетических системах" (Улан-Удэ - Томск, 2002), на международной конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений"(Воронеж, 2003), на 4-й международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 2004), на Всероссийской Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2005), на б,7-й Всероссийской научно-технической конференции "Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий" (Улан-Удэ, 2005, 2006),
Всероссийской Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы "(Воронеж, 2007). на четвертой Всероссийской научной конференции с международным участие "Математическое моделирование и краевые задачи "(Самара, 2007), на Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2007 (Новосибирск, 2007), на международной конференции "Fifth International Conference of Applied Mathematics and Computing"(Plovdiv, Bulgaria, 2008), на 3-й Международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж, 2009), на всероссийской конференции, приуроченной к 80-летию академика С.К. Годунова "Математика в приложениях"(Новосибирск, 2009), на международной конференции "International Conference of Mathematical Sciences"(Istanbul, Turkey, 2009), на 17 международной конференции "Математика. Компьютер. Образование"(Дубна, 2010), на семинаре ВЦ ДВО РАН под руководством чл.-корр. РАН С ми піни С.И., на семинаре под руководством чл.-корр. РАН Дубинина В.Н. в ИПМ ДВО РАН, на семинаре под руководством профессора Демиденко Г.В. в ИМ СО РАН, на семинаре по дифференциальным уравнениям в ТОГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 44 работы, ИЗ них ю российских журналах, рекомендованных ВАК, 4 - в зарубежных журналах, рекомендованных ВАК. Список основных публикаций приведен в конце автореферата. Часть работ выполнена в соавторстве. В работе [2] автору принадлежат лемма 1.2, теорема 2.2, в работе [6] - теорема 1 и результаты третьего параграфа, в работе [12] - лемма 2, теорема 1 и результаты четвертого параграфа, в
работе [13] результаты первого параграфа, в работе [14] - теоремы 3.1, 3.2, в работе [27] - теоремы 2.1, 2.2, 2.3, вклад автора в работах [5], [15], [22], [35], [38] одинаков с вкладом соавтора.
Структура диссертации. Диссертация изложена на 268 страницах, сосТОИТ ИЗ ВВ6Д6НИЯ«і ЧбТЫрбХ ГЛЕБ
разбитых на параграфы, и списка литературы из 228 наименований.
Похожие диссертации на Исследование дифференциальных уравнений с подчиненными операторами и приближенные методы их решения
-
