Содержание к диссертации
Введение
1. Основные функциональные пространства
1.1. Необходимые сведения из функционального анализа 11
1.2. Определение функциональных пространств 14
1.3. Эволюционные уравнения в гильбертовых пространствах 28
2. Оценки скалярных поизведений векторных полей
2.1. Представления вектор-функций в звездных областях 34
2.2. Основные неравенства 41
2.3. Следствия оценок при р = 2 46
3. Краевые задачи для стационарной системы уравнений максвелла
3.1. Постановка задач 50
3.2. Существование и свойства решений 62
4. Асимптотический анализ решений системы уравнений максвелла при малых значениях коэффициентов в подобластях
4.1. Метод слабой проводимости 74
4.2. Двумерные краевые задачи 83
4.3. Краевые задачи для эллиптического уравнения дивергентного вида 95
5. Некоторые нестационарные задачи для системы уравнений максвелла
5.1. Разрешимость начально-краевых задач и свойства решений 108
5.2. Изучение соответствующих задач с использованием векторного и скалярного потенциалов 125
Заключение 144
Список литературы 145
- Эволюционные уравнения в гильбертовых пространствах
- Существование и свойства решений
- Краевые задачи для эллиптического уравнения дивергентного вида
- Изучение соответствующих задач с использованием векторного и скалярного потенциалов
Введение к работе
Системы дифференциальных уравнений в частных производных, содержащие дифференциальные операторы векторного анализа (rot, div, grad), находят применение в различных разделах фундаментальной и прикладной науки, например, в гидродинамике, электродинамике сплошных сред ([64], [65], [66], [75], [105], [ПО], [120], [139], [149]). Эллиптические уравнения дивергентного вида и соответствующие им параболические и гиперболические уравнения описывают стационарные и нестационарные процессы теории теплопроводности, диффузии частиц, волновые явления.
Большинство имеющих практический интерес задач допускают лишь приближенное решение с применением вычислительной техники. При разработке, обосновании и анализе алгоритмов численного решения этих задач, изучении вопросов оптимального управления распределенными системами, важную роль играет теоретическое исследование корректности соответствующих начально-краевых и краевых задач. ([1] -[4], [24], [31], [35], [37], [67], [86], [98], [115]-П17], [119], [122], [135], [141], [143], [151], [159] [164], [174], [180]).
При изучении вопросов корректности постановок различных задач, построения численных схем и их обоснования, при исследовании задач оптимизации, важную роль играют свойства классов функций, в которых рассматриваются проблемы разрешимости.
Задачам исследования функциональных классов, связанных с дифференциальными операциями векторного анализа посвящены работы Г. Вейля [19], Э. Б Быховского, Н. В. Смирнова ([17], [18]), С. Г. Крейна ([62]), CJL Соболева [127], Р. Темама ([138]). Развитие идей, заложенных в [19] и применение полученных результатов к изучению различных математических задач гидродинамики, начатое трудами J. Leray ([170]-[172]), продолжилось в работах J. Heywood, [166], [167], О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова, А. А. Киселева ([56], [71], [76], [131]) В. Н. Масленниковой, А. А. Дезина, М. Е. Боговского, М. А. Тимошина ([16], [87] - [91]), А. Т. Плотницкого [109], Ю. А. Дубинского ([32], [33]).
Важнейшую роль при изучении корректности обобщенных формулировок краевых и начально-краевых задач играют различные неравенства, такие, как неравенства Фрид-рихса, Пуанкаре, Корна (неравенства такого типа часто в литературе называются неравенствами Корна).
В задачах гидродинамики и электродинамики однородных сред используется неравенство, связывающее норму вектор-функции, касательная или нормальная составляющая которой на границе области равна нулю, норм ее ротора и дивергенции в пространстве
где положительная величина С зависит только от характеристик области.
В работах [17], [18] эта оценка установлена для соленоидальных функций с использованием свойств интеграла типа потенциала, в [109], [138] она доказана на основе полученного в [34] неравенства, связывающего нормы функции, ее ротора, дивергенции и градиента. Зависимость константы в неравенстве (0.1) от геометрии области рассматривалась М. П. Галаниным, Ю. П. Поповым в [24].
С помощью оценки (0.1) доказывается, в частности, вложение пространств функций с суммируемыми ротором и дивергенцией в пространства Соболева.
Достаточно широко в литературе освящен вопрос, связанный с изучением различных задач для систем уравнений, содержащих дифференциальные операции векторного анализа, имеющих приложения в электродинамике и магнитной гидродинамике.
В работах [5]-[7] строятся решения стационарных и нестационарных краевых задач для уравнений Максвелла в пространстве обобщенных функций. Фундаментальные решения для уравнений Максвелла рассматриваются также в [80].
Для описания электромагнитного поля при функциональной зависимости общего
вида В\Н), 3[Ё) Самохиным А.Б. в работе [118] строится система сингулярных интегральных уравнений.
Исследование дифференциальных свойств решений задач гидродинамики опирается обычно на стандартную технику для эллиптических систем ([25], [61], [78], [102], [104], [125], [145], [150], [157], [158]) и связано с получением для решения априорных оценок в пространствах Соболева более высокого порядка и в пространствах Гельдера ([121], [130], [132]). Для применения указанной схемы исследования к задачам для системы уравнений Максвелла в работах [11]-[15], [26], [92], [93], [179] рассматривается расширение операторов электродинамики и погружение тем самым исходной задачи в эллиптическую задачу большей размерности. Корректность определения оператора Максвелла в негладких областях в связи с задачей колебания полого резонатора обсуждалась в работах М. Ш.Бирмана и М. 3. Соломяка ([ПН15])- В работах С. И. Матгокевича ([92], [93]) получено асимптотическое представление решения системы уравнений Максвелла вблизи особенностей границы. Изучение нестационарных проблем обычно включает в себя исследование поведения решения на бесконечном интервале времени ([96], [97], [177], [178], [181]). Значительные результаты в этом направлении дает рассмотрение полугруппы, порождаемой оператором задачи ([55], [95], [153]-[155]).
Во многих имеющих практический интерес случаях рассматривается система уравнений Максвелла квазистационарном магнитном приближении ([64], [79], [117], [137], [!69]). При этом тип системы меняется с гиперболического на параболический и задача, как и в стационарном случае, допускает обобщенную формулировку в виде интегрального тождества.
Разрешающие соотношения, полученные в результате постановки задач в виде вариационных принципов и интегральных тождеств, могут служить исходными для применения методов Ритца и Галеркина, что обеспечивает единство инструментальных средств при решении комплексных физических проблем в сплошных средах.
Одним из требований, предъявляемым к вычислительным алгоритмам, является свойство однородности ([115], [141]), позволяющее вести расчет во всей области по одним и тем же формулам, не выделяя явно какие-либо особенности решения. При наличии в расчетной области непроводящих включений базисные функции при дискретизации должны удовлетворять условию rot и = 0 в диэлектрике. Вопрос о построении однородных вычислительных алгоритмов решения задач для квазистационарной системы уравнений Максвелла в среде с непроводящими включениями, рассматривается в работе [24] Га-ланина М. П., Попова Ю. П. Для стационарных электродинамических задач в [51] был предложен метод слабой проводимости, позволяющий искать решение во всей области. Применение этого метода к двумерным стационарным задачам рассмотрено в данной работе.
Существенной проблемой численного решения стационарных и квазистационарных задач электродинамики является проблема учета условия соленоидальности вектора магнитной индукции, не позволяющего использовать классические базисные функции при дискретизации функциональных пространств. Этот вопрос обсуждался в связи с задачами динамики вязкой несжимаемой жидкости и его решение связано с введением специальных аппроксимирующих пространств либо с организацией итерационных процессов ([58], [59], [138], [159], [166]).
Преодолеть трудности, связанные с наличием соленоидальности, можно с помощью метода искусственной сжимаемости, который заключается в добавлении к исходной системе члена и ([138]). Метод аппроксимации нестационарных уравнений Навье - Стокса системой типа Коши-Ковалевской на основе метода искусственной сжимаемости предложен Г. М. Кобельковым ([58], [59]). Аналогичный подход к задачам для системы уравнений Максвелла позволяет получить обобщенные постановки краевых задач, при которых в стационарном случае условие соленоидальности является свойством решения ([50]), а в квазистационарном экспоненциально устойчиво.
В реальных ситуациях коэффициенты систем уравнений, описывающих различные физические процессы, могут зависеть от различных характеристик физико-механических полей, что приводит, в частности, к зависимости коэффициентов от пространственных координат ([99], [118], [120], [136], [137], [144], [148]). Например, уравнения Максвелла приходится изучать совместно с уравнениями механики сплошных сред (уравнения магнитной гидродинамики, магнитотермоупругости) или с кинетическими уравнениями для функций распределения заряженных частиц. Во всех этих случаях задача определения электромагнитных полей является частью решения более сложных, как правило, нелинейных задач.
Система уравнений Максвелла в ферромагнитной среде, где В = шЩЩ, ц - известная положительная функция рассмотрена А. А. Березовским, Т. А. Плотницким в [10]. Решение начально-краевой задачи при определенных условиях на функцию р, ищется методом Бубнова-Галеркина.
В случае негладких коэффициентов системы разрешимость в классическом смысле рассматриваемых задач может не иметь места и на первый план выходит изучение их обобщенных постановок ([5]-[7], [21], [23], [63], [68], [70], [7б]-[78], [91], [162], [167], [168], [170]-[172]). При этом оценки типа (0.1) не могут быть непосредственно применены для исследования корректности постановок, что приводит к серьезным проблемам при изучении обобщенных формулировок задач. В частности, в системе уравнений Максвелла используются дифференциальные операции вида rotu и diva и, где коэффициент а не является гладкой функцией. В этом случае оценки нормы и в пространствах Соболева через нормы rotu и diva и, вообще говоря, не имеют места.
В работах О. А. Ладыженской, И. И. Рохкинда, В. А Солонникова ([73], [75], [114], [131]) рассматриваются задачи дифракции и магнитной гидродинамики с кусочно-непрерывными коэффициентами. При этом обобщенные задачи формулируются в виде интегральных тождеств, справедливость которых влечет выполнение условий согласования на границах различных сред. Исследование дифференциальных свойств решений поставленных задач ведется внутри областей, в которых коэффициенты являются непрерывными функциями ([131]). Задачи для системы уравнений Максвелла с кусочно-постоянными коэффициентами магнитной и диэлектрической проницаемости исследуются в работе Г. Дюво, Ж. Л. Лионса [34]. Решения задач ищутся в пространствах суммируемых функций и таких, что rot /І"1 и є L2. Принадлежность решений пространству Соболева Н1 устанавливается в областях постоянства коэффициентов.
Случай неоднородной неизотропной среды, в которой //, є - матрицы измеримых функций, рассматривается М. Ш. Бирманом в [12]. Вводятся в рассмотрение пространства функций и таких, что divsii є Z2, где s - матрица функций, определяются ортогональные разложения пространства L,2 с эквивалентной нормой. Вопрос о существовании априорных оценок типа неравенства Корна изучается при условии гладкости коэффициентов.
В статье [39] А,В. Калининым получены неравенства, связывающие при различных краевых условиях (равенство нулю на границе тангенциальной компоненты и или нормальной компоненты v) скалярное произведение вектор-функций в 1г, норму в Lz ротора одной из них и дивергенцию другой:
(и,v) S ф йЩ + divv") fcv) й C(rotйvI + fdivvИ + rot«(divv). (0.2)
Неравенства (0.1) являются их следствием при и = v. Применяемые к функциям й = Н , v = (Л оценки (0.2) позволили доказать разрешимость краевых задач для систем уравнений в частных производных, возникающих, в частности, при изучении системы уравнений Максвелла, единственным требованием к коэффициентам которой была их существенная ограниченность ([50], [52]).
Таким образом, актуальность темы исследования обусловлена широким спектром прикладных задач, которые изучаются с помощью систем дифференциальных уравнений с коэффициентами общего вида, содержащих операции векторного анализа и важность теоретического изучения этих задач в связи с построением численных алгоритмов решения задач оптимального управления.
Цель исследования
Целью настоящей диссертации является исследование корректности постановки краевых и начально-краевых задач для некоторых систем уравнений в частных производных с негладкими коэффициентами, содержащих дифференциальные операции векторного анализа, с помощью оценок, связывающих скалярные произведения вектор-функций и Zp-нормы их ротора и дивергенции.
Эволюционные уравнения в гильбертовых пространствах
При математическом описании нестационарных процессов, протекающих в пространственной области Q, в течение интервала времени S часто используется подход, при котором работают с функциями времени, которые каждому моменту времени ( є S ставят в соответствие функцию и (t,-) положения, то есть рассматриваются функции, определенные на временном интервале 5 со значениями в некотором пространстве функций положения. Утверждения, касающиеся свойств функций со значениями в банаховом пространстве, доказаны, например, в [23]. Пусть S = (О, Г), Т 0, Х- банахово пространство с сопряженным X . Функция и:(о,т)- Х называется деминепрерывной, если для каждого /єХ функция {/,«(/)) непрерывна. Функция к: (О, Г) -+ЛГ дифференцируема в точке /є(0,Г), если существует эле х называется производной от и в точке t и обозначается u \t). Функция и : (0,Г)- X слабо дифференцируема в точке t є (0,Г), если существует элемент х є X, для которого х называется слабой производной от и в точке t и также обозначается и (f). Через С {0,Т,Х) обозначается множество функций из (0,7) в X, обладающих непрерывными производными до порядка к включительно, а через С (0,Т,Х) - множество функций из (О, г) в X, обладающих деминепрерывными слабыми производными до порядка к включительно. Если и є С (0,Г,А"), то {/,«) є С" (0,7 ) для всех feX\ Если ЛҐ слабо полно, то верно и обратное, при этом С (О,Г,X) - банахово пространство относительно нормы Если пространство Xслабо полно, то CkJ$,T,X) - полное локально вьшуклое пространство, топология в котором задается при помощи полунорм Последовательность {«я} є С (0,7 , Л1") сходится по этой топологии к функции и тогда и только тогда, когда при любом fe.X последовательность (/,«„()) сходится в Через L р(0,Г, X), \ р со, обозначается множество всех измеримых по Бохнеру г функций из (0,7) в X, для которых [Щ
Это банахово пространство с нормой Если Я- гильбертово пространство, то пространство L2(0,T,H) со скалярным произведением тоже является гильбертовым. Функция и: (О, Г) — Jf называется существенно ограниченной, если существует такое число Л/ 0, что flw(s) Л/ для почти всех s є (0,7). Множество всех измеримых по Бохнеру существенно ограниченных функций из (0,Г) в Xобозначается LW((),T,X). Это банахово пространство относительно нормы « = vraisupw(/]j . t Лемма 1.43. Если и є Ц(0,Т,Х), t0 е (0,г), то функция v(t) = \u(s)ds почти всюду о дифференцируема, причем v (t) = u{t) для почти всех V(t)=i t). Лемма 1.44. Если и є Lfy,T,X), то для любого / є X", t є (0,Г) Лемма 1.45. (неравенство Гельдера). Если ueLp(p,T,X)t l p co, v є Lq(о,T,X ), где # - сопряженный к/ показатель, то (vQw()) є І,(0,г) и Теорема 1.11. Если пространство X. рефлексивно или сепарабельно, 1 йр », то каждый элемент / є \JLp\Q,T,X)[ допускает точно одно представление в виде где ve LJp,T,X ),q - сопряженный к р показатель. Соответствие f t- v линейно и Распределением на (О, Т) со значениями в X называется линейное отображение пространства Р(0,Г) в рассматриваемое со слабой топологией пространство X. Множество распределений обозначается через V {0,T,X). Пусть функция и: (0,Г)— X локально интегрируема по Бохнеру, то есть на любом компактном подынтервале К а (0,Т) принадлежит ЬХ{К Х). Тогда ей можно поставить в соответствие распределение на (0,Т) со значениями в А"по правилу Соответствие и i f является взаимно однозначным, если эквивалентные интегрируемые по Бохнеру функции считать равными. Для каждого распределения /еО (0,ГД) определяется производная / є V (p,T,X) по правилу Лемма 1.46. Пусть «єі О.Г.Х), eJ. Тогда определенная формулой v{t)= %+ \u(s)ds функция v є C(0,7 ,Jf), рассматриваемая как элемент из P (0,r,Jf), о имеет производную V = и. Лемма 1.47. Если и — 0 для и є то и - постоянная функция из (0,Г) в X, то есть для некоторого х є X u{t) = х при почти всех t є (0,Т). Лемма 1.48. Пусть функции и, g принадлежат пространству Ц(0,Т,Х). Тогда и = g в смысле распределений на (0,Г) со значениями в X в том и только в том случае, если для каждого TJGX —{JJ,U) = {r?,g) в смысле скалярных распределений на {0,Т). При этом и эквивалентна некоторой непрерывной функции из (0,Г) в X. Пусть V,H- гильбертовы пространства, причем V сепарабельно, непрерывно вложено вЯи плотно в нем. Норму элемента иъИ,У% V обозначаем соответственно через М N1» INL скаляРное произведение в Я обозначается через (.,.).
Существование и свойства решений
На основе оценок из второй главы установим неравенства, позволяющие применить лемму Лакса - Мильграма для доказательства разрешимости поставленных задач. Пусть оператор rj: {L2 (П)}3 — {L2 (О)}3 удовлетворяет сформулированным выше условиям, d = d(n) - диаметр области С1, Т = Т(СІ) - константа из неравенства Пуанкаре. Лемма 3.11. Для всех и є 1(ді\т};СЇ) справедливо неравенство (3.43) Доказательство. Применим оценку (2.30) к функциям uei/0(rot;Q)„ T}ueH{div;Q); где С = j= в общем случае и С = -= при rot и - 0. Если div " 5і 0, то H2Q Cmax{l,772}div7«2i1 +го1н12П) 2Стах{1,7?г}(ШУ7м +\\юій\22)П, откуда и следуют оценки (3.43), (3.44). Лемма 3.12. Для всех и є (divz/jfl) справедливо неравенство frdx 2таХ 7/ тахл/Г,- , +- f J(rat«)25+ J(div )2 если и є K0(div7/;Q), то Если й є V0{di\TJ;Q), ТО ИЗ следствия к теореме 2.7 получаем, что то есть справедливо неравенство (3.46). Теорема 3.1. Пусть Q с Л3 - ограниченная звездная область класса С2, / є {L2 (П)}3, г, сг, fi - самосопряженные линейные операторы из \Ь2 ( )}э в {i2 (о)}3, удовлетворяющие условиям (3,12) - (3.14).Тогда задача (3.5), (3.6), (3.8)-(3.11), (3.17) имеет единственное решение. Доказательство. Доказательство теоремы 3.1 практически повторяет приведенное в статье А. В. Калинина, С.Ф. Морозова [50] доказательство аналогичного утверждения для случая, когда ц, сг - измеримые функции. С использованием леммы Лакса-Милырама, возможность применения которой следует из оценки (3.44), устанавливается, что существует единственное решение Я є F(divju;Q) задачи (3.26). Доказывается, что функция Яе{і2(л)}3, определяемая соотношением Ё = -а-ххо\Н-Ёст\ (3.4S) лежит в пространстве /f(rot;fi). Остальные неизвестные функции определяются из соотношений (3.5), (3.6), (3.8), при этом /f e//0(rot;fi), В є K{div;Si) по определению пространства P(div ;Q), функции J, Ё, D суммируемы с квадратом. Таким образом, Н, В, J E,D, р - решение задачи (3.5), (3.6), (3.8)-(3.11), (3.17) Теорема 3.2. Пусть Q z R3 - ограниченная звездная область класса С2, Ёстр є {i2(Q)}J,, о-, /І - самосопряженные линейные операторы из {L2(Q)}3 В {Z2(Q)}3, удовлетворяющие условиям (3.12) - (3.14). Тогда задача (3.5), (3.6), (3.8)-(3.11), (3.18) имеет еди аналогичного утверждения для случая, когда ц, сг - измеримые функции.
С использованием леммы Лакса-Милырама, возможность применения которой следует из оценки (3.44), устанавливается, что существует единственное решение Я є F(divju;Q) задачи (3.26). Доказывается, что функция Яе{і2(л)}3, определяемая соотношением Ё = -а-ххо\Н-Ёст\ (3.4S) лежит в пространстве /f(rot;fi). Остальные неизвестные функции определяются из соотношений (3.5), (3.6), (3.8), при этом /f e//0(rot;fi), В є K{div;Si) по определению пространства P(div ;Q), функции J, Ё, D суммируемы с квадратом. Таким образом, Н, В, J E,D, р - решение задачи (3.5), (3.6), (3.8)-(3.11), (3.17) Теорема 3.2. Пусть Q z R3 - ограниченная звездная область класса С2, Ёстр є {i2(Q)}J,, о-, /І - самосопряженные линейные операторы из {L2(Q)}3 В {Z2(Q)}3, удовлетворяющие условиям (3.12) - (3.14). Тогда задача (3.5), (3.6), (3.8)-(3.11), (3.18) имеет единственное решение. Доказательство. Положим в лемме Лакса-Мильграма Н = V0{diwfi;Cl), для всех «,v є V0{div/i;Q) пусть а(-,-) - билинейная симметричная форма на F0(div{i;l), f - линейный функционал. Используя условие (3.12), лемму 1.16 и неравенство Гельдера с показателем 2, получаем, что то есть форма а(у) непрерывна. Коэрцитивность формы следует из леммы 3.12 при 7] = fi. Непрерывность функционала/следует из оценки Поскольку выполнены все условия леммы Лакса - Мильграма, существует единственный элемент Яє V0(divju;Q), при всех v є K0(div//;O) удовлетворяющий равенству (3.25), то есть являющийся решением задачи (3.27), Определим теперь функцию Ee{L2(Cl)f формулой (3.48). Пусть 7 є \D(Q)} . Ввиду леммы 3.6, у/ = v + g, где v є АГ0 (div (л\ Cl), g є AT(rot; І). Поскольку rot v = rot (?, v є V0 (div/r,Q). Находим таким образом, что откуда, согласно теореме 1.10 следует, что Ё К{ЇО\\СІ)С\нственное решение. Доказательство. Положим в лемме Лакса-Мильграма Н = V0{diwfi;Cl), для всех «,v є V0{div/i;Q) пусть а(-,-) - билинейная симметричная форма на F0(div{i;l), f - линейный функционал. Используя условие (3.12), лемму 1.16 и неравенство Гельдера с показателем 2, получаем, что то есть форма а(у) непрерывна. Коэрцитивность формы следует из леммы 3.12 при 7] = fi. Непрерывность функционала/следует из оценки Поскольку выполнены все условия леммы Лакса - Мильграма, существует единственный элемент Яє V0(divju;Q), при всех v є K0(div//;O) удовлетворяющий равенству (3.25), то есть являющийся решением задачи (3.27), Определим теперь функцию Ee{L2(Cl)f формулой (3.48). Пусть 7 є \D(Q)} . Ввиду леммы 3.6, у/ = v + g, где v є АГ0 (div (л\ Cl), g є AT(rot; І). Поскольку rot v = rot (?, v є V0 (div/r,Q). Находим таким образом, что откуда, согласно теореме 1.10 следует, что Ё К{ЇО\\СІ)С\Н 0{ЇО\\С) . Положим В = рН, У = —rot Н, D-єЕ и определим функционал р є Я"1 (Я) соотношением (3.11). Тогда //e#(rot;fi), Be (div;fi)n#0(div;n) по определению пространства (divp\Q), функции J, суммируемы с квадратом. Таким образом, Н, B,JEtD,p- решение задачи (3.5), (3.6), (3.8)-(3.11), (3.18). Очевидно, уравнение (3.11) в данной постановке задач самостоятельного значения не имеет и может лишь служить для определения неизвестной функции р как функционала р: Hla(Q) — Rl, действующего по формуле (3.19). Теорема 3.3. Существует единственное решение вариационной задачи (3.38). Доказательство. Для всех u,v є V0{divcr;Q) положим
Краевые задачи для эллиптического уравнения дивергентного вида
Доказательство. Очевидно, grad її {х) = 0 при хеП0. Пусть у/ є {0(П)}". Поскольку граница множества Q\fi0 состоит из границ области О. и множеств 20 , получаем, используя обобщенную формулу Гаусса - Остроградского: Полагая в последнем тождестве = у/к = рек, к = 1,...,л, 7 є D(o), получаем, что дки =hk є 2(п). Так как и є L2{l)t утверждение леммы доказано. Пусть и - решение задачи (4.76), (4.74), (4.77), тогда, по определению и є М0. Обозначим geK(div;Q\C20). Умножим обе части равенства (4.79) скалярно на функцию gradv, v є М0, и проинтегрируем по П \ Q0: Допустим, функция и обладает свойством Пусть теперь при некотором и є М0 равенство (4,82) справедливо для всех v є MQ. Тогда оно заведомо справедливо для всех уе (ШП0), то есть на множестве П\П0 выполнено соотношение (4.76). Таким образом, и - решение задачи (4.76), (4.74), (4.77). Согласно теореме 1.9, и удовлетворяет условию (4.80). Если и - решение задачи (4,76), (4.74), (4.78), то и є М, функция g є "(div;0 \ fi0), определенная соотношением (4.79), удовлетворяет условию Умножим обе части равенства (4.79) скалярно на функцию gradv, VGM , и =с(-, і = 1,..., J , и проинтегрируем по Q, \ С1в: Таким образом, если выполнено условие (4.80), справедливо тождество (4.82) для всех v є М . Обратно, если при некотором и еМ равенство (4.82) справедливо для всех v є М , то выполнены равенства (4.76) и (4.80). Условие (4.81) выполнено, например, если функцию g можно продолжить до функции gt є i (div;Q), поскольку, так как д101 - замкнутая кривая в Q \ Q0, Теорема 4.17. Существует единственное решение задачи (4.76), (4.74), (4,77), (4.80). Доказательство. М0 - замкнутое подпространство в Н 0{Сі), поэтому оно является гильбертовым пространством со скалярным произведением Билинейная форма a(u,v)= \(Agrzdu gradv)tc непрерывна и коэрцитивна ввиду (4.89), /(v) = \\F gradvpx - непрерывный линейный функционал. Согласно лемме Лакса-п\аа Мильграма, найдется единственный элемент и М0 такой, что для всех v є М0 то есть, как показано выше, м = їїL - решение задачи (4.76), (4.74), (4.77), (4.80). Пусть функции ultu2eM0 - два решения задачи (4.76), (4,74), (4,77), (4.80). Обозначим 4.11 функцию w є М0, получаем то есть функция w постоянна на каждом компоненте связности множества П \ П0. Для любого tp є {V(n)} и, следовательно, функция w равна нулю, что и требовалось доказать.
Теорема 4.18. Существует единственное с точностью до аддитивной константы решение задачи (4.76), (4.74), (4.78), (4.80). Доказательство. Поскольку Мх - замкнутое подпространство в Н1(о), оно является гильбертовым пространством со скалярным произведением Билинейная форма a(u,v)= [{A grad u- gradv)dx непрерывна и коэрцитивна согласно функционал. Согласно лемме Лакса-Мильграма, найдется единственный элемент ЇЇ є Л/, такой, что для всех v є Мх Так как любой элемент v є М представим в виде v — v + mes 1 (Q) \vdx , где v є Л/,, a для и = ЇЇ пю и всех УЄЛ/ справедливо тождество (4.82), то есть и - решение задачи (4.76), (4.74), (4.78), (4.80). Пусть функции м1ти2 є М - решения задачи (4.76), (4.74), (4.78), (4.80). Обозначим w = и, —иг є М, тогда div(v4grad w) = 0, (у уА grad w,\S = 0, /=1,....s. Определив как в лемме 4.11 функцию w є М, получаем откуда следует, что функция iv и, соответственно, w, равна константе, что и требовалось доказать. Обобщим для задач (4.76), (4.74) метод слабой проводимости. Для каждого А 0 рассмотрим в области Q уравнение с краевым условием или . /_ч (А(х\есппхєї\П0, - , . F(jt\eoiHJc =Q\fi0, где АЛх)={ I -единичнаяматрица, FAx) v [ 1/А/,еслихеО0, ґ [ 0,еслилП0. Решением задачи (4,83), (4.84) называется функция мд єНІ(Сі), удовлетворяющая (4.83) в смысле теории распределений, то есть при всех veHl0(Cl) удовлетворяющая тождеству Решением задачи (4.83), (4.85) называется функция их є Н (О), удовлетворяющая равенству (4.83) в смысле теории распределений, а условию (4.85) - в смысле теории следов. Если ил - решение задачи (4.83), (4.85), то при всех v є Hl{Ci) JU, grad», gradv)rfx = J(F gradv)dx + (y,[AX gradид - FA}y0v), то есть справедливо равенство (4.86). Обратно, если (4.86) выполнено для некоторого их єЯ (й) и всех veHl(d), то по теореме 1.9 из него следуют соотношения (4.83) и (4.85). Теорема 4.19. При всех X 0 существует единственное решение задачи (4.83), (4.84). Теорема 4.20. При всех X 0 существует единственное с точностью до аддитивной константы решение задачи (4.83), (4.85). Справедливость теорем 4.19, 4.20 следует из леммы Лакса-Мильграма, возможность применения которой обеспечивают условия на матрицу Лх. Роль леммы 4.10 играет в данном случае следующее утверждение. Лемма 4.12. Найдется такое число T(Q,Q0) 0, зависящее только от множеств Q и П0, что для всех м є к(діу,0), таких, что справедливо неравенство то, по лемме 1.27, йа =grad/i; где функции pt є Я (по/), согласно лемме 1.33, определены с точностью до аддитивной константы. Считаем, поэтому, что \Pjdx = 0. Из неравенства Пуанкаре следует, что найдутся такие постоянные Г(О0/) 0, / = l,.,.ts, зависящие только от соответствующих областей Qai, что существуют линейные непрерывные операторы следа y v :#(div;fi0J) — і/ "г(ЗП0(), у 0 :Я (по;)-» HV2[dQ0j), причем для v ,єЯ(div;0) ylw = -y vw. По определению, функции pt при всех qeHl\flQJt) удовлетворяют тождествам
Изучение соответствующих задач с использованием векторного и скалярного потенциалов
Введем векторный магнитный потенциал А и скалярный электрический потенциал р по формулам Возможность такого представления В и Ё следует, ввиду лемм 2.4,2.5 из равенств (5.2) и (5.3), поскольку rot—В = — rot В в смысле распределений на Q. Уравнение (5.1) с учетом (3,5), (3.6) запишется в виде Граничные условия, соответствующие (5.5) и (5.6), имеют вид ( \ 1 Д гоЫДЗс,0=0, Ar(x,t) = 0, {раіІ р)т{х,І) = ——А\(х,і),хедСІ, t є(0,Г). (5.54) с dt Уравнение (5.61) дополняется начальными условиями где aeLa {о) - заданная функция. Решением задачи (5.52), (5.53), (5.55) называем функции р є AeL2 (О, Т, #(rot; О)) такие, что ju "l rot А є L2 (О, Г, H0 (rot; fi)), справедливы равенство (5.52) в смысле распределений на Q и условие (5.55). Решением задачи (5.52), (5.54), (5.55) называем функции q є Ьг\(),Т,Н1\Сі)}, А є L2(0,T,H(rot;Ci)) такие, что справедливы условие (5.55), равенство (5.52) в смысле распределений на Q и условия (5.54) в смысле теории следов. Предположим, что операторы //, а отображают с (п)} в (С (п) , Jcmp є {С {Q)f ,2 ={С2 (Q)}3, функции A є {сг(Є)}3, Р є С (О) - решение задачи (5.52), (5.53), (5.55). Умножим обе части равенства (5.52) скалярно на v є WQ(divа;Сі) и проинтегрируем по П, применяя тождества (1.7) и учитывая, что При калибровочных соотношениях (3.32) задача (5.52), (5.53), (5.55) сводится к следующей задаче определения А: найти такую функцию А є (O tdivcrjQ)), удовлетворяющую начальному условию (5.55), где а є Ta(divcr;Q), что при всех v є F0(div(7;Q) выполнено равенство При калибровочных соотношениях (3.33) равенство (5.57) примет вид В этом случае задача (5.52), (5.53), (5.55) допускает следующую формулировку: найти такую функцию А є L2(0,r,FF0(divo-;Q)), удовлетворяющую начальному условию (5.55), что при всех v є JV0(divсг;2) выполнено равенство (5.59). Если функции Ле(С:(?) , реС1(0) - решение задачи (5.52), (5.54), (5.55), то умножив равенство (5.52) скалярно на произвольную функцию v eFF(divcr;Q) и проинтегрировав по О, учитывая (1.6) и (5.56), получим равенство При калибровочных соотношениях (3.34) задача (5.52), (5.54), (5.55) допускает, таким образом, следующую обобщенную формулировку: найти такую функцию A eI(o,7,,F(divcr;Q)j, удовлетворяющую начальному условию (5.55), где а AT(divcr;Q), что при всех v є V(divtr;n) вьшолнено равенство (5.58).
При калибровочных соотношениях (3.35) задача (5.52), (5.54), (5.55) сводится к следующей задаче определения А: найти такую функцию удовлетворяющую начальному условию (5.55), что при всех v є Wu(div ст;Сі) вьшолнено равенство (5.59). Пространства W0(diva;Cl), fT (div cr;fi) непрерывно и плотно вложены в La(Cl), поэтому пространство L {Cl) можно отождествить с плотными подпространствами в JV (diva;Cl), W (divcrjO). Отождествляя далее La{fi) и ZCT (Q), приходим соответственно к включениям при этом скалярное произведение в iff(fi) элементов йєДДп) и v 6fT(divCT;Q) совпадает со значение функционала й на элементе v в смысле двойственности между Wa (divcr;Q) и "(dtvc fi), скалярное произведение в L0[Ct) элементов weXff(n) и совпадает со значение функционала и на элементе v в смысле двойственности между РГ0 (div а; О) и РГ0 (div ст; П). Пусть vP є Х2(0, Г, fF (div cr;fi)). Обозначим через gw элемент из weL2 (о, Т, W (div сг;П)) такой, что для всех v є W(div r;Q) и при почти всех / є (,Т) Пусть функция J5ei2(0,r,№ o(divcr;fi)) - решение задачи (5.59), (5.55). Тогда для всех v є W0(div a;Cl) равенство (5.59) можно записать в виде Согласно лемме 1.50, А є 2(0,Г,РГо (div ст;0)), Л эквивалентна непрерывной функции из [о,г] в W0 (divcr;Q) и справедливо равенство Если A ei2(0,r,F0(divcr;n)) удовлетворяет тождеству (5.58) при всех veK0(divcr;fi), то равенство (5.60) справедливо для v є K0(divcr;Q) и, следовательно, А єl2(otTtV (divcr-n)), А эквивалентна непрерывной функции из [0,Г] в F0 (diver;fi). Пусть теперь функция А є Z2(o,r,W(divcr;n)) удовлетворяет тождеству (5.59) при всех v fT(div ст;П), Тогда (5.60) выполнено в смысле функционалов на W3 (div т;Л) и, следовательно, А эквивалентна непрерывной функции из [0,г] в W {di\cr;Q). Аналогично, если А є - решение задачи (5.58), то А еЬг\р,Т, V (diver;fi)J и А - непрерывная функция из [0,г] в V (diver;Q). Теорема 5.11. Пусть ПсД3 - звездная относительно некоторой точки область. Тогда решения Л Z2(0,r,Fo(div r;n)) задачи (5.55), (5.58) и Ак eL2{Q,T,W0{diva;Ci)) задачи (5.55), (5.59) существуют, единственны и эквивалентны непрерывным функциям из [0,т]вЬо(п). Доказательство. Непрерывность решений следует из леммы 1.52. Как было установлено в п. 4.1, fF0(div T;Q), P„(div т;П) - сепарабельные гильбертовы пространства. Определим билинейную форму на W0\diw T;Q) соотношением Непрерывность и коэрцитивностъ формы (-,-) установлена в теореме 3.4. Поскольку /, 0,7,1,,( )), можно применить теорему 1Л2, из которой следует существование и единственность решения задачи (5.55), (5.59) в классе i2(0,r, 0(divcr;n)). Так как сужение формы а(у) на (divcrjQ) - коэрцитивная форма по теореме 3.3, существует единственное решение А є Z2(0,r,Fo(diver;fi)) задачи (5.55), (5.58). Теорема 5.12. Пусть область ПсЛ3 звездная относительно некоторой точки. Тогда решения А є L2(o,T,V(div j;Cl)) задачи (5.55), (5.58) и A,. eZ2(o,7\FT(divcr;n)) задачи (5.55), (5.59) существуют, единственны и эквивалентны непрерывным функциям из [0,Т]вЬа(п), Доказательство. Непрерывность решений следует из леммы 1.52. Гильбертовы пространства W(diva ,Q)i K(divcr;fl) сепарабельны. Билинейную форму на FT(divcr;Q) определим соотношением (5.62), где M,V є FT(divcr;fi).
