Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обратная задача определения источника для уравнения эллиптического типа
1.1. Определение функциональных пространств Гёльдера. Теоремы разрешимости для строго эллиптического уравнения в пространствах Гёльдера. Принцип максимума для уравнений эллиптического типа и следствия из него 42
1.2. Постановка обратной задачи определения источника для эллиптического уравнения в области, удовлетворяющей условию (А). Теоремы единственности решения прямой задачи в области, удовлетворяющей условию (А) 48
1.3. Единственность решения обратной задачи определения источника в пространстве функций U(Q)xF(D) с переопределением внутри области 56
1.4. Единственность решения обратной задачи определения источника для эллиптического уравнения в пространстве функций
U(Q)xF(D) с переопределением внутри области для цилиндра 63
1.5. Единственность решения обратной задачи определения источника для эллиптического уравнения с дивергентной формой оператора Lxn «скалярной» формой источника в цилиндре 66
1.6. Единственность решения обратной задачи определения источника для эллиптического уравнения в области,
симметричной относительно плоскости переопределения 70
1.7. Единственность решения обратной задачи определения источника для эллиптического уравнения в цилиндре симметричном относительно плоскости переопределения 77
1.8. Единственность решений обратных задач определения источника с переопределением на границе 83
1.9.Адьтернатива Фредгольма для обратной задачи определения источника в эллиптическом уравнении с переопределением внутри области, удовлетворяющей условию (А) в пространстве функций C/j (Q) хС (D) 95
1.10. Достаточные условия существования единственного решения для обратной задачи определения источника с переопределением внутри области в пространстве функций U1 (Q) х С" (D) 109
1.11 .Альтернатива Фредгольма для обратной задачи определения источника в в эллиптическом уравнении с переопределением внутри цилиндра в пространстве функций C/(Q) х F(D). Следствие 118
1.12. Альтернатива Фредгольма для обратной задачи определения источника в эллиптическом уравнении с переопределением на границе 128
1.13.Достаточные условия существования единственного решения обратной задачи определения источника с переопределением на границе в пространстве функций 11г(Q ) х С"(D) 133
1.14. Альтернатива Фредгольма для обратной задачи определения источника в эллиптическом уравнении с переопределением на границе впространстве функций U(Q. ) х F(D) .Следствия 141
1.15.Литературные ссылки и комментарии 144
Глава 2. Обратные задачи определения коэффициента для уравнения эллиптического типа
2.1. Постановка обратной задачи определения коэффициента в эллиптическом уравнении с переопределением внутри области, удовлетворяющей условию (А). Единственность решения обратной задачи определения коэффициента в области, удовлетворяющей условию (Б) 146
2.2. Единственность решения обратной задачи определения коэффициента для эллиптического уравнения в цилиндре с переопределением внутри области 153
2.3. Единственность решения обратной задачи определения коэффициента в цилиндре симметричном относительно плоскости переопределения 160
2.4. Единственность решения обратной задачи определения коэффициента с переопределением на границе области 164
2.5. Существование решения обратной задачи определения коэффициента для эллиптического уравнения в цилиндре 170
2.6. Существование решения обратной задачи определения коэффициента в эллиптическом уравнении в цилиндре с переопределением на границе 184
2.7.Литературные ссылки и комментарии 187
Глава 3. Обратные задачи для параболического уравнения с переопределением на верхней крьшгке
3.1. Определение пространств функций Гёльдера для функций, зависящих от х, t. Необходимые сведения о разрешимости прямой задачи. Априорные оценки для решения прямой задачи 189
3.2. Единственность решения обратной задачи определения источника (случай старших коэффициентов не зависящих от времени) 194
3.3. Единственность решения обратной задачи определения источника для случая старших коэффициентов, зависящих от времени 199
3.4. Достаточные условия единственности решения обратной задачи определения источника, связанные с малостью области 199
3.5. Единственность решения обратной задачи определения источника случай отрицательного коэффициента перед и 203
3.6. Альтернатива Фредгольма и теоремы существования решения для задачи определения источника 204
3.7. Обратные задачи определения коэффициента 210
3.8. Достаточные условия существования решения обратной задачи определения коэффициента в параболическом уравнении 217
3.9. Определение коэффициента в полулинейном уравнении параболического типа (случай зависимости от и) 222
3.10. Определение коэффициента в полулинейном уравнении параболического типа (нелинейность зависит от их) 234
3.11.Литературные ссылки и комментарии 242
Глава 4. Обратные Задачи Для Уравнения Параболического Типа С Переопределением В Точках
4.1. Обратные задачи определения источника с переопределением в точках в случае задачи Копій 244
4.2. Единственность решения обратной задачи для линейного уравнения параболического типа в случае задачи Коши 251
4.3. Единственность решения обратной задачи для параболического уравнения в случае краевой задачи 253
4.4. Единственность решения обратной задачи определения правой части для нелинейного уравнения в случае краевой задачи 256
4.5. Существование решения обратной задачи определения правой части в случае задачи Коши 257
4.6. Существование решения обратной задачи определения правой части параболического уравнения в случае первой краевой задачи 261
4.7.Существование решения обратной задачи определения источника в полулинейном уравнении с переопределением в точке 263
4.8.Литературные ссылки и комментарии 274.
Список литературы
- Единственность решения обратной задачи определения источника в пространстве функций U(Q)xF(D) с переопределением внутри области
- Единственность решения обратной задачи определения коэффициента для эллиптического уравнения в цилиндре с переопределением внутри области
- Единственность решения обратной задачи определения источника для случая старших коэффициентов, зависящих от времени
- Единственность решения обратной задачи для линейного уравнения параболического типа в случае задачи Коши
Единственность решения обратной задачи определения источника в пространстве функций U(Q)xF(D) с переопределением внутри области
В настоящей работе в систематической форме излагаются основные результаты по исследованию обратных задач для уравнений эллиптического и параболического типов, полученные автором за более чем тридцатилетний период работы в этой области.
Основой полученных результатов и основным инструментом для их получения является теория разрешимости прямых задач для уравнений эллиптического и параболического типов в пространствах непрерывных функций, производные которых удовлетворяют условию Гёльдера - пространствах Гёдьдера (пространствах гёльде-ровых функций). Эта теория, возникшая в начале 20 века в трудах Леви (Levy, [265]), Жевре (Gevrey, [264]), Шаудера (Shauder, [274]) и получившая дальнейшее развитие в работах многих других математиков, позволила начать систематическое изучение линейных уравнений с переменными коэффициентами. К середине 20 века в рамках этой теории были получены основные результаты о разрешимости краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа с переменными коэффициентами (см., например, монографию Миранды [135], в которой отражено состояние этой теории к середине 20-го века для эллиптических уравнений) и краевых задач и задач Коши для уравнений параболического типа с переменными коэффициентами (см.; монографию Фридмана [232] по теории параболический уравнений, а также соответствующие разделы, посвященные этим теориям в более поздних книгах и журнальных статьях [131], [132], [57], [121,122],[180,181],[246,247]). Важную роль в доказательстве существования решений обратных задач, изучаемых ниже, будут также играть оценки Крылова-Сафонова для уравнений эллиптического типа полученные в конце 70-х годов 20 века (см. [121]).
При изложении результатов, полученных автором, и проведении соответствующих доказательств различных математических утверждений, предполагается, что читателю известны основные факты из стандартных университетских курсов математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории функций комплексного переменного, теории уравнений с частными производными и функционального анализа (например, в объёме широко распространенных прекрасных учебников [29], [36], [38],[52], [80-82], [102], [119], [136], [146-148], [217], [216], [230]). Факты, изложенные в этих учебниках, считаются известными и используются при доказательствах различных утверждений без каких-либо ссылок (за исключением некоторых более тонких фактов функционального анализа, которые приводятся в виде ссылок на упомянутые учебники, хотя ,что является «тонким» фактом, а что нет, конечно, полностью определяется исключительно субъективным вкусом автора). В отношении широко используемой автором теории эллиптических и параболических уравнений в прострвнствах Гёльдера принят обратный подход - любое использование того или иного факта этой теории всегда приводится с точной ссылкой - на ту или иную монографию по упомянутому предмету с указанием страницы, а если по номеру страницы трудно найти указанную ссылку, то с указанием номера формулы или теоремы, которая имеется в виду. В качестве таких монографий выступают, как правило, монографии [57], [130], [132], [125-126] по эллиптическим уравнениям и [131], [130], [250], [233] по параболическим уравнениям (доказательства всех фактов, на которые приводятся ссылки, автору известны).
Вторым (идейным) основанием излагаемых здесь результатов является теория обратных и некорректно поставленных задач, которая возникла в пионерских работах А.Н. Тихонова в середине 1940-х годов (см. [211]), Дальнейшее развитие этой теории проводилось в последующих работах А.Н.Тихонова, В.К.Иванова, М.М.Лаврентьева и других авторов (см. [19-20, 51, 58, 68, 72, 75, 78, 128, 134,212-215,255]).
Эта теория позволила по-новому взглянуть на понятие корректной разрешимости той или иной задачи математической физики, предложив новое понятие условно-корректных задач. Такой подход расширил виды изучаемых краевых задач (например, стали изучаться постановки задач Коши для уравнения Лапласа (см. [123]), задачи с обратным направлением времени для уравнения теплопроводности (см. [133]) и другие постановки задач для различных типов уравнений, отличающиеся от классических постановок, рассмотрение которых ранее считалось не имеющим смысла).
В это же время, в середине 60-х годов, сначала в рамках общего подхода к обратным задачам, стали появляться работы по обратным задачам для уравнений с частными производными (М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов, см. [124]. [178] ), в которых в качестве неизвестной функции было не только решение уравнения, но и коэффициент или правая часть этого уравнения. В дальнейших работах А.Д.Искендерова ([92, 93]), А.И.Прилепко ([155, 156]) началось рассмотрение таких задач как отдельных объектов математического исследования. В частности, были поставлены вопросы о получении достаточных условий единственности решений таких задач, а затем и достаточных условий существования решений. Изучение задач такого типа проводилось в работах А.М.Алифанова [1], А.Х.Амирова [3-5], Ю.С.Аниканова [6-18], Н.Я.Безнощенко [21-27], Ю.Я.Белова [30-35],[253], А.Л.Бухгейма [41-45], П.Н.Вабищевича [46-50], В.М.Волкова [53-56], В.Б.Гласко [58] ,Н.Л.Гольдман [59-67], А.В.Гончарского [68], А.М.Денисова [69-74], В.И.Дмитриева [75], В.М.Исакова [84-86], [261-264], А.Д.Искендерова [87-93], В.Л.Камынина [94-101], М.В.Клебанова [103-105], А.И.Кожанова [106-118], А.Б.Костина [120,161-163], М.М.Лаврентьева [123-129], Д.Г.Орловского [138-145],[164-169], А.И.Прилепко [151-169],[271] С.Г.Пяткова [173-176], В.В.Соловьёва [190-210,[170-172], А.Н.Тихонова [211-215], И.В.Тихонова [218-225], Д.С.Ткаченко [226-229], А.Е.Узлова [231-232], А.Хайдарова [236-245], А.Ю.Щеглова [248-249], С.Д.Эйдельмана [251], Эммануилова О.Ю. [252], В.Г.Яхно [253-255], I.R.Cannon [257-260], A.Lorenci [267], N.S.Pillant [268-270], W.Rundell [272-274] а также в работах их учеников и последователей .
Целиком задачам указанного вида посвящены монографии [129], [261], [271], в которых приведены большие своды литературы по указанной тематике и указана история изучения таких задач. Общий обзор этих работ здесь привести затруднительно, так как уравнения эллиптического и параболического типов описывают большое количество физических явлений. По этой причине обратные задачи для этих уравнений встречаются в приложениях повсеместно, так, что даже краткое описание таких работ потребует очень много места. Кроме того, из-за разнообразия материала труд -9 но делать подробное сопоставление различных результатов в отрыве от конкретных постановок задач. В связи с этим в основном тексте работы в конце каждой главы есть пункт «Ссылки и литературные комментарии», содержащий необходимые сведения исторического и приоритетного характера об изученных в этой главе задачах.
Важным вопросом, относящимся к упомянутым обратным задачам, является вопрос о приближенных методах решения таких задач. Результаты исследований по этой проблематике и история таких исследований приведены в монографиях П.Н.Вабищевича, А.А. Самарского [51], А.С.Леонова [138 ]. Работы автора по этой тематике и примеры расчетов конкретных обратных задач, проведенных автором (см. [192, 183, 171-172]) на основе изложенной здесь теории, не вошли в диссертацию как в силу ограниченности объема, так и из-за того, что они стоят несколько в стороне от основных идей, развиваемых в диссертации.
Рассмотрим структуру работы и приведем обзор основных результатов. Перед Введением дан отдельный пункт «Некоторые обозначения и соглашения», в котором, для удобства чтения диссертации, приведены некоторые обозначения и определения пространств функций, не являющиеся общепринятыми. Далее идет основной текст работы, разбитый на главы. Главы делятся на параграфы, каждый из которых посвящен связанному изложению определенной задачи (или цикла задач, связанных единой идеей). Часто (но не всегда) параграфы делятся на пункты (подпараграфы), чтобы выделить то или иное математическое утверждение или структурировать текст доказательства, когда оно велико по объему, с целью добиться большей ясности его изложения.
В начале каждого параграфа уточняется постановка задачи, далее следует формулировка основного в параграфе результата и приводится его полное доказательство. В конце глав помещены библиографические ссылки и сопоставления с результатами других авторов.
Завершает диссертацию список литературы, где сначала приведены работы, опубликованные на кириллице , а далее - на латинице. При ссылках на литературу указаны сначала фамилия автора, а далее - номер работы в списке.
Перейдем к краткому обзору содержания диссертации.
В главе 1 изучается обратная задача определения источника в эллиптическом уравнении. Начинается глава с параграфа 1.1, имеющего вспомогательный характер. В нем приведены определения различных пространств Гёльдера для функций, заданных на некоторой ограниченной области G с К", определения областей с границей класса С2а, определения пространств Гёльдера функций, определенных на этой границе. В п. 1.1.3 сформулированы широко используемые в дальнейшем теоремы разрешимости для задач Дирихле для строго эллиптического уравнения в используемых далее пространствах Гёльдера. Всего приведены четыре случая однозначной разрешимости для задачи Дирихле:
Единственность решения обратной задачи определения коэффициента для эллиптического уравнения в цилиндре с переопределением внутри области
Для формулировки теоремы существования решения обратной задачи (В.49) (8.50) необходимо определить вспомогательную функцию wef/0(Q). Будем пред полагать, что для коэффициентов оператора L и функций а, ауу, g справедливы усло вия: a,ayy,g,gyyeC(D._)r C2 a(D._ T0), ay,bj,ceCa(D)r C(D), для функции
При этих предположениях продолжим четно функции a, g, \х по переменной у при каждой фиксированной точке х є D. Продолженные таким образом в цилиндр Q = = Q(q) функции будем обозначать а,,Д. Для них в указанных выше условиях будут справедливы включения: Вспомогательную функцию we(/0(Q) определим как решение следующей краевой задачи: В уравнении (В.52) строго эллиптический в цилиндре Q оператор L тот же, что и в условиях (В.49) но с заменой коэффициента анаа. Для обратной задачи (В.49)-(В.50) справедлива следующая теорема существования её решения. Теорема 2.6.1. Пусть для коэффициентов строго эллиптического в цилиндре Q_ оператора L справедливы условия: а,а а еСа(С1_ иГ0)пС(П_), at,,bt,c eCa"(D)r\C(D), выполнены следующие неравенства и дополнительные условия: с(у,х) 0, xeD, ауу(у,х) + с(х) 0, (у, х) eQ_, а(0,х) = 0, xeD. Тогда для любых функций (j, g, %? таких, что л,ц єС ГД )), g,g eCa(Q_Ljro)nC(Q_), %eH(D), удовлетворяющих условиям согласования (8.51) и дополнительным условиям %(х) %0 0, я(0, х)м (0, х) - ((Хд)(х)+ +g(0,x) 0, xeD, g (0,х) = 0, х е D, существует решение обратной задачи (В. 49) (В.50) в указанном классе функций. Как следствие теоремы 2.6.1 существования решения для задачи (В.49)-(В.50) и сформулированной ранее теоремы 2.4.4 единственности ее решения следует следующая теорема существования и единственности решения задачи (В.49)-(В.50). Теорема 2.6.2. Пусть для коэффициентов строго эллиптического в цилиндре -=й( 7) оператора L справедливы условия: а,ау,аууєС(Сі_)глСа(Сі_ Г0), ЙГ.Д.,С єС( )пСа( ), выполнены следующие неравенства и дополнительные условия: с(х) 0, xeD, ауу(у,х) + с(х) 0, (у, х) єП_, аД0,х) = 0,ієД. Тогда для любых функций \i, g, %, таких, что справедливы включения \х, и є С(Г1 (q)), g,gw eCa(Q_ uro)nC(Q_), %eH(D), удовлетворяющих условиям согласования (В.50)-(В.51) и дополнительным условиям %(х) %0 0, a(0,x)w(0,х) - ((Lx%)(x) + +g(0,x)) 0, xeD, ц(7,х) 0, (7,х) 0(7,х)єГ1(9), g(j,x) 0, gjy(j,x) 0,, g (0, х) = 0, х є D, существует единственное решение задачи (В.49)-(В.50) в указанном классе функций. В главе 3 излагаются основные результаты, полученные автором при изучении обратных задач для уравнения параболического типа с переопределением на верхней крышке цилиндра. Параграф 3.1 носит вводный характер, здесь приведены определения пространств Гёльдера функций, используемых при решении задач для параболических уравнений и сформулированы основные факты, относящиеся к теории краевых задач для параболических уравнений (теоремы существования и единственности решений краевых задач, принцип максимума, оценка Шаудера, оценки фундаментальных решений и функций Грина) используемые далее. Приведенные теоремы носят стандартный характер, определения полностью соответствуют общепринятым. Тем не менее, автор счел необходимым четко сформулировать основные факты, относящиеся к разрешимости прямой задачи, при этом формулировки приведенных здесь теорем даны в той форме, в которой они будут далее использованы в развиваемой теории. Перейдем к обзору основных результатов, полученных при изучении обратных задач для параболических уравнений с переопределением на верхней крышке (финальным переопределением). Пусть Т О - фиксированное число, Del"- ограниченная область с границей класса С2-а, цилиндр D.T =Dx(0,J ]cMxl(. Рассмотрим задачу определения источника для уравнения параболического типа в цилиндре Qr , точнее - задачу определения пары функций (и,/) є С2+ 1+а,2(Ц,)хCa(D) из условий: р(х, t)ut (х, t) — (Lu)(x, t) = f(x)h(x, t) + g(x, t), (x, t) e Qr, u(x,0)=cp(x), xeD, T (B.53) u(x,t) = \x(x,t), (x,f) єГг = cQ.x[0,T], u(x,T) = x(x\ xeD. (B.54) В уравнении (B.53) оператор L имеет вид: n n (Lu)(x,t) = a,j(x,t)uxx (x,t) + jbj(x,t)ux(x,t) +c(x,t)u(x,t). i,J=\ 1=1 Предполагается, что уравнение (B.53) является равномерно параболическим в цилиндре О.Т, т.е. предполагаются выполненными условия: -33 p(x,0 Po 0, 0:,0 flUS2, a0 0, (x,t)eQT
Условие (В.54), заданное на верхней крышке цилиндра Q.T, является дополнительным условием к уравнению, начальному и краевым условиям, вполне определяющими решение прямой задачи (В.53) при известной функции/ Это условие называется переопределением и является той дополнительной информацией, которая позволяет считать функцию / также неизвестной и рассматривать обратную задачу определения пары функций (и,/) из условий (В.53)-(В.54). В п. 3.2 при некоторых упрощающих предположениях доказана единственность решения обратной задачи (В.53)-(В.54). Рассмотрим обратную задачу определения пары функций (и,/) є Lr1(Qr)x Ca(D) из условий: р(х, t)ut (х, t) — (Lu)(x, t) = f(x)h(x, t) + g(x, t), (x, t) e Qr, u(x, 0)=cp(x), xeD, V J (B.55) u(x, t) = \\.(x, t), (x, t) e YT, M(x,T) = x(x), xeD. (B.56) В уравнении (B.55) оператор L имеет вид: n n (Lu)(x,t) = a,j(x)uxx {x,t) + jbi{x)ux (x,t) c(x,t)u(x,t). i,j=\ 1=1 Для задачи (B.55)-(B.56) справедлива следующая теорема единственности ее решения. Теорема 3.2.1. Пусть для коэффициентов оператора L и функции h справедливы условия ay, bi eCa(D), p,pt,c,ct,h,ht eC 2(fir), выполнены следующие неравенства c(x,t) 0, ct(x,t) 0, h(x, t\h(x t) (x,t)eD.T. Тогда задача (В.55)-(B.56) не может иметь двух различных решений в том и только в том случае, когда носитель функции h(x, Т) совпадает с D. В п. 3.4 доказана единственность решения обратной задачи (В.55)-(В.56) в предположении малости области D основания цилиндра. В п. 3.6 доказана альтернатива Фредгольма для задачи (В.53)-(В.54). Рассмотрим обратную задачу определения пары функций (и,/) є Lr1(Qr)x Ca(D) из условий: ut(x,t) — (Lu)(x,t) = f(x)h(x,t) + g(x,t), (x,t) e Qr, w(x,0) = cp(x), xeD, u(x,t) = \x(x,t), (х,/)єГг, (В.57) u(x,T) = x(x), xeD. (В.58) В уравнении (В.57) оператор L имеет вид: п п (Lu)(x,t) = J] а„(х,1)ихх (x,t) +Ybj(x,t)ux (x,t) + c(x,t)u(x,t) . i,j=l 1=1 Будем говорить, что для задачи (В.57)-(В.58) выполнены условия согласования до первого порядка, если выполнены следующие условия: 1) ф(х) = \x(x,t), %(х) = \х(х,Т), хе dD, 2) (yit(x,0)-(L p)(x,0)-g(x,0))h(x,T) = (yit(x,T)-(LyJ(x,T)-g(x,T))h(x,0), xedD. -34 Рассмотрим краевую задачу определения функции со eC2(D)n,C(D) из условий (Хсо)(х,Г) = О, со(х) = 0, xedD.
Будем говорить, что для оператора L выполнено условие (А), если задача определения функции со из этих условий имеет только тривиальное решение. Для обратной задачи (В.57)-(В.58) справедлива следующая теорема. Теорема 3.6.1. Пусть для коэффициентов оператора L и функции h справедливы условия гладкости a,bj,с,h,(а ),, (bt)t,ct,hte Са"аП(Qr), выполнено условие (А), выполнено неравенство \h(x,T)\ hT 0, xeD. Тогда для обратной задачи (В. 57) (В.58) справедлива альтернатива Фредгольма в смысле эквивалентности двух утверждений: 1) задача (В.57)-(В.58) имеет при g = 0, ф = 0, % = 0, ц = 0 только тривиальное решение; 2) задача (В.57)-(В.58) имеет единственное решение (u,f)eU1(D.T)xCa(D) для любых функций ф,хєС2а0), аєС2+аД+а/2(Гг), g є Са"а,2(Пт), удовлетворяющих условиям согласования первого порядка. В качестве следствия альтернативы Фредгольма (теоремы 3.6.1) и доказанных ранее теорем единственности для обратной задачи определения источника приведем формулировки теорем существования и единственности решений, следующие из этих теорем. Теорема 3.6.2. Пусть для коэффициентов оператора L и функции h справедливы условия гладкости щ-, ЬІ є Ca(D), р, pt, с, ct, h, Ы є Ca a/2(Qr), выполнены неравенства c(x,t) О, ct(x,t) 0, h(x,t)ht(x,t) 0, \h(x,t)\ hr 0, x є D . Тогда задача (B.57)-(B.58) имеет единственное решение для любых функций ер, %єС2 а( ), \х. є С2+аД+а/2(Г7,), g є Ca"aJ2(D.T), удовлетворяющих условиям согласования до первого порядка: Х(х) = ц(х, Т), ф(х) = ц(х, 0), (р(х, 0)ц,(х, 0) - (1ф)(х, 0) - g(x, 0))й(х, Т) = = (р(х,Г)ц,(х,Г) - (L%)(x, 0) - g(x, 0))й(х, 0), х є 3D. Теорема 3.6.4. Пусть для коэффициентов оператора L и функции h справед ливы условия гладкости %, ЬІ є Ca(D), с, ct, h, hte Ca aJ2(QT), выполнено неравен ство I h(x,t) \ hj, 0. Тогда существует такая постоянная d0 0 (d 0 0), что для любой области D сD с границей класса С2а, такой, что diamZ) d0 (diam,/) d 0) задача (B.57)-(B.58) имеет единственное решение для любых функций ф, %єС2 а0), аєС2+аД+а/2(Гг), g єСа а,2(Пт), удовлетворяющих условиям согласования до первого порядка: Х(х) = ц(х, Т), ф(х) = ц(х, 0), (ц, (х, 0) - (1ф)(х, 0) - g(x, 0))й(х, Т) = = (ц,(х,Г) -(Ly)(x,T) -g(x,T))h(x,0), х є 3D . -35 Теорема 3.6.5. Пусть для коэффициентов оператора L и функции h справедливы условия гладкости ay, Ъ[ eCa(D), h, hteCa",a"n(D.T), выполнено неравенство \h(x,t)\ hr 0, xeD. Тогда существует такая постоянная Х0 0, что для всех функций с eCa(D) и таких, что справедливо неравенство с(х) -Х0, xeD, обратная задача (В.57)-(В.58) имеет единственное решение для любых функций ср, ХєС2а0), аєС2+аД+а/2(Гг), geCa-a/2(QT), удовлетворяющих условиям согласования до первого порядка: Х(х) = ц(х, Т), ф(х) = ц(х, 0), (ц, (х, 0) - (іФ)(х) - g(x, 0))й(х, Т) = = (ц,(х,Т) - (L%)(x, Т) - g(x, T))h(x, 0), х є 3D. В п. 3.7 изучаются обратные задачи определения коэффициента в параболическом уравнении. Рассмотрим обратную задачу определения пары функций (u,f)eU1(Q.r)xF1 (D) изусловий: ит (х, t) — (Lu)(x, t) = f(x)u(x, t) + g(x, t), (x, t) e Qr, w(x,0) = 0, xeD, и(х,/) = ИХ0, (x,t)eYT, (В.59) u(x,T) = x(x\ xeD. (B.60) В уравнении (В.59) оператор L имеет вид: п п (Lu)(x,t)= сіЛх)ихх {x,t)+ Ybj{x)ux (x,t) + c(x,t)u(x,t) . Для задачи (B.59)-(B.60) справедлива следующая теорема единственности её решения. Теорема 3.7.1. Пусть для коэффициентов оператора L и функций g,\i справедливы условия гладкости щ, Ы єCa(D), с, си g, gt еCaa/2(Q7), цєС2+аД+а/2(Гг), выполнены следующие ограничения на знаки заданных функций с(х, /) 0, ct(x,t) 0, g(x,t) 0, gt(x,t) 0, (x,t)eQ.T, (x,t) 0, ц,(х,ґ) 0, (x,t)eTT, и хотя бы одна из функций \i, g отлична от тождественного нуля. Тогда задача (В.59)-(В.60) не может иметь двух различных решений. При некоторых дополнительных ограничениях на заданные в условиях (В.59)-(В.60) функции можно получить достаточные условия единственности этой обратной задачи без предположения, что и(х, 0) = 0. Рассмотрим задачу определения пары функций (u,f)e C/j (Qr ) Fl (D) из условий:
Единственность решения обратной задачи определения источника для случая старших коэффициентов, зависящих от времени
В данном параграфе рассматривается обратная задача определения источника для самой простой области, удовлетворяющей условию (А), для цилиндра. Для такой области, как будет показано ниже, можно сформулировать и доказать достаточные условия единственности для обратной задачи определения источника, носящие глобальный характер и не накладывающие никаких ограничений на размер области D или величину коэффициента с. Эти условия носят характер ограничений на знаки заданных функций и их производных. Кроме того, достаточные условия единственности, формулируемые в данном параграфе, дают возможность рассмотреть случай оператора L с некоторыми коэффициентами, зависящими от у.
Пусть область Q. есть цилиндр Q. = Q(q1,q2) В этом цилиндре рассмотрим задачу определения пары функций (и, f) є C/(Q) х F(D) из условий: справедлива следующая теорема единственности. Теорема 1.4.1. Пусть для коэффициентов строго эллиптического в области Q оператора L и функции h справедливы условия а, ау, ауу, h, hy, hyy є Ca(Q)nC(Q), щ, bi, с є Ca( D) Г) C(D), выполнены неравенства c(x) 0, ayy(y, x) + c(x) 0, h(y, x) 0, hyy(y, x) 0, /?(0,x) ho 0, (у, х)є Q. Тогда обратная задача (1.4.1)-(1.4.2) не может иметь двух различных решений в указанном классе функций.
Аналогично доказательству теоремы 1.3.1, достаточно доказать, что в условиях теоремы 1.4.1 не имеет нетривиальных решений задача определения пары функций (и, f) є /(Q) х F(D) из следующих условий:
Доказательство от противного. Пусть задача (1.4.3)-(1.4.4) имеет нетривиальное решение, пару функций (и, f) є /(Q) х F(D), удовлетворяющую условиям (1.4.3) (1.4.4). Покажем, что предположение, что пара функций и Ф 0,/Ф 0 - решение задачи (1.4.3)-(1.4.4), приводит к противоречию.
Из условий (1.4.4), уравнения (1.4.3), с учетом того, что при некотором числе q 0 справедливо условие и є C(Q(q)), следующее непосредственно из предположения и ef/(Q), получим, аналогично доказательству теоремы 1.3.1, что при = 0 выполнено следующее условие:
Из условия (1.4.5), в силу того, что и (0,х)=0, х є dD, h(0,x) h0 0, х є D, получим, что тогда для функции fix) на границе dD будет справедливо условие fix) = 0, х є dD. Представим функцию fix) в следующем виде: f(x) = f+ (х) + / (х), xeD. Здесь, как обычно: f+(x) = тах{/(х),0}, xeD, /fix) = f(x) \ -f+(x), х є D.
Сначала заметим, что из предположения, что/V 0 и пара функций (u,f) удовлетворяет условиям (1.4.3)-(1.4.4), следует, что обязательно /+ 0,/ 0. В самом деле, пусть, например, /+ 0,/ = 0. Но тогда, так как в этом случае fh = fh 0, то из уравнения (1.4.3) следует, что Lu 0, при этом и(0, х) = 0, х є D. Из строгого принципа максимума (теорема 1.1.7) следует, что в этом случае и = 0 в области Q. Но тогда из условия (1.4.5), так как h(0,x) h0 0,следует, что f = f+ =0. Получили противоречие с предположением /Ф 0. Итак, считаем далее, что /+ 0,/ Ф 0. Покажем, что это предположение также приводит к противоречию. Для этого рассмотрим следующие краевые задачи:
Так как справедливо включение / є Ca(D)r C(D), то из теоремы 1.1.1 следует, что существуют единственные решения задач (1.4.6) в классе функций и± є C2 a(Q)niC(Q). Из единственности решения прямой задачи (1.4.3) и условия переопределения (1.4.4) следует, что функции и± связаны между собой равенствами следующего вида:
В условиях (1.4.7) , для функции ці, в силу условия и± є C2a(Q)niC(Q), будет справедливо включение \\ieC2 a(D) C(D). При этом, так как справедливы неравенства f h Ф О, f h 0, то из строгого принципа максимума следует, что цг(х) 0, х е D, а из граничных условий в формулах (1.4.6) следует, что для функции ці на границе будет выполнено условие у(х) = 0, х е dD. Так как на границе, в силу сказанного выше, для функций f, f выполнены условия / (х) = 0, /+ (х) = 0, хє 3D, то из леммы 1.2.1 следует, что для функций м ± = (и±) будут справедливы включения w± eC2 a(Q)niC(Q), при этом функции м ± суть решения следующих краевых задач:
Пусть в тождестве (1.4.9) точка х0 є D - точка абсолютного минимума функции ці на замкнутой области D, у(х0) 0 . Тогда, в силу необходимых условий минимума для функции ці и неравенства с(х) 0, в точке хо будет выполнено неравенство (Ьхці)(х0) 0. Кроме того, по доказанному, в точке хо справедливо неравенство w±(x0,0) 0. Из тождества (1.4.9), записанного в точке хо, получаем, что /±(х0)й(х0,0) 0, т.е. /±(х0) 0. Получили противоречие. Значит, задача (1.4.1)-(1.4.2) не может иметь двух различных решений. Л
Единственность обратной задачи определения источника для эллиптического уравнения с дивергентной формой оператора Lx и «скалярной» формой неизвестного источника в цилиндре
Рассмотрим обратную задачу определения источника для цилиндра D. = Q(ql,q2). Будем предполагать, что функция h(y, х) имеет вид h(y,x) =h{y) (так называемый «скалярный» случай), а(у, х) = а(у), оператор Lx имеет дивергентный вид, т.е.: В этом случае, как будет показано далее, для обратной задачи определения ис точника будут доказаны условия единственности, носящие необходимый и доста точный характер. В качестве функционального пространства, в котором будет про водиться изучение обратной задачи, выберем пространство функций C2(Q). Для ис комой функции / будем предполагать, что / є C(D). Таким образом, рассмотрим обратную задачу определения пары функций (и, /) є C2(Q) х C(D) из условий: аіУУи-ууіУ, ) + (Lxu)(y,x) = f{x)h{y) + g(y,x), Су,х)єО, u(y,x) = \i(y,x), (у,х)єсО., (1-5.1) м(0,х) = х(х), хєВ. (1.5.2)
В дальнейшем, в п.1.7, будут приведены достаточные условия существования решения прямой задачи (1.5.1) при известной функции feCa(D) в классе функций и є C2(Q) в цилиндре (это, как будет видно из рассмотрений п.1.7 , возможно при некоторых ограничениях на гладкость функций, заданных в условиях (1.5.1) и, справедливости дополнительных условий, носящих название условий согласования), т.е. множество решений прямой задачи (1.5.1) в выбранном классе функций не пусто.
Перед формулировкой теоремы единственности для обратной задачи (1.5.1)-(1.5.2) приведем некоторые необходимые для ее формулировки предварительные сведения. Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля для оператора Lx, т.е. задачу определения всех собственных значений и собственных функций оператора Lx из следующих условий:
Для формулировки теоремы единственности обратной задачи (1.5.1)-(1.5.2) определим некоторую числовую функцию ж(Х), свойства нулей которой и будут определять характер разрешимости задачи (1.5.1)-(1.5.2). Для этого рассмотрим краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения с параметром X О, то есть задачу определения функции р є C2[gj,g2] из условий:
Единственность решения обратной задачи для линейного уравнения параболического типа в случае задачи Коши
Для обратной задачи (1.10.3)-(1.10.4) справедлива следующая теорема существования и единственности. Теорема 1.10.4. Пусть для коэффициентов строго эллиптического в цилиндре О. оператора L и функции h справедливы условия : а,ау,ауу,Ь,Ьу,ЬууєСа(СЇ)глС(СЇ), a,ay,h,hyeCa(Q(q)), 0 q q, ay,bt,ceCa(D), выполнены неравенства с(х) 0, a (y,x) + c(x) 0, h(y,x) 0, h (у,x) 0, h(0,x) h0 0, (у,х)є Гї. Тогда обратная задача (1.10.3)-(1.10.4) имеет единственное решение для любой тройки функций (g,y.,%)eR(Q.).
Аналогично доказательству теоремы 1.10.1 с использованием теоремы 1.4.1.4 Рассмотрим вопрос о существовании единственного решения обратной задачи (1.10.3)-(1.10.4) в классе функций (и,/)єС2-а(П)хСа(В). Для этого запишем условия (1.10.3)-(1.10.4) в более удобном для изучения этого вопроса виде: (Lu)(y, х) = f{x)h{y, х) + g(y, х), (у, х) є О, и(у,х) = \х(у,х), (у,х) єГ( , 2), (110 5) и(Чі,х) = Хі(х), М( ЬХ) = Х2(ХХ ХЄА м(0,х) = х(х), хєД (1.10.6) Будем говорить (как в п. 1.7), что для обратной задачи (1.10.5)-(1.10.6) выполнены условия согласования нулевого порядка, если справедливы следующие равенства: ИДі,х) = Хі Х , Ц( 2,х)=х2(х), !i(0,x)=x(x), xedD. (1.10.7)
Ясно, что справедливость условий согласования необходима для существования решения задачи (1.10.5)-(1.10.6). Их выполнение означает, что на границе цилиндра 6( 7ь Q2) можно определить непрерывную функцию ц и записать условия задачи в виде (1.10.3)-(1.10.4).
Для выяснения вопроса, когда функция и принадлежит классу функций C2a(Q), определим (как и в п. 1.7) понятие условий согласования первого порядка для обратной задачи (1.10.5)-(1.10.6). Для этого определим функцию ц(х) на границе области D,r\: 3D — Ш по правилу гі(х) = (я(0,х)ад,(0,х) + (Хд)(0,х)-я(0,х))//г(0,х), хєШ. (1.10.8) Будем говорить, что для обратной задачи (1.10.5)-(1.10.6) выполнены условия согласования первого порядка, если справедливы равенства: a(4i,x) )y(q1,x) + (Lxx1)(q1,x) = r[(x)h(q1,x) + g(q1,x), a(q2,x) (q2,x) + (Lxx2)(q2,x)=r[(x)h(q2,x) + g(q2,xX xedD. При формулировке теоремы, дающей необходимое и достаточное условие принадлежности функции и, где пара функций (u,f)eU-l(D.)xCa(D) решение обратной задачи (1.10.5)-(1.10.6) , классу C2a(Q), будем также использовать определение ша-paZfe, D BR, цилиндра D.R =[g,1,g,2]x5R (см. п. 1.7). Теорема 1.10.5. Пусть для коэффициентов строго эллиптического в цилиндре Q.R оператора L и функции h справедливы условия: aeCa(D.R), ay,bieCa(BR), heCa(Q.\ ау,ауу,Иу,ИууєСа(П)глС(П),ау,ИуєСа(д(д)Х 0 q q, выполнены не равенства а (у, х) + с(х) 0, h(y, х) 0, h {у, х) 0, й(0, x) h0 0, (у, х) є D.. Пусть любые функции g,x,%,%l5%2 лежащие в функциональных пространствах g є Са (Q), ц є С (T(q1, q2)), %, Xi %2 є С2 " (D), удовлетворяют условиям согласова ния нулевого порядка для обратной задачи (1.10.5)-(1.10.6). Тогда единственное решение этой обратной задачи - пара функций (и,/) є U1(Cl)xCa(D) будет лежать в пространстве (u,f)eC2 a(Cl)xCa(D) в том и только в том случае, когда для обратной задачи (1.10.5)-(1.10.6) будут выполнены условия согласования первого порядка.
Сначала докажем, что при выполнении условий согласования первого порядка (1.10.9) единственное решение обратной задачи (1.10.5)-(1.10.6), по теореме 1.10.4 лежащее в пространстве Ul(D.)xCa(D), будет принадлежать пространству С2,а (Q) х Са (D). Для этого заметим, что так как wet/ Q), то отсюда следует, что при у = 0 справедливо следующее тождество: я(0, x)aw,(01, х) + (Lxx)(0, х) = Дх)й(0,х) + g(0, х), х є 3D. (1.10.10)
Из условий (1.10.10), так как /г(0,х) 0, следует, что fix) = ц(х). Но тогда для прямой задачи (1.10.5) будут выполнены условия согласования первого порядка, совпадающие с условиями (1.10.9) (см. п. 1.7). Поэтому из теоремы 1.7.1 следует, что и є С2 а(СЇ). Таким образом, достаточность условий согласования доказана.
Наоборот, если и є С2 а ( ГЇ), то в силу теоремы 1.7.1 для прямой задачи (1.10.5) должны быть выполнены условия согласования первого порядка при у = q\, у = qi. Но при = 0 также будет справедливо тождество (1.10.10), откуда можно выразить функцию fix) = г(х) и убедиться, что будут выполнены условия согласования первого порядка для обратной задачи (1.10.5)-(1.10.6). Необходимость условий согласования первого порядка доказана. Л
При рассмотрении задачи (1.10.13)-(1.10.14) прямая ссылка на доказанную теорему единственности в п. 1.5 невозможна, так как в этой теореме предполагалось, что иєС2(СЇ), в то время как в случае задачи (1.10.13)-(1.10.14) для функции и справедливо включение и є иг(С1)( С2(СЇ). Покажем, что из предположения, что и є t/j(Q) и пара функций (u,f) удовлетворяет условиям (1.10.13)-(1.10.14), следует, что на самом деле справедливо включение и є С2 (CI). Для этого заметим, что так как иєІІ СЇ), то для и справедливо включение и є С2,а (Q(q) jF(q)), откуда следует, чт0 их,х є(-2((2(д) Г(д)), Uj = Л,--,п- Но тогда отсюда следует, что уравнение (1.10.13) при = 0 выполнено вплоть до границы области D. Поэтому из этого урав -114 нения и условий переопределения (1.10.14) получим справедливость при у = 0 следующего тождества:
Из тождества (1.10.15) при х є dD следует, что так как по условию теоремы 1.10.5 выполнено неравенство /г(0) Ф 0, для задачи (1.10.13)-(1.10.14) справедливо тождество иуу(0,х) = 0, х є dD , то тогда будет выполнено равенство fix) = 0, х є dD. Но из этого равенства по теореме 1.7.1 получим, что для функции и будет справедливо включение и eC2 a(Q) сС2(П), откуда следует, что задача (1.10.13)-(1.10.14) (по теореме 1.5.1) имеет только тривиальное решение тогда и только тогда, когда ге(?ч) 0. Но тогда по теореме 1.9.1 получаем, что в этом и только в этом случае обратная задача (1.10.11)-(1.10.12) имеет единственное решение для любой тройки функций (g, ц, %)еЩП).
Сформулируем следствия из теоремы 1.10.6, дающее простое достаточное условие существования единственного решения обратной задачи (1.10.11)-(1.10.12).
Следствие 1. Пусть дополнительно к условиям, наложенным на коэффициенты оператора L и функцию h в теореме 1.10.6, известно, что функция h не меняет знак на отрезке [ 7i, qi]. Тогда обратная задача (1.10.11)-(1.10.12) имеет единственное решение для любой тройки функций (g, ц, %) є R(I).
Замечание. В п. 1.5 приведен пример такой функции h(y), для которой однородная задача (1.10.13)-(1.10.14) имеет нетривиальное решение. Это означает, что в этом случае реализуется второй случай альтернативы Фредгольма, т.е. задача (1.10.11)-(1.10.12) имеет единственное решение не для всех троек функций (Я,ц,50єД(О).
Аналогично рассмотрениям, проведённым в п. 1.10.2, можно сформулировать достаточные условия однозначной разрешимости обратной задачи (1.10.11)-(1.10.12) в классе функций (и,/)єС2 а(П)хГ(5).
