Введение к работе
Актуальность темы. Неклассические уравнения математической физики - интенсивно развивающееся направление в теории уравнений в частных производных. К неклассическим уравнениям относятся уравнения смешанного типа, гиперболо-параболические уравнения,эллиптико-параболические уравнения и другие. Неклассические уравнения представляют большой интерес с точки зрения их приложений в трансзвуковой газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и во многих других вопросах механики и гидродинамики.
Основы теории краевых задач для уравнений смешанного типа были заложены в работах Ф.Трикоми и М.Чибрарио. Важнейшие результаты в этом направлении были получены в работах Ф. И. Франкля, К. И. Бабенко, А. В. Бицадзе, М. В. Келдыша. В последующие годы появилось много работ, посвященных неклассическим уравнениям смешанного типа. Это, в частности, работы Г. Фикеры, М.М.Смирнова, С. А. Терсенова, 0. А. Олейник, А. М. Нахушева и др. Различным аспектам неклассических уравнений посвящены работы В. Н. Врагова, Н. В. Кислова, И. Е. Егорова, А. И. Кожанова, С. Г. Пятко-ва, Хе Кан Чера, А. Г. Подгаева и др.
В конце 70-х годов В. Н. Враговым и рядом автором было начато построение общей теории краевых задач для гиперболо-параболических уравнений второго порядка. Изучался вопрос о постановке корректных краевых задач, доказательство их разрешимости и гладкости обобщенных решений. В эти же годы появились работы, в которых рассматривалось уравнение смешанного типа вида
k(x,t)u + a (x,t)u + a(x,t)u +b (x,t)u +c(x,t)u =f(x,t),
где a (Xjtj^C *o ^=(^,...,^), а коэффициент k(x,t) произвольным образом меняет знак внутри области. Здесь и ниже предполагается суммирование по повторяющимся индексам. Для этого уравнения были сформулированы некоторые краевые задачи и изучены вопросы слабой и сильной разрешимости этих задач в пространствах Соболева w^(Q ) и w2(Q ). Исследования проводились различными методами: г-регуляризации, методом Лакса -
Филлипса, включающим технику сглаживающих операторов для доказательства существования сильного решения, методом Галеркина.
Метод конечных разностей - один из мощных численных методов решения широкого класса математических задач. В настоящее время не разработана удовлетворительная теория разностных схем для уравнений смешанного типа, в литературе имеются лишь отдельные работы. Большое практическое значение имело бы изучение конечно-разностных аналогов краевых задач для уравнения смешанного типа, т. е. построение разностных схем и изучение их сходимости и устойчивости.
Принципы и методы построения разностных схем, исследование их свойств, а также разработка специальных методов решения сеточных уравнений достаточно полно изложены, например,в монографиях А. А. Самарского, А. А. Самарского и А. В. Гулина,А. А. Самарского и В.Б.Андреева, А. А. Самарского и Е.С.Николаева, Г.И.Марчука, Н. Н. Яненко, В. Базова и Дж. Форсайта и других.
Цель работы - исследование разрешимости начально-краевых задач для уравнений смешанного типа с помощью метода конечных разностей; построение сходящихся разностных схем и доказательство их устойчивости в метриках, соответствующих энергетическим оценкам.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертации получены следующие основные результаты:
-
Построена явная разностная схема для уравнения гиперболо-параболического типа. Доказана устойчивость разностной схемы в энергетических нормах и сходимость интерполяций ее решений к обобщенному и регулярному решению смешанных задач при естественных условиях на шаги сетки.
-
Рассмотрена устойчивая разностная схема, аппроксимирующая краевую задачу для уравнения смешанного типа. Доказана сходимость конечно-разностного решения к обобщенному решению и установлено повышение гладкости этого обобщенного решения.
-
Изучена сходимость решений простейшей разностной схемы, аппроксимирующей краевую задачу Терехова А.Н. для уравнения смешанного типа, к обобщенному и регулярному решению исходной задачи.
Построенные разностные схемы могут быть использованы при численном решении различных прикладных задач математической
физики.
Результаты диссертации имеют теоретическое и практическое значение.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными" в ЯГУ (рук. д. ф-м. н. И.Е.Егоров), на семинаре по неклассическим уравнениям математической физики в институте математики СО РАН (рук. проф. В.Н.Врагов), на семинаре лаборатории ВЦ ДВО РАН (рук. проф. СИ. Смагин), на семинаре "Дифференциальные уравнения" в Хабаровском техническом университете (рук. проф. А.Г.Зарубин).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах /1-4/, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и обьем диссертации: Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 9 параграфов, списка литературы из 65 наименований и изложена на 66 страницах.
