Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор методов исследования дифференциальных уравнений газовой динамики 9
1.1. Некоторые сведения из теории группового анализа дифференциальных уравнений 9
1.2. Вихрь Овсянникова как частично инвариантное решение дифференциальных уравнений газовой динамики 10
1.3. Неявные дифференциальные уравнения 12
Глава 2. Стационарный вихрь Овсянникова в поле массивного при тягивающего центра 21
2.1. Описание модели и вывод уравнений для инвариантной подсистемы 21
2.2. Свойства решения инвариантной подсистемы 24
2.3. Асимптотика решения подсистемы 34
2.4. Интерпретация решения 46
Глава 3. Стационарный вихрь Овсянникова с самогравитацией ... 48
3.1. Вывод уравнений модели 48
3.2. Свойства решения инвариантной подсистемы 52
3.3. Приведение инвариантной подсистемы к уравнению третьего порядка 54
3.4. Результаты численных расчетов 55
3.5. Частные случаи движения самогравитирующего политропного газа 57
Глава 4. Точное решение дифференциальных уравнений газовой динамики в поле постоянной гравитационной силы 63
4.1. Вывод уравнений подмодели 63
4.2. Свойства решения дифференциального уравнения инвариантной подсистемы 66
4.3. Поведение интегральных кривых ключевого уравнения
4.4. Характеристики и звуковая линия 76
4.5. Течения со стационарной ударной волной 80
4.6. Анализ ударной адиабаты 81
4.7. Описание течения при ударном переходе 88
Заключение 91
Перечень условных обозначений 93
Список литературы
- Вихрь Овсянникова как частично инвариантное решение дифференциальных уравнений газовой динамики
- Свойства решения инвариантной подсистемы
- Приведение инвариантной подсистемы к уравнению третьего порядка
- Поведение интегральных кривых ключевого уравнения
Вихрь Овсянникова как частично инвариантное решение дифференциальных уравнений газовой динамики
Согласно правилу Декарта (следствие из теоремы Бюдана-Фурье)[37], количество положительных корней многочлена f{x) = CLQX4 + a\Xn l + ... + ап не превосходит числа перемен знаков в последовательности ао,а\, ...,ап. Поэтому, в каждой из перечисленных областей, ключевое уравнение имеет не более двух положительных корней. Для того, чтобы сосчитать число отрицательных корней необходимо сделать замену а — и , однако этот случай всегда приводит к таким сигнатурам, что число отрицательных корней также никогда не превышает двух, тем самым ключевое уравнение имеет не более четырех вещественных корней в области существования решения, следовательно, для него существует не более четырех ПК, проходящих через одну точку, что и требовалось доказать.
2) Пусть 7 = 2т + 1. Ход рассуждений остается тем же: коэффициенты при степенях (т имеют вид: а0 = l,ai = —poQ{l + /i2)m, 22 = (1 + h2)m+2- При любых знаках а и т, сигнатура уравнения будет (+-+). А значит число всех вещественных корней вновь не превысит четырех.
3) Если 7 = 2т/(2п + 1), то заменой al 2n+l — q уравнение (4.12) сводится к уравнению, полученному в первом пункте доказательства, для которого требуемое утверждение уже доказано.
4) Если 7 = (2т + 1)/2п, то, делая замену а1 2п - дв уравнении (2.9), приходим к уравнению, полученному в первом пункте доказательства. Стоит отметить, что хотя при такой замене извлекается корень четной степени, на числе корней это никоим образом не отражается ввиду того, что в первом случае уже допускается знаконеопределенность функции О". 5) В случае, когда 7 = (2т + 1)/(2п + 1) заменой al 2n+l — q, условие данного пнукта сводится к условию пункта 2, а для него требуемое утверждение уже доказано. Таким образом, показано, что для всех возможных рациональных показателей 7 размер пучка интегральных кривых ключевого уравнения (2.9) не превышает четырех и тем самым лемма доказана.
Далее будем полагать, что показатель адиабаты 7 = 3. Это условие не умаляет общности рассмотрения ввиду леммы 2.1. 8 этом случае уравнение (2.9) становится биквадратным относительно/ід и при нимает вид: F{hR) h, R) = hR - PlQ{l + h2)h2R + Ц(1 + h2f = 0. (2.13) Поверхность уравнения (2.13) покзана на рисунках 7 и 8. Уравнение (2.13) может быть явно разрешено относительно /ід:
2)Каждая точка дискриминантной кривой, не являющаяся нерегулярной особой точкой, является точкой ветвления или точкой остановки для интегральных кривых уравнения (2.13). В этих точках интегральные кривые имеют общую касательную, не параллельную ocuOh. В точках ветвления и остановки вторая производная HRR функции h обращается в бесконечность. 3) В области Q (2.13) справедливы следующие ограничения:
Заметим, что в данном случае выражение, задающее дискриминантную кривую совпадает с выражением дискриминантна (2.13) как биквадратного уравнения. Тем самым первая часть утверждения доказана. Пункт 2, касающийся точек ветвления и остановки на ДК является следствием свойств ИК и теоремы Чибра-рио (см. введение).
Для доказательства пункта 3 необходимо заметить, что (2.13) разрешимо тогда и только тогда, когда функция Q 0. Отсюда вытекают ограничения на R. В случае о" = — 1 границы допустимых значений для R являются вещественными только когда параметр /ІО находится в определенном интервале.
Свойство 2.3. Интегральные кривые ключевого уравнения (2.13) в каждой внутренней точке области Q образуют пучок из четырех кривых, расположенных попарно относительно прямой h = ho. Верхней паре кривых соответствуют монотонно растущие решения уравнения (2.13), нижней - монотонно убывающее (рисунок 9).
Свойства решения инвариантной подсистемы
В диссертационной работе будут рассматриваться только ограниченные решения, т.е. такие, в которых функции U(r), (г), р(т), h(r) являются ограниченными в области своего определения.
Свойство 3.1. Решение определено в областиг г 0. Доказательство. Предположим противное. Тогда из интеграла Бернулли следует, что при г — 0 имеем оо, что противоречит условию. Свойство 3.1 повторяет аналогичное свойство СВО без самогравитации [22] отвечающее, как и в классической газовой динамике, тому, что источник газа имеет конечный размер [2]. Таким образом, задача о СВО с самогравитацией формулируется следующим образом:
С поверхности сферы или с ее части (например, сферического пояса), истекает газ таким образом, что имеет место закрутка: Н = \иТ\ = ao/r = 0, причем распределение вектора ит задается решением системы (3.3).
Свойство 3.2. Закрутка максимальна вблизи источника и уменьшается с ростом г. Доказательство. Следует непосредственно из (3.9).
Свойство 3.3. В стационарном Особом вихре с само гравитацией существует не более двух режимов течения.
Доказательство. Схема доказательтсва свойства 3.3 такая же, как и в [25]. Подставим в интеграл Бернулли представление (3.10) для U и (3.14) для с2. Получим уравнение, связывающее /г, h , , которое мы будем использовать в двух удобных для нас формах. Первая из них имеет вид: Обозначим h = q и рассмотрим случай рационального показателя адиабаты 7 = т/п; т,п-натуральные числа, причем т п (j 1). Обозначим z = ql n, тогда (3.1) переписывается в виде алгебраического уравнения относительное:
Согласно правилу Декарта число положительных корней многочлена либо совпадает с числом перемен знаков его коэффициентов, либо на четное число меньше [37]. Согласно (3.18),(3.19) число перемен знаков в коэффициентах (3.17) определяется сигнатурой (+, sgn(A), +) и равно либо нулю, либо двум. При А 0 уравнение (3.17) не имеет корней, при А 0 число таких корней не больше двух. Из интеграла Бернулли (3.11) следует, что А 0, поэтому корней не более двух. Свойство 3.3 является аналогом свойства классического источника, определяющего как дозвуковое, так и сверхзвуковое течение газа. 3.3. Приведение инвариантной подсистемы к уравнению третьего порядка
Систему уравнений (3.13)-(3.15) можно свести к одному обыкновенному дифференциальному уравнению третьего порядка для функции h. Действительно, выразим вначале из уравнения (3.1) гравитационный потенциал Ф через функции
Подставим (3.20) в левую часть (3.15), а представление (3.14) для с в правую. Получим искомое уравнение 3-го порядка. Ввиду его громоздкости получение аналитических результатов о свойствах его решения затруднительно. Дальнейший анализ решений этого уравенния выполняется преимущественно численно. Для расчетов выбирается значение 7 = 5/3, что отвечает одноатомному газу [2]. В этом случае уравнение третьего порядка имеет вид: где Y = 1 + h2. В численных расчетах решения h = h{r) уравнения (3.21) необходимо задавать данные Коши: ho = h(Ro),h0 = h (Ro),h0 = h (Ro) - значения функции h и производных при г = Ro. По формулам (3.10), (3.14) вычисляются Uo = U(Ro),po = p(Ro),Co = C(RQ) -значения физических величин на поверхности сферы-источника г = RQ. Значение потенциала Фо = Ф(-йо) вычисляется по формуле (3.20). Производная Ф вычисляется из (3.20) дифференцированием. Для задания Ф0 = Ф (Ro) нужно задавать h0 = h (RQ). 3.4. Результаты численных расчетов
Численно исследованы свойства двух различных режимов течения газа, отвечающих СВО с самогравитацией, существование которых было доказано в свойстве 3.3.
Утверждение 2. Существует режим движения газа, соответствующий решению (3.21), определенному на конечном интервале по г Є [Ro,Ri). При г — R\ плотность газа неограниченно возрастает. Это отвечает образованию на некотором удалении от источника сферы повышенной плотности г = R на которой происходит "конденсация "газа. При удалении от источника плотность потока газа падает, а радиальная скорость и число Маха достигают своего максимального значения. Оканчивается решение градиентной катастрофой функций р} Ф при конечном г = i?2 (рисунок 12а), где М-число Маха.
Утверждение 3. Существует режим движения газа, отвечающий решению (3.16) определенному для всех г RQ. Такой поток стартует с начальными данными (UO}CQ), для которых Щ со, так что течение заведомо является сверхзвуковым. Решение подобно классическому разлету газа: в удаляющемся на бесконечность потоке происходит разрежение газа,это вызывает рост числа Маха, а скорость в радиальном направлении монотонно возрастает (рисунок 126).
Оба режима течения газа возможны и в случае пространственного стока, т.е. когда h (Ro) 0. Тогда, согласно (3.10), газ натекает на сферу извне. Видно, что уравнение (3.21) не допускает замены h на —h и, поэтому, качественное поведение решения в этом случае не обязано совпадать с поведением решения для случая источника. Поведение расчетных физических величин в случае стока показано на рисунках 13. Решение на рисунке 13а соответсвует стоку, локализованному в области R\ г i?2- Графики решения на рисунке 136 отвечают случаю, когда газ затягивается в коллапсирующее газовое облако из бесконечности.
Приведение инвариантной подсистемы к уравнению третьего порядка
В формуле (4.17) параметр Е\ определяет режимы течения (1 соответствует источнику, — 1 — стоку). Характер течения определяется исходя из ориентации друг относительно друга силы тяжести и направления движения струи газа. В случае, когда они сонаправлены имеет место источник; если же они противонаправлены— сток. Имеет место следующая классификация:
2) Струя газа разгоняется и уходит на бесконечность с асимптотикой отличной от случая 1 (случай сепаратрисы). Обоим режимам отвечают интегральные кривые типа С\ . Второй случай явля ется предельным случаем первого. Он обозначен штриховой линией на рисунке
3) Остановка потока газа происходит на конечном расстоянии от источника (стока). Остановка происходит несмотря на то, что движение струи происходит по направлению гравитационной силы. Это связано с тем, что движение частицы газа отличается от движения материальных частиц наличием "сопротивления среды". Частица газа вынуждена затрачивать дополнительную энергию для того, чтобы "пробиваться"вперед. Место старта таких частиц не может быть произвольным— оно неразрывно связано со значением параметра задачи ско( см. свойство 4.4). Случай стока
1) Сила тяжести останавливает поток частиц газа приходящий из бесконечности.
2) Сила тяжести останавливает поток частиц газа приходящий из бесконечности, поведение физических величин отлично от случая 1. Оба режима соответствуют интегральным кривым типа С _. Второй случай яв ляется предельным случаем первого. С физической точки зрения— существует "поверхность конденсации "на которой скапливаются прилетающие частицы. Эта поверхность играет роль поверхности нулевого потенциального уровня. Этот уро вень может перемещаться в зависимости от соотношения кинетической и потен циальной энергии частиц газа. Здесь следует понимать, что, несмотря на то, что поток газа приходит из бесконечности— в каждый момент времени каждый эле ментарный объем имеет определенные координаты и вполне определенную потен циальную энергию.
3) Остановка потока газа происходит аналогично третьему случаю для источ ника. В данном случае поверхности истечения и стока меняются местами. На рисунке 25 показан ударный переход на физической плоскости при ж = XQ. Штриховой линией показана интегральная кривая С\ , соответствующая тече нию перед ударной волной. Сплошной линией показана интегральная криваяС++, соответствующая течению за ударной волной. Ударной волне соответствует точка пересечения этих интегральных кривых на плоскости WL2(x}y). Движению объе ма газа в пространстве струй соответствует движение точки по интегральным кривым. При х Хо точка движется по кривой на нижнем листе, а при х XQ переходит на верхний. Рис. 25. Ударный переход с кривой С\ на кривую С++ при переходе через ударную волну х = XQ. Заключение
В диссертационной работе впервые проведено системное и последовательное исследование точных решений типа вихря Овсянникова дифференциальных уравнений газовой динамики при наличии гравитации. Рассмотрено влияние постоянной гравитации, гравитации типа притягивающего центра и самогравитации на возникающие особенности, область определения, а также асимптотики решения системы дифференциальных уравнений газовой динамики на бесконечности при \х\ — оо.
Исследование инвариантной подсистемы для стационарного вихря Овсянникова с гравитацией типа массивного притягивающего центра было сведено к исследованию неявного дифференциального уравнения и свойств его решения. Оказалось, что гравитация оказывает влияние на область существования решения и на область допустимости физических величин- начальных параметров задачи. Доказано, что решение определяет движения газа с различными режимами течения. Эти режимы соответсвуют как дозвуковым, так и сверхзвуковым течениям с возможностью перехода через скорость звука.
Вихрь Овсянникова при наличии самогравитации как точное решение дифференциальных уравнений газовой динамики является более сложным для анализа по сравнению с классическим случаем стационарного вихря Овсянникова [22]. Инвариантная подсистема для такого решения сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению третьего порядка. Аналитическое исследование этого уравнения затруднительно, поэтому его анализ проводился преимущественно численно. В результате численных расчетов показано, что решению отвечают два различных типа движения самогравитирующего газа. Для режима первого типа решение определено на конечном расстоянии от источника, при этом плотность обращается в бесконечность на некоторой сфере конечного радиуса, окружающей источник. В случае реализации режима второго типа источник является сверхзвуковым, решение определено всюду и описывает разлет газа в вакуум. Величина закрутки для этого и предыдущего случая убывает по закону г с ростом г по мере удаления от источника. Оказалось, что для таких решений характерно наличие на конечном расстоянии от источника/стока пояса повышенной плотности [40, 41].
Для случая постоянной гравитации исследование инвариантной подмодели сведено к исследованию неявного дифференциального уравнения. Показано, что область существования решения ограничена дискриминантной кривой, которая является либо источником, либо стоком. Исследованы звуковые характеристики инвариантной подсистемы и найдено уравнение звуковой линии. Показано, что при прохождении через нее потока газа по интегральным кривым С++, С\ про исходит непрерывный переход от сверхзвукового течения к дозвуковому. Рассмот рено решение, отвечающее течению со стационарной ударной волной. Доказано существование подобного решения, а также однозначность определения искомых функций за фронтом волны по параметрам перед фронтом. Выявлена и исследо вана связь с начальными данными задачи. Особенностью этой задачи является существенная зависимость поведения ударной адиабаты от величины гравитаци онной постоянной.
Поведение интегральных кривых ключевого уравнения
Свойство симметрии присуще многим моделям механики сплошной среды и математической физики. Оно является их важной характеристикой. Эффективным подходом к аналитическому исследованию таких моделей с математической точки зрения является применение методов группового анализа дифференциальных уравнений [1]. Он является действенным инструментом построения и исследования точных решений уравнений газовой динамики [2]. В классических монографиях [3, 4, 5] рассмотрены отдельные точные решения уравнений газовой динамики, в том числе, обладающие определенными симметриями, однако получение подобных решений не было систематизировано. Академиком Л.В. Овсянниковым был предложен принципиально новый подход к исследованию решений системы уравнений газовой динамики. В программе ПОДМОДЕЛИ [6] сформулирована концепция наиболее общего теоретико-группового подхода к изучению дифференциальных уравнений с целью эффективного использования заложенных в них свойств симметрии.
Точные решения, обусловленные теоретико-групповыми свойствами уравнений газовой динамики, описывают конкретные физические процессы и являются основой для решения важных практических задач газовой динамики. Включение в дифференциальные уравнения газовой динамики силы гравитации позволяет расширить класс исследуемых явлений и описать новые классы точных решений. Наличие дополнительного слагаемого, отвечающего гравитационному потенциалу, в системе дифференциальных уравнений газовой динамики существенно усложняет исследование задачи.
Большинство известных аналитических результатов в этой области, как пра 5 вило, относится к одномерным моделям [4]. Численным исследованиям по данной тематике посвящено много работ, например [7, 8]. В диссертационной работе получены и проанализированы новые многомерные точные решения системы дифференциальных уравнений газовой динамики с учетом действия сил гравитации. Целью диссертационной работы является аналитическое исследование точных решений дифференциальных уравнений газовой динамики, описывающих движения политропного газа в поле силы гравитации, а также анализ таких свойств решений, как: ограниченность, поведение на границе области существования, асимптотики на бесконечности. Основные положения выносимые на защиту. Автор защищает: 1. Построение и аналитическое исследование точного решения системы дифференциальных уравнений газовой динамики, описывающего движения газа типа стационарного вихря Овсянникова с центральной гравитационной силой. 2. Нахождение и исследование точного решения системы дифференциальных уравнений газовой динамики, описывающего движения самогравитирующего газа в рамках модели стационарного вихря Овсянникова. 3. Поиск и аналитическое исследование нового точного решения системы дифференциальных уравнений газовой динамики при наличии внешней гравитационной силы с постоянным ускорением. В диссертационной работе решаются три задачи, соответствующие трем частично инвариантным подмоделям системы уравнений газовой динамики с различным представлением силы гравитации. Для первой рассматриваемой модели гравитационный потенциал определяет центральную силу. Эта модель описывает, например, движение газа в поле притягивающего центра массы М, создающего гравитационное поле G. Оказывается, что возможно распространить результаты исследования стационарного вихря Овсянникова без учета гравитации [22] на случай движения газа в центральном гравитационном поле.
Для второй исследуемой модели рассматривается течение самогравитирую-щего политропного газа. Газовая динамика с учетом эффектов самогравитации лежит в основе многих моделей астрофизики, описывающих истечение газа из звезд, спиральные структуры галактик, звездные скопления и прочее [9 — 14]. Задачи астрофизики, учитывающие эффекты вращения, стали активно рассматриваться во второй половине XX века, когда, в частности, было показано, что эти эффекты существенно влияют на результаты спектрального анализа [15]. Так для короткопериодических звезд уширение спектральных линий обусловлено, главным образом, эффектом вращения. Эти модели, включающие в рассмотрение разнообразные физические факторы, достаточно сложны. Классические работы, посвященные газовой динамике с учетом эффекта самогравитации рассматривают, в основном, одномерные или автомодельные движения газа[3] или касаются качественных свойств таких моделей [16, 17], корректности постановок начально-краевых задач [18]. В диссертационной работе исследованы точные решения УГД, обусловленные теоретико-групповыми свойствами этой модели, что дает подробную информацию о решении. Групповой анализ дифференциальных уравнений позволяет описать не одно, а целый класс решений УГД, что является его несомненным преимуществом.
