Исследование дифференциальных уравнений вихря Овсянникова в газовой динамике Черевко Александр Александрович

Рис. 1.3: Семейство интегральных кривых уранения (1.5)

3. Течение газа является каналовым и определено вне шара R < . конечного радиуса .) как и в классическом сферически симметричном случае.

4. Обнаружены и изучены все качественно различные режимы течения.

Если в течении газа радиальная компонента скорости U по модулю меньше скорости звука с, то течение определено только внутри некоторого шара с центром в начале координат. Область, заполненная газом, симметрична относительно плоскости экватора. По мере удаления от начала координат она уплощается, и ее границы приближаются к плоскости экватора. При максимально возможном значении радиуса R = Я_крит газ занимает слой ненулевой толщины. В таком движении возможен двукратный непрерывный переход через скорость звука. При первом переходе течение становится дозвуковым, а при втором — снова сверхзвуковым. Такой режим течения назван автором режимом "толстого диска". На Рис. 1.4 изображен разрез течения плоскостью, проходящей через полюса.

Если радиальная компонента скорости U по модулю превосходит скорость звука с, то возможны три качественно различных режима течения.

Режим, аналогичный режиму "толстого диска".

Режим "асимптотического конуса". В этом режиме газ при движении занимает неограниченную в пространстве область, которая в пределе при R —> со совпадает с дополнением к конусу. Асимптотики физических величин такие же, как и в сферически симметричном случае.

меридиональное сечение течения

Рис. 1.4: Область, заполненная газом

Режим "тонкого диска". В этом режиме газ при больших значениях радиуса занимает тонкий слой в плоскости экватора, причем толщина этого слоя стремится к нулю при R —f оо. Асимптотическое поведение физических величин отличается от такового для сферически симметричного случая. На Рис. 1.5 изображено истечение газа из сферического пояса для этого случая.

4№,

Рис. 1.5: Область, заполненная газом

3. Возможно течение газа со стационарной ударной волной, фронт которой является сферой или сферическим поясом. В таком течении происходит переход сверхзвукового режима, для которого \U\ > с, на режим "толстого диска". Это соответствует переходу между двумя пересекающимися интегральными кривыми ключевого уравнения (1.5), при котором выполняются соотношения Ренкина—Гюгонио на сильном разрыве.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Александру Павловичу Чупахину, без постоянной поддержки и помощи которого создание данной работы было бы невозможным.

Автор весьма признателен Льву Васильевичу Овсянникову за постановку задачи рассмотренной в Главе 1 и ценные замечания, высказанные во время неоднократных обсуждений этой части работы.

Алгоритм построения оптимальной системы подалгебр алгебры Ли

Обозначим через (Х\,... ,Х{) подалгебру, порожденную указанными в скобках операторами. Основой для применения двухэтапного алгоритма построения оптимальной системы, описанного в [4], служит композиционный ряд идеалов, который для L\\ выбирается таким образом: где L13 = (Xi,..., X\Q, Хц, Хі2, Х13) . Подалгебра, стоящая в ряду слева от знака включения, является идеалом в подагебре, стоящей справа. В соответсвии с двухэтапным алгоритмом оптимальные системы строятся последовательно для следующих подалгебр: на каждом шаге происходит надстраивание оптимальной системы, полученной ранее, следующим образом. Обозначим @AL оптимальную систему подалгебр L относительно действия группы автоморфизмов А и пусть L = J ф N полупрямая сумма собственного идеала J и подалгебры N. На первом этапе строится оптимальная система QAN = {Np, р Р} и определяются стабилизаторы Ар С А подалгебр Np, а на втором — строятся оптимальные системы @лр( + Np) = {Kp q, q Є Qp). Искомая оптимальная система дается объединением На каждом этапе необходимо проверять, что получившийся набор операторов представляет собой подалгебру, т.е. замкнут относительно взятия коммутаторов. Оператор Хи — центр в алгебре, и поэтому он является инвариантом внутренних автоморфизмов. Тем не менее, на коэффициент при Хи действуют преобразования, производящие смену базиса. Оптимальная система OL14, содержащая Х\±, строится после построения оптимальной системы для Li3 путем ее надстраивания. При построении 6Li4 используется дополнительное условие, аналогичное использованному в [4]: если в подалгебру входит оператор вращения (линейная комбинация X ,Xs и Хд), то он автоморфизмом S и преобразованием базиса переводится в X-j (с коэффициентом единица). Необходимость этого требования объясняется тем, что при построении подмодели наличие в подалгебре оператора вращения диктует выбор цилиндрической системы координат как более удобной. Построенная автором оптимальная система для 0Li4 опубликована в [41] и приведена в Приложении 1 к диссертации. Одной из задач программы ПОДМОДЕЛИ [19, 4] является нахождение инвариантных решений уравнений газовой динамики (далее УГД). Для построения решения, инвариантного относительно некоторой подалгебры, необходимо сначала выбрать инварианты операторов составляющих подалгебру. При выборе инвариантов всегда есть произвол, поскольку функции от инвариантов тоже являются инвариантами. Поэтому система дифференциальных уравнений, которой удовлетворяет инвариантное решение, может быть получена в различных формах, эквивалентных друг другу. Это затрудняет сравнительный анализ подмоделей. Кроме того, подмоделей довольно много (сотни) и поэтому весьма полезны дополнительные классифицирующие признаки.

В [7] доказано существование определенной канонической формы дифференциальных уравнений инвариантных подмоделей УГД. Эта форма имеет дивергентный вид, и в ней явно выделена операция дифференцирования инвариантных искомых функций вдоль инвариантных траекторий. Для описания этой канонической формы введем следующие обозначения (подробный вывод см. в [7]): Пусть х = t, х1 = х, х2 = у, ж3 = z - исходные переменные. На этом пространстве УГД могут быть записаны в дивергентной форме где Здесь и далее символ обозначает транспонирование, р - плотность, р - давление, S - энтропия, u,v,w - компоненты вектора скорости, I -единичная 3x3 матрица, a h h — матрица-диада — символы Кристоффеля. При этом существуют [7] такие новые координаты yk(x,t) (некоторые из них инвариантные) и функции fc(x, і), zk(x, t) что выражения ик = (pk(D(yk) + zk) можно взять в качестве инвариантных скоростей (здесь D — оператор полного дифференцирования, к = 1,2,3). Тогда, подставляя и учитывая независимость инвариантных величин от неинвариантных переменных, получим уравнения инвариантной подмодели УГД в канонической форме. При приведении уравнений инвариантных подмоделей УГД к каноническому виду значительно уменьшается произвол в выборе инвариантов, кроме того, появляются новые классифицирующие признаки связанные с алгебраической структурой и представлением в базовом пространстве соответствующей подалгебры. Программа При использовании описанного в [7] алгоритма построения канонической системы уже после выбора (х, t),zk(x, t),(pk(x, t), к = 1,2,3 и инвариантных плотности, давления и энтропии возникает большой объем аналитических выкладок, связанный с громоздкими подстановками, обращением матриц, упрощением возникающих уравнений и т.п. В связи с этим написана программа аналитических вычислений в среде пакета Mathematica, проделывающая всю эту работу. Далее описывается схема работы программы и приводится пример выходного файла. Все входные данные программы задаются в новых переменных В качестве входных данных необходимо задать выбранные в соответствии с алгоритмом [7], а также выражения для плотности, давления и энтропии. Кроме того, необходимо указать, какие из ук являются инвариантными. Дополнительно можно указать подалгебру, заданную своими базисными операторами. Операторы подалгебры при этом будут пересчитаны в новые координаты. Программа создает 2 выходных файла (один в формате системы Mathematica, второй в формате издательской системы ТЩХ) каждый из которых включает в себя 1. Выражения для инвариантных независимых и зависимых переменных (инвариантные скорости вычисляются по формуле ик = 2. Уравнения, определяющие инвариантное решение в дивергентной форме (дивергенция по инвариантным переменным). 3. Уравнения, определяющие инвариантное решение с оператором полного дифференцирования по инвариантным переменным. Кроме того, файл в формате Mathematica содержит выражения для операторов в новых координатах. Рассмотрим порядок работы с программой на примере одной простой подмодели ранга 1, т.е. с одной инвариантной независимой переменной. Подалгебра, по которой строится подмодель, имеет следущие базисные операторы: Обозначения ХІ соответствуют таковым в оптимальной системе, описанной в Главе 1, за исключением оператора Хіз, который в данной программе полагается равным tdt — иди — vdv — wdw + 2рдр. В соответствии с рекомендациями, приведенными в [7], выбраны следующие функции (pk,zk и координаты: Инвариантная переменная здесь обозначена как у3. Выражения для плотности, давления и энтропии следующие (газ считается политропным с показателем политропы 7): Теперь необходимо запустить программу, приведенную в приложении 2. Программа создает окно, приведенное на следующем рисунке:

Вычисление нормализаторов подалгебр алгебры Ли

Нормализатором подалгебры Н в алгебре Ли L называется максимальная по включению подалгебра, в которой Н является идеалом. При построении оптимальной системы подалгебр 0L (см. Главу 1), на нее накладывается требование нормализованности: вместе с каждой подалгеброй Н Є OL оптимальная система должна содержать и ее нормализатор NorLH. Известно, что этому требованию всегда можно удовлетворить [11]. Необходимость нормализованности оптимальной системы обусловленна тем, что фактор-система Е/Н всегда допускает преобразования соответствующие Nor if, т.е. допускаемая фактор-системой группа частично известна априори. Кроме того, требование нормализованности позволяет уменьшить произвол в построении оптимальной системы и служит одним из способов ее проверки, позволяющим избежать ошибок при построении. Поскольку количество подалгебр в оптимальных системах весьма велико (сотни штук), то возникает необходимость хотя бы частично автоматизировать процесс их обработки. В данной части описана созданная автором программа вычисления нормализаторов в заданной своей таблицей коммутаторов конечномерной алгебре Ли. Алгоритм работы Пусть в алгебре L выбран базис (Х\,... ,Хп) и подалгебра Н задана своими базисными операторами (УЇ,..., Ym), причем Будем обозначать через [X, Y] коммутатор двух операторов. Найти нормализатор подалгебры Н в алгебре L — значит найти все такие операторы X Є L, что Если мы запишем оператор X в виде X = YA=iPlXi, то условие (2.2) перепишется в виде Необходимо найти все решения этой системы, считая неизвестными (3\...,рп,а\...,ат. Количество неизвестных и уравнений можно уменьшить, если сделать следующее: Дополним базис подалгебры Н до базиса всего пространства L операторами (Z\,..., Zn-m). Будем раскладывать искомый оператор X по базису (Yi,..., Ym, Z\, , Zn-m). Разложим также по этому новому базису все коммутаторы [X, Yk). Поскольку Н — подалгебра, то она замкнута относительно взятия коммутатора. Следовательно в разложении X по новому базису необходимо найти только коэффициенты при Z\,..., Zn-m. Кроме того, условие принадлежности коммутатора подалгебре Н в новом базисе сводится к условию равенства нулю последних (п—т) координат коммутатора. Таким образом в новом базисе роль уравнений (2.3) играет следующая система: Итак, получаем следущий алгоритм: 1. Находим дополнение (Z\,..., Zn-m) базиса Н до базиса всей алгебры 2. Вычисляем коммутаторы вектора общего положения из дополнения Y i=r &г%і со всеми базисными операторами Н. 3. Вычисляем координаты этих коммутаторов в новом базисе и приравниваем координаты при Z\,..., Zn-m к нулю. Получаем искомую систему уравнений для переменных /З1,... ,/3n_m. Описание программы Программа написана для системы аналитических вычислений Mathematica и состоит из трех файлов. Файл operatory.m содержит размерность алгебры и полезные обозначения. В файле kommutatory.m заданы все ненулевые коммутаторы. Главный файл программы при выполнении автоматически загружает эти вспомаготельные файлы. После загрузки главного файла становится определена функция nor, аргументом которой является подалгебра, заданная в виде списка своих базисных операторов, перечисленных через запятую. Кроме того, последний элемент списка может быть условием на параметры, входящие в подалгебру. Имеются некоторые требования на запись подалгебры. 1. Первое требование связано со специальным выбором базиса по далгебры: в каждом операторе подалгебры Н должен быть хотя бы один базисный оператор L с коэффициентом 1. в разных операторах Н должны встречаться единицы на разных местах. Например, допустимы такие две подалгебры: А такие две — не допустимы: Эту требованию легко удовлетворить выбором базиса. 2. Второе требование касается обозначений параметров. Параметры могут быть строчными латинскими буквами от а до s, выражениями вида аа[п], где п — число. Прежде чем начать расчет нормализатора, функция nor проверяет, что заданная совокупность операторов является подалгеброй. Кроме того, если в подалгебре имеются параметры, то вычисляются все соотношения между ними, при которых происходит расширение нормализатора. Программа выдает дополнения заданной подалгебры до нормализатора. Ответ выводится в виде списка альтернатив. Первой частью каждого элемента этого списка является базис дополнения, а второй частью — условия на параметры, при которых данная возможность реализуется. Пример: Программа приведена в Приложении 3 к диссертации и использовалась автором при построении оптимальной системы 0Li4, приведенной в Главе 1. Введение. Сферически симметричные решения играют важную роль в математической физике и механике континуума, обусловленную исключительностью порождающей их группы вращений 50(3). Однако они отнюдь не исчерпывают всего списка симметрийных решений, отвечающих этой группе. Новый класс точных решений, частично инвариантных относительно группы вращений, был открыт Л.В. Овсянниковым в [8].

Он получил навание особый вихрь, а затем по инициативе СИ. Похожаева был назван по имени автора вихрем Овсянникова (ВО). Это решение присуще любой модели математической физики и механики континуума, имеющей группу вращений 50(3) в качестве группы симметрии. Кроме того, ВО выделяет класс абстрактных векторных полей безотносительно какой-либо системе дифференциальных уравнений [30] . Рассмотрим векторное поле и = и(х) Є R3,x е!3и разложим его в сферических координатах на две составляющие: радиальную U, нормальную к сферам г = х = const, и касательную к ним ит. Тогда векторные поля, определяющие вихрь Овсянникова, выделяются требованием инвариантности величин U и Н = ur относительно группы 50(3): U = U(r),H = Н(г). Угол ш, который образует вектор ит с меридианом сферы, не является инвариантной величиной и зависит как от г, так и от угловых переменных. Задача описания векторных полей, удовлетворяющих этому свойству, представляет большой интерес как с точки зрения чистой математики, так и приложений. Примеры ВО для- различных моделей механики континуума, изученные за последние 10 лет, показали нетривиальность его физического содержания, но отнюдь не закрыли эту тематику. Наоборот, в процессе исследования возникает целый ряд нетривиальных задач. В данной главе дан краткий обзор исследований ВО и представлен подробный анализ двух инвариантных подмоделей — однородного вих

Вихрь Овсянникова как частично инвариантное решение

Алгебра 50(3), действующая в пространстве К6(х, и) и задаваемая операторами (1.4) , имеет следующие инварианты: г, U, Н. В нестационарной задаче к этим инвариантам добавляется время t. Термодинамические параметры р, р, 5 также являются инвариантами алгебры (1.4) . Таким образом, инвариантов зависящих от компонент скорости имеется только два: радиальная компонента скорости U и модуль касательной компоненты Н. Их не хватает для построения инвариантного решения в котором все искомые функции должны представляться как функции единственного инварианта, зависящего от независимых переменных, а именно от г. Классические сферически симметричные решения являются особыми инвариантными решениями относительно алгебры 50(3), реализующимися на особом инвариантном многообразии, которое определяется уравнением и х х = 0. На нем имеет место представление u = (и /г) х. Это одномерные движения газа со сферическими волнами. Существенно новый класс решений возникает при построении частично инвариантных решений [3] относительно алгебры 50(3). Рассматривая пространства R4(, х) и R6(u, р,р, 5) как пространства независимых переменных и искомых функций, находим, что алгебра 50(3) (1.4) имеет инварианты t, г; U, Я; р, 5, р. Угол ш отклонения вектора ur от меридиана является неинвариантной "лишней" функцией. Таким образом, алгебра 50(3) порождает регулярное частично инвариантное решение (РЕЧИР) ранга два и дефекта один, имеющее представление Уравнения газовой динамики в виде (1.7) с операторами (1.8) на решении (1.9) представляются в виде объединения инвариантной подсистемы где DQ = dt + UdT, инвариантные функции h и к имеют вид и переопределенной подсистемы для неинвариантной функции ш Уравнение (1.11) является условием совместности системы (1.13). Система (1.10)-(1.12) является замкнутой. Заметим, что нормализатором алгебры 50(3) = (Xj Xs Xg) в полной алгебре симметрии ЬЦ уравнений газовой динамики является алгебра (X7,Xs,Xg;Xw,Xii). Таким образом, ее факторалгебра по алгебре 50(3) порождается двумерной алгеброй где Хю = dt, ХЦ = rdr+tdt. Можно проверить, что система (1.10) - (1.12) инвариантна относительно модифицированного представления L2 алгебры 1/2, расширенной действием на функцию к, Система (1.13) также инвариантна относительно алгебры (1.14) . Удобно ввести новые независимые переменные: инвариантную лагран-жеву координату = {t,r) и модифицированное время г = r(t,r) согласно следующим уравнениям и начальным условиям: Тогда kDo = дт, решение уравнения (1.11) с условием /г(0, г) = О имеет вид

Общее решение системы (1.13) , выраженное в неявной форме, представляется формулой где F — гладкая произвольная функция своих аргументов. Интеграл г) задается формулой а величина С, определяется неявно из соотношения Как это следует из формулы (1.17) , произвол в решении переопределенной системы (1.13) задается одной функцией двух аргументов. Интеграл (1.17) определяет эволюцию касательного к сфере вектора. Система (1.10) - (1.12) определяет радиальное движение газа. Таким образом, в рассматриваемом решении, называемом вихрем Овсянникова (ВО) или особым вихрем происходит своеобразное расщепление движения и уравнений его описывающих на радиальную и сферическую составляющие. Система (1.13) определяет сферическое движение газа, т.е. проекции траекторий частиц газа на сферу S2. Л. В. Овсянниковым в [8] были доказаны следующие свойства данного решения. 1) При движении газа в ВО сферическая траектория любой частицы газа (проекция траектории на единичную сферу S2) есть геодезическая на Si (большая окружность), а скорость ее перемещения по ней отно сительно времени г равна единице. Таким образом, в ВО каждая частица газа движется в своей плоскости, положение которой в пространстве Е3(х) определяется начальными данными — положением частицы хо и начальной скоростью 2) Среди начальных данных WQ — wo (0, р) выделяется начальная функция вида UJQ = тг/2, для которой начальное поле скоростей имеет вид uo = (Uo, 0, Но). Она является однозначной функцией, определенной на всей сфере Si кроме полюсов в = {0, 7г}. Такое начальное поле Uo определяет композицию вращения сферы и радиального движения. Оно задает вращательно симметричное движение газа. В работе [8] ВО именно с такими начальными данными был назван особым вихрем, но впоследствии этот термин, в силу своей краткости и выразительности был распространен на любые решения вида (1.9) , описываемые системой (1.10) - (1.13) . Альтернативными являются более точные, но и более длинные термины "сферически частично инвариантные решения" или "сферически почти инвариантные решения". 3) Сферические траектории частиц газа задаются уравнением Начальные данные UQ — 7г/2 приводят к более простым соотношениям где единичный вектор iz = (0, 0,1) определяет северный полюс, х — знак векторного произведения. Согласно (1.22) z — г COST, следовательно, при т О точки х заполняют не всю сферу 5f, а только сферический пояс г в -к— т. В [8] были исследованы два примера ВО: автомодельный ВО и установившееся движение несжимаемой жидкости в ВО. В первом случае для специального уравнения состояния р = Ар + В (А и В — постоянные) описано движение, в котором [/ = 0 и заданный первоначально сферический слой газа сжимается в виде тороподобного тела к кольцу в плоскости экватора z = 0. Уравнения радиального движения в стационарном ВО для идеальной несжимаемой жидкости интегрируются в элементарных функциях. Решение описывает вихреисточник, в котором жидкость вытекает с поверхности сферы и растекается в виде утончающегося слоя, сжимающегося в плоскости z = 0. ВО изучался А. П. Чупахиным в работах [9, 21, 23]. В [9] было доказано специальное свойство матрицы Якоби векторного поля скоростей ВО

Интегрирование уравнения Шварца для частных значений 7

Рассмотрим изотермический газ, для которого у = 1. В этом случае р = Sp, скорость звука с2 S сохраняется вдоль траектории. Уравнение (2.8) принимает вид где /Зо задана формулой (2.5). Обозначим т — X, тогда числитель левой части (2.28) имеет представление Уравнение (2.28) преобразуется к виду и интегрируется один раз. Получается ключевое уравнение для X = X(t) где С — произвольная постоянная. Пусть 7 = 4/3. Тогда уравнение (2.4) принимает вид Порядок уравнения (2.30) понижается введением новой функции X — X{h) так, что h! = X(h) (далее штрих означает дифференцирование по h). Подставив X в (2.30), получим Левая часть уравнения (2.31) преобразуется к виду После введения новой функции уравнение (2.32) переписывается следующим образом После раскрытия производной в левой части и упрощения это уравнение может быть записано в виде и интегрируется два раза. Первое интегрирование (2.34) приводит к уравнению где (Фі) = (і + /г2) ; С\ — константа интегрирования. Согласно (2.33) имеем следовательно, можно проинтегрировать (2.35) еще один раз. Учитывая (2.36), получим: где (Ф2) Л = Фі; Сг — константа интегрирования. Чтобы освободиться от корня и знака модуля, возведем (2.37) в четвертую степень. Получим ключевое уравнение Функции Фі и Ф2 представляются через гипергеометрическую функцию Гаусса 2Fi(a, 6; с;, ж) [28] по следующим формулам Пусть 7 = 5/3. Качественное описание движения газа в ОБО для этого случая дано в [9], где показано, что УШ (2.4) распадается на нелинейное ОДУ первого порядка и линейное уравнение второго порядка. Оказывается, процедуру редукции УШ к описанной паре уравнений можно упростить. Опишем это сведение. Уравнение (2.4) является автономным, замена h! = X(h) понижает его порядок Еще одна замена приводит (2.39) к линейному уравнению второго порядка относительно функции Z = Z{h) Чтобы избавиться от знака модуля в соотношении (2.40), его можно возвести в квадрат, записав в виде Таким образом, УШ (2.4) эквивалентно паре: линейное уравнение второго порядка (2.41) и уравнение первого порядка (2.42). Естественно поставить вопрос о связи между интегрируемостью УШ (2.4) (или (2.8)) при перечисленных частных значениях показателя j и наличием у него нетривиальной группы симметрии. Этот вопрос был исследован автором диссертации, который доказал, что УШ (2.4) при 7 = 1 и 5/3 допускает нетривиальную группу касательных преобразова ний. Эта группа ответственна за описанные процедуры интегрирования. Однако для 7 — 4/3 расширения группы симметрии уравнения (2.4) не обнаружено, природа интегрирования в этом случае остается неизвест ной. 8 изотермическом случае ключевое уравнение (2.29), к которому сво дится УШ (2.8), имеет особенно простой вид. Однако анализ движе ния не является тривиальным.

Полученное решение имеет аналогию с известным периодическим решением Седова с линейным полем скоро стей при наличии сингулярности [1]. Анализ решения основан на теории Л.В.Овсянникова периодических движений газа [29]. В ОВО при 7 = 1 возможно существование периодической кинематической конфигурации в плоскости, определяемой начальными данными. Но из представления (2.7) следует наличие сингулярности в решении — коллапса плотности. С физической точки зрения имеет смысл рассматривать решение на интервалах, не содержащих точек сингулярности. Запишем ключевое уравнение (2.29), описывающее изотермическое движение газа, в виде График функции f(X) имеет следующий вид: Имеется "шапочка" графика, порожденная корнями Xi и Х2 уравнения Ф(Х) = 0. В общем случае она имеет место, если выполнены следующие условия: а) существуют Xi, X i такие, что f{X\) — /(Х2) = 0; б) / (Xi) 0, / (Х2) 0; в) функция /(X) имеет максимум в точке X Є (Хі,Хг), т. е. / (X ) = 0, /"(X ) 0. Эти условия обеспечиваются, в свою очередь, достаточными условиями существования "шапочки" [22]. А именно, если функция / зависит еще и от параметра Л : / = f(X, X) (в нашем случае это может быть как С, так и /3Q), И существует точка М(Хо,Ао), в которой 1) f{M) = 0, fx(M) = 0, 2) f x{M) 0, fxx{M) 0, то "шапочка" существует для Л До, где Л достаточно близко к Ло. Наличие "шапочки" графика гарантирует существование периодического решения уравнения (2.43) [29]. Докажем, что условия 1), 2) выполнены для функции / вида (2.44). Из 1) имеем Далее, используя (2.45), получим Лемма 5. Достаточные условия существования "шапочки" для функции (2.44) выполнены, если Согласно [29] при выполнении условий 1), 2) уравнение (2.43) имеет периодическое решение X = X(t) с периодом

Похожие диссертации на Исследование дифференциальных уравнений вихря Овсянникова в газовой динамике

Точные решения типа вихря Овсянникова дифференциальных уравнений газовой динамики при наличии гравитацииПаршин Даниил Васильевич

Качественные исследования некоторых уравнений динамики макроскопических системСакбаев, Всеволод Жанович

Исследование динамики тонкого неоднородного стержня из материала Кельвина-ФойгхтаЕгорова, Алена Андреевна

Исследование граничных режимов с обострением в автомодельных задачах газовой динамикиСтепанова, Валерия Викторовна

Точечно-инвариантные классы дифференциальных уравнений, исследование проблемы эквивалентности для уравнений Пенлеве Картак Вера Валерьевна

Исследование уравнения Шредингера с нелокальным потенциаломСметанина Мария Сергеевна

Алгебро-аналитические методы исследования уравнений математической физикиНещадим, Михаил Владимирович

Об одном методе исследования уравнения ХиллаКарасаев, Ишен Карасаевич

Исследование уравнения Шредингера для кристаллической поверхности с нелокальным потенциаломПлетникова Наталья Ивановна

Методы группового анализа при построении и исследовании уравнения разветвленияАзизова, Альфира Ахмедовна