Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Предварительные сведения и постановка задачи 15
1.1. Уравнения вращения твердого тела в двойном силовом поле 15
1.2. Обобщенный волчок Ковалевской 18
1.3. Критические многообразия и множество 20
Глава 2. Случаи сильного вырождения интегрального отображения 25
2.1. Вспомогательные утверждения 25
2.2. Нулевой ранг интегрального отображения 29
2.3. Ранг интегрального отображения равен единице. Случай dK = 0 31
2.4. Ранг интегрального отображения равен единице. Случай dK Ф 0 39
Глава 3. Допустимые области на листах бифуркационной диаграммы 43
3.1. Основные обозначения 43
3.2. Допустимое множество в составе Ё, 46
3.3. Допустимое множество в составе Ё2 51
3.4. Допустимое множество в составе Ё3 55
Глава 4. Классификация бифуркационных диаграмм на изоэнергетических уровнях
4.1. Выбор основных параметров 64
4.2. Разделяющие кривые в плоскости параметров 66
4.3. Визуализация областей перестройки диаграмм
Список литературы
Приложение 10
- Обобщенный волчок Ковалевской
- Нулевой ранг интегрального отображения
- Допустимое множество в составе Ё,
- Разделяющие кривые в плоскости параметров
Введение к работе
Задача о вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной точки является одной из краеугольных задач аналитической динамики, В классической постановке, при рассмотрении движения в поле силы тяжести, уравнения для описания вращения были предложены Леонардом Эйлером в 1749 году [66]. Для произвольных потенциальных силовых полей эта задача является примером гамильтоновой системы с тремя степенями свободы, конфигурационное пространство которой является компактной группой Ли. Принципиальная неинтегрируемость этой задачи даже в поле силы тяжести и особый статус известных случаев интегрируемости постоянно являются объектом все новых исследований и обобщений, источником возникновения новых математических методов и теорий. Аналитические результаты, относящиеся к классической задаче, по состоянию на 1979 год, изложены в книге [13]. Имеется библиография того же периода [30], в которой приведено более 1200 монографий и статей по динамике твердого тела с неподвижной точкой. Новое, топологическое, направление в задачах механики открыто С. Смейлом [28] и проиллюстрировано на задачах небесной механики. Метод Смейла для пары интегралов энергии-момента был применен в динамике твердого тела в осе-симметричном силовом поле в работе СБ. Каток [20] и цикле работ Я.В. Татаринова [31-33]. Существенным для этого метода является цикличность (линейность по обобщенным скоростям) интегралов, дополнительных к интегралу энергии. Общие случаи интегрируемости в динамике твердого тела (движения тяжелого гиростата и тела в центральном ньютоновском поле) этим свойством не обладают. Для них методы исследования фазовой топологии были разработаны М.П. Харламовым [38, 39, 41, 42, 43]. В результате была установлена фазовая топология перечисленных интегрируемых систем, что позволило впоследствии явно найти все так называемые грубые топологические инварианты (графы Фоменко) слоений Лиувилля фазового пространства в этих случаях (А.Т. Фоменко [37], [35], А.А. Ошемков [73], [25], П.В. Морозов [24] и др.). Однако, как с аналитической, так и с топологической точки зрения, эта задача ставит новые математические проблемы. Это - поиск аналогов известных решений в абстрактных задачах о «многомерных» телах, в задаче Кирхгофа о движении твердого тела в жидкости (математически эквивалентной классу задач о вращении гиростата вокруг неподвижной точки в осесиммет-ричном поле), исследование их топологических инвариантов, поиск более утонченных характеристик классификации интегрируемых систем, что привело к ряду новых результатов ([44], [29], [27] и др.) и к новым теориям в топологии слоений (работы [64], [9] и др.).
Рассмотрим вполне интегрируемую гамильтонову систему с двумя свободы. Ее фазовое пространство - гладкое четырехмерное многообразие М , на котором имеется симплектическая структура. В этой структуре динамика
определяется гамильтонианом - функцией Н : М4 -» R (энергия). Энергия является первым интегралом. Для полной интегрируемости необходим еще один интеграл F: М4 - R, независимый с Я почти всюду.
Зафиксируем h и отождествим каждую связную компоненту множества Ihj в точку. Получится граф, вершинами которого считаются точки, полученные из компонент, содержащих критические точки пары функций H,F. При прохождении через эти вершины происходят бифуркации интегральных многообразий lh,. В зависимости от типа бифуркации, вершина графа снабжается определенным значком [37]. Полученный таким образом объект (граф со значками в вершинах) называется инвариантом Фоменко динамической системы на изоэнергетическом уровне и обозначается W(Eb). Если в графе W{El) дополнительно отождествить все точки, отвечающие одному значению /, то получим некоторое подмножество прямой, составленное из отрезков, концы которых (образы вершин графа W{El)) составляют сечение БЛ бифуркационной диаграммы Z прямой на плоскости Oh/ , параллельной оси Of и имеющей абсциссу h. В этом заложен путь построения инвариантов W(El), применявшийся при их построении в различных работах: находится бифуркационная диаграмма 2 и исследуются ее сечения Xh; в связных компонентах R2\S или R\2A (ячейках регулярности) указывается количество торов Лиувилля в составе IhJ-, замыкание интервалов в R\2A, для которых это число не равно нулю, обозначим через Дл; определяется характер бифуркации, происходящей при пересечении точки из А. После этого инвариант
W{E]) однозначно восстанавливается. Для классических задач динамики твердого тела (решения Эйлера-Жуковского, Ковалевской, Чаплыгина-Сретенского, Клебша), все этапы этого исследования, кроме последнего, выполнены М.П. Харламовым [43].
Граф W{E\) считается грубым топологическим инвариантом, поскольку, как оказалось, две интегрируемые системы на трехмерных многообразиях, имеющие топологически неэквивалентные слоения Лиувилля, могут иметь одинаковые инварианты Фоменко. В связи с этим были разработаны более сложные инварианты (называемые инвариантами Фоменко-Цишанга) - меченые графы (или меченые молекулы) W"(E3h) [34], начато решение сформулированной А.Т. Фоменко задачи составления полного атласа молекул в интегрируемых системах с двумя степенями свободы [67].
В любом случае первым принципиальным этапом исследования является нахождение бифуркационных диаграмм Zh и множеств существования движений ДА, являющихся их оболочкой.
Для систем с тремя и более степенями свободы соответствующего аппарата пока еще не существует. Теория бифуркаций многомерных гамильто-новых систем [37], [36] рассматривает бифуркации общего положения (т.е. случаев, когда ранг интегрального отображения падает на одну единицу), какого-либо аналога меченых графов предложено еще не было. По-видимому, сказался и тот факт, что содержательных примеров интегрируемых систем с тремя степенями свободы с вычисленными нетривиальными бифуркационными диаграммами до последнего времени не было. Уравнения первой такой диаграммы получены МЛ. Харламовым, анонсированы в [47], уравнения множества критических точек и вывод уравнений диаграммы приведены в [49]. В этих работах рассматривается случай интегрируемости Реймана-Семенова-Тян-Шанского задачи о вращении волчка типа Ковалевской в двойном силовом поле. В настоящей работе, на основе уравнений [49], найдена фактическая область существования движений в пространстве констант трех первых интегралов и, соответственно, фактическая бифуркацоннная диаграмма - та часть множества, заданного уравнениями работы [49], которая отвечает непустым интегральным многообразиям. Дана классификация сечений Zh этой бифуркационной диаграммы.
Решение, найденное С. В. Ковалевской для тела в поле силы тяжести [72, 21], является наиболее сложным из всех классических случаев интегрируемости. Аналитические выражения основных переменных [72, 71] не позволяют непосредственно установить характер движения. Для отдельных частных случаев в работах [14, 59, 22, 56, 54, 12, 55] дано геометрическое истолкование движения, основанное на теореме Пуансо [74], кинематических уравнениях [57] и алгоритме [40]. Качественные свойства некоторых составляющих движения (средние изменения углов прецессии и собственного вращения, общий характер движения оси динамической симметрии) установлены в работах Г. Г. Аппельрота [1-4], В. В. Козлова [23]. Все случаи, когда задача интегрируется в эллиптических функциях, исследованы Г.Г. Аппельротом [1-4] и А.Ф. Ипатовым [19]. Фазовая топология случая Ковалевской описана в [41, 42, 43]. Изучены поверхности специального вида в пространствах переменных действия [65] и угловых скоростей [68].
Но и этого оказалось недостаточно для прояснения всей уникальности этого решения. Недавно опубликованы новые исследования, которые позволили дать описание задачи Ковалевской с точностью до топологической эквивалентности слоения фазового пространства на торы Лиувилля [10]. Одновременно не прекращался поиск обобщений случая Ковалевской. Первое из них для случая гиростата было получено еще в работе П.В, Харламова [59]. В середине 80-х гг. появился ряд близких между собой результатов. В 1984 году О.И. Богоявленский [7, 8] сформулировал задачу о вращении тяжелого намагниченного тела в двойном постоянном поле - гравитационном и магнитном и там же указал случай существования в дополнение к интегралу энергии Я интеграла типа Ковалевской К. Это решение было распространено на осесимметричный гиростат в работах [61, 77, 70]. Фазовая топология решения, найденного в работе [70], изучена в [44].
В 1988 году был опубликован наиболее общий результат - в работе [26] указаны условия, при которых задача о вращении гиростата в двойном силовом поле имеет еще один первый интеграл G, независимый с Н,К,и является поэтому вполне интегрируемой в смысле Лиувилля. Многомерные обобщения этого случая даны в [63].
Случай А.Г.Реймана - М.А.Семепова-Тян-Шанского содержит классическую задачу Ковалевской в качестве частного случая и дает два направле ния обобщений - наличие гиростатического момента и второго, независимого от гравитационного, силового поля с линейным потенциалом.
Обобщенный волчок Ковалевской
В работе [26] система уравнений (1.7) с добавлением постоянного гиростатического момента по оси Ое3 рассматривается в качестве исходной и доказано, что при условии на тензор инерции она имеет в дополнение к интегралу энергии еще два независимых интеграла (здесь под независимостью понимается функциональная независимость почти всюду на фазовом пространстве). В частности, ее ограничение на любой совместный уровень геометрических интегралов будет вполне интегрируемой гамильтоновой системой с тремя степенями свободы.
Обозначим эти интегралы через К и G. Первый из них обобщает интеграл СВ. Ковалевской [72] и был ранее указан О.И. Богоявленским [7, 8]. Второй (G) при р — 0 переходит в квадрат интеграла площадей задачи о движении твердого тела в поле силы тяжести. Систему (1.7) с ограничениями (1.8), (1.10) будем называть для краткости обобщенным волчком Ковалевской.
В работе [11] интегралы К и G записаны для системы (1.3) с потенциалом вида (1.5) в предположении, что тензор инерции имеет вид (1.10), а векторы u,,u2 не обязательно взаимно ортогональны, но лежат в экваториальной плоскости эллипсоида инерции Uj-e3 = 0, u2»e3 = 0. Таким образом, в представлении [11] система имеет четыре физических параметра - три из четырех компонент векторов UpU2 в плоскости
Ое е2 и осевой момент инерции (пара х( \х( ) в соответствующем разделе [11] уже сведена к ортонормированной). Как показано выше, после процедуры ортогонализации, имеется лишь три физических параметра 1,а,Ь. Два из них, например, 1,а можно выбрать в качестве единиц измерения. Поэтому в действительности набор рассматриваемых задач имеет один существенный параметр имеем классический волчок Ковалевской, а при Ы а = 1, когда нарушается предположение (1.9), система имеет циклический интеграл [61,77] и сводится к семейству интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.
В дальнейшем выбираем / в качестве единицы моментов инерции, что равносильно подстановке а параметры а,Ь сохраним для симметричности получаемых выражений. Перепишем, с учетом (1.12), дифференциальные уравнения (1.7) и уравнения фазового пространства (1.8) в скалярной форме: (невыписанные уравнения второй группы получаются циклической перестановкой индексов), Первые интегралы энергии Н, Ковалевской-Богоявленского К и Реймана - Семенова-Тян-Шанского G примут в пространстве вектора у = а х р. Зафиксируем постоянные h,k,g интегралов (1.15) и рассмотрим в Р поверхность J/(A, заданную уравнениями H = h,K = k,G = g. (1.16) Она называется интегральным многообразием.
Согласно теореме Лиувилля - Арнольда [6, 5], если на поверхности (1.16) интегралы (1.15) независимы (то есть линейно независимы их дифференциалы в каждой точке Jhkg\ то эта поверхность, будучи компактной, диффеоморфна объединению конечного числа трехмерных торов, а траектории системы (1.13) соответствуют условно-периодическим движениям на торах. Связные компоненты многообразий Jf,kg называются торами Лиувилля [37, 9]. Они терпят перестройки в точках, где интегралы (1.15) становятся зависимыми. Разбиение фазового пространства на связные компоненты интегральных многообразий называется слоением Лиувилля [9]. Основная задача топологического анализа интегрируемых га-мильтоновых систем - полное описание слоения Лиувилля. Для систем с двумя степенями свободы накоплен большой опыт решения этой задачи. Для неприводимых систем с тремя степенями свободы подобная задача до конца еще не решалась.
Критические многообразия и множество дифференцируемое отображение гладких многообразий (гладкость и диф-ференцируемость полагается далее класса С" ), (/) - множество критических точек /, 2(/) - множество критических значений /. Рассмотрим отображение (1.17) как расслоение над N. Множество точек, над которыми это расслоение не является локально-тривиальным, называют бифуркационной диаграммой отображения /. Если все прообразы / (у) точек yeN компактны, то бифуркационная диаграмма совпадает с 2(/) [28].
Нулевой ранг интегрального отображения
Доказательство. Операторы (2.1), (2.2) определяют векторные поля на R9((o,a,p). Производная левой части любого из уравнений (1.14) вдоль каждого из этих полей равна нулю. Следовательно, эти поля касаются Р6. Тройка (2.1), очевидно, линейно независима и независима с любым из по 3 лей (2.2). Покажем, что поля (2.2) независимы. Допустим, что \-А,- = 0, (=1 или в векторной форме Ъ(ах — + рх—) = 0. Отсюда, по свойствам сме да ор шанного произведения (ХхаУ—+( хр — = 0. да dp Но шесть базисных полей dldaj,dld Xiij = 1,2,3) линейно независимы. Следовательно, ,ха = 0Дхр = 0. В то же время, в силу (1.14) а 0,р 0 и аїр. Поэтому X = 0.
Итак, введенные векторные поля касаются подмногообразия Р6, заданного уравнениями (1.14), и линейно независимы в каждой точке Р6. В частности, они составляют базис в каждом касательном пространстве Т,Р6,С,еРь. В то же время, точка является критической для функции на Рь, если ее производная по направлению любого касательного вектора равна нулю. Лемма доказана.
Таким образом, задача отыскания критических точек функций на Р6 (точек условного экстремума функций на R9(o ,a,p)) сведена к решению системы шести уравнений (2.3), (2.4) без неопределенных множителей.
В дальнейшем будут использованы комплексные координаты на R9(a ,a,P), введенные в [46] и обобщающие на случай двойного поля замену Ковалевской Первые интегралы (1.15) преобразуются к виду
В новых переменных векторные поля (2.1), (2.2) удобно заменить их независимыми линейными комбинациями с постоянными коэффициентами у - д у - д у _ д
Соответственно, уравнения (2.3), (2.4) множества критических точек произвольной функции / на Р6 заменятся на
Отметим еще один известный факт, широко применяемый при построении частных решений в динамике твердого тела [13].
Лемма 2.2, Пусть функция f(Q, = (ft , а, р) является многочленом от всех переменных щ,а,,$к. Пусть Cjj) - некоторая траектория системы (1.13) и f{t) -значение функции f в точке (/). Если на некотором интервале времени f{t) = 0, / є (/0 - є, t0 + г), с 0, то f{i) = V t є R.
Утверждение следует из того, что правые части уравнений (1.13) являются многочленами по указанным фазовым переменным, поэтому вдоль любой траектории переменные являются аналитическими функциями времени. Следовательно, /(/) также аналитическая функция /.
В силу линейности замены (2.5) утверждение верно и для многочленов по переменным xibyj,zk,wt. Нулевой ранг интегрального отображения
Условие rang означает, что точка С, является критической для каждой из трех функций (1.15). В частности, dH(Q = 0. Рассматриваемая система является натуральной механической системой в смысле определения [28], и критические точки гамильтониана являются положениями равновесия - неподвижными точками системы (1.13). Поэтому интегральное отображение может иметь нулевой ранг только в положениях равновесия. Обратное, вообще говоря, неверно - в классической задаче динамики твердого тела интеграл площадей вообще не имеет критических точек, несмотря на наличие положений равновесия. Следующее утверждение показывает, что для обобщенного волчка Ковалевской множество Х совпадает с множеством положений равновесия.
Таким образом, система (1.13) имеет ровно четыре неподвижных точки (2.11). Прямым вычислением проверяется, что уравнения (2.3), (2.4) для функций G,K также выполнены в точках (2.11), поэтому в них ранг отображения J равен нулю. Подстановка (2.14), (2.15) в выражения (1.15) для H,G,K приводит к равенствами (2.12). Далее подставим найденные значения в уравнения (1.25)-(1.28), получим оставшиеся утверждения теоремы.
Замечание 2.1. В работе [69] доказано, что в двойном силовом поле независимо от вида тензора инерции тело имеет ровно четыре положения равновесия, а также, что точки (2.11) являются невырожденными критическими точками потенциала. В частности, потенциал U и полная энергия Н являются функциями Морса соответственно на конфигурационном пространстве и на фазовом пространстве. На этом основании в [69] установлен топологический тип всех изоэнергетических многообразий для регулярных значений И. Как показано в [69], все множества (2.16) связны. Этот факт, вместе с общим для динамики твердого теда свойством их компактности, будет использован в дальнейшем.
Допустимое множество в составе Ё,
Определяется понятие допустимой точки в составе множества Ё, заданного уравнениями теоремы 1.2. Предлагается разбиение множества Ё на гладкие листы, соответствующие разбиению множества критических точек интегрального отображения на подмногообразия ОТ,01,0. Получены явные неравенства на постоянные первых интегралов, описывающие множества допустимых точек на листах бифуркационной диаграммы.
Основные обозначения Напомним, что рассматривается интегральное отображение волчка Ковалевской в двойном силовом поле ссР6 - множество его критических точек, S = J(a)cR3 - его бифуркационная диаграмма. Через Ё обозначено множество в R3, заданное урав 5 нениями (1.24)-(1.28): E = Jr,..
Уточним понятие допустимого множества, данное в [49], применительно к рассматриваемой задаче. Определение. Точка CQI, будет называться допустимой, если Г\с)глаФ г .
Таким образом, допустимыми точками на Ё являются лишь те, которые являются критическими значениями J, то есть точки из бифуркационной диаграммы. Отметим, что пересечение ЁпД, где Д определено согласно (1.23), не обязано совпадать с 2, так как на Ё могут находиться такие тройки постоянных интегралов, для которых интегральное многообразие не содержит критических точек J . Соответствующие примеры имеются уже в классическом случае Ковалевской [43]. Верно лишь включение ЕсЁпД. Для дальнейшего удобно разбить Ё на поверхности
Обозначим через А. множество допустимых точек листа 2,. Предложение 3.1. Точка с принадлежит границе 5Д; водном из двух случаев: 1) на уровне J \c) существует точка х, в которой rang/(x) 2 (точка сильного вырождения интегрального отображения); 2) точка с допустима и является точкой касания листа Ё(. с каким-либо другим листом Ё..
Доказательство. Первая возможность является следствием рассуждений п. 2.1. Если она не реализуется, то есть сє5Л,-, но rangj(.x ) = 2 для всех х є У-1 (с)па, то это означает, что с включается в некоторый гладкий лист в составе X, то есть через эту точку выбранный лист Ё. может быть гладко продолжен на другой лист Ё;. из выбранного разбиения (3.1), а это означает их касание в точке с, что и требовалось доказать.
Заметим, что пара прямых Ё4 = Г; с точки зрения допустимости точек полностью изучена в главе 2. Единственными критическими движениями в составе J l(T5) являются маятниковые движения (2.20), (2.21), а следовательно, множество допустимых точек определено неравенствами в (2.22), (2.23).
Очевидно, Ё, - координатная плоскость в R3, Ё2 - наклонный параболический цилиндр, заданный уравнением Поверхность Ё3 более сложна, но задана явными параметрическими уравнениями (1.27). В целом она может не являться гладкой поверхностью в R3, но является образом двух полуплоскостей {{h,s):s 0} при гладком отображении R2( ,s)- R3(/;,g,A).
Критические множества с п./-1 (Г,) (/ = 1,2,3) как рази установлены теоремой 1.1 - это множества Ш1,9Т,0 соответственно. Этим и продиктовано разбиение (3.1).
В каждом из трех отмеченных случаев на соответствующем критическом множестве (за исключением, возможно, множества меры нуль) имеют место следующие свойства: критическое множество задано двумя независимыми уравнениями в Р6 и, следовательно является четырехмерным многообразием, индуцированная динамическая система на нем гамильтонова с двумя степенями свободы, критические интегральные многообразия определяются двумя независимыми первыми интегралами (общими или частными). Это следует из описания ситуации общего положения в [37] и явных уравнений теоремы 1.1.
Пусть р - одно из трех многообразий OT,W,D, и пусть /,,/2 - пара независимых почти всюду интегралов индуцированной системы. Рассмотрим частное интегральное отображение При этом уравнения соответствующего листа ї,і фактически определяют выражения исходных интегралов HbGbK через /р/2, имеющие место в точках множества р = ап/_,(Ё(). Поэтому допустимое множество Д, в составе Ё, полностью определяется образом отображения (3.3) на плоскости констант интегралов /р/2. Очевидно, что результат в пространстве
Разделяющие кривые в плоскости параметров
Для того чтобы получить наглядное представление о сложной поверхности , которая является бифуркационной диаграммой обобщенного волчка Ковалевской естественно рассмотреть эволюцию ее сечений некоторым семейством параллельных плоскостей. В связи с интересом к изоэнер-гетическим поверхностям в общей теории бифуркаций интегрируемых га-мильтоновых систем предпочтительно в пространстве констант первых интегралов брать плоскости заданного значения энергии. Сечение Б такой плоскостью оказывается, в свою очередь, бифуркационной диаграммой динамической системы, индуцированной на изоэнергетическом уровне. В главе проводится полная классификация таких диаграмм в зависимости от значения энергии и одного существенного физического параметра системы.
Продолжая изучать интегральное отображение волчка Ковалевской в двойном силовом поле рассмотрим сечения бифуркационной диаграммы 2 = S(J) плоскостями, параллельными плоскости Ogk у проведенными на уровне h. Обозначим проекцию этого сечения на плоскость Ogk через Hh. Это множество является бифуркационной диаграммой отображения называется изоэнергетической поверхностью.
Действительно, критические точки С,еР6 отображения (4.1) описываются уравнением с неопределенными множителями Лагранжа XidK(Q + X2dG(Q + XQdH(Q = 0. Но этим же уравнением описываются и критические точки самого интегрального отображения J. В частности, критическую точку функции Н, лежащую на уровне Eh, следует по определению считать критической точкой отображения (4.1). Следовательно, o(J)nEh =c(Jh). Поэтому образ А множества сг ) в плоскости Okg отличается от сечения множества Е соответствующей плоскостью уровня h просто добавлением постоянной третьей координаты.
В этой главе удобно воспользоваться оставшимся произволом в выборе единиц измерения так, чтобы напряженность более «сильного» поля а стала единичной (напомним, что а = а Щ = Ь). Для этого следует единицу измерения угловой скорости увеличить в yja раз (во столько же раз уменьшится единица измерения времени), а единицу измерения векторов а,р увеличить в а раз. После этого в качестве единственного оставшегося существенного параметра можно взять отношение напряженностей (1.11). Однако поскольку а выбрано за единицу, то и модуль векторного произведения ахр], обозначенный ранее через у, будет равен этому параметру.
Формально это соответствует замене Тогда изоэнергетическую поверхность (4.2), отображение (4.1) и его бифуркационную диаграмму следует рассматривать в зависимости не только от значения энергии h, но и от параметра у. В связи с этим, множество точек, на которых SA = А(у) терпит качественные перестройки, будем изучать в плоскости параметров (у,Л). Это множество (определяющее диаграммы, качественно меняющиеся при малом изменении параметров) будем называть разделяющим, а кривые в его составе - разделяющими кривыми.
Выберем следующий путь построения разделяющего множества. Рассмотрим уравнения (1.24)-(1.28) при фиксированных (у,й) как уравне ния системы кривых на плоскости (g,k)- В соответствии с определением поверхностей (3.1) получим уравнения следующих одномерных подмножеств этой плоскости (последнее оказывается парой точек).
Эта система кривых имеет определенное множество особенностей: точки трансверсального пересечения, точки касания, точки возврата. Разделяющими случаями будут те, когда эти особенности появляются, исчезают, совпадают в одной точке и т.п.
Все эти случаи изучаются, строятся соответствующие разделяющие кривые и соответствующие (структурно неустойчивые) случаи проверяются на принадлежность уже известному множеству допустимых точек на Т,. После этого строятся реально существующие диаграммы Sft.
