Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Постановка задачи. общие факты
1.1. Обоснование задачи
1.1.1. Основные понятия 14
1.1.2. Вариационное обоснование задачи 17
1.1.3. Условия трансмиссии 22
1.2. Корректная постановка задачи
1.2.1. Постановка задачи 24
1.2.2. Невырожденность задачи 25
1.2.3. Корректность 28
1.3. Функция грина
1.3.1. Существование функции Грина 34
1.3.2. Основные свойства функции Грина 39
ГЛАВА 2. Знакорегулярные свойства задачи
2.1. позитивная обратимость задачи 46
2.2. Знакорегулярность функции грина
2.2.1. Отсутствие внутренних нулей 52
2.2.2. Простота нулей на границе 63
23. Свойства позитивного спектра 86
2.3.1. Теорема о главном собственном значении 88
2.3.2. Теорема о собственной ветви для задачи с вогнутой нелинейностью -
2.3.3. Знакорегулярные оценки функции Грина 89
2.3.4. Вспомогательные фрагменты из теории конусов 91
2.3.5. Завершение доказательства теорем 2.3.1 и 2.3.2 95
Литература 97
- Корректная постановка задачи
- Функция грина
- Знакорегулярность функции грина
- Свойства позитивного спектра
Введение к работе
Обыкновенные дифференциальные уравнения на графах - новое научное направление, возникшее около двух десятилетий назад и привлекшее активный интерес многих исследователей во всем мире. Качественный анализ краевых задач с внутренними особенностями начался уже в 30-е годы XX в. в работах М.Г. Крейна и Ф.Р. Гантмахера, изучивших гармонические колебания многоопорной балки. И хотя свое зарождение теория краевых задач ведет от работ Л. Эйлера, математической моделью у Гантмахера — Крейна служило интегральное уравнение, порождаемое функцией влияния, а классическое уравнение прогиба стержня
(EJu")"=f (0.1)
выступало лишь как локальный ( между опорами ) фрагмент, использовавшийся как вспомогательная информация при анализе формы прогиба. С помощью достаточно тонкой теории ядер Келлога для многоопорного стержня (заодно с обычным) удалось объяснить математическую природу гармонических свойств спектра собственных колебаний. С этих результатов началась геометрическая теория М.Г. Крейна пространств с конусами и осцилляционная спектральная теория, как развитие теории Штурма-Лиувиля. Для двухточечных краевых задач завершающие результаты подобного типа были получены в работах С. Карлина, А.Ю. Левина, Г.Д. Степанова и др.
Нестандартный характер задачи о многоопорном стержне, связанный с внутренними особенностями соответствующих решений уравнения (0.1), стали предметом анализа в работах Ю.В. Покорного ( 70-80 годы ),
изучавшего многоточечные краевые задачи с дефектами гладкости решений. В этой связи следует отметить работы В.Я. Дерра. Методы Ю.В. Покорного нашли развитие при анализе математической модели цепочки упруго-сочлененных континуумов, а затем — на нестандартных задачах, возникающих при описании сетеобразных систем.
С начала 80-х годов спонтанно в разных странах началось активное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (метрических сетях), породившее многие сотни работ [18, 30, 40, 41, 42, 46, 51, 53, 54, 56, 59]. Наиболее изученными здесь оказываются уравнения 2-го порядка. Воронежское направление характеризуется развитием идей и методов М.Г. Крейна и М.А. Красносельского применительно к знакорегулярньгм свойствам линейных и нелинейных краевых задач, связанных со знакопостоянством и специальными оценками функции Грина. В 90-е годы начали появляться работы для уравнений 4-го порядка на графах, связанные с описанием решеток из стержней ( Ю.В.Покорный, Р. Мустафокулов, А.В. Боровских [15, 33, 36] ). Несколько лет назад появились работы для разнопорядковых задач на графах, где на разных ребрах задавались уравнения четвертого и второго порядков. Детальному анализу здесь подвергнут случай простого креста и элементарный случай простейшего присутствия цикла ( Ю.В. Покорный, Т.В. Белоглазова, К.П. Лазарев [38]).
Следует отметить, что даже в случае уже основательно изученной задачи Штурма-Лиувиля на графе присутствие цикла влечет нарушение ряда основополагающих свойств — от простоты точек спектра до корректности самой задачи. Поэтому для разнопорядкового уравнения наличие у графа хотя бы даже одного цикла означало присутствие принципиально новой трудности в условиях полного отсутствия каких-либо стандартных наработок.
В диссертации изучается разнопорядковая задача на графе при наличии целой серии циклов, что означает заведомое присутствие качественно новых трудностей. Для этой задачи устанавливается ее интегральная обратимость, строгая положительность соответствующей функции влияния, называемой функцией Грина. Доказательство точных двухсторонних оценок функции Грина обеспечивает применение общих теорем М.А. Красносельского и М.Г. Крейна для сильно-положительных операторов и теорем М.А. Красносельского и И.А. Бахтина о непрерывных ветвях собственных векторов для нелинейных операторов, что определяет актуальность и значимость работы.
Существенной особенностью работы является описание условий трансмиссии, т.е. условий « склейки » решений в узлах графа, на основе вариационных соображений исходя из физической природы прототипа задачи. Именно « натуральная природа » этих условий позволяет развить специальную технику анализа распределения нулей у решений « дифференциальных » неравенств.
Целью работы является корректная постановка разнопорядковой задачи на графе с многими циклами, анализ функции влияния краевой задачи, возникающей при моделировании канатного моста. Доказательство знакорегулярных оценок функции Грина. Доказательство простоты ведущего собственного значения для линейной спектральной задачи и существование неограниченной собственной ветви собственных функций для задачи с вогнутой нелинейностью.
В работе используются качественные методы анализа дифференциальных уравнений на пространственных сетях, соответствующие методы анализа функции Грина, а также методы теории операторных и интегральных уравнений в полуупорядоченных пространствах.
В настоящей работе исследуется, если употреблять традиционную терминологию, система обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых задано на своем ребре пространственной сети ( геометрическом графе ) Г. Каждое уравнение имеет второй или четвертый порядок, соответствуя математической модели струны или стержня. Рассматриваемая геометрическая сеть Г имеет форму, фигурально выражаясь, как бы положенной на бок ( в вертикальной плоскости ) лестницы, являясь аналогом формы канатного моста. Точнее, Г соответствует двум горизонтальным упругим континуумам над отрезком [0,1], соединенным вертикальными перемычками. На каждом куске верхнего континуума и на каждой вертикальной перемычке задается уравнение
-№)'=/, (0.2)
определяющее деформацию классической струны, а на каждом куске нижнего континуума задается уравнение четвертого порядка
faY=f, (0.3)
соответствующее деформации упругого стержня. Производные здесь берутся по направленному параметру ( вдоль соответствующего ребра ). В четырех концевых точках предполагается условие обычного закрепления, в концах каждого стержня - условие шарнира ( т.е. цепочка стержней сочленена шарнирно и концы ее закреплены шарнирно ). В точках стыковки ребер решения предполагаются связанными непрерывно. В этих точках присутствуют также естественные условия связи, называемые обычно условиями трансмиссии и порождаемые физическими условиями баланса
напряжения. Мы всюду далее в работе используем термины из теории дифференциальных уравнений на графах [3].
Первая глава диссертации посвящена постановке задачи и анализу общих свойств. В 1.1 дается вариационное обоснование исследуемой задачи, в том числе в точках < 2 < < л-і из интервала (0,1), соответствующих стыкам, установлены условия трансмиссии, имеющие для нижних узлов a t вид
А(ря")'(а{) - faWat+O) = О (ОА)
и для верхних узлов b і вид
A(qz')(bt) + (qz'Xbi+O) = 0. (0.5)
Здесь нами, как это принято в теории уравнений на графах, через z,- '(к +0) обозначена крайняя производная в точке %к сужения решения z(x) : Г -> R на 1-е ребро Yt- Через А <р{) обозначен скачок <р{ + 0) - (p(J; - 0).
Обозначая в целом решение задачи через z(x) при 0 <х < I мы для удобства применяем разные обозначения для сужения z(x) на верхние, вертикальные и нижние звенья Г. Деформацию верхнего континуума мы обозначим через v(x) : f 0,1 J -> R, деформацию нижнего континуума ( цепочки стержней ) обозначим через и(х) : [ 0,1 ] -> R. Вертикальные ребра нашей лестницы Г, « лежащей на боку », соответствующие точкам i,2>—*n-i отрезка [ 0,1 ], мы будем обозначать отрезками [ait bj, приписывая a t нижним концам, a bt верхним концам. На каждой такой перемычке сужение решения z(x) на [ait bj мы обозначим через hrfx).
При разговоре о « верхней » функции v(x) мы точки будем отождествлять с точками bj. В этих точках, согласно 1.1 диссертации, должны быть заданы условия трансмиссии вида
A(qv')(bi) + (q.hCXb^O) = 0. (0.6)
В узлах нижней цепочки условия трансмиссии приобретают вид
А(ри")'(а;) - (д^;')(а;+0) = 0. (0,7)
Кроме этого, для « нижнего » решения и(х) должны выполняться условия шарнира
(ри")(4г 0) = фиЖ + 0) = 0 (i=0, 1,..., п). (0.8)
Систему уравнений (0.2), (0.3) мы записываем в виде единого уравнения
(pz'T - (qzy = f, (0.9)
где функции р(х), q(x) заданы на всем графе так, что q(x) = 0 на нижнем континууме, а р(х) = 0 на вертикальных ребрах и верхнем континууме. При этом р(х) и q(x) положительные и достаточно гладкие на тех ребрах, где они не принимают нулевых значений.
Условия трансмиссии и условия шарнира мы относим к определению решения вновь заданного уравнения (0.9). Мы предполагаем выполнение условия непрерывности во всех внутренних вершинах. Определенное таким
образом на Г разнопорядковое дифференциальное уравнение мы дополним условиями типа Дирихле
z\ar = 0, (0.10)
где дГ состоит из четырех точек — концов нашей системы.
В 1.2 установлена корректность описанной задачи, а именно, доказано, что для любой непрерывной на Г правой части уравнения (0.9) рассматриваемая задача однозначно разрешима и, более того, что решение мало меняется при малом изменении правой части.
1.3 посвящен построению функции Грина исследуемой задачи. Мы используем концепцию Вейля, называя функцией Грина ядро интегрального оператора, обращающего исходную задачу. Таким образом, мы строим функцию двух переменных G(x,s), позволяющую выразить решение исходной задачи в виде
z(x)= JG(x,s)f(s)ds. (0.11)
Построение G(x,s) осуществляется опорой на локальные функции Грина, определенные уравнением (0.9) на каждом ребре Г при каких-либо краевых условиях на этом ребре, с последующим конечномерным возмущением этой функции так, чтобы определенное формулой (0.11) решение удовлетворяло всем условиям — краевым и условиям связи во внутренних узлах. В рамках этой конструкции удается проследить за свойствами типа регулярности G(x,s)>
А именно, в работе показано, что: 1) функция G(x,s) непрерывна по совокупности переменных на ГхГ;
функция Грина G(x,s) при каждом х Ф s удовлетворяет по jc однородному уравнению Lz = 0 и краевым условиям и условиям трансмиссии во внутренних узлах;
если s принадлежит одному из « струнных ребер », то производная G'(x,s) в точке х = s имеет единичный скачок
G'(s + 0,s)- G'(s -0,s)=-l;
4) если s принадлежит нижнему континууму, то
G"'(s + 0,s)- G'"(s -0,s) = l.
В 2.1 второй главы изучаются знаковые свойства решений дифференциального неравенства
Lz > 0, (0.12)
где под неравенством (0.12) мы понимаем уравнение (0.9) при / > 0 и всех необходимых условиях (0.6), (0.7), (0.8), (0.10).
Устанавливаются следующие факты. ТЕОРЕМА 2.1 Любое решение дифференциального неравенства Lz > 0 неотрицательно на Г.
Лемма 23 Производная нетривиального решения неравенства не имеет нулей в обоих концах верхнего континуума.
Лемма 2.4 На границе нижнего континуума производная z'(x) не обращается в нуль. Лемма 2.5 Функция z(x) не имеет нулей внутри Г.
В 2.2 изучены знаковые свойства функции Грина. ТЕОРЕМА 2.2 Функция Грина G(x,s) рассматриваемой задачи строго положительна внутри своей области определения.
Доказано, что производная по х функции G(x,s) не обращается в нуль на границе Г.
В 2.3 устанавливаются оценки функции Грина. ТЕОРЕМА 2.7 Пусть z0 (х) - решение нашей задачи для уравнения Lz = 1. Тогда для каждого s существуют числа a(s) > 0 и J3(s) < оо такие, что равномерно по х справедливы неравенства
z0(x) a(s) < G(x, s) < z0(x) p(s), (0.13)
причем a (s), p(s) суммируемы на Г.
Из оценок (0.13) вытекает, что интегральный оператор
(Gz)(x) = JG(xts)z(s)ds (0.14)
является и о - положительным в смысле М. А. Красносельского. Далее рассматривается спектральная задача
Lz = Xm(x)z, z\dr =0. (0.15)
Она эквивалентна уравнению
z(x)= Л JG(x,s)m(s)z(s)ds. (0.16)
Так как интегральный оператор G является м0- положительным, то к
уравнению (0.16) применима теорема М.А. Красносельского и М.Г. Крейна.
Поэтому ведущее собственное значение задачи (0.15) обладает следующими
свойствами.
ТЕОРЕМА 2.5 Пусть функция т(х) суммируема и неотрицательна
( т(х)ф,0 ) . Тогда для задачи (0.15) справедливы следующие свойства:
а) существует позитивное собственное значение Я 0;
б) это собственное значение является вещественным, строго положительным
и простым, т.е. корневое пространство, соответствующее Я 0, одномерно;
в) Я 0 строго меньше модулей остальных точек спектра;
г) соответствующая Я 0 собственная функция z0 (х) не имеет нулей в Г;
д) для любой знакопостоянной на Г собственной функции задачи (0.15)
соответствующее собственное значение совпадает с Я 0, а сама собственная
функция должна быть коллинеарна z0(x).
В 2.3 изучается также нелинейная краевая задача
Lz = Xf(x,z), z\dr =0. (0J7)
Она эквивалентна уравнению
z(x) = X\G{x,s)f(s,z(s))ds. г
В силу и0- положительности интегрального оператора G мы можем
использовать теорему М.А. Красносельского и И.А. Бахтина о вогнутых операторах.
ТЕОРЕМА 2.6 Пусть f(x, z) при хєГ строго возрастает по z и строго вогнутая, т.е.
f(x, Лг) > Xf(x,z) (0< Л < 1).
Тогда существует интервал ( ЛоЛ ) ( ПРИ 0 < Л^ < Лж <со ) такой, что каждому Я из этого интервала отвечает единственное нетривиальное решение z(x, Л ) задачи (0.17). При этом
а) z(x, Я ) строго возрастает по Я;
б) |г(д:,Я)||->оо при Л^-Лп и ||г(хД)| -»0 при Л-^Л^.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1, 14, 23-27]. Они докладывались на Воронежских весенних математических школах в 2003г., 2004г., на научных семинарах проф. Ю.В. Покорного, проф. А.И. Перова, проф. А.Г. Баскакова.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Ю.В. Покорному за постоянное внимание и помощь в работе.
Корректная постановка задачи
Согласно предыдущему мы будем рассматривать дифференциальную систему вида Уравнение (1.12) будем рассматривать в классе функций, удовлетворяющих во внутренних узлах условиям а в граничных точках системы Г исходным условиям закрепления где u(x) и v(x) - сужения z(x) на нижний и верхний континуум системы Г . (1.12)-(115) однозначно разрешима при любых правых частях. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем вначале, что однородная задача имеет только тривиальное решение, т.е. z(x) = 0. Предположим противное. Тогда существует функция z(x), не тождественно равная нулю, удовлетворяющая уравнению Lz = 0 и всем дополнительным условиям. Дальнейшие рассуждения проводим именно для этой функции z(x) , подставляя ее во все уравнения и условия. Рассмотрим равенство Lz = 0 на стержнях у, (і = 1,2,...,п). На каждом из них имеем (pz")" =0 и (pz")(x) = 0 на границах сегментов у,. Поэтому pz" = 0 на yt. Но тогда (pz") = 0 вне зависимости от ориентации yt и в силу того, что во внутренних шарнирах при х = а, выполняется условие гладкости А(рг") (а{) - (qz )(ai +0) = 0, то мы должны иметь (qz )(a, + 0) = 0 вдоль вертикальных сегментов є, (і: = 1,2,...,п-1). Но на этих сегментах Lz = -(qz ) , т.е. —(qz y = 0 , что означает (qz )(x) есть константа. Так как (qz )(ai + 0) = 0, то (qz )(x) есть нулевая константа на каждом є{. Это означает, что условия трансмиссии (1.11) в верхних узлах при х = Ь, имеют нулевые слагаемые от вертикальных сегментов. Если все сегменты Kt ориентированны единым образом слева направо, то каждое условие гладкости в узлах Ъ, будет означать условие непрерывности (в этих узлах) первой производной. Тем самым мы на верхнем горизонтальном континууме, объединяющем :, (і = 1,2,...,п) и соответствующем верхнему тросу, имеем уравнение - (qz ) = 0 с нулевыми условиями на концах и с решением, не только непрерывным во внутренних узлах, но и имеющем в этих узлах непрерывную производную. Значит, z(x) есть тождественный нуль на к, (і = 1,2,...,п). Так как z(x) есть константа на любом вертикальном сегменте, принимающая нулевое значение в верхнем узле Ьіь то z(x) есть тождественный нуль на каждом et (і = 1,2,...,п-1). Но в силу непрерывности z(x) обращается в нуль в каждой точке at при стремлении к ней как слева, так и справа. Таким образом, z(x) обращается в нуль на концах каждого из сегментов у, ( і = 1,2,...,п ), имея на каждом из этих сегментов нулевую вторую производную. Это означает, что z(x) тождественно равна нулю на у,. Таким образом, z(x) = 0 на всем Г. Итак, при нулевых правых частях, т.е. при отсутствии внешнего напряжения, задача имеет тривиальное решение, т.е. система имеет нулевую деформацию.
Покажем, что отсюда вытекает однозначная разрешимость краевой задачи. Мы используем схему, хорошо известную специалистам по краевым задачам, однако, детально нигде не написанную. Покажем вначале, что для любой правой части f(x), заданной на Г, существует некая функция z0(x), удовлетворяющая всем дифференциальным уравнениям нашей системы во внутренних точках Г. Для сокращения разговора будем обозначать через yf при какой-либо нумерации произвольное ребро Г. Этому ребру соответствует дифференциальное уравнение Lz = f, имеющее вполне классический вид уравнения второго или четвертого порядка. Задавая на концах этого у, какие-либо условия, определяющие невырожденную задачу, обозначим через Kt(x,s) функцию Грина, соответствующую этой краевой задаче. Тогда для любой / ; Г — R формула z, = [Ki{xys)f{s)ds дает некоторое частное решение уравнения Гі Lz =/ на интервале yt. Если мы введем в рассмотрение функцию H(x,s), которая совпадает с Kt(x,s) при (x,s) eytxyit учитывая при этом весь набор {у,} , а за пределами квадратов у, х у. будем полагать H(x,s) = О, то для любой f(x) формула ( здесь мы прежнюю zt (х) считаем продолженную нулем за пределами /, ) дает представление некоторого частного решения уравнения Lz = f на. наборе U у І Покажем теперь, что это решение можно деформировать линейной комбинацией решений однородного уравнения, разрывных в вершинах Г так, чтобы удовлетворять всем краевым условиям. Рассмотрим на каждом ребре у, фундаментальную систему решений соответствующего ему однородного уравнения. Продолжим каждое из таких решений тождественным нулем за пределами его носителя. Самым обычным
Функция грина
Нам будет необходимо пользоваться функционалами, определяющими краевые условия на концах и все условия согласования исходной задачи. Чтобы не усложнять изложение мы их будем обозначать в общем виде 1к при какой-либо нумерации. Так, например, некоторые функционалы при некоторых к будут Здесь мы не связываем к с /, так как каждой из таких точек всего будет соответствовать не менее 8 условий. При других номерах такие функционалы могут иметь вид Ясно, что условий такого вида будет столько, сколько точек , т.е. 2п. Теми же точками j- порожда качестве H(x,s) можно брать обычную функцию Коши. У нас функция H(x,s) строится из функций Грина двухточечных задач на ребрах /, = С#і-ь/Л i=l, 2,..., п. На ребре yt рассмотрим задачу Обозначим ее функцию Грина через Gj(x,s), (x,s) є yt x yt. На ребре KJ рассмотрим задачу Ее функцию Грина обозначим через Gj (x,s), (x,s) є KJ X KJ . Аналогично строим Gm(x,s), (x,s) (вєтхєт. Функцию H(x,s) определим формулой Из этого определения видно, что H(x,s) непрерывна в целом на Г по совокупности переменных, так как любая из частных функций Грина, участвующих вдоль диагонали в определении общей функции Грина, равна тождественно нулю на своей исходной области определения у( х jrt. Покажем теперь, что функция z(x), построенная по формулам (1.22),(1.23), является решением уравнения (1.20) на графе Г, так как В последнем равенстве первое слагаемое является частным решением неоднородного уравнения, а второе слагаемое — решением однородного уравнения. Тогда Lz = f. Для того, чтобы функция (1.23) была решением задачи (1.21), достаточно подобрать функции ?, (s) так, чтобы они удовлетворяли условиям lk(G(;s)) = 0, k=l,...,N
При каждом s данная система равенств является относительно с, (s) линейной алгебраической системой уравнений. Определитель ются условия, определяемые формулами используется обозначение вида Ag() как обозначение скачка Аналогичным образом через 1к будем обозначать функционалы, порождаемые остальными условиями исходной задачи, например, условиями вида ( здесь, напомним, и(х) - сужение z(x) на нижний континуум ). При необходимости конкретной специфики функционала 1к мы будем его явным образом описывать, опираясь на локальную окрестность порождающего этот функционал узла. И номер его функционала при этом, естественно, использоваться не будет. Всего функционалов 1к будет N = 8n-2. Тогда исходную задачу можно записать в виде 1.5 Для задачи (1.21) существует функция G(x,s) на ГхГ такая, что решение задачи может быть представлено в виде где H(x,s) - фундаментальное решение уравнения Lz = 0, (x,s) є ГхГ, а ФІ (х) - фундаментальная система решений уравнения Lz = 0 на графе Г. Здесь мы под фундаментальным решением понимаем, как это принято на семинаре Ю.В. Покорного, любую функцию H(x,s), определенную при 0 x,s /, и такую, что формула определяет решение уравнения Lz — у. В качестве H(x,s) можно брать любую функцию Грина при произвольных краевых условиях для уравнения Lz = у. В частности, для классических задач в качестве H(x,s) можно брать обычную функцию Коши. У нас функция H(x,s) строится из функций Грина двухточечных задач на ребрах /, = С#і-ь/Л i=l, 2,..., п. На ребре yt рассмотрим задачу Обозначим ее функцию Грина через Gj(x,s), (x,s) є yt x yt. На ребре KJ рассмотрим задачу Ее функцию Грина обозначим через Gj (x,s), (x,s) є KJ X KJ . Аналогично строим Gm(x,s), (x,s) (вєтхєт. Функцию H(x,s) определим формулой Из этого определения видно, что H(x,s) непрерывна в целом на Г по совокупности переменных, так как любая из частных функций Грина, участвующих вдоль диагонали в определении общей функции Грина, равна тождественно нулю на своей исходной области определения у( х jrt. Покажем теперь, что функция z(x), построенная по формулам (1.22),(1.23), является решением уравнения (1.20) на графе Г, так как В последнем равенстве первое слагаемое является частным решением неоднородного уравнения, а второе слагаемое — решением однородного уравнения. Тогда Lz = f. Для того, чтобы функция (1.23) была решением задачи (1.21), достаточно подобрать функции ?, (s) так, чтобы они удовлетворяли условиям lk(G(;s)) = 0, k=l,...,N При каждом s данная система равенств является относительно с, (s) линейной алгебраической системой уравнений. Определитель det (/ ( ,)) этой системы отличен от нуля - это нами установлено и использовалось в доказательстве теоремы 1.1. Поэтому набор {ск (s)} определяется однозначно. СЛЕДСТВИЕ. Функция Грина G(x,s) исследуемой задачи может быть определена формулой где H(x,s) - «фундаментальное решение» исходного уравнения и { р{(х)}{=1 - фундаментальная система решений обобщенных (т.е. разорванных в узлах) решений однородного уравнения.
Знакорегулярность функции грина
На нижних горизонтальных сегментах yi имеем (ри")" 0 и и" = 0 на концах каждого у,. Обозначим и" = у. Тогда для у получаем задачу: (ру)" 0 с двухточечными условиями у (a J = 0, у(ам) = 0. Так как (ру)" 0, то (ру) возрастает на yt и может менять знак не более одного раза с минуса на плюс. Если у (х) не меняет знак, то у(х) монотонна на у, и, так как на границах /( имеет нули, должна быть тождественным нулем. Если же у (х) меняет знак, то для некоторой точки т мы должны иметь у (х) 0 при дс г, и у (х) 0 при х т. Отсюда следует, что у(х) не возрастает на (аі}т) и не убывает на (т,ам) имея на концах а,,аы нули. Значит, у(х) 0 на каждом сегменте yl . Поэтому и" 0 на любом уг Так как вторая производная функции и(х) неположительная на yi , а в концевых точках а, этих сегментов она по условию шарнира должна быть нулевой ( т.е. фи")(аі± 0) = 0 ), то при удалении от каждого узла я, функция и"(х) убывает, т.е. соответствующая крайняя производная фи Уа, + 0) ( фи") (а, - 0) ) ( при ориентации окрестности а, в направлении « от а,» ) неположительная. Из условия гладкости (1.10) имеем А фи") (aJ 0. Значит, (qih, )(a, + 0) 0. Тогда (д{И,г)(Ь,+0) 0 на каждом сегменте et и в силу условия трансмиссии (1.11) получаем A(qv )(bJ 0. Так как производная (qv ) 0, то qv убывает и при переходе через bt имеет отрицательный скачок. Следовательно, v (x) в целом на верхнем континууме убывает. Поэтому v (x) может менять знак не более одного раза с плюса на минус. Таким образом, либо v (x) всюду не меняет знак и тогда v(x) монотонна на всем отрезке [0,1] и, так как на концах есть условие закрепления (1.1), то она должна быть нулем. Если же v (x) меняет знак, то для некоторой точки мы должны иметь v (x) 0 при х , v (x) 0 при л: , причем v(0) = v(l) = 0. Отсюда следует, что v(x) не убывает на (0, ), не возрастает на (,1), значит, она неотрицательная в целом на [0,1]. Дальнейшие рассуждения существенно опираются на следующие вспомогательные утверждения. Лемма 2.1 Если на отрезке [а,Ъ] справедливы неравенства и" 0 , и (а) 0, и(Ь) 0, то и(х) 0 при всехх є [а,Ъ]. Доказательство. Так как и" 0, то функция и (х) не возрастает на [а,Ъ] . Отсюда и из неравенства и (а) 0 следует, что и (х) 0 на всем [а,Ъ] . Но тогда и(х) не возрастает на [а,Ъ], причем, и(Ь) - 0. Значит, и(х) 0 при всех х є [a,b]. Лемма 2.2 Пусть и" 0, и(0) 0, и(1) 0. Тогда и(х) 0 для всех х є [0,1]. Доказательство. Введем в рассмотрение линейную функцию g0(x), которая обладает свойствами Пусть v(x) = и(х) - g0(x). Тогда v"(х) = и"(х) - g0 "(х) и v" 0, v(0) = О, v(l) = 0. Значит, функция v (x) убывает на [0,1]. Если v (x) не меняет знак, то функция v(x) монотонна и должна быть нулевой. Если v (x) меняет знак с плюса на минус, то для некоторой точки имеем v (x) 0 при х , v (x) 0 при х . Кроме этого, v(0) = v(l) = 0. Отсюда следует, что v(x) не убывает на (0, 4), не возрастает на (,1), значит, неотрицательна в целом на [0,1]. Поэтому и(х) - g0(x) 0 и и(х) g0(x). Так как g0(x) 0, то и(х)
О для всех х е [0,1]. Вернемся к доказательству теоремы. Для каждой функции А, (х) на сегментах є, справедливы неравенства В силу леммы 2.1 все функции ht (х) неотрицательные на любом сегменте et. На каждом сегменте у І Для функции и(х) имеем Следовательно, в силу леммы 2.2 получаем, что функция и(х) неотрицательная на каждом сегменте yt. Теорема доказана. Лемма 23 Производная нетривиального решения неравенства не имеет нулей в обоих концах верхнего континуума. Доказательство. Предположим противное, например v (0) = 0. Напомним, что решение z(x) исходной задачи мы размножаем обозначениями в виде z(x)=u(x) на сегментах /{ нижнего континуума, z(x)= v(x) на горизонтальных звеньях Kt нижнего континуума и z(x) = h(x) на вертикальных тросах et. Рассмотрим сегмент кх. На нем -(qv ) 0, т.е. (qv ) 0. Значит, (qv )(x) убывает на кх. По предположению v (0) = 0. Получаем v (x) 0 при х О на сегменте кх. Тогда и функция v(x) оказывается убывающей и, в силу условия закрепления v(0) = 0, отрицательной на кх. Но по теореме 2.1 функция z(x) неотрицательная на всем Г. Полученное противоречие показывает, что v (0) Ф 0. Аналогично доказывается, что у (1)ф0. Лемма 2.4. На границе нижнего континуума производная z (x) не обращается в нуль. Доказательство. Предположим противное, например и (0) = ft На сегментах уt имеем фи")" 0 и и" = 0 на концах каждого у,. Обозначим и" = у. Тогда для у получаем задачу: (ру)" 0 с двухточечными условиями у (a J - 0, у(ам) = 0. Так как (ру)" 0, то (ру) возрастает на у, и может менять знак не более одного раза с минуса на плюс. Если у (х) не меняет знак, то у(х) монотонна на yt и, так как на границах у{ имеет нули, должна быть тождественным нулем. Если же у меняет знак, то для некоторой точки г мы должны иметь у (х) 0 при х т, и у (х) 0 при х т. Отсюда следует, чтоу(х) не возрастает на (а„ т) и не убывает на (т,ам) имея на концах а1Уам нули. Значит, у(х) 0 на каждом сегменте у,. Поэтому и" 0 на любом у,. Рассмотрим сегмент у\ Вторая производная и" 0. Тогда « убывает на /j и, в силу того, что и (0) = 0, имеем на сегменте /} отрицательную производную и (х). Это означает, что на ух функция и(х) оказывается убывающей и, в силу условия закрепления и(0) = 0, имеем и(х) 0 на сегменте у\. Но по теореме 2.1 решение z(x) неотрицательное. Следовательно, на границе нижнего континуума и (0) Ф 0. Аналогично доказывается, что и (1) Ф 0. Лемма 2.5 Функция z(x) не имеет нулей внутри Г. Доказательство. Предположим противное. Пусть внутри Г есть нули функции z(x). Множество всех этих нулей есть замкнутое множество. Тогда множество всех остальных точек открытое и состоит из объединения связных открытых подмножеств. Так как на границе Г функция z(x) = 0 и z (x) Ф О, то каждая граничная точка принадлежит одному из этих подмножеств. Рассмотрим открытое множество, максимальное по вложению, где z(x) Ф 0. Если оно не совпадает со всем Г, то существует граничная точка, лежащая внутри Г. Пусть граничная точка лежит на горизонтальной струне, т.е. є Kj и z() = 0. Точка оказывается точкой минимума и, так как в окрестности этой точки функция неотрицательная, то z () = 0. Дня всех х , функция z(x) ф 0. На верхних горизонтальных сегментах хг, имеем -(qz ) 0, т.е. (qz ) 0. Значит, на этих сегментах производная (qz )(x) убывает. Так как z () = 0, то (qz )(x) 0 при х . Это означает, что функция z(x) убывает и так как z() - 0, то z(x) 0 при х %. Но по
Свойства позитивного спектра
При анализе собственных колебаний исследуемой системы стандартные соображения приводят к спектральной задаче где т(х) - плотность распределения масс на нашей физической системе, т.е. на Г. Мы предполагаем оператор L тем же, что и в предыдущих параграфах с прежними условиями трансмиссии в узлах Г и теми же условиями в четырех граничных точках. Перенося терминологию М.А. Красносельского из теории положительных операторов [10] на задачу (2.1), назовем число Л позитивной точкой спектра задачи (2.1), если этому Л соответствует собственная функция, неотрицательная на Г. Напомним, что строго положительные собственные значения задачи (2.1) должны являться квадратами собственных частот собственных колебаний, а собственные функции задачи (2.1) определяют формы ( в физических терминах - стоячие волны или амплитудные функции ) этих колебаний. Если наименьшее по модулю собственное значение задачи (2.1) является вещественным и положительным - а именно этот вопрос является одним из центральных в дальнейшем тексте — то оно определяет наименьшую собственную частоту, соответствующую главному тону гармонического колебания. Остальные собственные частоты соответствуют обертонам, т.е. тонам более высокой частоты. Соображения физической аналогии наводят на мысль о том, что амплитудная функция ведущего колебания не может иметь узлов внутри многообразия подвижных точек исходной системы. Однако, строгое доказательство подобного свойства оказалось нетривиальным даже для задачи Штурма-Лиувиля на отрезке и плоской задачи Дирихле ( обычная мембрана ). Это физически наглядное свойство, важное в самых разнообразных вопросах, оказывается справедливым и для нашей разнопорядковой краевой задачи. Настоящий параграф посвящен доказательству простоты ведущего собственного значения для нашей задачи с уравнением (2.1) и аналогичному результату для уравнения с вогнутой нелинейностью. Соответствующие результаты мы формулируем в пунктах 2.3.1, 2.3.2 и доказательство этих результатов мы разбиваем на ряд этапов. Главный из них — доказательство знакорегулярных оценок функции Грина задачи проводится в пункте 2.3.3 и позволяет установить и0- положительность интегрального оператора обращающего задачу (2.2), что открывает возможности для применения абстрактных результатов теории М.А. Красносельского. Эти результаты приводятся в пункте 2.3.4 и применяются в пункте 2.3.5 для соответствующих интегральных уравнений, адекватных изучаемым задачам ( линейной и нелинейной ). 2.5
Пусть функция т(х) суммируема и неотрицательна (т(х)ф.О ) . Тогда для задачи (2.1) справедливы следующие свойства: а) существует позитивное собственное значение Я 0; б) это собственное значение является вещественным, строго положительным и простым, т.е. корневое пространство, соответствующее Я 0, одномерно; в) Я 0 строго меньше модулей остальных точек спектра; г) соответствующая Я 0 собственная функция z0 (х) не имеет нулей в Г; д) для любой знакопостоянной на Г собственной функции задачи (2.1) соответствующее собственное значение совпадает с Я 0, а сама собственная функция должна быть коллинеарнаг0 (х). При анализе нелинейных задач нередко возникает необходимость анализа нелинейного спектра. Например, для задачи Если f( х, z) линейна по z, то мы имеем дело с предыдущей спектральной задачей. Нас будет интересовать вопрос о нетривиальных решениях задачи (2.4), которые мы будем называть квазисобственными функциями, для случая нелинейности по z функции f( х, z ). Мы делаем физически естественное предположение о непрерывности и неотрицательности f(x, z) при z О и f(x, 0)=0. Мы сохраняем для L все прежние « краевые » условия. ТЕОРЕМА 2.6 Пусть f(x, z) при є Острого возрастает no z и строго вогнутая, т.е. Тогда существует интервал ( Я Л , ) ( при 0 Я0 Яао ао ) такой, что каждому Л из этого интервала отвечает единственное нетривиальное решение z(x, Л ) задачи (2.4). При этом а) z(x, Л ) строго возрастает по Л; б) Z(JC,/1)-»OO при Я- Лэд и z(x,/l)-»0 при Л-»Ло. 2.7 Пусть z0 (х) - решение нашей задачи для уравнения Lz = 1. Тогда для каждого s существуют числа a(s) 0 и J3(s) со такие, что равномерно по х справедливы неравенства причем a(s), J3(s) суммируемы на Г. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть z0(x) - решение уравнения Lz = 1. Так как правая часть этого уравнения положительная, то в силу теоремы 2.1 и леммы 2.5 решение z0 (х) строго положительно всюду на Г и производная z0 (Х) отлична от нуля на границе Г ( леммы 2.3, 2.4 ). При фиксированном s0 рассмотрим функцию g(x) = G( х, s0). По теореме 2.2 функция g(x) строго положительная и на границе Г ее производная не равна нулю ( теоремы 2.3, 2.4 ). Поэтому отношение z0(x) строго положительное во внутренних точках Г и имеет ненулевые пределы на границе Г. Последнее - в силу теоремы Лопиталя, поскольку в окрестностях граничных точек обе функции непрерывно дифференцируемы. Я(х) Значит, отношение может быть доопределено на дГ до функции, z0(x) непрерывной на всем Г, включая границу. Расширенная таким образом на у(Х) Г+дГ функция может считаться непрерывной и строго
