Введение к работе
Актуальность теми.Многие задачи линейной теории волн в стратифицированной жидкости связаны с уравнением гравитационных волн (с учетом или без учета вязкости),представляющим уравнение в частных производных,не разрешенное относительно старшей іроизводной по времени.В этот класс задач входит задача о малых колебаниях вращающейся жидкости в сосуде (без учета вязкости), зпервые рассмотренная С.Л.Соболевым.Соответствующее уравнение іазквается уравнением внутренних волн (или уравнением Соболева-?альперна).Из большого числа работ,посеящєнннх изучению начальных и начально-краевых задач для уравнения внутренних волн, )тметим здесь работы М.И.Вйшика,М.ЙДайтхилла,Р.Е.Шоувальтера, \ И.Зеленяка,А.М.Ильина,А.А.Дезина,В.Н.Масленниковой,М.Е.Богов-:кого,С.В.Успенского,Г.В.Демиденко,П.Л,Григорьева,В,А.Яковлева.
Особо отметим работы С.Я.Секеря-Зенькович.Э.В.Теодорович, ).А.Гсродцова,С.П.Богданова,П.Л.Григорьева,В.А.Яковлева по ис-иіедованию фундаментального решения оператора внутренних волн.
Достаточно полную библиографию работ,посвященных уравнению шутренних волн,можно найти в монографии Ю.З.Миролольского. *)
Серия работ С.А.Габова (в том числе и в соавторстве) посвята изучению динамики стратифицированной жидкости.В частности, «осмотрена задача о колебаниях бесконечно тонкого диска в тратифицированной жидкости.
3 работах С.А.Габова и Г.О.Малышева,А.Г.Свешникова исследовалась динамика гравитационных волн в вязкой стратифицированной идкости (в приближении Буссинеска).Среди дальнейших исследова-ий случая вязкой жидкости укажем работы И.И.Ляшко, .А.Яковлева,А.В.Глушко.Основное внимание при этом уделялось сследованию задачи Коши при негладких начальных данных, то объясняется традиционным интересом теорий стратафицирован-ых жидкостей к явлению растекания пятна одной жидкости в ругой ("коллапо пятна интрузии").Задача представляет и мате-атический интерес,поскольку в этом случае,вообще говоря,
*) Мироюльский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане.-Л. :Гидромегеоиздаг,I98I.-302<3.
отсутствует классическое (по пространственным переменным) решение.
. Настоящая работа представляет развитие того направления исследований,которое было начато в работах А.В.Глушко, В.А.Яковлева.Мы рассматриваем одну начально-краевую задачу в полуплоскости Х R^ для систем уравнений движения вязкой стратифицированной жидкости.При этом мы отказались от сведения системы уравнений к одному уравнению более высокого пордз ка при помощи перекрестного дифференцирования,поскольку в эт< случае становится труднообозримым физический смысл начальных граничных условий и,кроме того,повышение порядка уравнения требует от исходных данных задачи повышенной гладкости.
Цель ра_бо_ты.Исследование корректности одной начально-кра( вой задачи для линеаризованной системы уравнений гидродинамики, описывающей плоское движение вязкой стратифицированной низ кости.Получение представления решения задачи в пространстве обобщенных функций.Оценка ядер интегральных операторов в формуле представления решения.Доказательство существования и .единственности задачи в пространстве і~г .Оценка норм производных, в ^ решения задачи при определенных условиях гладкости начальных и граничных данных.
Meтодика исследрвания..При построений формулы представлені решения задачи использован метод "отражения",позволяющий свес ти задачу в полупространстве (^ к задаче Коши.а затем и к системе дифференциальных уравнений в пространстве обобщенна функций 5'(}) .При построении решения системы уравнений і . f>'(Ri) используются методы теории обобщенных функций (преобразование Фурье в S' .свертка в 3' а пр.).Ира посі роений решения в 2 используются общие методы ^ -теории.В доказательстве теоремы единственности применены известные утверждения и приемы математической гидродинамики.
Научная новизна.теоретическая и, практическая ценность.Все полученные в диссертации результаты являются новыми.Наиболее важные из них:
- формулировка корректной начально-краевой задачи для сие темы уравнений в частных производных,представляющей линеаризс ванную систему уравнений динамики стратифицированной жидкосп в полуплоскости X Rt и времени t > О
сведение рассматриваемой начально-краевой задачи к дифференциальному уравнению в прстранстве обобщенных функций,
получение на этой основе формулы представления решения,
оценка ядер интегральных операторов в формуле представления фундаментальной матрицы решений - ф.м.р.*), дополняющих и уточняю-іих оценки А.В.Глушко3^ , .
равномерно по времени t оценки норм в ^-,() компонент іешения (и их производных) рассматриваемой начально-краевой задачи іри однородных граничных условиях,
оценки в Z, ($3 X(^)J компонент решения (и их проиэвод-іьїх) рассматриваемой начально-краевой задачи при однородных гранич-:ых условиях,
оценки б/j с весом по Е компонент решения (и их производ-ых) рассматриваемой начально-краевой задачи при однородных начал»-ых условиях,
- доказательство теоремы существования и единственности пос-
авленной начально-краевой задачи.
Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты и ме-оды могут найти применение в общей теории систем уравнений в частых производных, а также при исследовании начально-краевых задач ля скалярного уравнения Соболева-Гальперна. Тема диссертации свя-ана с задачами математической физики, описывающими малые колеба-ия стратифицированной жидкости с учетом вязкости и гравитационных ил.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на оронежских зимних математических школах (1993г. , 1994г.), на эронежской конференции "Понтрягинские чтения ІУ" (1993г.), на ендународной конференции в г.Севастополе (1993г.), на семинаре роф. С.Г.Крейна в Воронежском лесотехническом институте.а также а семинарах проф. В.П.Глушко в Воронежском госуниверситете.
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [l-?\. ээультаты работ [ 1-2], совместных с А.В.Глушко, не вошли в диссер-ацию.' В совместной работе [ 7 \ А.В.Глуико принадлежит постановка эдачи, оценки корней характеристического многочлена и элементов ,м.р., не вошедшие в данную диссертацию.
Глушко А.Ъ. Асимптотика при І ~~ ^ решения задачи коллапса пятна интрузии в вязкой стратифицированной жидкости // Математические заметки. -1993. -Т. 53. -Вып.1. -С.16-24.
Структуру и .об_^е.м .даботы.Дисоертавдя содержит 135 страниц машинописного текста и состоит из введения,четырех глав и списка литературы,включающего 43 наименований.
