Содержание к диссертации
Введение
1 Симметрийная классификация 10
1.1 Общий случай 10
1.2 Приводимое пространство Уз 15
1.2.1 Общие свойства высших симметрии 15
1.2.2 Конфигурационное пространство с метрикой ds2 = du2 + 2(vw + c)-ldvdw 18
1.2.3 Конфигурационное пространство с метрикой ds2 = du2-\-2{v + w)~1dvdw 34
2 Гамильтонова форма 39
3 Представления нулевой кривизны 41
3.1 Представление нулевой кривизны для системы (1.23) . 45
3.2 Представление нулевой кривизны для системы (1.31) . 52
3.3 Представление нулевой кривизны для системы (1.26) . 57
3.4 Представление нулевой кривизны для системы (1.29) . 59
3.5 Представление нулевой кривизны для системы (1.33) . 62
3.6 Представление нулевой кривизны для системы (1.35) . 67
3.7 Представление нулевой кривизны для системы (1.37) . 69
4 Дифференциальные подстановки для симметрии и интегрируемость по Дарбу гиперболических систем 72
4.1 Системы, интегрируемые по Дарбу 72
4.2 Построение полных наборов псевдоконстант для систем (4.2)-(4.5),(1.39),(1-40) 76
4.3 Дифференциальные подстановки для симметрии систем (l.22a)-(1.22g) 80
Заключение 87
Список литературы 88
Приложения 95
- Конфигурационное пространство с метрикой ds2 = du2 + 2(vw + c)-ldvdw
- Представление нулевой кривизны для системы (1.23)
- Построение полных наборов псевдоконстант для систем (4.2)-(4.5),(1.39),(1-40)
- Дифференциальные подстановки для симметрии систем (l.22a)-(1.22g)
Введение к работе
Одним из важнейших событий в математике XX века является открытие нового фундаментального метода интегрирования дифференциальных уравнений - метода обратной задачи рассеяния [50]. С помощью этого метода удалось проинтегрировать ряд уравнений, играющих важную роль в описании нелинейных волн самой различной природы. К этим уравнениям относятся, в частности, уравнение Кортвега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение sin-Gordon [15] и др. Как оказалось, эти уравнения обладают широкими классами точных решений, среди которых наиболее известны солитонные. Этот факт возродил интерес исследователей к методам точного интегрирования как таковым. Открытие метода обратной задачи рассеяния также стимулировало множество других, связанных с ним исследований. Одной из таких задач является задача классификации, которая состоит в том, чтобы перечислить уравнения из определенного класса, которые могут быть затем проинтегрированы этим методом.
Задача классификации является одной из задач, которым посвящена данная диссертация. Объектом исследования являются двумерные системы с лагранжианом L = (l/2)ga0(u)u»u0t+f(u). (В.1)
Здесь /, дар — д0а некоторые дифференцируемые функции, а = 1,..., т, det(gap) ^ 0. На протяжении всей работы мы подразумеваем суммирование по повторяющимся индексам, кроме этого мы считаем все встречающиеся функции локально гладкими.
Из лагранжиана (В.1) следуют полевые уравнения «ь + ^(«к< = г(«), (в.2) здесь Г"м - символы Кристоффеля, соответствующие метрике да0 Vfi 2У \dut* du" du')1 3 fa = gaPfp,fa = Oaf ~ df/dua. Мы рассматриваем только такие конфигурационные пространства Vm, тензор Римана которых не равен нулю. Система (В.2) является частным случаем систем общего вида u = F(tA«S,«f). (В.З).
Нелинейным уравнениям и системам вида (В.З) посвящено большое число работ, однако, классификация интегрируемых уравнений имеется только в ряде частных случаев. Например, для случая уравнений вида uxt — F(u), в работах [13], [44] показано, что интегрируемыми над полем комплексных чисел являются только три уравнения Uxt = Є , «arf = BU + Є , Uxt = Slll«.
Это хорошо известные уравнения Лиувилля, Цицейки и уравнение sin-Гордон, которые представляют два различных класса интегрируемых уравнений: для уравнения Лиувилля известна формула общего решения, а уравнения Цицейки и sin-Гордон являются интегрируемыми методом обратной задачи рассеяния. Обобщением уравнения Лиувилля для случая систем уравнений являются открытые цепочки Тоды [34], [18], [61], которые можно записать в виде
4* = А}ехр(гД здесь А^-элементы матрицы Картана простой алгебры Ли. К классу систем лиувиллевского типа относятся также системы типа уравнения Риккати, рассмотренные в работе [4].
Первая интегрируемая система вида (В.2) - система для полей со значениями на Sn, была открыта в работе [60]. Системы вида (В.2) являются модельными в квантовой теории поля и в теории магнетиков. Поэтому они постоянно привлекают к себе интерес исследователей, и им посвящено огромное число публикаций. По этой причине мы сошлемся лишь на некоторые обзорные работы [33], [26], [57].В большинстве работ, процитированных в указанных обзорах, изучаются уравнения главных киральных полей при помощи известного представления нулевой кривизны. Там же можно найти ссылки на работы, в которых получены новые интегрируемые системы при помощи редукций, введенных в работе [16] для главных киральных полей.
Иной подход к интегрируемым системам, основанный на теории двумерных поверхностей, по сути дела был заложен в работах Бианки, Беклунда и других классиков (см. например, [41]). Эти идеи были переосмыслены в 20 веке в работах [53], [54] и применены к построению интегрируемых систем вида (В.2). В связи с этим геометрический подход называется иногда методом Лунда-Редже. Геометрический подход описан во многих обзорах (см. например, [64]). Известны также работы, в которых системы вида (В.2) возникли в результате удачного выбора матриц, реализующих представление нулевой кривизны нелинейной системы (см. например, [3], [63], [59], [43]).
В недавней работе [40] предложена теоретико-групповая конструкция интегрируемых систем вида (В.2) с аффинной связностью Г^к и ненулевой вектор-функцией /*. Выбирая конкретную полупростую группу Ли, можно получать новые интегрируемые системы. Авторы приводят два примера: SL(2) и SO(3). В первом случае получается уравнение синус-Гордона, а во втором - по-видимому, новая интегрируемая система с лагранжианом L = -(и\.и\ + u2xul + t4ut) +cosw3uJ?4 -pcosw3 + acoswisinu3, где аир- постоянные. Заметим, что этот лагранжиан можно записать в виде (В.1) только с несимметричной метрикой.
Все перечисленные выше подходы затруднительно применить для решения следующей задачи: интегрируема или нет наперед заданная система? Наиболее последовательным подходом к решению таких, а также классификационных задач является, на наш взгляд, симметрий-ный подход [21], [1]. Известно, что многие интегрируемые с помощью метода обратной задачи рассеяния системы допускают бесконечный набор высших симметрии. И наоборот, если нелинейная система допускает высшие симметрии, то она, как правило, интегрируема. Поэтому поиск систем, допускающих высшие симметрии, явлется одним из методов их классификации.
Симметрийный подход очень эффективен в случае эволюционных систем, однако при симметрийной классификации систем (В.2) в общей постановке возникают серьезные технические трудности в противоположность эволюционным системам. Поэтому обычно делаются разного рода упрощающие предположения. Наиболее важные результаты, полученные этим способом, содержатся в работах [28] и [62], где получено «векторно-матричное» обобщение системы главных киральных полей и изучены поля со значениями в неассоциативных алгебрах, и найдены новые интегрируемые системы вида (В.2) (при / = 0) на таких алгебрах.
В работе [6], идейно близкой к симметрийному подходу, найдены все системы с лагранжианом
1 L = - ф(щ v)(utvx + uxvt) + f(u, v), допускающие высшие сохраняющиеся плотности порядка 2 и 3, являющиеся полиномами от ип = д"и и vm = dv, п,т > 0. Таких систем существует только три lutvx + uxvt ( . Т lufvx + uxvt
2 uv + с 2 uv + с CB 41 lutvx + uxvt . . K ' } L3 = - + k(u + v),
2 и 4- v где с ф О и к - постоянные. Отметим, что лагранжианы (В.4) отличаются от приведенных в работе [6] точечным преобразованием. Система с лагранжианом Ьг эквивалентна системе Лунда-Редже (комплексный синус-Гордон), а лагранжиан L^ приводится к квадратичному по полям з = ФіФх + ФхФі + 2& фф v подстановкой и + v = 20^1 * «t ~{ФФ)± + *(&^ - Л), "а = (#)ж - І{Ф*Ф - ФФх), Vt ={ФФ)і - КФіФ - ФФі), vx = {ФФ)х + ІІФхФ - ФФх)-
Эта подстановка совместна только при условии ф%хф = фіхФ (или {фхф)ь = [Фіф)х)-> которое заведомо выполнено на решениях линейной системы уравнений Клейна-Гордона ф^ = кфу фіх = кф. Исследованию модели с лагранжианом L2 посвящена работа [5], в которой показано, что эта модель обладает всеми свойствами интегрируемых систем: допускает представление нулевой кривизны, солитонные решения и т.д. Так же в этой работе приводится преобразование, приводящее систему к билинейной форме, которая удобна для построения многосолитонных решений.
В работе [20] показано, что требование существования высших по- ^ линомиальных симметрии у системы вида (В.2) в двумерном конфигу- рационном пространстве приводит к системам с лагранжинами (В.4), там же получена система уравнений в ковариантных производных на коэффициенты симметрии в произвольном римановом пространстве.
Данная диссертация продолжает серию исследований, начатых в процитированных выше работах. Первая из задач состоит в отыскании систем вида (В.2), допускающих высшие полиномиальные симметрии. Задача решается для случая трехмерного приводимого риманова прост- ранства V3. Из-за чрезвычайной трудоемкости вычисления симметрии высоких порядков, мы ограничиваемся рассмотрением систем, допускающих симметрии порядка не выше пятого.
Вторая задача состоит в исследовании интегрируемости полученных систем. В качестве определения интегрируемости мы принимаем тре- бование существования представления нулевой кривизны, содержаще го спектральный параметр. Для доказательства нетривиальности полу ченных представлений, мы приводим рекуррентные соотношения для законов сохранения. Отметим, что высшие сохраняющиеся плотности представляют самостоятельный, в том числе и для приложений, инте- t рее, поэтому мы приводим в явном виде несколько плотностей невысо- кого порядка. Построение представления нулевой кривизны опирается на исследовании эволюционной системы < = *"(*)> (В-5) где а - одна из высших симметрии гиперболической системы, В результате, мы доказываем также интегрируемость системы (В.5). В связи с этим представляют инетерес системы, связанные дифференциальной подстановкой с системой (В.5). Задача построения таких систем решается с помощью понятий псевдоконстанты и системы интегрируемой по Дарбу. Замечательно, что интегрируемые по Дарбу системы возника- v ют как вырождения гиперболических систем, интегрируемых в смысле метода обратной задачи рассеяния. Таким образом, существует прямая 4 аналогия с рядом примеров для случая одного скалярного уравнения [11], [13]. Для доказательства интегрируемости по Дарбу необходимо предъявить полный набор нетривильных псевдоконстант.
Работа состоит из Введения, четырех глав, Заключения и двух приложений. Первая глава посвящена симметрийной классификации систем (В.2). В параграфе 1.1 приводятся основные определения, а также ряд теорем (1-3), доказанных А.Г. Мешковым в работе [20]. Большое значение для данной работы имеет теорема 3, которая утверждает, что в случае двух зависимых переменных существует только два римановых '* пространства таких, что соответствующая система (В.2) может допус- кать высшие полиномиальные симметрии. Эта теорема сводит задачу симметрийной классификации в пространстве, метрика которого распадается на двумерные неприводимые блоки, к классификации лагран- жианов (В.1), отличающихся только видом входящей в них функции /. Параграф 1.2 посвящен симметрийной классификации систем (В.2) в трехмерном приводимом пространстве. В первой его части приведены результаты общего характера, которые частично опубликованы в работе [46]. Во второй и третьей части параграфа доказываются клас-
4- сификационные теоремы и приводится явный вид систем и допускае- мых ими симметрии до четвертого порядка включительно. Симметрии пятого порядка, из-за их громоздкости, приведены в приложении А.
В главе 2 показано, что любая система (В.2) в трехмерном приводимом пространстве может быть записана в явной гамильтоновой форме. Этот факт позволяет установить простое соответствие между симмет-риями и законами сохранения системы (В.2), а также обосновать предложенный нами способ построения представлений нулевой кривизны.
Конфигурационное пространство с метрикой ds2 = du2 + 2(vw + c)-ldvdw
Это хорошо известные уравнения Лиувилля, Цицейки и уравнение sin-Гордон, которые представляют два различных класса интегрируемых уравнений: для уравнения Лиувилля известна формула общего решения, а уравнения Цицейки и sin-Гордон являются интегрируемыми методом обратной задачи рассеяния. Обобщением уравнения Лиувилля для случая систем уравнений являются открытые цепочки Тоды [34], [18], [61], которые можно записать в виде здесь А -элементы матрицы Картана простой алгебры Ли. К классу систем лиувиллевского типа относятся также системы типа уравнения Риккати, рассмотренные в работе [4].
Первая интегрируемая система вида (В.2) - система для полей со значениями на Sn, была открыта в работе [60]. Системы вида (В.2) являются модельными в квантовой теории поля и в теории магнетиков. Поэтому они постоянно привлекают к себе интерес исследователей, и им посвящено огромное число публикаций. По этой причине мы сошлемся лишь на некоторые обзорные работы [33], [26], [57].В большинстве работ, процитированных в указанных обзорах, изучаются уравнения главных киральных полей при помощи известного представления нулевой кривизны. Там же можно найти ссылки на работы, в которых получены новые интегрируемые системы при помощи редукций, введенных в работе [16] для главных киральных полей.
Иной подход к интегрируемым системам, основанный на теории двумерных поверхностей, по сути дела был заложен в работах Бианки, Беклунда и других классиков (см. например, [41]). Эти идеи были переосмыслены в 20 веке в работах [53], [54] и применены к построению интегрируемых систем вида (В.2). В связи с этим геометрический подход называется иногда методом Лунда-Редже. Геометрический подход описан во многих обзорах (см. например, [64]). Известны также работы, в которых системы вида (В.2) возникли в результате удачного выбора матриц, реализующих представление нулевой кривизны нелинейной системы (см. например, [3], [63], [59], [43]).
В недавней работе [40] предложена теоретико-групповая конструкция интегрируемых систем вида (В.2) с аффинной связностью Г к и ненулевой вектор-функцией / . Выбирая конкретную полупростую группу Ли, можно получать новые интегрируемые системы. Авторы приводят два примера: SL(2) и SO(3). В первом случае получается уравнение синус-Гордона, а во втором - по-видимому, новая интегрируемая система с лагранжианом где аир- постоянные. Заметим, что этот лагранжиан можно записать в виде (В.1) только с несимметричной метрикой.
Все перечисленные выше подходы затруднительно применить для решения следующей задачи: интегрируема или нет наперед заданная система? Наиболее последовательным подходом к решению таких, а также классификационных задач является, на наш взгляд, симметрий-ный подход [21], [1]. Известно, что многие интегрируемые с помощью метода обратной задачи рассеяния системы допускают бесконечный набор высших симметрии. И наоборот, если нелинейная система допускает высшие симметрии, то она, как правило, интегрируема. Поэтому поиск систем, допускающих высшие симметрии, явлется одним из методов их классификации.
Симметрийный подход очень эффективен в случае эволюционных систем, однако при симметрийной классификации систем (В.2) в общей постановке возникают серьезные технические трудности в противоположность эволюционным системам. Поэтому обычно делаются разного рода упрощающие предположения. Наиболее важные результаты, полученные этим способом, содержатся в работах [28] и [62], где получено «векторно-матричное» обобщение системы главных киральных полей и изучены поля со значениями в неассоциативных алгебрах, и найдены новые интегрируемые системы вида (В.2) (при / = 0) на таких алгебрах.
В работе [6], идейно близкой к симметрийному подходу, найдены все системы с лагранжианом допускающие высшие сохраняющиеся плотности порядка 2 и 3, являющиеся полиномами от ип = д"и и vm = dv, п,т 0. Таких систем существует только три где с ф О и к - постоянные. Отметим, что лагранжианы (В.4) отличаются от приведенных в работе [6] точечным преобразованием.
Представление нулевой кривизны для системы (1.23)
Хотя наличие высших симметрии является характерным для уравнений, интегрируемых с помощью метода обратной задачи рассеяния, однако это не является достаточным условием, В случае, если система является вполне интегрируемой, то для доказательства интегрируемости следует предъявить представление Лакса или преобразование Беклун-да; если ate система является интегрируемой но Дарбу, то необходимо указать полный набор псевдоконстант.
Если какую-либо нелинейную систему можно представить как условие совместности линейной матричной системы Ф = /Ф, Ф( = УФ, то есть в виде: то говорят, что эта система имеет представление нулевой кривизны. В уравнении (3.1) [U, V] - коммутатор матриц, матрицы U тлУ зависят от полевых функций, их производных и некоторого параметра А, называемого обычно спектральным параметром.
Для построения представления нулевой кривизны можно исходить из самого уравнения (3.1), считая матрицы U и V неизвестными функциями от полевых функций и некоторого конечного набора их производных. Для вполне интегрируемых эволюционных систем такая задача обычно легко решается, но для гиперболических систем ситуация совершенно иная: для заданной системы (В.2) получается практически нере-шаемая система уравнений. Для упрощения можно выбрать матрицы U и V в следующем виде:
что соответствует решениям, приведенным ниже . Тогда, подставив (3.2) в (3.1), и потребовав, чтобы получилась система (В.2), нетрудно получить для Ui, Vi, U и V следующую матричную систему уравнений в ковариантных производных: Непосредственное решение подобных систем представляется довольно безнадежной задачей. Поэтому мы использовали иной подход. Результаты параграфа 2 позволяют надеяться, что рассматриваемые системы, записанные в форме (2.4), являются нелокальными членами иерархии эволюционных систем щ = Sn(u), подобно тому как уравнения синус-Гордон, мКдФ и его высшие аналоги образуют одну иерархию (см. на-пример, [52], [42], [511).
Если эта гипотеза верна, то будет естественным предположить, что эволюционные системы иерархии связаны не зависящим от Dt рекурси-онным оператором R : RSn = Sn+i. Оператор R удовлетворяет следующим уравнениям: где Dt - эволюционная производная, а штрих означает произнодную Фреше. Заменив здесь і? на L — і? — А, где А - параметр, получаем представления Лакса для всех уравнений иерархии. Если преобразовать систему Rip = \ р, pt = Sn p к нормальной форме Фх = t/Ф, Ф( = І Ф, то получим матрицы U и Vn, входящие в представление нулевой кривизны для п-го уравнения иерархии. Таким образом, матрица U представления нулевой кривизны одна и таже для всех уравнений иерархии. Итак, если наши предположения верны, то исследование интегрируемости полученных в параграфе 1.2 систем можно выполнить двумя способами: 1) вычислив рекурсионный оператор R, получим представления Лакса (3.4) сразу для всех систем иерархии; 2) вычислив матрицы U иУ, входящие в представление нулевой кривизны для простейшей из систем ит = Si, можно подставить матрицу U в уравнения (3.3) и найти матрицу V для системы (1.13). Мы избрали в данной работе второй способ. Предположим, что матрица U для системы (1.3) имеет вид (3.2), тогда соответствующая матрица V должна зависеть от полевых функций и их производных. Полагая в (3.1) t = т и заменяя и], согласно (1.3), мы получим матрицы U, V в виде где п = ord T, АІ - постоянные матрицы, удовлетворяющие некоторым коммутационным соотношениям причем для некоторых i,j соответствующие коэффициенты СЬ нам пока не известны. Возможны по меньшей мере два способа решения коммутационных уравнений (3.6). Первый способ состоит в том, чтобы задать размер матриц, выбрать одну из них в нормальной форме и найти элементы остальных матриц из имеющихся уравнений. Этот способ требует перебора огромного числа вариантов. Идея второго способа содержится в работах [65], [66] и сводится к тому, чтобы замкнуть таблицу коммутаторов, а затем построить представление полученной алгебры Ли. Для этого неизвестные коммутаторы либо задаются в виде разложения по имеющимся элементам алгебры АІ, либо объявляются новыми независимыми элементами алгебры. Точнее говоря, на каждом шаге проверяются следующие предположения относительно имеющихся элементов алгебры: (а) А{ линейно зависимы; (б) АІ линейно независимы и образуют базис; (в) АІ линейно независимы, но не образуют базиса. Чтобы проверить предположение (а), линейная комбинация всех элементов АІ приравнивается к нулю и вычисляются коммутаторы этого уравнения со всеми элементами алгебры. Получаемые таким путем соотношения либо пополняют таблицу коммутаторов, либо приводят к противоречию. В случае (б) разлагаем недостающие коммутаторы по базису с неопределенными коэффициентами и проверяем тождества Якоби. Это можно сделать двумя способами: 1) некоторый часто встречающийся неизвестный коммутатор, разлагается по базису с неопределенными коэффициентами и отыскиваются простые следствия из этого равенства при помощи тождеств Якоби; затем рассматривается следующий коммутатор и т.д.; 2) задаются сразу все недостающие коммутаторы с неопределенными коэффициентами, строится присоединенное представление, затем матрицы присоединенного представления подставляются в коммутационные соотношения. Это дает полную систему следствий из всех тождеств Якоби. Решение этой квадратичной системы обычно требует длительных расчетов на высокопроизводительном компьютере. В случае (в) для каждого из неизвестных коммутаторов есть две возможности: либо это новый элемент алгебры, либо он разлагается по предыдущим элементам. Для исследования этих вариантов вновь эксплуатируются тождества Якоби.
Построение полных наборов псевдоконстант для систем (4.2)-(4.5),(1.39),(1-40)
При построении рекуррентных формул для законов сохранения (см. главу 3) было отмечено, что при определенном выборе входящих в гиперболическую систему констант (а=0 или Ь=0), плотности законов сохранения становятся интегралами характеристического уравнения Dtp — 0. Это наводит на мысль, что в этом случае мы имеем дело с системой лиувиллевского типа.
Существует два различных определения уравнений лиувиллевского типа: первое опирается на понятие псевдоконстанты, второе использует понятие последовательности инвариантов Лапласа. В скалярном случае доказана эквивалентность этих определений (см. [38], [12]), однако в случае систем уравнений возникают трудности с корректным определением последовательности инвариантов Лапласа [11]. Мы дадим определение системы лиувиллевского типа, опирающееся на понятие псевдоконстанты.
Определение 4.1. Система уравнений (В.З) называется интегрируемой по Дарбу (системой лиувиллевского типа), если существуют t—псевдоконстанты и х—псевдоконстанты шг,шг,г = 1...П порядка s и р соответственно, удовлетворяющие условию
Набор псевдоконстант, состоящий из 2п компонент и удовлетворяющий условию (4.1), мы будем называть полным. Очевидно, для системы вида (В.2) достаточно знать набор п t-пседоконстант, удовлетворяющих первому условию в (4.1). Определение 4.2. Набор t-псевдоконстант шг называется минимальным, если любую другую t-псевдоконсталту ш можно представить в виде
Если положить a = 0 или Ь = 0 в (1,22а) - (1.22g), то можно получить следующие четыре неэквивалентных системы (здесь мы не рассматриваем треугольные системы): Наряду с приведенными выше системами мы рассматриваем здесь системы, соответствующие функциям (1.22h), (1.22І), т. е. системы (1.39), (1.40). Следует отметить, что алгебры симметрии систем (4.2)-(4.5) включают в себя алгебры симметрии соответствующих полных систем (1.22а) - (1.22g). По-видимому, эта ситуация является стандартной для уравнений и систем лиувиллевского типа (см. напр. [13]). Для того чтобы получить полный набор псевдоконстант в каждом конкретном случае, можно использовать несколько различных способов. Первый подход состоит в том, чтобы решить характеристическое уравнение Dtu = 0, зафиксировав предварительно порядок псевдоконстанты. Этот способ проблематичен по двум причинам. Первая из них заключается в том, что порядок псевдоконстанты заранее неизвестен. Вторая проблема состоит в том, что решение получающихся в этом случае дифференциальных уравнений может оказаться технически непростой задачей, особенно в случае ord( j) 2. Второй способ основан на том наблюдении, что часто уравнения ли-увиллевского типа возникают как вырожденный случай уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния. При этом плотности законов сохранения вторых являются одновременно псевдоконстантами для первых. Точнее, сохраняющиеся плотности, с точностью до полных производных, являются дифференциальными полиномами от псевдоконстант. Это означает, что можно использовать рекуррентные соотношения для законов сохранения, чтобы получить полные наборы псевдоконстант. Именно таким образом сначала мы нашли полный набор псевдоконстант для системы (4.4) (см. [47]). По-видимому, это правило не является универсальным и может быть использовано только в ряде конкретных случаев. Третий способ основан на том факте, что уравнения и ситемы лиу-виллевского типа допускают высшие симметрии. Справедливо Утверждение 1. Если система (В.2) допускает невырожденную высшую полиномиальную симметрию и одну псевдоконстанту, то она является системой лиувиллевского типа. Доказательство. Как уже было отмечено, из наличия у системы (В.2) t—псевдоконстанты ш1 следует наличие #—псевдоконстанты а;1, получаемой подстановкой их — utiuxx - utt,... в w1. Теоремы 1,2 (см. также [10]) утверждают, что если система (В.2) допускает независящую от ж, t высшую полиномиальную симметрию (Г, то она имеет вид где функции Tj, каждая в отдельности, являются симметриями системы (В.2). Поэтому достаточно доказать утверждение для симметрии a — (Ті и какой-нибудь t—псевдоконстанты ш1. Положим Поскольку операторы Dt и Дг коммутируют (см. напр. [29],[30], [11]), то функция Ф1 также является псевдоконстантой. Если Ф1 = Ф1(ш1), то симметрия а вырождена, что противоречит предположению. Следовательно, Ф1 зависит, по крайней мере, еще от одной независимой псевдоконстанты: и т.д. В конечном итоге мы получим полный набор псевдоконстант ы1,..., шт. Отметим, что если ш - минимальный набор псевдоконстант, то мы также получим некоторую эволюционную систему, связанную дифференциальной подстановкой ш = и/(и, iti,...) с системой (1.3).
Дифференциальные подстановки для симметрии систем (l.22a)-(1.22g)
Теперь легко заметить, что если первый столбец оператора L умножить на 2/9, а второй и третий поменять местами, то полученный таким обра-зом оператор L, действуя на 8г, даст симметрию третьего порядка системы (4.21), т.е. систему (4.22). Оператор, отображающий пространство градиентов сохраняющихся плотностей в пространство симметрии Ли-Беклунда, называется оператором Нетер [48] и удовлетворяет уравнению здесь сг обозначает правую часть эволюционной системы, а а1+ - опера-тор формально сопряженный к а . Можно проверить, что L удовлетворяет уравнению (4.23) и кососимметричен
Следовательно, L - есть оператор Нетер для систем (4.21) и (4.22). (4.21), (4.22), мы получим две серии высших симметрии: где то, «ті - правые части систем (4.21) и (4.22) соответственно. Очевидно, системы (4.21) и (4,22) имеют высшие симметрии всех порядков, причем o"2fc+2 симметрия четного порядка, а О"2Й+З - нечетного. Замечание. Как сообщил нам М.В. Павлов, эволюционная система (4.21) может быть связана с известной системой Яджимы-Оикавы [67] Для симметрии систем (1.22b)-(1.22g) мы ограничимся только построением эволюционных систем вида (4.17). При этом мы используем идею доказательства Утверждения 1. II. Система (4.3) допускает симметрии третьего порядка, которые в то же время являются симметриями систем (1.22Ь), (1.22с), т.е. симметрии (1.28), (1.30). Набор псевдоконстант (4.10) задают диференциальную подстановку систем (1.28), (1.30) соответственно в системы IV. Система (4.5) допускает симметрию (1-38), а также симметрии (1.34), (1.36), соответствующие системам (1.22е), (1.22f) Полный набор псевдо констант системы (4.5) задает дифференциальную подстановку систем (1.34), (1.36), (1.38) в следующие системы соответственн От = {вхх - Зфв 1{вх ф) + 2рв)х, фт = (фхх - Ъ9 2{вх - ф)(6фх - ф$х + ф2) + 2фр)х +2рхф + рххв. Подводя итог отметим, что поскольку построенные выше эволюционные системы связаны дифференциальными подстановками с системами для которых интегрируемость доказана ранее (см. главу 3), то, очевидно, они также являются интегрируемыми. Однако, из-за необратимости преобразований с помощью которых они получены, мы не можем автоматически построить для них представления Лакса.
Основные результаты данной диссертации состоят в следующем: 1. С помощью симметрийного метода выполнена классификация интегрируемых систем карального типа в случае трехмерного приводимого конфигурационного пространства. Показано, что найденные системы имеют явную гамильтонову форму. 2. Доказана интегрируемость полученнных систем. Как оказалось, они принадлежат двум различным классам: системы, соответствующие функциям (1.22а)-(1.22g), имеют, при ab ф 0, нетривиальные представления нулевой кривизны и, следоваетельно, являются интегрируемыми методом обратной задачи рассеяния. С другой стороны, системы (1.22h.), (1.22І), а также (1.22a)-(1.22g) при ab — 0, обладают полными наборами псевдоконстант, что означает их интегрируемость по Дарбу. Для первой группы систем так_же построены рекуррентные соотношения для законов сохранения. Для построения представлений нулевой кривизны мы использовали модификацию метода Уолквиста-Эстабрука, которая может с успехом использоваться и для других формально интегрируемых гиперболических систем. 3. Построены новые эволюционные системы, связанные дифференциальными подстановками типа преобразования Миуры с симмет-риями исходных гиперболических систем. Для полученных систем указан способ построения рекурсионного оператора, существенно опирающийся на связь между системами лиувиллевского типа и дифференциальными подстановками типа преобразования Миуры. Интегрируемость полученных систем не вызывает сомнения, например, системы (4.21), (4.22) имеют рекурсионный оператор (4.25), что доказывает ее интегрируемость.
