Содержание к диссертации
Введение
1 Рассеяние релятивистских электронов на фокусированном лазерном импульсе 19
1.1 Модель поля 19
1.2 Уравнения усредненного движения 25
1.3 Рассеяние электрона лазерным импульсом 33
1.4 Условия применимости метода и уравнения Киббла 38
2 Квантовые процессы в двухмодовом лазерном поле 41
2.1 Излучение фотона в линейно поляризованном двухмодовом поле 41
2.2 Элементарные КЭД процессы в циркулярно поляризованном двухмодовом поле 49
2.3 Излучение фотона в линейно поляризованном двухмодовом поле. Случай соизмеримых частот 53
2.4 Рождение пары фотоном в линейно поляризованном двухмодовом поле . 60
3 Элементарные КЭД процессы в коротком фокусированным лазерном импульсе высокой интенсивности 64
3.1 Метод вычисления вероятности 64
3.2 Вероятность образования е~е+ пары в коротком плосковолновом импульсе 70
3.3 Спектр масс е-е+ пар 76
3.4 Вероятность излучения фотона электроном в коротком плосковолновом импульсе 77
3.5 Вероятности квантовых процессов в фокусированном лазерном импульсе 81
3.6 Обсуждение результатов 82
Заключение 85
Список литературы 88
- Условия применимости метода и уравнения Киббла
- Излучение фотона в линейно поляризованном двухмодовом поле. Случай соизмеримых частот
- Рождение пары фотоном в линейно поляризованном двухмодовом поле
- Вероятность излучения фотона электроном в коротком плосковолновом импульсе
Введение к работе
Взаимодействие релятивистских электронов и фотонов с интенсивными лазерными полями уже длительное время интенсивно изучается теоретически. Внимание к этой проблеме вызвано прежде всего нелинейным характером взаимодействия частицы с полем. На языке классической электродинамики это проявляется в нелинейности уравнений движения, а в случае квантовой электродинамики (КЭД) - в нелинейной зависимости вероятностей квантовых процессов от интенсивности поля.
Интерес к нелинейным эффектам, возникающим при взаимодействии квантовых объектов с сильным электромагнитным полем, возник еще на раннем этапе развития КЭД, когда Клейном [1] и Заутером [2, 3] был обнаружен так называемый парадокс Клейна, а затем в работах Гейзенберга и Эйлера [4, 5] и Вайсскопфа [б] был построен лагранжиан свободного сколь угодно сильного электромагнитного поля.
Исследования взаимодействия квантовых систем с интенсивным внешним полем развивались по двум основным направлениям. Первое связано с изучением взаимодействия с внешним полем электронов и фотонов. В рамках второго направления исследовалось взаимодействие атомов со световым полем.
Начало интенсивного развития первого направления исследований приходится на середину 60-х годов, когда появились работы Рейсса [7], Никишова и Ритуса [8]-[12], Гольдмана [13, 14], Брауна и Киббла [15] и др., что было связано с появившейся, в связи с созданием лазеров, надеждой на экспериментальное исследование нелинейных КЭД эффектов.
Наиболее продуктивным подходом к рассмотрению явлений взаимодействия электронов и фотонов с интенсивным электромагнитным полем оказался подход, базирующейся на использовании в качестве модели лазерного поля плоской монохроматической волны (ПМВ). Он заключается в использовании для расчета вероятностей квантовых процессов так называемой картины Фарри [16]. В рамках этого подхода в качестве базиса для вычисления амплитуд переходов применяются точные решения уравнения Дирака для электрона в поле плоской волны, найденные Волковым [17, 18]. Теоретически такой подход интересен тем, что он позволяет рассматривать внешнее поле произвольно высокой интенсивности, так как в его рамках взаимодействие заряженных частиц с внешним электромагнитным полем учитывается точно, а их взаимодействие с полем излученных фотонов рассматривается по теории возмущений.
Нелинейные эффекты, возникающие при взаимодействии частицы с интенсивным лазерным полем, обусловлены тем, что при напряженностях поля близких к критическому для КЭД значению1 т2F0 = — = 1.3 х 1016 V/cm (1) вероятности поглощения частицей различного числа квантов из внешнего поля становятся сравнимыми, а процессы многофотонными.
К настоящему времени детально исследован целый ряд нелинейных явлений: излучение, фоторождение пар, аннигиляция, распады, сдвиг и расщепление атомных уровней, ионизация атомов и ионов и др., рассчитаны радиационные поправки к различным процессам. Подробное изложение наиболее существенных результатов по нелинейным эффектам взаимодействия элементарных частиц с внешним полем содержится в работах [19, 20], см. также [21]-[25]. Эффекты взаимодействия атомов и ионов с сильным лазерным полем описаны в [26, 27, 28].
Возможность экспериментального наблюдения нелинейных эффектов появилась сравнительно недавно. Первые эксперименты были выполнены в начале 80-х годов, когда Энглерту и Ринехарту [29] удалось зафиксировать фотоны соответствующие второй гармонике излучения электронов с энергией 1.6 keV (то есть отвечающих излучению за счет поглощения двух квантов внешнего поля) при лобовом столкновении с лазерным импульсом с интенсивностью 1.7 х 1014 W/cm2 (Nd-glass laser).
Новые экспериментальные возможности открылись в результате создания в последние годы компактных лазеров оптической частоты с мощностью в импульсе 1018 — 1019 W/cm2 [30, 31]. Напряженность поля в системе покоя ультрарелятивистской частицы с энергией около 50 GeV, взаимодействующей с такими импульсами, оказывается близкой к критическому для КЭД значению (1), при котором нелинейные квантовые эффекты достигают своих оптимальных значений. Это позволило в экспериментах на SLAC [32, 33] наблюдать нелинейные эффекты в комптоновском рассеянии [34], а также впервые наблюдать рождение е~е+ пары фотоном в высокоинтенсивном лазерном поле [35]. Отметим здесь также эксперименты в которых измерялась эффективная масса электрона в лазерном поле [36], а также наблюдалось ускорение электронов высокоинтенсивными лазерными импульсами [37].
Оказалось однако, что достижение высокой интенсивности лазерного поля стало ХВ диссертации используется система единиц, в которой К = с = 1. возможным за счет использования сверхкоротких (пико- или даже фемтосекундных) и жестко сфокусированных (размер пятна в фокусе порядка нескольких длин волн) импульсов. Амплитуда напряженности поля в таком импульсе сильно меняется как в пространстве так и во времени. А так как в современных экспериментах исходные частицы в начальном состоянии находятся вне лазерного поля, а продукты реакции детектируются после того как они покидают лазерный импульс, то результаты, полученные с использованием модели ПМВ оказываются недостаточными для описания процессов взаимодействия электронов и фотонов с реальными лазерными полями.
Заметим, что пространственная и временная неоднородности лазерного поля уже в случае слабых полей являются причиной ряда интересных эффектов. Сюда относятся эффект отражения нерелятивистских электронов от фокусированного лазерного поля и серфинг эффект, заключающийся в изменении энергии электрона после взаимодействия с ограниченным во времени лазерным импульсом, уже наблюдавшиеся экспериментально [38, 39].
В диссертации проводится теоретическое исследование некоторых эффектов взаимодействия релятивистских электронов и фотонов с немонохроматическими лазерными импульсами высокой интенсивности, необходимых для адекватного описания современных экспериментов и, поэтому, представляющихся важными и интересными.
Вероятности квантовых процессов, инициируемых одной частицей в поле ПМВ, зависят от двух релятивистски и калибровочно инвариантных параметров [19] г} = — . X = —V, (2) где Ад- 4-потенциал электромагнитного поля, рм- 4-импульс частицы, а усреднение ведется по фазе волны на интервале равном периоду поля 27г.
Параметр 77 имеет смысл отношения работы поля на длине волны к энергии покоя электрона
Ч ~ —, (3) где F-амплитуда напряженности поля, а cu-его частота в лабораторной системе. Параметр ц не зависит от постоянной Планка и представляет собой классический параметр нелинейности: при ?7>1 процессы, протекающие, в поле волны, приобретают многофотонный характер, а их вероятности становятся существенно нелинейными функциями интенсивности поля.
Во второй главе диссертации рассматриваются процессы в двухмодовом поле, являющемся суперпозицией двух ПМВ с различными частотами. В этом случае вероятности процессов оказываются зависящими как от параметров интенсивности каждой моды r/f и TJ2 в отдельности, так и от параметра ту2
Ч2=ПІ + гіІ (4) который мы будем называть параметром интенсивности двухмодового поля. Заметим, что т]\ и 77І получены усреднением каждый по своему периоду.
Параметр х представляет собой отношение работы поля на комптоновской длине в системе покоя частицы к энергии покоя электрона, или отношение амплитуды напряженности поля в системе покоя частицы к критической для КЭД напряженности поля F0 eF є F є X 2 P ' (5) та1 та гот где б-энергия частицы в лабораторной системе. Значения параметра х~1 отвечают ситуации, когда нелинейные квантовые эффекты оказывают существенное влияние на вероятности процессов, происходящих с частицей в лазерном поле (см. главы 2 и 3). В случае х ^ 1 квантовые эффекты малы и частицу можно описывать классически (такая ситуация имеет место в главе 1).
В случае слабо неоднородного лазерного поля также можно ввести параметры rj и х- В этом случае амплитуда напряженности поля является медленно меняющейся функцией пространственных координат и фазы волны. В результате чего усреднение по фазе волны на интервале, равном периоду быстрых осцилляции лазерного поля в (2) приведет к появлению медленной зависимости параметров г] и х от координат и фазы волны, связанной с медленным изменением амплитуды поля.
Диссертация посвящена исследованию ряда электродинамических явлений (рассеянию электронов, излучению фотона электроном и рождению электрон-позитронной пары фотоном), возникающих при взаимодействии релятивистских электронов и фотонов с немонохроматическими лазерными полями высокой интенсивности. Основной целью диссертации является исследование влияния немонохроматичности лазерного поля на сечения (или вероятности) рассматриваемых процессов.
В диссертации решаются следующие задачи:
Изучение рассеяния классических релятивистских электронов на фокусированном лазерном импульсе релятивистской интенсивности.
Исследование в рамках КЭД процессов излучения фотона электроном и рождения е~е+ пары фотоном в двухмодовом плосковолновом поле.
3. Исследование элементарных квантовоэлектродинамических процессов (нелинейного комптоновского рассеяния и фоторождения е~е+ пары), возникающих при лобовом столкновении фотонов и электронов с коротким фокусированным лазерным импульсом.
Первая глава диссертации посвящена решению задачи о движении классического релятивистского электрона в слабо неоднородном лазерном поле [40]-[43].
В нерелятивистской механике задача о движении классического электрона в быстро осциллирующем электромагнитном поле с медленно меняющейся как в пространстве, так и во времени амплитудой решается путем представления движения электрона в виде перемещения вдоль некоторой плавной траектории и одновременными быстрыми осцилляциями вокруг нее [44]. После усреднения по быстрым осцилляциям уравнение для определения плавной траектории принимает вид уравнения Ньютона с потенциальной силой [45]-[47], которую принято называть пондеромоторной, см., например, [28]. Соответствующий этой силе пондеромоторный потенциал связан с параметром т] [48] и представляет собой среднюю кинетическую энергию осцилляционного движения [44].
Понятие пондеромоторного потенциала широко используется для объяснения многих эффектов в атомной физике и в физике плазмы. В частности, пондеромоторное рассеяние играет существенную роль в формировании спектра и углового распределения электронов в явлении надпороговой ионизации [28, 27], ряда нелинейных эффектов (например, самофокусировки), возникающих при распространении лазерного луча в плазме [49].
Рассмотрение пондеромоторного эффекта в нерелятивистской механике, кроме малости энергии электрона, предполагает ещё и малость безразмерного параметра интенсивности поля rj2 <. I.
В современных экспериментах интенсивность электромагнитного поля такова, что скорость осцилляторного движения электрона в нем сравнима со скоростью света, что отвечает значениям параметра 77^1 (такие поля называют полями релятивистской интенсивности). Поэтому задача о взаимодействии релятивистских частиц с лазерными полями релятивистской интенсивности представляется весьма актуальной.
Киббл [50] был первым, кто рассмотрел взаимодействие релятивистских электронов с неоднородным лазерным полем. Им были получены уравнения усредненного движения релятивистского электрона в таком поле и предсказаны эффекты отражения электронов от центра фокальной области и серфинг эффект, заключающийся в изменении энергии электрона после взаимодействия с ограниченным во времени лазерным импульсом.
В 1986 году эти эффекты впервые экспериментально наблюдались экспериментально группой Баксбаума [38, 39] при рассеянии нерелятивистских электронов на пондеромо-торном потенциале, создаваемом лазерным импульсом сравнительно большой мощности в вакууме. Хотя работа [50] дают ясное понимание механизма пондеромоторного рассеяния, она выполнена в предположении о малой интенсивности лазерного поля ту2
Взаимодействие релятивистских электронов с фокусированным лазерным импульсом при rj>l впервые рассмотрено в работах [51, 52]. В качестве модели лазерного импульса в этих работах использовалось поле двумерной конфигурации. Такое поле является решением уравнений Максвелла и его, в принципе, можно реализовать фокусируя плоскую волну длинной цилиндрической линзой. Уравнения усредненного движения, полученные в работах [51, 52], качественно правильно описывают особенности движения релятивистского электрона в фокусированном импульсе, но конечно не могут служить для описания эксперимента с реальными лазерными импульсами.
Взаимодействие релятивистских электронов с трехмерными лазерными импульсами активно обсуждается в последние годы в связи с наблюдавшимся экспериментально ускорением свободных электронов высокоинтенсивным лазерным излучением [37] (см. также обсуждение [53]-[55]). В этих, а также в ряде других теоретических работ, посвященных ускорению электронов [56]-[59] рассматривается попутное движение электронов и лазерного импульса.
В первой главе рассматривается движение классического релятивистского электрона в поле лазерного импульса релятивистской интенсивности (?7^1) при произвольной геометрии столкновения частицы с лазерным полем.
Предположение о классичности электрона накладывает ограничение на интенсивность лазерного поля и энергию частицы, соответствующее тому, что значение параметра х должно быть х *С 1.
В разделе 1.1 предлагается новая трехмерная модель поля, являющаяся обобщением двухмерной модели, использованной в работах [51, 52]. Предлагаемая модель является точным решением уравнений Максвелла и может служить для описания стационарного лазерного пучка. Характерные масштабы неоднородности характеризуются параметрами R и L, которые можно интерпретировать соответственно как радиус фокусировки и дифракционную длину. Поляризация поля определяется в соответствии с поляризацией в центральной части фокуса, где поле очень близко к полю ПМВ. В этой модели конфигурация поля определяется заданием некоторых функций от координат, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям второго порядка в частных производных. Выбор различных решений этих уравнений соответствует различным физическим моделям. В частности, их можно выбрать так, что поле будет соответствовать суперпозиции плоских монохроматических волн с одинаковыми частотами, волновые векторы которых лежат внутри конуса с малым углом раствора. Такое поле очень близко к модели, рассмотренной в монографии [60], и полученной с помощью применения принципа Гюйгенса-Френеля к задаче о дифракции Фраунгофера сферической волны на круглом отверстии. Другой выбор решений описывает широко используемые в оптике гауссовы пучки [61, 62]. При этом, если обычная гауссова огибающая применима для описания слабо фокусированного поля, в диссертации предложено её обобщение применимое и в случае лазерного пучка сфокусированного до дифракционного предела (см. Приложение А). Предложенная модель обобщена для описания лазерного импульса конечной длительности т. Однако, в этом случае она оказывается приближенным решением уравнений Максвелла.
В разделе 1.2 приведено решение уравнений движения электрона в поле лазерного импульса, описываемого предложенной моделью и выведены уравнения усредненного движения. При этом используется стандартный способ разделения движения на плавное и быстро осциллирующее [44], поэтому уравнения усредненного движения выводятся в предположении, что характерные размеры поля R и L много больше характерной длины волны, а длительность импульса много больше обратной частоты шЛ»1, wL>l, wr>l. (7)
При этом предполагается, что выполнено соотношение utIujR. (8)
Выражение для пондеромоторной силы получено с точностью до членов второго порядка малости по параметрам
Д = 1/шД, Д = 1/W. (9)
Заметим, однако, что предложенный метод вывода уравнений движения позволяет, в принципе, получить выражение для пондеромоторной силы в стационарном лазерном пучке с произвольной наперед заданной точностью. Для импульсного поля такая процедура не имеет смысла, так как само это поле является приближенным решением уравнений Максвелла.
Показано, что в первом приближении по параметрам Д,Д пондеромоторная сила определяется градиентом пондеромоторного потенциала, но теряет потенциальный характер уже во втором порядке (впервые такой вывод был сделан в работах [51, 52] для поля с двухмерной геометрией, см. также работу [63], в которой показана непотенциальность пондеромоторнои силы действующей на релятивистский электрон со стороны произвольного неоднородного поля с интенсивностью 77 <^С 1). Важным результатом этого раздела является обнаружение возможной асимметричности трехмерного пондеромоторного потенциала, являющейся причиной ряда интересных, в принципе, наблюдаемых эффектов, которые обсуждаются в следующем разделе.
В разделе 1.3 выведенные уравнения движения используются для решении задачи о рассеянии релятивистских электронов лазерным полем. При этом мы ограничиваемся только такой геометрией столкновения, при которой электрон в начальном состоянии движется в направлении перпендикулярном направлению распространения лазерного луча. Приведены результаты численного решения уравнений усредненного движения, включая расчеты траекторий движения электронов и вычисление сечения рассеяния электронов на стационарном лазерном пучке как с симметричным так и с асимметричным пондеромоторными потенциалами. Показано, что при некоторых значениях прицельных параметров имеет место эффект отражения электронов от лазерного импульса [48, 50]. Для случая симметричного пондеромоторного потенциала в явном виде получены условия при которых имеет место эффект отражения. Обнаружено, что асимметричный пондеромоторный потенциал при некоторых прицельных параметрах падающих электронов эффективно может проявлять себя как потенциал притяжения. Показано также, что сечение рассеяния содержит сингулярности известные под названием радужного рассеяния [64]. Показано, что для случая ограниченного во времени лазерного поля имеет место серфинг эффект, заключающийся в изменении энергии электрона после взаимодейстия с лазерным импульсом. [48, 50].
В разделе 1.4 получены условия применимости развитого метода. Показано, что уравнения, полученные в разделе 1.2, если ограничиться в них членами первого порядка по параметрам неоднородности (9), формально совпадают с уравнениями Киббла [50], выведенными в предположении 77 -С 1. Однако, как следует из условий применимости, полученных в этом разделе, развитый метод справедлив не только для слабых полей, но и для полей релятивистской интенсивности. Отдельно рассмотрены условия применимости полученных уравнений к попутному движению электронов и лазерного импульса. В Приложении А приведено решение уравнений полевой модели, соответствующее гауссовым пучкам.
Во второй главе рассмотрены процессы излучения фотона электроном и рождения пары фотоном в двухмодовом плосковолновом поле [65]-[73]. Под двухмодовым полем понимается суперпозиция двух плоских монохроматических волн с частотами ш\ и Ш2, распространяющихся в одном направлении.
Использование двухмодового поля для наблюдения нелинейных эффектов планируется в следующей серии экспериментов на SLAC2. Ранее аналогичное предложение высказывалось в работе [74] в связи с экспериментами [29]. Метод основан на измерении асимметрии в пространственном распределении излучения[75], возникающем в результате присутствия в спектре вклада второй гармоники [74]. Авторы работы [74] предложили механизм благодаря которому можно управлять этой асимметрией. Это достигается за счет использования двухмодового лазерного поля, в котором помимо моды с основной частотой присутствует слабая мода с удвоенной частотой. На практике такое поле может быть получено путем расщепления исходного лазерного пучка на две компоненты, удваивания частоты одной из них, а затем сведения их в один пучок. Тогда изменяя разность фаз между модами поля можно управлять асимметрией пространственного распределения излучения.
Авторы работы [74] ограничились рассмотрением этого эффекта в рамках классической электродинамики, что оправдано для существовавших на момент выхода их работы экспериментальных условий [76]. Однако на современном этапе развития лазерных технологий и механизмов получения пучков высокоэнергетичных электронов на ускорителях, когда напряженность поля в системе покоя электрона может достигать критического для КЭД значения, как это имеет место в экспериментах Мак-Дональда [34, 35], недостаточность такого подхода очевидна.
Попытка КЭД рассмотрения квантовых процессов в двухмодовом лазерном поле была предпринята Эн Ю и Такахаши в работе [77]. Однако, к сожалению, эта работа содержит существенные ошибки. В результате чего вопрос о последовательном КЭД рассмотрении эффектов, возникающих при взаимодействии электронов и фотонов с двухмодовым полем остается открытым.
В разделе 2.1 представлен метод расчета вероятностей в двухмодовом поле, позволяющий интерпретировать полученные результаты в терминах фотонов поглощенных (излученных) из каждой моды внешнего поля. С помощью этого метода получена вероятность рождения фотона электроном в двухмодовом поле с линейно поляризованными компонентами. Оказывается, что полученная вероятность существенно различна для случаев несоизмеримых и соизмеримых частот мод. В первом случае вероятность представляет собой сумму парциальных вероятностей, каждая- из которых отвечает фиксированному числу квантов, поглощенных из каждой моды поля. В случае соизмеримых частот помимо этих слагаемых в вероятности присутствуют члены, обязанные своим появлением интерференции амплитуд соответствующих разному числу поглощенных из 2Частное сообщение проф. МакДональда. каждой моды квантов с одинаковым суммарным 4-импульсом. Именно эта интерференция ответственна за так называемую "управляемую асимметрию" в пространственном распределении излучения электрона, сталкивающегося с двухмодовым лазерным полем, состоящим из сильной монохроматической компоненты и слабой компоненты с удвоенной частотой. Она впервые обсуждалась в работе Пунтайер и Лебнера [74] в рамках классической электродинамики. Подобные интерференционные эффекты возникающие при взаимодействии световых волн в сплошной среде при наличии резонанса между кратными частотами световых волн и частотами электромагнитных переходов среды были теоретически предсказаны в [78, 79], а затем экспериментально обнаружены [80].
Вероятность излучения фотона в циркулярно поляризованном двухмодовом поле (двухмодовом поле с циркулярно поляризованными компонентами) получена в разделе 2.2. В отличие от случая линейно поляризованного двухмодового поля, полная вероятность в таком поле представляет собой сумму парциальных вероятностей, каждая из которых отвечает фиксированному числу квантов, поглощенных из каждой моды внешнего поля вне зависимости от того являются ли частоты мод соизмеримыми или нет. Отсутствие интерференционных членов в этом случае приводит к отсутствию зависимости полной вероятности от сдвига фаз между модами внешнего поля, что объясняется отсутствием выделенного направления в двухмодовом поле с циркулярно поляризованными компонентами. По этой причине основное внимание в оставшихся разделах этой главы уделено процессам в линейно поляризованном двухмодовом поле.
В разделе 2.3 подробно изучен случай соизмеримых частот внешнего поля. Оказывается, что оптимальным для наблюдения интерференционных эффектов является случай поля с соотношением частот мод равным трем. Поэтому все последующие расчеты проводятся именно для этого случая. В слабом двухмодовом поле получены поправки к вероятности излучения фотона за счет поглощения одного кванта из моды поля с основной частотой, возникающие благодаря присутствию моды поля с утроенной частотой. В этом же случае вычислен вклад интерференционных слагаемых и показано, что они могут существенно влиять на величину вероятности. Проведено сравнение вероятностей процессов излучения в поле монохроматической плоской волны и в двухмодовом поле, полученном расщеплением исходной волны на две и утроением частоты одной из компонент. Показано, что полная вероятность излучения фотона электроном в двухмодовом поле уменьшается по сравнению с вероятностью излучения в исходной монохроматической волне.
Вероятность рождения электрон- иоштронной пары фотоном в двухмодовом поле с линейно поляризованными компонентами получена в разделе 2.4. Показано, что для нее характерны те же самые интерференционные эффекты, что и в задаче об излучении фотона. Однако пороговый характер реакции фоторождения пары приводит к ряду интересных особенностей этого процесса. Одной из таких особенностей является возможное увеличение вероятности этого процесса в двухмодовом поле по сравнению со случаем исходной монохроматической волны, которое объясняется открытием в двухмодовом поле дополнительных каналов реакций, запрещенных в исходном монохроматическом поле. Другая существенная особенность состоит в более заметном проявлении интерференционных эффектов.
Третья глава посвящена рассмотрению процессов излучения фотона электроном и рождения е+е~ пары фотоном при лобовом столкновении с коротким фокусированным лазерным импульсом высокой интенсивности (т] ~ 1) [81]—[85].
Процессы излучения фотона электроном и рождения электрон-позитронной пары фотоном [8]-[12] детально изучены в предположении, что лазерное поле можно описывать в рамках модели ПМВ. Вероятности соответствующих процессов в этом случае представляются в виде суммы парциальных вероятностей, каждая из которых отвечает фиксированному числу квантов, поглощенных из внешнего поля. Нелинейные эффекты при этом обусловлены тем, что при достаточно большой напряженности внешнего поля вероятности поглощения различного числа квантов становятся сравнимыми, а процессы - многофотонными, в результате чего амплитуды вероятностей существенно нелинейно зависят от напряженности поля.
Результаты, полученные для вероятностей различных КЭД процессов в случае ПМВ [19, 20], соответствуют физической ситуации при которой детектор регистрирует продукты реакции в течении интервала времени за который частица успевает совершить много осцилляции в поле, но не успевает почувствовать его неоднородность [82]. Это, в частности, означает, что детектор должен быть включен в течении периода времени много меньшего времени взаимодействия частицы с лазерным импульсом. На современном этапе, когда в экспериментах используются ультрарелятивистские электроны и пикосекундные импульсы с радиусом фокусировки порядка нескольких длин волн, такая схема эксперимента едва ли осуществима практически. В результате возникает необходимость в последовательном КЭД рассмотрении явлений в интенсивных лазерных импульсах с учетом как пространственной так и временной неоднородностей лазерного поля.
В отличие от первой главы, здесь считается, что напряженность поля в системе покоя электрона может достигать критического для КЭД значения (х ~ 1). Это позволяет исследовать процессы в области параметров, при которых нелинейные квантовые эффекты становятся оптимальными.
Под короткими в этой главе понимаются импульсы с длительностью r>10/s, что позволяет для лазеров оптической частоты и считать выполненным условие шг » 1. (10)
Кроме того предполагается, что радиус фокусировки лазерного луча R удовлетворяет условию
А:Я»1, (11) где к — ш = 27г/Л-характерное волновое число. (В условиях Станфордского эксперимента [32, 33] kR ~ 3.)
В разделе 3.1 изложен метод вычисления вероятностей квантовых процессов, инициированных высокоэнергетическими частицами в лазерном импульсе, длительность и радиус фокусировки которого удовлетворяют условиям (10), (11).
Метод расчета веротности процесса в коротком фокусированном лазерном импульсе можно разделить на два этапа. На первом вычисляется вероятность процесса в плосковолновом импульсе. Для этого используется представление Фари, позволяющее в качестве базиса для вычисления амплитуд переходов в рамках теории возмущений по полю излучения использовать волковские решения, являющиеся точными решениями уравнения Дирака для электрона в поле плоской (но, конечно, в рассматриваемом случае импульсного поля, немонохроматической) волны. Такой подход отвечает постановке эксперимента, при которой узкий пучок электронов сталкивается с широким лазерным пучком. Причем геометрия и параметры столкновения выбраны таким образом, что электрон не чувствует неоднородности лазерного поля ни за счет пондеромоторного эффекта, ни за счет расплывания волнового пакета. Соответствующие условия получены в этом разделе.
Предлагаемый подход позволяет в случае лазерного импульса с интенсивностью г/ < 1 интерпретировать получаемые результаты в терминах гармоник, то есть представить вероятность в виде суммы парциальных вероятностей, каждая из которых отвечает определенному числу квантов, поглощенных частицей из поля. В отличие от случая плоской монохроматической волны, где каждая из гармоник в спектральном распределении для частиц, рассеянных в фиксированный угол, представляет собой <5"-функцию, в импульсном поле гармоника приобретает конечную ширину, определяемую максимальной интенсивностью поля. Кроме того, благодаря интерференции амплитуд излучения, сформировавшегося вблизи центра фокуса лазерного импульса, возникает тонкая структура гармоник.
Второй этап позволяет получить вероятность квантовых процессов в случае, когда ширина пучка частиц больше радиуса фокусировки лазерного импульса. Такая ситуация реализуется в большинстве современных экспериментов. Вероятность в этом случае может быть получена из формул для вероятности в поле плосковолнового импульса путем процедуры их усреднения по "прицельным" параметрам падающих частиц. Причем, так как отдельная частица не чувствует неоднородности лазерного поля, то каждому прицельному параметру отвечает свое значение интенсивности поля. Тем самым учитывается фокусировка лазерного импульса.
Условия применимости метода и уравнения Киббла
В нерелятивистской механике задача о движении классического электрона в быстро осциллирующем электромагнитном поле с медленно меняющейся как в пространстве, так и во времени амплитудой решается путем представления движения электрона в виде перемещения вдоль некоторой плавной траектории и одновременными быстрыми осцилляциями вокруг нее [44]. После усреднения по быстрым осцилляциям уравнение для определения плавной траектории принимает вид уравнения Ньютона с потенциальной силой [45]-[47], которую принято называть пондеромоторной, см., например, [28]. Соответствующий этой силе пондеромоторный потенциал связан с параметром т] [48] и представляет собой среднюю кинетическую энергию осцилляционного движения [44].
Понятие пондеромоторного потенциала широко используется для объяснения многих эффектов в атомной физике и в физике плазмы. В частности, пондеромоторное рассеяние играет существенную роль в формировании спектра и углового распределения электронов в явлении надпороговой ионизации [28, 27], ряда нелинейных эффектов (например, самофокусировки), возникающих при распространении лазерного луча в плазме [49].
Рассмотрение пондеромоторного эффекта в нерелятивистской механике, кроме малости энергии электрона, предполагает ещё и малость безразмерного параметра интенсивности поля rj2 . I. В современных экспериментах интенсивность электромагнитного поля такова, что скорость осцилляторного движения электрона в нем сравнима со скоростью света, что отвечает значениям параметра 77 1 (такие поля называют полями релятивистской интенсивности). Поэтому задача о взаимодействии релятивистских частиц с лазерными полями релятивистской интенсивности представляется весьма актуальной.
Киббл [50] был первым, кто рассмотрел взаимодействие релятивистских электронов с неоднородным лазерным полем. Им были получены уравнения усредненного движения релятивистского электрона в таком поле и предсказаны эффекты отражения электронов от центра фокальной области и серфинг эффект, заключающийся в изменении энергии электрона после взаимодействия с ограниченным во времени лазерным импульсом. В 1986 году эти эффекты впервые экспериментально наблюдались экспериментально группой Баксбаума [38, 39] при рассеянии нерелятивистских электронов на пондеромо-торном потенциале, создаваемом лазерным импульсом сравнительно большой мощности в вакууме. Хотя работа [50] дают ясное понимание механизма пондеромоторного рассеяния, она выполнена в предположении о малой интенсивности лазерного поля ту2 ?С 1, что ограничивает возможности ее применения для описания экспериментов с лазерными импульсами релятивистской интенсивности.
Взаимодействие релятивистских электронов с фокусированным лазерным импульсом при rj l впервые рассмотрено в работах [51, 52]. В качестве модели лазерного импульса в этих работах использовалось поле двумерной конфигурации. Такое поле является решением уравнений Максвелла и его, в принципе, можно реализовать фокусируя плоскую волну длинной цилиндрической линзой. Уравнения усредненного движения, полученные в работах [51, 52], качественно правильно описывают особенности движения релятивистского электрона в фокусированном импульсе, но конечно не могут служить для описания эксперимента с реальными лазерными импульсами.
Взаимодействие релятивистских электронов с трехмерными лазерными импульсами активно обсуждается в последние годы в связи с наблюдавшимся экспериментально ускорением свободных электронов высокоинтенсивным лазерным излучением [37] (см. также обсуждение [53]-[55]). В этих, а также в ряде других теоретических работ, посвященных ускорению электронов [56]-[59] рассматривается попутное движение электронов и лазерного импульса.
В первой главе рассматривается движение классического релятивистского электрона в поле лазерного импульса релятивистской интенсивности (?7 1) при произвольной геометрии столкновения частицы с лазерным полем.
Предположение о классичности электрона накладывает ограничение на интенсивность лазерного поля и энергию частицы, соответствующее тому, что значение параметра х должно быть х С 1. В разделе 1.1 предлагается новая трехмерная модель поля, являющаяся обобщением двухмерной модели, использованной в работах [51, 52]. Предлагаемая модель является точным решением уравнений Максвелла и может служить для описания стационарного лазерного пучка. Характерные масштабы неоднородности характеризуются параметрами R и L, которые можно интерпретировать соответственно как радиус фокусировки и дифракционную длину. Поляризация поля определяется в соответствии с поляризацией в центральной части фокуса, где поле очень близко к полю ПМВ. В этой модели конфигурация поля определяется заданием некоторых функций от координат, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям второго порядка в частных производных. Выбор различных решений этих уравнений соответствует различным физическим моделям. В частности, их можно выбрать так, что поле будет соответствовать суперпозиции плоских монохроматических волн с одинаковыми частотами, волновые векторы которых лежат внутри конуса с малым углом раствора. Такое поле очень близко к модели, рассмотренной в монографии [60], и полученной с помощью применения принципа Гюйгенса-Френеля к задаче о дифракции Фраунгофера сферической волны на круглом отверстии. Другой выбор решений описывает широко используемые в оптике гауссовы пучки [61, 62]. При этом, если обычная гауссова огибающая применима для описания слабо фокусированного поля, в диссертации предложено её обобщение применимое и в случае лазерного пучка сфокусированного до дифракционного предела (см. Приложение А). Предложенная модель обобщена для описания лазерного импульса конечной длительности т. Однако, в этом случае она оказывается приближенным решением уравнений Максвелла.
В разделе 1.2 приведено решение уравнений движения электрона в поле лазерного импульса, описываемого предложенной моделью и выведены уравнения усредненного движения. При этом используется стандартный способ разделения движения на плавное и быстро осциллирующее [44], поэтому уравнения усредненного движения выводятся в предположении, что характерные размеры поля R и L много больше характерной длины волны, а длительность импульса много больше обратной частоты При этом предполагается, что выполнено соотношение Выражение для пондеромоторной силы получено с точностью до членов второго порядка малости по параметрам
Заметим, однако, что предложенный метод вывода уравнений движения позволяет, в принципе, получить выражение для пондеромоторной силы в стационарном лазерном пучке с произвольной наперед заданной точностью. Для импульсного поля такая процедура не имеет смысла, так как само это поле является приближенным решением уравнений Максвелла.
Излучение фотона в линейно поляризованном двухмодовом поле. Случай соизмеримых частот
Метод расчета веротности процесса в коротком фокусированном лазерном импульсе можно разделить на два этапа. На первом вычисляется вероятность процесса в плосковолновом импульсе. Для этого используется представление Фари, позволяющее в качестве базиса для вычисления амплитуд переходов в рамках теории возмущений по полю излучения использовать волковские решения, являющиеся точными решениями уравнения Дирака для электрона в поле плоской (но, конечно, в рассматриваемом случае импульсного поля, немонохроматической) волны. Такой подход отвечает постановке эксперимента, при которой узкий пучок электронов сталкивается с широким лазерным пучком. Причем геометрия и параметры столкновения выбраны таким образом, что электрон не чувствует неоднородности лазерного поля ни за счет пондеромоторного эффекта, ни за счет расплывания волнового пакета. Соответствующие условия получены в этом разделе.
Предлагаемый подход позволяет в случае лазерного импульса с интенсивностью г/ 1 интерпретировать получаемые результаты в терминах гармоник, то есть представить вероятность в виде суммы парциальных вероятностей, каждая из которых отвечает определенному числу квантов, поглощенных частицей из поля. В отличие от случая плоской монохроматической волны, где каждая из гармоник в спектральном распределении для частиц, рассеянных в фиксированный угол, представляет собой 5"-функцию, в импульсном поле гармоника приобретает конечную ширину, определяемую максимальной интенсивностью поля. Кроме того, благодаря интерференции амплитуд излучения, сформировавшегося вблизи центра фокуса лазерного импульса, возникает тонкая структура гармоник.
Второй этап позволяет получить вероятность квантовых процессов в случае, когда ширина пучка частиц больше радиуса фокусировки лазерного импульса. Такая ситуация реализуется в большинстве современных экспериментов. Вероятность в этом случае может быть получена из формул для вероятности в поле плосковолнового импульса путем процедуры их усреднения по "прицельным" параметрам падающих частиц. Причем, так как отдельная частица не чувствует неоднородности лазерного поля, то каждому прицельному параметру отвечает свое значение интенсивности поля. Тем самым учитывается фокусировка лазерного импульса. Разделы 3.2 и 3.3 посвящены обсуждению процесса фоторождения пары в поле плоской немонохроматической волны, имеющей вид импульса конечной длительности т.
В разделе 3.2 вычислена вероятность процесса. Показано, что в случае плосковолнового импульсного поля каждая гармоника в спектрально-угловом распределении вероятности фоторождения пары имеет вид двух широких пиков с характерной тонкой структурой. В результате спектрально-угловое распределение вероятности существенно отличается от случая ПМВ, где каждая гармоника представляет собой совокупность двух линий 5-функционного типа. В случае импульсного поля происходит также уширение гармоник в спектре вероятности фоторождения пары.
Раздел 3.3 посвящен вычислению спектра масс рождающихся е е+ пар. Интерес к спектру масс вызван наблюдавшимся в известных Дармштадтских экспериментах пиком в эффективной массе е е+ пары, рожденной в столкновении тяжелых ионов (см., например, [86]). По одной из гипотез возникновение этого пика в спектре масс е е+ пары связано с квантовоэлектродинамическими эффектами. Как будет показано, спектр масс является наиболее удобным объектом для экспериментального исследования.
Раздел 3.4 посвящен вычислению вероятности излучения фотона в плосковолновом лазерном импульсе. Показано, что спектрально-угловое распределение представляет собой совокупность уширенных линий, характеризующихся наличием тонкой структуры. При увеличении интенсивности лазерного поля ширина линий увеличивается приводя к образованию непрерывного спектра с характерной пичковой структурой. Показано, что верхняя граница спектра в случае импульсного поля смещается в сторону больших частот по сравнению со случаем монохроматической волны, приводя к изменению критерия экспериментального обнаружения присутствия в спектре гармоник, отвечающих поглощению двух и более квантов из внешнего поля.
В разделе 3.5 проведено усреднение вероятностей рассмотренных процессов по "прицельным параметрам" пучка налетающих фотонов. Показано, что тонкая структура линий в спектрально-угловых распределениях и в спектре масс е е+ пар сглаживается. Показано, что по сравнению с плосковолновым импульсным полем, в фокусированном лазерном импульсе возрастает относительный вклад в вероятность процессов, формирующихся на периферии импульса.
Следующий раздел содержит обсуждение результатов и границ применимости предложенного метода.. Показано, в частности, что он применим при 77 1 что позволяет описывать поля релятивистской интенсивности. Показано также, что предложенный в этой главе подход и метод получения вероятностей в случае ПМВ приводят к выражениям для вероятностей, соответствующих двум существенно различным схемам эксперимента (и, следовательно, вероятности процессов в ПМВ не могут быть получены из вероятностей в импульсном поле в предельном переходе т — оо). В Приложение В вынесены рисунки. На защиту автором выносятся следующие положения: 1. Вывод и анализ уравнений уравнений усредненного движения, а так же результаты расчетов сечения рассеяния классических релятивистских электронов на фокусированном лазерном импульсе релятивистской интенсивности. 2. Аналитическое вычисление и исследование вероятностей излучения фотона электроном и рождения пары фотоном в двухмодовом плосковолновом поле. 3. Метод расчета вероятностей элементарных КЭД процессов, инициированных одной частицей при лобовом столкновении с коротким фокусированным лазерным импульсом высокой интенсивности. Получение с его помощью аналитических выражений для вероятностей излучения фотона электроном и рождения пары фотоном и их исследование. Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в ведущих российских и международных изданиях [40]-[43], [65]—[73], [81]—[85] включая "Журнал экспериментальной и теоретической физики", "Physical Review Е", "Laser Physics", докладывались на теоретических семинарах МИФИ, ФИАН, ИОФАН, а также на следующих, в том числе международных, конференциях.
Рождение пары фотоном в линейно поляризованном двухмодовом поле
Условие, при котором будет иметь место эффект отражения при рассеянии электрона на симметричном потенциале, можно получить в явном виде. Как легко видеть из уравнений движения (1.58), записанных в цилиндрических координатах, в первом приближении, кроме энергии, сохраняется и проекция момента импульса на ось z где p- прицельный параметр, a q- начальное значение радиальной составляющей импульса электрона. При этом надо иметь ввиду, что из-за возможной асимметрии пон-деромоторного потенциала следует различать положительные (отвечающее gin 0) и отрицательные (отвечающее q 0) прицельные параметры. Тогда из условия сохранения энергии q0 = g_ + qz с помощью формул (1.52) и (1.63) имеем
Интересно отметить, что правая часть уравнения (1.64) в точности совпадает с выражением для энергии нерелятивистской частицы в центральном поле, см., например, [44].) Очевидно, что наиболее жесткими будут условия пролета для частицы с нулевым прицельным параметром, или с М = 0. Из соотношения (1.64) тогда сле дует, что потенциальный барьер преодолеют все частицы с начальным импульсом (ГрП 2mUmax- Следовательно, условие наличия эффекта отражения при рассеянии электронов на симметричном потенциале может быть записано в виде и совпадает с соответствующим условием для двумерной модели поля, полученным в работе [52]. В случае асимметричного потенциала, из-за отсутствия сохранения момента, получение условия отражения в явном виде требует полного решения уравнений движения, что не удается сделать аналитически. Однако как будет видно ниже, соответствующее ограничение на энергию, хотя и не совпадает с условием (1.65) буквально, по порядку величины от него не отличается.
Следует обратить внимание на то, что в случае асимметричного потенциала при некоторых прицельных параметрах электрон отклоняется в сторону фокуса (траектория 2 на Рис. 2), то есть потенциал при таких р эффективно является потенциалом притяжения. Наличие таких траекторий легко понять. На Рис. lb хорошо видно, что асимметричный потенциал, кроме основного, содержит на периферии ряд дополнительных максимумов, хотя и не столь высоких. Поэтому возможна ситуация, когда электрон при некоторых прицельных параметрах больше чувствует влияние не основного, а дополнительного максимума, который, к тому же, может оказаться справа от него. Именно это и служит причиной отклонения электрона в "неправильную" сторону.
Отметим, что все траектории, изображенные на Рис. 2, кроме траектории 3 соответствуют частицам, падающим на лазерный пучок вдоль оси х. Траектория 3 относится к случаю падения под углом тг/4 к оси х и характеризует ещё одну особенность асимметричного потенциала, которая состоит в том, что частица даже с нулевым прицельным параметром может быть рассеяна на ненулевой угол. Это связано с наличием ненулевой азимутальной компоненты пондеромоторной силы /ф = —А —. Заметим, что при 2 = 0 для потенциала (1.57) /,/, = 0 при ф = 0 я -тг/2. Поэтому траектории типа 3 не наблюдаются, если падающая частица первоначально движется вдоль оси х, или у.
На Рис. 3 и 4 показана зависимость угла рассеяния \sc от прицельного параметра р для различных энергий и углов падения налетающих электронов как для симметричного (1.51) (пунктирная линия), так и для асимметричного (1.57) (сплошная линия) потенциалов. Рис. За соответствует электронам, падающим вдоль оси х, с энергией немного меньшей (г/о = 1,7 = 1-40), а Рис. ЗЬ немного большей (770 = 1,7 = 1-42) критического значения для симметричного потенциала у = у 1 -f 7о = \П- При меньшей энергии угол рассеяния в обоих случаях при некоторых р превышает 7г/2, что свидетельствует о наличии эффекта отражения электрона от лазерного фокуса, а при большей энергии угол рассеяния при р = 0 равен нулю и не достигает тг/2 ни при каких значениях прицельного параметра, что означает отсутствие эффекта отражения. Отсюда следует, что критерий отражения для асимметричного потенциала (1.57) при падении под нулевым углом практически совпадает с (1.65). При росте прицельного параметра угол рассеяния изменяется немонотонно, что является следствием сложной структуры потенциала. Причем в случае асимметричного потенциала в определенном интервале прицельных параметров угол рассеяния принимает отрицательные значения. Как следует из предыдущего обсуждения, этот эффект объясняется отражением от дополнительных максимумов.
На Рис. 4 приведены зависимости Xsc от р для электронов, падающих на пучок с асимметричным потенциалом вдоль линии фа = 7г/4 при том же значении щ = 1, и 7 = 1.42 (Рис. 4а) и 1.48 (Рис. 4Ь). В отличие от Рис. 3, приведены значения \ с как при положительных, так и отрицательных прицельных параметрах. Из графиков видно, что при 7 = 1-42 , в отличие от случая падения вдоль оси а:, эффект отражения для асимметричного потенциала имеет место, а при 7 = 1-48 уже отсутствует. Это означает, что в случае асимметричного потенциала критерий отражения зависит от ф0, но эта зависимость довольно слабая. Обратим внимание на то, что кривые Xsc{p) симметричны относительно точки р = 0 для случая пондеромоторного потенциала (1.51), в то время как для потенциала (1.57) такая симметрия отсутствует. Более того, максимальный угол рассеяния в случае асимметричного потенциала соответствует не нулевому, а некоторому отрицательному прицельному параметру. Это объясняется уже обсуждавшимся существованием азимутальной составляющей пондеромоторной силы. Частица, падающая на асимметричный потенциал с нулевым прицельным параметром р (то есть движущаяся вдоль траектории 3, Рис. 2), не попадает на максимум потенциала. Это происходит с частицей, имеющей отрицательный р, что и отражено на Рис. 4. Отметим также, что при падении под углом фо = 7г/4 эффект рассеяния частиц с положительными прицельными параметрами на отрицательные углы не наблюдается. Рассчитанные зависимости Xsc(p) позволяют найти эффективные сечения рассеяния электронов лазерным полем. Если столкновение пучка электронов с лазерным полем происходит в области близкой к фокальной плоскости, а диаметр сечения пучка мал по сравнению с дифракционной длиной L, то можно считать, что мишень (лазерное поле) обладает цилиндрической симметрией. В этом случае можно ввести дифференциальное сечение рассеяния, рассчитанное на единицу длины
Вероятность излучения фотона электроном в коротком плосковолновом импульсе
Первое слагаемое в правой части формулы (2.70) го (1,0; 1,0) воспроизводит результат Никишова и Ритуса [19] для случая монохроматической волны с тем отличием, что величина щ (2.40) теперь определяется эффективной массой электрона в двухмо-довом поле (2.11), а не в поле монохроматической волны (в соответствие с работой [19] щ определяется точной формулой (2.40), что необходимо для правильного описания кинематических особенностей процесса). Это слагаемое определяется совокупностью иаграмм (а) и (Ь) Рис. 9 и одной из диаграмм (с) Рис. 9, которая приводит к "перенормировке" эффективной массы. Второе слагаемое гу(1,0; 1,0) определяется интерференцией диаграмм (а) и (с) Рис. 9 и, естественно, отсутствует в случае монохроматической волны. Поэтому оно содержит множитель (2 и зависит от угла ф между плоскостями поляризации двух мод.
Интерференционное слагаемое (2.73) определяется интерференцией диаграмм (а) и (d) Рис. 9. Оно содержит параметр ( в первой степени, т.к. диаграммы (d) Рис. 9 содержат только одну линию, соответствующую поглощению фотона из второй моды, и тоже зависит от угла ф. При этом, при ф = тг/2, т.е. в случае, если две моды поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях, интерференционное слагаемое не дает вклада в полную вероятность. Отметим, что это обстоятельство никак не связано с теорией возмущения. Ситуация здесь аналогична случаю циркулярно поляризованных мод [65].
Интерференционные эффекты могут существенно влиять на величину вероятности излучения. Так, на Рис. 10 приведены графики зависимостей от их вкладов в полную вероятность величин iwe(4)(l, 0; 1,0), которая представляет из себя слагаемое порядка rjf в юе(1,0;1,0) (2.70) , и 2гие(1,0;—2,1) (2.73). Из графиков видно, что разность между этими двумя величинами меняет знак при некотором значении щ = и х близком к единице. Это означает, в частности, что при разности фаз (р — тг меняется знак поправки порядка ц\ к полной вероятности излучения первой гармоники, а при и\ — и\ эта поправка обращается в ноль. Заметим, однако, что такой эффект имеет место не при любых значениях параметра , а только при С (, и 0.852. При С С графики на Рис. 10 не пересекаются и поправка четвертого порядка к W{ всегда отрицательна.
При т/ 1, т.е. в отсутствие малого параметра представление (2.64) для вероятности излучения становится неудобным для численных расчетов, т.к. используя его, приходится учитывать вклад большого числа слагаемых одного порядка в шестикратной сумме для парциальных вероятностей (см. формулы (2.64), (2.34)).
Для поля с соизмеримыми частотами мод можно получить более удобную для численных расчетов формулу для вероятности. В этом случае подынтегральное выражение в формуле (2.12) для матричного элемента излучения является периодической функцией и может быть разложено в однократный ряд Фурье. Далее, действуя по тому же. сценарию, который используется в [19] , можно получить для вероятности выражение а все параметры сохранили свои определения. Ниже во всех численных расчетах при 771 или 772 1 используется представление (2.74).
На Рис. 11 представлены кривые спектрального распределения излучения при различных соотношениях между интенсивностями мод, т.е. при различных значениях параметра ( — /щ, соответствующие одинаковой интенсивности исходной монохроматической волны. Кривая Рис. На соответствует значению = 0, т.е. случаю поля монохроматической волны с частотой и и интенсивностью щ. При этом предполагается, что имеет место "лобовое столкновение" электрона с лазерным полем, т.е. 4-импульс начального электрона q и волновой 4-вектор поля ка антипараллельны. Спектр излучения, соответствующий 5-й гармонике, имеет резкую границу при частоте и; о(0) [81] , т.е. при частоте фотона, излученного в направлении импульса начального электрона. Эта частота легко может быть найдена из законов сохранения и определяется выражением
где m.-эффективная масса электрона в поле монохроматической волны. На Рис. lib, 11с представлены спектральные распределения излучения в двухмодовом поле соответственно для значений ( — 0.36,1. Эти кривые имеют две существенные особенности. Во-первых, границы всех гармоник на Рис. lib, 11с сдвинуты вправо по сравнению с соответствующими границами в монохроматической волне. Этот эффект имеет простое объяснение. Действительно, поскольку вид законов сохранения в двухмодовом поле не изменился по сравнению с монохроматическим полем, формула (2.76) для граничной частоты сохраняет свой вид. Однако, под т, нужно теперь понимать эффективную массу (2.11) электрона в двухмодовом поле, которая будучи выражена через интенсивность щ исходной волны (см. формулу (2.7)), может быть записана в виде
Значение параметра ( — 0 соответствует полю исходной монохроматической волны с частотой ші, а С = со случаю, когда исходная волна полностью преобразована в монохроматическую волну с частотой ш2 = иш\. Из формулы (2.77) легко видеть, что эффективно электрон в двухмодовом поле (С 0) оказывается легче электрона в исходной монохроматической волне, что и объясняет, в соответствие с формулой (2.76), сдвиг границ гармоник. Очевидно, что этот эффект можно использовать для непосредственного измерения зависимости эффективной массы электрона от напряженности внешнего поля.
Другой важной особенность кривых Рис. 11 является изменение относительного вклада различных парциальных вероятностей W в полную вероятность IVе в зависимости от параметра (. В частности при = 1, = 1, параметры интенсивности щ и rj2 оказываются равными и из Рис. 11с видно, что основной вклад в полную вероятность при этом дает парциальная вероятность W$. Отметим, однако, что перераспределение вкладов в полную вероятность парциальных вероятностей W[ и W с ростом ( происходит на фоне уменьшения полной вероятности. Это наглядно иллюстрируется кривыми Рис. 12 и объясняется уменьшением параметра интенсивности г\ (2.6) двухмодового поля по сравнению с параметром интенсивности исходной нерасщепленной волны щ (2.7).
