Введение к работе
Актуальность темы. В современных приложениях часто возникают задачи с негладкими данными, что затрудняет их рассмотрение, так как классические результаты получены при жестких ограничениях на гладкость функций, входящих в них. Возникла практическая и теоретическая необходимость в изучении задач с негладкими коэффициентами и рассмотрении их решений в обобщенном смысле.
Цель работы. Диссертация посвящена изучению асимптотического поведения собственных значений и собственных функций одной несамосопряженной краевой задачи с негладкими коэффициентами, получению верхних оценок нормированных собственных функций в случае суммируемой весовой функции и установлению максимально возможной скорости роста собственных функций рассматриваемой задачи в случае различных весовых функций. Доказано, что в случае весовой функции, удовлетворяющей условию Липшица (в регулярном случае) нормированные собственные функции задачи равномерно ограничены.
Научная новизна. 1. Доказано, что множество собственных значений рассматриваемой несамосопряженной краевой задачи в случае суммируемой весовой функции образует счетное множество и расположено в нижней полуплоскости ().
2. Получены верхние оценки нормированных собственных функций рассматриваемой спектральной задачи в случае суммируемых весовых функций, как в регулярном, так и в нерегулярном случае.
3. В регулярном случае () доказана достижимость верхних оценок данной задачи в случае суммируемой весовой функции.
4. Изучено асимптотическое поведение нормированных собственных функций задачи в случае непрерывной весовой функции
5. Установлена возможная скорость роста нормированных собственных функций рассматриваемой задачи в случае весовых функций близких к функциям из класса Гельдера.
6. Доказана равномерная ограниченность нормированных собственных функций рассматриваемой задачи в случае весовой функции, удовлетворяющей условию Липшица.
7. Установлено также, что в случае непрерывных весовых функций и весовых функций из класса порядок роста нормированных собственных функций такой же, как и в объемлющем классе .
Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы при решении различных задач механики, теории упругости, математической физики, оптимального управления, ибо, как известно, спектральные краевые задачи моделируют многие прикладные задачи. Результаты работы могут найти применение и в самой математике при обосновании метода Фурье, при изучении сходимости различных разложений и т.д.
Личный вклад соискателя. Диссертация является самостоятельным научным исследованием. Доказательства всех основных положений получены соискателем. В совместной работе научному руководителю принадлежат постановка задач и намеченная методика их решения.
Внедрение результатов работы. Результаты работы внедрены в учебный процесс в виде разделов в спецкурсах: а) спектральные краевые задачи, б) обобщенная проблема оценок собственных функций несамосопряженных краевых задач, используются при чтении курсов дифференциальных уравнений и уравнений математической физики, а также при разработке тем дипломных и курсовых работ.
Апробация работы. Полученные результаты докладывались и обсуждались на кафедре дифференциальных и интегральных уравнений ЮФУ и на научном семинаре, руководимом профессорами А.Г. Костюченко, А.А. Шкаликовым при механико-математческом факултета МГУ им. М.В. Ломоносова.
Основные результаты диссертационной работы докладывались на Третьей и Четвертой международных конференциях, г. Махачкала 2007-2009, на научно-теоретических конференциях, проводимых в Дагестанском государственном университете (2005-2009г.), на межвузовских конференциях «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (2005-2009г.), на заседаниях семинара по спектральной теории кафедр дифференциальных уравнений и математического анализа (2005-2009г.) Дагестанского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[8].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 57 наименований. Полный объем диссертации составляет 145 страниц машинописного текста.
