Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Сильно непрерывные полугруппы уравнений Соболевского типа 37
1.1. Относительные резольвенты и относительно присоединенные векторы 37
1.2. Относительно р-радиальный оператор 39
1.3. Разрешающие полугруппы операторов 45
1.4. Фазовые пространства 56
1.5. Расщепление пространств 63
1.6. Обратный оператор 67
1.7. Инфинитезимальные генераторы
1.8. Генераторы вырожденных сильно непрерывных полугрупп 76
1.9. Случай полурефлексивных пространств 83
ГЛАВА II. Некоторые классы вырожденных сильно непрерывных полугрупп 87
2.1. Сильно непрерывные группы 87
2.2. Сильно (1/,р)-бирадиальный оператор 92
2.3. Относительно диссипативный оператор 96
2.4. Полугруппы уравнений с относительно диссипативными операторами 98
2.5. Относительно сопряженные операторы 103
2.6. Относительно симметрические операторы 107
ГЛАВА III. Сильно голоморфные полугруппы уравнений соболевского типа 111
3.1. Относительно р-секториальный оператор 111
3.2. Существование голоморфных полугрупп 116
3.3. Ядра и образы голоморфных полугрупп и фазовые пространства уравнений 123
3.4. Единицы разрешающих полугрупп 132
3.5. Существование обратного оператора 136
3.6. Генераторы вырожденных сильно голоморфных полугрупп 142
3.7. Сильно голоморфные полугруппы с "широкими" ядрами . 144
3.8. (р,ф{т))-условие 149
3.9. Существование бесконечно дифференцируемых полугрупп . 152
3.9. Фазовые пространства 157
3.9. Ядра и образы бесконечно дифференцируемых полугрупп . 161
ГЛАВА IV. Сильно голоморфные в плоскости группы 163
4.1. Регулярный относительный спектр и относительные резольвенты 163
4.2. Относительно спектрально регулярный оператор 167
4.3. Сильно голоморфные группы уравнений Соболевского типа 176
4.4. Фазовые пространства 179
4.5. Генераторы сильно голоморфных групп операторов с ядрами 183
ГЛАВА V. Приложения теории вырожденных полугрупп операторов 186
5.1. Неоднородная задача Коши в локально выпуклых пространствах 186
5.2. Функции самосопряженных операторов и относительный спектр 196
5.3. Многочлены от самосопряженных операторов и относительный спектр 201
5.4. Задачи с многочленами от эллиптических самосопряженных операторов 204
5.5. Задачи с эллиптическими самосопряженными операторами в пространстве Фреше 209
5.6. Уравнения типа уравнения волн Россби 212
5.7. Уравнения в локально выпуклых пространствах, ассоциированных с неограниченными операторами в банаховых пространствах 217
5.8. Уравнение в индуктивном пределе индуктивной шкалы локально выпуклых пространств 220
5.9. Одна задача с бесконечным числом краевых условий: для уравнения бесконечного порядка 223
5.10. Уравнение с трансцендентными функциями от оператора Шредингера 225
5.11. Периодические решения задачи Коши для дифференциально-разностного уравнения 228
5.12. Начально-краевая задача для системы уравнений фазового поля 230
5.13. Начально-краевая задача для ал гебраическо-дифференциальной системы уравнений с частными производными 236
5.14. Примеры уравнений математической физики, вырождающихся на относительно присоединенных векторах239
Список цитированной литературы 241
- Генераторы вырожденных сильно непрерывных полугрупп
- Полугруппы уравнений с относительно диссипативными операторами
- Ядра и образы голоморфных полугрупп и фазовые пространства уравнений
- Сильно голоморфные группы уравнений Соболевского типа
Введение к работе
Постановка задачи
Пусть UviT- отделимые секвенциально полные локально выпуклые линейные топологические пространства, оператор L є CiJA^J7)^ оператор М С1(Ы]Т). Дополнительно будем также всюду, кроме четвертой главы, предполагать, что пространства таковы, что для отбражений из Т ьЫ выполняется теорема о замкнутом графике. Простейшее предположение такого рода - полнота и метризуемость Ы и J7, менее ограничительное - бочечность U и совершенная полнота J7 [102). Более общие условия, при которых выполняется теорема о замкнутом графике, могут быть найдены в [30, 100, 102, 148[. Рассмотрим задачу Коши u(0) = щ (0.1) для операторно-дифференциального уравнения L u(t) = Mu(t). (0.2)
Если оператор L непрерывно обратим, то уравнение (0.2) можно редуцировать к паре эквивалентных ему уравнений ед-5«(і), g(t) = Tg(t)t (0.3) где операторы S = L~lM Є Cl{U)t domS = domM, T = ML"1 Cl{T), domT = L[domM]. Уравнения (0.3) можно рассматривать в рамках уравнения в секвенциально полном локально выпуклом линейном топологическом пространстве У v{t) = Av(t), (0.4) A : dornA — V, domA = V. Задачу Коши и(0) = щ (0.5) для уравнения (0.4) удобно исследовать в терминах теории полугрупп операторов. Тип рассматриваемой полугруппы связан с типом исследуемой задачи Коши (см. поэтому поводу [62, 64]), поэтому в каждом случае мы будем отдельно определять ее решение.
В свое время теория полугрупп операторов в банаховых пространствах [2, 8, 29, 51, 64, 132, 168] была распространена на локально выпуклые пространства. При этом теория равностепенно непрерывных полугрупп операторов в локально выпуклых пространствах (Л. Шварц [171], Н. Komatsn [154], К. Иосида [47]) оказалась очень близка к теории полугрупп в банаховых пространствах: в обоих случаях основным языком и методом исследования служит резольвента производящего оператора полугруппы.
Однако, как показывают некоторые примеры, в случае локально выпуклых пространств равностепенная непрерывность полугруппы не является таким же естественным условием, как в случае банаховых пространств, в частности она не следует из сильной непрерывности полугруппы. Чего нельзя сказать об условии локальной равностепенной непрерывности. Полугруппы, удовлетворяющие этому условию, рассматривались многими авторами. При этом было замечено, что даже в достаточно простых случаях резольвента генератора такой полугруппы может но существовать ни в одной точке. В работе Т. Komura [155] роль резольвенты в теореме о порождении локально равностепенно непрерывной полугруппы класса (Со) играет достаточно сложное понятие обобщенной резольвенты. В. В. Иванов [37] и S. Ouchi [167] использовали для характе-ризации порождающих операторов одинаковую, более прозрачную конструкцию, названную п-резольвентой [37] (позже - квазирезольвентой [38, 39, 40, 41]) и асимпототической резольвентой [167]. Заметим, что впоследствии В. В. Иванову удалось упростить понятие квазирезольвенты, отказавщись от априорного требования ее коммутирования с генератором [39,40]. Кроме того, им были исследованы не только Со-непрерывные полугруппы, но и равномерно суммируемые [39, 40], а в работе [38] была проведена весьма общая классификация полугрупп операторов в локально выпуклых пространствах и исследованы соответствующие классы полугрупп. Отметим также работы о локально равностепенно непрерывных Со-непрерывных группах [72, 165].
В данной работе будут рассмотрены вопросы порождения равностепенно непрерывных полугрупп четырех различных классов гладкости уравнения (0.2): сильно голоморфных в плоскости групп, сильно голоморфных в секторе полугрупп, сильно непрерывных полугрупп и сильно непрерывных групп операторов. Сформулируем необходимые в дальнейшем результаты в удобном для нас виде и в максимальной степени общности - для локально выпуклых пространств.
В [99] показано, что оператор А Є (V) в локально выпуклом пространстве V регулярен тогда и только тогда, когда существует С > 0, что семейство операторов {С~пАп C(V) : п Є N} равностепенно непрерывно. Регулярный оператор порождает экспоненциально ограниченную сильно голоморфную в плоскости группу «О f-ПДП г V{t) = etA = ]Г -JL = / (jjj _ A)-Xel*dp Є (V), где 7 - замкнутый контур, ограничивающий регулярный спектр оператора А.
Теоремы о порождении сильно голоморфных и сильно непрерывных полугрупп, а также сильно непрерывных групп в локально выпуклых пространствах доказаны в [47]. Следуя [51, 131], оператор А Є Cl(V) назовем секториальным, если выполняются условия: (i) 3aR ЗЄ Є 0/2, тг) Sa,e{A) = {МЄС:| arg{^ - а)| < в, \х ф а} с р{А)\ (ii) равностепенно непрерывно семейство операторов {((л - о)(/і/ - А)"1 є (V) : /і Є Safi{A)}
Оператор А секториален тогда и только тогда, когда он является инфи-нитезимальпым генератором сильно голоморфной в секторе полугруппы, операторы которой при этом имеют вид V{t) = !{iil - Ayh^dfi Є (V), где в качестве контура 7 можно взять границу сектора Sat$(A), сдвинутую вправо па є > 0.
Оператор А Є Cl(V) назовем радиальным, если выполняются условия: (і) За Є К (а, +оо) С р{А)\ (іі) равностепенно непрерывно семейство операторов {{її - a)n{pl - Л)"" Є {V) : ц Є (а, +оо), п N} .
Радиальность оператора А является необходимым и достаточным условием того, что он порождает сильно непрерывную полугруппу класса (Со), операторы которой при этом имеют вид V(t) = s- lim exp(*((/i - a)2{fxl - A)~l - fil)) = JU-++OO s- Уіт{пГ1{пГ1І - A)~l)n.
Оператор А Є Cl(V) назовем бирадиальиым, если радиальны операторы А и — А. Оператор А бирадиален тогда и только тогда, когда он является инфинитезимальным генератором сильно непрерывной группы класса (Со).
Решение v(t) задачи (0.1) для неоднородного уравнения v{t) = Av(t) + h{t) можно выразить с помощью операторов (полу)группы однородного уравнения следующим образом: tv(t) = V{t)v0 + fv{t- s)h{s)ds, (0.6) если функция h Є C(R+;T>a) или h Є C^IR+jV) в случае существования сильно непрерывной (полу)группы класса (Со), Здесь через Т>а обозначено пространство domA, наделенное граф-полунормам и За (О = q(-j + q(A-)t соответствующими всем непрерывным полунормам д(-) в пространстве V. В случае сильно голоморфной в секторе полугруппы можно также взять функцию h(t), действующую во все V, если для нее выполняется условие локальной гельдеровости и интегрируемости на интервале (0,p(q)) функций q(h(i)) при всех непрерывных полунормах q(-) в V, Однако при этом мы будем говорить о разрешимости ослабленной задачи Копій (см. гл. 3). Наконец, при условии существования сильно голоморфной в плоскости группы для существования решения (0.6) достаточно, чтобы h Є C(R-h V).
Полугруппы уравнения (0.2) в банаховых пространствах рассматривались разными авторами [74, 75, 108, 109, 151, 152, 183]. При этом было замечено, что характерной чертой (полу)группы уравнения с вырожденным оператором при производной является наличие нетривиальных ядер у ее операторов. А именно, единицей полугруппы является не тождественный оператор, как в классической теории полугрупп операторов, а проектор па некоторое подпространство. Такие полугруппы мы в дальнейшем будем называть вырожденными, либо полугруппами операторов с ядрами.
Главной задачей данной диссертационной работы является обобщение теорем об инфинитезималыплх генераторах равностепенно непрерывных сильно голоморфных в плоскости групп, сильно голоморфных в секторе полугрупп, сильно непрерывных полугрупп и групп операторов на случай (полу)групп уравнения (0.2) в банаховых и локально выпуклых пространствах. Для того, чтобы получить такие результаты, потребовалось ввести в рассмотрение понятия (L, сг)-регулярного [108, 192, 214], сильно (Ь(р)-секториального [184, 186, 193, 214], сильно (L,р)-радиального [185, 188, 214, 196, 234] и сильно (,р)-бирадиальпого [189, 197, 214, 205, 196] оператора. Показано, что уравнения с такими операторами вырождаются не только на ядре оператора L, как в большинстве упомянутых в предыдущем абзаце работ, но и на цепочках его М-присоединенных векторов.
При этом одной из важных задач является изучение структур ядра полугруппы и фазового пространства уравнения (0.2) каждого из четы- рех упомянутых классов, то есть замыкания множества допустимых начальных значений задачи (0.1), (0.2). Этот вопрос является актуальным, поскольку исследователями [14, 35, 67, 134] давно замечено, что такие начальные значения заполняют всего лишь некоторое подпространство исходного пространства.
С помощью построенных полугрупп требуется также получить теоремы о разрешимости неоднородных уравнений Lu(t) = Mu{t) + f(t) (0.7) соответствующих классов и найти для таких уравнений множества допустимых начальных значений задачи Коши.
Наконец, существенной целью данной работы является получение новых результатов о разрешимости начально-краевых задач для уравнений с вырожденным дифференциальным по пространственным переменным оператором при производной по времени в банаховых и локально выпуклых пространствах. При этом сначала устанавливается принадлежность пары дифференциальных операторов одному из классов пар операторов, рассмотренных в первых четырех главах, а затем применяется соответствующая абстрактная теорема о разрешимости неоднородной задачи Коши.
Историография вопроса
Сразу заметим, что охватить весь спектр исследований по уравнениям Соболевского типа невозможно, поскольку "из одних только рефератов опубликованных статей можно составить не один том!" [22, с. XIV]. Мы ограничимся, главным образом, обзором работ, касающихся именно линейных автономных уравнений Соболевского типа первого порядка. При этом список цитированной литературы не претендует на полноту и обусловлен личными пристрастиями автора.
Помимо теоретической ценности исследования задачи (0.1), (0.7) самого по себе отметим и его прикладную значимость. Действительно, за- дача (0.1), (0,7) представляет собой абстрактную форму многих начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, моделирующих различные реальные процессы [13, 44, 52, 56, 57, 58, 86, 87, 108, 152, 214]. Речь идет о линеаризованной системе Навье - Сток-са, системе и уравнении Соболева, системах и уравнениях внутренних и гравитационно-гироскопических волн, уравнении ионно-звуковых волн, уравнении Баренблатта - Желтова - Кочиной, уравнении волн Россби, уравнении свободной эволюции поверхности фильтрующейся жидкости, уравнении стратификации объемного заряда в полупроводнике и др. Подробную библиографию по этим вопросам можно найти в [1, 17, 22]. Заметим, что прикладные задачи обычно рассматриваются в рамках банаховых пространств, но иногда возникает необходимость в использовании более общей и в то же время естественной структуры локально выпуклого пространства (см. пятую главу настоящей работы).
Выделим два направления в истории изучения задачи (0.1), (0.7). Одно из направлений предполагает изучение задачи в абстрактном виде, а затем приложение полученных результатов к задачам для дифференциальных уравнений и систем уравнений, укладывающимся в соответствующие абстрактные рамки. Ко второму мы отнесем результаты, изначально лежащие в области дифференциальных уравнений и во многом основанные на использовании структуры конкретных дифференциальных операторов. Впервые такие исследования встречаются в работе А.Пуанкаре, затем при исследовании системы Навье - Стокса исследования такого рода проводились в работах Озеена [166], Лере, Шаудера [158, 159].
Но первые, по-настоящему глубокие исследования начально-краевых задач для уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени, проведены С.Л.Соболевым [117, 118, 119, 120, 121], поэтому такие уравнения, в частности уравнение (0.2), следуя устоявшейся традиции [22, 83, 108, 174], будем называть "уравнениями соболевского типа" или "уравнениями типа Соболева".
А.Г.Костюченко и Г.И.Эскин [63, 141] установили разрешимость задачи Когаи для уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени, в классе экспоненциально растущих функций. R.E.Showalter и T.W.Ting в работе [176] рассматривают уравнение (0.2) с дифференциальными операторами L и М, где
П П о л t=l j=l J
Ті Ті r\ f\ ТІ г\ x Є 7 С IK", fi -ограниченная область, domL и domM плотны в гильбертовом пространстве г(Р) = 11 = 3-. Решается обобщенная смешанная краевая задача, доказывается теорема существования и единственности решения. Обсуждается асимптотическое поведение решений.
А,П.Осколков [80, 81, 82] исследовал разрешимость в пространствах Соболева и в пространствах Гельдера начально-краевой задачи в цилиндре Пх (О, Т) и(х, 0) = щ(х), х Є П, и(х, Ї) = 0, {х, t)GdQx (0, Г), для системы уравнений (Л - V2)«t - v V2 и + \7Р = /, V и = 0.
Здесь и : ^ х (0,Т) -* W1, р : ІЇ х (0,Т) -> К, іу > 0, Л > -Ль Аі -наименьшее собственное число спектральной задачи —Av + VP = Ау, у v — 0) ^ = 0 на dfi.
Работы В.Н.Врагова и его учеников [12, 23, 27] посвящены исследованию разрешимости начально-краевых задач для неклассических уравнений в частных производных, в том числе и уравнений Соболевского типа.
А.И.Кожанов [52], распространяя теорию уравнений в частных производных составного типа на уравнения нечетного порядка, в частности рассматривает уравнения вида {I~A)ut^Bu + f{x,t), где А,В ~ дифференциальные по пространственным переменным операторы четного порядка. Решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах А и В.
В работе [53] А.И.Кожанов сформулировал корректную постановку начально-краевой задачи для уравнения Ащ + Bu ~ f(x, t), где А, В -эллиптико-параболические дифференциальные (по х) операторы второго порядка, а оператор А + В эллиптичен. Получены теоремы о разрешимости такой задачи и о поведении решений на бесконечности.
В монографии Г.В.Демидснко и С.В.Успенского [22] систематически изложены результаты цикла работ авторов [18, 19, 127, 128, 129], касающиеся уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени. В [22] проведена более тонкая классификация уравнений Соболевского типа в частных производных: на уравнения простого Соболевского типа, псевдопараболические уравнения и псевдогиперболические уравнения. Среди систем уравнений, не разрешенных относительно старшей производной по времени, выделены системы Соболевского типа и псевдопараболические системы. С использованием методов построения приближенных решений и получения р-оценок решений [18, 19, 20, 21] изучены задача Коши и смешанные краевые задачи в четверти пространства для уравнений и систем уравнений соболевского типа. Кроме того, на основе теорем вложения для функциональных пространств Соболева - Винера исследованы асимптотические свойства решений краевых задач для уравнений соболевского типа в цилиндрических областях [127, 128].
Исследование задачи (0.1), (0.7) в конечномерном случае (U ~ R", 77 = Шт, L, М - постоянные матрицы размера (т х п)), проведено еще К.Вейерштрассом для регулярных и Л.Кропекером для сингулярных пучков квадратных (тп = п) матриц. Результаты этих исследований изложены в монографии Ф.Р.Гантмахера [15, гл. XII], (Пучок квадратных матриц M+ftL называется регулярным, если определитель |M+^L| не равен тождественно нулю, иначе пучок называется сингулярным.)
Ю.Е.Бояринцев и В.Ф.Чистяков [4, 5, 133, 134, 135, 136, 137] продолжили исследование конечномерной задачи, используя различные обобщенные обращения особенных и прямоугольных [т ф и) матриц. В том числе исследованы случаи уравнений с матрицами, зависящими от t.
М.И.Вишик [10] исследовал задачу (0.1), (0.2) для случая, когда Т — сепарабельное гильбертово пространство, пространство Ы плотно и непрерывно вложено в Т, операторы L и М фредгольмовы, L самосопряженный и положительно определенный. Методом Галеркнна - Петрова установлены существование и единственность решения, кроме того описана его непрерывная зависимость от f(t) и от начального значения ип.
Однородную задачу (0.1), (0.2) изучали математики из школы С.Г.Крейна. Продолжая традицию, восходящую к К.Вейерштрассу и Л.Кронекеру, для исследования разрешимости этой задачи они использовали понятие регулярности операторного пучка М + цЬ. (Пучок M + /J.L называется регулярным, если
3а>0 У^иЄС (\ц\ > а) =ї {{М + ці}"1 G C{F;U))).
В работе [79] В.Б.Осипов рассмотрел случай, когда операторы L, М замкнуты, U = Т, domM с domL, kerL ф {0}, M[kerL] П imL — {0}. Показано, что если
3#>0 3aeR VuedomM V/z С (Re/z > a) => (\\{fiL - M)-lLu\\u < ^^рЫи\ > то для любого uq Є imf/ioL — M)~lL задача (0.1), (0.2) разрешима.
С.Г.Крейн и В.Б.Осипов [65] изучали однородную задачу с линейными ограниченными операторами L, М в банаховом пространстве U. При этом они использовали метод, предложенный С.Г.Крейном и С.Д.Эйдсль-мапом, который основан на построении функции Ляпунова. Показано, что если, в отличие от оператора L, оператор М или при некотором р, оператор М + (iL обратим, то решения однородного уравнения (0.2) заполняют некоторое собственное подпространство. В этом подпространстве задача Коши однозначно разрешима.
С.П.Зубовой и К.И.Чернышевым [35, 36] исследован случай, когда U, Т - банаховы пространства, L - замкнутый фредгольмов, М - ограниченный оператор. Для регулярного случая доказана однозначная разрешимость однородной задачи Коши при начальных значениях из некоторого подпространства с конечным дефектом. Решение неоднородной задачи Коши (0.1), (0.2) существует для достаточно гладких функций /(і), определенным образом согласованных с начальными данными.
С.Г.Крейн и К. И. Черны шов [67] исследовали сингулярно возмущенные уравнения [L + еК)^ = Ми. (0.8)
Здесь операторы K,L,M : Ы —> J7 линейны, L замкнут, фредгольмов, ker L ^ {0}, оператор К ограничен. Показано, что при некоторых условиях us(t) стремится к решению уравнения (0.2) при є —> 0.
С.П.Зубовой [34] построено решение задачи ие(0) — и для уравнения (0.8). При некоторых условиях на операторы Ь,К,М найден критерий сходимости решения этой задачи к решению задачи (0.1), (0.2) при є —> 0. Рассмотрен случай когда решения щ переходят из одного подпространства в другое при є —» 0.
Исходя из ряда физических задач, в работе J.E.Lagnese [156] исследована задача (0.1), (0.2) в гильбертовом пространстве. Причем оператор L - самосопряженный, ker L -ф {0}, domL С domM, domi С domM*, ker L инвариантно относительно оператора М. Условия однозначной разреши- мости неоднородной задачи предполагают некоторые условия гладкости функции /() и согласованности ее с начальными данными.
Б.Кведарас, И.Мационис [49] рассмотрели задачу (0.1), (0.7) с операторами L, М Є (pt) и сильно измеримой функцией / : [0, to] —> W. Исследован вопрос о разрешимости уравнения (0.7), и отчасти однородного уравнения (0.2), при тех же условиях на оператор L, что и в [65], но без ограничений на оператор М. Показано, что и в этом случае решения уравнения заполняют некоторое подпространство в U. Приведены условия однозначной разрешимости задачи Коши, указаны случаи, когда уравнение (0.2) имеет лишь тривиальное решение.
Используя методы классического и локального преобразования Лапласа и спектральную теорию операторных пучков, А.Г.Руткае [ЮЗ] исследовал задачу (0.1), (0.7) в случае, когда U, Т - банаховы пространства, L, М - линейные ограниченные операторы. В статье охарактеризованы нормальные решения, корректная и диссипативная задача Коши, описано начальное многообразие при различных условиях. Результаты исследования применяются к задачам рассеяния и прохождения сигналов в дискретных структурах.
Результаты [103] обобщены в работе Н.И.Радбель [95] для однородного уравнения (0.2) с замкнутыми операторами L, М. На основе спектральных свойств операторного пучка М + fiL исследовано начальное многогообразие задачи Коши, определена корректная и диссипативная задача Коши. Рассматривается частный случай domL с domM. A.Favini [149] вводит в рассмотрение задачу —Lu() = Mu(t) + f(t) (0 < і < со) (0.9) lira. Lu(t) = uq c замкнутыми линейными операторами L,M, В [150] он рассматривает то же уравнение на конечном отрезке [0,Т] с начальным условием Lu(0) — Luq, domL D domM Э щ, U = J7. В терминах оператора M[\iL — M)~l сформулированы теоремы существования и единственности решения этих задач при некоторых условиях на начальное значение щ и гладкость функции /().
В работе M.Povoas [169] обобщаются результаты G.Da Prato и P.Gris-vard [144] на случай задачи Lu(Q) — Luq для уравнения (0.9) на конечном отрезке. При этом оператор L самосопряженный неотрицательный, М - инфинитезимальный генератор сильно непрерывной полугруппы, пространство Ы — Т - гильбертово. Установлены существование и единственность решения. Полученные результаты прилагаются к системе уравнений Максвелла в неоднородной анизотропной среде с нулевыми начальными и диссипативными граничными условиями, а также к симметричной системе вида (^ -м^)^: NOM) = ЯМ). ОМ) П х (0,Т],
П - область в MP.
Н.А.Сидоров [113] доказал существование и единственность решения однородной задачи (0.1), (0,2) с начальными значениями из некоторого подпространства для случая замкнутых, плотно определенных операторов L, М, где L фредгольмов.
Н.А.Сидоров и М.В.Фалалеев [115] исследовали задачу Коши для линейного уравнения типа Соболева (0.2) с замкнутым фредгольмовым оператором L, замкнутым оператором М} банаховыми пространствами U, J-\ domL С domM. Кроме того, предполагается, что оператор L имеет полный М-жорданов набор, a f(t) - достаточно гладкая функция. Обобщенное решение уравнения (0.2) построено с использованием теории обобщенных функций в банаховых пространствах, понятий псевдообратного, фундаментального операторов.
Как уже было замечено, с задачей (0.1), (0.7) тесно связана задача исследования спектра пучка операторов p,L — М или, другими словами, L-спектра оператора М aL{M) = C\pL(M), pL{M) = {(і є С : (fj,L — M)~l Є (7-]U)}. Спектральная задача \iLu — Ми исследовалась С.Г.Пятковым в случае, когда М неограниченный симметрический положительно определенный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве, L самосопряженный невырожденный оператор. В работах [92, 93] найдены достаточные условия базисности по Риссу собственных функций этой задачи в терминах интерполяционных пространств. В работе [93] показано, что эти условия близки к необходимым. Приведены различные примеры, в которых М - дифференциальный оператор, скажем, эллиптический, a L - оператор умножения на функцию. 13 работе [94] такие результаты были получены в случае самосопряженных операторов М, L. Кроме того, здесь рассмотрен вопрос об ограниченности проекторов Рисса, соответствующих неограниченной компоненте спектра позитивного оператора.
А. А. Шкал и ковы м [140] спектральная задача fiLu = Ми рассматривалась в случае, когда оператор L симметричен и равномерно положителен, aAf~ самосопряженный положительный оператор, возмущенный оператором, подчиненным оператору L в смысле квадратических форм. Рассматриваемый линейный пучок операторов является абстрактной моделью для известной в гидромеханике задачи Орра - Зоммерфельда. В шкале соболевских пространств, связанных с заданными операторами, пучку операторов \ih — М ставится в соответствие оператор Т = Lp1M, где Lp - расширение по Фридрихсу оператора L. Область определения оператора Т подобрана таким образом, чтобы его спектр совпадал со спектром пучка. Исследован вопрос базисности Рисса корневых векторов оператора Т.
Как уже было сказано, одной из основных задач данной работы является обобщение теории полугрупп операторов на случай полугрупп уравнения (0.2), или, как уже было замечено, на случай вырожденных полугрупп операторов.
Обобщение классической теории полугрупп в настоящее время идет сразу в нескольких направлениях. Один из путей обобщения - получе- ниє некоторых семейств операторов, дающих решение уравнения (0.2) в более общем смысле. В бО-е-70-е годы в работах [160, 181, 182] появилось понятие регулярной полугруппы распределений и было доказано, что существование се является необходимым и достаточным условием обобщенной корректности. Полугруппам распределений в локально выпуклых пространствах посвящена работа [42].
Введение понятий экспоненциально ограниченной п раз интегрированной и локальной п раз интегрированной полугрупп {Vі : t > 0} позволило [77, 143, 146, 153, 164] в случае, когда задача Коши г;(0) = Vq для уравнения (0.4) некорректна, но оператор А порождает такую полугруппу, получить решение этой задачи устойчивое относительно изменения Vq по норме H^oJU = |]follv+|[^^o||v+
1- [| Arit>0[|v (так называемая, n — w-корректпость [77]). W.Arendt [143] обобщил теорему об инфинитезимальных генераторах на случай п раз интегрированных полугрупп.
В случае, когда оператор А является генератором экспоненциально ограниченной С-иолугруппы [77, 145, 146, 147, 163, 178, 179, 180] {Vі : t > 0}, удается получить решение v{t) — С~1У1щ задачи Коши для уравнения (0,4). Это решение получено для vq Є C[domA] и устойчиво относительно нормы Ц^оЦс-1 = ll^oj|w+ l|C-1,!;o||w. Для С-полугрупп также доказан аналог теоремы Хилле - Иосиды.
В работе И.В.Мельниковой и А.И.Филинкова [77], в частности, показана схема связей между генераторами упомянутых классов полугрупп уравнения (0.4). Кроме того, И.В.Мельниковой [74] было исследовано дифференциальное включение с многозначным линейным оператором Л ju{t) Au{t), к которому можно редуцировать уравнение (0.2). В частности были найдены условия в терминах оценок на резольвенты оператора Л и расщеп- ления банахова пространства в прямую сумму <іоітиДп ф Ап0, необходимые и достаточные для (п, а;)-корректности и п-корректности задачи Каши для включения. При этом речь идет о существовании решения задачи на полупрямой или, во втором случае, локальной задачи Коши, экспоненциально устойчивого относительно изменения начального значения r смысле более сильной нормы. Доказательства упомянутых результатов основаны на использовании понятий вырожденных п раз интегрированных полугрупп и их генераторов. В той же работе [74] установлена связь n-корректности задачи Коши (0.1) для дифференциального включения и корректности этой задачи в смысле распределений. Соответствующий результат для уравнения (0.4) установлен в [73]. Понятно, что при этом речь уже идет о существовании полугрупп распределений, вырожденных или нет.
Объектом нашего интереса являются полугруппы, дающие классическое решение задачи (0.1), (0.2). Такие полугруппы ранее рассматривались в работах [74, 75, 76, 138, 151, 152, 183], причем подходы авторов к задаче построения полугрупп существенно различаются. Обзор соответствующих результатов будет произведен в следующем параграфе в процессе сравнительного анализа с результатами автора. Здесь же отметим работы Г.А.Свиридюка и его учеников. В работах Г.А.Свиридюка [106, 108, 109] были использованы методы теории полугрупп операторов при исследовании как линейного, так и полулинейного (М = М(и) -нелинейный оператор) уравнения Соболевского типа. Эти методы получили свое развитие в работах учеников [3, б, 28, 31, 32, 50, 68, 122, 123, 142, 234], касающихся и линейного, и полулинейного уравнения.
Краткое содержание диссертации и сравнительный анализ с известными результатами
Сразу заметим, что результаты, составляющие содержание диссертации, получены автором как для случая банаховых (кроме части ре- зультатов третьей главы и большей части четвертой главы), так и для случая локально выпуклых пространств. В обоих случаях суть результатов совпадает, что неудивительно, поскольку и для невырожденных равностепенно непрерывных полугрупп операторов дело обстоит таким же образом, как это было замечено выше. Однако при переходе от случая банаховых пространств к случаю локально выпуклых пространств автору пришлось преодолеть определнные, временами весьма существенные трудности технического характера. Сформулированы же результаты диссертации в максимальной степени общности (в подавляющем большинстве случаев - для локально выпуклых пространств.)
Если речь в дальнейшем будет идти о двух разрешающих (полугруппах уравнения (0.2), то под ними будем подразумевать разрешающие но-лугруппы уравнения (0.2) и уравнения L{aL — M)~lg — М(аЬ — М)~1д, заданного на пространстве Т и эквивалентного уравнению (0.2) при а Є PL{M).
Первая глава посвящена построению теории сильно непрерывных вырожденных полугрупп. Ранее полугруппы такого класса в локально выпуклых пространствах, по-видимому, не рассматривались. Основные результаты главы, сформулированные для банаховых пространств, опубликованы автором в работах [185, 188, 190].
П. 1.1 носит вспомогательный характер и содержит сведения о свойствах относительных р-резольвент операторов в линейных топологических пространствах, доказанные ранее в [108, 214, 196].
Заметим, что классическая теория равностепенно непрерывных (Со)-полугрупп в локально выпуклых пространствах изложена в [47]. На основе этих результатов в и.п. 1.2, 1.3 обобщено понятие (L, ^-радиального оператора в банаховых пространствах [188] на случай секвенциально полных локально выпуклых пространств [200]. При условии (L,p)-радиалыгости оператора М полугруппа уравнения (0.2) построена двумя способами: с помощью аппроксимаций типа Иосиды и с помощью аппроксимаций типа Хилле - Уиддера - Поста. Ее ядро (ядро ее еди- ницы) при этом состоит из собственных и М-присоединенных векторов оператора L высоты не больше р. Однако полугруппа определена лишь на подпространстве U — Ы ФЫ1. При этом подпространство UQ является ядром полугруппы, а ее сужение на Ы1 является полугруппой класса (Со).
Надо заметить, что в банаховых пространствах аналогичные результаты при р ~ 0 были получены ранее в работах A.Yagi [183], И.В.Мельниковой и ее учеников [74, 75], Г.А.Свиридкжа [109]. Соответственно полугруппы, построенные в этих работах с помощью аппроксимаций типа Иосиды, вырождаются лишь на ядре ker L.
В п. 1.4 при условии (L,p)-радиальности оператора М показано, что фазовое пространство уравнения (0.2) совпадает с образом его полугруппы [190].
В п. 1.5 введены условия сильной (,р)-радиальности оператора М справа и слева, достаточные для совпадения соответственно Ы = Ы 141 и Т ~ J^ J71 и поэтому достаточные для того, чтобы полугруппа была задана на всем пространстве.
Введенное в п. 1.6 еще более жесткое условие сильной (^^-радиальности достаточно для непрерывной обратимости оператора L\~L , а и1 также для того, чтобы, как показано в п. 1.7, сужение полугруппы на подпространство U1 порождалось оператором L~[lMi.
В п. 1.8 сформулированы пять условий в терминах сильно непрерывных полугрупп, необходимые и достаточные для сильной (L, ^-радиальности оператора М. Этот результат совпадает с теоремой Хилле - Иосиды при L— I и поэтому является ее обобщением па случай вырожденных полугрупп.
Задачей п. 1.9 является рассмотрение случая полу рефлексивных локально выпуклых пространств. Показано, что при этом для получения расщеплений пространств в прямые суммы Ы = 14 ф Ift и F = J^ ф Тх достаточно лишь (L, р)-радиалыюсти оператора М. Оператор L\ при этом также будет обратим, но обратный не будет непрерывным. Некий вариант обобщения теоремы Хилле - Иосиды при этом также возможен, следствием чего явился тот факт, что в полу рефлексивном пространстве (L, р)-радиальность оператора равносильна его сильной [L,p)~ радиалыюсти справа и слева. Идея использования рефлексивности пространства в банаховом случаепри р = 0 восходит к A.Yagi [183],
Заметим, что различные авторы используют различные подходы при исследовании сильно непрерывных полугрупп уравнения (0.2). A.Yagi [183] использует теорию многозначных линейных операторов. В.С.Ша-роглазовьш [138], на основе результатов, полученных Н.А.Сидоровым [113], построена на некотором подпространстве Ср-непрерывная полугруппа, разрешающая однородное уравнение (0.2) с замкнутыми, плотно определенными операторами L, М (L фредгольмов). И.В.Мельниковой и М.А.Альшанским [75] получен следующий вариант обобщения теоремы Хилле - Иосиды; существует полугруппа уравнения (0.2), вырождающаяся на ядре kerL, в том и только в том случае, когда для пары оераторов -L, М выполняются условия типа Миядеры - Феллера -Филлииса - Хилле - Иосиды и имеет место равенство U ~ kei(fxL — M)~lL\m{jiL — M)~lL. Кроме того, И.В.Мельниковой [74] введено понятие генератора вырожденной полугруппы, который оказывается многозначным линейным оператором, и доказано, что для того, чтобы однозначный линейный оператор был сужением этого генератора на образ полугруппы, также необходимо и достаточно выполнение условий Миядеры - Феллера - Филлипса - Хилле - Иосиды.
Методы диссертанта наследуют и обобщают методы, использованные в [109]. Одним из достоинств такого подхода можно считать тот факт, что расщепления исходного пространства в прямую сумму изначально не требуется, оно следует из оценок на резольвенту, что бывает удобно в приложениях (см. гл. 5).
Вторая глава посвящена, главным образом, исследованию сильно непрерывных групп уравнения Соболевского типа, ее результаты опуб- ликованы в работах [189, 190].
В п.п. 2.1, 2.2 понятия (,р)-бирадиальности, сильной (Ь,р)-бпрадиальности справа и слева, а также сильной (L, р)-бирадиалыюсти оператора сформулированы как для случая банаховых [189, 197], так и для случая секвенциально полных локально выпуклых пространств [205]. Все результаты предыдущей главы, касающиеся сильно непрерывных полугрупп, доказаны для сильно непрерывных групп. Отметим среди них, во-первых, теорему о существовании группы уравнения (0.2) на подпространстве U- при условии (Х,;?)-бирадиальности оператора М, В случае полурефлексивпости пространства Ы мы также имеем U = U. Кроме того, отмстим теоремы о необходимых и достаточных условиях (L,p)-бирадиальности оператора в полурефлексивных пространствах и о необходимых и достаточных условиях сильной (,р)-бирадиальности оператора в произвольных секвенциально полных локально выпуклых пространствах. Эти теоремы обобщают теорему об инфинитезимильных- генераторах равностепенно непрерывных (Со)-грунп [47, 132].
В п.п. 2.3, 2.4 строится теория относительно диссипативпых операторов в банаховых пространствах [203].
Критерием радиальности с константами а = 0, К = 1 [188] оператора А, действующего в банаховом пространстве, является максимальная диссипативпость [2, 47, 48, 161] оператора. Оператор А называется дис-сипативным (а оператор — А аккретивным), если Re[u, Ли] < 0 Vu domA.
Диссипативный оператор будем называть максимально диссипативнъш (—А максимально аккретивным), если im(7. — А) = V.
В работе [183] A.Yagi обобщил понятие аккретишгого оператора на случай многозначных операторов и применил полученные результаты к исследованию неоднородных уравнений вида (0.7). В п.п. 2.3, 2.4 обобщение понятия диссипативного {или аккретивного) оператора построено таким образом, чтобы можно было применить результаты первой гла- вы и п.п. 2.1, 2.2 второй главы. Введенное понятие L-диссипативности проще проверяется в приложениях, чем (Х/,р)-радиальность. Правда, из L-диссипативности оператора М следует лишь (L, 0)-радиальность.
Показано, что из L-диссипативности оператора М в случае рефлексивных банаховых пространств следует существование сжимающей сильно непрерывной полугруппы уравнения (0.2). Для того чтобы включить в паши рассмотрения не только сжимающие, но и экспоненциально ограниченные полугруппы, мы рассмотрели случай L-диссипативного оператора М — aL при некотором а Ш.
Кроме того, в терминах L-дисеипативности получены достаточные условия существования вырожденной группы унитарных операторов, разрешающей уравнение (0.2).
В п.п. 2.5, 2.6 получены некоторые обобщения классической спектральной теории самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах на случай относительного спектра, которые, впрочем имеют существенное ограничение при их применении - требование плотности в пространстве Т множества L[domM).
Третья глава посвящена построению теории экспоненциально ограниченных сильно голоморфных в секторе полугрупп па случай полугрупп уравнения (0.2). Основные результаты этой главы, касающиеся банаховых пространств, опубликованы в работах [184, 186, 187, 190, 191]. В работе [193] рассмотрены сильно голоморфные полугруппы уравнений Соболевского типа в локально выпуклых пространствах.
Голоморфные в секторе полугруппы уравнения (0.2) в банаховых пространствах, вырождающиеся лишь на ядре оператора L, рассмотрива-лись также в работах A.Favini, A.Yagi [152].
Заметим, что невырожденные голоморфные полугруппы в секвенциально полных локально выпуклых пространствах рассмотрены в монографии [47]. Основным результатом соответствующей теории является теорема Соломяка - Иосиды (терминологию см. в [62]) об инфинитези-мальных генераторах равностепенно непрерывных голоморфных в сек- торе полугрупп. Во множестве работ, посвященных этой теореме, главным образом, в случае банаховых пространств [47, 51, 59, 62, 132, 177), представлены ее различные эквивалентные формулировки. Представляющаяся наиболее удобной для обобщения формулировка автором дана при постановке задачи.
Подчеркнем, что в данной главе рассматривается ослабленная задача Коши [64] для уравнения (0.2), то есть речь идет о решениях класса
В п. 3.1 введено понятие (,р)-секториалыгого оператора. В п. 3.2 при условии (L, р)-секториалыюсти оператора М показано существование сильно голоморфной в секторе полугруппы, которая задается интегралами типа Дапфорда - Тейлора. Отметим отсутвие единицы у этой полугруппы. Получены оценки на рост по і вырожденной полугруппы и ее производных.
П. 3.3 содержит исследование структуры ядер и образов полугрупп уравнения (0.2) при условии (Ь,р)-секториалыгости оператора М. Итоговым результатом параграфа является теорема о совпадении фазового пространства уравнения (0.2) с образом его полугруппы. Следствием этого результата является установление голоморфности любого ослабленного решения уравнения (0.2) с (L, р)-секториальным оператором М.
В п. 3.4 исследуется вопрос существования единицы построенной сильно голоморфной в секторе полугруппы. В случае полу рефлексивного пространства этот вопрос решается положительно. Если же секвенциально полные локально выпуклые пространства полурефлексивными не являются, то, накладывая дополнительные условия сильной (,р)-сектори-альности справа и слева, получим полугруппы с единицами, которые расщепляют пространства Ы и J7 в прямые суммы ядер и образов полугрупп.
В п. 3.5 введено понятие сильной (,р)-секториалыгости. С его помощью показана непрерывная обратимость оператора Lj. Кроме того, в п. 3.5 доказано, что сужение полугруппы уравнения (0.2) на ее образ порождается оператором L^ Mi.
В п. 3.6 получены обобщения теоремы об инфинитезимальных генераторах равностепенно непрерывных сильно голоморфных в секторе полугрупп, отдельно для пол у рефлексивного и для произвольного пространства. Эти теоремы имеют вид необходимых и достаточных условий (Ь,р)-сскториальности и сильной (,р)-секториальности соответственно в терминах полугрупп операторов.
П. 3.7 содержит условия на операторы L, М, при которых существует полугруппа уравнения (0.2) (без единицы) с ядром, содержащим не только М-присоединенные векторы высоты не больше р, как в преды-ущих главах и параграфах, но и М-присоединенные векторы сколь угод-но большой высоты. Построен соответствующий пример.
Далее в этой главе изучаются вырожденные бесконечно дифференцируемые полугруппы операторов, аналогом которых в невырожденном случае являются полугруппы операторов класса (Л)^ [132, с.393]. Сначала в п. 3.8 введено в рассмотрение (р,ф{т)) -условие с функцией ^еФ для пары операторов (L,M), достаточное для существования бесконечно дифференцируемой в сильной топологии полугруппы уравнения (0.2) (п. 3.9). В п. 3.10 показано, что если пара (L,M) удовлетворяет усиленному (р, *0(т))-условию, то фазовым пространством уравнения (0.2) является замыкание образа правой (L,p)-резольвенты оператора М. В п 3.11 исследованы ядра и образы полученных полугрупп операторов. Отметим, что усиленное (р, \т\) условие на пару операторов (L, М) в точности означает (Ь,р)-секториальностъ оператора М.
Результаты четвертой главы опубликованы автором в работе [192]. В ней исследованы вырожденные равностепенно непрерывные сильно голоморфные в плоскости группы в локально выпуклых пространствах.
Невырожденные группы этого класса рассматривались Я.В.Радыно [97, 99]. Показано, что если оператор Л регулярен, то он порождает такую группу. Оператор Л Є Lec(V) называется регулярным [96, 98, 99], если он является регулярным элементом выпуклой борнологической ал- гебры Lec(V), где V - локально выпуклое пространство. Поскольку ограниченный оператор является регулярным элементом банаховой алгебры (V), где V - банахово пространство, то понятно, что регулярный оператор в локально выпуклом пространстве - естественное обобщение понятия ограниченного оператора в банаховом пространстве. Отметим еще, что регулярность оператора А в точности означает ограниченность его регулярного спектра аг(А) — С \ {ji Є С : {fil — А)""1 регулярен }.
Заметим, что различные условия разрешимости задачи (0.4), (0.5) с непрерывным оператором А, в том числе и более общие, чем регулярность этого оператора, рассмотрены в [69].
Вырожденные группы уравнения (0.2) в банаховых пространствах, аналитические во всей плоскости, рассматривались ранее Г.А.Свиридю-ком [ЮС, 108] и автором [194, 198] при условии (L, <т)-ограниченности оператора М, которое в точности означает ограниченность L-спектра оператора М.
В п. 4.1 введено понятие регулярного L-спектра оператора М aff(M) = С \ {fj, Є С : (/і/у — M)~1L регулярен }. Показано, что регулярный L-спектр замкнут, а L-резольвента (/iL — М)-1 оператора М сильно голоморфна на дополнении к нему даже в случае локально выпуклого пространства.
В. п. 4.2 рассмотрено понятие (L, ст)-регулярного оператора М, которое обобщает понятие (L, ^-ограниченного оператора на случай локально выпуклых пространств в том же смысле, в котором регулярный оператор является обобщением ограниченного. При условии (L, ^-регулярности оператора М получены пары инвариантных подпространств операторов L и М. (Парами инвариантных пространств операторов L и М, согласно [35, 36], мы назовем подпространстваЫк, J-k, к = 0,1, такие, что L[Uk] С J^, М[domM П «*] С ^fc, fc = 0,1, существуют операторы L^1 Є {J- \U), MQ 1 є C(J^\U), где Lt = L , Mk — M , к = 0,1.) Кроме того, в п. 4.2 функция [цЬ — Uk АотМПАк
М)~1 разложена в ряд Лорана в окрестности бесконечности и рассмотрены случаи устранимой особой точки, полюса и существенной особой точки в бесконечности.
П. 4.3 содержит теорему о существовании сильно голоморфных во всей плоскости групп уравнения (0.2), задаваемых интегралами типа Дапфорда- Тейлора. Также здесь исследованы ядра и образы групп. Показано, что в случае устранимой особой точки оператор-функции (p,L — М)~г в бесконечности полугруппа уравнения (0.2) вырождается только на ядре оператора L, в случае полюса порядка р - на ^-присоединенных векторах оператора L высоты не больше р, в случае же существенной особой точки ядро группы содержит М-присоединенные векторы сколь угодно большой высоты.
В п. 4.4 установлены соотношения между условиями (L, ^-регулярности, сильной (L, р)-секториальности и сильной (,р)-бирадиальности оператора М. Затем показано, что фазовое пространство уравнения (0.2) совпадает с образом его разрешающей группы. Отсюда следует, что любое решение уравнения (0.2) с (L, а)-регулярным оператором М голоморфно во всей плоскости.
В п. 4.5 сформулированы теоремы о необходимых и достаточных условиях (L, ^-регулярности оператора М в терминах целых групп операторов.
Пятая глава посвящена неоднородной задаче (0.1), (0.7) и приложению полученных в предыдущих главах абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам. Основные результаты главы опубликованы автором в работах [186, 188, 189, 192, 193].
В п. 5.1 доказаны теоремы о разрешимости задачи (0.1), (0.7) в локально выпуклых пространствах в случаях сильно (L, ^-радиального, сильно (L, р)-секториального, (L, сг)-регулярного оператора М, Для доказатсль- ства этих теорем пришлось сначала сформулировать и доказать результаты о разрешимости задачи Коши для уравнений i)(t) — Av(t) + f(t) в локально выпуклом пространстве с радиальным и секториальным операторами А, взяв за основу соответствующие результаты в банаховых пространствах [51, 131, 168]. Невырожденная задача в локально выпуклом пространстве с регулярным оператором А рассмотрена ранее в [99]. В п. 5.2 в гильбертовом пространстве Ті рассмотрено уравнение P(A)u{t) = Q{A)u(t) + f{t), (0.10) где А - самосопряженный оператор, -Р(А), Q{X) - непрерывные функции. Это уравнение сведено к уравнению (0.7) и получены некоторые результаты об относительном спектре операторов этого уравнения [211].
П. 5.3 посвящен рассмотрению уравнения (0.10) в случае, когда Р(А), Q(A) - многочлены. Получен ряд теорем, устанавливающий сильную (Р(А),0)-радиалыюсть, сильную (Р(А),0)-бирадиалыгость, сильную (Р(Л),0)-секториальность или (Р(А),а)-регулярность оператора Q(A) в построенных пространствах в зависимости от расположения спектра оператора А, порядка многочленов и соотношения их старших коэффициентов [211].
В п. ЬЛ с помощью результатов п. 5.3 установлена разрешимость начально-краевых задач для уравнений в частных производных высокого порядка в пространствах Соболева. Именно, речь идет об уравнении (0.10) с многочленами от эллиптического оператора А высокого порядка [211]. Такой вид с оператором Лапласа в качестве А имеют многие уравнения теории фильтрации, например, уравнение Баренблатта-Желтова-Кочипой, уравнение Осколкова, уравнение свободной поверхности фильтрующейся жидкости [199]. В п. 5.5 те же задачи рассмотрены в пространстве Фреше, являющемся проективным пределом пространств Соболева.
В п. 5.6 задача Коши во всем пространстве для полиномиального дифференциального уравнения Соболевского типа с частными производными исследована с применением преобразования Фурье в пространствах Соболева. Эти методы позволяют исследовать в определенном смысле более обіцие уравнения, чем рассмотренные в п. 5.4, 5.5, в частности некоторые уравнения типа уравнения волн Россби.
П. 5.7 посвящен построению специальных пространств Фреше по замкнутому плотно определенному в некотором гильбертовом пространстве оператору А. Это так называемые пространства функций Л-экспо-ненциального типа, не превосходящего т Є R+. В таком пространстве оператор А становится ограниченным, что позволяет рассматривать уравнение (0.10) с трансцендентными функциями Р, Q от оператора А. Найдены достаточные условия (Р(А), сг)-регулярности оператора Q{A). В п. 5,8 найдены условия, при которых оператор Q{A) сильно (Р(А),0)-ра-диален или сильно (Р(А),0)-секториален в индуктивном пределе шкалы пространств А-экспоненциального типа. В пп. 5.7, 5.8 сформулированы теоремы о разрешимости уравнения (0.10).
Описанная абстрактная схема, примешшая к некоторому дифференциальному оператору, позволила в пп. 5.9, 5.10 исследовать задачи для дифференциальных уравнений бесконечного порядка, в том числе задачу с бесконечным числом граничных условий.
В п. 5.11 использована связь, задаваемая рядом Тейлора, между оператором смещения по пространственной переменной к целой функцией от оператора дифференцирования. Это позволило исследовать периодическую задачу для дифференциально-разностного уравнения. Отметим, что в этом случае ядро оператора при производной по времени может быть бесконечномерным.
В п. 5.12 установлена однозначная разрешимость линеаризованной системы уравнений фазового поля, описывающих в рамках мезоскопической теории фазовые переходы первого рода,
В п. 5.13, 5,14 приведены примеры уравнений, полугруппы которых вырождаются не только на ядре оператора при производной по времени, но и на его относительно присоединенных векторах. Причем задача п. 5.13 показывает, что предлагаемые в данной работе методы пригодны и в случае, когда операторы L и М не коммутируют. На защиту выносятся следующие результаты: обобщение теоремы Хилле - Иосиды па случай экспоненциально ограниченных вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах, имеющее вид необходимых и достаточных условий для существования разрешающих сильно непрерывных полугрупп линейных уравнений соболевского типа и существования пар инвариантных подпространств операторов уравнения; обобщение теоремы о генераторах сильно непрерывных групп операторов па случай экспоненциально ограниченных вырожденных групп; обобщение теоремы о существовании разрешающих сжимающих полугрупп операторов на случай уравнения соболевского типа посредством наложения условия относительной диссипативности оператора, обобщающего условие диссипативности; обобщение теоремы Стоуна - Иосиды о существовании разрешающих унитарных групп операторов на случай уравнения соболевского типа; обобщение теоремы Соломяка - Иосиды на случай экспоненциально ограниченных вырожденных полугрупп операторов, имеющее вид необходимых и достаточных условий для существования разрешающих сильно голоморфных полугрупп линейных уравнений соболевского типа и существования пар инвариантных подпространств операторов уравнения; теорема о существовании бесконечно дифференцируемых полугрупп уравнений соболевского типа; теорема о необходимости и достаточности относительной спектральной регулярности оператора для существования разрешающих сильно голоморфных групп линейного уравнения соболевского типа в локально выпуклых пространствах, порожденных регулярным оператором, и существования пар инвариантных подпространств операторов уравнения; теоремы о разрешимости задачи Коши для линейных неоднородных уравнений Соболевского типа, принадлежащих одному из рассмотренных выше классов; теоремы о разрешимости задачи Коши для линейных неоднородных уравнений Соболевского типа с операторами, являющимися непрерывными функциями от самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве; теоремы о разрешимости начально-краевых задач для линейных неоднородных уравнений Соболевского типа в частных производных в подходящих пространствах Соболева, в частности для некоторых уравнений теории фильтрации, полученные редукцией к уравнениям с многочленами от самосопряженного эллиптического оператора в гильбертовых простр анствах; теоремы о разрешимости задачи Коши во всем пространстве для линейных уравнений Соболевского типа в частных производных в пространствах Соболева, в частности для некоторых уравнений типа уравнения волн Россби; теоремы о разрешимости задачи Коши в специально построенных пространствах Фрешо для линейных неоднородных уравнений Соболевского типа с операторами, являющимися целыми функциями от самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве; теоремы о разрешимости некоторых начальных и начально-краевых задач для линейных уравнений Соболевского типа с дифференциальными операторами бесконечного порядка, полученные редукцией к уравнениям с целыми функциями от самосопряженного оператора; теорема о разрешимости периодической по пространственной переменной задачи для неоднородного дифференциально-разностного уравнения Соболевского типа бесконечного порядка, полученная редукцией к уравнению с целыми функциями от дифференциального оператора, рассмотренному в подходящем пространстве Фреше; теорема о разрешимости линеаризованной системы уравнений фазового поля.
Рекомендации по использованию научных выводов. Результаты работы имеют теоретический характер и могут служить основанием для дальнейшего развития теории полугрупп операторов в линейных топологических пространствах. Полученные в диссертационной работе результаты позволяют исследовать начально-краевые задачи для многих уравнений и систем уравнений математической физики, не разрешенных относительно производной по времени. Кроме того, они могут быть использованы при построении алгоритмов численного решения вырожденных систем дифференциальных уравнений, в частности системы уравнений Леонтьева.
На основе некоторых разделов диссертации могут быть разработаны специальные курсы лекций для аспирантов и студентов старших курсов математического факультета.
Исследования автора по теме диссертации были поддержаны грантами РФФИ (ДО 97-01-00444, 98-01-10824, 00-01-10982, 03-01-10648), грантом Министерства образования РФ (шифр PD02-1.1-82), грантами Правительства Челябинской области и Министерства образования РФ (2002, 2003, 2004 гг.) и Государственной научной стипендией для молодых ученых 2000 - 2003 гг.
Генераторы вырожденных сильно непрерывных полугрупп
Сразу заметим, что результаты, составляющие содержание диссертации, получены автором как для случая банаховых (кроме части результатов третьей главы и большей части четвертой главы), так и для случая локально выпуклых пространств. В обоих случаях суть результатов совпадает, что неудивительно, поскольку и для невырожденных равностепенно непрерывных полугрупп операторов дело обстоит таким же образом, как это было замечено выше. Однако при переходе от случая банаховых пространств к случаю локально выпуклых пространств автору пришлось преодолеть определнные, временами весьма существенные трудности технического характера. Сформулированы же результаты диссертации в максимальной степени общности (в подавляющем большинстве случаев - для локально выпуклых пространств.)
Если речь в дальнейшем будет идти о двух разрешающих (полугруппах уравнения (0.2), то под ними будем подразумевать разрешающие но-лугруппы уравнения (0.2) и уравнения L{aL — M) lg — М(аЬ — М) 1д, заданного на пространстве Т и эквивалентного уравнению (0.2) при а Є PL{M).
Первая глава посвящена построению теории сильно непрерывных вырожденных полугрупп. Ранее полугруппы такого класса в локально выпуклых пространствах, по-видимому, не рассматривались. Основные результаты главы, сформулированные для банаховых пространств, опубликованы автором в работах [185, 188, 190].
П. 1.1 носит вспомогательный характер и содержит сведения о свойствах относительных р-резольвент операторов в линейных топологических пространствах, доказанные ранее в [108, 214, 196].
Заметим, что классическая теория равностепенно непрерывных (Со)-полугрупп в локально выпуклых пространствах изложена в [47]. На основе этих результатов в и.п. 1.2, 1.3 обобщено понятие (L, -радиального оператора в банаховых пространствах [188] на случай секвенциально полных локально выпуклых пространств [200]. При условии (L,p)-радиалыгости оператора М полугруппа уравнения (0.2) построена двумя способами: с помощью аппроксимаций типа Иосиды и с помощью аппроксимаций типа Хилле - Уиддера - Поста. Ее ядро (ядро ее единицы) при этом состоит из собственных и М-присоединенных векторов оператора L высоты не больше р. Однако полугруппа определена лишь на подпространстве U — Ы ФЫ1. При этом подпространство UQ является ядром полугруппы, а ее сужение на Ы1 является полугруппой класса (Со).
Надо заметить, что в банаховых пространствах аналогичные результаты при р 0 были получены ранее в работах A.Yagi [183], И.В.Мельниковой и ее учеников [74, 75], Г.А.Свиридкжа [109]. Соответственно полугруппы, построенные в этих работах с помощью аппроксимаций типа Иосиды, вырождаются лишь на ядре ker L. В п. 1.4 при условии (L,p)-радиальности оператора М показано, что фазовое пространство уравнения (0.2) совпадает с образом его полугруппы [190]. В п. 1.5 введены условия сильной (,р)-радиальности оператора М справа и слева, достаточные для совпадения соответственно Ы = Ы 141 и Т J J71 и поэтому достаточные для того, чтобы полугруппа была задана на всем пространстве. Введенное в п. 1.6 еще более жесткое условие сильной ( -радиальности достаточно для непрерывной обратимости оператора L\ L , а и1 также для того, чтобы, как показано в п. 1.7, сужение полугруппы на подпространство U1 порождалось оператором L [lMi. В п. 1.8 сформулированы пять условий в терминах сильно непрерывных полугрупп, необходимые и достаточные для сильной (L, -радиальности оператора М. Этот результат совпадает с теоремой Хилле - Иосиды при L— I и поэтому является ее обобщением па случай вырожденных полугрупп. Задачей п. 1.9 является рассмотрение случая полу рефлексивных локально выпуклых пространств. Показано, что при этом для получения расщеплений пространств в прямые суммы Ы = 14 ф Ift и F = J ф Тх достаточно лишь (L, р)-радиалыюсти оператора М. Оператор L\ при этом также будет обратим, но обратный не будет непрерывным. Некий вариант обобщения теоремы Хилле - Иосиды при этом также возможен, следствием чего явился тот факт, что в полу рефлексивном пространстве (L, р)-радиальность оператора равносильна его сильной [L,p) радиалыюсти справа и слева. Идея использования рефлексивности пространства в банаховом случае при р = 0 восходит к A.Yagi [183],
Заметим, что различные авторы используют различные подходы при исследовании сильно непрерывных полугрупп уравнения (0.2). A.Yagi [183] использует теорию многозначных линейных операторов. В.С.Ша-роглазовьш [138], на основе результатов, полученных Н.А.Сидоровым [113], построена на некотором подпространстве Ср-непрерывная полугруппа, разрешающая однородное уравнение (0.2) с замкнутыми, плотно определенными операторами L, М (L фредгольмов). И.В.Мельниковой и М.А.Альшанским [75] получен следующий вариант обобщения теоремы Хилле - Иосиды; существует полугруппа уравнения (0.2), вырождающаяся на ядре kerL, в том и только в том случае, когда для пары оераторов -L, М выполняются условия типа Миядеры - Феллера -Филлииса - Хилле - Иосиды и имеет место равенство U kei(fxL — M) lL\m{jiL — M) lL. Кроме того, И.В.Мельниковой [74] введено понятие генератора вырожденной полугруппы, который оказывается многозначным линейным оператором, и доказано, что для того, чтобы однозначный линейный оператор был сужением этого генератора на образ полугруппы, также необходимо и достаточно выполнение условий Миядеры - Феллера - Филлипса - Хилле - Иосиды.
Полугруппы уравнений с относительно диссипативными операторами
В отличие от случая (L, р)-секториального оператора аналитического продолжения у построенных в теореме 3.9.2 полугрупп может не быть. Убедимся в этом.
Пример 3.9.1 [132, с.397]. Возьмем Ы = Т = l2, L = I, М({ап}) = {—(т/п + { -1)пгп)ап}. Тогда пара операторов (L,M) удовлетворяет (О, /[г)-условию с константами о = О, С — 1. Действительно, спектр и резольвенты оператора L находятся непосредственно. Выполнение оценок на резольвенту на мнимой оси и тем более в правой полуплоскости очевидно, а во всем секторе 2 следует из замечания 3.8.4. Полугруппы при этом имеют вид U(t){{an}) = F{t){{an}) = {e -1 }- Эта полугруппа бесконечно дифференцируема согласно теореме 3.9.2, но не имеет аналитического продолжения с К+, поскольку supe 1 n,Imt = +оо при Imt ф 0.
Определим фазовое пространство уравнения (1.3.3) в рассматриваемом случае. Определение 3.10.1. Замкнутое множество "Р С V называется фазовым пространством уравнения (1,3.3), если (і) любое ослабленное решение v(t) уравнения (1.3.3) лежит в V, т. е. v(t) eT Vie S+; (ii) для любого VQ из множества р, плотного в V, существует единственное решение ослабленной задачи Коши v(Q) = VQ ДЛЯ уравнения (1.3.3). Определение ЗЛО.2. Если для пары операторов (L, М), удовлетворяющей (р, ф(т))-у словию, выполняется условие равностепенной непрерывности семейств операторов А то будем говорить, что пара (L, М) удовлетворяет усиленному (р,ф(т))-условию. (При этом мы учитываем замечание 3.8.2.) Замечание 3,10.1. (L, р, а, а)-секториальность [187] оператора М в точности означает выполнение для пары (L,M) усиленного (р:ф(т))-условия с функцией ф(т) = \т\а, а Є (0,1] (см. замечание 3.8.6). Замечание 3.10.2. Рассмотренное в начале этой главы условие (L,p)-секториальпости оператора М выполняется тогда и только тогда, когда пара операторов {L,M) удовлетворяет усиленному (р, \т)-условию. Теорема 3.10.1. Пусть пара операторов (Ь,М) удовлетворяет уси-лепному (р,ф(т))-условию. Тогда для любого щ im#f \(М) (/о Є iraLf л(М)) существует единственное решение ослабленной задачи Коши и(0) = UQ (/(0) = /о) для уравнения (1.3.1) ((1.3.2)), a imRj" JM) (iraZff i(M)) является фазовым пространством этого уравнения.
Доказательство. Покажем существование решения ослабленной задачи Коши для уравнения (1.3.1) при всех щ imRj" JM). В силу теоремы 3.9.2 вектор-функция ІІ(і)щ : Ж+ — 14 является ослабленным решением уравнения (1.3.1), если имеет предел в нуле справа. Покажем, что для всех щ Є ітЩ" JM) lim и(і)щ = щ. Возьмем вектор ко = Rfu \(M)v. В силу леммы 1.1.4 точки /ио,..., р можно взять произвольные из L-резольвентного множества pL{M). Мы их выберем лежащими справа от контура Г = дТ,ф. Тогда, благодаря непрерывности правых L-резольвент и тождеству (1.1.1), так как он сходится равномерно по параметру t Є [0,1] по признаку Вейерштрасса в силу условия (3.10.1).
Построим окружность SR радиусом R 2/лр с центром в точке 0. В качестве Гд возьмем часть контура Г, лежащую внутри круга 5д, и правую часть окружности DSR, отсекаемую контуром Г, Получили замкнутый контур, обходимый в отрицательном направлении. Через Г\ мы обозначим часть контура Г, лежащую вне круга SR. В качестве FR возьмем правую часть окружности 8SR, обходимую против часовой стрелки. Интеграл по объединению всех трех контуров Гд, к — 1, 2,3, даст в точности интеграл по контуру Г.
Возьмем непрерывную в U полунорму q{-) и, используя усиленное (р, / (г))-условие на пару (L, М), получим Доказательство единственности решения ослабленной задачи Коши и принадлежности его множеству imR JM) не отличается от доказательства соответствующих утверждений в теореме 1,4.2. Для доказательства единственности при этом используется лемма 3.8.4.
Ядра и образы голоморфных полугрупп и фазовые пространства уравнений
В этом параграфе выделим пять условий в терминах голоморфных групп операторов, необходимых и достаточных для (L, -регулярности оператора М. (С1) Существуют голоморфные во всей плоскости группы операторов {U{T) = erSlP С{Ы) : т Є С], и {F(T) = erT Q C{F) : т Є С}, где Si С(U) и Ті {37) - регулярные операторы.
Это, в частности, означает, что для всех т, о Є С U(r)U(a) = U(j + т), F{T)F{a) = F{T + a). Поскольку Р = /7(0) и Q = F(0) - проекторы по определению групп, то пространства U и У7 расщепляются в прямые суммы: Ы = U0 ф U1 и = ЯеЯ, где
Очевидно, что сужения (C/i(r) — є7"51 Є jCfe1) : г С} и {Fi(r) = етТі б (.Fl) : г Є С} групп на их образы являются невырожденными голоморфными группами. Как при доказательстве леммы 4.3.1, несложно показать, что их инфинитезимальными генераторами являются регуляр (С2) Существует линейный гомеоморфизм Ь\ : Ы1 — J-1 такой, что L\S\ = TiLi. (СЗ) Существует биективный оператор (С4) Существует оператор LQ такой, чтоРга(Ма) — С. 184 (C5) L = L0(I - P) + LiP, M = M0(I P) + Ь&Р, domM = domMo+W1. Теорема 4,5.1, Оператор Ы (Ь,а)-регуляреи тогда и только тогда, когда выполнены все условия (О) - (С5), Доказательство. Достаточно доказать обратное утверждение теоремы, прямое было доказано в предыдущих параграфах. При \ц\ ra[Si) имеем где полунорма г(-) = r2(-) + r3(-), С? = max{C ,0 ), a C 0, CM,i -константы регулярности операторов R (MQ), (ЦІ—SI)-1. ЭТИ константы существуют в силу регулярности Si и пустоты регулярного /vQ-спектра оператора MQ. Аналогичные рассуждения можно провести с левой L-резольвентой оператора М при \fi\ ra(Ti). Таким образом, в определении (, J)-регулярного оператора можно взять константу a = min{Tv(Si),Tv(Ti)}. Рассмотрим некоторые частные случаи этой теоремы. Для этого введем в рассмотрение дополнительные условия. (С5) L = LiP, М = М0(1 - Р) + LiSP, domM = domMo+U1. Теорема 4.5.2. Оператор М (L, а)-регулярен, а бесконечность при этом является устранимой особой точкой функции [fiL — M) l тогда и только тогда, когда выполнены все условия (С1) - (СЗ), (С5)\ Доказательство. Из условия (С5) следует выполнение условий (С4), (С5) с оператором LQ — О. Действительно, оператор RL\MQ) = -MQ1L0 - О - Н (4.5.1) регулярен. Из (Сі) - (С5) по предыдущей теореме следует (L, (т)-регулярность оператора М. Кроме того, равенство (4.5.1) означает по определению, что бесконечность является устранимой особой точкой Х-резольвепты оператора М, Обратное было доказано в предыдущих параграфах. (С4)" Существует оператор LQ Є C(U ;J-) такой, что оператор Н = MQ1LQ нилъпотентен степени р. Теорема 4.5.3. Оператор М (L, а)-регулярен, а бесконечность при этом является полюсом порядка р N функции (fiL — M) l тогда и только тогда, когда выполнены все условия (С1) - (СЗ), (С4)", (С5). Доказательство. Как и в предыдущих теоремах этого параграфа достаточно доказать лишь обратную импликацию. Условие (С4)" означает выполнение условия (С4), поскольку при всех р-1 р С ЯММ0) = {fiH - I) lH = fikHk+l. При п р, таким fc=0 образом, (#(Мо))" = О. Так как операторы (Н (Мо))к непрерывны, то для любой непрерывной на Ый полунормы существуют непрерывные полунормы гь( ) такие, что для всех и Є U q((R (Mo))ku) г (и), к — 1,р. Взяв г (it) = 2Z rh{u)y получим q((R 0(M0))nu) г(и) при всех к=1 п Є N. Это означает регулярность оператора R (MQ) В силу теоремы 4.1.1 с константой регулярности равной единице. В остальном доказательство использует те же рассуждения, что были использованы при доказательстве предыдущей теоремы.
Сильно голоморфные группы уравнений Соболевского типа
Рассмотрим в пространстве L2(Q), Q = (0;+со); самосопряженный опеоатор с областью определения ёотЛ = {v Є 1 ( ) : Av La( )}- Он, как известно [101, 125], определяет уравнение Av = 0 Шредингера для стационарных состояний электрона в кулоновом поле с фиксированным точечным зарядом. Спектр оператора А состоит из собственного значений A& = —{г + к) 2, к е N, и непрерывной части [0, +оо). Разложение для произвольной функции і» Є Li2{l) по собственным и обобщенным собственным функциям оператора А имеет вид
Построим пространства Фреше 1)A{L 2{1)), Т при некотором г (г + 1) 2. Как и ранее, обозначим Ат = Л\ .В силу теоремы 5.7.1 имеем Как и в предыдущем параграфе, положим L = Р(А), М — Q(A), где Р(А), 5(А) - целые функции, причем не существует собственных значений А , являющихся одновременно нулями функций Р(Х), Q(A), а нулей, принадлежащих множеству [0,+оо), у функции Р(А) нет. По теореме 5.7.2 оператор М (L, сг)-регулярен, а бесконечность является устранимой особой точкой L-резольвеиты оператора Ы. Отсюда следует существование сильно голоморфной в плоскости группы разрешающей уравнение Ее ядром является конечномерное в силу аналитичности функции Р(Х) подпространство Ы — span {(,5 : Р (— (г + А;)-2) = 0} . Если взять вместо г пространство , то при выполнении условия (5.8.2) оператор М будет сильно (L, 0)-радиален, и речь будет идти о сильно непрерывной полугруппе. Сформулируем теорему о разрешимости неоднородной задачи Коши Доказательство. Достаточно заметить, что условие (5.10.3) эквивалентно условию (5.8.2) и сослаться на теорему 5.8.2. 5.11, Периодические решения задачи Коши для дифференциально-разностного уравнения В этом параграфе покажем разрешимость периодической по пространственной переменной задачи Коши для дифференциально-разностного уравнения. Для этого воспользуемся тем фактом, что ряд Тейлора связывает между собой оператор смещения по пространственной переменной и целую функцию от оператора дифференцирования. Рассмотрим в пространстве / (0,6) самосопряженный оператор ЕГО спектр состоит из собственных значений Afc = Ь 12тгк, к Є Z, которым соответствуют собственные функции Pk(x) = \с V2. Построим пространства Фреше ) ( 2(0, &)) = Эд, г при некотором г 0. Нам также понадобится индуктивный предел ( шкалы {(т : г Є N}. Положим L — Р(А), М Q(A)e-ihA, где Р(Л), Q(A) - целые функции, /іЄІ. Уравнение Luff) = Mu(t) в данном случае имеет вид Теорема 5.11.1, Пусть U — Т — .г, а функции -Р(А), Q(X) не имеют общих нулей в точках b 12 irk, к Є Z. Тогда оператор М {L,a) регуляреп, а бесконечность является устранимой особой точкой L-резольвенты оператора М. Понятно, что в условиях теоремы 5.11.1 существует сильно голоморфная в плоскости группа
