Введение к работе
Актуальность темы. Задача о движении твердого тела с неподвижной точкой является одной из центральных задач аналитической механики, более 250 лет привлекающей внимание исследователей простотой описывающих ее дифференциальных уравнений и одновременно принципиальной их неинтегрируемостью в целом. В классической задаче о движении тела в поле силы тяжести без ограничений на начальные условия известны случаи интегрируемости Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Первые два полностью изучены: получены аналитические решения в виде эллиптических функций времени, выполнен полный качественный анализ топологии фазового пространства. Случай Ковалевской существенно более сложен. Разделение переменных и выражение основных динамических характеристик в виде гиперэллиптических функций времени, полученные С. В. Ковалевской и усовершенствованные Ф. Кёттером, не дали реального представления о поведении фазовых траекторий. Аналитические исследования решений и их соответствующая классификация были проведены Г. Г. Аппельротом, А. Ф. Ипатовым, А. И. Докшевичем. Много работ посвящено геометрической визуализации движений волчка Ковалевской (Н. Е. Жуковский, П. В. Харламов, В. И. Коваль, А. М. Ковалев, А. Я. Савченко, Г. В. Мозалевская, И. Н. Гашененко и другие). Новое направление в этой задаче возникло в результате исследований М. П. Харламова фазовой топологии классических интегрируемых задач динамики твердого тела. В случае Ковалевской им было построено бифуркационное множество первых интегралов в инволюции и описана топология слоев пятимерного фазового пространства уравнений Эйлера - Пуассона, включая все виды их бифуркаций. В работе А. В. Болсинова, П. Рихтера, А. Т. Фоменко эти исследования получили дальнейшее развитие — полностью изучены возникающие в окрестности узловых точек бифуркационной диаграммы трехмерные инвариантные многообразия, расслоенные на торы Лиувилля.
Обобщение случая Ковалевской на задачу о движении твердого тела в двойном силовом поле (физический аналог — массивное заряженное тело в гравитационном и электрическом полях) найдено в работах О. И. Богоявленского, А. И. Бобенко, А. Г. Реймана, М. А. Семенова-Тян-Шанского. В предположении, что центры масс и заряда (далее называемые
И>С НАЦИОНАЛЬНАЯ І БИБЛИОТЕКА J
центрами оснащенности) лежат на взаимно ортогональных осях в экваториальной плоскости тела, указаны, в дополнение к интегралу энергии, обобщенный интеграл Ковалевской — Богоявленского1 и еще один независимый интеграл2, обобщающий интеграл площадей классической осесим-метричной задачи. Таким образом, доказана полная интегрируемость задачи по Лиувиллю. Однако ввиду крайней сложности намечен лишь общий путь сведения задачи к квадратурам, но явных выкладок не приводится. В качестве первого подхода к общему случаю целесообразно изучить в структуре шестимерного фазового пространства возможность существования четырехмерных инвариантных подмножеств, на которых индуцированная система была бы устроена как гамильтонова система с двумя степенями свободы. Одна из таких систем была указана О. И. Богоявленским и полностью изучена Д. Б. Зотьевым. Другая найдена М. П. Харламовым3. Им введены функции FltF2, определенные на открьпом всюду плотном подмножестве шестимерного фазового пространства, такие, что система уравнений
Ft=0, F2=0 (1)
задает подмножество, локально инвариантное относительно фазового потока, на котором независимы два из трех общих интегралов задачи.
Исследование динамической системы на множестве (1) (далее обозначаемом как N*) является актуальной задачей в рамках первого этапа программы изучения фазовой топологии реальных механических систем с тремя степенями свободы.
Цель работы:
- изучение свойств динамической системы на N* (гамильтоно-вость, наличие полного инволютивного набора интегралов, бифуркационные диаграммы);
1 Богоявленский, О. И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в
задачах математической физики / О.И.Богоявленский // Изв. АН СССР. Сер. мат.- 1984.- 48,
№ 5.- С. 883-938.
2 Bobenko, A. I. The KowalewsK top 99 years later: a Lax pair, generalizations and explicit solu
tions/A.I. Bobenko, A.G. Reyman, MA. Semenov-Tian-Shansky // Commun. Math. Phys. - 1989.
-122,N2.-P. 321-354.
3 Харламов, M. П. Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о
движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле / М.П. Харламов // Механика
твердого тела. - 2002. - Вып. 32. - С. 32-38.
аналитическое решение системы дифференциальных уравнений, описывающих движение волчка Ковалевской в двойном силовом поле, с начальными условиями на N4, классификация решений по аналитическим и механическим признакам;
исследование фазовой топологии системы на N*.
Методы исследования. Исследования, проводимые в диссертационной работе, основаны на аналитических и качественных методах теории дифференциальных уравнений с привлечением методов дифференциальной топологии. Также используются методы топологического анализа интегрируемых гамильтоновых систем.
Научная новизна:
Показано, что замкнутое инвариантное подмножество N* определено в фазовом пространстве уравнений Эйлера - Пуассона глобально, независимо от особенностей функций, входящих в (1). В окрестности почти всех своих точек N* является симплектическим многообразием размерности 4, а индуцированная на нем динамическая система X почти всюду гамильтонова с двумя степенями свободы. Указаны два новых первых интеграла в инволюции М,L системьЗф,ункциями которых в точках JV4 является любой общий интеграл. Построено бифуркационное множество пар интегралов (М,Н) и (M,L) на N*.
Дифференциальные уравнения, определяющие динамику системы X сведены к двум независимым дифференциальным уравнениям первого порядка относительно вспомогательных переменных st,s2:
где Pt - многочлены 4-й степени по соответствующей переменной s,, зависящие от постоянных выбранной пары интегралов т,. Все фазовые переменные задачи выражены через 5,, в конечном виде. Тем самым осуществлено разделение переменных.
3. Получено аналитическое решение системы naN*. В явном виде
выполнена процедура интегрирования уравнений динамики индуцирован
ной системы на JV4, получены решения в эллиптических функциях Якоби.
Проведена аналитическая классификация решений в зависимости от по-
стоянных интегралов т,. В роли дискриминантного множества выступает соответствующая бифуркационная диаграмма.
4. Выполнено исследование фазовой топологии гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, возникающей на N*: установлено количество торов Лиувилля в составе регулярных интегральных многообразий; получено описание движений, состоящих из критических точек интегрального отображения; указаны критические интегральные поверхности, определяющие характер бифуркаций торов Лиувилля.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Дано полное аналитическое решение и выполнен топологический анализ гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, описывающей класс движений волчка Ковалевской в двойном силовом поле, играющий важную роль в проблеме исследования задачи в целом.
Апробация работы. Результаты исследования докладывались на Воронежской зимней математической школе - 2004 (Воронеж, 2004); Международной конференции «Классические задачи динамики твердого тела» (Донецк, 2004); Пятом Международном симпозиуме по классической и небесной механике (ССМЕСН5, Великие Луки, 2004); семинаре кафедры математического моделирования ВГУ.
Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] — [6]. Из совместных публикаций [1,2,4] в диссертацию включены только результаты, принадлежащие лично автору.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы ( 66 наим.) и двух приложений с компьютерными иллюстрациями. Основная часть работы изложена на 116 стр., содержит 13 рисунков.
