Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Точные решения для системы уравнений термодиффузионного движения двухслойных смесей 23
1.1 Вспомогательные предположения 23
1.1.1 Преобразование Лапласа 23
1.1.2 Методы численного обращении преобразования Лапласа и априорные оценки 25
1.2 Начально-краевая задача для поля скоростей 28
1.2.1 Постановка задачи. Интеграл энергии 28
1.2.2 Решение в изображениях по Лапласу 31
1.2.3 Линейное начальное поле скоростей 33
1.2.4 Решение для полуограничениых слоев 37
1.3 Автомодельное движение бинарных смесей 40
1.3.1 Постановка начально-краевой задачи 40
1.3.2 Представление решения 41
1.3.3 Асимптотическое поведение решения 4и
1.3.4 Численное решение и выводы 49
1.4 Решение начально-краевой задачи, возникающей при совместном движении двух слоев бинарных смесей 52
1.4.1 Постановка начально-краевой задачи 52
1.4.2 Определение поля скоростей, возмущений температурных полей и концентрации 52
1.4.3 Выход решений на автомодельный режим 59
1.4.4 Стационарное решение 62
1.4.5 Асимптотическое поведение решения при t -ї со . 64
1.4.6 Результаты численного обращения преобразования Лапласа 78
Глава 2. Начально-краевые задачи для системы уравнений термодиффузионного движения однослойных смесей 80
2.1 Об одном уравнении динамики вязкой жидкости 80
2.1.1 Постановка задами 80
2.1.2 Преобразование задачи и метод численного решения 84
2.1.3 Точное решение 89
2.2 Влияние динамики на термодиффузпю в плоском слое со свободы Е>Ш и границами 90
2.2.1 Задача о движении плоского слоя 90
2.2.2 Молекулярный перенос тепла и примеси 93
2.2.3 Расчет поля температур 98
2.2.4 Учет термодиффузии 102
2.2.5 Конечно-разностный метод 104
2.3 О движении плоского слоя жидкости с двумя свободными границами под действием эффекта Соре 105
2.3.1 Решение специального вида 105
2.3.2 Преобразование исходной задачи (2.2.7)-(2.2.23) 108
2.3.3 Численное решение НО
2.4 О движении плоского слоя жидкости со свободной границей и твердой стенкой 115
2.4.1 Постановка задачи и решение специального вида .115
2.4.2 Стационарное течение 116
2.4.3 Безразмерная задача. Численное решение 118
Заключение 123
Список литература 125
- Вспомогательные предположения
- Начально-краевая задача для поля скоростей
- Об одном уравнении динамики вязкой жидкости
Введение к работе
Актуальность проблемы. Среди множества моделей, используемых в механике жидкости и газа, можно выделить так называемые классические модели, к которым относятся уравнения газовой динамики, уравнения Эйлера, Навье-Стокса, Обербека-Буесинеска, пограничного слоя Прандтля. В последнее время в связи с появлением новых задач, развитием математического аппарата и средств вычислительной техники возрос интерес к неютассиче-ским моделям гидродинамики. Такие усложненные модели с большей точностью (по сравнению с классическими) описывают реальные физические процессы и в последнее время активно используются в вычислительной гидродинамике. В связи с этим является актуальной задача качественного исследования подмоделей усложненных моделей. В частности, точные решения всегда играли и продолжают играть огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Эти решения часто используют в качестве '^тестовых задач" для проверки корректности и оценки точности различных асимптотических, приближенных и численных методов.
Изучению неклассических моделей с помощью теоретико-групповых методов посвящены монографии АндрееваВ.К., Капцова О.В., Пухначева В.В., Родионова А.А. и Андреева В.К., Бублика В.В., Бытева В.О., в которых исследуются уравнения: термокапиллярного движения, пограничного слоя Ма-рангони, микроконвекции, термодиффузии и вязкого теплопроводного газа.
Данная работа посвящена изучению подмоделей модели конвективного движения бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии. Эти подмодели возникают при изучении движений смесей в достаточно длинных плоских слоях. По классификации группового анализа они являются инвариантными или частично-инвариантными решениями общих уравнений термодиффузии. Соответствующие системы уравнений хотя и содержат меньшее число зависимых и независимых переменных, однако начально-краевые задачи для них являются очень трудными для исследования.
Термодиффузиай называют молекулярный перенос вещества, связанный с наличием в среде (жидком растворе или газовой смеси) градиента температуры. При термодиффузии концентрация компонентов в областях повышенной и пониженной температуры различна. Наличие градиента концентрации приводит к возникновению обыкновенной диффузии. Стационарное состояние устанавливается тогда, когда процессы диффузии и термодиффузии уравновешивают друг друга (то есть процесс перемешивания компонентов смеси компенсируется процессом их разделения). На практике часто встречается нормальная термодиффузия, при которой тяжелые компоненты стре-
мятся перейти в более холодные области, а легкие компоненты — в более нагретые области. В некоторых случаях наблюдается аномальная термодиф-фузия, при которой направление движения компонентов меняется на противоположное. Термодиффузию в растворах также называют эффектом Соре,
Термодиффузия часто встречается в природе, а также имеет множество приложений в технике. Основу модели термодиффузии составляет система уравнений Навье-Стокса, дополненная уравнениями тепло- и массопереноса. Точные решения уравнений конвекции бинарной смеси рассматривались в работах Геригуни Г.З., Жуховицкого Б.М., Сорокина Л.Е. и YanaseS., KohnoK., посвященных в основном изучению устойчивости соответствующих движений. Результаты исследования устойчивости механического равновесия бинарной смеси с учетом термодиффузии можно найти в работах Гершуни Г.З., Жуховицкого Е.М.. Устойчивость термодиффузионного движения в вертикальном слое при наличии поперечной разности температур рассматривалась в работе тех же авторов, а при наличии еще и продольного градиента концентрации — в работе Николаева Б.И., Тубина А.А.. В статье Смородина В.Л. изучалась неустойчивость плоского горизонтального слоя несжимаемой бинарной газовой смеси под действием поперечного, модулированного по времени градиента температуры.
В указанных выше работах были найдены точные решения уравнений термодиффузии, описывающие стационарное основное течение. Методы группового анализа дифференциальных уравнений при этом не использовались. Однако, как показано в работах Рыжкова И.И., все эти решения имеют групповую природу. Групповые свойства этой системы в случае отсутствии массовых сил так же исследованы Андреевым В.К. и отмечена важность изучения нестационарных движений смесей. Поэтому исследование начально-краевых задач о движении смесей в плоских слоях с поверхностями раздела или свободными границами является актуальной задачей.
Цель диссертационной работы заключается в исследовании инвариантных и частично-инвариантных решений начально-краевых задач, описывающих однослойные и двуслойные термоднффузионные движения смесей в плоских слоях при наличии поверхности раздела или свободной границы, построении точных решений этих задач и вычислении их асимптотического поведения, а так же численное решение поставленных задач и их физической интерпретации.
Методы исследования, В данной работе для нахождения точных решений и вычисления асимптотик использовались метод преобразования Лапласа, метод Фурье для решения параболических уравнений, метод априорных оценок, а так же методы общей теории дифференциальных уравнений.
Для "численного решения задачи были использованы следующие методы: метод численного обращения преобразования Лапласа при помощи квадратурной формулы наивысшей степени точности, метод Галеркина, метод Рунге-Кутты, метод пристрелки и метод прогонки.
Научная новизна, В диссертации впервые исследованы начально-краевые задачи, описывающие нестационарные однослойные и двуслойные течения бинарных смесей. Для решений специального вида найдены точные решения и вычислено их асимптотическое поведение. Численное решение некоторых задач хорошо подтверждает качественные результаты.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях: моделирование конвективных течений, качественный анализ дифференциальных уравнений. Проведенное исследование моделей тер-мсдиффузиовного движения вносят вклад в качественную теорию дифференциальных уравнений данной подмодели, а так же теорию описываемых этой моделью явлений — конвекции, диффузии и термодиффузни. Найденные точные решения дают качественную информацию о процессах конвекции, диф-фузии и термодиффузии в плоских слоях, а так же позволяют оценить влияние параметров задачи на режим течений. Эти решения могут использоваться в качестве тестовых задач для отработки численных алгоритмов.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, семинарах и научных школах:
XXXV Региональной молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2004),
V Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2004),
XXXVI Региональной молодежной школе-конференции " Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 2005),
Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент н приложения" (Бийск, 2005),
VI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2005),
VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006),
XXXVII Региональной молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2006),
Конференция молодых ученых Института Вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск, 2004-2006),
Семинаре Института Вычислительного моделирования СО РАН "Ма-
тематическое моделирование в механике"под руководством профессора В.К. Андреева.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, который содержит 58 наименований. Общий объем диссертации 131 страниц, включая 27 рисунков.
Вспомогательные предположения
В течении нескольких последних десятилетий н математике, механике и технике для решения многих задач стали особенно часто и успешно применяться операционные методы на основе преобразования Лапласа [13, 14).
Операционный метод решения задач можно подразделить на четыре этапа:
1) от искомой функции-оригинала f(t) переходят к функции-изображению
2) над F(p) производят операции, соответствующие операциям над /(), после чего получают уравнение относительно F(p), которое часто бывает значительно проще уравнения для оригиналов;
3) полученное уравнение для изображений решают относительно F(p);
4} от найденного изображения F(p) переходят к оригиналу f(i), который
и является искомой функцией.
Во многих случаях самым трудным является четвертый этап -- нахождение оригинала f(t) по изображению F(p), то есть задача обращения преобразования Лапласа.
Определение 1. Функцией-оригиналом будем называть любую комплексную функцию f(t) действительного аргумента t, удовлетворяющую следующим условиям:
Определение 3. Выражение (1.1.1) ставит в соответствие каждой однозначной функции f(t), для которой несобственный интеграл (1.1.1) сходится, единственную функцию F(p), определенную в полуплоскости Rep SQ.
Для непосредственного вычисления функции f(y,t) использовать формулу (1.1.5) затруднительно. Но поскольку (1.1.5) является интегралом от аналитической функции, взятым по контуру в комплексной плоскости, его можно преобразовать, применив для этого методы, известные из теории функций комплексного переменного. Такого рода преобразования в некоторых случаях позволяют получить практически удобное выражение для оригинала, из которого можно получить важные свойства функций, определяемой комплексным интегралом.
Рассмотрим один из методов вычисления оригинала при помощи таких преобразований комплексного интеграла (1.1.5). Этот метод основан на замене подинтегралной функции F(y,p) другой функцией, которая интерполирует F(y,p) по значениям ее в некоторых точках. Погрешность вычисления интеграла (1.1.5) будет зависеть,главным образом, от той точности, с которой мы можем интерполировать функцию F(y,p). Чтобы получить хорошую точность, важно согласовать способ интегрирования со свойствами функции F(y,p), которая является пс произвольной, а функцией изображением.
Численное обращение преобразования Лапласа выполняется при помощи квадратурной формулы наивысшей точности, построенной для интеграла Римапа-Мслипа (1.1.5), [36].
Начально-краевая задача для поля скоростей
Исследуется п ач алы ю- краевая задача, возникающая при двумерном движении двух иесмсшивающихся жидкостей с общей поверхностью раздела. Предположим, что имеются два слоя вязкой несжимаемой жидкости толщины и І2 соответственно, контактирующие через поверхность раздела у — 0 (рис. 1).
В пункте 1.2 рассматривается движение чистой жидкости без учета температуры и концентрации и градиент давления в жидкостях отсутствует. Поэтому движение определяется только под действием начального поля скоростей. Однонаправленное совместное движение этой системы описывается решением следующей начально-краевой задачи (см. (2), (4), (6), (10), где u=(w(y,0,0,0)JpI = 0) (1.2.2) (1.2.3) (1.2.4) (1.2.5) (1.2.6) (1.2.7) (1.2.8) Условия (1.2.3), (1.2.6) представляют собой условия прилипания на неподвижных стенках; (1.2.7) — равенство скоростей, а (1.2.8) — равенство касательных напряжений на поверхности раздела; v\ = p-i l P\,2i Р \,2 динамические вязкости, р\;2 — плотности жидкостей.
Докажем единственность решения задачи (1.2.1)-(1.2.8), когда (1.2.7) выполнено Vi 0 — нет разрыва скоростей при t = 0, то есть для гладкого решения. Умножим уравнение (1.2.1) на р\щ и проинтегрируем по у от —1\ до пуля с учетом (1.2.3), получим.
Складывая последние равенства с использованием граничных условий (1.2.7) и (1.2.8), приходим к соотношению.
Поскольку правая часть в (1.2.9) не положительна, то полная энергия в системе монотонно убывает и (1.2.1)-(1.2.8) единственно.
Под словом "гладкое"решспие понимается классическое решение рассмотренной задачи, при котором (1.2.7), (1.2.8) выполнении для всех t 0 и выполнены условия согласования для начальных значений (они предполагаются непрерывными на [- ,0] и [0, ]) Ulo(0) = U20(0), ЩЩ0у(0) = 2«20у(0).
На самом деле равенство (1.2.9) позволяет установить асимптотическое поведение гладкого решения при t - со. Действительно, поскольку
Они получаются из (1.2.11) путем возведения «і, щ в квадрат и применением неравенства Коши-Буняковского.
Теорема 4. Гладкое решение задачи (1.2.1)-(1.2.8) при t - 00 стремится к стационарному (нулевому) решению, причем справедливы оценки скорости сходимости (1.2.14), (1.2.15), равномерные поу из интервалов (— i,0), (0, ) Как будет показано в дальнейшем выход решения задачи (1.2.1)-(1.2.8) на нулевое при t — со имеет место и когда не выполнены условия ( ), то есть и для не классического решения.
Об одном уравнении динамики вязкой жидкости
Рассмотрим двумерное движение вязкой несжимаемой жидкости в условиях полной невесомости. Оно описывается системой уравнений Навьс-Стокса компоненты вектора скорости; p(x,y,t) —давление; Q — плотность жидкости, v — ее.кииематическая вязкость. Основная алгебра .; Ли группы непрерывных преобразований для этой системы вычислена в [4]. Рассмотрим подгруппу ( ). Можно показать, что инвариантных решений на этой подгруппе система не имеет, однако существуют частично-инвариантные решения вида u(x,y,t), u2 = v{y,t), p = p{y,t). (2.1.4)
Из уравнения сохранения массы следует, что щ есть линейная функция от х и положим для простоты щ = xu(y,t). (2.1.5) Утверждение 2. Если для системы уравнений (2,1.1)-(2.1.3) решение ищется в виде (2.1.4), (2.1.5), то система уравнений преобразуется к следующей: щ + vuy + и2 = vuyv\ (2.1.6) u + i = 0; (2.1.7) -ру = uvyy - vvy - vt. (2.1.8)
При v = 0 (идеальная жидкость) (2.1.6), (2.1.7) полностью интегрируется. Для этого введем лагранжеву х\ координату с помощью решения задачи Копш
Таким образом u(y,t) = ш(т](у,і),і), v(y,t) = d{r}{y,t),t), где r}(y,t) определяется неявно из (Исследованы групповые свойства системы уравнения (2.1.6), (2.1.7), в которой надо положить v 1. Вычисления показывают, что основная алгебра Ли образована операторами Xi = 2tdt + уду - vdv, . = dt, А з (/()) = f(t)d/dy + f (t)d/dv. На операторе X (f(t)) решение следует искать в виде v = Ф(і)у + V(t), на операторе X (j (t)) Х2 решение ищется в виде v — -f (t) + !?(), = у + f{t). На операторе Х\ решение ищется в виде v = t l 2f( )) где = y/Vt — автомодельное решение.
Уравнения (2.1.6), (2.1.7) образуют замкнутую подсистему, после определения функции v давление восстанавливается квадратурой из (2.1.8).
Решение вида (2.1.4), (2.1.5) может описывать нестационарные движения: плоского слоя с одной или двумя свободными границами [4]; твердыми стенками. В первом случае у — l(t) — толщина слоя, у = 0 — твердая стенка либо l(t) — полутолщииа слоя, когда обе границы у ±t{t) свободные. Для второй ситуации I — 1$ — есть толщина слоя и у — 0, /Q — суть твердые стенки. Будем рассматривать два случая:
