Введение к работе
Объект исследования. Пусть 21L , 2jM и S" - банаховы пространства, оператор L е Х-СНь.Ъ) , а оператор М: l„ — У , вообще говоря, нелинеен и гладок. Диссертация посвящена иссле- дованию однозначной разрешимости задачи Коши
"(О) - U. (0.1)
для полулинейного уравнения типа Соболева
L-u-M(u). / ' (0.2)
Актуальность темы. В последнее вреіет в различных областях естествознания возникло большое число уравнений и систзм уравнений в частных производных, начально-краевые задачи для Которых редуцируются к задаче (0.1), (0.2). Таковы, например, уравнение Баренблатта-Желтова-Кочиной, моделирующее фильтрацию жидкости в грещинновато-пористой среде; уравнение Хоффа, моделирующее динамику выпучивания двутавровой балки; система уравнений Осколкова, моделирующая течение вязкоупругой яадкости Кельвина-Фойгта, и многих других. Одной из задач диссертации является математическое осмысление указанных прикладных задач в рамках единого формализма.
Построение такого формализма на первых ае шагах сталкивается со следующей проблемой. Пусть оператор L: ZiL — S" . непрерывно обратил. Тогда уравнение (0.2) тривиально редуцируется к регулярному уравнению
) u *Т(и) (0.3)
с гладким оператором Т. - L"lM:8iM— Уи , а задача (0.1),
(0,3) решается либо посредством обобщения известной теоремы Коши (в случае Hi, & Ум ), либо методами теории полугрупп или методами теории Комуры (в случае &IM с &l ). Проблема возникает, когда оператор L необратим, в частности, когда кег L ^ {0} Заметим, что такой случай возникает во всех прикладных задачах, и потому им нельзя пренебречь, исходя из "нефизичности" задачи. К настоящему времени слояилось несколько подходов к исследованию задачи (0.1), (0.2) в случае кег L = {OJ . Отметил! здесь работы Ы.Й.Вишика; С.А.Гальперна ; А.Г.Костюченко и Г.И. Эскина; С.Г.Крейна и его учеников С.П.Зубовой z К.И.Черннвева;
Н.А.Сидорова и его учеников 0.А.Романовой и М.В.Фалалеева; А.П. Осколкова; Ю.Е.Бояринцева и В.Ф.Чистякова; Showcdtet-'a R. и его учеников М . Bohm'a и Е. О: Benedetto ; Т- W.Ti ^ Н . Uohbourne . Однако аолной ясности в понимании задачи (0.1), (0.2), ясности, на которой настаивая 2.-Л. Лионе, ни одним из указанных методов достигнуто не было. Кроме теоретического обоснования различных прикладных задач исследования задачи (0.1), (0.2) актуальны еще и с позиций теории релаксационных, колебаний, где уравнение (0.2) в случае квг L + jo) описивает медленные движения. Именно в данном контексте различные частные случаи задачи-(0.1), (0.2) рассматривались А.И.Тихоновым; Е.Ф.Мищенко, Н.Х.Розовым и Л.Ю.Колесо-вш; А.Б.Васильевой и Ю.С.Саясовда; A.M.Ильиным; В.Г.Борисовым;' Ю.С.Йльяшенко. Наконец, отметим актуальность наших исследований с точки зрения связи между уравнением -(0.2) и "стаодонарным" уравнением Lu = M(u) в случае кег L + |o} . Исследованием последнего Цель работы. Еще в первых исследованиях модельных задач вида (01), (0.2) была отмечена неразрешимость' этой задачи в случае кеі- L +Jo| при любых начальных значениях U0 . Возникла проблема описания шюкества допустимых начальных значений, т.е. таких, при которых задача (0.1), (0.2) однозначно разрешима. Удобно понимать эти множества допустимых начальных . значений как фазовые пространства .'(в смысле.Д.В.Аносова) уравнений вида (0.2). Целью работы служит морфология фазового пространства уравнения (0.2). Термин "морфология" в контексте диссертации является синонимом выражения "азучеме формы (етруісту-ры, строения к т.д.)". ГЛетод исследования. Основным методом исследования служит метод фазового пространства. Суть этого метода заключается в следующем. Посредством аначога метода Ляпунова-Шмидта (т.е. метода Ляпуноза-Шыидга, модеіфяцировашгаго сообразно данной ситуации) сингулярное ( кег- L*{o}) уравнение (0.2) редуцируется к регулярному уравнению (0.3), определенному, однако, не на -.-5- всем пространстве 2iji (2іц) ', а ка некотором его подмножестве, являющемся фазовым пространством уравнения (0.2). Основы этого метода были заложены в кандидатской диссертации автора [I.II]. Содержание метода составляют различные результаты линейного и нелинейного функционального анализа, в частности, теории аналитических (полу)групп, теории дифференцируемых банаховых многообразий, теории степени отобраке-ния. Научная новизна. Основные результата диссертации не тлеют аналогов в мировой математической литературе, а іменно, в диссертации заложены основы общей спектральной теориг относительно ограшгченных и относительно секгориальных линейных операторов; заложены основи теории аналитических (полу)груші с ядрами; определены условия, необходимые и достаточные для существования фазовых пространств уравнения (0.2) в тех случаях, когда М -линейный L -ограниченный либо L -секториальный о'ператор, и даны рецепта построения этих фазовых пространств в данных случаях; описаны нормальные формы уравнения (0.2) в случае, когда Ми>(- производная Фрсше оператора М в точке u„ ) - U -ограниченный оператор, и исследованы квазистапионарше траектории уравнения (0.2) в данном случае; описаны фазовые пространства полулинейного уравнения (0.2) в случаях, когда Mu. - L -ограниченный (при условии -. - ^м ) либо' L-чзекториальный (при условии все абстрактные результаты иллюстрированы конкретными начально-краевыми задачами для цитированных выше уравнений и систем уравнений в частных производных, имеющих прикладное значение. Теоретическая значимость. Основная часть результатов диссертации носит теоретический характер. В первую очередь к row относятся результаты по общей спектральной теории относительно ограниченных и относительно секториальннх операторов. Данные результаты не только обобщают соответствующие разделы общей спектральной теории ограниченных и секториальннх опера- 'Ъ ~ торов, но и определяют направления дальнейших исследований в Затем следует отметить результаты по аналитическим (полу) группам с ядрами. Они продолжают традицию, восходящую к известной теореме Хилле-Иосида-Фшшшеа. Значение этих результатов заключается не только в том, что они расширяют объект доследования теории аналитических (полу)групп, но и способны привести к перестройке всей теории в целом. Основное содержание диссертации посвящено морфологии фазо Практическая ценность результатов диссертации заключается в том, что они стимулировали новне исследования фазовых пространств полулинейных уравнений типа Соболева [1.3 - 1.5] (в частности, под руководством автора была написана и защищена кандидатская диссертация [ІД2]); новые исследования в теории релаксациоішнх колебаний [1.2, 1.7, 1.8],' приведшие к обобщению теоремы Тихо-нова-Васильевой-Градштейна; новые исследования различных конт кретных прикладных задач [I.I, 1.93; -.'.;. эти- результаты легли в основу спецкурса "Фазовые пространства полулинейных -уравнений типа Соболева", прочитанного автором студентам математического факультета ЧелГУ; эти результаты должны быть положены в основу при.конструировании численных алгоритмов при решении прикладных задач для уравнений и систем уравнений в частных производных типа Соболева. . ' - - Апробация работы. Результаты диссертации были представле- . - 7 -[2.16]. Эти результаты неоднократно обсуждались на семинаре Ю.С. Осипова и А.В.Кряшмского в ИММ.УрО РАН. Они были основным предметом дискуссии на семинаре по -полулинейным уравнениям типа Соболева ь банаховых пространствах [1.10, 2.19], состоявшегося а І99Г г. в ЧелГУ. Публикации. Основные результати диссертации представлены в работах [2.1-2.19]. Структура и объем работы. Диссертация изложена на 213 страницах машинописного текста. Состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы, который содержит 123 наименования. Каздая глава предваряется кратким введением, в котором охарактеризовано содержание этой главы, и завершается комментариями, в которых проводится сравнительный анализ новизны полученных результатов.
уравнения много занимались А.Куфнер и С.Фучик; Ю.Г.Борисович
и его ученики-В.Г.Звягин и Ю.И.Сапронов; Й.В.Азбелев и Л.Ф.Рах-
матуллина; А.Б.Буршютрова. -
этой области. '
вых пространств уравнения (0.2). Значение этих результатов со
стоит в том, что они определяют принципиально новые направления
в общей теории полулинейных уравнений типа Соболева. Развитый в
диссертации подход позволяет очертить контуры будущей теории
фазовых пространств уравнений (0,2).
ны на ХІУ, ХУ и ХУІ Школах по теории операторов в функциональ
ных пространствах [2.II, 2.15, 2.18]; на 4-сй Конференции по
дифференциальным уравнениям и их приложениям [2.І2І; на Совме
стных заседаниях Семинара им. И.Г.Петровского и Московского ма
тематического общества [2.6]; на Всесоюзной школе-семинаре по
моделированию и устойчивости физических процессов [2.14]; на
Первом международном коллоквиуме по дифференциальным уравнениямПохожие диссертации на Исследование полулинейных уравнений типа Соболева в банаховых пространствах
