Содержание к диссертации
Введение
1 Полугруппы и группы уравнений Соболевского типа . 24
1.1 Относительные резольвенты 24
1.2 Относительно спектрально ограниченный оператор . 26
1.3 Относительно р-радиальный оператор 31
1.4 Функциональные пространства и дифференциальные операторы 33
2 Бесконечномерная управляемость уравнений соболевского типа 41
2.1 Определение є-управляемостн 41
2.2 Критерии є-управляемости невырожденной системы . 48
2.3 Критерии є-управляемости вырожденной системы . 54
2.4 Уравнение эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости 57
2.5 Начально-краевая задача для алгебро-дифференциальной системы уравнений с частными производными 58
2.6 Определение точной управляемости 61
2.7 Необходимые условия точной управляемости вв
2.8 Точная управляемость системы с переменным оператором управления 67
3 Конечномерная управляемость уравнений Соболевского типа 72
3.1 Конечномерная є-управляемость невырожденного уравнения 72
3.2 Конечномерная управляемость вырожденного уравнения 75
3.3 Конечномерная управляемость уравнения Соболевского типа 79
3.4 Уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной 80
3.5 Нестационарная конечномерная управляемость 84
3.6 Начально-краевая задача для алгебро-дифференциальной системы уравнений с частными производными 92
3.7 Уравнение с эллиптическим оператором высокого порядка 93
Список литературы 95
- Относительно р-радиальный оператор
- Критерии є-управляемости невырожденной системы
- Начально-краевая задача для алгебро-дифференциальной системы уравнений с частными производными
- Конечномерная управляемость уравнения Соболевского типа
Введение к работе
Актуальность темы. Уравнениями соболевского типа называются уравнения, не разрешенные относительно старшей производной по времени. Такие уравнения возникают при моделировании различных реальных процессов. В настоящее время уравнения соболевского типа изучаются в рамках двух подходов. К первому следует отнести работы С.Л. Соболева, С.А. Гальперна, А.Г. Костюченко, Г.И. Эс-кина и многих других. Данный подход предполагает непосредственное исследование начально-краевых задач для уравнений или систем уравнений в частных производных. Другой подход подразумевает изучение абстрактных операторных уравнений с дальнейшими приложениями к конкретным начально-краевым задачам. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают И.В. Мельникова, Н.А. Сидоров, R.E. Showalter, A. Favini, A. Yagi, Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров и многие другие.
Одной из наиболее часто возникающих и важных задач прикладного характера является задача оптимального управления. Для линейного уравнения соболевского типа задача оптимального управления исследовалась в работах Г.А. Свиридюка и А.А. Ефремова. В конечномерных пространствах уравнения соболевского типа или так называемые алгебро-дифференциальные уравнения и, в частности, задачи оптимального управления для них, рассматриваются в работах Ю.Е. Бояринцева и В.Ф. Чистякова. Однако, решение задач оптимального управления имеет смысл лишь в случае существования множества управлений, то есть при возможности неоднозначного выбора управления, приводящего к желаемой цели. Поэтому необходимо, чтобы система обладала свойством управляемости1. Управляемость уравнения, разрешенного относительно производной
по времени исследовали в своих работах Н.Н. Красовский, R.E. Kalman, Y.C. Но, K.S. Narendra, H.O. Fattorini, R, Trig-giani, Ф.А. Шолохович, А.Б. Куржанский, Л.М. Куперман, Ю.М. Репин, С.А. Нефедов и многие другие. Управляемость уравнений Соболевского типа, ранее, по-видимому, не исследовалась.
для линейного уравнения соболевского типа
Цель работы. Пусть 2,2),Я— банаховы пространства. Рассматривается задача Коши
Здесь операторы L Є С(Х;ЇЇ}), М Є СІ(Х;ЇЇ)), В Є (il;2J), функция u(t) : [0;T] -» Я обозначает управление. Цель работы — исследовать управляемость уравнения (2), то есть возможность приведения траектории его решения в наперед заданную точку или е-окрестность заданной точки (е-управляемость) в случае, когда kerL ф {0}, а оператор М сильно (1/,р)-радиален, то есть существует сильно непрерывная разрешающая полугруппа однородного уравнения -(2).
В предположении, что пространство управлений ІІ ко-
m нечномерно, а оператор Bu(t) — ) Ь%щ[І)^ уравнение (2)
принимает вид
где функции ut(t) : [0,Т] - R обозначают управления, векторы Ьі Є 2), 1 < г < m. Еще одной целью диссертационной работы является исследование конечномерной
є-управляемости вырожденного уравнения (3) (kerL ф {0}) с (L,a)-ограниченным оператором М, Z^-резольвента которого имеет несущественную особую точку в бесконечности. Кроме того, нашей целью является исследование е-уп-равляемости уравнения
содержащего вектор-функции bt(t),c(t) : [0,Т] -> її), 1 < г < т, с сильно (Ь,р)-радиальным оператором М.
Методы исследования. В основе нашего подхода лежит метод фазового пространства. Суть метода заключается в редукции сингулярного уравнения (2) к паре эквивалентных ему уравнений
определенных, однако, не на пространстве X, а на взаимно дополнительных подпространствах, одно из которых является фазовым пространством уравнения, а другое — ядром разрешающей полугруппы. Полученные уравнения затем исследуются методами функционального анализа, теории полугрупп операторов, теории управляемости эволюционных уравнений. При изучении прикладных задач используются классические методы теории уравнений в частных производных.
Новизна полученных результатов. Основными результатами диссертации являются теоремы об управляемости и ^-управляемости дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве с вырожденным
2Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear. Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht; Boston: VSP, 2003.
оператором при производной. Полученные абстрактные результаты реализованы в конкретных начально-краевых задачах. Все результаты являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. К результатам теоретической значимости следует отнести найденные критерии е-управляемости и управляемости абстрактных уравнений соболевского типа. Полученные результаты затем используются при исследовании управляемости начально-краевых задач для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной, уравнения эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости, уравнения стратификации объемного заряда в полупроводнике и многих других неклассических уравнений и систем уравнений математической физики.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2001, 2004) XXXIX Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2001), научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Челябинск, 2001 - 2003), Международных научных конференциях "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 2002), "Ill-posed and inverse problems" (Новосибирск, 2002), "Обратные задачи: теория и приложения" (Ханты-Мансийск, 2002), "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики" (Тамбов, 2003), Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (Екатеринбург, 2003), на семинаре проф. ГА. Свиридюка в Челябинском государственном университете.
Кроме того, данное исследование поддержано грантами Минобразования РФ №А03-2.8-82, Минобразования РФ и Правительства Челябинской области № 03-01-б, стипендией Президента РФ (2003) и стипендией Законодательного Собрания Челябинской области (2003).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ, список которых приводится в конце автореферата. Результаты, опубликованные в совместных с научным руководителем работах, получены автором самостоятельно; соавтору принадлежит постановка задачи и основное направление исследования.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 110 страниц. Библиография содержит 127 наименований работ российских и зарубежных авторов.
Относительно р-радиальный оператор
По-прежнему, Э, 2) — банаховы пространства, оператор L Є (Э;2)), а оператор М Є СІ(3;2]). Сильно непрерывное отображение У:Ж+—J- JC(2J) называется сильно непрерывной полугруппой разрешающих операторов [разрешающей полугруппой) уравнения (1.2.1), если (і) У8У1 = Vs+t для любых s3te 1+; (ii) функция w(t) = Vtvo является решением уравнения (1.2.1) для любого VQ из плотного в 93 линеала. Сильно непрерывная полугруппа называется (Со]-непрерывной, если s- lim V = I. Инфинитезималъным генератором, (Со)-ыепре-рывной полугруппы операторов называется оператор определенный на тех векторах v, при которых указанный предел существует. Оператор М называется сильно (Ltp)-радиальным, если (iii) существует плотный в 3) линеал 2) такой, что domMk = domM П Xk, k = 0,1; (iii) существуют оператори MQ1 Є (ф; 3) к L 1 Є JC( )1; XІ); (iv) существует сильно непрерывная полугруппа {Xі Є С(Х) : Є Шч-} уравнения (1.2.1); (3 1) : t Є R+} является оператор х1 инфинигпезималъиым генератором С -непрерывной полугруппы {Х[ = X Через Р обозначим проектор вдоль Х на Xі. Проектор вдоль її)0 на її)1 будем обозначать через Q. Выделим пять условий. (Ф1) Существуют две сильно непрерывные экспоненциально ограниченные полугруппы {Xі Є С(Х) : і Є R+} и {Vі Є (%)) ; і Є Ш.+} операторов. Положим Р = Х, Q = У. Очевидно, что PHQ- проекторы. Введем обозначения: X? = ker P, Xі = imP, її)0 keiQ} її)1 = imQ; имеем Х = ХфХ1,її) = У(1її)1. Через [X{ Є С{Хг) : t Є М+} и {Уі Є ()1) : і Є Ж+} обозначим сужения соответствующих полугрупп на подпространства Xі и ЇЇ)1. Сужения являются (Со)-непре-рывными полугруппами, их инфинитезимальные генераторы обозначим через Si и Ті. (Ф2) Существует линейный гомеоморфизм L\ : Xі - 2)1 такой, что Li[domSi] = d.omXb LIS\ = TiL\. (ФЗ) Существует биективный оператор MQ Є СІ(Х;ЇЇ)). Отсюда следует существование оператора MQ1 Є (2); ЭС). (Ф4) Существует оператор Ь0 Є (; )) такой, что оператор Н = -M Lo нильпотентен степени не больше р Є. MQ. (Ф5) L = L0(/ - Р) + ХаР; М = М0(/ - Р) + L iP, domM = d.omMo4-dom5i Теорема 1.3.2. Оператор М сильно (Ьур)-радшлен в том и только в том случае, когда выполнены все условия (Ф1) - (Ф5). Теорема 1.3.3. Пусть оператор М сильно {Ь,р)-радиален} вектор-функция f(t) такова, что (I — Q)f(t) Є СР+1([0,Т];2)), L Qf(t) Є ([О,! !;?)).
Тогда для любого начального значения существует единственное решение х{) Є C1([0,T];3t) П С([0,Т], domM) задачи Коши (0.1) для уравнения (1.2.4), имеющее eU( Ограниченную область 1 С Жп будем называть областью класса Gk, если существуют числа а, {3 0 и конечное число локальных карт {щ : і — 1,..., m} С Ск, соответствующих локальным системам координат {ОІ; Ж, Х\-, , хъп, г = 1,-.., т} таких, что граница т области 9П = и{(жі г) : хі аі( г)) і г а} причем Замечание 1.4.1. Условия (1.4.1) формализуют расплывчатые гипотезы типа "область Q локально расположена по одну сторону своей границы". В дальнейшем предполагаем, что область Q, по меньшей мере класса С. Введем обозначение мультииндекс, а$ — неотрицательные целые числа, \а\ — а\ 4- о + ... + ап. Пространства Соболева: где ї — неотрицательное целое число, 1 р оо. Пространство W является банаховым относительно нормы Пространство PF рефлексивно при 1 р оо, что эквивалентно утверждению о слабой компактности единичного шара. При I V ограниченное множество {и Wp : Hz,p const} компактно в W . Если при р = 2 пространство И снабдить скалярным произведением где Z — неотрицательное целое число, 0 / l;aJ-j— означает равномерную норму в С1(р): Пространства Cl+Ii банаховы с нормой \\и - При I + /J, I + fi1 ограниченное множество {и Є Сг+ : 1Нг+ const} компактно в Теоремы вложения Соболева: 1. Если целое число к, 0 к I таково, что 0 - = - — — 1, то вложение Wp -» W непрерывно. Если вдобавок q g, то вложение Wj — Wh компактно. 2. Если целое число к,0 к I таково, что 0 [1 = 1 — - — fe 1, то вложение И7 "Н- C7fe+ компактно.
Критерии є-управляемости невырожденной системы
Сформулируем следующий критерий е-управляемости системы (2.1.4), который для случая гильбертовых пространств доказан в монографии [6]. Лемма 2.2.1. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда система (2.1.4) є-управляема за свободное время в том и только в том случае, когда span{imXrL{" QB Т 0} = Xі. Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу леммы 2.1.3, можно рассматривать только е-управляемость из нуля. Предположим, что множество векторов вида не является плотным в пространстве Xі. Тогда по теореме Хаиа-Банаха существует функционал / Є X \ {0} такой, что т откуда получим, используя теорему о среднем и сильную непрерывность полугруппы {Xі : t Є Ж+}, что где Є [Т,Т + S]. Переходя к пределу при 5 — 0+, имеем f(XTL 1QBu) = 0 для всех Т 0, и Є it. Устремив Г -4 0+, получим f{X(iL 1QBu) = 0. Значит, множество не плотно в пространстве Ж1. Обратно, пусть не плотно в про странстве Xі. Значит, существует функционал / Є Э \ {0} такой, что f(XT sLj1QBu) = 0 для всех Т 0, 0 з Т, и Є Н. Откуда получаем, что при Т 0 для всех Т 0, Поэтому множество векторов вида не является плотным в пространстве Xі. Лемма 2.2.2. Пусть оператор М сильно (Ь}р)-радиален. Тогда система (2.1.4) є-управляема за время Т в том и только в том случае, когда sptm{imX3L 1QB, 0 s Т} = Xі. Доказательство. Рассуждая как в предыдущей лемме, получим для фиксированного Т 0 существование функционала f Є Х \ {0} такого, что где можно взять v(s) = и(Т — s) — 0 при S Є [О, Т] \ (t0 — #і — #2, to + ч + 2), f(s) =«ІІ при 5 Є [to — 5i, to + Ji], г () Є У(Т). Значит, Переходя к пределу при 2 — 0+, получим где e ( — 5і, to + ч ) Переходя к пределу при 6i —» 0+, получим f(XtLY1QBu) = 0 для всех t0 G (0,Т), и Є U. Из непрерывности функционала и полугруппы получим f X L QBu) — f(XTL lQBu) = 0. Значит, множество не плотно в пространстве ЗЄ1. Обратное утверждение очевидно. В [94] доказано близкое к лемме 2.2.1 утверждение, которое в нашем случае можно сформулировать следующим образом Теорема 2.2.1. [94]. Пусть оператор М сильно (Ь р)-радиален, Тогда система (2.1.4) є-управляема за свободное время (за время Т) в том и только том случае, если В (Ь Q) X3 u — 0 для всех s 0 (0 5 Т) выполняется только при и = 0. Следствие 2.2.1. Пусть оператор М (Д а)-ограничен, причем бесконечность является несущественной особой точкой порядка р оператор-функции (fiL — М)"1. Тогда система (2,1.4) є-управляема за свободное время в том и только в том случае, когда она є-управляема за любое время Т 0. Доказательство. Из (L, а)-ограниченности оператора М следует существование аналитической разрешающей группы {Xі Є С(Х) : t Є 1R} (теорема 1.2.1). Используя аналитическую зависимость B (Lj1Q ) Xs ОТ S И теорему 2.2.1, получим утверждение следствия. Лемма 2.2.3. Пусть оператор М (L, а)-ограничен, причем бесконечность является несущественной особой точкой порядка р оператор-функции (цЬ — М) х. Тогда система (2.1.4) є-управляема в том и только в том случае, когда Доказательство, Допустим, что множество не плотно в пространстве Xі, Тогда найдется ненулевой функционал /ёГ такой, что при всех к Є No, и Є 11 В условиях теоремы оператор Si Є С(ХХ), значит, экспоненциаль-ная формула X\z — ) \rz имеет место. Так как Xі = Х[Р} получаем в силу непрерывности / для каждого t 0. Поэтому множество не плотно в пространстве Xі.
Обратно, пусть выполняется (2.2.3) для всех t 0. Продифференцировав (2.2.3) по і к раз и переходя к пределу при t — 0+, получим (2.2.2). Замечание 2.2.1. Аналогичный результат получен в работе [109]. Замечание 2.2.2. Можно показать, что оператор М (Ь, т)-огра-ничен, а бесконечность при этом является несущественной особой точкой порядка не выше р Є No оператор-функции (цЬ — М) 2, в том и только в том случае, когда оператор М сильно (L,p)-радиален, а оператор Mi при этом ограничен. Действительно, из (Ь,а)-ограниченности и наличия несущественной особой точки в бесконечности у оператор-функции (fiL — М)-1 по теореме 1.2.3 следуют условия (Al) - (А5), откуда сразу получаем и выполнение условий (Ф1) - (Ф5). Осталось сослаться на теорему 1.3.2. Ограниченность оператора Mi следует из (, -ограниченности оператора М по теореме 1.2.1 (ii). По теореме 1.3.2 из сильной (1/,р)-радиальности следует выполнение условий (Ф1) - (Ф5). При этом Si = L Mi и Ті = MiL 1 — непрерывные операторы, если оператор Mi непрерывен. Следовательно, полугруппы Xі = Х\Р — etSlP и У — YfQ = etTlQ продолжимы до аналитических групп. Поэтому выполняются условия (Al) - (А5), при этом степень нильпотентности оператора MQ LQ В условии (А4) не превышает р согласно условию (Ф4). Из теоремы 1.2.3 получаем требуемое.
Начально-краевая задача для алгебро-дифференциальной системы уравнений с частными производными
Рассмотрим систему уравнений (2.5.1) vu = Дг?і + аАщ, (х, t) Є fi х К.+, v& = Av2 + j3Au2, (ж, і) є 2 x M+, О = Av3 + тАы3з (жІі)еАхі+, и начально-краевую задачу для них д Здесь f С Ms —- ограниченная область с границей дО, класса Возьмем 36 = її) = (i2( ))3, domM = Я - CA(fi))3, где Л(П) = {и Wf( ) : vu + v = 0, х Є дП], Таким образом, учитывая гильбертовость пространств, можно утверждать, что в рассматриваемой задаче оператор М сильно (L, 1) радиален. По формуле Xі = s- lim [jf ( - L - М)"1 ІЛ нетрудно найти разрешающую полугруппу системы (2.5.1), (2.5.2) в явном виде Ядром разрешающей полугруппы будет подпространство 3 = кегй д)(М) = {0} х L2{U) х 2(П). Соответственно = 2), Xі = 2)1 = Ь2{П) х {0} х {0}. Поэтому L 1 - I : L2(Q) -» Z,2(fi), Решение задачи (2.5.1) (2.5.3) при условии (2.5.4) будет иметь вид Лемма 2.5Л. Система (2.5.5) є-управляема за время Т. Доказательство. Условие леммы 2.3.1 вид Очевидно, что оно выполняется. Теорема 2.5.1. Система (2.5.1), (2.5.2) є-управляема. Доказательство. По теореме 2.3.5 должно выполняться условие span{im XsLllQВ, 0 s Т} = Xі. При 5 = 0 получаем imL QB = L2(управляемой в нуль за время Т, если для любой точки XQ Є dom MQ+X1 существует управление u(t) Є VXQ(T) такое, что x(T;xo;u(t)) = 0. Определение 2.6.2. Система (2.6.2) называется управляемой из пуля за время Т} если для любой точки х Є domMo-j-X1 существует управление u(t) Є VQ(T) такое, что х(Т] 0; u(i)) — ж. Определение 2.6.3. Система (2.6.2) называется управляемой из любой точки в любую за время Т, если для любых точек XQ, Х domMo+ЗЄ1 существует управление u(t) Є VXo(T) такое, что х{Т\ XQ]u(i)) = x. Лемма 2.6.1. Пусть оператор М (L, а)-ограничен, причем бесконечность является несущественной особой точкой порядка р оператор-функции [fiL — Af)_1. Если система (2.6.2) управляема из любой точки в любую, то QB ф О и Доказательство аналогично доказательству леммы 2.1.1.» Лемма 2.6,2. Пусть оператор М (L, а)-ограничен, причем бесконечность является несущественной особой точкой порядка р оператор-функции (fiL — M) l. Тогда для системы (2.6.3) па подпространстве Xі понят,ия управляемости за время Т в нуль, из нуля и из любой точки в любую являются эквивалентными.
Доказательство. Прежде всего отметим, что доказательство подобно доказательству леммы 2.1.3. Для удобства верхний индекс "1" будем опускать. Заметим, что поскольку Q). Пусть X, SJ), It — банаховы пространства, операторы L для уравнения Соболевского типа Предположим, что оператор М (L, т)-ограничен, причем бесконечность является несущественной особой точкой порядка р оператор-функции (fJ L — M) l. Как и прежде, множество допустимых функций управления будем обозначать VXo [Т). В соответствии с теоремой 1.2.4 из вида необходимого условия (2.1.3) разрешимости задачи Коши следует, что начальное значение х$ можно брать лишь из линеала dom MQ+3 1. По теореме 1.2.1 уравнение (2.6.2) редуцируется к системе двух уравнений на пространстве ЗЄ1, на пространстве 3. Согласно теореме 1.2.4 решение задачи (2.6.1), (2.6.2) имеет вид где р — порядок полюса в бесконечности оператор-функции (JJLL—М)-1, либо ноль в случае устранимой особой точки. При этом первые два слагаемых дают решение уравнения (2.6.3), а последняя сумма — решение (2.6.4). Из вида решения следует, что его проекция на Х с необходимостью удовлетворяет условию x(t) Є dom MQ при всех t 0. Определение 2.6.1. Система (2.6.2) называется управляемой в нуль за время Т, если для любой точки XQ Є dom MQ+X1 существует управление u(t) Є VXQ(T) такое, что x(T;xo;u(t)) = 0. Определение 2.6.2. Система (2.6.2) называется управляемой из пуля за время Т} если для любой точки х Є domMo-j-X1 существует управление u(t) Є VQ(T) такое, что х(Т] 0; u(i)) — ж. Определение 2.6.3. Система (2.6.2) называется управляемой из любой точки в любую за время Т, если для любых точек XQ, Х domMo+ЗЄ1 существует управление u(t) Є VXo(T) такое, что х{Т\ XQ]u(i)) = x. Лемма 2.6.1. Пусть оператор М (L, а)-ограничен, причем бесконечность является несущественной особой точкой порядка р оператор-функции [fiL — Af)_1. Если система (2.6.2) управляема из любой точки в любую, то QB ф О и Доказательство аналогично доказательству леммы 2.1.1.» Лемма 2.6,2. Пусть оператор М (L, а)-ограничен, причем бесконечность является несущественной особой точкой порядка р оператор-функции (fiL — M) l. Тогда для системы (2.6.3) па подпространстве Xі понят,ия управляемости за время Т в нуль, из нуля и из любой точки в любую являются эквивалентными. Доказательство. Прежде всего отметим, что доказательство подобно доказательству леммы 2.1.3. Для удобства верхний индекс "1" будем опускать. Заметим, что поскольку мы будем брать хо Є Xі у то (/ — P)XQ = 0 и все функции управления будут из Vo(T). Пусть система управляема в нуль за время Т, тогда существует управление u(t) Є VQ(T) такое, что
Конечномерная управляемость уравнения Соболевского типа
Используя лемму 3.1.1 и теорему 3.2.1, можно сформулировать основной результат об е-управляемости уравнения Теорема 3.3.1. Пусть оператор М (L, а)-ограничен, а бесконечность является несущественной особой точкой порядка р оператор-функции (fj,L — М)"1. Если система (3.3.1) є-управляема, то линейная оболочка векторов плотна в пространстве Xі, а система векторов является условным базисом в пространстве Э. Замечание 3.3.1. Обратное утверждение к теореме 3.3.1 не имеет места, поскольку в данной постановке задачи одни и те же функции одновременно управляют решениями систем (3.1.2) и (3.1.3). Учитывая предыдущее замечание, имеет смысл рассмотреть уравнение с векторами bi Є 2}, 1 і гщ т, bj Є З)1, то -\-1 j т. Это позволит управлять системами (3.1.2) и (3.1.3) раздельно, Теорема 3.3.2. Пусть оператор М (L, о )-огранич характеризующие среду, параметр а Є Ж+, а параметр А может принимать и отрицательные значения, что не противоречит физическому смыслу т задачи [55], функция Yl bi(x)ui(t) определяет внешнюю нагрузку. Положим Х= {v Є Wi(n) : v(x) - 0,ж Є 6П}, її) = Ь2(П). В качестве операторов L и М возьмем А — Л и а А соответственно. Функции bi(x) б 1 2(Ф)) 1 "т В случае A . т(Д) оператор непрерывно обратим и рассматриваемый случай тривиален, поскольку уравнение приводится к виду (0.5). Поэтому в дальнейшем будем считать, что А с(Д). Пусть { /?& : к Є N} — множество собственных векторов задачи Дирихле для уравнения Лапласа, занумерованных по невозрастанию собственных значений {А& : к Є N} с учетом их кратности, а ) — скалярное произведение в 1 (0В дальнейшем, упоминая оператор Лапласа в формулировках утверждений, будем подразумевать, что он задан на множестве X. Для рассматриваемой системы имеют место равенства где І Є No, 1 і т. Системы (3.1.2) и (3.1.3) в данной ситуации сводятся к системам соответственно. Лемма 3.4.1. Система (3.4.5) управляема в том и только в том случае, когда А является собственным значением оператора Лапласа кратности не более, чем т, и не сугцествует собственной функции (fk, соответствующей собственному значению Aft = А, ортогональной всем функциям Ь{, 1 і т, в смысле 1 ( ) Доказательство. В [60] показано, что при любых А б 1, а Є
Кооператор М (L, т)-ограничен, причем бесконечность ен, а бесконечность является несущественной особой точкой порядка р оператор-функции (/iL — М) г. Система (3.3.2) є-управляема в том и т,олъко в том случае, когда линейная оболочка векторов в пространстве Xі, а система векторов условным базисом в пространстве Х. При т = 1 система (3.3.1) принимает вид Обозначим 6 = (J - Q)b, bl = Qb. Следствие 3.3.1. Пусть оператор M (L, а)-ограничен, а бесконечность является несущественной особой точкой порядка р оператор-функции {рьЬ — М) 1. Если при некотором q? 0 q р, система векторов образует базис в пространстве X, то система (3.3.3) е-управля-ема. Пусть О, С Rn — ограниченная область с границей дО, класса С. В цилиндре Q х Ж рассмотрим задачу Коши - Дирихле для уравнения Варенблатта - Желтова - Кочиыой [7] моделирующего фильтрацию жидкости в трещинновато-пористой среде. Здесь а и А — вещественные параметры, характеризующие среду, параметр а Є Ж+, а параметр А может принимать и отрицательные значения, что не противоречит физическому смыслу т задачи [55], функция Yl bi(x)ui(t) определяет внешнюю нагрузку. Положим Х= {v Є Wi(n) : v(x) - 0,ж Є 6П}, її) = Ь2(П). В качестве операторов L и М возьмем А — Л и а А соответственно. Функции bi(x) б 1 2(Ф)) 1 "т В случае A . т(Д) оператор непрерывно обратим и рассматриваемый случай тривиален, поскольку уравнение приводится к виду (0.5). Поэтому в дальнейшем будем считать, что А с(Д). Пусть { /?& : к Є N} — множество собственных векторов задачи Дирихле для уравнения Лапласа, занумерованных по невозрастанию собственных значений {А& : к Є N} с учетом их кратности, а ) — скалярное произведение в 1 (0В дальнейшем, упоминая оператор Лапласа в формулировках утверждений, будем подразумевать, что он задан на множестве X. Для рассматриваемой системы имеют место равенства где І Є No, 1 і т. Системы (3.1.2) и (3.1.3) в данной ситуации сводятся к системам соответственно. Лемма 3.4.1. Система (3.4.5) управляема в том и только в том случае, когда А является собственным значением оператора Лапласа кратности не более, чем т, и не сугцествует собственной функции (fk, соответствующей собственному значению Aft = А, ортогональной всем функциям Ь{, 1 і т, в смысле 1 ( ) Доказательство. В [60] показано, что при любых А б 1, а Є Кооператор М (L, т)-ограничен, причем бесконечность — устранимая особая точка оператор-функции (fiL — М) г. По теореме 3.2.1 dim3 га. Поэтому кратность собственного значения А не должная превышать т. В случае существования собственной функции, соответствующей собственному значению Aft = А, ортогональной всем biy система векторов {M bi, 1 г т} не будет условным базисом в пространстве Ж0. Собственные функции оператора Лапласа, образующие базис в Xі, переобозначим как {фо, ф\, фъ, }, соответствующие им А& также
