Содержание к диссертации
Введение
1 Симметрии и точные решения уравнений политропного газа 15
1.1 Предварительные сведения. Программа ПОДМОДЕЛИ . 16
1.2 Оптимальная система подалгебр QLQ 24
1.3 Инвариантные решения ранга нуль 29
1.4 Физическая интерпретация нестационарных подмоделей . 31
2 Подмодели уравнений изобарических движений газа 38
2.1 Постановка задачи 39
2.2 Внутренние автоморфизмы 41
2.3 Оптимальная система одномерных подалгебр Q^gh 44
2.4 Оптимальная система одномерных подалгебр О1 L20 . 46
2.5 Оптимальная система двумерных подалгебр 02дЦ . 49
2.6 Подмодели ранга 3 57
3 Проективная подмодель вихря Овсянникова 62
3.1 Уравнения вихря Овсянникова G4
3.2 Групповая классификация уравнений ВО 65
3.3 Проективная подмодель 70
3.4 Свойства решений ключевого уравнения 72
3.5 Движение газа 81
3.6 Ударная волна 88
Заключение 93
Приложение 95
- Оптимальная система подалгебр QLQ
- Внутренние автоморфизмы
- Оптимальная система двумерных подалгебр 02дЦ
- Групповая классификация уравнений ВО
Введение к работе
Многим математическим моделям присущи свойства симметрии, определяемые фактом независимости заложенных в модель законов природы от систем отсчета. Эти свойства симметрии выражаются в инвариантности дифференциальных уравнений модели относительно некоторых преобразований пространства основных величин, образующих группу Ли. Исследования свойств дифференциальных уравнений на основе теоретико-группового подхода, начатые Софусом Ли в XIX веке, были положены в основу группового анализа дифференциальных уравнений [1]— эффективного математического аппарата для изучения широких классов точных решений уравнений механики и физики [2, 3].
Выдвинутая академиком Л.В. Овсянниковым научно-исследовательская программа ПОДМОДЕЛИ [4] содержит концепцию систематического исследования моделей механики сплошных сред методами группового анализа [1]. В этой программе поставлена задача об исчерпании всех возможностей точного упрощения моделей за счёт наиболее полного использования заложенных в них свойств симметрии. Такое упрощение достигается переходом к подмоделям, описывающим классы точных решений, приводящим к понижению размерности задач и делающим более доступным их анализ. Реализация программы ПОДМОДЕЛИ подразумевает не только получение точных решений, но также их «одевание» — физическую интерпретацию полученных решений, выявление их осо- бепностей, построение разрывных решений, постановка и решение новых конкретных задач. Для уравнений газовой динамики (УГД) программа ПОДМОДЕЛИ успешно реализуется в лаборатории дифференциальных уравнений Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН.
Подмодель выделяется из уравнений модели добавлением к ним дополнительных соотношений на инварианты подгруппы. Факторсистсма подмодели получается редукцией уравнений модели для инвариантных величин подгруппы, в результате понижается размерность уравнений и упрощается их интегрирование. Выделяется несколько типов подмоделей. В гтвариантиой подмодели (ИП) все искомые функции выражаются через инварианты, и факторсистема связывает инвариантные переменные, инвариантные функции и их производные. Число инвариантных функций в ИП совпадает с числом функций в исходной системе, а число переменных (ранг ИП) уменьшается. Частично инвариантные подмодели (ЧИП) являются обобщением ИП. В случае ЧИП не хватает инвариантов для выражения через них всех искомых функций. Потому часть искомых функций (называемых "лишними" функциями) нужно положить зависящими от всех переменных. Число лишних функций называется дефектом "ЧИП. Факторсистема ЧИП распадается на инвариантную и переопределенную системы на лишние функции. Последняя требует приведения в инволюцию и вместе с условиями совместности образует пассивную подсистему. Соответственно типу подмодели, сё решения называются инвариантными или частично инвариантными решениями.
Прп решении многих задач газовой динамики большую роль играют точные решения [5, 6]. Классическими примерами могут служить волны Рішана в одномерных движениях газа или двумерные течения Прандтля-Майера. Автомодельное решение было использовано Л.И. Седовым [7] для решения задачи о точечном взрыве в газе. Большой набор точных решений можно найти в монографии [8]. Обширный класс решений, так называемые кратные волны, исследован в [9] на основе метода дифференциальных связей. Отмстим, что большинство полученных в этих работах решений имеют групповую природу [1]. Групповые методы широко применяются и при исследовании других моделей механики сплошных сред. Так, для различных задач гидродинамики исследование точных решений проведено в монографии [10]. В работе [11[ теоретико-групповой подход применен для построения точных решений уравнений упругости и пластичности.
Реализация программы ПОДМОДЕЛИ позволяет существенно пополнить банк данных точных решений снмметрийпой природы, являющихся основой решения многочисленных газодинамических задач. Приведем, не претендуя на полноту, некоторые результаты, полученные в рамках программы ПОДМОДЕЛИ для газовой динамики. Групповая классификация УГД относительно функции уравнения состояния проведена в [1], [4], Перечень регулярных ЧИП для УГД в случае общего уравнения состояния представлен в [12]; их описанию посвящены работы [12], [13], [14]. В работе [15] описаны нерегулярные частично инвариантные нестационарные подмодели УГД ранга 2 дефекта 1, построенные по трехмерным подалгебрам, не содержащим оператора вращения, а также изучена редукция этих подмоделей к инвариантным.
Общие решения, специальные условия на начальные данные, характеристики, симметрии изобарической и барохронпой подмоделей изучены в работах [16], [17], [18], [19]. Инвариантные подмодели ранга 0 для трехмерных движений политроппого газа рассмотрены в [20]. Проведена групповая классификация уравнений двумерных движений газа [21] и уравнений движения газа в постоянном поле сил [22]. Работы [23], [24], [25], J26J посвящены исследованию винтовых и вращательных движений в газовой динамике.
В работе [27] исследована частично инвариантная подмодель ранга 2 дефекта 1, порожденная группой вращения. Эта подмодель получила название особый вихрь, поскольку описываемые сю движения газа обобщают сферически-симметричные движения в том смысле, что термодинамические параметры, радиальная и модуль касательной компоненты вектора скорости сферически-симметричны, а лишней функцией зависящей от всех переменных является угол, образованный проекцией вектора скорости па сферу с её меридианами. В 2004 году на проходившей в Новосибирске Всеросийскои" конференции «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» приуроченной к 85-лстню академика Л.В. Овсянникова члсп-коррсспондснт С. И. Похо-жаев предложил назвать этот класс решений вихрем Овсянникова (ВО). Стационарная и однородная подмодели вихря Овсянникова изучена в работах [28, 29, 30].
Важным этапом реализации программы ПОДМОДЕЛИ является классификация неподобных подмоделей, которые не переводятся друг в друга заменой переменных. Каждая подгруппа допускаемой группы может служить потенциальным источником инвариантных или частично-инвариантных подмоделей. Если две подгруппы сопряжены внутренним автоморфизмом допускаемой группы, то соответствующие подмодели подобны: они совпадают с точностью до преобразования переменных, индуцированных этим автоморфизмом. Классификация неподобных подмоделей сводится к алгебраической задаче построения оптимальной системы подалгебр допускаемой алгебры, т.е. построения полного списка нссопря-жепных подалгебр.
Индуктивный алгоритм [31] подъема от низших размерностей подал- гебр к высшим, использующий композиционный ряд идеалов алгебры Ли, эффективно применяется для построения оптимальных систем подалгебр алгебр Ли, допускаемых уравнениями газовой динамики. При увеличении размерности алгебры число представителей оптимальной системы подалгебр, а значит и неподобных подмоделей, сильно возрастает. Так, для 11-мерной и 13-мерпой алгебр Ли, допускаемых УГД для произвольного уравнения состояния и в случае политропиого газа соответственно, оптимальные системы подалгебр содержат 223 и 1342 представителя [5], [32). Для исключительного показателя адиабаты 7 — 5/3 оптимальная система подалгебр насчитывает 1827 представителей [33]. Построение иерархии подмоделей [34], использование теорем о редукции [1, 35], для понижении дефекта ЧИП и леммы ЛОТ (Ли-Оисянппкова-Талышсва) [34] для сведения двухступенчатых подмоделей к одноступенчатым позволяет существенно уменьшить число подмоделей подлежащих исследованию.
Краткий обзор содержания работы. Первая глава диссертации посвящена построению полного списка существенно различных инвариантных и частично инвариантных решений уравнений двумерных изэн-тронических движений политропиого газа с показателем адиабаты 7 — 2, определяемого оптимальной системой подалгебр GLq допускаемой в дан-пом случае 9-мсрпой алгебры Ли Lq, и изучению инвариантных решений ранга 0. Исследования предваряются описанием концепции программы ПОДМОДЕЛИ а также необходимыми сведениями из группового анализа дифференциальных уравнений.
Вычислена таблица коммутаторов алгебры Lq и присоединенная группа IntLg. На алгебре 1 также действует инволюция єь переводящая друг в друга проективный оператор и оператор переноса по времени.
Впервые инволюция Єї была указана в работе [33], где она использовалась для уменьшения числа представителей оптимальной системы подалгебр 14-мсрной алгебры Ли [33]. В работе [36] инволюция єі применялась при классификации и изучении подмоделей с проективной симметрией непзэнтроппческих движений политроппого газа. В данной работе доказывается утверждение, что инволюция Єї содержится в группе внутренних автоморфизмов алгебры Ли Lq.
Оптимальная система подалгебр 0Lg строится согласно двухэтаппо-му алгоритму [31], Выбрано разложение алгебры Lq в полупрямую сумму 6-мерного радикала и 3-мерного фактора Леви N, изоморфного простой алгебре 8І2- На первом этапе строится оптимальная система 6JV, п на втором она «достраивается» до 0Lg.
Построенная оптимальная система подалгебр &L$ приведена к нормализованному виду: вместе с каждой подалгеброй К OLg в оптимальной системе содержится и се нормализатор Nor/C Є GLg. Свойство нормализованное может быть использовано при построении иерархии подмоделей [34[. Для каждой подалгебры оптимальной системы вычислен набор её точечных инвариантов, необходимый для построения подмоделей. Полученная нормализованная оптимальная система подалгебр QLq приведена в приложении. В ней содержится 179 представителей, каждый из которых является подалгеброй или серией подалгебр.
Трехмерные подалгебры 0Lg порождают инвариантные подмодели ранга 0. Факторсистемы этих подмоделей являются алгебраическими соотношениями на инвариантные константы, поэтому решения подмоделей ранга 0 были названы «простыми» [20]. Из 49 серий трехмерных подалгебр Аь только 11 порождают нетривиальные подмодели. Для этих подмоделей получены решения, найдены траектории частиц, дано описание движения газа. На некоторых решениях проинтегрированы уравпе- пня звуковых характеристик и построены характеристические коноиды. Среди исследованных подмоделей выделим следующие.
Решение, описывающее разлет частиц газа от центра по спиральным траекториям. Характеристический коноид, построенный на этом решении, имеет точки самопересечения. Физически этот факт трактуется следующим образом: звуковые возмущения, локализованные в начальный момент времени в вершине коноида, распространяясь по разным направлениям, в некоторый момент времени сходятся в одну точку.
Барохроипыс подмодели, описывающие движение частиц газа по прямым с постоянной скоростью: а) сдвиговое движение газа с коллапсом плотности на одномерном многообразии в конечный момент времени; Ь) разлет частиц газа по плоскости от центра. На полученных решениях проинтегрированы уравнения звуковых характеристик.
Решение, описывающее растекание газового пятна по плоскости: частицы газа двигаются от центра с закруткой на конечный угол.
Во второй главе диссертационной работы проведена классификация подмоделей больших рангов модели изобарических движений газа и построены инвариантные подмодели ранга 3. Уравнения, описывающие изобарические движения газа, допускают 20-мериую алгебру Ли L20 [Щі порождаемую инфинптезимальными операторами Xij - xldXJ + игдиі, Gi = tdxi + 5U., Pi = xldt - иги}ди3, R=tdt- и%*} To - dt, Ті = 0,,, ij = 1, 2, 3.
Алгебра L20 имеет композиционный ряд идеалов: 0 С нЦ С gU С Ьго, где sLj — алгебра вещественных матриц четвертого порядка с нулевым следом и gl.i — полная линейная вещественная алгебра Ли над четырехмерным пространством. Сложность построения 0L2O состоит в том, что 15-мерная алгебра эЦ, образующая фактор Леви алгебры L20, является простои и, значит, ис разложима в прямое произведение подалгебр. Для построения оптимальной системи подалгебр малой размерности алгебры gl-i привлекаются элементы теории представлений групп [37] и алгоритм [31].
Внутренние автоморфизмы алгебры L2q определяются 20-мернымп неразрежеиными матрицами. Для упрощения описания действия внутренних автоморсризмов па L20 используется матричное представление алгебры ^20. Введем базис, состоящий из таких 5x5 матриц е^-, что все элементы каждой матрицы щ нулевые, за исключением элемента стоящего на месте (г, У), равного единице (здесь /-номер строки, j/'-номср столбца). Отображение Xij —* бу, Pi —* ей, Gj —* C4j, R — ем,Ті —+ c5j, T0 —* C5.1, ij = 1,2,3 (2) определяет изоморфизм алгебры L20 в аффинную алгебру аЩ, образо-ваниую 5x5 матрицами
Yeg\byeR\ (3)
Действие группы внутренних автоморфизмов Int afF.i на алгебре аії^ описывается через 5-мсрные матрицы. Построение оптимальной системы одномерных подалгебр 0^Ц эквивалентно классис})икации жордапо-вых форм четырехмерных вещественных матриц с точностью до постоянного множителя. Оптимальная система одномерных подалгебр Э^Ц содержит 13 представителей Ь\^} і = 1,..., 13. Достраивание 01gl,i до оптимальной системы одномерных подалгебр 0^ производится согласно алгоритму [31]. Оптимальная система одномерных подалгебр 61 содержит 27 представителей, включая 13 представителей оптимальной системы подалгебр &1 gU.
При построении оптимальной системы 0gU двумерных абелсвых подалгебр {Y,Z}, где Ц Є gii, можно считать, что Y є O'gU, т.е. У = Yi, і Є {1,...,13}. Построение оптимальных систем двумерных подалгебр алгебры gU сведено к построению оптимальных системы одномерных подалгебр &lLy. алгебры Ли Ly. = {Z Є дЦ : [Yi,Z] = 0}. Размерность алгебры Lyt меньше gl.i п построение lLy. осуществляется применением двухэташюго алгоритма [31] для разложения алгебры Lyi в полупрямую сумму фактора Леви и радикала. Оптимальная система двумерных абелсвых подалгебр 02l7gLj содержит 50 представителей.
Одномерные и двумерные подалгебры ві^о определяют подмодели ранга 3 п ранга 2 соответственно. Построены подмодели ранга 3, порождаемые одномерными подалгебрами 0^Ц , которые содержат новые для газовой динамики операторы Xjj,Pj.
В третьей главе диссертации исследуются групповые свойства и решения уравнения вихря Овсянникова.
Проведена групповая классификация инвариантной подсистемы уравнений ВО относительно произвольного элемента — уравнения состояния газа: вычислены преобразования эквивалентности, ядро основных алгебр Ли, перечислены все случаи расширения допускаемых алгебр Ли. Результат групповой классификации инвариантной подсистемы (3.2) уравнений ВО относительно уравнения состояния газа аналогичен результату групповой классификации УГД, описанному в [1, 4]. Максимальное расширение ядра основных алгебр Ли до 5-мерной подалгебры происходит в случае политропного газа со специальным показателем адиабаты 7 = 5/3.
На основе проведенной групповой классификации возможно более полное исследование уравнений ВО с использованием свойств симметрии, заложенных в этих уравнениях. В работе исследуется инвариантная подмодель ранга 1 уравнений вихря Овсянникова, выделяемая спммет- рпйиым оператором, прсдставимым в із и де суммы оператора переноса по времени и проективного оператора. Газ предполагается полптроппым с уравнением состояния р = /* Представление решении записывается через инвариантную переменную А, функции от неё и переменную t g = *w+A*i/u_mtP fix) s=SWiXsa г v^TT ' y/W+V1 (i2 + i)3/2' к h s/W+l' (4) Функции U, Н, R, S задают инвариантные компоненты соответствующих физических величин. Инвариантная подсистема уравнения ВО, после подстановки в нее представлення решения (4), интегрируется и сводится к неявному относительно производной обыкновенному дифференциальному уравнению F(ti, Л, А) = ЗСо/і*'3 4- B{\)ti\h2 + 1)V3 + (tf + і)7/за2/А4 ^ 0( (5) называемого в дальнейшем ключевым уравнением (КУ). Изучены свойства решений КУ. Через каждую точку области П, ограниченной замкнутої"! дискрнмипантиой кривой 0Q, проходят четыре интегральные кривые КУ В пространстве 1-струй решения К У лежат на четырех листах, составляющих две замкнутые непересекающиеся поверхности Е+ , Е~.
Доказано, что на каждой из поверхностей Е4" ,Е~ существует ровно две неправильные особые точки типа «сложенный» фокус. Интегральные кривые «обматывают» каждую поверхность но направлению от одной неправильной особой точки it другой — «разматываясь» вокруг одной точки, а затем «наматываясь» на другую.
Интегральная кривая {h = h{X)} С О. с областью определения [Ai, А2] задает движение объема газа между нестационарными сферическим источником S\(t) п стоком 5г(і) Si{i) : г = Лі\Л2 + 1, S2(t) : г = Л2\Л2 + 1, с расходом Q(t) — 47гЯоац/(2 + 1). На рассматриваемом решении поверхности Si(t), S2(t) являются звуковыми характеристиками УГД. На них ускорение частиц газа бесконечно, а вектор скорости и плотность конечны.
Выделены различные режимы движении газа в проективном ВО. Указаны условия, когда движение частиц газа не ограничено по времени.
Поверхность Е+, па которой лежат интегральные кривые ключевого уравнения (3.24), образована верхним п нижним листом Ej" и Е|. Доказано, что в проективном ВО возможно сопряжение через ударную волну двух решений {її — h\(\)} С Ef, {h — ^г(А)} С Е^~, соответствующих двум уравнениям (3.24) со специально подобранными параметрами.
Основные положения диссертации, выносимые па защиту:
1 Построен полный список существенно различных инвариантных и частично инвариантных решений уравнений двумерных изэнтропичс-ских движений политропного газа с показателем адиабаты 7 = 2, определяемый оптимальной системой подалгебр QLq 9-мерной алгебры Ли Lg. Найдены все инвариантные решения ранга 0, дано их физическое описание.
2 Получена оптимальная система подалгебр 20-мерной алгебры Ли L2q, определяющая классификацию подмоделей больших рангов модели изобарических движений газа. Построены подмодели ранга 3, порожденные неклассичсскими для газовой динамики инфинитезимальными операторами.
3 Проведена групповая классификация инвариантной подсистемы уравнений вихря Овсянникова относительно функции уравнения состояния. Исследованы дифференциальные уравнения, описывающие проективный вихрь Овсянникова и дана физическая интерпретация соответ- етвующпх движений газа.
Результаты диссертации докладывались па научных семинарах Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН под руководством академика Л. В. Овсянникова, чл.корр. РАН В. В. Пухначёва и семинарах Института математики им, С. Л. Соболева СО РАН под руководством чл.корр. РАН И. А. Тайманова, профессоров B.C. Белоносова и М.В. Фокина, а также на следующих научных конференциях но механике п дифференциальным уравнениям: XXXI Региональной молодежной школе-конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2000),
Международной конференции «Симметрия и дифференциальные уравнения» (Красноярск, 2000),
Молодёжной школе-конференції и «Лобачевские чтения» (Казань, 2001),
Международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 2001),
Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003),
Всероссийской конференции «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск,2004),
Всероссийской конференции «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГОП)» (Абрау-Дюрсо, 2004).
По теме диссертации опубликованы работы [38]-[41|.
Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору А.П. Чупахнну за постановку задач и цепные замечания по работе, академику Л.В. Овсянникову за постановку задачи, исслсдованпоі) її первой глаио диссертационной работы, а также к.ф.-м.н. СВ. Головину за обсуждение полученных результатов.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 02-01-00550, 05-01-00080) п Совета поддержки ведущих научных школ (проект № НШ-440.2003.1).
Оптимальная система подалгебр QLQ
С целью классификации существенно различных инвариантно-групповых решении уравнении политропного газа с показателем адиабаты у = 2 применяется алгоритм [31] для построении оптимальной системы подалгебр алгебры Ли Lf). Доказывается утверждение об инволюции, переводящей проективный оператор в оператор переноса по времени.
В соответствии с [5, уравнения двумерных изэптроппческнх движении политропного газа с показателем адиабаты 7 — 2 записываются в виде Du + 2cVc - 0, 2Dc + cdivu = 0, (1.4} где D = , + u-V, V — (0Х, 0,j), и — (u,v) - вектор скорости, с - скорость звука. Искомые функции с, и, v зависят от времени t и пространственных координат х, у. Отметим, что при замене h = у/с уравнения (1.4) совпадают с моделью движения топкого слоя высоты h потепіпіальпоіі жидкости в поле силы тяжести над ровным дном (модель мелкой воды). Известно [3, что система уравнении (1.4) допускает девятпмерпую алгебру Ли LQ, порождаемую базисом операторов Хх = дх, Х2 = ду, ХА = Шх + ди, Х5 = tOtJ + д„, AV, - хду - удх + udv - vOa, Xw = 9f, Xu = хдх + уду + cdt: + иди + vdv, (1-5) Xu = t2dt + txdz + іуду - tcdc + (x - tu)du + (y - tv)dV} Xw = 2tdt + xdx 4- уду — сдс — иди — vdv.
В (1.5) п])пмсиястся нумерация операторов Х{, использованная в работах [32, 33] со следующим отличием: операторы растяжения A fi = tdt -f хдх + уду, X = tdt — cOc — udu — vdv заменены их комбинациями А п — (Xfj +ХуЛ)/2, Ххъ — {—Х\х+Ху )І2. Такое изменение в обозначениях сделано для удобства построения оптимальной системы подалгебр, поскольку операторы Хщ, Х\2, Х\з образуют фактор Лови алгебры Ь$.
Согласно двухэташюму алгоритму построения оптимальных систем подалгебр [31J, на первом этапе ст])Оится нормализованная оптимальная система подалгебр QN = {N]t\p Є Р} простой алгебры Лп N. Она состоит из шести представителей Nx = {0}, N2 = {Xw}, N3 = {X13}, N4 = {X10 + X12}, iV5 = {X]0,X12}, NG = N Операто])Ы X[Q и X\2 переводятся Д] уг и друга инволюцией є\. При построении оптимальной системы QN из соображений упрощения фактор-систем соответствующих подмоделей предпочтение отдавалось представителям, содержащим оператор Хю, а не Х\2- В оптимальную систему вошла комбинация операторов Хщ + Хи, которая является устойчивой относительно Єї. Па втором этапе строятся оптимальные системы 0s (J + Nv), р Є {1,..., G}, образующие оптимальную систему GLj . Некоторые подалгебры оптимальной системы 0Lg объединены в серии подалгебр с параметрами а, Ь. Для каждой подалгебры оптимальной системы вычислен набор её точечных инвариантов, необходимый для построения подмоделей. В приложении приведена нормализованная оптимальная система Lg, оснащенная набором точечных инвариантов подалгебр. Она содержит представителей, каждый из которых является потенциальным источником точных решений уравнений (1.4).
Изучаются инвариантные решения ранга 0 (так называемые [20] «простые» решения ) уравнений иолитрошюго газа. Для уравнений (1.4) источником простых решении служат трехмерные подалгебры оптимальной системы 0Lg, для которых выполняется условие существовании инвариантных решений (1.3), где г — 3. В представлении решения этих подмоделей искомые функции с, и, и выражаются через инвариантные константы С, (У, V параметры а, Ь серии подалгебр и переменные і, :с, у. Соответствующая факторсистсма состоит из алгебраических соотношений связывающих константы С, U, V и параметры а,Ь.
Из 49 трехмерных представителей оптимальной системы 0Lr только 29 удовлетворяют условию существования инвариантных решений ранга нуль. Из них всего 11 подмоделей удовлетворяют следующим условиям: их факторепетемы совместны, решения имеют физический смысл (с 0) и не сводятся к одномерным движениям газа. В таблице 1.3 для каждой из этих подмоделей указаны формулы решения c u v в декартовых координатах или c,uc,vc в цилиндрических координатах.
Отмстим, что решения для всех подмоделей, кроме П(3,44), имеют линейное поле скоростей. Подмодели П(3,15), П(3,44) описывают ста ционарное сдвиговое движение газа вдоль осп Оу. Подмодели П(3,22), П(3,48) описывают стационарное враіцатсльнос движение частиц газа по окружностям г = го с угловой скоростью со = Гд-1, случай 6 = 1 соответствует твердотельному вращению газа.
Внутренние автоморфизмы
Вводится матричное представление алгебры Ли L20 и описывается действие па нём внутренних автоморфизмов присоединенной группы Intl o-Введем базис, состоящий из таких 5x5 матриц е -, что все элементы каждой матрицы сц нулевые, за исключением элемента стоящего па месте (г, j), равного единице (здесь г -номер строки, j-помер столбца). Утверждение 2. Отображение Xij — Су, Pi е,-4, Gj — e.\j} Я -+ ей, Т{ — Є5і, TQ — си, г, j = 1,2, З (2,1) определяет изоморфизм алгебры L2o б аффинную алгебру і\[Ц, образо-ванную 5x5 матрицами Y едЦ,уеШ\ (2.5) йде f?/,( — полная линейная вещественная алгебра Ли над пространством К 1. Доказательство. Изоморфизм проверяется непосредственным вычислением п сравнением таблиц коммутаторов алгебр L20 и aff.j. Коммутаторы afF,j задаются соотношениями [CJJ,CM] = &jk.c-n — uCkji 1Л: = 1,...,5, і,г = і 4. В дальнейшем матричная алгебра (2.5) также будет обозначаться / о-Соответственно подалгебры алгебры L20 могут задаваться в базисе операторов (2.3) или в матричном базисе сц.
Согласно следствию 2, построение оптимальной системы одномерных подалгебр О1 дЦ эквивалентно перечислению неподобных вещественных 4x4 матриц. Эта задача сводится к классификации с точностью до постоянного множителя жордаиовых форм матриц У Є дЦ. Каждой такой жордаповоіі (Ьормс соответствует представитель оптимальной системы одномерных подалгебр Qgli. Классификация жордаиовых форм проводится по размерностям жордаиовых клеток. Сперва классифицируются матрицы, имеющие только одномерные жордановы клетки. Затем рассматриваются матрицы с одной двумерной и двумя одномерными жор-даповыми клетками, и так далее. При исследовании подмоделей важно, чтобы их уравнении (фактор-системы) имели наиболее простой вид. Например, если подалгебра содержит проективные оператор Pi, то соответствующая факторенстсма сильно усложняется. Поэтому желательно в качестве представителей @lgl.\ выбирать (по возможности) подалгебры, не содержащие операторов Pj, Xjj где: j Ф х. С этой целью при классификации жордаповых форм матриц используется следующие предпочтения: 1) выбирается такое расположенно жордаповых клеток, чтобы в правом нижнем углу матрицы находилась клетка наибольшей размерности; 2) используется пижпетреуголь-ная форма записи жордаповых клеток.
Для построения Q1L2Q применяется второіі этап алгоритма построения оптимальных систем подалгебр [31. Б силу следствия 1, стабилизатором Зі(Лі,а) матрицы Yf Є 01у1.у в L2Q является автоморфизм (2.9), задаваемый парой (ЛІ, а), ще ЛІ Є GL\ есть решение матричного уравнения AjYi — УІЛІ и вектор а Є R1 - произвольный. Построение оптимальной системы одномерных подалгебр в .(К; ф J) сводится к разбиению па классы эквивалентности множества векторов у — { Уі,У2,Уз,Уі) Є J относительно действия стабилизатора Si{Ai,a). Объединение представителей оптимальной системы подалгебр 0 .( + ), і — 1,---, 13 даст
Стабилизатор 5; состоит из двух частей: S[(a) = Si(E,a) и S"(A}) — 5,-(/1,,0), где Е — единичная матрица, Сначала используется стабилизатор 5г (а) с таким вектором а, чтобы сделать нулевыми максимально возможное число координат вектора у = у — пУ;.. Действием на // стабилизатором S"{Ai) при соответствующем выборе А{ возможно дополнительное упрощение векто])а, у" = у1 А{.
Построение оптимальной системы двумерных подалгебр алгебры Ли gl.j сведено к построению при помощи алгоритма [31] оптимальной системы одномерных подалгебр алгебр Ли Lyi (і 1,..., 13) размерностей меньших, чем размерность алгебры gl . Приводится оптимальная система двумерных абелеаых подалгебр 02flgl,i и описывается алгоритм построения оптимальной системы двумерных нсабелсвых подалгебр 02"gl.i алгебры Ли gLi.
Неабелеізьі подалгебры. Базис: двумерной подалгебры алгебры gl\ задастся двумя матрицами из дЦ. Для псабслевоП подалгебры {Y,Z} всегда можно выбрать такой базис, У, Z gU, что [Y,Z] = Y. За счёт использования автоморфизмов (2.10) можно считать, что Y є 1gh т.е. Y = Yi. для некоторого г Є {1,..., 13}.
Стабилизатором Si(Aj) матрицы Yi и дії является автоморфизм (2.10) с матрицей АІ GL,\, удовлетворяющей AjYi = У,: Л;. Преобразования Si(Ai) переводят подалгебру {Yi,Z} в {Yi,A lZAi}. Также для упрощения Z можно использовать сохраняющее коммутатор [Yi,Z] = Y прс-образоваппе базиса {Yi, Z] — {Yi, Z + aYi]. Поэтому построение &2ngh сводится к разбиению для каждого У,;, і Є {1,...,13} па классы эквивалентности множества {Z Є дЦ : [УІ,/?] = Yi] относительно дсііствия преобразований Z- Z = S}{A,){Z + aYi) = A lZAt + aYt. (2.12)
Если Z n At имеют одинаковый блочпо-диагональпый вид, то упрощение Z преобразованиями (2.12) не вызывает трудностеіі. Однако, если А\ имеют более сложную структуру, то выражение Ajl ZAi+aY станові п ся весьма громоздким и упрощение Z затруднительно. О этих случаях привлекаются дополнительные соображения.
Соотношение [Y/, Z] — У; можно рассмотреть как систему линейных уравнений относительно элементов матрицы Z. Если система совместна, то ее общее решение Z = 7J + Z, где Z — общее решение однородной системы [Yi, Z] — 0 и Z — мастное решение системы уравнений [YJ, Z] = Yj. Преобразованиями (2.12) частное решение Z переводится в частное решение Z того же уравнения [V Z ] — Yf. Поэтому достаточно выбрать частное решение, имеющее наиболее простой вид. Остается решить задачу о разбиении множества {Z : [Yi,Z] = 0} па классы эквивалентности относительно действия преобразований Z- A ZAi + aYi. (2.13)
Для матрицы Y{, і Є {1,..., 13} введем множество матриц Lyt = {Z Є gl\ : [К;, Z] = 0}, коммутирующих с Yi и Gyt = {Аг Є GL4 : Л{УЬ — YjA;}. Лемма 2. Lyi является алгеброй Ли группы Ли Gy.. Преобразования Sj{Ai) : Ly. — Lyt, АІ Є Gy., образуют присоединенную группу lntLy. алгебры Ли Lyr Доказательство. Поскольку Ly. образует векторное пространство и замкнуто относительно операции коммутирования (в силу тождества Якобп для любых Z\,Zi Є Ly. выполняется [Y , [ 1,-]] = 0, откуда \Z\,Z?\ Є Ьу{), то Lyt — алгебра Ли. Также легко проверяется, что Gyt — группа Ли. Поскольку касательное пространство к Gyt в единице Е совпадает с Lyv то Ly. является алгеброй Ли группы Gy..
Оптимальная система двумерных подалгебр 02дЦ
Оптимальная система двумерных исабелсвых подалгебр Q2ngL\ состоит из представителей {Yj, Z + Z}, г = 1, ..., 13, где Z Є SlLyi, матрица Z является частным решением матричного уравнения [Yi,Z] — Yi, коэффициент разложения Z по базисному элементу Y-, равен нулю. Алгебры Ly{ имеют меньшую размерность, чем дЦ. Для построения оптимальной системы подалгебр lLy. можно выбрать разложение Маль-цева-Лсви алгебры Ly. и использовать алгоритм предложенный в [31]. А б ел ев ы подалгебры. Аналогично случаю исабелсвых подалгебр, действием автоморфизмов (2.10) и преобразований (2.13) можно любую двумерную абелеву подалгебру привести к виду {Yi,Z}, Z Є &lLy.. Пусть R = {{Yi,Z} : Z Є QlLyt,i — 1,...,13), тогда оптимальная система двумерных абелсвых подалгебр содержится в R, т.е. 2ад1\ С Я. Для неабелсвых подалгебр {У, 2} выбор базиса, в котором [У, Z] = Y сужает произвол в дальнейшем преобразовании базиса. Для абелевых подалгебр {У, Z} таких ограничений ист. Возможно любое невырожденное преобразование базиса {Y,Z} —+ {XnY + A Z, Л21У + X22Z}, и в частности {У, Z] — {Z, У}. Поэтому в Q2agl\ будет меньше представителей, чем элементов в R. Для построения B2agh необходимо исключить из R сопряженные подалгебры. Множество R\ = {{Yi,Z} : Z Є lLyl, причем коэффициент разложения Z но базисному элементу Y\ равен нулю} не содержит сопряженных подалгебр. Пусть для некоторой подалгебры {Y2,Z}, Z б О1 Ly2 матрица uY2 + fiZ при некоторых а,ц подобна Y\. Тогда используя преобразование базиса {Y2,Z} —» { TY2 + LiZ, Z) и автоморфизмы (2.10) можно показать, что {Y2,Z} сопряжена некоторой подалгебре из Я]. Следовательно, подалгебру {Y2,Z} необходимо исключить из Я. Пусть Ri = {(Vf, ) ; Z &[Ьуг, причем коэффициент разложения Z по базисному элементу Yi равен нулю, и У&,ц матрица aY\ + ftZ не подобна Yj;, к Є {1,..., і — 1}}, і — 2,..., 13. Тогда множество J.=1 Ri состоит из подалгебр {YijZ} Є Я, пе являющихся сопряженными, и образует Є2адЦ.
Замечание 1. Оптимальная система подалгебр Q2"gU будет содержать в несколько раз больше представителей, чем Q2"gl\. Оптимальная система двумерных подалгебр 0 2дЦ получается объединением представителей 2n )U и 2aoh По способу построения 0!Л); матрицы У{ (соответствующие представителям L\j) разбиты на три группы:
1. Матрицы Yh Y2 при {а - I)2 4- (ft - I)2 0, У3, У5 при a + 1, Y7, Y8, Y), Y\Q, Yu, Y\2 при (ft - a)2 + (c — 1)2 0, Yi3 — имеют довольно простої! вид (преимущественно блочно-дпагопальпый). Для таких матриц, обозначаемых Yj, построение оптимальной системы одномерных подалгебр б іу,. проводится непосредственно упрощенном множества матриц Z Є Ly путём использования преобразовании Z — A lZA, А Є Gyr Таким образом получены 31 двумерных представителя 02" //.j.
2. Матрицы У2 "Р" о, = Ь 1, К , Уь при а — 1, Ус (обозначим их Yj:) характеризуются тем, они имеют вещественные собственные числа кратности 4 и по меньшей мерс одну двумерную жорданову клетку. Преобразования Z — A lZA, А Є Gyk, Z Є Lyu, слишком громоздки для упрощения Z и поэтому для построения QlLyk применяется алгоритм построения оптимальных систем подалгебр [31]. Таким способом образовано 19 двумерных представителей Q2agl\.
3. Матрица У\ч при Ь = а, с = 1 имеет два комплексно-со и ряженных собственных значения кратности 2. Построение Q[Lyl2 сводится к построению оптимальної! системы одномерных подалгебр Glgl(2,C), полной комплексной алгебры Ли gl(2,C) над двумерным пространством. OlLyl2 состоит из двух представителей. Оказывается, что соответствующие двумерные подалгебры сопряжены с найденными ранее подалгебрами из пунктов 1 п 2.
Используя алгоритм построения оптимальных систем подалгебр 31 и элементы теории представления групп [37] построена оптимальная система подалгсб]) малых размерностей алгебры Ли L20, необходимая для классификации и построения инвариантных подмоделей больших рангов модели изобарических движений газа. Построение оптимальной системы двумерных подалгебр алгебры дЦ С 2 2о сведено к вычислению оптимальных систем одномерных подалгебр алгебр Ли, размерность которых меньше, чем размерность алгебры gl.\. Описан алгоритм построения оптимальной системы двумерных неабслевых подалгебр алгебры gl.\. Оптимальные системы одномерных подалгебр алгебры L2Q и двумерных абелсвых подалгебр алгебры gl,\ С L20 содержат 27 и 50 представителей. Построены 9 инвариантных подмоделей ранга 3, индуцированных одномерными подалгебрами, содержащими пеклассические для газовой динамики операторы.
Групповая классификация уравнений ВО
Решается задача о проведении групповой классификации инвариантной подсистемы (3.2), (3.3) уравнений ВО. G5 В предположении OS/dp ф 0, как и при групповой классификации уравнении газовой динамики [1], удобно переписать уравнения (3.2), (3.3) в эквивалентной форме, заменив уравнение для энтропии D$S = 0 ЇЇ силу равенства DQP = JPDQP + fs&i)S и последнего уравнения (3.3) на уравнение DoP=A(p,p)( -(Ur+ 2 -)), где А(р, р) — рс2(р,р), с? — Of/др. Тогда с функциями Я0 = Hr, h = tgr п к = г/Н — г2/И() инвариантная подсистема (3.2), (3.3) уравнении ВО перепишется в виде Vt + VUr + p-lVr = r- Hl pt 4- Up,- + p(Ur + 2U/r) = т 2рЩ tgr, Vt + Upr + Л(р,p)(Ur + 2(]lr) - r 2A(p, p)H() tgT (3.8) Tt+UTr = r-2H0, (Ho)t + U(II0)r = 0. Для системы дифференциальных уравнений (3.8) решается задача групповой классификации относительно «произвольного элемента» — функции Л(р,р). Допускаемые операторы ищутся в следующем виде X = $ + дг + if 0й + rfdp + rf dp + jfdT + і)ІГд1Ів. (3.9) В операторе (3.9) координаты f, г являются функциями переменных /., г ЇЇ силу свойства х-автономности системы (3.8), которое легко проверяется при помощи критерия [53], а координаты г)и, if, if, f/r, /Яи являются функциями всех величин t,r,D,p,p,r,Ho.
Допускаемая алгебра Ли операторов получается применением известного алгоритма jl], согласно которому сперва необходимо получить систему определяющих уравнений посредством продолжения оператора X па производные, действием продолженного оператора па уравнения (3.8) и переходе в полученных соотношениях на многообразие, заданное уравнениями (3.8). Решение этой системы с учетом независимости координат оператора (3.9) от параметрических производных является векторным пространством, образующим допускаемую алгебру Ли операторов.
На основе проведенной rj)ynnoHoii классификации возможно более полное исследование уравнений ВО с использовал пом свойств симметрии, заложенных в этих уравнениях. 3.3 Проективная подмодель Рассматривается подмодель ВО, выделяемая симметрийпым оператором, представиыым в виде суммы проективного оператора и оператора переноса по времени. Получен интеграл Берпулли, записанный в терминах инвариантных величин. Интегрирование факторспстсмы подмодели сведено к решению ключевого уравнения, которое является дифференциальным уравнением первого порядка ис разрешенное относительно производной. Для уравнений ВО случаю специализации функции Л(р, р) = (5/3)/;, как и для уравнении газовой динамики 4, 5], соответствует полптроппып газ с уравнением состояния Р = 5//,/3, (3.17) где S — энтропия, и допускаемое уравнениями ядро основных алгебр Lu расширяется тремя операторами: проективным оператором V и двумя операторами растяжений И ,! .
Как было отмечена в первой главе данной работы, действием инволюции \ проективный оператор V переводится в оператор переноса по времени Of. Комбинация операторов dt+V является устойчивой относительно действия инволюции Е\. Таким образом новые подмодели с проективной симметрии появляются в случае, когда они строятся по подалгебре, содержащей комбинацию операторов dt Л-V.
Рассматривается инвариантная подмодель ранга одни радиальной подсистемы (3.2), (3.3) уравнений ВО, порождённая симметрийпым оператором dt + V-, которая будет в дальнейшем назваться проективной подмоделью вихря Овсянникова или проективный вихрь Овсянникова. Ин-фншггсзішальпьШ оператор dt + V имеет следующие инварианты Vtz 4- 1 vt + 1 и представление решения проективной подмодели ВО имеет вид U(X) + U Н(\) __ Л(А) Р(А) д/ї +7 /РТЇ (t2 + l)3/2 (і2 -Ь 1)5/2 (3.18) Здесь скорость звука с2 — dp/Op = Ър/(3р) и энтропии S определены уравнением состояния (3.17). Инвариантная подсистема проективного вихря Овсянникова получается подставкой (3.18) в уравнения (3.2), (3.3): {(U2) + = - А, (А//) = 0, 5 = 0; (3.19) -Uh = h2 + 1, h = A(tf(i„Л) + (A2c7) ). (3.20) Уравнения (3.19),(3.20) также могут быть получены как инвариантная подсистема частично инвариантного решения УГД ранга один дефекта один, построенного по алгебре симметрии L = {so(3), dt +V} из оптимальної! системы подалгебр [33], где А О(3) —трехмерная алгебра Ли группы вращений 50(3). Таким образом для дифференциальных уравнений рассматриваемой подмодели справедливо обобщение леммы Лп-Овеяпни-кова-Талышсва [34] на случай частично-инвариантных решений.
Приводится ряд определении теории неявных дифференциальных уравнений. Різу чается поведение интегральных кривых КУ на многообразии Е, образованным КУ в продолженном пространстве R(k yh}\). Проводится классификация неправильных особых точек КУ.
Точка криминапты называется неправильной особой точкой, если касательная плоскость к поверхности F = 0 в этой точке совпадает с контактной плоскостью dh = pd\, где р — значение производной dli/dX 13 рассматриваемой точке. Множество неправильных особых точек уравнения F(h , /і, А) — 0 удовлетворяет системе OF DF F = 0,ж-0, Ъ + Л Ж = 0. (3.25) Все остальные точки ДК называются правильными особыми точкам,и. Неправильные особые точки могут быть следующих типов: слоэюсииос седло, фокус или узел. Они получаются из обычных седла, фокуса или узла при помощи операции складывания [54].
Поскольку q\(h, А), (/а(/А, А) конечны п])Н (/i, A) Q п являются корнями многочлена, они непрерывны по h, А. Решая уравнения (3.34), (3,35) с начальными условиями /ij(Ao) = /to, получим два монотонно возрастающих h — /ii(A), h /іг(А) и два монотонно убывающих h — /13(A), /1 = /14(A) решения КУ (3.24). Так как qi(h, A), q-i{h, А) в рассматриваемой области не обращаются в бесконечность, то интегральные кривые /ц(А) не имеют вертикальных асимптот. Таким образом, свойство 3 доказано. D
