Введение к работе
Актуальность темы. Одним я» главных направления ооврененнон математической физики являетоя построение и широкое иооледованнв нелинейных моделей, описывающих нестационарные процессы. В овя-зи с решениями многих задач науки и техники, таких как изучение явлений самоорганизации и эволвпии дксонпативных сред, продлены низкоэнтропийного оверхсхатня вещества к др., оообый интерес представляет так називаєте рехикы с обостренней. ПЬд рехивани с обостренней понимается сильно нестационарные процесса, в которых некоторые величины раотут по закону, приводящему к обращении нх в бесконечность в конечный момент времени, что являетоя иодельо многих реальных явлений различной природы.
В наотоящее время в ШШ им. К.В.Келдыша АН СССР, ВНиК ШГ и др. организациях под руководством академика А .А.Самарского и чл. корр. АН СССР С.П.Курдомова осуществляется программа исследований рехимов с обострением в сплошных средах (см. обзоры в рабо» тах: Самарский А.А. Дифф. уравн., 19Э0, т.16, J8II, с. 1925 -1935; Курдомов C.IL - в кн., Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. U.: Наука, 1982, с. 2Г7 -243; Галактионов В.А. Методы исследования неограниченных решений квазилинейных параболических уравнений. Диссертация доктора физ.-иат. наук, М.: ИЛИ им. ІГ.В.Келдыша АН СССР, 1956; Михайлов А.П. Граничные ренины о обострением в сплошных средах. Диссертация доктора физ.-мат. наук, ї., ИГУ, 1987). Было установлено, что развитие рехимов с обострением приводит к появлении новых, парадоксальных свойств - локализации процессов тепло- и цаосоперено» са, образованно устойчивых пространственно-временных структур, усложнении организации среды.
Изучение процессов, развиваищихоя по законам с обострением в задачах газовой динамики, помимо общетеоретического значения, связано такхе с проблемой достижения высоких степеней схатия и нагрева вещеотва при оптимальных затратах подводимой энергии. Рехимы иэоэнтропического схатия вещества рассматривались в работах К. П. Станюковича, J. KelUr, I. Hackots, П.КМег, Н.Б.Змитренко, С. ГГ. Кур до мова, Я.М.Іданова, Б.А.Трубникова, Й.Е.Забабахина, В.А.Симоненко и др. Применение различных методов Сразмерностный и групповой анализ, построение автомодельных решений, метод характеристик) к изучении данной проблемы позволило сделать вывод:
4 для безударного сверхсжатия вещества необходимо, чтобы поток подводимой энергии (а также давление) на границе среды возрастал по определенному закону с обострением, для получения режимов безударного сжатия вещества с требуемыми свойствам и возможности аффективного управления этим процессом необходимо систематическое исследование свойств течений, возникавших под действием граничных (т.е. вызванных внешним воздействием, например, поршнем или потоком излучения) режимов с обострением. К работай данного направления относится и настоящая диссертация.
Одним из наиболее аффективных методов исследования нелинейных дифференциальных уравнений математической физики, в 'частности, уравнений газовой динамики, является отыскание и изучение инвариантных решений; к ним относятся и широко применяемые автомодельные решения. Автомодельные решения не только дают описание процессов в некоторых частных случаях, позволяют обнаружить не только определенные отдельные качественные стороны и свойства, но и описывает их общий характер на развитой стадии, когда становятся несущественными начальные условия (Баренблатт Г.И., Зельдович Я.Б. Промежуточные асимптотики в математической физике. УКН, 1971, т.26, J62 с.115-129). Кроне того, автомодельные решения позволяет разграничить классы решений, описывающие процессы с принципиально различными свойствами (Современные проблемы математики. Новейшие достижения, т.28 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР) М., 1986).
Возможность наиболее полного исследования сложных моделей математической физики обусловлена сочетанием качественных методов и вычислительного эксперимента, позволяющего проверить теоретические выводы, провести количественные оценки явлений, изучить устойчивость нестационарных процессов, данный подход широко используется и в настоящей работе.
Цель исследования. Теоретическая и практическая ценность работы. Целью диссертации является исследование свойств течений, возникающих в сжимаемых средах под действием граничных режимов с обострением, установление их классификации в зависимости от характера процесса и определение условий существования и единственности. Особое внимание уделяется непрерывным решениям, соответствующим безударному сжатию, а также решениям, описывающим эффект локализации газодинамических (в случае теплопроводного газа -совместной локализации газодинамических и тепловых) процессов. Основу исследования составляет построение и анализ автомо-
дельных решений уравнений одномерной нестационарной газовой динамики и динамики теплопроводного газа, являющихся одними из базовых моделей нелинейной математической физики. Использование автомодельных решений поволяет уменьшить число независимых переменных (понизить размерность задачи), что приводит к постановке краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (О.Д.У.).
Отличительными чертами рассматриваемых задач для О.Д.У. (значительно более слояных, чем задача Коши) является их существенная нелинейность и сингулярность, вытекающие из физической постановки и заключающиеся в следующем: наличие особенностей искомых функций, незакрепленные концы интегрирования, необходимость непрерывного прохождения особых точек, постановка условий в особых точках (в том числе в бесконечно удаленной). Еще одна трудность связана с дополнительным качественный анализом полученных решений, а именно: определенней асимптотического поведения решений, нахождением областей немонотонности, решением вопроса о единственности и анализом спектра решений, а в ряде случаев доказательством их несуществования. В работе развиваются новые подходы, позволяющие существенным образом расширить круг исходных постановок задач, изучить все инвариантные решения с обострением, обладающие заданными свойствами.
Указанные особенности обусловливают такяе сложность численного построения автомодельных решений. Особо следует выделить задачу о сгатии и нагреве теплопроводного газа с нелинейным коэффициентом теплопроводности, которая сводится к нелинейной че-тырехпараметрической систекз О.Д.У. четвертого порядка. Предло-пен к реализован алгоритм построения непрерывного решения, проходящего через "особую" кривую и удовлетворяющего заданный крае-выи условиям (одно из них сингулярное).
Анализ'автомодельных решений позволил установить общие свойства изучаемых процессов. Существует три принципиально различных реаиш огатия газа с обострением, определяемые законом нарастания величин на границе:' 5 - и L3- реяимы характеризуются локализацией газодинамических'процессов, HS -режимы - её отсутствием. Действие 5-й LS-^резимов на среды с неоднородным распределением' энтропии по массе вещества приводит к образованию растущих со временем и локализованных по кассе газодинамических структур плотности или температуры. Построен широкий класс режимов безударного сжатия вещества, показано существование данных течений в цилиндрической и сферической геометрии, а такіе при учете про-
цесса теплопроводности.
Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для исследования и оптимизации процессов безударного сверхсжатия и концентрации вещества. Изученные свойства режимов с обострением открывает дополнительные возможности управления этим процессом.
Апробация работы. Материалы и результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференции по аналитическим и численным методам в теории тепло- и массообмена. (Минск, 1982), Всесоюзных конференциях по физике плазмы (Звенигород, 1964, 1985), на Всесоюзном семинаре по вычислительной физике плазмы (Сухуми, 1983) Всесоюзном семинаре по аналитическим методам в газовой динамике (САмГАД, Фрунзе, 1985), на Всесоюзной школе по вычислительной математике и математической физике (Рига, 1985), на семинарах BlteK МРУ, "ВЦ-АН СССР, ШАН СССР, ЖАН СССР, ШШтем. АН СССР.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-9] .
Обьём и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения (перечня основных результатов) и списка литературы. Объём 125 стр. текста, 58 рисунков, 95 библиографических ссылок.
Во введении обосновывается актуальность темы, определяется цель, излагается краткое содержание работы, описываются методы исследования и полученные результаты, дается обзор литературы по соответствующей тематике.
В первой главе изучаются все виды инвариантных решений уравнений адиабатической газовой динамики в плоской геометрии, которые могут описывать граничные режимы с обострением. Установлено, что такими решениями являются автомодельные решения степенного вида (в том числе и решения в разделяющихся переменных) и экспоненциального вида.
В качестве модели процесса рассматривается задача о сжатии газа плоским поршнем (граница), давление на котором возрастает в рехиме с обострением
где X>0- массовая лагранжева координата, uj. - время обострения, Р , И , р , t> - давление, скорость, плотность и эйлерова координата частицы газа соответственно, / - показатель адиабаты.
Энтропия распределена по массовой координате, интеграл адиа-батичности - Рр~*= ^(х).
Исследуется характер, а также устанавливается основные свойства возникавших течений в зависимости от вида граничного режиш.
В 1 изучается непрерывные решения поставленной задачи в раи-ках степенной автоиодельности. Все функции представляется в виде
Закон изменения давления на поршне и интеграл адиабатичности имеют степенной вид
Pix^yPoitrt)"* , ^0-параметр
- параметр На границе возмущенного газа должны выполняться условия
P(x?>t)=D , il(x?,t>0 .
І&ходнал задача сведена к исследовании одного обыкновенного дифференциального уравнения относительно преобразованных функций скорости и плотности, зависящему от трех параметров (ії-,% ,), с соответствующими краевыми условиями. Установлена классификация реяимов в зависимости от граничного закона (П) п свойств среды ($), получен асимптотический вид решений на обоих концах интегрирования. Проведено построение полей интегральных кривых для различных lb , У , S . Показано, что непрерывное решение существует при 8>-$, - $-< Н< - 4^" (S>0X ~КГ<п< zk (-*<Ь<. Граничный рении изменения давления в этом случае является более медленным (rt>--fi , LS - реяим), чем в случае разделения массовой и временной переменных ( Пч- - -=^т- > 3 " режим). При П<- x+i. ("быстрые" ЯЗ - реяимы) непрерывных решений пос-тавлеішой задачи не существует.
Решение представляет собой волну сгатия, имегщув фронт з бесконечно удаленной точке, с сокращавшимися с течением времени эффективными размерами (полуширина, полсаение максимумов), эпергая
при приближении к моменту обострения поступает во все уменьшавшуюся область газа в окрестности поршня, сжатие происходит безударный образом. Основным свойством полученного решения является локализация газодинамических процессов - все величины ограничены сверху "предельными" кривыми, то есть в любой точке давление, плотность и скорость газа не могут стать больше некоторой величины ИггС^Э:,1 хотя давление на поршне неограниченно возрастает при Ъ — fcj .
Неоднородное распределение энтропии по массе газа, эффект локализации и развитие процесса в режиме с обострением обусловливает определенное распределение скорости распространения возмущений по массе газа, что приводит к образованию газодинамических структур - локализованных максимумов плотности или температуры, неограниченно растущих и приближающихся к поршню приІ^Ь.
В 2 рассматриваются разрывные решения (степенная автомо-дельность) задачи о сжатии газа поршнем в режиме с обострением. Показано, что они существуют лишь npHlt<_J^(US -режим).
Течения содержат ударную волну движущуюся по фону плоскости
О(х) =Р ОС * , об - параметр. Движение охватывает бес-
конечную массу газа за конечное время, величины, характеризующие процесс ( Р , JO ,tL~) неограниченно возрастают во всей области к моменту обострения. Локализация отсутствует. Получены условия существования и единственности, а также установлена качественная картина протекания процесса в зависимости от граничного режима и первоначального распределения плотности (параметров Л> и* ).
Также рассмотрена задача о замедляющемся поршне ( U~(0,Vj--Uo (f~t) ) >&, ^<^)ш имевшем в начальный момент бесконечную скорость. Решение представляет собой ударную волну с аналогичными свойствами, граничный закон изменения давления также отвечает Н)5 - режиму.
В 3 исследуются автомодельные режимы слатая вещества с обострением экспоненциального вида
Особенность постановки данной автомодельной задачи (в отличие от классических автомодельных задач газовой динамики) - поршень не является точкой с фиксированной координатой (незакрепленный конец интегрирования), граничные условия находятся, исходя из начального и конечного состояния газа, закон изменения давле-
9 ния заранее неизвестен и определяется самим решениеи.
В области непрерывности течения сохраняется интеграл адиаба-тячности
На асимптотической стадии процесса определены все виды граничных режимов с обострением, допускаемые автомодельными решениями экспоненциального вида.
Полностью изучены классы непрерывных и разрывных решений, получены условия существования и единственности в зависимости от опре делящих задачу параметров (распределение начальной скорости, плотности, энтропии по массе вещества).
Непрерывное решение описывает процесс безударного сжатия бесконечной массы газа в режиме с обострением, локализация отсутствует. Разрывные решения представляет собой ударную волну, движущусся по экспоненциальному фону плотности и охватывающую бесконечную массу газа за конечное время. Показано, что построенные решения, характеризующиеся отсутствием локализации, есть результат действия на среду "быстрых" граничных режимов (так же, как при действии степенного HS -режима, гл.1, 2).
В 4 приведены результаты численного исследования действия граничных режимов с обостренней на сжинаемую среду, показывающие устойчивость построенных автомодельных решений и иллюстрирующие свойства различных режишэв - локализацию или ее отсутствие, наличие газодинамических структур. Установлены количественные условия реализации рассмотренных режимов сжатия: "выход" на автомодельные решения с: неавтомодельных начальных данных осуществляется при росте давления на поршне =: в 30 - Я) раз.
Результаты анализа автомодельных задач, а также численные расчеты позволяют сделать общий вывод о действии граничных режимов с обострением на сжимаемые среды: "медленные" ( $ -и L3-режимы) приводят к локализации газодинамических процессов, "быстрые" ( US - режимы) - к её отсутствию; в среде могут существовать газодинамические структуры, растущие в режиме с обострением и обусловленные неоднородным распределением энтропии. Существует широкий класс режимов безударного сжатия вещества ( n^ttj), включающий и изучавшийся ранее рядом авторов $ ~ ре*ин (разделение массовой и временной переменных).
В Главе I исследования ограничивались плоской геометрией. В то же время представляет интерес постановка и изучение аналогичных вопросов при сжатии вещества цилиндрическим и сферическим поршнем. Автомодельные решения рассмотренного в Главе I вида не
иогут описывать локализованные осе- и ра^иально-симнетричные течения,, так как радиуо поршня по автомодельным закономерностям а течением времени стремится к центру симметрии
tFlt) = t0(tf-t)h(o)-* о, Ь^%, у>0.
В Главе П предложен подход» позволявший псотроить и изучить новый класс течений» локализованных в заданной области пространства, во всех трех геометриях.
Локализация означает, что в сжимаемой массе газа существует неподвижная граница 3 Ъс(Ъ0) - плоокооть с координатой Ча , сфера или цилиндр радиуса %0 - 8а которую не проникают возмущения» то есть выполняютоя условия
P(4t>0, U(to,t) = 0, t0±t<%<
Для описания течений подобного типа используется решения в разделявшихся эйлеровой ( Ъ ) и временной переменных
Рассготрение решений данного типа приводит к постановкам двух различных задач:'
-
задаче о локализованном безударном сжатии конечной массы вещества в режиме с обострением плоским, цилиндрическим или сферическим поршнем в сокращавшейся области пространства
-
задаче о неограниченной концентрации вещества, поступающего через неподвижную границу д х(к*)п локализующегося в области пространства Q (между границами Ъ Q[R*)x dQ(Zo)}.
В 1 дается общая постановка задачи I (о поршне) и получены соответствующие автомодельные уравнения и краевые условия.
Рассмотрение ведется, для удобства и единоооразия, в лагран-
жевых координатах;, изучаемые течения описываются автомодельными
решениями степенного вида, соответствующими решениям с разделяю-
щишея переменными Ч, и ~Ь (в эйлеровых координатах). Интег
рал адиабатичности имеет степенной вид, при этом выполняется ус
ловие tl=-2Qf+S)s(tf-J+ S) (задача - двухпараметркческая).
Особенность данной постановки, как и в случае автомодельных решений экспоненциального вида О'л.1, 3)., - поршень не является точкой с фиксированной координатой, закон роста давления на сор-сне заранее неизвестен и определяется самим ревеннем.
В 2 проводитсч подробное исследование задачи* построены решения, установлены условия их существования* изучены основные свойства и особенности процесса.
Для олучая плоской геометрии найдено аналитическое решение, описывзецее новый класс режимов сжатия вещества, приводящий к. локализации и дополняющий исследования, проведанные ранее ( Демидов U.A., Клоков D.A., Михайлов А.П. Безударное сжатие конечной массы газа плоский поршней при произвольной распределении энтропии. - U., 1984, 27 с. - (Препринт/ШШ иц. М.В.Келдыша АН СССР: J5 151).
Показано, что во_вех_ трех_геоиетриях для реализации локалте-зованного безударного сжатия не обходило, чтобы давление на поршне при приближении к моменту обострения изменялось по закону
что соответствует степенному 3 -режиму в плоской. геометр_ии.
Таким образом, при іЛі) -гЪъ геометрический фактор переота-ет влиять на характер движения, решения описывайтея плоско-симметричными 3 - режимами.
В данной постановке отдельное внимание уделено вопросу о единственности решений. Показано, что существует бесконечно много решений поставленной автомодельной задачи для одних и тех не параметров S и $ . В то же время, решение исходной задачи единственно и зависит не только от распределения энтропии в среде и граничного режима (как в задачах Гл.1), но и от начального состояния сжимаемого вещества (существует непрерывный спектр начальных данных).
Исследование асимптотик решения показало, что течения при "fc-*-00^ начале процесса сжатия) относятся к течениям с однородной деформацией и, следовательно, имеют вид
Отиетии, что при С =0 течения описываются решениями в разделяющихся массовой и временной переменных в соответствующей геометрии.
В 3 изучается задача о неограниченной концентрации вещества и энергии в локализованной области пространства. Рассмотрение проводится в эйлеровых координатах.
Построено и полностью изучено аналитическое решение в плос-
12 кой геометрии, в том числе и для случая неоднородного распределения энтропии; показана возможность построения решения в осе- и радиально-симметричном случаях.
Отметим, что в рассматриваемых течениях, как следует из вида автомодельных решений и уравнения движения, закон нарастания скорости в каждой точке пространства (в том числе скорость поступления вещества через неподвижную границу 9icY^*JHe зависит от свойств среды, уравнений баланса энергии и неразрывности, а также типа геометрии
СВ задаче о поршне С1,2) такой закон возрастания скорости создается за счет действия поршня, движущегося по определенному закону с обострением). Единственность решения в неизэнтропическсм случае обеспечивается заданием закона изменения давления на внешней границе.
Тем самым показано, что режимы безударного сжатия вещества, приводящие к локализации газодинамических процессов, существует для всех трех геометрий и на развитой стадии процесса являются результатом действия граничного - режима.
Изучение режимов с обострением в теплопроводных средах, а также в задачах газовой динамики показало, что их свойства во многом сходны между собой. Естественное дальнейшее обобщение - постановка аналогичных вопросов при изучении задач газовой динамики с учетом процесса теплопроводности.
Глава В посвящена изучении безударного сжатия и высокотемпературного нагрева теплопроводного газа. В рассматриваемой модели коэффициент теплопроводности Э- - нелинейная функция температуры и плотности ае= эе0риТ- 3 j2>> О .
В 1 дается общая постановка задачи. При учете процессов теплопроводности на границе вещества* (поршне) задаются законы изменения давления и температуры
Т(xf, Ь) = То [%-tf, f= ?&./>л)< О, То-- Т(ао,^к)
Кроме того, так как рассматривается процессы нагрева сжимаемой среды, необходимо выполнение условия д_ /рр~ <П> О (t0t<~tf)'
/
Изучается непрерывные автомодельные решения степенного вида. Исходная задача сводится к неавтономной оиотеме четырех уравнений, зависящей от параметров П , d ,/3 , % с соответствующими граничными условиями (причем условие на фронте является синпуляр-ным). Искомое непрерывное решение с необходимости должно проходить через "особую" поверхность в четырехмерном фазовом пространстве автомодельных представителей газодинамических функций.
Полное исследование подобной задачи являетоя весьма сложным и осуществляется с использованием как аналитических, так и численных методов.
В 2 проводится асимптотический анализ решений, позволяющий сделать заключение об общем характере процесса и его основных свойствах. Определены необходимые уоловия существования репения в зависимости от теплофизичеоких ( oL ,J2> ), газодинамических (/) свойств среды и граничного закона изменения давления (/ь). Показано, что классификация граничных режимов при действии на тепло-> проводную среду отличается от классификации в случае бездиссипа-тивных газодинамических движений ( п$ = -2X/tX+ і) ), не зави-, сит от ^ и определяется параметрами oi nji(т*^'*'^**^?'3*'*^
Установление, что к безударному сжатию теплопроводного газа приводит действие LS -режима (/?1>0 ). Показано, что при приближении к моменту обострения процесс может протекать тремя различными способами (существует три группы асимптотик в окрестности точки, отвечающей моменту обострения). Выделен класс решений и соответствующих им граничных режимов, описывающих эффект совместной локализации тепловых и газодинамических процессов - все величины втечение всего процесса сжатия (как и в адиабатическом случае) ограничены сверху "предельными" кривыми.
В 3 проведено численное исследование локализованных волн сжатия и нагрева в теплопроводной среде.
Первый этап расчетов - нахождение автомодельных решений для ряда значений параметров lb, d , й . Предложен и реализован алгоритм, позволяющий построить непрерывные решения. Асимптотики решения в окрестности поршня и фронта содержат по три (в окрестности особой точки - четыре) независимых параметра. Последовательным варьированием параметров на фронте волны находится положение особой точки, а затем с использованием преобразования подобия пристреливаются значения на другой границе - поршне.
Вторым этапом является проведение расчетов в частных производных и сравнение результатов с полученными автомодельными реше-
14 ниями. Показано, что сжатие теплопроводного газа о обострением при произвольных (например, однородных) начальных данных при росте давления на поршне «* в 50 раз подчиняется автомодельным закономерностям, происходит "выход" на автомодельные решения. В Заключении сформулированы основные результаты работы.
