Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. [математическая теория управления в последние десятилетия разгивается оч.,-нь интенсивно. ІІеноторио «'е разделы, например, теория уі;рашіения динамическими системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными урашения-ми, включая системы с запаздыванием, представляют собой достаточно полно развиту» область исследования. Вопроси управляемости здесь занимают видное место.
Вопросы, связанные с упраьляемостьп систем с распределенными параметрами, находятся в стадии разработки. Уравнениями в частных производных гиперболического типа описываются управляемые процессы в механике, технике, физике, химико--технологические процессы. Поэтому исследование управляемости для подобных систем является весьма актуальной и важное для практики задачей. С другой стороны, она достаточно трудна и представляет несомненный интерес с математической точки зрения. Изучаемая задача связана с такими областями математики, как теория краевых задач, теория функции, спектральная теория дифференциальных операторов, и ставит в них ряд новых проблем. В работе, в основном, рассматривается случай граничного управления, занимающий видное место в теории управления счетемами с распределенными параметрам!!, поскольку во многих случаях влиять на течение процесса возможно лишь с границы области.
Вопросы управляемости систем, огисываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, широко обсуждаются на страницах советских и зарубежных журналов, на конференциях по теории управления.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ - исследование управляемости систем, списываемых уравнениями гиперболического типа с переменными коэффициентами б многомерных пространственных областях, включая системы с запаздыванием и построение упраачениЯ в виде линейной обратно? связи.
МЕТОДИ ПССЛКя,ОЕАІІКЯ. Задачи управляемости, рассматриваемые в работе, изучаются методом, основанным на свойстве двой-
ственности между управляемостью и наОлэдаемостьы и шлучении априорных оценок для даоиственіюи начально-краевой задачи. Н случая системы с запаздыванием в исследование привлекается метод моментов. Используется также теория дифференциальных уравнении с запаздыванием, теория краевых задач математической физики, методы (функционального анализа и теории функций.
НАУЧНАЯ ПОНИЗИЛ. Для систем, описываемых многомерными уравнениями гиперболического типа с переменными коэффициентами, в случав смешанных граничных условий впервые проведено исследование проблем управляемости. Осуществлен синтез управлениями в виде линейной обратной спяз* для задач успокоения двух гиперболических систем за наименьшее время. Для гиперболических систем о запаздыванием доказана относительная { в случав граничного управления) и полная (в случае распределенного украплення) управляемость. Как необходимый и важный этап при исследовании управляемости доказано существование, единственность и определенная гладкость решения неоднородных начально-краевых задач для систем гиперболического типа.
ТйОРЙТИЧЕСКАЙ И ПРАКТЖ50Ш ЦЙНЮСТЪ. Основные идеи диссертации могут, быть иопользованы для исследования управляемых систем, описываемых уравнениями гиперболического типа. Результаты носит теоретический характер и могут применятся. при решении конкретных прикладных задач, например, при изучении процессов, происходящих в плазме, химическом производстве, и других волновых процессов различной природы.
АПРОЕЩВД РАГО1Ы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на городском семинаре по дифференциальным урав нениям и математической физике ( Ленинград, 1990 ) , на "Гер-ценовских чтениях" (Ленинград, 1990) , на Всесоюзной конференции по моделированию, идентификаций и синтезу систем управления (Алушта, ІУ90) .
СТРУКТУРА И (ШЬЁМ. Диссертация состоит из введения, диух глав ( нумерация параграфов сквозная) и списка литературы, вкчаточего 85 наименований. Работа щажена на 86 страницах.
КРАТКОЕ едКРїїАИИЕ РЛЮШ
Во введении дается обзор работ по теме диссертации, ио-агается программа исследования и особенности ее реализации.
Первая глава циссертации посвящена исследования упрашія-мости систем, описиваемьтс уравнениями гиперСоли^еского типа переменными коэффициентами в многомерной пространственной сласти. Управляющее воздействие входит в смешанные гренич-ые условия: на одной части границы поставлено услсиие Дирмх-е, на другой - Нейі/ьна.
Решение задачи управляемости начинается с важного avaria проверки ее корректности, которая заключается в доказательнее теорем существования и единственности решения состиетст-іувдей начально-краевой зада"и в определенном функциональном [ространстве. Полученные при этом результаты регулярности івляотся томными, т. а. нзулучшаемыми в данном классе іространств.
В I приводится постановка задачи управления и изучается вопрос о существовании и единственности решения неоднородной начально-крвРЕОЙ задачи.
Рассматривается системп, описываемая линейным гиперболи-тескин уравнением
pMLJu (*> *) + tyfa 0 = (і)
в области Q.'-=-fl*(Ot Т) , 0<Т<'^ , где -О- - огра-іичєнная область в " с достаточно гладкой границей / =
Коэффициенты й/jtug принадлежат пространству i-***) и удовлетворяют условию симметричности &і/ ~&/і и эллилтишости:
пг.
некоторого положительного числа Ж . Функция плотности
р/л)ес'(л) такая, wo o
Начальные условия для (I) заданы следующим образом
у/х, 0)=у. Ух), yjx, OJ^lj <(х) в Л (2)
1}Ух)е LfJl), fl*)* (//*))'. (3)
а (п-п(Л)) - двойственное к нему пространство относителы Граничные условия имеют вид
( p/s, t) = Ф,0 на 2Г„ =Т. *(о,Т).
\
1>)'
Щ&= и/*, О "« Zt ' « Л' */0, Т).
(4)
Здесь Щ^ = ± ау/,)Є^,*)Щ. , » -ед,
t,j-i J
ничньй вектор внешней нормали к / .
Функции 1Г и и. - управляющие воздействия, причем
velJ(^o), ut U'; где V-H'/0.r;6*/rt)). (б)
Сначала исследуется возрос о существовании и единственности решения рспрмогательногр, дифференциального уравнения ( однородными rpaHtraqaui условиями:
( fVit t-#y= F в, в.,
) ffx,o)=y>Yx)r ft/x,0) = fY*J в J2, ,R)
Здесь
ifMeU'rJM), ffoeW-n), Р/х,фіУ0,Т;іУЛ))Х1)
Получены следушие результаты.
ТЕОРЕМА I. Если выполнены условия (7), то нвчально-кра-вая задача (6) имеет единственное решение, удовлетворяющее еловиям
ft С ({С, Т] ; HrJSl)) , fie С (СО, 77; L г(л)).
ТЕОРЕМА Z1 о следах). Пусть '/> - решение задачи (б),
де .функции г , у, у' удовлетворяют условиям (7).Тогда праведливы включения
Ц/jl Y27-) , у/^ * Н 'fO, Г; L >(Г,)).
Наряду о уравнением (I) рассматривается уравнение с №-іднородной правой частью
'ДЄ
MH+Jyf (8)
І'(О.Г;1'(Л)). (9)
ТЮРИНА 3. Пусть данные задачи (8),(2),(4) удовлетворяют гсловиям (3),(5),(9). Тогда существует единственное решение той начально-краевой задачи - функция и такая, что
уе CfCo.TJi 1*(л)), yt C(Co.TJi (H'n(л))').
Доказательство теоремы I основывается на результатах лонографии '&. -Л.Лнонса и Э, Мадяенеса. Заключение теоремы :ледуєт из полученное в доказательстве оценки
где Y ~ решение системы (6), С _ положительное "ИСЛО. Вглвод.. теоремы 3 получен из теорем I и 2 с использованием метода транспозиции.
2 посвяиен исследован;т управляемости системы (1)-(5) Получены условия наблюдаемости системы (6).
Введем обозначения:
Xc.l.
ТЕОРЕМА 4 ( наблюдаемость). Пусть у - решение системі (6) при а,-О и F-O , начальные данные удовлетворяют включениям (7). Если d= і" р— :5~ ^^ то справед-
ливо неравенство
^ г:
'(Т-ТтУ=»ааІО,(Т-Т.)}\ T0 = j , С
положительное число.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Система называется Е-управляемой ( точне управляемой) относительно пространства VJ за время Т , если множество достижимости R(T) содержит W .
ТЕОРЕМА 5 ( Точная управляемость). Пусть у - решение системы (1),(2),(4) и выполнены условия теоремы 4 и T^ll .
Тогда для лчбых пар функций {у, *} , jjf^, Ц*г} т пространства L (-&)ф(Мг. (-^-)) существуют управления &~е L (21», и ice If' такие, что решение системы (1),(2),(4) удовлет-
- 8 - '
воряет
условию !/(', T)=fr . \Уі('.Т)~УЇ , г. е.
система точно упрааіяема относительно пространства
іУл)<(ЯЇ/л))' .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Система называется В-упраЕЛяемой относительно пространства W за время 7' , если множество достижимости R(T) совпадает с bV .
ТЕОРЕМА б ( В-упрявляемосгь). Если выполнены условия теоремы 5, то система (1),(2),(4) В-управляема относительно
пространства L {-&J (Н^ (Jt)) за время Т .
5 3 посвящен построения управления в виде линейной обратной связи. Рассматриваются две управляемые гиперболические системы.
Первая описывается уравнением
j>(*)y4ifx.h)-#**(*,*), о<х<*,0<б<СГ ш) с граничными условиями
Начальные условия имеют вид (2), причем
у'М с L s(o, б) и у'М є И- "fa г).
Основным используемым методом является метод характерис
тик. Показыьвется, что искомое предстаиїзние управления име
ет вид .
(uji)\ /Є„ LVy*m)\ f/c„(*) сфЛЬ^А
Здесь числа Ьи и функции су/л) зависят от параметров /> и системы (1С) и вычисляются с помощью функции т^ * Эта функция есть решение сопряженной задачи, а именно, она удовлетворяет уравнению (10) я граничным условием, заданным огоииальним образом.
Рассмотрена также гиперболическая система, описываемая уравнением первого порядка.
\ir/ \і ОI *lv/ І а„ агг/\іт,
в границе
области %)-jlfj)/0<^
Начальные данные имеют вид
где Uj,vdeL*/о,і).
'Аналогично предыдущей задаче построено явное выражение
j* *
для управлений у~ и' /* *
(Ш\ и o\iu(o,t)\ f/«(p Up\№it)\ \Ш lo -і)\и(е,і)І Jlb/j?) U$)hv(fW
где функции л-л- (|) определяются через решение сопряженной задачи.
Вторая глава посвящена исследованию управляемости систеї описываемых уравнениями гиперболического типа с запаздьіваниеі в многомерных пространственных областях,
Рассматривается система, описываемая уравнением
}^H(^thJly(.T^i[f(^j^-T)^^-r)]-Of (П) 2J2.., te(C,T).
Здесь функция р(0 и дифференциальное выражение та-
кие квф как в главе І, є-[ї , Т>0 - запаздывание.
Граничные условия имеют вид
І у- V на ^1<-П*ҐО,Т), (12)
где функция V - управляющее, воздействие из пространства
L (2-.±) . Отметим, что в » 5-6 изучается случай управления типа Дирихле с части границы 2Г^ . Причем Гі ={ л * Г/ [Сг.-аи) VWj ^ Гдй се0 _ произвольная точка в ^ Начальные условия задвются следующим образом
fyu(*>-*-r)+fyfx>*-r)-$fc*) для хеЛ, 0't
0*)єІг(л),у4(х)єЯ~Т-*)г 2eL*(ji»(-T,6)). (и)
ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Начально-краевая задача (ІІ)-(ІЗ) имеет единственное решение такое, что
уе б(Ю,П; ЩЛ))., tjt 6>С(ГО, TJ; H'YAf).
Доказательство предложения проводится методом шагов с использованием результатов о гладкости решения, полученньрс в первой главе диссертации.
В пятом параграфе изучается управляемость-гиперболической системы, описываемой неоднородной задачей Дирихле.
у = О на 2~ о,
= V на
- II -
ТЕОРЕМА 7 ( наблюдаемость). Пусть функция У - решение системы (6) при г-О t а,-О t /I"/ , Если коаффици-енты системы таковы, «тто d:~ / - S&- - J~- >0 і то спра-ведливо неравенство
ТЕОРЕМА 8 ( «очная управляемость). Если Т>Т0 , то для любых пар {'$'>%*} и ІУт>Чт) из пространства
L (&)& " НЯ/ существует управление Vе 1> (^*) такое, что решение системы удовлетворяет условиям у(-, Т) ~ ут ,
ift('.,T)~ У* . Иными словами, система точно управляема относительно пространства L (-R-J И (Л) За время /
Доказательство теорем 7, 8 проводится теми же методами, что и доказательство теорем 4 и 5 главы І. В теореме 8 дается алгоритм вычисления управления V .
ТЕОРЕМА 9. Если выполнены условия теоремы 8, то система (15) В-упраьляема относительно пространства (MJ&H (-Ц/ за время і .
Теоремы 7-9 справедливы для времен, больших То . Причем время То - ^^/d является "минимальным". Так для случая
Р(я) ~Ч и Л - -А мы получаем минимальное время управляемости ( наблюдаемости) системы: 71= 2R . Если область
J2. является шаром радиуса R. , то Та есть удвоенное время заполнения облести волнами, распространяющимися с границы и не может быть уменьшено.
В 6 доказывается относительная управляемость системы с запаздыванием. Здесь мы используем метод моментов.
Сначала система (11)-(13) сводится к системе обыкковен-ных дифференциальных уравнений.
Обозначим через Л*, и Уі{х) , fief/ , соответственно
собственные гначенда и собстььнние функции краевой задачи.
Пусть Сп U) , d„ , с\ и д.п (*) - коэффициенты -Ьурье в
разложении функция у/*, t) , у, у* и /-, *9 соответственно, по системе / , и ( А/ . Из системы fII)-(I3) путем несложных преобразований получаем систеїлуобнкно пенных дифференциальных уравнение нейтрального типа.
сл ш+ м СпМ+ б[см-т)+ллсла-т)]- км,
а (о)-a', rifo-cH', (J7)
fnfi)
г,
- функция Хевисайда. Далее, наряду с этой системой рассматривается соответствующая система без запаздывания
(їв)
CJ0J=C: , CjO)=cSt
кЮ-Мо-Щ*.
Получены формулы для определения коэффициентов С (-і) и . Используя эти формулы, стандартным обркзом получаем соответствующие проблемы моментов.
Для системы без запаздывания имеем
где ък выра*ается через начальные денные задачи, функци ir(s,i) -управление, e*(D=exf>(iUrK'i) % W*~ l07
a - 12Им(*>, /jif
Введем семейство функций <~ ( 9у с*1*/[.
Разрешимость проблемы моментов (19) эквивалентна управ
ляемости системы без запаздывания (18) и, следовательно, с»
темы (15). В пятом параграфе показано, что система (15) B-yi
равляема за время Т> 71 ( теорема 9). Используя stot
факт и результаты работ С.А.Авдонина и С.А.Иванова, заключш
что проблема моментов (19) разрешима и семейство функций &
образует базис Рисса в замыкании своей линейной оболочки в
пространстве Lz(Zl). .
Для системы с запаздыванием получаем следующую проблема моментов
^-(»СЛ). -УҐ-1<Щ-ҐҐ, ,
(20)
где <^* выражается через начальные данные, I'Y-t.f) - ^ ,
ыъ= e^zf-ife'^ba-rx) при ^+о ,
}*(+)- (-*/0(*-Г*) при Ч-О ,
Введем семейство функций /ZT"=/—TV $a^)j '
1ЙЛ1А. Семейство функций / J*/ изоморфно семейству }к] в пространстве L (0,Т) И| следовательно, семейство -г, изоморфно семейству G> в пространстве I-
Эта лемма позволяет исследовать разрешимость проблемы оментоп (10) и, следовательно, ответить на вопрос об управ-яемости системы (ІІ)-(ІЗ).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Система СII)—(13) называется относительно правляедай за время Т , если для любых начальных данных
13) найдется такое управление V , что У('>'и=^0 .ih^>
ТЕОРЕМА 10. Если выполнены условия теоремы 8, то система 11)-( 13) относительно управляема за время Т> Та , где Л-предел єно в (16).
ЗАМЕЧАНИЕ 3. Из теоремы 9 следует, что система из счет-ого числа обыкновенных дифференциальных уравнений (18) В-уп-авляема за время Т? Та . Из теоремы 10 следует, что счет-ая систем. (17) обыкновенных дифференциальных уравнений ней-рапьного типа относительно управляема за время Т*> Та .
В седьмом параграфе доказывается полная управляемость истемы гиперболического типа с запаздыванием под воэдейст-ием распределенного управления. Рассматривается уравнение X еоднородной правой частью
'j>fr)yu (т,і) +Ау&Л)+і[рЬ)уи№-т)*Ц(з,4-т)]~іф, t\ -(21)
условием на границе
її? = - (22)
.ачальные условия имеют вид (13) и удовлетворяют включениям
Функция - управляющее воз-
.ействие.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Система (21),(13),(22) называется вполне
тіравляемой, если для любых начальных данных ^, , Ч , j?
іайдутся Т>0 и управление ъгеL*(0,T+T;Lz(Jl)) такое,
что y(:l)~&('A)-0 при 4*[T,T+r] . іісли число можно выбрать независимо от начальных данных задачи, то система называется вполне управляемой за время / .
Доказана ТЕОРЕМА II. Система (21),(13) ,(2г) віюлне управляема за люОое время / > и .
В заключении диссертации сформулированы основные результаты: Т) для многомерных гиперболических систем со смешанными граничными условиями доказаны теоремы о существовании и единственности решения, теорема о следах, сформулированы уело вил наблюдаемости, точной и В-уцравляемоотн многомерных гипер болических систем с переменными коэффициентами за минимальное премя; 2) дла многомерных гиперболических систем с запаздывай ем сформулированы условия относительной управляемости, дока<-зана полная уіфавляемость гиперболической системы нейтральное типа под воздействием распределенного управления;^) для зада полного успокоения, для двух гиперболических систем, подучено конструктивное представление граничного управления в виде линейной обратной связи.
