Содержание к диссертации
Введение
1 Движение и излучение классического электрона в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера 34
1 Кинематика частицы в простраіістве Робертсона-Уокера . 34
2 Спектр излучения заряда, движущегося в пространстве Робер- тсона-Уокера 38
3 Спектр излучения классического электрона, дпижуїцегося в пространстве де Ситтера 41
3.1 Закон движения свободной частицы в системе отсчета Леметра-Робертсона 41
3.2 Спектр излучения электрона 43
4 Спектр излучения классического электрона, движущегося в радиациоино-доминированной Вселенной 46
4.1 Закон движения свободной частицы 46
4.2 Спектр излучения электрона 47
4.3 Интервал когерентности 49
2 Квантовая электродинамика в конформно-плоском прост ранстве Робертсона-Уокера 51
1 Матрица рассеяния в спинорной электродинамике в пространстве Робертсона-Уокера 51
2 Матрица рассеяния в скалярной электродинамике в пространстве Робертсона-Уокера 57
3 Одночастичные решения уравнений Дирака и Клейна-Гордоиа в пространстве Робертсона-Уокера 60
3.1 WKB - решения волновых уравнений 60
3.2 Точные решения уравнений Дирака и Клей на-Гордона 64
4 Вероятности прстейших процессов и спаривания операторов в КЭД в прстранстве Робертсона-Уокера 66
3 Радиационные процессы в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера 71
1 Квантовые переходы в состояния с фиксированным числом частиц 71
1.1 Рождение электрон-позитронной пары и фотона из вакуума 72
1.2 Рождение электрон-позитронной нары фотоном . 75
1.3 Излучение фотона электроном 77
1.4 Вероятность вакууму остаться вакуумом 79
2 Суммарная вероятность процесса, сопровождающегося рождением пар из вакуума 80
3 Рождение фотона и произвольного числа пар из вакуума . 81
3.1 Спинорные частицы 81
3.2 Скалярные частицы 83
4 Рождение произвольного числа пар фотоном 85
4.1 Спинорные частицы 85
4.2 Скалярные частицы 86
5 Рождение фотона и произвольного числа пар в процессе рассеяния заряженной частицы 87
5.1 Суммарная вероятность излучения фотона электроном 87
5.2 Спонтанное излучение фотона электроном, сопровождающееся рождением пар из вакуума 89
5.3 Суммарная вероятность излучения фотона скалярной частицей 90
5.4 Спонтанное излучение фотона скалярной частицей с учетом рождения пар из вакуума 91
6 С поглощение фотона электроном, сопровождающееся рождени ем пар из вакуума 92
6.1 Суммарная вероятность поглощения фотона электроном 92
6.2 Спонтанное поглощение фотона электроном с учетом рождения пар из вакуума 94
4 Среднее число пар, рожденных в радиационном процессе в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера 96
1 Среднее число пар, рожденных в квантовом процессе 96
1.1 Среднее число пар, рожденных в процессе излучения фотона v, из вакуума 101
1.2 Среднее число пар, рожденных в процессе распада фотона 103
1.3 Среднее число пар, рожденных в процессе рассеяния заряженной частицы 105
1.4 Радиационные процессы в квазиевклидовой модели пространства де Ситтера 110
1.5 Системы отсчета и корпускулярная интерпретация квантованного поля в пространстве де Ситтера 110
2 Одночастичные решения волновых уравнений в квазиевклидовой модели пространства де Ситтера 115
2.1 Точные решения уравнения Дирака 115
2.2 Точные решения уравнения Клейна-Гордон а 119
3 Излучение фотона электроном в квазиевклидовой модели пространства де Ситтера 121
3.1 Дифференциальная вероятность процесса 121
3.2 Зависимость вероятности процесса от кривизны пространства 124
4 Рождение электрон-нозитроииых пар при взаимодействии полей в пространстве де Ситтера 126
4.1 Рождение электрон-позитронной пары и фотона из вакуума 126
4.2 Рождение электрон-позитронной пары фотоном 129
5 Эффекты взаимодействия скалярных частиц с фотонами в пространстве де Ситтера 131
5.1 Излучение фотона заряженной скалярной частицей 131
5.2 Рождение пары скалярных частиц и фотона из вакуума 133
5.3 Рождение пары скалярных частиц фотоном 133
5 Общие соотношения, используемые при описании квантовыхпроцессов в радиационно-доминированной Вселенной 134
1 Вероятности простейших процессов в радиационно-доминиро ванной Вселенной 134
1.1 Точные решения уравнений Дирака и Клейна-Гор дона в радиационно-доминированной Вселенной 134
1.2 Амплитуды простейших процессов 137
1.3 Среднее число пар, рожденных из вакуума свободного квантованного поля 139
1.4 Вероятность вакууму остаться вакуумом 140
2 Причинный вакуумный ток и функции Грииа спинорного поля в конформно-плоском пространстве Робертсопа-Уокера 141
2.1 Основные определения 142
2.2 Представление пропагаторов спинорного поля в виде суммы по одночастичным решениям уравнения Дирака 145
3 Функции Грина спинорного поля в радиационно-доминирован ной Вселенной 147
3.1 Интегральные представления произведений двух функций параболического цилиндра 147
3.2 Интегральные представления функций Грина спинорного поля в радиационно-доминированной Вселенной . 156
6 Излучение фотона из вакуума в радиационно-доминирован ной Вселенной 159
1 Рождение фотона и одной электрон-позитронной пары из ва куума 159
1.1 Дифференциальная вероятность процесса 160
1.2 Вероятность рождения пары и мягкого фотона 163
1.3 Вероятность рождения пары и жесткого фотона . 166
1.4 Область формирования процесса. Численные оценки 168
2 Рождение фотона и произвольного числа элсктрон-позитронных пар из вакуума 172
2.1 Суммарная вероятность процесса 172
2.2 Спектральное распределение излученных фотонов и полная вероятность процесса 173
2.3 Среднее число электрон-позитронных пар, рожденных в процессе излучения фотона из вакуума 176
3 Рождение фотона и произвольного числа скалярных пар из вакуума 178
7 Распад фотона в радиационно-доминированной Вселенной 182
1 Рождение одной электрон-позитронной пары фотоном 183
1.1 Дифференциальная вероятность процесса 183
1.2 Вероятность рождения пары мягким фотоном 186
1.3 Вероятность рождения пары жестким фотоном 188
2 Рождение произвольного числа электрон-позитронных пар фотоном 190
2.1 Суммарная вероятность процесса 190
2.2 Интегральные оценки суммарной вероятности процесса 192
2.3 Среднее число электрон-позитронных пар, рожденных фотоном 195
3 Рождение произвольного числа скалярных пар фотоном . 199
3.1 Суммарная вероятность процесса 199
3.2 Среднее число скалярных пар, рожденных фотоном . 202
8 Излучение и поглощение фотона электроном в радиационно-доминированной Вселенной 204
1 Излучение фотона электроном без учета рождения пар из ва куума 205
1.1 Дифференциальная вероятность процесса 205
1.2 Излучение фотона нерелятивистским электроном . 207
1.3 Излучение фотона релятивистским электроном 207
2 Излучение и поглощение фотона электроном, сопровождающе еся рождением пар из вакуума 210
2.1 Спонтанное излучение фотона электроном 210
2.2 Спонтанное поглощение фотона электроном 214
2.3 Среднее число пар в конечном состоянии электрон-по-зитрониого поля 216
3 Излучение фотона скалярной частицей с учетом рождения пар
из вакуума 218
3.1 Спонтанное излучение фотона скалярной частицей . 218
3.2 Среднее число пар в конечном состоянии скалярного поля220
Заключение 222
Литература
- Спектр излучения классического электрона, дпижуїцегося в пространстве де Ситтера
- Одночастичные решения уравнений Дирака и Клейна-Гордоиа в пространстве Робертсона-Уокера
- Суммарная вероятность процесса, сопровождающегося рождением пар из вакуума
- С поглощение фотона электроном, сопровождающееся рождени ем пар из вакуума
Введение к работе
В течение последних десятилетий космологическая наука развивается бурными темпами, что в значительной степени обусловливается достижениями современной наблюдательной астрономии и успехами физики элементарных частиц в построении единой теории фундаментальных взаимодействий, включая гравитационное.
К числу наиболее важных результатов наблюдений можно отнести открытие флуктуации температуры космического микроволнового излучения (СМВ), сделанное в экспериментах со спутником СОВЕ [1-4]; измерение анизотропии микроволнового излучения в малых угловых масштабах, проведенное в экспериментах с воздушными шарами MAXIMA и Бумеранг [5,6] и измерения зависимости видимая величина - красное смещение, выполненные по наблюдениям за вспышками далеких сверхновых звезд типа 1а [7,8]. Данные, полученные в этих экспериментах, несут, в частности, информацию о том, что космологическое расширение Вселенной происходит с ускорением, при этом пространственная кривизна однородной и изотропной Вселенной равна нулю.
Таким образом, отвечающая действительности метрика Вселенной описывается пространственно плоским элементом длины Робертсоиа-Уокера, который содержит одну произвольную функцию a(t) - закон расширения Вселенной. Вид функции a(t) определяется из решения уравнений Фридмана [9,10], в которых необходимо учитывать слагаемое, соответствующее уравнениям Эйнштейна с космологической постоянной Л. Для решения уравнений Фридмана необходимо задать уравнение состояния, связывающее плотность энергии космологической среды и давление в ней. Так, в горячей космологической модели, которая является стандартной моделью развития Вселенной,
космологическая среда рассматривается как идеальная жидкость, состоящая из космологического вакуума (или квинтэссенции [11]), нерелятивистского вещества (включая темное вещество) и излучения (включая ультрарелятивистские частицы) с соответствующими уравнениями состояния [12].
Характерная черта фридмаЕювских моделей состоит в том, что, прак
тически при любом физически обоснованном выборе уравнений состояния,
Вселенная должна была расширяться, постепенно остывая, из сингулярного
состояния, в котором плотность энергии вещества во Вселенной и темпера-
тура Т обращаются в бесконечность. Наличие сингулярности в космологи
ческих моделях, базирующихся на общей теории относительности, связано
с неполнотой классической теории. При временах і < tp, где tp = Ю-43 с -
планковское время, когда плотность вещества во Вселенной и температура
крайне высоки, динамика Вселенной должна описываться квантовой космо
логией, которая в настоящее время далека от своего завершения и в которой,
^ как полагают, начальная сингулярность будет отсутствовать [13].
Основы квантовой космологии были заложены Уилером и де Виттом [14]. В квантовой космологии состояние Вселенной описывается волновой функцией ty(hij,(p), которая зависит от трехмерной пространственной метрики / и полей материи ср. Волновая функция удовлетворяет уравнению Уилера-де
. Витта, которое является аналогом стационарного уравнения Шредингера.
%
Это уравнение описывает поведение функции Ф в так называемом супер
пространстве - пространстве всех трехмерных метрик h{j. Наиболее важные
результаты в этой области были получены с помощью упрощенного подхо
да, в котором вместо полного суперпространства рассматривалась лишь его
часть, называемая мини-суперпространством и описывающая однородную
Вселенную Фридмана. Основная проблема квантовомеханического подхода
,щ заключается в выборе начальных условий для уравнения Уилера-де Витта.
Одно из наиболее интересных предложений о выборе начальных условий было сделано Хартлем и Хоукингом [15]. Они предположили, что у Вселенной имеется основное состояние, подобное вакуумному состоянию в квантовой
теории поля в пространстве Минковского. Наблюдаемая Вселенная представляет собой виртуальное состояние с очень большим временем жизни, а вероятность того, что Вселенная окажется в таком состоянии можно было бы определить, зная волновую функцию основного состояния Вселенной. Другой выбор начальных условий был предложен А. Линде, А. Виленкипым и рядом других авторов [16,17]. В этой модели волновая функция Ф описывает квантовое рождение Вселенной за счет туннелирования из вакуумного состояния. Однако, в целом проблемы, связанные с выбором наиболее адекватного решения уравнения Уилера-де Витта и его интерпретацией, пока далеки от того, чтобы считаться решенными.
В настоящее время наибольший интерес к решению проблемы квантовой гравитации вызывает подход, базирующийся на теории суперструн и ее дальнейшем обобщении - М-теории. Если в квантовой теории поля фундаментальными объектами являются точечные частицы, то в теории струн в
^' роли квантовых объектов выступают одномерные протяженные элементы -
струны. Родоначальницей струнных теорий обычно считают дуальную модель, предложенную Венециано [18] для описания процесса рассеяния ад-ронов. В 1970 году в работах Намбу и Гото [19, 20] было найдено действие для релятивистской бозонной струны, пропорциональное площади поверхно-сти, которую заметает струна при своем движении. Годом позже, в 1971, в работах [21,22] была построена модель струны, инвариантная относительно нового вида симметрии - суперсимметрии, преобразования которой переводят друг в друга фермионные и бозонные поля. Такие струны называют суперструнами.
Струнные теории могут быть сформулированы непротиворечиво только при особых размерностях пространства-времени, называемых критичсски-
,4 ми размерностями. Для модели бозонной струны критическая размерность
D — 26, для суперструшшых моделей D — 10. Кроме того, процедура квантования струны полностью устанавливает спектр частиц, который имеет две специфических особенности. Безмассовый сектор спектра всегда включает
частицу со спином 2 и частицу с мнимой массой - тахион. После того, как в работе [23] было показано, что безмассовая частица со спином 2 может быть отождествлена с гравитоном, а в [24-26] построены суперструнные модели, не содержащие тахионов, теория струн превратилась в теорию, объединяющую все известные взаимодействия, включая гравитационное [27].
Следует отметить, что предположение о том, то исходное пространство-время имеет размерность d > (3 Ч- 1) не было новым. Впервые оно было выдвинуто в теории Калуцы-Клейна [28,29], которая представляла собой геометрическое объединение гравитации и электромагнетизма за счет расширения пространства-времени до (4+1) - мерного псевдориманова многообразия. В теории Калуцы-Клейна дополнительное пространственное измерение компактифицируется до масштабов порядка планковской длины 1Р~ 1.7 10~33 см и становится не доступным для наблюдения.
Для космологии представляет интерес то, что присутствующие в теории
^ суперструн фундаментальные константы задаются в многомерном простран-
стве и при переходе к 4-мериому пространству могут меняться со временем. Космологические модели, построенные в рамках многомерной теории гравитации, могут найти применение для решения, например, таких проблем, как проблема начальной сингулярности, проблема происхождения Вселенной, проблема космологической постоянной [30-33].
Однако, теория струн имеет некоторые серьезные концептуальные про
блемы. Главная проблема заключается в том, что существует пять последо
вательных суперструнных моделей, ни одну из которых нельзя назвать пред
почтительной. Вторая проблема состоит в выборе способа компактификации
теории струп на 4-мерное пространство среди огромного числа теоретически
возможных способов.
,4 Новый этап в развитии теории струн связан с появлением работы Витте-
на [34], в которой были выдвинуты убедительные доказательства того, что различные суперструнные модели являются следствием использования теории возмущений и что непертурбативно все теории являются разными они-
саииями какой-то более глубокой теории, названной М-теорией, которая в низкоэнергетическом пределе переходит в 11-мерную супергравитацию.
Важную роль в М-теории и теории струн играіот протяженные объекты размерности ру называемые р-бранами, среди которых наибольший интерес представляют браны Дирихле, или >р-браны [35]. Значение бран обусловливается тем, что они являются поверхностями, на которых заканчиваются открытые струны и определяются калибровочные поля [36]. Приложением физики бран явилось создание космологического сценария, согласно кото-рому Вселенная представляет собой трехмерную брану в объемлющем пространстве 4 + п измерений, называемом балком. В отличие от традиционного подхода теории струи дополнительные п измерений не компактифицируются, в них локализуются состояния гравитонов. Четырехмерная гравитация на бране является своего рода проекцией многомерных гравитонных состояний [37]. Дальнейшим развитием сценария "мира на бране"являются модели,
^ описывающие спонтанное рождение Вселенной на бране [38], изотропизацию
однородной Вселенной на бране [39,40], а также представления о начальной сингулярности как столкновении двух бран [13]. Интерес к последней модели обусловлен тем, что процесс столкновения бран мог привести к эффектам, которые кажутся причинно не связанными, если их наблюдать с одной из
^ бран.
Начиная с планкове кого времени t = tp, которому соответствует температура Тр ~ 1019 ГэВ, Вселенная описывается в рамках стандартной горячей модели, в которой гравитационное взаимодействие рассматривается классически, а физика элементарных частиц описывается одним из вариантов единой теории слабых, сильных и электромагнитных взаимодействий - так называемой теории Великого объединения (ТВО). Один из первых вариантов
,# таких теорий, называемый моделью Джорджи -Глэшоу [41], появился в 1974
году. Эта модель является обобщением стандартной модели Глэшоу - Вайн-берга- Салама [42,43], описывающей электрослабые взаимодействия. Модель Джорджи -Глэшоу обладает группой симметрии 5(7(5), которая содержит в
качестве подгруппы группу калибровочных преобразований SU{2) х 7(1), последняя является группой симметрии модели Глэшоу - Вайнберга - Са-лама. Основным положением теорий Великого объединения служит идея о спонтанном нарушении симметрии между разными типами взаимодействий, осуществляемом за счет возникновения во всем пространстве постоянных классических скалярных полей ф (хиггсовских полей). В отсутствие таких полей слабые, сильные и электромагнитные взаимодействия являются различными аспектами единых взаимодействий, переносчиками которых выступают безмассовые векторные мезоны. При температуре Таит — №15ГэВ, которая соответствует времени t с± Ю-37 с, происходит спонтанное появление во всем пространстве постоянных скалярных полей Хиггса, что молено рассматривать как фазовый переход системы, обусловленный изменением температуры. В результате этого перехода часть векторных мезонов приобретает массу порядка 1015 ГэВ. При этом исходная симметрия SU{b) нарушается, 517(5) -> 51/(3) х SU(2) х U(l), то есть сильные взаимодействия с группой симметрии SU(S) отделяются от электрослабых.
При дальнейшем понижении температуры, благодаря процессам аннигиляции и распада, сверхтяжелые бозоны быстро исчезают так, что в конце эпохи Таит > Т > Tew — Ю2 ГэВ Вселенная наполнена равновесным идеальным газом безмассовых лептонов, антилептонов, четырех промежуточных векторных бозонов, кварков, антикварков и глюонов. При этом электро-слабыс взаимодействия лептонов описываются за счет обмена безмассовыми векторными бозонами, а глюоны являются переносчиками сильных взаимодействий.
При температуре Tew — Ю2 ГэВ, которой соответствует время tsw — 10"11 с, в системе происходит второй фазовый переход, и симметрия электрослабых взаимодействий, заданная преобразованиями группы SU(2) х /(1), спонтанно нарушается. При температурах ниже Tew все лептоны, кроме, возможно, нейтрино, приобретают массу. Промежуточные бозоны дают начало массивным бозонам и фотонам. Массивные бозоны быстро исчезают
вследствие распада при температурах ниже 90 ГоВ. Эра фазовых переходов заканчивается при температуре Тдц ~ 200 — 300 МэВ, когда в рамках квантовой хромодинамики происходит последний - кварк-адронный - фазовый переход. В результате этого перехода из кварков образуются адропы, включая нуклоны и пионы. Единственная симметрия, которая остается в системе - это симметрия электромагнитных взаимодействий U(l).
В результате дальнейшего понижения температуры пионы аннигилируют или распадаются, и при Тж ~ 130 МэВ cz. 1012 К начинается эра лепто-нов, которая продолжается до момента времени te ~ 10 с, когда при температуре Тс ^ 5 109 К аннигилируют электрон-позитронные нары. Процесс аннигиляции электрон-позитронных пар является началом эры излучения, которая продолжается до момента времени teq ~ 3 105 лет, при котором плотность энергии релятивистских частиц (фотонов и нейтрино) становится равной плотности энергии нерелятивистского вещества, что является иача-
^ лом эры преобладания вещества. Моменту времени teq соответствует красное
смещение хщ ~ 200. Наконец, как полагают [12], при zy — 0,7 начинается эпоха доминирования космологического вакуума.
Достоинства стандартной модели горячей Вселенной, базирующейся на единой теории слабых, сильных и электромагнитных взаимодействий заклю-
- чаются в том, что она описывает динамику Вселенной при сверхвысоких
температурах, объясняет процесс бариосинтеза, предсказывает преимущественное образование ядер легких элементов в процессах нуклеосинтеза, объясняет происхождение космического микроволнового излучения, допускает возможность существования не барионных частиц в качестве кандидатов на роль частиц, составляющих темное вещество, и закладывает фундамент для теории образования галактик.
,# В то же время, кроме уже упомянутой проблемы начальной сингулярно-
сти, существует целый ряд проблем, которые не имеют объяснения в рамках этой модели. Это такие проблемы как проблема плоскостности Вселенной, проблема крупномасштабной однородности и изотропности Вселенной,
проблема космологического горизонта, проблема происхождения начальных нсоднородностей плотности в ранней Вселенной, проблема реликтовых мо-нополей, проблема космологической постоянной и ряд других.
Большая часть перечисленных проблем была решена в результате создания сценария раздувающейся, или инфляционной, Вселенной. Основная идея большинства моделей инфляции состоит в том, что на ранней стадии эволюции Вселенной существовала эпоха, в течение которой основной вклад
. в плотность энергии давала плотность энергии вакуумного состояния ска-
ляриого поля ру = У(ф;Т), где У{ф\Т) - эффективный потенциал поля, который зависит от температуры Т. В эту эпоху потенциал V изменялся очень медленно и закон расширения a(t) рос почти по экспоненциальному закону (стандартная инфляция). Затем происходил распад вакуумоподобного состояния, Вселенная разогревалась и ее дальнейшее развитие описывалось стандартной моделью горячей Вселенной.
Первая инфляционная модель Вселенной была предложена Гусом [44],
хотя многие его идеи первоначально были сформулированы в модели А. А. Старобинского [45]. Модель Гуса основана на теории скалярного поля ф, которое испытывает фазовый переход первого рода. Этот фазовый переход идет путем образования пузырьков, содержащих поле ф ф 0. За счет столк-
» новения стенок пузырьков Вселенная подогревается и ее дальнейшее разви-
тие описывается теорией горячей Вселенной. Однако, модель Гуса приводила к нарушению однородности и изотропии Вселенной после раздувания и по этой причине вскоре была отвергнута.
Новый сценарий раздувающейся Вселенной был независимо предложен
А. А. Линде [17,46,47], а также А. Альбрехтом и П. Стейнхардом [48]. В мо
делях этого типа инфляция происходит не только до фазового перехода из
i# переохлажденного состояния с ф = 0, но и после образования фазы ф ф 0 при
условии, что поле ф растет до своего равновесного значения фо достаточно медленно так, что эффективный потенциал поля У(ф) остается почти постоянным. После медленной фазы поле ф быстро скатывается в минимум фо,
где испытывает осцилляции. Разогрев Вселенной после раздувания происходит не за смет столкновения стенок пузырьков, а за счет рождения частиц классическим полем ф, совершающим затухающие колебания вблизи минимума У(ф). После разогрева Вселенная опять эволюционирует как обычная фридмановская модель.
Несмотря на большие успехи, новый сценарий раздувающейся Вселенной имеет ряд недостатков, препятствующих его успешной реализации. Так,
например, оказалось довольно трудным построить реалистическую теорию
'w
элементарных частиц, в которой эффективный потенциал У(ф) удовлетво
рял бы всем необходимым требованиям. Решением проблем нового сценария
раздувающейся Вселенной явилось создание модели хаотического раздува
ния [49], которая в настоящее время имеет наибольшую популярность. Эта
модель основана не на теории высокотемпературных фазовых переходов, а
на изучении эволюции Вселенной, которая при временах близких к план-
' ковскому времени была заполнена хаотически распределенным скалярным
полем ф.
Следует отметить, что в настоящее время существует большое число моделей инфляции [50]. Если первоначально скалярное поле, порождающее инфляцию (инфлантонное поле) ассоциировалось с хиггеовскими полями в тео-
А риях Великого объединения, то позднее появились модели, основанные на
теории супергравитации, на модифицированной теории'гравитации, в которой присутствуют скалярные поля, на глобальной суперсимметрии, на теориях Калуцы-Клейна и теории суперструн.
Рассматривая эволюцию Вселенной после инфляции, начиная, например, с адронной эры, обычно полагают, что частицы, составляющие космологическую среду, находятся в состоянии термодинамического равновесия. Для
электронов, позитронов и фотонов) это равновесие обеспечивается процессами, разрешенными в плоском пространстве. Сюда относятся, во-первых, процесс двухфотониой аннигиляции электрон-позитроииой пары, а также
обратный процесс рождения электрон-позитрониой пары двумя фотонами и, во-вторых, процесс комптоновского рассеяния. Все три процесса являют-ся процессами 2-го порядка по а. = е2, где е - заряд электрона. При этом не принимается во внимание, что частицы, заполняющие Вселенную, находятся во внешнем гравитационном иоле, описываемом классической метрикой искривленного пространства-времени. Основанием для этого, по-видимому, служит то, что процессы рождения электрон-позитронных пар из вакуума свободного квантованного поля в искривленном пространстве-времени ради-ациошю-доминированной Вселенной заканчиваются при временах порядка tc ~ Ю-21 с, где tc - комптоновское время электрона, причем плотность энергии рожденных частиц пренебрежимо мала по сравнению с плотностью энергии фотонного газа [51].
Однако, учет взаимодействия между полями в искривленном простран
стве-времени, уже в первом порядке теории возмущений по взаимодействию,
приводит к появлению новых эффектов, запрещенных в пространстве Мин-
ковского законами сохранения энергии-импульса. Это такие процессы как процесс излучения фотона из вакуума, процесс рождения электрон-позит-ронной пары фотоном, процесс однофотонной аннигиляции электрон-позитрон ной пары, процессы излучения и поглощения фотона электроном и некоторые другие процессы. Как показывают сделанные нами оценки [52], время окончания этих процессов зависит от импульсов частиц, участвующих в реакции. Для частиц с релятивистскими импульсами оно составляет порядка 102 с и приходится на начало эры преобладания излучения.
Если считать, что в начале космологическая среда находилась в состо
янии термодинамического равновесия и описывалась моделью идеального
ультрарелятивистского невырожденного газа, то начальная плотность чис-
\у> ла электронов п_ и позитронов п+ отличалась от плотности числа фотонов
Пу лишь множителем порядка единицы. Полное число актов взаимодействия в единице физического объема в единицу времени для процессов распада пропорционально плотности числа начальных частиц п, а для реакций с
двумя начальными частицами число актов взаимодействия пропорционально произведению плотностей ТЦП2. Поскольку плотность числа частиц г-го вида щ ~ Т3, то в ранней Вселенной, при высоких температурах, процессы однофотонной аннигиляции пар должны были доминировать как над процессами двухфотонной аннигиляции пар, так и над процессами рождения пар одним или двумя фотонами. Точно также процессы поглощения фотонов электронами должны были доминировать над процессами их излучения.
Таким образом, процессы 1-го порядка по радиационному взаимодействию
'f'
нарушают термодинамическое равновесие и могут в значительной степени
изменить историю развития ранней Вселенной. Поэтому изучение радиационных процессов в искривленном пространстве-времени, отвечающем ранней Вселенной, имеет для космологии существенное значение.
Характерная черта радиационных процессов в искривленном пространстве-времени состоит в том, что в большинстве случаев они сопровождаются
*' рождением пар из вакуума. Один из важных вопросов, возникающих при
учете взаимодействия полей в искривленном пространстве-времени, заключается в том, чтобы оцепить в какой мере взаимодействие стимулирует или подавляет рождение частиц гравитационным полем по сравнению со случаем свободных полей.
Математическое описание квантовых эффектов, протекающих в сильных гравитационных полях, базируется на квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени, которую можно рассматривать как некоторое приближение к квантовой теории гравитации. В рамках этой теории материальные поля рассматриваются как квантованные, а гравитационное поле описывается классической метрикой искривленного пространства-времени. Поскольку типичные пространственно-временные масштабы, в которых
(# проявляются квантовые эффекты электромагнитного взаимодействия полей,
имеют порядок комптоновской длины волны Ас ;> 1р и комптоновского времени tc ^> tpi частиц поля, причем (/р/Ад) <С а, где а - константа взаимодействия, использование теории с внешним гравитационным полем для
описания эффектов взаимодействия квантованных полей полностью оправдано [53,54].
Специфической чертой квантовой теории в искривленном пространстве--времени, отличающей ее от квантовой теории в плоском пространстве, является отсутствие естественного критерия для определения понятия частицы и, как следствие, неоднозначность выбора вакуумного состояния свободного квантованного поля. В литературе, посвященной квантованию полей в искривленном пространстве-времени, существует целый ряд методов и критериев для определения положительно-частотных состояний (см., например, [53]). Мы отметим здесь лишь те из них, которые получили широкое распространение при исследовании квантовых эффектов в космологических моделях Робертсона-Уокера. Так, в работах А. А. Гриба, С. Г. Мамаева и других авторов [53,55-57] была предложена корпускулярная интерпретация квантованного поля во внешнем гравитационном поле, основанная на мс-
' тоде диагонализации мгновенного гамильтониана преобразованиями Бого-
любова. В работах Л. Паркера по рождению пар из вакуума в расширяющейся Вселенной [58,59] одночастичные состояния определялись с помощью W К Б-решении соответствующих уравнений движения. Определенное таким образом вакуумное состояния квантованного поля называют адиабатическим [54, гл.3.5]. Понятие адиабатического вакуума получило развитие в работах [60-63]. В работах [64-66] вакуумное состояние квантованного поля в искривленном пространстве-времени определялось как состояние, минимизирующее полную энергию поля. Как было отмечено в [64], данный метод эквивалентен методу диагонализации мгновенного гамильтониана. Заметим, что в пределе бесконечно медленного изменения масштабного фактора пространства Робертсона-Уокера при т] —> ±оо определение понятия частицы с
IW помощью WKB-решений совпадает с его определением по методу диагона-
лизации мгновенного гамильтониана.
Расчеты квантовых процессов взаимодействия в искривленном пространстве-времени можно проводить с помощью теории возмущений по взаимодей-
ствию квантованных полей, при этом взаимодействие квантованных полей с внешним гравитационным полем учитывается точно. Характерная черта S-матричного подхода в квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени состоит в том, что в общем случае начальные и конечные вакуумные состояния квантованных массивных полей неэквивалентны, что проявляется в эффекте рождения частиц из вакуума [53,54]. Вследствие нестабильности вакуума в квантовой теории с внешним гравитационным полем присутствуют матричные элементы двух типов. Во-первых, это матричные элементы, соответствующие переходам системы из заданного начального состояния в конечное состояние с фиксированным числом частиц, в таких матричных элементах начальный и конечный вакуумы не совпадают. Во-вторых, в теории поля появляются матричные элементы, описывающие переходы системы полей с учетом рождения произвольного числа пар из вакуума, эти матричные элементы представляют собой средние значения по начальному вакууму.
* Отмеченная особенность квантовой теории поля с внешним гравитаци-
онным полем присуща любой квантовополевой модели с нестабильным вакуумом. Впервые и в полном объеме она была исследована на примере квантовой электродинамики (КЭД) с внешним электромагнитным полем в работах [67-70]. Формализм S - матрицы в КЭД с внешним гравитационным полем, рождающим пары, был построен в работах И. Л. Бухбиндера, Д. М. Гитмана и Е. С. Фрадкина [71-74], которые основаны па обобщении S - матричного формализма, развитого в [67-70], на случай искривленного пространства-времени. Поэтому методы расчета матричных элементов в КЭД с внешним гравитационным полем, рождающим пары,имеют ряд сходных моментов с методами расчета квантовых переходов в КЭД с внешним электромагнитным полем. Изучение квантовых эффектов в КЭД с внешним
ftp гравитационным полем являются естественным продолжением исследований
квантовых процессов в КЭД с внешним электромагнитным полем (см., например, [75-85]).
Подробное изучение квантовых эффектов в искривленном пространстве-
-времени начинается с работ Л. Паркера, А. А. Гриба и С. Г. Мамаева [55,56,58,59]. В настоящее время имеется значительное число работ, посвя-щенных изучению эффекта рождения пар из вакуума зависящими от времени гравитационными полями и нахождению вакуумных средних тензора энергии-импульса свободного квантованного поля. В большинстве работ расчеты проводились на примерах различных расширяющихся и сжимающихся космологических моделей, описываемых метрикой пространства Робертсона--Уокера. Современные достижения квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени нашли отражение в монографиях [53,54,86,87]. Исследование радиационных процессов электромагнитного взаимодействия полей в пространствах Робертсона-Уокера является следующим этапом в развитии теории квантовых эффектов во внешних гравитационных полях.
Эффекты взаимодействия квантованных полей в искривленном прос
транстве-времени в первом порядке теории возмущений впервые были рас-
^ смотрены в [88-98]. В результате проведенных исследований было установ-
лено, что:
Эффекты взаимодействия полей могут давать заметный вклад в полное число частиц, рожденных из вакуума, более того, рождение частиц за счет взаимодействия полей может доминировать над их.рождением из вакуума свободного квантованного поля [88-91].
Процессы взаимодействия полей в искривленном пространстве-времени в общем случае не инвариантны относительно СРТ-преобразований [92].
Сильное внешнее гравитационное поле модифицирует выражения для сечений и вероятностей процессов, разрешенных в пространстве Минковско-го, в них появляются дополнительные члены, обусловленные влиянием гравитационного поля, вклад которых при определенных условиях может стать
1И» доминирующим [95,96].
Во всех этих работах искривленное пространство-время описывалось метрикой Робертсона-Уокера с заданным масштабным фактором. Общей чертой перечисленных работ является также то, что в них рассматривались исклю-
чительно модельные теории, выбор которых был обусловлен их простотой.
Исследование эффектов взаимодействия нолей в искривленном пространстве-времени в более реалистических моделях было начато в [99-110] на примере квантовой электродинамики. Именно, в [99] был рассмотрен процесс поглощения фотона электроном в классическом ноле плоской гравитационной волны, работы [100-110] посвящены изучению квантовоэлектродииами-ческих эффектов в в пространственно-плоских моделях Робертсона-Уокера. Так, в работах К. Г. Лоце [100-104] в рамках квазиевклидовой модели ради-ационно-доминировашюй Вселенной были впервые рассчитаны суммарные вероятности процесса рождения фотона из вакуума [100,101], процесса рождения произвольного числа пар фотоном [103] и рассмотрена суммарная вероятность излучения фотона электроном [102]. Им же в [105] был исследован процесс рождения фотона и произвольного числа пар из вакуума в некоторых асимптотически плоских моделях Робертсоиа-Уокера, а в [103,104] на примере двух пространственно-плоских моделей рассмотрен вопрос о СРТ-инвариантности КЭД в пространствах Робертсона-Уокера. Результаты наших исследований представлены в данной работе.
Целью диссертационной работы, которая посвящена систематическому исследованию квантовых эффектов электромагнитного взаимодействия полей в конформно-плоских пространствах Робертсона-Уокера, является следующее:
развить методы расчета матричных элементов в квантовой электродинамике в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера и, используя общий вид решений полевых уравнений движения, получить для вероятностей радиационных процессов первого порядка и среднего числа рожденных частиц представления, удобные для описания квантовых эффектов в пространствах Робертсона-Уокера специального вида;
используя метод суммирования решений, выразить функции Грина спи-норного поля в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера с
нестабильным вакуумом через функции, описывающие зависимость од-иочастичных решений от конформного времени rj; с помощью полученных общих выражений исследовать причинный вакуумный ток спинорно-го поля в пространстве Робертсона-Уокера и получить представления для функций Грина в пространствах Робертсона-Уокера специального вида;
используя найденные общие выражения, рассчитать и исследовать основные процессы первого порядка в квазиевклидовой модели пространства де Ситтера;
с помощью найденных общих выражений рассчитать и исследовать основные процессы первого порядка в радиационно-доминированной модели Вселенной;
исследовать эффекты излучения классических заряженных частиц в квазиевклидовых моделях пространства де Ситтера и радиационно-доминированной Вселенной с целью сравнения результатов классического и квап-товомеханического расчетов.
Научная новизна работы заключается в том, что в ней:
а) впервые получены общие выражения для дифференциальных вероят
ностей трех процессов первого порядка в произвольном конформно-плоском
пространстве Робертсона-Уокера с нестабильным вакуумом, а именно: про
цесса рождения одной электрон-позитронной пары и фотона из вакуума,
процесса рождения одной электрон-позитронной пары фотоном и процесса
излучения фотона электроном;
б) впервые получены общие выражения для среднего числа электрон-по-
зитроиных пар, рождающихся из вакуума в процессе распада фотона и в
процессе неупругого рассеяния электрона в конформно-плоском простран
стве Робертсона-Уокера с нестабильным вакуумом, исследована структура
полученных выражений;
в) функции Грина спинорного поля в конформно-плоском пространстве
Робертсона-Уокера с нестабильным вакуумом выражены через интегралы Фурье от произведений функций, описывающих зависимость одночастич-ных решений от конформного времени 7], с помощью найденных выражений вычислен причинный вакуумвіьій ток спипориого поля в пространстве Робертсона-Уокера общего вида;
г) построены полные наборы одночастичных решений уравнения Дирака
и Клей на-Гордона в квазиевклидовой модели пространства де Ситтера, удо
влетворяющие условию адиабатичности при г) —> ±оо; рассчитаны и иссле
дованы вероятности основных процессов первого порядка в квазиевклидовой
модели пространства де Ситтера, исследован классический предел вероятно
сти излучения фотона электроном и найден спектр излучения классической
заряженной частицы, свободно движущейся в пространстве де Ситтера;
д) впервые рассчитаны и исследованы дифференциальные вероятности
трех квантовых процессов в квазиевклидовой модели радиационно-домини-
рованной Вселенной: процесса рождения одной электрон-позитронной пары
и фотона из вакуума, процесса рождения одной электрон-позитронной пары
фотоном и процесса излучения фотона электроном;
е) впервые вычислены и изучены суммарные вероятности (учитывающие
рождение произвольного числа пар из вакуума) для процесса излучения и
процесса поглощения фотона электроном в квазиевклидовой модели ради-
ационно-доминированной Вселенной, исследован классический предел про
цесса излучения фотона электроном и вычислен спектр излучения классиче
ской заряженной частицы в радиационно-доминированной Вселенной; прове
дено подробное исследование суммарных вероятностей процесса излучения
фотона из вакуума и процесса распада фотона;
ж) впервые вычислено среднее число электрон-позитронных пар, рож
дающихся в радиационно-доминированной Вселенной в процессах распада
фотона и неупругого рассеяния электрона, исследована зависимость числа
рожденных пар от импульсов участвующих в процессе частиц, сделаны чис
ленные оценки полного числа фотонов и полного числа пар, рождающихся
в этих процессах взаимодействия в ранней Вселенной;
з) в рамках скалярной КЭД в радиационно-доминированной Вселенной вычислены суммарные вероятности основных квантовых процессов, сопровождающихся рождением произвольного числа бозонных пар из вакуума; найдены выражения для среднего числа скалярных пар, рождающихся в процессе излучения фотона из вакуума, в процессе распада фотона и в процессе неупругого рассеяния заряженной скалярной частицы во внешнем гравитационном поле;
и) на основе теории асимптотических решений линейных дифференциальных уравнений с иррегулярными особыми точками разработан метод нахождения асимптотических представлений вырожденных гипергеометрических функций, встречающихся в теории квантовых процессов в радиационно-доминированной Вселенной.
Основные положения, выносимые на защиту:
Изучены процессы тормозного излучения классического электрона во внешних гравитационных полях, отвечающих квазиевклидовым моделям пространства де Ситтера и радиационно-доминированной Вселенной, найдены и исследованы спектры излучения классической частицы в этих нолях.
В рамках теории возмущений по радиационному взаимодействию в КЭД с внешним гравитационным полем развит метод расчета матричных элементов первого порядка в конформно-плоских моделях Робертсона-Уоке-ра общего вида. С помощью данного метода найдены общие выражения для вероятностей трех радиационных переходов системы полей в состояния с фиксированным числом неполяризованных частиц. Именно, получены представления для вероятности рождения одной элсктрои-позитронной пары и фотона из вакуума, вероятности рождения одной электрон-позитронной пары фотоном и вероятности излучения фотона электроном.
Для конформно-плоского пространства Робертсона-Уокера с нестабильным вакуумом получены общие выражения, описывающие суммарные вероятности четырех квантовых процессов, сопровождающихся рождением
произвольного числа электрон-иозитронных пар из вакуума. Найдены суммарные вероятности: процесса излучения фотона из вакуума, процесса рас-пада фотона, процесса излучения и процесса поглощения фотона электроном. Изучен механизм излучения фотонов и рождения пар из одноэлектрон-ного состояния в искривленном пространстве с нестабильным вакуумом. Показано, что эффект излучения фотона складывается из двух процессов - процесса спонтанного излучения фотона электроном и процесса рождения фотона и произвольного числа пар из вакуума, индуцированного начальным электроном. Точно также, эффект поглощения фотона электроном состоит из собственно процесса обратного тормозного излучения и процесса распада фотона в произвольное число пар, индуцированного начальным электроном.
4. Развита скалярная теория радиационных эффектов 1-го порядка в
конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера с нестабильным ваку
умом. Получены общие выражения для суммарных вероятностей 3-х ради-
^ ационных процессов, сопровождающихся рождением произвольного числа
пар из вакуума: процесса излучения фотона из вакуума, процесса распада фотона и процесса излучения фотона заряженной скалярной частицей.
5. В спинорной и в скалярной теории найдены общие выражения, опи
сывающие среднее число пар, рождающихся в искривленном и ростра нстве-
^ времени Робертсона-Уокера, в процессе излучения фотона из вакуума, в про-
цессе распада фотона и в процессе излучения фотона электроном. Изучена структура найденных выражений и показано, что внешнее гравитационное поле стимулирует рождение бозевских и подавляет рождение дираковских пар частиц в этих процессах.
6. Построены полные наборы одно частичных решений уравнений Дирака
и Клей на-Гордона в пространстве де Ситтера в системе координат Лемет-
ф ра-Робертсона. Показано, что начальное и конечное вакуумные состояния
квантованных полей, определяемые с помощью найденных решений, эквивалентны и удовлетворяют условию адиабатичиости. Исследован безмассовый предел найденных решений и показано, что адиабатический вакуум в
пространстве де Ситтера не совпадает с конформным вакуумом. Как в скалярном, так и в спинорном случае найдены и исследованы вероятности рож-дения фотона и пары из вакуума, вероятность рождения пары фотоном и вероятность излучения фотона электроном. Показано, что в классическом пределе спектральное распределение энергии излучения электрона совпадает со спектром излучения классической релятивистской частицы, совершающей равномерно ускоренное движение.
7. Методом суммирования одночастичных решений уравнения Дирака
найдены общие выражения для функций Грина спинорного поля в конформ
но-плоском пространстве Робертсона-Уокера. Показано, что в рамках данно
го подхода построение функций Грина сводится к нахождению интегральных
представлений для произведений функций, описывающих зависимость одно-
частичных решений от конформного времени п. С помощью найденных вы
ражений вычислен причинный вакуумный ток спинорного поля в простран-
W стве Робертсона-Уокера общего вида и получены известные интегральные
представления для in —out и in —in причинных функций Грина спинорного поля в квазиевклидовой модели радиационно-доминированной Вселенной.
8. На основе общих выражений для вероятностей переходов в состояния с
фиксированным числом частиц вычислены дифференциальные вероятности
. 3-х квантовых процессов в квазиевклидовой модели радиационно-доминиро-
ванной Вселенной: процесса рождения одной электрон-позитронной пары и фотона из вакуума, процесса рождения одной электрон-позитронной пары фотоном и процесса излучения фотона электроном. Найдена область формирования этих процессов. Подробно исследовано поведение вероятностей в различных кинематических областях участвующих в процессах частиц.
9. Исследован процесс излучения фотона из вакуума в радиационно-
{щ* -доминированной Вселенной, сопровождающийся рождением произвольного
числа электрои-позитроииых пар. В скалярной КЭД вычислена суммарная вероятность рождения фотона и произвольного числа бозоипых пар из вакуума, а также среднее число пар, рождающихся в данном процессе. Получены
интегральные представления для полных вероятностей процесса в скалярном и спинорном случае. Даны численные оценки полных вероятностей процесса и среднего числа пар, рождающихся из вакуума.
Исследован процесс распада фотона в произвольное число скалярных и спинорных пар в радиациошю-доминировашюй Вселенной. В скалярной КЭД вычислена суммарная вероятность рождения произвольного числа бо-зонных пар фотоном. В скалярном и спинорном случае найдены асимптотические оценки суммарной вероятности распада мягкого и жесткого фотона. Получены точные выражения для среднего числа фермионных и бозонных пар, рождающихся в процессе распада фотона. Даны оценки среднего числа электрон-позитроипых пар, рожденных в процессе распада фотонов в ранней Вселенной.
Исследованы процессы излучения и поглощения фотона электроном в радиационно-доминироваиной Вселенной с учетом рождения произвольного
^ числа пар из вакуума, В скалярной и спинорной теории вычислены точные
выражения для суммарных вероятностей спонтанного излучения и спонтанного поглощения фотона электроном и изучена их зависимость от импульса начальной частицы. Получены оценки для среднего числа фотонов, излучаемых из одноэлектрошюго состояния. В скалярном и спинорном случае
^ найдено среднее число пар, рождающихся из вакуума в процессе рассеяния
заряженной частицы. Исследован классический предел суммарной вероятности спонтанного излучения фотона электроном.
12. На основе теории асимптотических решений для линейных диффе
ренциальных уравнений с иррегулярными особыми точками разработан ме
тод нахождения асимптотических представлений для вырожденных гипер
геометрических функций, встречающихся в теории квантовых эффектов в
iiif радиационно-домииированной Вселенной, который может быть также ис-
пользован для нахождения асимптотических представлений вероятностей процессов в КЭД в постоянном электрическом поле.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
9 глав, заключения, 2-х приложений и списка литературы из 189 наименований. Общий объем составляет 265 страниц, включая 10 рисунков.
В первой главе рассматривается движение и излучение классической релятивистской частицы в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уо-кера. Здесь вычисляются и исследуются спектры излучения классического электрона, движущегося в пространстве де Ситтера и в радиационно-доми-нированной Вселенной.
Во второй главе дается краткая формулировка «^-матричного формами
лизма в КЭД в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера. В этой
главе приводится вид 5-матрицы в спинорной и скалярной КЭД, описываются WКВ-ретения волновых уравнений, выполняющие роль начальных условий для точных решений, обсуждается структура точных решений уравнений Дирака и Клейиа-Гордоиа в пространствах Робертсона-Уокера. В конце главы приводится вид обобщенных спариваний полевых операторов в ска-
W ляриой и спинорной теории и вычисляется общий вид амплитуд простейших
процессов в квазиевклидовой модели пространства Робертсона-Уокера.
Третья глава посвящена описанию радиационных процессов первого порядка в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера общего вида. В 1 рассматриваются квантовые переходы в состояния с фиксировам-
^ ным числом частиц. Здесь выводятся общие выражения для вероятности
рождения фотона и одной электрон-позитронной пары из вакуума, вероятности рождения электрон-позитронной пары фотоном и вероятности излучения фотона электроном. В 2 обсуждается выражение для вероятности произвольного радиационного перехода, сопровождающегося рождением пар из вакуума (суммарная вероятность). Далее с его помощью вычисляются суммарные вероятности процессов первого порядка в спинорной и скалярной
i«f КЭД. В качестве начального состояния системы квантованных полей после-
довательно рассматриваются вакуумное состояние ( 3), состояние с одним фотоном ( 4), состояние с одним электроном ( 5), а также состояние с одним электроном и одним фотоном ( 6). Здесь же дается интерпретация получен-
ных выражений и проводится сравнение вероятностей переходов с учетом рождения произвольного числа пар из вакуума с вероятностями переходов в фиксированные состояния.
В четвертой главе рассчитывается среднее число пар owt-частиц, рождающихся в радиационных переходах системы квантованных полей в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера общего вида. В 1 рассматривается общее выражение для среднего числа частиц, рождающихся из заданного начального состояния в результате взаимодействия. Затем на его основе вычисляется среднее число фермионных и бозонных пар, рождающихся в процессе излучения фотона из вакуума ( 2), процессе распада фотона ( 3) и процессе излучения фотона электроном во внешнем гравитационном поле ( 4). Проводится сравнение результатов, полученных в рамках спинорной и скалярной теории.
В пятой главе проводится исследование квантовых эффектов взаимо-
^ действия полей в квазиевклидовой модели пространства де Ситтера. Она
начинается с описания координатных систем, используемых при квантова
нии полей в пространстве де Ситтера (1)- Здесь же обсуждаются свойства
решений Банча-Девиса для уравнений Дирака и Клейна-Гордона и делается
вывод о том, что эти решения не могут использоваться для расчета кванто-
А вых эффектов по теории возмущений. Построение полных наборов одноча-
стичных решений уравнений Дирака и Клейна-Гордона в квазиевклидовой
модели пространства де Ситтера, удовлетворяющих условию адиабатично-
сти при т) —> ±оо, где Т} - конформное время, проводится в 2. Получен
ные решения используются в 3-5 для расчета эффектов взаимодействия
в пространстве де Ситтера. В скалярном и спинорном случаях вычисляются
и исследуются дифференциальные вероятности эффекта рождения пары и
{4t фотона из вакуума, процесса рождения пары фотоном и процесса излучения
фотона электроном. Проводится сравнение результатов расчетов процесса излучения фотона электроном в классической и квантовой теории.
Шестая глава посвящена изучению общих вопросов теории квантовых
эффектов в квазиевклидовой модели радиационно-доминированной Вселенной. В этой главе приводятся одночастичные решения уравнений Дирака и Клейна-Гордона, вычисляются вероятности процессов нулевого порядка по взаимодействию, включая вероятность вакууму остаться вакуумом, рассматривается эффект рождения пар из вакуума свободного квантованного поля и интервал формирования этого процесса ( 1). В 2 рассматриваются функции Грина спинорного поля в конформно-плоском пространстве Робер-тсона-Уокера с нестабильным вакуумом. С помощью метода суммирования решений функции Грина Sc(xix') и Sfn(x,x') выражаются через интегралы Фурье (по импульсу) от произведений функций, описывающих зависимость одночастичных решений уравнения Дирака от конформного времени Г). Найденные выражения используются для вычисления причинного вакуумного тока спинорного поля в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уоке-ра с законом расширения общего вида. Далее в 3 выводятся интеграль-
*' ные представления для произведений функций параболического цилиндра,
через которые выражаются решения уравнения Дирака в радиационно-доминированной Вселенной, и записываются представления функций Грина в рассматриваемом пространстве. Представления имеют вид контурных интегралов в комплексной плоскости s от ядра Швингера-де Витта.
В седьмой главе рассматривается эффект рождения пар в процессе из-лучения фотона из вакуума в радиационно-доминированной Вселенной. В 1 вычисляется дифференциальная вероятность рождения одной электрон-по-зитронной пары и фотона из вакуума, исследуется се зависимость от энергии излученного фотона и определяется область формирования процессов взаимодействия в радиационно-доминированной Вселенной. В 2 находится суммарная вероятность излучения фотона в процессе рождения произвольного
4$ числа электрон-позитронных пар из вакуума и вычисляется среднее число
пар, рождающихся в процессе взаимодействия. Здесь же вычисляется полная вероятность процесса и полное число рожденных пар, окончательные выражения представлены в виде двукратных интегралов. Приводятся результаты
численного интегрирования полученных выражений, которые дают оценки для среднего числа фотонов и среднего числа пар, рождающихся из вакуума в единице объема в ранней Вселенной. В последней части главы ( 3) изучен процесс рождения фотона и произвольного числа бозонных пар из вакуума. В восьмой главе изучается эффект рождения пар в процессе распада фотона в радиационно-домииированной Вселенной. План изложения такой же как в седьмой главе. В 1 вычисляется дифференциальная вероятность
рождения одной электрон-позитронной пары фотоном и исследуется се завите
симость от энергии начального фотона. В 2 рассматривается процесс распада фотона в произвольное число электрои-позитронных пар. Находится суммарная вероятность процесса и среднее число пар, рождающихся в процессе распада фотона. Исследуется зависимость полной вероятности процесса от энергии начального фотона. На основе полученных результатов делаются численные оценки для среднего числа электрои-позитронных пар, рождаю-щихся в процессах распада мягких и жестких фотонов в ранней Вселенной. В 3 исследуется процесс распада фотона в произвольное число пар скалярных частиц, вычисляется суммарная вероятность и среднее число бозонных пар, рождающихся в процессе распада фотона.
Последняя девятая глава посвящена изучению процесса неупругого
рассеяния электрона во внешнем гравитационном поле, отвечающем квазиев-
клидовой модели радиационно-домииированной Вселенной. В 1 находится и
исследуется дифференциальная вероятность излучения фотона электроном
без учета рождения пар из вакуума. Суммарные вероятности спонтанного из
лучения и спонтанного поглощения фотона электроном с учетом рождения
пар из вакуума вычисляются в 2. В этом параграфе исследуется зависи
мость суммарных вероятностей от импульса начального электрона и энергии
v^> фотона, рассматривается классический предел суммарной вероятности излу-
чения фотона. Здесь же оценивается полная вероятность излучения фотона релятивистском и нерелятивистским электроном, находится среднее число фотонов, рождающихся в процессе рассеяния электрона, проводится сравне-
ігис суммарных вероятностей излучения и поглощения фотона электроном, вычисляется и анализируется выражение для среднего числа электроп-по-зитронных пар, рождающихся из вакуума в процессе рассеяния. В 3 рассчитывается суммарная вероятность излучения фотона скалярной частицей и вычисляется среднее число пар в конечном состоянии скалярного поля.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
Математические детали расчетов вынесены в Приложения. В Приложении I вычисляются асимптотики функций Макдональда и Лежандра. В Приложении II исследуется поведение вырожденных гипергеометрических функций, встречающихся в теории квантовых эффектов в радиационно-доминированной Вселенной.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и об
суждались на Конференции по проблемам слабых и сильных взаимодей
ствий и гравитации (ФИАН, Москва, 1987); на семинаре по квантовой гра-
витации и космологии Всесоюзной школы "Актуальные проблемы кванто
вой теории поля"(Томск, 1990); на I и П-ой международных конференциях
"Quantum Field Theory and Gravity"(Томск, 1994, 1997); на 11-ой между
народной конференции Российского гравитационного общества "Theoretical
and Experimental Problems of General Relativity and Gravitation "(Томск,
2002); на ІІІ-ей сибирской геометрической конференции "Дифференциальная
геометрия и математическая физика" (Томск, 1998); на 4-ой международной
научно-практической конференции "Природные и интеллектуальные ресур
сы Сибири (СибРесурс-4-98)" (Барнаул, 1998); на Ш-ей юбилейной научно-
практической конференции Алтайского государственного технического уни
верситета (Вийск, 1994); на П-ой Всероссийской научно-технической конфе
ренции "Измерения, автоматизация и моделирование в промышленности и
ф научных исследованиях"(Бийск, 2001). Помимо этого, по материалам дис-
сертации был сделан доклад на научном семинаре кафедры теоретической физики МГУ (2002).
Основные материалы диссертации опубликованы в работах [52,106-130]
$
'*»
і*
Спектр излучения классического электрона, дпижуїцегося в пространстве де Ситтера
Он описывает релятивистское равномерно ускоренное прямолинейное движение, при котором частица в собственной (в каждый данный момент времени) системе отсчета испытывает постоянное пекулярное ускорение w = р/{гпа). Таким образом, свободное движение частицы в квазиевклидовой модели вселенной де Ситтера, рас , сматривасмое относительно метрики вспомогательного пространства Мин-ковского, является равномерно ускоренным движением. При этом движение частицы, рассматриваемое относительно исходной метрики, характеризуется постоянным по абсолютной величине 4-вектором ускорения w = а"1 Из (1.31) следует, что момент времени г) — 0 является точкой поворота частицы, в этой точке ее скорость меняет направление на противополож ное. Последнее означает, что в квантовой теории одпочастичные состояния электрона при г\ 0 и і] 0 должны описываться волновыми функциями противоположной частотности. При Ї7І -4- со v — 1, т.е. скорость частицы стремится к постоянному значению равному скорости света. При m — 0 закон движения (1.30) принимает вид Таким образом, в безмассовом пределе мировая линия свободной частицы, вообще говоря, отличается от изотропной геодезической. Спектр излучения электрона. Известно, что равномерно ускоренный заряд излучает. Описание дискуссии по проблеме излучения равномерно ускоренного заряда, наиболее полная аргументация в пользу излучения и обширная библиография вопроса приведены, например, в книге В. Л. Гинзбурга [137, гл. 3] (см. также [138]). Спектр излучения равномерно ускоренного заряда был впервые найден А. И. Никишовым и В. И. Риту-сом [138] при изучении спектра частицы, движущейся в произвольно направленном постоянном и однородном электрическом поле. Рассмотрим спектр излучения электрона, движущегося в пространстве де Ситтера относительно системы отсчета Леметра-Робертсона.
Расчет спектра имеет много общих черт с расчетом спектра излучения классической заряженной частицы, движущейся в постоянном электрическом поле [138]. Отличительная особенность процесса излучения электрона в квазиевклидовой модели пространства де Ситтера заключается в том, что в однородной и изотропной вселенной де Ситтера, в отличие от постоянного и однородного электрического поля, имеется не два, а только одно выделенное направление - направление импульса р. Движение частицы в пространстве де Ситтера является прямолинейным и равномерно ускоренным при любом направлении конформного импульса р. Это обстоятельство существенно упрощает анализ процесса излучения в пространстве де Ситтера. Чтобы воспользоваться формулами (1.25)-(1.26), найдем параметрические уравнения мировой линии частицы, выбирая в качестве параметра величину 5 - собственное время сопутствующего наблюдателя во вспомогательном пространстве Минковского. Интегрируя (1.28) и полагая, что при ту = О $ = 0, получим формного тока могут быть представлены в виде Выражение (1.39) совпадает с аналогичным результатом, полученным в [138] при расчете спектра излучения электрона в постоянном и однородном электрическом поле, если принять во внимание, что в постоянном электрическом поле ускорение w при р± = 0 равно w = (еЕ)/т, где -напряженность электрического поля. Исследуем зависимость спектрального распределения (1.39) от кривизны пространства. Если кривизна пространства мала R = 12а % g; т2, то w —У О и спектр излучения принимает вид Из (1.41) следует, что при R — со спектральная плотность излучения не зависит от кривизны R вселенной де Ситтера. Формула (1.41) остается справедливой при произвольных значениях R ф 0, если т - 0. Таким образом, в безмассовом пределе спектральная плотность излучения не обращается в ноль. Поведение спектральной плотности в безмассовом пределе объясняется тем, что мировая линия частицы при т — 0 отличается от изотропной геодезической, частица изменяет направление движения на противоположное в момент ц = 0.
Найдем интервал когерентности излучения электрона. Его положение определяется конформным временем А Рассмотрим движение и излучение свободной частицы в квазиевклидовой модели радиационно-доминированной Вселенной [122], которая описывает стандартную модель расширяющейся Вселенной в эпоху преобладания излучения. Пространство-время радиационно-доминированной Вселенной представляет собой пространство Робертсона-Уокера (1.1) с законом расширения Прежде всего, подставляя в (1.14) закон расширения (1.45), найдем скорость пекулярного движения частицы в радиационно-доминированной Вселенной
Одночастичные решения уравнений Дирака и Клейна-Гордоиа в пространстве Робертсона-Уокера
Построение фоковских пространств начальных и конечных состояний квантованных массивных полей в искривленном пространстве-времени и, в частности, определение вакуумного состояния базируется на определенном выборе полных наборов решений {± рп{%)} и { VnCs)} уравнения Дирака (2.15) или уравнения Клейна-Гордона (2.32), расклассифицированных по признаку частица-античастица. В данной работе в качестве начального и конечного вакуумных СОСТОЯЕШЙ квантованных полей будет использоваться адиабатический вакуум, определяемый с помощью ІУЛГВ-решений волновых уравнений. Следуя работе [51], мы определим одночастичные состояния квантованного поля в момент времени г/о (или при т} — т/о), как полный набор WKB-рсшсітїї. уравнений движения (Дирака или Клейна-Гордона), которые при rj = щ являются точными решениями соответствующих волновых уравнений. В соответствии с этим определением корпускулярная интерпретация может быть введена лишь в такие моменты времени щ, когда отсутствует рождение частиц из вакуума. Найдем WKB-решспия уравнения Дирака, описывающие одночастичные состояния. С этой целью перепишем уравнение Дирака (2.15) следующим образом (с = 1): Чтобы получить WKB-peuicime уравнения Дирака, ряд (2.37) следует подставить в (2.36) и ограничиться членами низшего порядка по Н. Результат имеет вид где функция S(x) и биспииор шФо(#) удовлетворяют уравнению Для того, чтобы уравнение (2.39) на биспииор Фо(ж) имело не тривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы функция S(x) была решением уравнения которое представляет собой уравнение Гамильтона-Якоби для частицы во внешнем гравитационном поле.
Следовательно, S(x) является функцией действия классической релятивистской механики для частицы во внешнем гравитационном поле. Тогда из (1Л0) следует, что где р% -конформный импульс частицы. Легко найти, что полный интеграл уравнения (2.40) имеет вид (произвольная аддитивная константа опущена) Подставляя (2.41) в (2.39) найдем, что полный набор ортонормированных W К В-рсшенпй уравнения Дирака (2.36) имеет вид (Й=1) где В формуле (2.43) спинор г (р) выбран так, чтобы он описывал спиральные состояния частицы А = ±1 [142, 23] (2.45) Отметим, что положительно-частотные (ш = +) и отрицательно-частотные (ш — —) WKB-решения вида (2.43) зарядово-сопряжены друг к другу. Найденные WKB-решения (2.43) будут являться точными решениями уравнения Дирака (2.36) в такие моменты времени г), когда При конечных ? равенство (2.48) возможно лишь в тривиальном случае, ко гда а(т]) = const. Однако при т/ — оо условие (2.48) выполняется для доста точно широкого класса функций а(т/). Например, оно справедливо для всех функций а (ту), которые при Tf — оо монотонно стремятся к нулю или беско Ч"- нечности. К классу таких функций относятся, в частности, закон расшире ния радиационно-доминировашюй Вселенной а(т]) = Ьп и закон расширения вселенной де Ситтера а(г}) = а/г}. Вакуумные состояния электрон-позитронного поля, определяемые с по мощью WKB-решениЙ (2.43)-(2.44) в моменты времени п — ±оо, для кото рых выполняются условия (2.47)-(2.48), являются адиабатическими вакуум ні пыми состояниями бесконечного порядка ади абати чн ости [54, гл.З.б]. Легко также проверить, что WKB-решения (2.43)-(2.44) при п — ±оо являются собственными функциями для одночастичного гамильтониана задачи i принадлежащими собственному значению шЕр. Операторы аї ард, &р А, Ьр\, построенные с помощью ИЛГБ-решений (2.43), диагонализируют гамильтониан свободного электрон-позитронного поля (2.10) при г} — ±оо. Таким образом, определение понятия частицы, базирующееся на WKB-решениях уравнения Дирака (2.36), при ту — ±оо совпадает с определением понятия частицы по методу диагонализации мгновенного гамильтониана [53,65]. Рассмотрим далее определение понятия частицы в скалярной электродинамике. Для ссылок перепишем уравнение Клейна-Гордона в виде Полный ортонормированный набор W/СВ-решений уравнения (2.49) имеет
Суммарная вероятность процесса, сопровождающегося рождением пар из вакуума
Рассмотрим произвольный квантовый переход системы взаимодействующих полей в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера, сопровождающийся рождением пар из вакуума. Обозначим через начальное состояние системы взаимодействующих полей. Здесь j/i - вектор m-состояния электромагнитного поля, Л, а;т - вектор ш-состояпия массивного поля, которое содержит какое-то число парных частиц с набором квантовых чисел Ли к непарных частиц с зарядом ш, которые характеризуются набором квантовых чисел afg. с, В результате взаимодействия система переходит в конечное состояние, описываемое вектором Конечное состояние массивного поля характеризуется наличием п парных частиц {Qn} и к непарных частиц d% с зарядом знака ш. Конечное состояние электромагнитного поля описывается вектором /г . Вероятность перехода системы из начального состояния (3.41) во все конечные состояния вида (3.42), содержащие произвольное число парных ча стиц и к непарных, запишется в виде Используя свойства полноты in- и out-состояний системы взаимодействующих полей = 1, Выражение (3.45) в квантовой электродинамике с внешним гравитационным полем впервые было рассмотрено в [94,95,144]. Следуя терминологии работы [95], мы будем называть вероятность (3.45) "суммарной"("added-up probability"). возмущений по радиационному взаимодействию суммарная вероятность излучения пеполяризовашюго фотона из вакуума запишется в виде где S - матрица рассеяния первого порядка в спинориой электродинамике. Вектор \Рп\гп обозначает гп-состояние системы квантованных полей, «ь к содержащее п электрон-позитронных пар и не содержащее фотонов, \Рп] in = a;iSi(in)b+iri (in)...а+Jtn)b+Гя(т)0 в\ in \ 0 , 3.47) остальные обозначения имеют прежний смысл. В выражении (3.46) производится суммирование по всем гп-состояниям вида (3.47), а также ио состояниям поляризации излученного фотона. Подставим в (3.46) выражение (3.2). Вычисляя вакуумные средние по теореме Вика и п произвольное число парных ча стиц и к непарных, запишется в виде
Используя свойства полноты in- и out-состояний системы взаимодействующих полей = 1, Выражение (3.45) в квантовой электродинамике с внешним гравитационным полем впервые было рассмотрено в [94,95,144]. Следуя терминологии работы [95], мы будем называть вероятность (3.45) "суммарной"("added-up probability"). возмущений по радиационному взаимодействию суммарная вероятность излучения пеполяризовашюго фотона из вакуума запишется в виде где S - матрица рассеяния первого порядка в спинориой электродинамике. Вектор \Рп\гп обозначает гп-состояние системы квантованных полей, «ь к содержащее п электрон-позитронных пар и не содержащее фотонов, \Рп] in = a;iSi(in)b+iri (in)...а+Jtn)b+Гя(т)0 в\ in \ 0 , 3.47) остальные обозначения имеют прежний смысл. В выражении (3.46) производится суммирование по всем гп-состояниям вида (3.47), а также ио состояниям поляризации излученного фотона. Подставим в (3.46) выражение (3.2). Вычисляя вакуумные средние по теореме Вика и принимая во внимание, что отличные от нуля спаривания m-операторов имеют вид (2.88)-(2.91), найдем, что в сумме по п только один член при п = 1 отличен от нуля. В результате вероятность процесса запишется следующим образом [109]: Заметим, что при вычислении суммарных вероятностей нами используется нормировка векторов состояния на одну частицу в ящике с объемом V. Диаграмма процесса представлена на рис. 3. f Рис. 3.2: In-in диаграмма, описывающая процесс рождения фотона и произвольного числа пар из вакуума в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уоксра. Сравнивая матричный элемент в (3.48) с выражением (3.8), видим, что амплитуда процесса излучения фотона из вакуума с учетом рождения произвольного числа электрон-позитронных пар пропорциональна амплитуде процесса излучения фотона из вакуума с рождением одной пары. Следовательно, для вычисления вероятности процесса (3.48) можно воспользоваться где область интегрирования (7 есть множество вида (3.19). U (3.51) где jlt(x) - 4-вектор (2.28) плотности тока заряженного скалярного поля, взаимодействующего с электромагнитным нолем, в представлении взаимодействия с внешним гравитационным полем. Подставляя (3.51) в (3.45) и вычисляя вакуумные ринимая во внимание, что отличные от нуля спаривания m-операторов имеют вид (2.88)-(2.91), найдем, что в сумме по п только один член при п = 1 отличен от нуля. В результате вероятность процесса запишется следующим образом [109]: Заметим, что при вычислении суммарных вероятностей нами используется нормировка векторов состояния на одну частицу в ящике с объемом V. Диаграмма процесса представлена на рис. 3. f Рис. 3.2: In-in диаграмма, описывающая процесс рождения фотона и произвольного числа пар из вакуума в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уоксра. Сравнивая матричный элемент в (3.48) с выражением (3.8), видим, что амплитуда процесса излучения фотона из вакуума с учетом рождения произвольного числа электрон-позитронных пар пропорциональна амплитуде процесса излучения фотона из вакуума с рождением одной пары. Следовательно, для вычисления вероятности процесса (3.48) можно воспользоваться где область интегрирования (7 есть множество вида (3.19). U (3.51) где jlt(x) - 4-вектор (2.28) плотности тока заряженного скалярного поля, взаимодействующего с электромагнитным нолем, в представлении взаимодействия с внешним гравитационным полем. Подставляя (3.51) в (3.45) и вычисляя вакуумные средние по теореме Вика с использованием соотношений (2.92)-(2.95), найдем, что в сумме по га, как и в спинорном случае, только одно слагаемое при п = 1 будет отлично от нуля. Принимая во внимание, что вакуумные средние, содержащие нечетное число операторов электромагнитного поля равны нулю, мы получим [120]
С поглощение фотона электроном, сопровождающееся рождени ем пар из вакуума
Процесс поглощения фотона электроном в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера является обратным к процессу излучения фотона, рассмотренному в 5.1-5.2. Для описания процесса поглощения, вообще говоря, нельзя воспользоваться формулами, полученными для вероятности процесса излучения, и с помощью замены кц — —kft описать процесс поглощения. Сами вычисления вероятности процесса поглощения имеют много общих черт с расчетами, проведенными в 5.1-5.2. Поэтому при вычислении вероятности поглощения основное внимание будет обращаться на отличия в описании этих процессов. Исходное выражение для вероятности процесса поглощения фотона электроном с рождением произвольного числа электрон-позитронных пар имеет вид [115] Оно отличается от выражения (3.68) местом расположения оператора рождения фотона с- и множителем 1/2, появление которого обусловлено усреднением по состояниям поляризации начального фотона. Вычисляя вакуумные средние в (3.84), найдем, что в терминах гп-частиц суммарная вероятность процесса включает в себя вклады от диаграмм, изображенных на рис. 3.5. Эти диаграммы показывают, что процесс поглощения фотона электроном состоит из двух процессов. Процесс, изображенный на рис. 3.5 а, представляет собой спонтанное поглощение фотона электроном, или обратное тормозное излучение электрона во внешнем гравитационном поле. Импульс рассеянного электрона q связан с импульсами начальных частиц законом сохранения Второй процесс, представленный на рис. 3.5 б", заключается в том, что начальный электрон упруго рассеивается вперед во внешнем гравитационном поле, не меняя своего квантового состояния, а начальный фотон рождает электрон-позитронную пару. Суммарная вероятность перехода системы из начального состояния с одним электроном и одним фотоном во все конечные состояния, в которых поле излучения находится в состоянии вакуума, учитывает вклад каждого из этих процессов. В результате вычисления вакуумных средних вероятность (3.84) запишется в виде Здесь Ме(р к) - вероятность спонтанного поглощения фотона электроном с учетом рождения нар из вакуума, Кроме численного множителя, выражение (3.87) отличается от вероятности излучения фотона электроном (3.70) знаком к в показателе экспоненты, стоящей под знаком интеграла.
Второе слагаемое в (3.86) описывает процесс рождения пар фотоном, со провождающийся упругим рассеянием вперед начального электрона. Оно совпадает с вероятностью (3.61) рождения произвольного числа электрои # позитронных пар фотоном поглощения фотона электроном Ме(рк). Интегрирование матричного элемента (3.87) сводится к вычислению интегралов , 1 где функции +fp(r}}} описывающие временную зависимость одночастичных решений уравнения Дирака (2.53)-(2.54), удовлетворяют уравнению (2.56). После вычисления квадрата модуля матричного элемента и выполнения суммирования вероятность поглощения фотона электроном в конформно плоском пространстве Робертсона-Уокера (3.87) запишется в виде = . (3-91) Функция П0(р, q, ко) выражается через интегралы A{j (3.89)-(3.90) так у ±\ же, как функция Пет(р, q, ко), описывающая процесс спонтанного излучения фотона электроном, выражается через интегралы Т, - (3.75)-(3.70). Сравнение интегралов (3.89)-(3.90) и (3.75)-(3.76) показывает, что они удовлетворяют следующему соотношению # Из (3.93), (3.92) и (3.78) следует, что функция Пи(р, д, ко) может быть получена из функции Пет(р, д, ад в результате перестановки р «-» д: Отмеченная симметрия между вероятностями спонтанного излучения и спонтанного поглощения фотона электроном в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера не зависит от закона расширения пространства и, следовательно, ие связана с требованием СРТЧгавариаптпости амплитуды процесса.
Суммарные вероятности (3.48), (3.61), (3.70) и (3.87) получены суммированием бесконечного ряда матричных элементов вида (3.43). Вычисление суммарных вероятностей, учитывающих рождение произвольного числа пар из вакуума, можно проводить также с помощью соотношений, которые в квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени являются аналогами оптической теоремы. Такой подход применялся, например в [97] при изучении квантовых эффектов в скалярной теории с взаимодействием pip2: где (риф, соответственно, массивное и безмассовое поля. 4о В данной главе вычисляется среднее число пар out-частиц, рожденных в радиационных процессах, рассмотренных в гл. 3. В квантовой теории со стабильным вакуумом среднее число рожденных пар равно вероятности процесса. Однако, если вакуум массивного поля не стабилен, то, вследствие неэквивалентности гп- и out-вакуумов, число out-nap не совпадает с вероятностью процесса и, в частности, отличается от числа рожденных фотонов. Сначала рассмотрим общее выражение для полного числа частиц, рождающихся из заданного начального состояния вида 3.41) в результате взаимодействия квантованных полей в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера. есть среднее число частиц (-f) (античастиц (—) ), рожденных из начального состояния \A,a%,fi\in в моду р (—р ). Здесь символ р обозначает совокупность всех квантовых чисел характеризующих состояние частицы (в частности, для фермионов р = {р , s}, где s - спиральность), а out-операторы числа частиц имеют вид
