Содержание к диссертации
Введение
1 Модели с дополнительными измерениями пространства-времени 10
1.1 Теория Калуцы-Клейна 10
1.2 ADD-сценарий 11
1.3 Модель Рэндалл-Сундрума с двумя бранами (RSI-модель) . 12
1.4 Механизмы стабилизации радиона 14
1.5 Модель Рэндалл-Сундрума с одной браной (Г182-модель) . 18
1.6 Модели с членами кривизны, локализованными на бранах . 20
2 Линеаризованная гравитация в RSI-модели 22
2.1 Лагранжиан второй вариации для модели Рэндалл-Сундрума 22
2.2 Уравнения движения для линеаризованной гравитации и калибровочные условия 23
2.3 Взаимодействие с материей на бранах 33
2.4 Ньютоновский предел 37
2.5 Приближение нулевых мод 49
2.6 Выводы по Главе 2 55
3 Линеаризованная гравитация в 1132-модели 58
3.1 Уравнения движения для линеаризованной гравитации и калибровочные условия 58
3.2 Решение уравнений движения 64
3.3 Выводы по Главе 3 67
4 Индуцированная гравитация в RSl-модели 68
4.1 Действие модели 68
4.2 Линеаризованная гравитация 69
4.3 Материя на бране 74
4.4 Массивные моды 78
4.5 Выводы по Главе 4 85
Заключение 87
Благодарности 89
Приложение 1 90
Приложение 2 92
Список литературы 94
- Модель Рэндалл-Сундрума с двумя бранами (RSI-модель) .
- Модели с членами кривизны, локализованными на бранах
- Уравнения движения для линеаризованной гравитации и калибровочные условия
- Уравнения движения для линеаризованной гравитации и калибровочные условия
Введение к работе
В настоящее время гравитация описывается с помощью общей теории относительности Эйнштейна, и современные экспериментальные данные полностью согласуются с предсказаниями этой теории. Однако несмотря на красоту и полноту эйнштейновской теории, на протяжении всего XX века предпринимались попытки создать альтернативные теории, описывающие гравитационное взаимодействие. Исторически наиболее известными являются теории Ни [1], Картана [2], Нордстрема [3, 4], Хойла и Нарликара [4, 5, 6], Йордана-Бранса-Дикке (часто ее называют теорией Бранса-Дикке) [7, 8, 9, 10] и многие другие (см., например, [1, 4, 9]). Некоторые из этих теорий давно были отклонены как противоречащие экспериментальным данным (см. работы [1, 9] и ссылки в них), а некоторые при определенных значениях параметров остаются вполне жизнеспособными, как например сама теория Бранса-Дикке и современные модели такого типа. Более того, гравитационные эксперименты, которые проводятся в наше время, дают возможные ограничения на параметр Бранса-Дикке [11, 12], то есть эта теория вес еще рассматривается как альтернативная.
Другой подход в теории гравитации появился в 20-х годах прошлого столетия, когда была сделана попытка объединить четырехмерную гравитацию и электромагнетизм в рамках единой пятимерной теории гравитации. Эта гипотеза ведет свое начало от оригинальных работ Калуцы и Клейна [13, 14, 15], которые предположили, что пространство-время имеет более чем три пространственных измерения, а нснаблюдаемость дополнительных измерений объяснялась их компактностью и малым размером порядка длины Планка lp\ — l/Mpi. Хотя эта попытка оказалась неудачной, идея того, что наше пространство-время имеет дополнительные измерения, оказалась очень интересной с физической точки зрения и получила дальнейшее развитие. В частности, заслуживающим внимание является тот факт, что именно исследования пятимерной теории гравитации привели к созданию теории Бранса-Дикке.
В настоящее время в теоретической физике широко обсуждаются модели с дополнительными измерениями, которые по каким-то причинам оказьша- ются ненаблюдаемыми, но сейчас основные положения многомерных теорий сильно отличаются от первоначальных идей Калуды и Клейна. Неким толчком к возрождению интереса к многомерным теориям стали работы Рубакова и Шапошникова. В 1983 году они предложили новый сценарий для многомерных теорий, основанный на идее локализации полей на доменной стенке [16]. Они также предложили вид многомерной метрики, совместный с этой гипотезой [17]. В последние годы появились указания на то, что модели такого типа могут возникнуть в теориях струн [18, 19, 20, 21] (см. [22] для обзоров и ссылок). В этом случае наши три пространственные измерения реализованы как трехмерная гиперповерхность - мембрана, вложенная в многомерное пространство-время. Такие гиперповерхности называются 3-браны, или просто браны. Вначале основной целью построения таких моделей было решение проблемы иерархий, то есть попытка объяснения слабости гравитационного взаимодействия наличием дополнительных измерений. Оказалось, что ее можно решить или с помощью дополнительных измерении достаточно большого размера [23], или с помощью экспоненциального фактора в выражении для метрики [24]. В обоих случаях гравитация в многомерном пространстве-времени становится "сильной" не при энергиях порядка 1019 ГэВ, а при намного меньших энергиях, возможно порядка 1 ~-10 ТэВ, Поэтому новые эффекты, предсказываемые такими моделями, теоретически могут быть проверены уже в ближайшее время в экспериментах на коллайдерах или с помощью астрономических наблюдений (см., например, [25]).
В моделях [23, 24] дополнительные измерения имеют конечный размер. Однако это не обязательно должно быть так. Например, в работе [2С] описана модель, в которой одно бесконечное дополнительное измерение и одна брана. Хотя в этом случае иерархия между четырехмерными электрослабым и гравитационным масштабами уже не может быть объясненена геометрией пятимерного пространства, модель предлагает некоторые интересные следствия. К тому же оказалось, что в этом случае пулевая с четырехмерной точки зрения мода гравитона оказывается локализованной на бране, а на достаточно больших расстояниях в пределах слабого поля гравитация на бране соответствует четырехмерной Эйнштейновской гра- витании.
Вообще говоря, модели с дополнительными измерениями в принципе могут предсказывать очень интересные с экспериментальной точки зрения эффекты. Например, в работе [27] была предложена модель, в которой гравитация на бране становится эффективно пятимерной на космологических расстояниях, что позволяет по новому посмотреть на проблему ускоренного расширения Вселенной. При этом предполагается, что пятимерная гравитация является очень сильной - Мр{ ~ 10~3эВ, а проблема иерархий решается за счет индуцирования соответствующего члена на бране (более подробно эта модель будет обсуждаться ниже). Хотя в дальнейшем было показано, что эта модель в том виде, в котором она была предложена в [27], явно противоречит экспериментальным данным - было показано, что в модели есть сильная связь на расстояниях порядка десятков метров, -предпринимаются попытки создать непротиворечивые модели, позволяющие получить модификацию закона Ньютона на больших расстояниях.
Кроме того, рассматриваются достаточно экзотические сценарии, например, с временными дополнительными измерениями (см. [28, 29, 30]). Также в последнее время появились модели с так называемыми "универсальными дополнительными измерениями" [31, 32, 33]. В таких моделях материя находится не только на бране, а во всем пространстве, что достаточно близко по идее к первоначальным построениям Калуцы и Клейна.
К сожалению, практически все вышеперечисленные модели не лишены недостатков. Например, в модели Рэндалл-Сундрума с двумя бранами [24] в наиболее интересном случае скалярная и безмассовая с четырехмерной точки зрения мода, соответствующая флуктуациям бран по отношению друг к другу, очень сильно взаимодействует с материей на бране, на которой предположительно находится наш мир. Для решения этой проблемы были придуманы механизмы стабилизации дополнительного измерения, которые, по предположению, делают эту скалярную моду массивной. Наиболее известным является механизм, предложенный в работе [34], однако в нем не учитывается влияние дополнительного поля на фоновую метрику. Более согласованной является модель [35].
Количество работ, посвященных современным многомерным теориям, огромно. С помощью многомерных сценариев пытаются разрешить многие вопросы, кажущиеся неразрешимыми в четырехмерной теории - это, например, проблема слабой гравитационной постоянной, малой космологической константы.
Обычно в многомерных моделях на начальном этапе изучается гравитационное взаимодействие в линейном приближении. Однако можно констатировать тот факт, что часто для этого используются далеко не самые лучшие методы. Например, при изучении линеаризованной гравитации часто пользуются так называемым "формализмом изогнутой брапы", который разрушает структуру моделей, что было показано в работе [36]. Также в пятимерных моделях при решении соответствующих уравнений движения часто не рассматривается скалярная мода, являющаяся флуктуацией компоненты метрики, соответствующей дополнительному измерению, или же используется калибровка, наложение которой может быть не обосновано. Несмотря на кажущуюся безобидность таких пренебрежений и тот факт, что эти пренебрежения не всегда приводят к неправильным результатам, в достаточно сложных случаях они, в принципе, могут приводить к ошибкам. Таким образом, методы корректного изучения линеаризованной гравитации достаточно важны, в том числе для изучения более сложных моделей (например, стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума).
В данной диссертации изучается гравитационное взаимодействие в линейном приближении в моделях, имеющих фоновое решение Рэндалл-Сундрума: это сама модель Рэндалл-Сундрума и модель с членами кривизны, локализованными на бранах. На защиту выносятся следующие результаты:
1. Получен лагранжиан второй вариации для флуктуации метрики в модели Рэндалл-Сундрума с двумя бранами и соответствующие уравнения движения. Выделены физические степени свободы модели, для чего была выбрана удобная глобальная калибровка, справедливая во всем пятимерном пространстве. С помощью этой калибровки расцеплены и решены уравнения движения. Выбранные калибровочные условия позволяют не использовать гауссовы нормальные координаты.
Найдены константы связи физических полей с материей на бранах, изучены случаи различного расположения материи и наблюдателя на бранах. Получены соответствующие формулы для Ньютоновского предела в модели, а в приближении нулевых мод рассчитаны величины углов отклонения света точечным источником.
В модели Рэндалл-Сундрума с одной браной в удобной калибровке расцеплены и точно решены уравнения движения для линеаризованной гравитации. Рассмотрен вопрос о физических степенях свободы модели и показано, что, в отличие от общепринятого мнения, поле ра-диона не может быть полностью исключено из модели и играет важную роль при наличии материи на бране.
Рассмотрена модель Рэндалл-Сундрума с членами кривизны, локализованными на бранах. Показано, что при определенных значениях параметров в модели появляется симметрия, позволяющая в линейном прибл ижении исключить поле радиона из теории. Посчитаны поправки к закону Ньютона, обусловленные наличием дополнительного измерения, которые не выходят за рамки существующих экспериментальных ограничений.
Все перечисленные выше результаты были получены либо при непосредственном участии автора, либо самим автором. Предложенный в работе подход позволил впервые проанализировать с большой точностью ряд явлений, возникающих в модели Рэпдалл-Сундрума и в моделях с таким же фоновым решением. Его особенность состоит в том, что уравнения движения решаются во всем пространстве, а не в отдельной области. Этот подход может быть использован для изучения других моделей с дополнительными измерениями пространства-времени, например, стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума или моделей с большим числом дополнительных измерений.
Научная достоверность результатов работы определяется использованием корректных теоретических методов, строгостью применяемого математического аппарата и внутренней согласованностью результатов.
Общее число публикаций в реферируемых журналах по теме диссертации - 6. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [37, 38, 39, 40, 41, 42] и докладывались на семинарах Отдела теоретической физики высоких энергий НИИЯФ МГУ и Отдела теоретической физики ИЯИ РАН; XVI Международной конференции по квантовой теории поля и физике высоких энергий QFTHEP'2001, Москва, 2001; III Всероссийской конференции "Университеты России - фундаментальные исследования. Физика элементарных частиц и атомного ядра", Москва, 2002; Семинаре "Классические и квантовые интегрируемые системы", Протвино, 2003; XVII Международной конференции по квантовой теории поля и физике высоких энергий QFTHEP'2003, Самара—Саратов, 2003; XVIII Международной конференции по квантовой теории поля и физике высоких энергий QFTHEP'2004, Санкт-Петербург, 2004 (часть результатов опубликована также в виде трудов конференций [43, 44, 45, 46, 47]).
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка цитированной литературы. Объем диссертации составляет 102 страницы. Список литературы содержит 95 ссылок.
В первой главе описаны основные модели многомерной гравитации, обсуждаются их свойства и особенности, а также представлен обзор литературы по этим темам.
Во второй главе изучается линеаризованная гравитация в модели Рэндалл-Сундрума с двумя бранами, результаты применяются для получения Ньютоновского предела и изучения отклонения света точечными источниками на бранах. Отличительной чертой является использование на начальном этапе лагранжева подхода для описания линеаризованной гравитации.
В третьей главе изучается линеаризованная гравитация в модели Рэндалл-Сундрума с одной браной и исследуется роль поля радиона в ней.
В четвертой главе изучается модель с индуцированными членами кривизны на бранах и исследуется линеаризованная гравитация в ней. Описываются эффекты, обусловленные наличием дополнительного измерения.
В заключении кратко сформулированы основные результаты работы и обсуждаются перспективы дальнейших исследований.
Модель Рэндалл-Сундрума с двумя бранами (RSI-модель) .
В работе [24] было найдено точное решение для системы из двух бран, взаимодействующих с гравитацией в пятимерном пространстве-времени. Эта модель называется моделью Рэндалл-Сундрума (обычно используется сокращение RSI-модель), и она широко обсуждается в литературе (см. [22, 50, 53] для обзоров и ссылок). Модель Рэндалл-Сундрума с одной и двумя бранами (первая обычно называется Ы32-моделью) с материей на бранах была рассмотрена в работе [54]. В этой работе для вычислений использовались гауссовы нормальные координаты и формализм "изогнутой браны", непоследовательность которого для И32-модели обсуждалась в работе [36]. Кроме того, использование гауссовых нормальных координат "перемешивает" вклады полей радиона и гравитона в четырехмерное гравитационное поле. В Главе 2 будет показано, как расцепить уравнения для полей гравитона и радиона во всем пространстве, что позволяет точно решить линеаризованные уравнения движения для RSI-модели с материей на бранах и без нее.
Модель Рэндалл-Сундрума [24] описывает гравитацию в нятимерном пространстве-времени Е с двумя вложенными в это пространство брана-ми. Обозначим координаты в этом пространстве {хм} = {a;;t,x4}, М — 0,1, 2,3,4; fj, = 0,1,2,3, где {х } = х, а координата х4 = у соответствует пятому дополнительному пространственному измерению. Оно образует орбифолд 51/ 2, представляющий собой окружность диаметра 2R/ir с отождествленными точками у и —у. В дополнение к этому мы имеем обычное условие периодичности, которое отождествляет точки (х у) и (х,у + 2R).
В RSl-модели размер дополнительного измерения не определяется параметрами модели, и поэтому в принципе может принимать любое значение. Естественно хотелось бы, чтобы существовал механизм, фиксирующий размер дополнительного измерения. Более того, ниже будет показано, что в наиболее интересном с феноменологической точки зрения случае поле радиола, соответствующее /ц-гкомпоненте флуктуации метрики и являющееся скаляром с четырехмерной точки зрения, имеет очень большую константу связи с материей, что полностью противоречит имеющимся экспериментальным данным. Стабилизация размера дополнительного измерения должна приводить к возникновению массового члена для поля радиона, и при соответствующем значении массы это решает проблему практически скалярной гравитации на бране в нестабилизированном случае.
Так как считается, что величины Gv\ и Gv2 имеют малые значения, тензором энергии-импульса поля Ф можно пренебречь по сравнению с пятимерной космологической постоянной Л. Таким образом, фоновое решение Рэндалл-Суидрума для метрики вроде и не меняется из-за присутствия скалярного поля. Однако именно благодаря воздействию скалярного поля на метрику генерируется масса радиола. Поэтому для нахождения или, по крайней мере, для оценки массы радиоиа необходимо учесть влияние скалярного поля на фоновую метрику. Это можно сделать в "обобщенной" модели Рэндалл-Сундрума, предложенной в работе [35].
Очевидно, что для корректного описания степеней свободы необходимо рассмотреть все компоненты флуктуации метрики, а не только их скалярную часть. Также очевидно, что имеет смысл рассматривать именно стабилизированные модели. Но для того, чтобы должным образом изучать линеаризованную гравитацию в моделях такого типа, сначала нужно разобраться с линеаризованной гравитацией в нестабилизированных моделях, чему и посвящена данная диссертация. 1.5 Модель Рэндалл-Сундрума с одной браной (RS2-модель)
Модель Рэндалл-Сундрума с одной браной (или Я32-модель) [26] основана иа решении для фоновой мертрики, которое получается из решения для фоновой метрики RSl-модели [24], если брану с отрицательным натяжением "отодвинуть" на бесконечность. Модель описывает гравитацию в пятимерном пространстве-времени Е с одной браной. Как и ранее, обозначим координаты в Е как {хм} {z z4}, М — 0,1,2,3,4, д = 0,1,2,3, координата Xі = у параметризует пятое дополнительное измерение, которое, в отличие от случая RSl-модели является бесконечным. Брана расположена в точке у = 0, и все поля подчиняются соответствующим условиям симметрии по отношению к зеркальной симметрии у -У —у, которая позаимствована из RSl-модели. В явном виде симметрия определяется формулой (1.4). В данном случае суть этой симметрии может быть легко понята даже без рассмотрения RSl-модели: если материя локализована на бране, все физические поля должны обладать соответствующей симметрией по отношению к отражению относительно браны.
Хотя Е32-модель ничем не может помочь в решении проблемы иерархий, более того, она не даст никакого преимущества перед обычной четырехмерной Эйнштейновской теорией, эта модель очень полезна для понимания структуры моделей с нефакторизуемой геометрией, например механизма локализации на бране безмассовой с четырехмерной точки зрения моды. Также эта модель позволяет показать, что на бране может быть реализована четырехмерная Эйнштейновская гравитация с достаточной точностью даже в случае некомпактного догюлнителыюго измерения, то есть когда отсутствует массовая щель между нулевой модой и Калуца-Клейновскими массивными модами.
Модели с членами кривизны, локализованными на бранах
Модели с членами кривизны, локализованными на бранах, широко обсуждаются в литературе последние несколько лет. Начало было положено работой [27] (DGP-модель), в которой было высказано предположение, что благодаря радиационным поправкам материя на бране может индуцировать дополнительный член кривизны, локализованный на бране - в полной аналогии с работами по индуцированной гравитации [58, 59, 60]. В таком случае эффективное действие имеет вид где действие на бране зависит только от значений ипдуцировашюй метрики на бране gfW, М - пяти мерная масса Планка, а Мп - четырехмерная масса Планка. Наиболее интересный случай возникает при М 10_3эД когда на расстояниях больших 1028см гравитация становится эффективно пятимерной, что может быть интересным с точки зрения решения проблемы космологической постоянной. Однако позже было показано [61, 62], что в модели возникает сильная связь на неприемлемо малых расстояниях, Силыю взаимодействующая мода есть не что иное как 44-компонента флуктуации метрики [63]. Ситуация очень напоминает случай четырехмерной массивной гравитации - во первых, тензорная структура пропагатора в DGP-модсли приводит к так называемой vDZV-разрывности [64, 65], которая имеет место в случае массивной четырехмерной гравитации. Более того, сильная связь в DGP-модели [61, 62] аналогична сильной связи в четырехмерной массивной гравитации [66], которая в пределе стремящейся к нулю массе гравитона возникает из-за наличия скалярной компоненты (см., например, [67]). К сожалению, все это не позволяет рассматривать DGP-модель как реального кандидата для описания гравитации.
Производились попытки объединить DGP-предположение и модели с неплоской геометрией для получения модификации гравитации на больших расстояниях. К сожалению, по ряду причин такие модели были отклонены [61, 63, 68], в основном из-за негативного влияния поля радиона. Однако модели с членами кривизны, локализованными на бранах, могут быть интересны и с другой точки зрения: в работах [69, 70] был получен спектр Калуца-Клейновских гравитонов в модели Рэндалл-Сундрума с членами кривизны на бранах для разных значений параметров, также были получены некоторые ограничения, следующие, например, из ускорительных экспериментов. К сожалению, поле радиона не было принято во внимание, а его наличие может значительно повлиять на ограничения на параметры модели. Как обсуждалось выше, даже в "обычной" модели Рэндалл-Сундрума с двумя бранами [24] необходимо стабилизировать радион (см. [37, 39]), например с помощью механизмов, описанных в предыдущем разделе.
Стоит упомянуть, что попытки получить гравитацию, на больших расстояниях отличную от Эйнштейновской, были предприняты и без введения индуцированных членов кривизны [71]. К сожалению, в этой модели были найдены поля духов [72].
Так можно ли получить желаемую модификацию гравитации на сверхбольших расстояниях? Многие проблемы возникают из-за наличия скалярного с четырехмерной точки зрения поля. В Главе 4 описана модель с компактным дополнительным измерением, в которой поле радиона отсутствует, и при этом возникает модификация закона Ньютона на астрономических расстояниях (по аналогии с моделью, рассмотренной в [73]). Вполне возможно, что аналогичная ситуация возникает в других моделях и позволяет последовательно получить модификацию гравитации на много больших расстояниях, хотя это, естественно, невозможно утверждать точно, так как в некоторых случаях именно скалярная мода гарантирует правильную тензорную структуру гравитационного пропагатора. Глава 2
Следует отметить, что во многих работах по модели Рэндалл-Сундрума используются гауссовы нормальные координаты, то есть координаты, в которых /ц4 = Ьц4 — 0 [75]. В рамках нашего подхода калибровка, отвечающая выбору гауссовых нормальных координат, получается, если в качестве функции 4, параметризующей калибровочное преобразование (2.10), на некотором интервале 0 у а R взять первое слагаемое из уравнения (2.11) и гладко продолжить его на интервал а у R так, что 4(2;, Л) = 0. Очевидно, что после такого калибровочного преобразования /І44 = 0 при 0 у а. Затем компоненты h можно обратить в нуль так же, как это было сделано выше. Таким образом, калибровка, отвечающая выбору гауссовых нормальных координат, с необходимостью является локальной, то есть определена в некоторой окрестности одной из бран, не пересекающейся с другой браной. Поэтому, в отличие от введенной нами глобальной унитарной калибровки, ома не позволяет рассматривать теорию на обеих бранах одновременно.
Уравнения движения для линеаризованной гравитации и калибровочные условия
Следует отметить, что во многих работах по модели Рэндалл-Сундрума используются гауссовы нормальные координаты, то есть координаты, в которых /ц4 = Ьц4 — 0 [75]. В рамках нашего подхода калибровка, отвечающая выбору гауссовых нормальных координат, получается, если в качестве функции 4, параметризующей калибровочное преобразование (2.10), на некотором интервале 0 у а R взять первое слагаемое из уравнения (2.11) и гладко продолжить его на интервал а у R так, что 4(2;, Л) = 0. Очевидно, что после такого калибровочного преобразования /І44 = 0 при 0 у а. Затем компоненты h можно обратить в нуль так же, как это было сделано выше. Таким образом, калибровка, отвечающая выбору гауссовых нормальных координат, с необходимостью является локальной, то есть определена в некоторой окрестности одной из бран, не пересекающейся с другой браной. Поэтому, в отличие от введенной нами глобальной унитарной калибровки, ома не позволяет рассматривать теорию на обеих бранах одновременно.
В дальнейшем мы увидим, что поле Ьр„(х,у) описывает безмассовый гравитон и массивные тензорные поля Калуцы-Клейиа [24, 26], а ф{х) описывает безмассовос скалярное поле, которое называется радионом. По-видимому, радион как безмассовое четырехмерное поле был впервые идентифицирован в работе [76] (см. также [77]) и изучен в работах [75, 78, 79, 80]. Как будет показано ниже, выражение (2.2G) с соответствующей константой с диагонализует лагранжиан второй вариации и расцепляет уравнения движения (2.21)-(2.23). Вид подстановки (2.26) подсказан видом калибровочных преобразований, переводящих теорию из локальных гауссовых нормальных координат, в которых лагранжиан второй вариации диагоналей во всем пространстве, кроме брап [75], к координатам общего вида. Отметим, что уравнения движения, полученные в работе [75], остаются зацепленными в неподвижных точках орбифолда, то есть в точках, где находятся браны.
Для получения эффективного лагранжиана надо представить поле Ъ1Ш в виде суммы безмассовой моды и мод с конечными массами, а затем проинтегрировать L в выражении (2.38) по у. В частности, после интегрирования по у мы получим следующий четырехмерный эффективный лагранжиан для поля ф: где индекс поднят с помощью плоской метрики. Чтобы привести кинетический член к каноническому виду, следует переопределить скалярное поле следующим образом: je2kR _ = V -шг - (2-40 Вернемся к рассмотрению мод поля b[iv. Следуя работам [26, 81, 82], сначала найдем собственные функции фп(у) и собственные значения тп уравнения т: + Щ8{у) - 5(у - R)) - 2Є МУ) = 2кЫФп(у)- (2.41) Отметим, что это уравнение фактически представляет собой уравнение (2.37), в котором четырехмерный оператор Даламбсра заменен его соб ственным значением 771 Уравнение (2.41) можно решить точно.
Предположим, что брана 1 является нашей браной. В этом случае мы должны потребовать, чтобы пі Л/р/, что необходимо для воспроизведения закона Ньютона. Учитывая, что G М 3, где М есть пятимерная масса Планка, то есть фундаментальная масса теории, этого можно достичь, взяв М k Mpi и exp(kR) 1. Тогда мы получим, что «і M, то есть взаимодействие массивных мод и поля радиона с материей на бране 1 намного слабее (экспоненциально подавлено), чем взаимодействие безмассового гравитона. Следовательно, на бране 1 поле радиона не влияет на Ньютоновскую гравитацию, которая определяется взаимодействием безмассового гравитогга в (2.54). Массы Калуца-Клсйповских мод при этом оказываются равными Mpie kR. Таким образом, теория на бране 1 феноменологически приемлема, но неинтересна.
Нахождение взаимодействия пятимерной гравитации с материей на бране 2 - более сложная задача, так как координаты {х11} в (1.7), в которых мы работаем, не галилеевы на этой бране (координаты называются галилеевыми, если QMN = diag(—l, 1,..., 1), см. [84]). Этот факт был отмечен в работах [50, 85].
Уравнения движения для линеаризованной гравитации и калибровочные условия
Как и в случае RSI-модели, флуктуации метрики параметризуются в виде (2.1). Подставляя эту параметризацию метрики в (1.31) и сохраняя члены нулевого порядка по к, получем лагранжиан квадратичной вариации модели. Очевидно, что по сути он будет отличаться от лагранжиана (2.7) только определением функции j(y) и ее свойств (1.33).
Для начала нужно упомянуть, что в общем случае все флуктуации метрики должны удовлетворять физическим граничным условиям при у — ±оо, хг —У ±оо (г = 1, 2, 3), то есть должны быть конечны на пространственной бесконечности. Любое решение уравнений (3.5)-(3.8) может быть представлено в виде суммы решений соответствующих неоднородного и однородного уравнений. Решения однородного уравнения, например, типа плоской волны, могут быть конечны на пространственной бесконечности, в то время как решения неоднородного уравнения должны исчезать па пространственной бесконечности, что следует из физических соображений. Эти предположения вполне разумны - например /іоо компонента связана с Ньютоновским потенциалом, который должен исчезать на бесконечности (для материи, локализованной в некой конечной области). Ниже будет показано, что поля, являющиеся решением в некоторых определенных случаях (например, для точечных источников), действительно удовлетворяют этим граничным условиям.
Важным результатом развитого подхода является одновременное описание взаимодействия пятимерной гравитации с материей на обеих бранах, что невозможно в подходах предшествующих работ, использующих гауссовы нормальные координаты. Это, в частности, позволяет сделать заключения о свойствах гравитационного взаимодействия в зеркальном мире. Так, если пашей браной является брана 2, то, как легко увидеть из лагранжианов взаимодействия (2.54), (2.64), гравитационное взаимодействие в зеркальном мире сравнимо по силе со слабым. Не исключено, что это может приводить к каким-то эффектам и в нашем мире, например, связанным с распределением "теневой" материи, поскольку между обоими мирами су шествует гравитационное взаимодействие.
Полученный результат для лагранжиана эффективной четырехмерной теории на бране 2 в галилеевых координатах, приведенный в (2.63), (2.64), отличается от обычно используемого (см., например, работы [81, 82]). В частности, мы получаем к 1ТэВ, в то время как в упомянутых работах к Мрі, что приводит к противоречию между размером дополнительного измерения и спектром возникающих из него возбуждений. Однако нетрудно проверить, что отношение Ki/tx2 оказывается тем же самым в физических (галилеевых) координатах {г } и "пефизических" координатах {х1 }. Поэтому феноменологические предсказания упомянутых работ остаются справедливыми.
Отметим еще, что в работах [24, 85] из общих физических соображений, наряду со значением к Мрі, обсуждалась возможность того, что к 1 ТэВ. Результаты нашей работы означают, что это значение параметра к является единственно допустимым для последовательной физической интерпретации теории на бране 2.
Для случаев наличия материи на бранах найдены подстановки (2.73), (2.86) и (2.98), расцепляющие уравнения для гравитационного поля и поля радиона. С их помощью получены точные решения для произвольного тензора энергии-импульса материи, которые даются формулами (2.92), (2.93) и (2.100), (2.101). Затем эти формулы применены для исследования ньютоновского предела теории и отклонения света точечной массой в приближении нулевых мод. При этом исследованы случаи как обычной материи (расположенной на бране наблюдателя), так и "теневой" материи, расположенной на другой бране.
Нельзя не упомянуть тот факт, что в работе [54] также рассматривались эффекты "теневой" материи. В этой работе сравнивались отклонения лучей света одинаковыми ньютоновскими массами, расположенными на разных брапах (ньютоновская масса - это коэффициент перед в законе Ньютона). В [54] утверждается, что "для одной и той же ньютоновской массы отклонение лучей света "теневой" материей на 25% меньше, чем в эйнштейновской гравитации". Но из текста неясно, какие характеристики отклонения луча света были сравнены. В настоящей работе найдены явные выражения для углов отклонения света. Проведено сравнение этих углов отклонения света одинаковыми ньютоновскими массами, расположенными на разных брамах, и с одинаковыми прицельными параметрами. Наши результаты следующие: для браны 1 угол отклонения света "теневой" материей на 44% меньше, чем угол отклонения света обычной материей, то есть эти углы одного порядка; для браны 2 угол отклонения света "теневой" материей в eAkR раз больше, чем чем угол отклонения света обычной материей. Легко увидеть, что эта разница в результатах для браны 1 и браны 2 возникает из-за разных вкладов безмассового поля радиона. Однако если это поле приобретает массу, приближение нулевых мод дает стандартную эйнштейновскую гравитацию на обеих бранах, и в этом случае нет никакой разницы между эффектами "теневой" материи на бранах.
Отмстим еще, что полученные решения позволяют изучать в модели Рэндалл-Супдрума с двумя бранами более сложные гравитационные эффекты аналогично тому, как это было сделано в работах [87], [88] для модели с одной браной.
