Дифференциальные инварианты и спектральный метод в прямых и обратных задачах с переменными коэффициентами Меграбов Александр Грайрович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Общая схема предлагаемого подхода к групповому анализу дифференциальных уравнений ^[и,а]=0с переменными коэффициентами (параметрами) а(х): введение равноправия и(х) и а(ж), вычисление группы в расширенном пространстве (ж, и1 = и, и2 = а), изучение и применение ее дифференциальных инвариантов 35

1.1. Предлагаемый подход к выбору и отысканию допускаемой группы при групповом анализе дифференциальных уравнений F[u, а] = 0 с произвольными переменными коэффициентами (параметрами) а{х): введение равноправия и и а и вычисление допускаемой группы в пространстве (х, и1 = и, и2 = а).. 37

1.2. Основные применяемые обозначения и термины группового анализа. Задача группового расслоения (краткое описание) 43

1.3. Общая схема предлагаемого группового подхода и логическая структура диссертации в гл. 1-4. Обратная задача группового расслоения 46

Глава 2. Рассматриваемая группа G и ее свойства. Построение группового расслоения (в явном виде) для широкого класса дифференциальных уравнений с переменным коэффициентом (параметром) и2(х, у) 52

2.1. Группа G. Ее инварианты, дифференциальные инварианты первого и второго порядка, операторы инвариантного дифференцирования 54

2.2. Основные тождества и связи между дифференциальными инвариантами группы G. Связь группы G с дифференциальной геометрией 57

2.3. Теорема о базисе дифференциальных инвариантов группы G 60

2.4. Групповое расслоение для широкого класса дифференциальных уравнений с произвольным переменным параметром и2(х,у) 72

2.5. Примеры классических линейных и нелинейных уравнений математической физики с произвольным переменным коэффициентом (параметром) и2(х,у), допускающих группу G, для которых теоремы п. 2.4.1, 2.4.2 дают групповое расслоение 82

Глава 3. Разрешающие системы группового расслоения как новый класс дифференциальных уравнений, допускающих представление Лакса. Некоторое новое дифференциальное тождество как результат выполненного группового анализа 86

3.1. Различные формы системы R и разрешающей системы RE 88

3.2. Разрешающие системы группового расслоения как новый класс дифференциальных уравнений, допускающих представление Лакса. Построение парылакса в явном виде 94

3.3. Некоторое новое дифференциальное тождество как результат применяемого группового подхода и следствия из него 97

Глава 4. Приложения результатов группового подхода, полученных в гл. 1—3, к конкретным дифференциальным уравнениям математической физики с произвольным переменным коэффициентом (параметром) и2(х,у) 103

4.1. Уравнение эйконала и кинематическая задача сейсмики (геометрической оптики). Новое описание с помощью группового подхода 108

4.2. Преобразования некоторых нелинейных дифференциальных уравнений с произвольным переменным коэффициентом (параметром) к классическим обыкновенным дифференциальным уравнениям с помощью группового подхода.Групповое расслоение и представление Лакса 131

4.3. Волновое уравнение с произвольной переменной скоростью распространенияволн. Групповое расслоение и представление Лакса. Сведение обратной задачи к прямой задаче для разрешающей системы. Определение функционалов в локальных обратных задачах 136

4.4. Определение точных инвариантно-групповых решений с помощью метода группового расслоения 147

Глава 5. Некоторые неклассические постановки: прямые и обратные задачи для уравнения смепіанного типа; дискретные обратные задачи об определении произвольного множества точечных источников 158

5.1. Формулировка и теорема единственности прямой задачи 161

5.2. Представление решения прямой задачи 5.1.1. Случай K(h + 0) Ф 0, K{h - 0) ф 0 164

5.3. Случай уравнения Лаврентьева — Бицадзе. Формулы для решения прямой задачи 5.1.1 173

5.4. Обратные задачи. Случай K(h + 0) ф 0, K(h - 0) ф 0 175

5.5. Общий случай поведения K(z) в точке z = h, где меняется тип уравнения.. 179

5.6. Другие задачи 196

5.7. Физическое содержание прямых и обратных задач для уравнения смешанного типа 197

5.8. Форма решения прямой задачи с точечными источниками, используемая в обратных задачах 199

5.9. Вспомогательные результаты для случая 1, связанные с Т-системами 203

5.10. Обратные задачи об определении произвольного множества точечных источников 209

5.11. Возможные области применения обратных задач об определении произвольного множества точечных источников 226

Заключение 228

Литература 233

Приложения 249

• Основные применяемые обозначения и термины группового анализа. Задача группового расслоения (краткое описание)
• Основные тождества и связи между дифференциальными инвариантами группы G. Связь группы G с дифференциальной геометрией
• Разрешающие системы группового расслоения как новый класс дифференциальных уравнений, допускающих представление Лакса. Построение парылакса в явном виде
• Преобразования некоторых нелинейных дифференциальных уравнений с произвольным переменным коэффициентом (параметром) к классическим обыкновенным дифференциальным уравнениям с помощью группового подхода.Групповое расслоение и представление Лакса

Введение к работе

Диссертационная работа посвящена исследованию дифференциальных уравнений в частных производных с произвольными переменными коэффициентами (параметрами), прямых и обратных задач для таких уравнений в классических и новых постановках на основе классического группового анализа, прежде всего, таких его конструкций, как дифференциальные инварианты и групповое расслоение, а также с помощью спектрального метода.

Поясним термины, используемые в приведенном выше предложении и диссертации.

Под термином "классический групповой анализ" понимается групповой анализ дифференциальных уравнений в рамках групп Ли точечных преобразований, систематически изложенный в монографии Л. В. Овсянникова "Групповой анализ дифференциальных уравнений" (М., Наука, 1978).

Под термином "параметр" понимается величина или функция, входящая в дифференциальное уравнение (систему) наряду с независимыми переменными х и решением уравнения и = и(х), в частности, в виде коэффициента (например, в волновом уравнении (и_хх + и_уу)/п²(х,у) = u_tt и в уравнении эйконала {(и_х)² + (и_у)²}/п²(х,у) = 1 параметром является коэффициент (?{х,у) = 1/п²(х,у) и функция п²(х, у)).

Термин "переменный" означает, что этот коэффициент (параметр) в общем случае зависит от независимых переменных х, производные по которым содержатся в уравнении (в более общем случае параметр может зависеть от решения и(х) и его производных).

Термин "произвольный" означает, что коэффициент (параметр) является произвольной (не фиксированной) функцией своих аргументов конечной гладкости из пространства С^к, а какие-либо другие ограничения на параметр не накладываются. В диссертации переменный коэффициент (параметр) п²(х,у) = и²(х,у) принадлежит классу С² в рассматриваемой области или окрестности.

АКТУАЛЬНОСТЬ ИССЛЕДОВАНИЙ

Среди различных направлений теории дифференциальных уравнений — в частных производных и обыкновенных — в течение 20-го века развивались два важных направления. Это, во-первых, классический групповой анализ дифференциальных уравнений на основе непрерывных групп (групп Ли), основанный во второй половине 19-го века Софусом Ли и получивший в развитие в СССР и в России прежде всего в работах Л. В. Овсянникова, его учеников и сотрудников.

Во-вторых, это теория обратных задач для дифференциальных уравнений. Она возникла и получила первые импульсы к развитию в пионерских работах Г. Герглотца [279, 280], Е. Вихерта [311] (1905-1907 гг.) по одномерной обратной кинематической задаче сейсмики, В. А. Амбарцумяна [266] (1929 г.) по обратной задаче Штурма — Лиувилля, П. С. Новикова [185] (1938 г.) по обратной задаче теории потенциала, Ю. М. Березанского [37-39] (1953) по первым постановкам многомерных обратных задач, А. С. Алексеева [2, 3], М. М. Лаврентьева [122-124, 126], В. Г. Романова [211, 212], Ю. Е. Аниконова [18, 21] (60-е годы) по обратным задачам теории распространения волн и обратным динамическим и кинематическим задачам сейсмики .

Как отмечено в монографии К. Шадана, П. Сабатье [259], предвестником теории обратных задач можно

Введение

В дальнейшем теория обратных задач получила продвижение по названным и другим направлениям.

В последние три десятилетия групповой анализ и теория обратных задач получили особенно интенсивное развитие: исследовались всё новые типы уравнений и задач, возникающих в различных областях механики, физики, геофизики, естественных наук и технологий; получены многие важные и интересные в теоретическом и прикладном отношениях результаты. Здесь мы не приводим библиографию; это сделано ниже в разделах "Результаты...", "Разработка...".

В данном разделе важно отметить следующее: оба направления — групповой анализ и теория обратных задач — развивались практически независимо и не взаимодействовали между собой. Главной причиной такой ситуации, возможно, послужило следующее обстоятельство. В обратных задачах искомые коэффициенты (параметры), входящие в дифференциальное уравнение (систему) и выражающие характеристики неоднородной физической среды, являются, как правило, произвольными (не фиксированными) гладкими функциями координат из некоторого функционального пространства. В то же время допускаемая группа Ли, традиционно определяемая в пространстве {независимые переменные х, решение прямой задачи и(х)}, в общем случае для многих уравнений в частных производных, как отмечено в [57, 189], при произвольных переменных коэффициентах (параметрах) уравнения является тривиальной или узкой. Часто лишь в специальных случаях задания коэффициентов (параметров) уравнения, которые выявляются при решении задачи групповой классификации, допускаемая группа расширяется до достаточно содержательной. Кроме того, как отмечено Л. В. Овсянниковым в [189, с. 4], теория Ли "является локальной теорией, изучающей в основном структуру семейства решений в окрестности некоторой точки, и не способна непосредственно исследовать конкретные задачи с произвольными дополнительными условиями" .

В то же время, теория обратных задач даже в таких продвинутых направлениях, как кинематическая задача сейсмики и волновое уравнение, еще не достигла полного и замкнутого описания и содержит ряд нерешенных вопросов. Подробнее высказанные утверждения раскрываются ниже в разделах "Расширение ..." и "Разработка ...". Кроме того, в теории обратных задач были и есть неисследованные области и задачи. Например, до работ [150-153] обратные задачи для уравнений смешанного типа и об определении произвольного множества точечных источников не формулировались и не рассматривались. Между тем они возникают в теории распространения волн, в геофизике, акустике и в других областях. Методическая база теории обратных задач также нуждается в развитии и расширении.

Актуальность исследований, в связи с вышесказанным, определяется необходимостью:

выявления новых, не используемых ранее возможностей и свойств конструкций группового анализа в приложениях к прямым и обратным задачам математической физики;

разработки новых подходов к исследованию дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (параметрами) и к обратным задачам, в частности, основанных на классическом групповом анализе;

постановки и исследования новых обратных задач для дифференциальных уравнений.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является получение результатов в следующих направлениях.

1. Начать систематическое взаимодействие классического группового анализа дифференциальных уравнений в рамках групп Ли точечных преобразований и теории обратных для дифференциальных уравнений;

считать постановку Рэлеем в 1877 г. [235] вопроса о том, можно ли найти распределение плотности неоднородной струны, зная частоту колебаний.

Введение 7

выполнение группового анализа и, прежде всего, на основе теории дифференциальных инвариантов и группового расслоения, для широкого класса линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с произвольными переменными коэффициентами (параметрами) без существенных ограничений на эти параметры в виде дифференциальных уравнений (часто возникающих в задаче групповой классификации при расширении допускаемой группы);

распространение классического группового анализа на класс обратных задач;

выявление новых свойств и возможностей конструкций классического группового анализа, постановка новых задач группового анализа.

2. Построение и систематическое внедрение группового подхода, привлечение редко при
меняемых и новых инструментов — группового расслоения и изучения связей между диф
ференциальными инвариантами группы эквивалентности — для:

исследования прямых и обратных задач для классических уравнений математической физики с переменными коэффициентами (параметрами), прежде всего, уравнения эйконала и волнового уравнения;

постановки и исследования не рассматриваемых ранее вопросов в классических прямых задачах, прежде всего, в прямой кинематической задаче сейсмики (геометрической оптики);

отыскания новых эффективных преобразований линейных и нелинейных дифференциальных уравнений математической физики с произвольными переменными коэффициентами (параметрами);

отыскания новых точных частных решений классических дифференциальных уравнений с переменным (или постоянным) коэффициентом (параметром), в том числе в элементарных функциях.

3. Постановка и исследование новых обратных задач — обратных задач для уравнения
смешанного типа, а также обратных задач об определении произвольного множества точеч
ных источников (излучателей, осцилляторов, точечных масс);

постановка и исследование новых неклассических прямых задач — для уравнения смешанного типа (уравнения Чаплыгина), возникающих в теории распространения волн в неоднородных средах;

распространение спектрального метода на обратные задачи для уравнений смешанного типа.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

I. Выполнен групповой анализ в рамках групп Ли точечных преобразований и, прежде всего, на основе таких общих его конструкций, как дифференциальные инварианты и групповое расслоение, для широкого класса линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с произвольными переменными коэффициентами (параметрами) без существенных ограничений на эти коэффициенты (параметры) в виде дифференциальных уравнений (часто возникающих при расширении допускаемой группы в задаче групповой классификации); предпринята попытка систематического распространения классического группового анализа на класс обратных задач.

Предложен (в 1983 г. [156-158])и внедрен групповой подход, основанный на следующих основных моментах.

A. Исходное дифференциальное уравнение (система) Eq вида F[u, а] — 0, где и(х) — ре
шение (прямой задачи), а(х) — параметры, например, коэффициенты (искомые в обратной
задаче), х — независимые переменные, Т— (здесь и всюду ниже в диссертации) некоторый
заданный дифференциальный оператор, действующий, вообще говоря, как на и(х), так и
на а(х), рассматривается как уравнение (система) Е вида ^[и¹,^] = 0 (с тем же операто
ром F) относительно полностью равноправных зависимых переменных и¹ = и, и² — а.

B. В качестве базовой группы группового анализа выбирается и отыскивается группа
Ли G точечных преобразований, допускаемая уравнением Е в пространстве (ж, и¹, и²). Она,

Введение 8

вообще говоря, содержит группу эквивалентности G_eq уравнения Eq, определяемую в работах Л. В. Овсянникова [192, 194], в качестве подгруппы и является, таким образом, в общем случае ее расширением в пространстве (ж,-и¹, и²).

C. Определяется и систематически изучается множество дифференциальных инвариан
тов группы G, т. е. (в общем случае — расширенной) группы эквивалентности уравнения Eq,
исследуются и используются связи между этими инвариантами.

В частности, групповое расслоение строится также относительно этой группы эквивалентности, т. е. групповое расслоение системы Е относительно группы G в расширенном пространстве (ж, и¹, и²).

D. Применяется преобразование исходного дифференциального уравнения (системы), в
котором роль новых зависимых переменных играют дифференциальные инварианты груп
пы G, а независимых — также дифференциальные инварианты группы G или исходные
независимые переменные ж. В частности, такое преобразование порождается групповым рас
слоением уравнения Е относительно G.

Таким образом, центральное место в подходе занимают дифференциальные инварианты группы G, которую можно рассматривать либо как группу точечных преобразований, допускаемую системой ^"[и¹,^] = 0 в обычном смысле в пространстве (ж, u¹, it²), либо как группу эквивалентности уравнения Т[и, а] = 0, но расширенной в пространстве (ж, и, а) по сравнению с определением, данным в [192, 194], поскольку преобразования такой расширенной группы эквивалентности, вообще говоря, имеют вид ж' = f(x,u,a), и' = д{х,и,а), a' = h(x,u,a) в отличие от преобразований группы эквивалентности ж' = /(ж,и), и' = д(х,и), a' = h(x,u,a), определяемой в [192, 194]. При этом допускается,

что все координаты ', 77¹, if инфинитезимального оператора X = ' -^— + ті¹ ——г + л² -^-=-

ох¹ ои¹ avr

зависят от всех переменных ж, и¹, и², в отличие от определения группы эквивалентности в [192, 194], где от "произвольного элемента" (параметра) и² = а[х) зависит только компонента Г]².

Данный подход позволяет избавиться от ограничений (в виде дифференциальных уравнений) на переменные коэффициенты (параметры) а(ж), возникающих при вычислении допускаемой группы в пространстве (ж, и). С помощью предложенного подхода получены следующие результаты.

1. Найдена и систематически изучена бесконечная группа G точечных преобразований пространства пяти переменных t,x,y,v},\j? с алгеброй Ли инфинитезимальных операторов X ее однопараметрических подгрупп вида

X = Ф(х, у) -^ + Щх, у) |- - 2Ф_ж(х, у)и² А (0.1)

где Ф, Ф — произвольные сопряженные гармонические функции (приложения 2-4, 2.1-2.3). Исследованы свойства группы G: вычислены ее инварианты и универсальные инварианты вплоть до второго порядка ( 2.1) и найдены связи между ними ( 2.2), вычислены операторы инвариантного дифференцирования ( 2.1); найден базис дифференциальных инвариантов группы G ( 2.3).

При этом обнаружено, что один из дифференциальных инвариантов группы G (Jⁿ =

—- —^—, п²(х,у) — и²(х,у)) выражается только через параметр и²(х,у) и является гауссовой кривизной К(х,у) поверхности в трехмерном евклидовом пространстве с линейным элементом (римановой метрикой) dr² = n²(x,y)(dx² + dy²). Это устанавливает связь исследуемой группы G с дифференциальной и римановой геометрией. (Публикации в [157, 158, 292]).

Введение

4. Построено в явном виде групповое расслоение для широкого класса дифференциальных уравнений с произвольным переменным коэффициентом (параметром) ( 2.4, 3.1, 4.1-4.4), описанного в 2.5 и содержащего многие классические линейные и нелинейные уравнения математической физики и их обобщения (публикации в [157, 158, 162-167, 173, 292, 293]).

5. Впервые обнаружено (публикация 1988 г. [160]), что разрешающая система RE группового расслоения для широкого класса диференциальных уравнений Е (описанных в 2.5), представляющая собой систему квазилинейных дифференциальных уравнений, допускает представление Лакса. Операторы L, А пары Лакса всюду построены при этом в явном виде ( 3.2, 4.1-4.3).

Этот факт устанавливает новое свойство группового расслоения, расширяет список известных нелинейных дифференциальных уравнений, допускающих представление Лакса, и дает новый подход к поиску таких уравнений. (Публикации в [160, 162-167, 292, 293]).

4. Найдено новое дифференциальное тождество ( 3.3), связывающее лапласиан и модуль
градиента скалярной функции и(х, у), вида (д = (и_х)² + (и_у)² = | gradup)

1^АЬ<>-{{^и*тї.⁺(^и'т\}⁼⁰' ⁽⁰-²⁾

имеющее векторную (дивергентную) форму

div -j grad In [ grad u\ — Au-. —— > = 0

I | gradup J

и равносильное тождеству

- A In f - {(u_x — )^ + (u_y -jr) } = n²(x,y)K(x,y),

содержащему упомянутую гауссову кривизну К(х, у) и дифференциальные инварианты J⁴ = Аи/п², J⁷ = {{и_х)² + {и_у)²}/п² группы G (и = и¹, п² = и²). (Тождество, содержащее гауссову кривизну К(х,у) = J¹¹, получено в 1983 г. в [157, 158]).

Из него получены интегральные тождества, позволяющие определять некоторые функционалы в обратных задачах ( 4.1, 4.3). С его помощью также получены преобразования ряда нелинейных уравнений математической физики в обыкновенные дифференциальные уравнения классического вида ( 4.1, 4.2, публикации [157, 158, 169-173, 292]).

5. Найдены новые эффективные преобразования зависимых и независимых перемен
ных. Они переводят решения ряда классических линейных и нелинейных дифференциаль
ных уравнений с произвольным переменным или постоянным коэффициентом (параметром)
и²(х, у) в решения других дифференциальных уравнений, в некотором смысле более простых,
например, классических обыкновенных дифференциальных уравнений, или обладающих ин
тересными специальными свойствами, например, допускающих представление Лакса ( 3.2,
4.1-4.3). Это семейство включает в себя волновое уравнение Аи¹/и²(х,у) = uj_t, уравнение
эйконала J⁷ = {(ul)² + (v,y)²)}/u²(x,y) = 1 и его обобщение J⁷ — (р(и) (<р — произволь
ная гладкая функция), уравнение характеристик волнового уравнения J⁷ = (и})² и другие,
описанные в 2.5. (Публикации в [160, 162-173, 292, 293]),

6. Впервые (начиная с 1983 г. [157, 158]) классический групповой анализ систематически
применяется к обратным задачам. На примере двумерной обратной кинематической задачи
( 4.1) и обратной задачи для двумерного волнового уравнения (4.3) показано, что обратные
задачи для исходного дифференциального уравнения Т\и, а] = 0 с произвольным переменным
коэффициентом (параметром) а(х) с помощью данного подхода могут быть трансформиро
ваны в неклассические прямые задачи для разрешающей системы группового расслоения

Введение

этого уравнения в форме ^"[и¹,^] = 0 относительно допускаемой группы G в простран-
₁Шй стве (х,и^г = и,и² = а) (группы эквивалентности уравнения .F^a] = 0). (Публикации

^W> в [157, 158, 160, 162-173, 292, 293]).

Получены также интегральные формулы для определения ряда функционалов в обратных задачах для широкого класса уравнений, включающего волновое уравнение, уравнение эйконала и другие ( 3.3, 4.1, 4.3, публикации [163-166, 168-170, 172, 173, 292, 293]).

7. Получены уравнения, оценки и формулы, дающие некоторое новое описание двумерной
(прямой и обратной) кинематической задачи сейсмики (геометрической оптики) и позволя
ющие сводить к ним эту задачу ( 4.1, публикации в [160' 162-166, 168-173, 292, 293]). При
этом поставлен и исследован ряд не рассматриваемых ранее вопросов в классической пря
мой кинематической задаче для уравнения эйконала {{т_х) + (т_у)²}/п²(х, у) = 1, и обнаружены
новые математические факты и связи. В том числе:

выявлено скрытое наличие представления Лакса (для разрешающего уравнения (системы) группового расслоения уравнения эйконала в пространстве (і, х, у,т, п²));

получены оценки и теоремы сравнения для геометрического расхождения лучей, а также
новый способ его вычисления;
bj> показана возможность трансформации уравнения эйконала в классические скалярные

"^Щ обыкновенные дифференциальные уравнения, в том числе уравнения Риккати h_T + h² =

тг, \ тг тП \тт « ts 1 АІПП²(Х, у)

—К(х, у) и линейное уравнение второго порядка U_TT+К(х, у)и = 0, где К = — —

2 n^z{x,y)

и является одним из дифференциальных инвариантов группы G с операторами (0.1) при и¹ = т, и² = п² и упомянутой гауссовой кривизной. Найдены дифференциальные комбинации поля времен т(х, y,t) и показателя преломления п(х,у), являющиеся дифференциальными инвариантами группы G, которые на произвольном луче удовлетворяют этим классическим уравнениям;

получена замкнутая система уравнений для функций x(t, т, р), у(, г, р), описывающих лучи (геодезические), которая, в отличие от известных уравнений луча, не содержит характеристики среды п(х,у), неизвестной в обратных задачах;

найдены (в прямой задаче) величины, инвариантные относительно положения точечного

источника сигналов (т. е. не зависящие от переменной ): дивергенция divT и поток ff_s(T-

—*

dS) вектора

_Ш r = ^Mgrad_x>yr(x,y,i)

Щ п²{х,у) '^у

через произвольную гладкую фиксированную (на плоскости х, у) границу S. Показано, что

div Т = Д In п(х, у) = —п²(х, у)К{х, у);

в одномерной кинематической задаче доказано существование бесконечного множества законов сохранения с функциональным произволом, получен ряд явных формул и новый способ решения обратной задачи.

Ряд аналогичных результатов получен для волнового уравнения, уравнения {(и_х)² + (^иу)²}/^п2(^х>У) ⁼ ^(^)) обобщающего уравнения эйконала, уравнения характеристик волнового уравнения {()² + (и_у)²}/п²(х,у) — (щ)² ( 4.2, 4.3, публикации [167-172]).

8. Предложен подход, сочетающий групповое расслоение в пространстве (ж, и¹, и²) и
метод дифференциальных связей и позволяющий систематически отыскивать новые клас
сы точных частных решений дифференциальных уравнений математической физики с пе
ременным (или постоянным) коэффициентом (параметром) и²(х). С его помощью найде-

^ но несколько семейств новых точных частных решений двумерного волнового уравнения

Введение

Аи/п²(х,у) = и_и и эллиптического уравнения Аи/п²(х,у) + u_zz = 0, в частности, трехмерного уравнения Лапласа, в том числе — в элементарных функциях.

Кроме того, дано описание класса функционально-инвариантных решений двумерного волнового уравнения в терминах группового расслоения (публикации в [159, 161]).

9. Сформулирована (в [158], 1.3) новая задача группового анализа — обратная задача группового расслоения.

Главным, единообразным и впервые (систематически) применяемым средством исследований по перечисленным направлениям и получения сформулированных результатов являются дифференциальные инварианты группы эквивалентности (в общем случае — расширенной).

Перечисленные выше результаты выявляют и показывают ряд новых, не используемых ранее свойств и возможностей классического группового анализа, в том числе таких общих его конструкций, как дифференциальные инварианты, групповое расслоение и группа эквивалентности.

Класс дифференциальных уравнений, к которым применим данный групповой подход и для которого в диссертации построено групповое раслоение, достаточно широк и включает в себя, как показано в 2.5, многие классические линейные и нелинейные уравнения математической физики, содержащие переменный коэффициент (параметр) v?(x,y), а также обобщения этих классических уравнений. Причем всюду в данной работе групповое расслоение строится в явном виде.

П. Впервые поставлены и исследованы (получены теоремы единственности, способы решения) неклассические обратные задачи двух видов — обратные задачи для уравнения смешанного (эллиптико-гиперболического) типа (об определении коэффициента K(z) в уравнении К(г)щ + u_zz = 0) и дискретные обратные задачи (нестационарные,стационарные, статические) об определении параметров и координат произвольного множества точечных источников в трехмерном пространстве (для волнового уравнения, уравнения Пуассона).

Область применения спектрального метода расширена на обратные задачи для уравнений смешанного типа.

Дана постановка, доказаны теоремы единственности и существования, получено интегральное представление решения неклассических прямых задач для уравнения смешанного (эллиптико-гиперболического) типа К(г)щ + u_zz = 0 в неограниченной области (полосе) с условием наклонной производной на одной из границ полосы. (Публикации в [150—155, 294]).

РЕЗУЛЬТАТЫ ПО ОСНОВНЫМ НАПРАВЛЕНИЯМ ИССЛЕДОВАНИЙ И КРАТКИЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ ОБЗОР

Направления исследований сформулированы выше в п. 1-3 раздела "Цель работы". Полученные результаты в наиболее развернутом виде сформулированы в начале каждой главы, а также систематически изложены в разделе "Научная новизна" и в заключении. В данном разделе результаты приводятся по каждому направлению в п. 1-8.

Что касается библиографического обзора, то в настоящее время литература по групповому анализу и обратным задачам для дифференциальных уравнениий содержит сотни наименований. Поэтому указываем лишь на работы, близкие по тематике к диссертации или результаты которых используются в ней.

1. Расширение области применения группового анализа дифференциальных уравнений, выявление новых свойств и возможностей его конструкций, постановка новых задач группового анализа

Обзор и анализ литературы по современному групповому анализу, в том числе обобщающих монографий Л. В. Овсянникова [189, 190, 192], Н. X. Ибрагимова [97-99], трехтомного Handbook [281-283] под ред. Н. X. Ибрагимова, книг Н. Г. Чеботарева [251], Л. П. Эйзенхар-та [262], П. Олвера [197], В. К. Андреева , О. В. Капцова, В. В. Пухначева, А. А. Родионова [16], В. К. Андреева, В. В. Бублика, В. О. Бытева [15], а также результатов, содержащихся

Введение

в трудах периодически проводимых международных конференций MOGRAN (Modern Group Analysis, 1992, 1997,1999) по современному групповому анализу [295-297] и других международных конференций по групповому анализу (Киев, 1999 [308]; Красноярск, 2002 [225]; Москва, 2002 [299]), анализ статьи Л. В. Овсянникова по программе "ПОДМОДЕЛИ" [194, 195] (подмодели описывают классы точных частных решений, приводят к понижению размерности задач и делают их анализ более доступным), работ учеников и последователей Л. В. Овсянникова: А. А. Бучнева [66], С. В. Головина [277, 278], Е. В. Мамонтова [135,136], В. О. Бы-тева [67], С. В. Мелешко [174], В. М. Меньшикова [175], В. В. Пухначева [205], С. В. Хаби-рова [249, 286, 287], А. А. Черевко [253], Ю. И. Чекурова [252], Ю. А. Чиркунова [255], А. П. Чупахина [258,274], работ В. И. Фущича [248], В. И. Фущича, И. А. Егорченко [275,313], Н. Н. Яненко, Ю. И. Шокина [263], Ю. И. Шокина [261], В. А. Дородницына [88], В. А. Байкова, Р. К. Газизова, Н. X. Ибрагимова [27], И. Ш. Ахатова, Р. К. Газизова, Н. X. Ибрагимова [24] и других исследований показывают, что в групповом анализе дифференциальных уравнений рассматриваются следующие основные задачи.

1. Отыскание основной (наиболее широкой) группы Ли G, допускаемой данной системой (уравнением).

2. Использование известной группы G, допускаемой системой, для построения классов частных решений этой системы, в том числе инвариантных и частично-инвариантных в смысле Л. В. Овсянникова [189, 192].

3. Групповая классификация уравнений (систем) вида J-[u, а] = 0, содержащих" "произвольный элемент" (параметр) а(х) (х — независимые переменные, и(х) — решение уравнения (прямой задачи)). Вычисление группы эквивалентности G_eq таких уравнений и использование ее для групповой классификации.

4. Обобщения непрерывных групп точечных преобразований, в том числе вычисление групп Ли-Беклунда [99].

5. Адаптация группового анализа к конечно-разностным уравнениям.

6. Развитие и приложения теории дифференциальных инвариантов групп Ли, вычисление дифференциальных инвариантов допускаемой группы G, выделение базиса дифференциальных инвариантов и построение группового расслоения системы относительно G.

Заметим, что подавляющее большинство исследований посвящено задачам 1-5. Вычислены допускаемые группы точечных преобразований и выполнена групповая классификация для многих дифференциальных уравнений в частных производных; результаты этих исследований систематизированы в частности, в [97-99, 189, 192, 197, 225, 281-283, 295-297, 299, 308]. Открыты и изучены различные важные и интересные классы частных решений уравнений газовой динамики, гидродинамики и других уравнений математической физики [15, 16, 22, 97-99, 189, 192-197, 281-283, 295-297, 299, 308].

Что касается последнего направления, то следует отметить, что ему посвящено относительно небольшое количество работ. Групповое расслоение было построено ранее также для небольшого числа конкретных уравнений математической физики. Возможно, это связано с тем, что, в то время как отыскание допускаемой группы и групповая классификация часто носят, в основном, вычислительный характер, вычисление дифференциальных инвариантов, выделение базиса дифференциальных инвариантов и построение группового расслоения требуют дополнительных усилий.

Поскольку дифференциальные инварианты и групповое расслоение занимают важное место в диссертации, приведем краткий обзор известных работ по теории дифференциальных инвариантов и по групповому расслоению дифференциальных уравнений, используя, в частности, работы Л. В. Овсянникова [192, 301], Л. В. Овсянникова, Н. X. Ибрагимова [196], А. П. Чупахина [274] и С. В. Головина [278].

Основы теории дифференциальных инвариантов групп Ли непрерывных преобразований заложены С. Ли [291] и А. Трессом [309]. Дальнейшее развитие она получила в работах

Введение

Л. В. Овсянникова [192] и П. Олвера [300]. Центральным положением этой теории является теорема А. Тресса о существовании конечного базиса дифференциальных инвариантов произвольной группы Ли. Эта теорема была распространена Л. В. Овсянниковым на случай бесконечных групп [192]. Приложения дифференциальных инвариантов в теоретической физике и механике сплошной среды рассмотрены в [252,275,313]. Для построения дифференциально-инвариантных решений дифференциальные инварианты применяются в [277, 278, 285]. Дифференциальные инварианты классических групп изучены в [312].

Отметим также новый результат работы А. П. Чупахина [274] по теории дифференциальных инвариантов, где найдено, что множество операторов инвариантного дифференцирования с помощью линейных преобразований может быть приведено к коммутативной алгебре Ли. В 3.1 этот результат А. П. Чупахина применен к рассматриваемой группе G.

В работах автора [156-173, 292, 293] и в главах 1-4 диссертации дифференциальные инварианты (группы эквивалентности) применяются для построения группового расслоения широкого класса дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (параметрами), для преобразования нелинейных дифференциальных уравнений, для установления новых фактов в теории прямой и обратной кинематической задачи сейсмики (геометрической оптики), для сведения обратных задач к прямым, для отыскания точных частных решений, в качестве источника новых дифференциальных тождеств и для других целей, перечисленных выше в разделах "Цели исследований" и "Научная новизна". Группа эквивалентности (в общем случае — расширенная) и ее дифференциальные инварианты являются, таким образом, главным, единообразным и впервые применяемым средством исследования по перечисленным разнообразным направлениям.

Групповое расслоение можно рассматривать как одно из направлений и приложений теории дифференциальных инвариантов и как некоторое специальное преобразование исходного дифференциального уравнения [192], порождаемое действием допускаемой группы.

Действие группы G, допускаемой исходным дифференциальным уравнением Е, на множестве SE всех решений и уравнения Е приводит к разбиению (расслоению) этого множества на классы Gu эквивалентных решений (орбиты). Говорят, что решения щ и щ эквивалентны относительно G, если щ переводится в щ с помощью некоторого преобразования из G.

Существование этого расслоения приводит к следующей задаче группового расслоения . Дана система (уравнение) Е и допускаемая его группа G; требуется получить описание каждого отдельного класса Gu (орбиты) и множества SE/G всех классов эквивалентности (орбит) решений на языке дифференциальных уравнений. Эта задача была поставлена Со-фусом Ли в начале 20-го столетия и была решена его учеником Е. Vessiot в 1904 г. [310] в параметрическом виде. Затем, по выражению Л. В. Овсянникова [192, с. 310], она была "прочно забыта". Общая теория построения группового расслоения на основе теории авто-морфных систем дана и изложена Л. В. Овсянниковым в [192].

Известны следующие результаты по групповому расслоению для конкретных уравнений математической физики.

В работе P. Kucharczyk [119] получено групповое расслоение уравнений "коротких волн" в газовой динамике; в ней использован параметрический метод Е. Vessiot [310]. При этом выяснилось, что параметрический метод приводит к громоздким формулам. В работе Л. В. Овсянникова [191] выполнено групповое расслоение пограничного слоя (в плоском стационарном случае) и показано, что оно может быть проведено непосредственно в исходных переменных, без введения формальных параметров Е. Vessiot, то есть в явном виде. Кроме того, Л. В. Овсянниковым в [191] получен следующий результат: обнаружено, что исходная краевая (прямая) задача для этих уравнений пограничного слоя может быть трансформирована в краевую (прямую) задачу для разрешающей системы группового расслоения.

Эта работа Л. В. Овсянникова оказала большое влияние на исследования автора и послу-

* Другое название группового расслоения — разложение Ли — Вессио [99].

Введение

жила определенным эталоном (моделью) построения группового расслоения и его использования. В диссертации групповое расслоение всюду выполняется также в явном виде.

В статье Л. В. Верещагиной [68] результаты работы Л. В. Овсянникова [191] обобщены на нестационарный пространственный (трехмерный) случай и выполнено групповое расслоение, также в явном виде, уравнений пространственного нестационарного пограничного слоя. В работе Л. В. Овсянникова [301] построено групповое расслоение системы уравнений гидродинамики в трехмерном случае для идеальной несжимаемой жидкости относительно некоторой бесконечной допускаемой группы преобразований. В недавних работах С. В. Головина [277, 278] дано групповое расслоение стационарных уравнений газовой динамики и уравнения Кармана — Гудерлея для сверхзвуковых газовых течений.

В работах автора [157-160, 292] и в гл. 2-4 диссертации построено в явном виде групповое расслоение для широкого класса дифференциальных уравнений с произвольным переменным коэффициентом (параметром) и²(х,у). Этот класс включает в себя многие классические линейные и нелинейные уравнения математической физики и их обобщения, перечисленные в 2.5. В отличие от упомянутых выше работ, здесь групповое расслоение строится не относительно группы, действующей в пространстве {независимые переменные х, решение прямой задачи и = и¹}, а относительно группы эквивалентности, действующей в пространстве {независимые переменные х, решение прямой задачи и = и¹, параметр а = и²}.

Автор считает, что возможности такого красивого и мощного инструмента, как теория группового анализа дифференциальных уравнений, используются далеко не в полную силу, и резерв возможностей этого аппарата для теории дифференциальных уравнений огромен. Одной из причин такой ситуации и, видимо, основной причиной (отмеченной в [57, 189]), является то обстоятельство, что дифференциальное уравнение более или менее общего вида (например, с переменными параметрами, в частности, с переменными коэффициентами в линейном уравнении), как правило, допускает лишь тривиальную или узкую группу. Например, групповой анализ общего линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, выполненный Л. В. Овсянниковым [186, 189, 192], показывает, что это уравнение допускает нетривиальную группу лишь в специальных случаях, когда коэффициенты уравнения удовлетворяют некоторым соотношениям (дифференциальным уравнениям). Иллюстрацией этому утверждению служат также результаты вычислений в приложении 1 диссертации для ряда уравнений с переменным коэффициентом (параметром). Аналогично, весь опыт групповой классификации различных уравнений показывает, что дифференциальное уравнение вида F[u, а] = 0 с переменными коэффициентами (параметрами) а(х) допускает содержательную группу, как правило, при существенных ограничениях на эти параметры а(х), обычно в виде дифференциальных уравнений.

В качестве базовой группы группового анализа при этом используется, как правило, группа, допускаемая уравнением Р[и, а] = 0 в пространстве х, и.

Между тем во многих важных задачах, например, в обратных задачах математической физики, переменные параметры уравнения, например, коэффициенты, характеризующие свойства среды, являются произвольными гладкими функциями из некоторого функционального пространства и не обязаны удовлетворять каким-либо дополнительным дифференциальным уравнениям или другим существенным ограничениям. Поэтому важен поиск таких подходов, которые позволили бы распространить классический групповой анализ на различные классы уравнений и задач без каких либо существенных ограничений на переменные коэффициенты (параметры) уравнения.

В диссертации в главах 1-4 формулируется и излагается групповой подход, предложенный в 1983 г. в [157, 158], развиваемый в [159-173, 292, 293] и описанный в виде схемы в 1.3 главы 1, который позволяет систематически распространять конструкции классического группового анализа и, прежде всего, дифференциальные инварианты и групповое расслоение

Введение

1. на класс дифференциальных уравнений в частных производных с произвольными переменными коэффициентами (параметрами) без существенных ограничений на них в виде дифференциальных уравнений;

2. на класс обратных задач.

Рассматривается случай трех независимых переменных x,y,t.

Результаты, полученные с помощью этого подхода (и его схема), кратко сформулированы выше в разделе "Научная новизна", а более детально излагаются ниже в рамках каждого направления исследований. Они выявляют ряд новых свойств и возможностей классического группового анализа, прежде всего, таких его общих конструкций, как дифференциальные инварианты, групповое расслоение и группа эквивалентности (вообще говоря, расширенная в пространстве х, и¹ — и, и² = а).

Сформулирована ( 1.3) новая задача группового анализа, обозначенная в п. 9 раздела "Научная новизна", — обратная задача группового расслоения ( 1.3). В классической (условно прямой) задаче группового расслоения задана система (дифференциальное уравнение) Е и допускаемая ею группа G; требуется получить описание каждого отдельного класса (орбиты) эквивалентных решений и описание всех таких классов (орбит) в терминах дифференциальных уравнений, т. е. построить автоморфную и разрешающую системы группового расслоения Е относительно G.

Обратная задача группового расслоения. Пусть задана (нелинейная) система R дифференциальных уравнений. Требуется выяснить, существует ли такое дифференциальное уравнение (система) Е и такая нетривиальная группа Ли G точечных преобразований, что данная система R является разрешающей системой RE уравнения Е относительно группы G. И, если такая пара (Е, G) существует, то требуется найти ее. Представляется, что решение такой задачи могло бы дать новый подход к решению задач для нелинейных дифференциальных уравнений (систем) с помощью сведения их к задачам для уравнения Е в случае, когда теория последних задач уже разработана или является более простой по сравнению с задачами для R.

2. Разработка группового подхода к обратным задачам для дифференциальных уравнений

Обратные задачи математической физики — это актуальное и важное направление в теории дифференциальных уравнений в частных производных и в различных современных технологиях, таких, как геофизика, оптика, томография, дистанционное обнаружение (remote sensing), неразрушающая диагностика материалов и других. Это относительно новое направление, зародившееся в начале 20-го века и получившее интенсивное развитие во второй его половине, особенно в последние три десятилетия.

В диссертации рассматриваются с точки зрения группового анализа две классические обратные задачи — обратная кинематическая задача сейсмики (геометрической оптики, обратная задача для нелинейного уравнения эйконала Ат/п⁷(х,у) = 1) и обратная задача для волнового уравнения (Дт/п²(х,у) = и_и), обе в двумерном варианте. Выбор уравнения эйконала и волнового уравнения определяется тем, что эти уравнения являются основными классическими математическими моделями в теории прямых и обратных задач распространения волн и сейсмики. Поэтому мы ограничимся библиографическим обзором по этим двум задачам.

Обратная кинематическая задача сейсмики (геометрической оптики) исторически явилась первой постановкой обратной задачи математической физики. Она была впервые рассмотрена немецкими геофизиками Г. Герглотцем [279, 280] и Е. Вихертом [311] в 1905-1907 гг. в одномерном случае, и далее исследована Г. А. Гамбурцевым [71] и С. В. Чибисовым [254]. В случае немонотонного изменения скорости с (у) = 1/п(у) с глубиной у одномерная обратная кинематическая задача не имеет единственного решения. Характер этой неоднозначности был исследован М. Л. Гервером и В. М. Маркушевичем в [77, 78] (сюда также примыкают работы [73, 138-140]). В одномерном случае они исследовали вопросы существования

Введение

решения обратной задачи, а также задачу с внутренними источниками [79, 80]. Решение одномерной обратной кинематической задачи сыграло важную роль в развитии сейсмологии [3, 21, 129, 216, 218].

Многомерная обратная кинематическая задача (на плоскости, в трехмерном и п-мер-ном пространстве) в линеаризованной постановке исследована в работах М. М. Лаврентьева, В. Г. Романова [126, 127], А. С. Алексеева, М. М. Лаврентьева, Р. Г. Мухометова,

B. Г. Романова [8], А. С. Алексеева, М. М. Лаврентьева, Р. Г. Мухометова [9], В. Г. Романо
ва [211, 212, 216, 218], Р. Г. Мухометова [176-178], И. Н. Бернштейна, М. Л. Гервера [42, 43],

A. Л. Бухгейма [58].

Нелинейная многомерная обратная кинематическая задача сейсмики (вопросы единственности решения, оценки устойчивости) исследованы в работах Ю. Е. Аниконова [18-22], Р. Г. Мухометова [177-179], Р. Г. Мухометова, В. Г. Романова [180], В. Г. Романова [213-215],

C. В. Гольдина [83], И. Н. Берншейна, М. Л. Гервера [42, 43], Г. Л. Бейлькина [28], Л. Н. Пе-
стова [22, 199], В. А. Шарафутдинова, А. Л. Бухгейма [60, 61]. В этих постановках либо ис
комый параметр п{х) является аналитической функцией по всем или по части переменных
х = (xi,... ,х_п), либо поле времен т(х,хо), задаваемое на границе области, является функ
цией более чем п переменных (переопределение), либо функция годографа т(х,х₀) задается
на всей границе области (а не на ее части). В работе А. В. Белоносовой, А. С. Алексеева [33]
предложен метод решения двумерной обратной кинематической задачи с помощью сведения
ее к задаче Коши для нелинейного трехмерного уравнения относительно некоторой функции
r(xi,x₂,zi). Идея введения этой функции, как отмечено в [33], принадлежит М. М. Лав
рентьеву. В работе М. Е. Романова, А. С. Алексеева [222] развит численный метод решения
этой задачи с помощью метода характеристик. В работах А. С. Алексеева, А. В. Белоносовой,

B. А. Цецохо, А. С. Белоносова [34, 265] методика статьи [33] распространена на трехмерный
случай.

Обратные задачи для волнового уравнения и, в более общем плане, — обратные задачи для уравнений второго порядка гиперболического типа — также являются одним из наиболее разработанных направлений в теории обратных задач.

Первые и фундаментальные результаты по одномерной обратной задаче для одномерного волнового уравнения — уравнения колебаний неоднородной струны — и сопряженным с ней обратным спектральным задачам для уравнения Штурма — Лиувилля и теории рассеяния были получены в работах В. А. Амбарцумяна [266], Г. Борга [270], В. А. Марченко[141-143], М. Г. Крейна [112-116], И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана [74], Л. А. Чудова [256], Л. Д. Фад-деева [243], А. С. Алексеева [2]. Соответствующий одномерный оператор Штурма — Лиувилля в упомянутых постановках является самосопряженным. Дальнейшее продвижение и развитие теория одномерной обратной задачи для струны и волнового уравнения в пространстве получила в работах А. С. Алексеева [3], В. Г. Романова [209-212], А. С. Благовещенского [48-51], А. С. Благовещенского, А. А. Буздина [52], М. Л. Гервера [75, 76], М. И. Белишева [30], С. И. Кабанихина [102], И. С. Каца, М. Г. Крейна [109], А. С. Алексеева, А. Г. Меграбова [10], А. С. Алексеева, В. С. Белоносова [264].

А. С. Алексеевым [2, 3] был введен в круг систематических исследований новый класс обратных задач теории распространения волн, в том числе для волнового уравнения, — обратные динамические задачи сейсмики. Первые постановки обратных динамических задач для гиперболических уравнений и систем, наряду с работами А. С. Алексеева [2, 3], были сформулированы также М. М. Лаврентьевым, В. Г. Романовым [123, 124, 126]. Одним из важных в прикладном отношении классом одномерных обратных задач для волнового уравнения, акустического уравнения и системы линейной теории упругости являются обратные задачи рассеяния плоских волн на неоднородных слоях. Они исследованы в работах А. С. Алексеева [2, 3], А. С. Алексеева, А. Г. Меграбова [10, 11], А. Г. Меграбова [144-149, 294], А. С. Благовещенского, К. Э. Воеводского [53], А. С. Благовещенского [51], В. И. Добринского, В. А. Горбунова [86], М. И. Белишева [29], М. И. Белишева, А. С. Бла-

Введение

говещенского [32]. В работе А. Г. Меграбова [148] (см. также [294]) предложен и опробован в численном варианте способ одновременного восстановления плотности и скорости в неоднородном слое как функций глубины по семейству плоских волн, отраженных от слоя под различными углами. В работах А. С. Алексеева [2, 3], А. С. Алексеева, В. И. Добринско-го [5], А. С. Алексеева, В. И. Добринского, Ю. П. Непрочнова, Г. А. Семенова [6], О. Ф. Ан-тоненко [23], Н. М. Бородаевой [54] изучены вопросы численного решения и практического использования обратных динамических задач сейсмики.

Первые постановки многомерных обратных задач для волнового уравнения сформулированы и исследованы М. М. Лаврентьевым [123, 124], М. М. Лаврентьевым, В. Г. Романовым [126], А. С. Алексеевым [3]. В дальнейшем важные результаты по многомерным обратным задачам для волнового уравнения и близким к нему гиперболических уравнений были получены в работах В. Г. Романова [211, 218-221], А. С. Алексеева, Г. М. Цибульчика [13,14],

A. Л. Бухгейма [60, 61], А. Л. Бухгейма, М. В. Клибанова [63], А. Л. Бухгейма, В. Г. Яхно [65],
М. И. Белишева [31], М. И. Белишева, А. С. Благовещенского [32], С. И. Кабанихина [103],
Ю. Е. Аниконова [21], В. Г. Хайдукова, В. И. Костина, В. А. Чеверды [287], В. Г. Романова,
Д. И. Глушковой [82], В. Г. Романова, М. Ямамото [306] и в других. Систематическое иссле
дование многомерных обратных задач для гиперболических уравнений и систем проведено

B. Г. Романовым [211-221, 304].

Следует заметить, что многие постановки многомерных обратных задач либо являются переопределенными, т. е. размерность задаваемой информации (число независимых переменных) больше, чем размерность искомых коэффициентов (параметров), либо начальные данные известны внутри области определения коэффициентов (параметров) [60, 63, 65]. В. Г. Романовым в [221] предложен новый метод получения теорем единственности и оценок устойчивости решения обратных задач для гиперболических уравнений с минимальной по размерности информации.

Эти и более поздние результаты по многомерным обратным задачам для волновых и гиперболических уравнений систематизированы в обобщающих монографиях М. М. Лаврентьева, В. Г. Романова, С. П. Шишатского [128], М. М. Лаврентьева, Л. Я. Савельева [129],

B. Г. Романова [211, 212, 218, 304], А. Л. Бухгейма [60, 61, 271, 272], С. И. Кабанихина [103],

C. И. Кабанихина и А. Лоренци [284], Ю. Е. Аниконова [21, 267], М. И. Белишева, А. С. Бла
говещенского [32], а также в аналитических статьях А. С. Алексеева [3, 4], А. С. Алексеева,
С. И. Кабанихина [7], С. И. Кабанихина [104], В. Г. Романова, С. И. Кабанихина [305].

В аспекте численного решения многомерные обратные задачи для гиперболических уравнений рассматривались в работах С. И. Кабанихина и его сотрудников [104].

В настоящее время обратные задачи получили распространение во многих областях математической физики и в различных технологиях; здесь получены важные в теоретическом и прикладном отношениях результаты, часть которых упомянута выше. Вместе с тем даже в таких продвинутых направлениях, как кинематическая задача сейсмики и волновое уравнение, теория обратных задач еще не достигла полного и замкнутого описания и содержит ряд нерешенных вопросов. Например, в обратной кинематической задаче уже в двумерном случае до сих пор не доказана теорема единственности для общего случая конечной гладкости скорости распространения волн с(х,у) при задании функции годографа не на всей границе области, а на части границы (например, для области формы лунки). Для динамических обратных задач, как отмечено А. С. Алексевым [4], также не достигнута эквивалентность прямых и обратных задач как в развитии теории, так и в плане численных методов решения.

Эти трудности в теории обратных задач обусловлены, прежде всего, следующими обстоятельствами.

Во-первых, обратная задача является, как правило, нелинейной даже в том случае, если исходное дифференциальное уравнение Т[и,а\ = 0 относительно решения и(х) (прямой задачи) является линейным. Во-вторых, неодномерные обратные задачи в общем случае яв-

Введение

ляются некорректными в классическом смысле. Но, возможно, наиболее важным является то обстоятельство, что, в то время как оператор прямой задачи явно задан, оператор обратной задачи в явном виде не определен.

Общих методов исследования и решения обратных задач относительно немного. Прежде всего, это спектрально-аналитический метод, заключающийся (для одномерных задач) в сведении данной обратной задачи к обратной спектральной задаче Штурма — Лиувилля [74, 112-116, 141-143]. Начиная с работы А. С. Алексеева [2], теория спектральных обратных задач интенсивно применялась в геофизике. Согласно классификации, предложенной С. И. Ка-банихиным в [104], можно выделить следующие методы исследования обратных задач: метод операторных уравнений Вольтерра, оптимизационный метод, метод Ньютона-Канторовича, динамический вариант метода Гельфанда — Левитана, метод граничных управлений, метод обращения разностной системы, проекционный метод. Как следует из сравнительного анализа этих методов, проведенного в работах А. С. Алексеева [3, 4], А. С. Алексеева, С. И. Ка-банихина [7], С. И. Кабанихина [104], каждый из этих методов имеет свои сильные стороны и области применения. Существуют также другие методики и подходы, применяемые лишь при определенных ограничениях на свойства искомых коэффициентов (параметров).

Заметим, что, с точки зрения классического группового анализа обратная кинематическая задача сейсмики, обратная задача для волнового уравнения и, в более общем плане, обратные задачи для дифференциальных уравнений с переменными параметрами (в частности, коэффициентами), ранее систематически не рассматривались. Именно с этой точки зрения данные обратные задачи исследуются в диссертации в гл. 4.

Из приведенного краткого обзора результатов, методов теории обратных задач и их свойств следует, что в настоящее время важным и актуальным является поиск и разработка новых подходов к исследованию обратных задач.

В работах [157, 158] (1983 г.) и в диссертации на основе классического группового анализа предложен подход к исследованию дифференциальных уравнений с произвольными переменным коэффициентами (параметрами) и соответствующих обратных задач. Этот подход состоит в определении, систематическом изучении и использовании дифференциальных инвариантов группы эквивалентности (вообще говоря, расширенной по уравнению с определением этой группы в [192, 194]) данного дифференциального уравнения (системы) и связей между этими дифференциальными инвариантами. Он реализован в двух вариантах.

Первый вариант предложенного группового подхода

В первом варианте строится и используется групповое расслоение исходного дифференциального уравнения относительно упомянутой группы эквивалентности. При этом групповое расслоение порождает некоторую дифференциальную замену зависимых и независимых переменных. Показано ( 4.1, 4.3), что исходная обратная (или прямая) краевая задача для исходного уравнения Е может быть сведена к некоторой прямой задаче для системы RE квазилинейных дифференциальных уравнений (или скалярного уравнения). Такая трансформация имеет место как для обратной кинематической задачи (для нелинейного уравнения эйконала вида (0.3)) ( 4.1), так и для обратной задачи с волновым уравнением ( 4.3). Эта система RE является разрешающей системой группового расслоения и определяется всюду в работе в явном виде. Данный вариант группового подхода представляет собой распространение упомянутого результата Л. В. Овсянникова из работы [191] на класс обратных задач. Этот результат состоит в обнаружении факта, что прямая краевая задача для уравнений плоского стационарного пограничного слоя может быть сведена к краевой (прямой) задаче для разрешающей системы. Отличие от работы [191] и других работ по групповому расслоению [68, 119, 277, 278, 301] заключается также в том, что группа Ли, относительно которой выполняется групповое расслоение, является не группой, допускаемой уравнением Т[и, а] = 0 в пространстве (х,и), а расширенной группой эквивалентности этого уравнения (допускаемой группой для уравнения ^[я¹,^²] = 0 в пространстве х,и^х = и, и² = а).

Введение

Как отмечено А. С. Алексеевым [4] (и выше), "существенная трудность решения многомерных обратных задач состоит в отсутствии явного оператора задачи (в отличие от прямых задач, где оператор явно задан), усложняющим проблему его дискретной аппроксимации. В прямых даже сильно нелинейных задачах схемы их дискретизации, а также критерии аппроксимации оператора и устойчивости алгоритмов счета довольно глубоко разработаны, позволяя оценивать условия сходимости алгоритмов. Поэтому заманчивым представляется возможность вместо обратных задач ... решать в каком-то смысле эквивалентные прямые задачи". Описанный первый вариант группового подхода представляет собой попытку реализации такой возможности. При этом в получаемой (неклассической) прямой задаче для разрешающей системы RE оператор задан явно, так как система RE определяется в явной форме. Итак, предлагаемый групповой подход в первом варианте представляет собой трансформацию обратных задач к неклассическим прямым задачам. Как отмечено А. С. Алексеевым [4], "для численного решения этих задач, возможно, существуют схемы дискретизации, допускающие применение сеточных методов".

Подходы, основанные на связи (парности, двойственности по терминологии А. С. Алексеева [4]) прямых и обратных задач, в математической физике и теоретической геофизике известны. Во-первых, такой подход реализован в рамках конкретной задачи — двумерной обратной кинематической задачи сейсмики — в работе А. В. Белоносовой, А. С. Алексеева [33], где эта обратная задача преобразуется к задаче Коши для неклассического нелинейного уравнения. Во-вторых , это метод обратной задачи теории рассеяния для интегрирования нелинейных эволюционных уравнений [87, 89, 96, 134, 237, 276, 289, 307]. Например, задача Коши для нелинейного уравнения Кортевега-де Фриза редуцируется к одномерной обратной задаче для уравнения Штурма — Лиувилля или для одномерного волнового уравнения [276, 307]. Однако направленность применения этой "парности" в предлагаемом подходе обратная: обратные задачи сводятся к неклассическим прямым. Кроме того, отличие состоит также в том, что в методе обратной задачи рассеяния механизм двойственности прямой и обратной задачи соответствует представлению Лакса для оператора исходной прямой задачи, а в применяемом групповом подходе "парность" или двойственность порождается групповым расслоением. Впрочем, как отмечено в 1.3, схему излагаемого подхода можно обратить, и для исследования той или иной задачи для системы RE использовать теорию соответствующей (прямой или обратной) задачи для исходного уравнения (системы) Е. Кроме того, в силу обнаруженного ( 3.2) наличия представления Лакса у разрешающей системы RE группового расслоения уравнений Е из широкого класса, можно применять также и "парность" исходной (прямой или обратной) задачи для уравнения Е и некоторой задачи для дифференциальных операторов L, А, дающих представление Лакса системы RE. Однако эти направления, как и обратная задача группового расслоения, в диссертации только намечены в качестве целей дальнейших исследований.

Второй вариант предложенного группового подхода

Он основан на использовании нового полученного дифференциального тождества вида (0.2) ( 3.3), выражающего некоторую связь (описываемую формулой (2.2.11)) между дифференциальными инвариантами рассматриваемой группы G. Причем оно применяется в двух вариантах.

Во-первых, это тождество применяется непосредственно, что приводит к интегральному тождеству и из него — к получению семейства интегральных формул ( 3.3, 4.1-4.3) для определения различных функционалов в обратных задачах для различных линейных и нелинейных уравнений математической физики (эйконала, волнового, теплопроводности и др.).

Во-вторых, показано, что с помощью сочетания этого тождества и (только) замены переменных, индуцированной групповым расслоением (но не используя полностью разрешающую и автоморфную системы этого расслоения), решения ряда классических нелинейных

Введение

»

уравнений математической физики (эйконала J⁷ = {(и_х)² + (и_у)²)}/п²(х,у) = 1 и его обобщение J⁷ — <р{и) где 7 = («t)²) могут быть преобразованы в решения обыкновенных дифференциальных уравнений классического вида (зависящих от параметров, но дифференцирование в них ведется только по одной переменной г или ), в том числе уравнения Риккати и линейного уравнения второго порядка (п. 4.1.3). Отсюда также получаем, что обратная задача для уравнения эйконала (кинематическая задача) может быть сведена к прямой задаче для нелинейных систем, содержащих обыкновенные дифференциальные уравнения (п. 4.1.11, 4.1.12).

Таким образом, второй вариант применения полученного дифференциального тождества дает второй вид преобразования исходных нелинейных уравнений в частных производных — в классические обыкновенные дифференциальные уравнения, в том числе — линейные. (Первый упомянутый выше вид — преобразование исходных уравнений в квазилинейное разрешающее уравнение (систему RE).

Оба варианта применения полученного тождества даны в работе (гл. 4) как в независимых переменных группового расслоения, так и в исходных независимых переменных х, у, t.

В работе М. В. Нещадима [184] найдена группа Ли, допускаемая уравнением теплопроводности p(x,y,z)u_t = и_хх + и_уу + и_хх; выполненный групповой анализ применяется к исследованию обратных и краевых задач для этого уравнения. При этом используемая группа преобразований отыскивается в пространстве (х,и = и¹), что приводит к ограничениям на коэффициент р в виде дифференциальных уравнений.

3. Отыскание новых эффективных преобразований линейных и нелинейных уравнений с произвольным переменным коэффициентом (параметром)

Одним из общих и эффективных методов исследования и интегрирования линейных и нелинейных дифференциальных уравнений — обыкновенных и в частных производных — является идея преобразования, или замены независимых и (или) зависимых переменных. Например, как известно, иногда подходящая замена переменных позволяет проинтегрировать исходное обыкновенное дифференциальное уравнение в явном виде или в квадратурах [106, 223, 233]. В теории нелинейных уравнений в частных производных существует ряд преобразований [40, 41, 121, 201, 307]: точечные преобразования, преобразования Лежандра, преобразования годографа, Мизеса, Моленбрука — Чаплыгина, преобразования Беклунда, дифференциальные подстановки, конформные и квазиконформные преобразования и другие. Каждый вид преобразований имеет свою область применения. Поиск новых эффективных преобразований является важной задачей при интегрировании нелинейных дифференциальных уравнений.

Новое преобразование является эффективным тогда, когда с его помощью исходное уравнение преобразуется к другому уравнению, либо в некотором смысле более простому или классическому, либо обладающему интересными специальными свойствами.

Как показано в главе 4 и уже отмечено выше, найдены преобразования зависимых переменных v}(x, у, t), v?(x,y) и независимых переменных x,y,t, с помощью которых:

3. широкий класс дифференциальных уравнений математической физики с произвольным переменным коэффициентом (параметром) и²(х,у) трансформируется ( 2.4) в семейство систем квазилинейных дифференциальных уравнений (являющихся соответствующими разрешающими системами RE группового расслоения), каждая из которых, как доказано в 3.2, допускает представление Лакса в виде L-A пары. В случае уравнения эйконала J⁷ = {(и_х)² + (и_у)²}/п²(х, у) = 1; его обобщения J⁷ = ip(u) (<р — произвольная гладкая функция); уравнения характеристик волнового уравнения J⁷ = (щ)² система RE может быть представлена в форме скалярного уравнения второго порядка вида (п. 4.1.2, 4.2);

4. ряд нелинейных уравнений математической физики (уравнение эйконала J⁷ = {(и_х)² + (и_у)²}/п²(х,у) = 1 и его обобщение J⁷ = <р(и); уравнение характеристик волнового уравне-

Введение

ния {(и_х)² + (и_у)²}/п²(х, у) = (щ)²) трансформируется в классические обыкновенные диффе-
у^. ренциальные уравнения, в том числе линейные (п. 4.1.3, 4.2). Кроме того, найдены диффе-

^^ ренциальные преобразования, переводящие решения некоторых квазилинейных уравнений

эллиптического типа и гармонические функции в гармонические функции ( 4.2).

Эти преобразования переменных являются дифференциальными заменами вида (і,х,у,и\и²) -» (t,T,p,V(t,T,p)), где t,r = и¹, р = и\ илир = [(u^l_x)² + (v}_y)²)/u²(x,y) — новые независимые переменные (инварианты нулевого и первого порядка группы G, допускаемой исходным уравнением в пространстве (х,у, t, и¹,и²)), V(t,T,p) — скалярная или векторная функция, представляющая собой один или несколько дифференциальных инвариантов первого и второго порядка группы G или их алгебраические комбинации (новые зависимые переменные). Единообразным генератором этих найденных преобразований является семейство дифференциальных инвариантов рассматриваемой группы G и связи между ними, в частности, дифференциальное тождество (0.2), полученное в 3.3. Данные дифференциальные замены также порождаются групповым расслоением исходного дифференциального уравнения, записанным в формуле Т[и^х,у?} = 0, относительно группы G ( 2.4). Эта методика проводится в работе (глава 4) достаточно систематически.

^ч 4. Новое описание двумерной кинематической задачи сейсмики (геометрической оптики) на осно-

'' ве предложенного группового подхода. Результаты для волнового уравнения и других уравнений

математической физики

Кинематическая задача рассмотрена в работе наиболее подробно, поэтому более детально изложим полученные для нее результаты. Получены ( 4.1) уравнения, оценки и формулы, дающие некоторое новое описание двумерной (прямой и обратной) кинематической задачи и позволяющие сводить к ним эту задачу. В том числе получены следующие результаты.

1. Построено групповое расслоение уравнения эйконала

п²(х, у)

относительно вычисленной (в приложении 4) группы Ли G преобразований пространства (x,y,t,T,n²), показана возможность трансформации уравнения (0.3) в квазилинейное волновое уравнение

pv_TT + Vrt + vv_Tp - 2v_Tv_p = 0, (0.4)

являющееся разрешающим уравнением группового расслоения.

2. Выявлено скрытое наличие представления Лакса в прямой кинематической задаче (у
>ШЪ) разрешающего уравнения (системы) группового расслоения уравнения эйконала (0.3) в про
странстве (х, y,t, т, п²)).

3. Показана возможность трансформации уравнения эйконала в обыкновенные дифферен
циальные уравнения классического вида, в том числе в уравнение Риккати h_T+h² = —К(х, у)
и линейное уравнение второго порядка вида

U_TT + KU = 0, (0.5)

содержащего параметры т,р, где К = К(х,у) = K(t,r,p) определяется по п{х,у): К(х,у) =

1 A In и²

—— —. Величина К{х,у), входящая в эти классические уравнения, является гауссовой

2 п^г

кривизной некоторой поверхности с линейным элементом dr² = n²{x,y){dx² + dy²), что да
ет связь уравнения (0.5) с дифференциальной и римановой геометрией. Найдены диффе
ренциальные комбинации поля времен r(x,y,t) и показателя преломления п{х,у)₁ которые
^ч в качестве переменных v,h,U = U^l,U = U², на произвольном луче удовлетворяют этим

Введение

уравнениям и получаются преобразованием t,r,p — t,x,y(p = r_t) из дифференциальных инвариантов Р группы G:

Ат v(t,r,p) = T_tt = J⁵, Л(*,г,р) = — = J⁴,

С/¹ = г;/², t/²(t,r,p) = {^Tl,Ttx_пі^ТхТ»}~¹ = (J⁶)"¹.

4. Получены оценки и теоремы сравнения для геометрического расхождения лу
чей D(t,x,y), являющегося важной характеристикой в теории прямой кинематической зада
чи и в лучевом методе определения волнового поля [1, 26, 35], а также способ вычисления этой
величины D в прямой задаче, основанный на решении задачи Коши для уравнений (0.5).

Другие способы определения геометрического расхождения даны в работах А. В. Белоно-совой, С. С. Таджимухамедовой, А. С. Алексеева [35], А. В. Белоносовой, В. А. Цецохо [36], В. А. Цецохо, А. С. Белоносова [250], М. М. Попова [202].

5. Показано, что обратная кинематическая задача может быть сведена либо к прямой задаче для разрешающего уравнения (0.4), либо к другим квазилинейным системам, содержащим уравнение (0.5).

6. Получены интегральные формулы для определения некоторых функционалов от параметра п(х,у) или от функций т,п(х,у) в локальных обратных задачах как в исходных независимых переменных x,y,t, так и в (групповых) независимых переменных t,T,p.

7. Получена замкнутая система нелинейных уравнений (в нескольких вариантах) для функций х = x(t,r,p), у — y(t,T,p), определяющих произвольный луч. В отличие от известной системы уравнений луча

Г х_тт + (х² - у²_т){\пп)_х + 2х_ту_т(1птг)у = 0, | у_тт + 2х_ту_т(1пп)_х - (х² - у²) (Inn),, = 0,

эти системы для х,у не содержат функции п(х, у), которая неизвестна в обратной задаче. В частности, получена система

„_т - _„ ^х*Ур - ^ytXr mi -х ^XtVp " ^УіХр

^Рт~ ^Ур хі + уі ' ^Шт~^Хр хі + уі

8. Получены замкнутые скалярные квазилинейные уравнения для величин п и
(A In п)/п² = — К как функций новых независимых лучевых переменных t, т,р = r_t (яв
ляющихся инвариантами группы G).

9. Найдены (в прямой задаче) величины, инвариантные относительно положения точеч
ного источника сигналов (т. е. не зависящие от переменной і): дивергенция divT и поток
JJ_S(T dS) вектора

через произвольную гладкую фиксированную (на плоскости х, у) границу S. Показано, что

divT = Д1пп(х,у) = —п²(х,у)К(х,у).

Введение

10. В классической одномерной кинематической задаче получены следующие результаты.

A. Показано, что эта задача может быть описана уравнением pv_TT + vv_Tp — 2v_Tv_p = 0, или
{и_т + ии_г}_т — Зи_ти_т = 0, у(т,р) = и(т,г), г = р²/2 или А{р² — v²/v_T} = 0, где А = — (рд/дт +
vdjdp) — один из операторов L-A-пары Лакса для уравнения (0.4), и что эквивалентная
система v_T = — (С/²)^-2, pU² + (vU²)_p = 0 имеет бесконечное множество законов сохранения с
функциональным произволом.

B. Получен ряд явных интегральных формул для функционалов от параметра п(у) в
дополнение к формулам, упомянутым в п. 6 данного раздела.

C. Найден способ решения классической одномерной обратной кинематической задачи,
отличный от известных методов Герглотца — Вихерта — Чибисова и других подходов [33,
78-80, 141, 216, 218].

Результаты п. 1-4, 7-10. представляют собой постановки и решение ряда не рассматриваемых ранее вопросов для классической прямой кинематической задачи сейсмики (геометрической оптики), в частности, оценки и теоремы сравнения для геометрического расхождения.

Результаты, аналогичные сформулированным в п. 1, 2, 5, б раздела "Новое описание ...", получены также для волнового уравнения (и_хх + и_уу)/п²(х,у) = и_и ( 4.3). Результаты, аналогичные п. 1, 2, 3 этого раздела получены для уравнения {(и_х)² + (и_у)²}/п²(х, у) = (р(и), обобщающего уравнение эйконала (0.3), и для уравнения характеристик волнового уравнения {(и_х)² + (и_у)²}/п²(х,у) = (щ)² ( 4.2). Они уже упомянуты выше в разделах 2 и 3.

5. Поиск новых точных частных решений дифференциальных уравнений

Важную роль в математической физике играют явные точные частные решения дифференциальных уравнений, например, классические фундаментальные решения для уравнений Лапласа, Гельмольца, волнового уравнения. Точные решения применяются также в качестве тестов при численном решении задач. Одним из эффективных и универсальных методов их отыскания является групповой анализ. На основе группового анализа в работах Л. В. Овсянникова [189, 192], Н. X. Ибрагимова [99], В. К. Андреева, О. В. Капцова,

B. В. Пухначева, А. А. Родионова [16], В. К. Андреева, В. В. Бублика, В. О. Бытева [15],

C. В. Головина [278], Е. В. Мамонтова [136], С. В. Мелешко [174], Е. В. Меньшикова [175],
В. В. Пухначева [205], С. В. Хабирова [249, 285, 286], А. А. Черевко [253], А. П. Чупахина [258]
и других найдены важные и интересные классы частных решений для различных уравнений
математической физики. Точные частные решения нелинейных уравнений в частных произ
водных систематизированы в монографии А. Д. Полянина, В. Ф. Зайцева [201], в трехтомном
Handbook [281-283], статье Л. В. Овсянникова [195]. В частности, групповой анализ позво
ляет находить инвариантные решения, а также введенные Л. В. Овсянниковым [189, 192]
частично-инвариантные решения. Однако эти решения существуют не всегда, а только при
наличии определенных групповых свойств. Поэтому представляет интерес поиск новых точ
ных частных решений дифференциальных уравнений и новых вариантов применения груп
пового анализа для их отыскания.

В диссертации ( 4.4) предложен подход для определения точных частных решений, основанный на систематическом построении и применении группового расслоения. Ранее для этой цели оно систематически не применялось. При этом групповое расслоение строится для системы ED, объединяющей исходное уравнение Е и дополнительные дифференциальные связи D, инвариантные относительно той же группы G в пространстве а:, и¹, и², что и исходное уравнение Е. Так что G является группой эквивалентности и для Е, для ED; относительно G и строится групповое расслоение ED. Во всех рассматриваемых случаях удается последовательно получить общее решение разрешающей и автоморфной системы группового расслоения в явном виде.

Таких связей D, однако, можно добавлять бесконечно много, используя вычисленные дифференциальные инварианты. Выбор вида дифференциальных связей, удобных для интегрирования ED в явной форме, "подсказывается" разрешающей системой группового расслоения.

Введение

С помощью предложенного подхода получены следующие результаты.

1. Найдено несколько семейств точных частных решений волнового уравнения (и_хх +
и_уу)/п²(х,у) = u_tt и эллиптического уравнения (и_хх + и_уу)/п²(х,у) + u_zz = 0 с переменным
параметром п²(х,у), в том числе в элементарных функциях. В частности, найдены точные
частные решения трехмерного уравнения Лапласа вида

и(х, y,z) = {x + y+ [(х + у)² + 2Z²]¹/²}¹/².

2. Дано описание класса функционально-инвариантных (ф.-и.) решений двумерного вол
нового уравнения в терминах группового расслоения, содержащее, в частности, следующие
результаты.

А. Построено групповое расслоение системы

— = 4, (о.б)

и²(х,у)

определяющей ф.-и. решения волнового уравнения (0.6), в пространстве (і, а;, у, и¹, и²).

B. Показано, что система (0.6), (0.7) в классе всех существенно двумерных решений (со
свойством d(t,v},u\)ld(t,x,y) = и\и\_у — и_уи]_х ф 0) эквивалентна системе, получаемой из
системы (0.6), (0.7) заменой волнового уравнения (0.6) на обыкновенное дифференциальное
уравнение вида

ult = v(t,u\ul),

где функция v{t,r,p) определена явной формулой v = p²{tpf²(r) + д(т)р — 2/_т(г)//(т)}, /(т), 9І^Т) — произвольные гладкие функции. Причем получены явные формулы, выражающие /(г), д(т) через параметры {1(и),тп(и),п(и),к(и)} формулы Смирнова — Соболева [226, 229] для ф.-и. решений.

C. Дано новое доказательство формулы Смирнова — Соболева [226, 229] для ф.-и. реше
ний волнового уравнения на основе группового расслоения.

Найденные точные решения не являются инвариантными или частично-инвариантными относительно группы G в смысле определений, данных в работах Л. В. Овсянникова [189, 192].

Таким образом, показано, что с помощью группового расслоения можно расширить класс точных решений, получаемых на основе группового анализа. Т. е. можно строить новые инвариантно-групповые (по терминологии Л. В. Овсянникова [189]) решения дифференциальных уравнений математической физики с переменным или постоянным коэффициентом (параметром), сочетая метод группового расслоения и метод дифференциальных связей (в общем виде изложенный в книге А. Ф. Сидорова, В. П. Шапеева, Н. Н. Яненко [224]).

6. Постановка и исследование новых обратных задач

Наряду с необходимостью развития методов решения уже поставленных ранее задач, в некоторых областях теории дифференциальных уравнений в частных производных, например для уравнений смешанного типа, отсутствовали какие-либо работы по обратным задачам. Между тем обратные задачи для уравнений смешанного типа возникают, например в общем случае в обратной задаче рассеяния плоских волн на неоднородных слоях, как показано автором в [150, 151, 153].

В этих работах 1975-1977 гг. впервые рассмотрены обратные задачи для уравнения смешанного (эллиптико-гиперболического) типа; соответствующие результаты излагаются в монографии [294] и в 5.1-5.7 диссертации.

Введение

#

Отсутствовали и постановки некоторых важных обратных задач, представляющих интерес одновременно в различных прикладных областях. Таковыми, например, являются задачи определения физических характеристик и координат произвольного множества точечных источников (излучателей, осциляторов, точечных масс), впервые сформулированные и исследованные в 1977-1978 гг. в [152, 154, 155]. Эти задачи, как показано автором в [152, 154, 155, 294], естественным образом возникают в геофизике, биофизике, акустике, теории групповых источников (антенны) и других областях.

Итак, в диссертации сформулированы и исследованы два вида новых (неклассических) обратных задач:

1. первые постановки обратных задач для уравнений смешанного типа;

2. первые постановки дискретных обратных задач об определении произвольного множества точечных источников.

Обратные задачи для уравнения смешанного типа

Рассматривается уравнение смешанного (эллиптическо-гиперболического) типа, имеющее вид

,., . д²и д²и

^K{z)W ⁺ w^{=0 т}

в полосе П : 0 < z < Н, -со < < со, (0.9)

(0.10)

K(z)<0 при z Є [0, К), K(z)>Q при ze(/i,H],

K(z)eC²{[0,h])nO²([h_tH])₁ (0.11)

0 < h < Н < со. Изучается и другой случай, когда области гиперболичности и эллиптичности меняются местами. Предварительно ( 5.1) корректно формулируется прямая задача, которая также является новой неклассической постановкой и подробнее обсуждается в следующем разделе введения.

При этом допускается любое сочетание (из четырех по два) условий

K(h + 0) = 0, K(h + 0)^0, K{h-0) = 0, K{h- 0)^0.

To есть, коэффициент K(z) в уравнении (0.8) при переходе из области гиперболичности в область эллиптичности может изменяться как непрерывно (обращаясь в нуль на линии перехода с произвольной вещественной степенью, не обязательно одинаковой с обеих сторон), так и испытывать скачок (обращаясь в нуль только с одной из сторон или вовсе не обращаясь в нуль).

В 5.4-5.6 даны формулировка, доказательство теорем единственности и способ решения ряда обратных задач об определении переменного коэффициента K(z) в уравнении (0.8). В качестве данных в обратных задачах задается непосредственно решение прямой задачи на одной из границ полосы или на прямой z = h, при переходе через которую уравнение (0.8) меняет тип. Метод решения и доказательства теорем единственности всех обратных задач является спектрально-аналитическим и подробнее обсуждается ниже в разделе "Расширение ...". Он существенно использует найденное (в 5.2, 5.5) интегральное представление решения прямой задачи для уравнения (0.8).

Обратная задача рассеяния плоских волн на неоднородных слоях для гиперболического случая наклонного падения плоской волны, когда уравнение в редуцированной прямой задаче имеет гиперболический тип, изучена в работах А. С. Алексеева, А. Г. Меграбова [10, 11], А. Г. Меграбова [145,147,148], А. С. Благовещенского [51], А. С. Благовещенского, К. Э. Воеводского [53], В. И. Добринского, В. А. Горбунова [86]. К гиперболическому случаю относится

Введение

и обратная задача для случая нормального падения плоской волны. Она известна в геофи-
^ зике как один из вариантов одномерной динамической задачи сеисмики и является наиболее

^Р' изученной в математическом и прикладном отношениях; соответствующие ссылки уже при-

ведены выше в разделе "Разработка ...". Обратная задача рассеяния плоских волн на неоднородных слоях в эллиптическом случае, когда уравнение в редуцированной прямой задаче имеет эллиптический тип, исследована в работах А. Г. Меграбова [144, 146-149, 294]. Обратная задача рассеяния плоских волн на неоднородных слоях для случая уравнения смешанного типа (в редуцированной прямой задаче) впервые рассмотрена в [150,151] и излагается в 5.7; она и порождает постановки обратных задач 5.4-5.6 для уравнения (0.8).

Позднее М. И. Белишев [29] рассмотрел более общий случай в прямой и обратной задаче
рассеяния плоских волн на неоднородном полупространстве и в соответствующей задаче
для уравнения смешанного типа, когда коэффициент K(z) может неоднократно менять знак.
Однако на K(z) при этом накладывается ограничение (отсутствующее в нашем подходе):
K(z) не должен обращаться в нуль, так что K(z) должен испытывать скачок при перемене
знака*. Заметим также, что, в отличие от [29], в [150, 151, 153, 294] и в задачах главы 5
рассеивающей средой является не неоднородное полупространство, а неоднородный слой со
свободной или закрепленной границей.
Уь, Обратные задачи об определении множества точечных источников

^ Эти постановки дискретных обратных задач введены в теорию обратных задач в 1977 г.

в работах [152, 154, 155]. Они возникают в связи со следующим вопросом, поставленным в [152, 155]. Пусть в полупространстве х, у, z, заполненном средой с некоторой скоростью распространения волн, произвольным образом расположено N точечных источников (излучателей, осцилляторов), возбуждающих в среде суммарное поле колебаний и(х,у,z,і), удовлетворяющее волновому уравнению. Каждый источник имеет свою форму импульса и может включаться и выключаться в произвольные (неизвестные) моменты времени и притом неоднократно. Число источников N, их координаты и формы импульсов неизвестны. Спрашивается, существует ли такое множество Е точек на границе полупространства (а в случае пространства — на произвольной плоскости, по одну сторону от которой находятся все источники), что задание поля и на множестве Е позволяет однозначно определить в нестационарном случае — число iV, координаты и форму импульса каждого источника, а в стационарном — число N, координаты, амплитуду, фазу и частоту каждого источника. Число источников N может быть сколь угодно большим.

Мы рассматриваем также статическую обратную задачу об определении числа, коорди
нат и масс точечных источников ньютонова потенциала. Причем допускается, что массы
могут иметь разный знак.
Wi В 5.10 дана точная постановка этих дискретных обратных задач. Доказано, что во всех

v^"^? трех вариантах — нестационарном, стационарном и статическом — множество Е суще-

ствует, и приведены примеры таких множеств. То есть, доказаны теоремы единственности поставленных обратных задач.

В частности,в случае, когда задано такое натуральное число п, что N ^ п, доказано, что множество Е представляет собой множество, построенное из конечного числа точек на плоскости наблюдения, зависящего от п, и построены примеры таких множеств простой конструкции.

Кроме того, для нестационарной задачи предложен способ решения, основанный на аналитическом продолжении поля и по одной из пространственных переменных (п. 5.10.6). Получены также оценки количества нулей суммарного поля и(х, у, z, t) и и(х, у, z) на плоскости наблюдения z — 0 (п. 5.10.5).

"Как следует из сравнения содержания 5.2 и 5.5, доказательство в общем случае поведения K(z) в
точке z = h, когда допускается его обращение в нуль, значительно (примерно на порядок) превосходит по
^ своему объему доказательство 5.2 для частного случая Kih — 0) Ф 0, K(h — 0) ф 0.

Введение

Методологический результат этой части диссертации ( 5.8—5.11) состоит в привлечении теории [108, 207] чебышевских систем функций (Г-систем) к исследованию обратных задач для дифференциальных уравнений.

Рассматриваемые в п. 5.10 дискретные обратные задачи представляют собой задачи определения правой части специального вида, отвечающей произвольному набору точечных излучателей или точечных масс, в волновом уравнении или в уравнении Пуассона. Эти задачи по постановке примыкают к обратным задачам теории потенциала, поставленными и исследованными в работах П. С. Новикова [185], М. М. Лаврентьева [122], В. Н. Страхова [234],

A. И. Прилепко [203], Л. Н. Сретенского [231, 232], В. К. Иванова [100], И. М. Рапопорта [206],

B. Г. Чередниченко [273] и к работам А. С. Алексеева, А. Г. Меграбова [12], М. М. Лаврентье
ва, В. Г. Васильева, В. Г. Романова [127], В. М. Исакова [101], А. С. Запреева, В. А. Цецо-
хо [95], В. Б. Кардакова [107], А. Л. Бухгейма [60], N. Bleistein, J. К. Cohen [268].

Позже обратные задачи определения точечных источников в асимпотической постановке в рамках теории антенн были рассмотрены в работах А. Л. Бухгейма, С. М. Зеркаля,

B. Т. Конева, Г. С. Сабитовой [62, 64].

Возможные области приложений исследованных дискретных обратных задач рассмотрены в 5.11.

В полном объеме результаты по данному направлению (обратные задачи для уравнения смешанного типа, об определении множества точечных источников) опубликованы в монографии [294].

7. Постановка и исследование неклассических прямых задач

В теории краевых (прямых) задач для уравнений смешанного типа [46, 228] уравнение (0.8) известно как уравнение Чаплыгина для функции тока. Оно возникает и играет важную роль в газовой динамике околозвуковых течений [44, 193, 228]. В этой теории для уравнения Чаплыгина известны такие постановки, как задача Трикоми, задача Франкля и другие задачи (в ограниченной области). Они исследованы Ф. Трикоми, Ф. И. Франклем [245-247], М. А. Лаврентьевым, А. В. Бицадзе [120], Л. В. Овсянниковым [188], А. В. Бицадзе [45-47], М. М. Смирновым [228], К. И. Бабенко [25], В. Н. Враговым [69, 70], М. Проттером [303],

C. Моравец [298], Кузьминым [117], А. Н. Тереховым [238], С. Н. Глазатовым [81] и другими
исследователями. Соответствующая библиография приведена в монографиях М. М. Смир
нова [228], А. В. Бицадзе [46]. При этом на коэффициент K(z), как правило, накладыва-

. ются условия вида К(0) = 0, K'(z) > 0, К'(0) = 1 и другие ограничения на производную K'{z) [188, 228].

Рассматриваемые в диссертации постановки прямых задач для уравнения (0.8) впервые исследованы в [150, 151] и наиболее полно освещены в монографии [294]. Они возникают в другой области — в теории распространения волн, именно, в задаче рассеяния плоских наклонно падающих волн (упругих типа SH или акустических) на неоднородных слоях с переменной скоростью v(z) волн в слое. Эта прямая задача оказалась источником разнообразных подстановок по следующей причине. Как показано в работах А. С. Алексеева, А. Г. Меграбова [11], А. Г. Меграбова [150, 294], эта задача рассеяния (прямая) в переменных x,y,z,t сводится к двумерной задаче в независимых переменных z,, причем в последней задаче уравнение может иметь гиперболический, эллиптический и смешанный тип в зависимости от изменения характеристики среды v(z) (скорости распространения волн) и угла падения во плоских волн. Прямая задача для гиперболического случая наклонного падения плоских волн и в эллиптическом случае (случае полного внутреннего отражения) поставлена и изучена в работах А. С. Алексеева, А. Г. Меграбова [10, 11], А. Г. Меграбова [144-149, 294].

Прямая задача рассеяния плоских волн на неоднородных слоях для случая уравнения смешанного типа до работ [150, 151] не рассматривалась. Она может представлять определенный интерес для теории краевых (прямых) задач для уравнений смешанного типа, поскольку порождает новые постановки краевых прямых задач для уравнения смешанного типа вида (0.8) с переменным коэффициентом K{z).

Введение

Случай уравнения смешанного типа, имеющего вид (0.8), при этом возникает, когда в одной части слоя v(z) < t>osin0o (т. е. кажущаяся скорость меньше скорости v(z) в слое, это "докритическое" падение плоской волны), а в другой части слоя v(z) > uo/sin#o (т. е. кажущаяся скорость меньше скорости в слое, это "закритическое" падение плоской волны,

. _ _., . sin² во 1 ,_п

отвечающее случаю полного внутреннего отражения). При этом К(z) = —^ —— (0 ^

^vo ^v \^z) z ^ H), vo — скорость волн в однородном полупространстве, откуда падает плоская волна. Возникающие при этом неклассические краевые (прямые) задачи для уравнения (0.8) в неограниченной области — в полосе П вида (0.9) — с условием наклонной (косой) произвольной на одной из ее границ сформулированы и исследованы в 5.1, 5.2, 5.5. Доказана теорема единственности, существования и найдено интегральное представление для решения этих прямых задач. Никаких иных условий на K(z) и ее производную, кроме (0.10) и условия гладкости (0.11), не накладываются, в отличие от задач газовой динамики для уравнения (0.8).

8. Расширение области применения спектрального метода

Прямые и обратные задачи для уравнения смешанного типа (0.8) исследованы в работе с помощью следующего подхода. Сначала, используя метод неполного разделения переменных, находим интегральное представление в виде интеграла Фурье для решения прямой задачи. Затем, используя это представление, поставленные обратные задачи об определении коэффициента K(z) в уравнении смешанного типа (0.8) приводим к известным обратным спектральным задачам для уравнения Штурма — Лиувилля или для уравнения колебаний струны. Во-первых, это задача об определении регулярного оператора Штурма — Лиувилля по двум спектрам, исследованная в работах Г. Борга [270], Л. А. Чудова [262], В. А. Марченко [142], Б. М. Левитана [130], М. Г. Гасымова, Б. М. Левитана [72], М. Г. Крейна [113]. Во-вторых, это задача об определении плотности неоднородной струны по спектральной или главной переходной функции. Она исследована в работах В. А. Амбарцумяна [266], М. Г. Крейна [112-116], В. А. Марченко [141-143], И. М. Гельфанда, Б. М, Левитана [74], И. С. Каца, М. Г. Крейна [109].

Подход, заключающийся в сведении обратных задач для уравнений в частных производных к спектральным обратным задачам для уравнения Штурма — Лиувилля и уравнения струны, применялся ранее в работах В. А. Марченко [143], М. Г. Крейна [113-116], М. Л. Гервера [75, 76] по обратным задачам для струны, в работах А. С. Алексеева [2, 3], А. С. Алексеева, В. С. Белоносова [264] по обратным задачам для волнового уравнения, уравнений теории упругости и обратным динамическим задачам сейсмики. В названных работах, как и в обратных спектральных задачах, соответствующий одномерный оператор является самосопряженным. Следуя А. С. Алексееву [2, 3], А. С. Благовещенскому [50], данный подход будем называть спектральным методом.

В работах А. С. Алексеева, А. Г. Меграбова [10-12, 144-149, 294] область применения спектрального метода расширилась по двум направлениям:

3. на прямые и обратные задачи для струны с условием демпфера на одном конце (т. е. на этот конец действует сила, пропорциональная скорости его движения), где, в отличие от упомянутых в данном разделе работ, соответствующий одномерный оператор не является самосопряженным оператором Штурма — Лиувилля;

4. на обратные задачи для уравнений эллиптического типа. Оба эти класса задач возникают в задаче рассеяния плоских волн на неоднородных слоях в зависимости от угла падения плоской волны и характеристик неоднородного слоя.

Спектральный метод широко и эффективно применяется в теории обратных задач, особенно в одномерных обратных задачах [2, 3, 76, 143, 218, 259, 264]. Несмотря на это, возможности его не исчерпаны, и важным является его распространение на новые классы уравнений и задач.

Введение

В данной работе ( 5.2-5.7) область применения спектрального метода расширена на прямые и обратные задачи для уравнений смешанного типа с переменным коэффициентом, что можно рассматривать как некоторый методологический результат. В качестве модели применения спектрального метода к обратным задачам для автора послужили работы А. С. Алексеева [2, 3] по обратным задачам теории распространения волн.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ

Теоретической основой исследований и получения результатов в главах 1-4 диссертации служат теория дифференциальных уравнений (обыкновенных и частных производных) и классический групповой анализ дифференциальных уравнений. Используются классические методы вычисления непрерывной группы G точечных преобразований, допускаемой данным дифференциальным уравнением, отыскания инвариантов и дифференциальных инвариантов данной группы G, операторов инвариантного дифференцирования, понятия базиса дифференциальных инвариантов, автоморфной и разрешающей систем группового расслоения. Эта теория и ее результаты изложены в работах Софуса Ли [290, 291], Е. Vessiot [310], A. Tresse [309], Л. В. Овсянникова [186, 187, 187-196], Н. X. Ибрагимова [97-99], их учеников и сотрудников [15, 16, 24, 27, 66, 67, 135, 136, 174, 175, 205, 249, 252, 253, 255, 258, 274, 277, 278, 286, 287], П. Олвера [197] и других исследователей [225, 248, 251, 261-263, 275, 281-283, 295-297, 299, 308, 312, 313]. Особенно большое значение для понимания автором свойств и роли группового расслоения и тематики группового анализа сыграла в диссертации работа Л. В. Овсянникова [191] и его монография [192]. Групповой анализ дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (параметрами) без существенных ограничений на коэффициенты (параметры) и распространение группового анализа на обратные задачи выполнены с помощью подхода, предложенного автором и описанного в 1.3 главы 1.

При получении результатов главы 5 используются: теория дифференциальных уравнений (в частных производных и обыкновенных); теория аналитических функций комплексного переменного; спектральный метод, особенно результаты Б. М. Левитана и М. Г. Гасымова [72] для обратной задачи определения регулярного оператора Штурма — Лиувилля по двум спектрам, В. А. Марченко [141, 142] и М. Г. Крейна [112-116] по обратным спектральным задачам для уравнения Штурма — Лиувилля и уравнения струны; асимптотические формулы R. Е. Langer'a [288] для решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка и" + {р²<р²(х) — х{^х)} ⁼ 0> ^гпе Р — комплексный параметр, а функция <р²(х) может обращаться в нуль; теория Т-систем (систем функций Чебышева) [108, 207]. Формулы R. Е. Langer'a [288] в теории уравнений смешанного типа и теория Т-систем в обратных задачах привлекаются впервые.

В плане методологии применения спектрального метода к обратным задачам основное влияние на автора оказали работы А. С. Алексеева [2, 3] по обратным задачам теории распространения волн и обратным динамическим задачам сейсмики.

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД АВТОРА

Всего по теме диссертации автором лично опубликовано 27 работ, в том числе одна монография, изданная за рубежом на английском языке. Он является автором сформулированных в диссертации результатов, инициатором и исполнителем предлагаемого расширения областей применения группового анализа и спектрально-аналитического метода. Им предложен излагаемый в главе 1 и применяемый в главах 2-4 групповой подход к исследованию дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (параметрами). Ему также принадлежат неклассические постановки прямых задач и первые постановки обратных задач для уравнения смешанного типа и обратных задач об определении произвольного множества точечных источников, сформулированные в главе 5.

Введение

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ РАБОТЫ

Представляется, что предпринятая автором попытка объединения и взаимодействия классического группового анализа и теории обратных задач для дифференциальных уравнений, предложенный групповой подход к исследованию дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (параметрами), обнаружение существования представления Лакса у разрешающей системы группового расслоения широкого класса уравнений, получение нового дифференциального тождества, новое описание двумерной (прямой и обратной) кинематической задачи сейсмики (геометрической оптики), применение группового расслоения для отыскания точных частных решений и другие результаты глав 1-4, полученные на основе систематического изучения множества дифференциальных инвариантов группы эквивалентности, выявляют новые возможности группового анализа и могут стимулировать дальнейшие исследования в этих направлениях. Решение сформулированной автором (в 1.3) обратной задачи группового расслоения могло бы привести к появлению нового подхода к решению задач для нелинейных дифференциальных уравнений (систем). Неклассические постановки прямых задач в полосе и первые постановки обратных задач главы 5 для уравнения смешанного типа, имеющего вид уравнения Чаплыгина, возникающие в задаче рассеяния плоских волн на неоднородных слоях в теории упругости и в акустике, возможно, найдут заинтересованных исследователей в области газовой динамики, где также возникает уравнение Чаплыгина [44, 193, 228], а также, возможно, послужат импульсом к дальнейшему развитию теории обратных задач для уравнений смешанного типа. Новые постановки дискретных обратных задач гл. 5 об определении произвольного множества точечных источников (излучателей, осцилляторов, точечных масс) в трехмерном пространстве возникают во многих ситуациях в геофизике, акустике, биофизике, теории антенн и других технических и естественнонаучных областях, когда необходимо определить координаты и (или) параметры отдельных источников по суммарному полю (акустическому, упругих или электромагнитных колебаний, гравитационному и др.). Они могут найти применение в этих областях в тех случаях, когда в эксперименте затруднительно или невозможно определить координаты и другие параметры отдельных источников, а можно измерить лишь суммарное поле, генерируемое всем множеством источников.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международном семинаре "Обратные задачи геофизики" (Новосибирск, 1996), Международной конференции "Обратные задачи математической физики", приуроченной к 70-летию акад. А. С. Алексеева и 60-летию член.-корр. РАН В. Г. Романова (Новосибирск, 1998), Международной конференции "Некорректные и обратные задачи", приуроченной к 70-летию акад. М. М. Лаврентьева (Новосибирск, 2002), Международной конференции "Математические методы в геофизике", приуроченной к 75-летию акад. А. С. Алексеева (Новосибирск, 2003); на Всесоюзной математической школе по обратным задачам математической физики (Киев, 1975), Всесоюзной школе-семинаре по геофизической голографии (Томск, 1978), Всесоюзной конференции "Традиционные и новые вопросы сейсмологии" (Душанбе, 1978), Всесоюзной школе-семинаре по теории некорректных задач (Самарканд, 1983), Всесоюзной конференции по нелинейным задачам математики (Звенигород, 1988), на Всесоюзной конференции "Математическое моделирование в геофизике" (Новосибирск, 1988), на Всесоюзной математической школе-семинаре (г. Находка, 1988), Всесоюзной конференции "Математические методы в механике", приуроченной к 70-летию акад. Л. В. Овсянникова (Новосибирск, 1989), Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98) (Новосибирск, 1998), Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред", приуроченной к 85-летию акад. Л. В. Овсянникова (Новосибирск, 2004); на научных семинарах ЛОМИ им. В. А. Стеклова под руководством д.ф.-м.н. В. М. Бабича; Отдела вычислительной математики под руководством акад. Г. И. Марчука; Института гидродинамики СО

Введение

РАН им. М. А. Лаврентьева под руководством акад. Л. В. Овсянникова и член.-корр. РАН Плотникова; Вычислительного центра СО АН СССР и Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН под руководством акад. М. М. Лаврентьева и акад. А. С. Алексеева, Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством акад. М. М. Лаврентьева и член.-корр. В. Г. Романова, кафедры математической геофизики Новосибирского государственного университета под руководством акад. А. С. Алексеева.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [150-173, 292-294], в том числе в монографии [294].

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит их введения, 5 глав, заключения и 4 приложений. Объем диссертации 276 страницы, включая 4 рисунка и 28 страниц приложений. Список литературы содержит 313 наименований. Текст подготовлен в издательской системе Latex.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В плане полученных результатов и методов исследования содержание уже изложено выше в разделах "Научная новизна", "Результаты ...", "Методы ...". Поэтому в данном разделе кратко изложим содержание по главам и параграфам.

Во введении формулируются цели, направления и задачи исследований, подход автора к их решению, перечисляются основные полученные результаты, дается краткая библиография по направлениям, касающимся диссертации.

В первой главе, играющей роль развернутого поясняющего введения по отношению к главам 2-4, излагается предложенный подход к исследованию дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (параметрами) и к обратным задачам на основе классического группового анализа и мотивация его возникновения.

В первом параграфе поясняется методология выбора и отыскания группы, допускаемой дифференциальным уравнением (системой) с переменным коэффициентом (параметром), а также иллюстрируется ее действие на примерах конкретных уравнений: волнового, Гельм-гольца, эйконала (с использованием приложений 1-4).

Во втором параграфе перечисляются основные применяемые обозначения и термины группового анализа и дается краткое описание задачи группового расслоения.

В третьем параграфе излагается схема предлагаемого и применяемого в гл. 2-4 группового подхода в нескольких вариантах, формулируется обратная задача группового расслоения.

Вторая глава является базовой по отношению к главам 3, 4, поскольку получение теорем и формул в главах 3, 4 основано на результатах главы 2.

В первом параграфе вводится в рассмотрение конкретная группа G точечных преобразований пространства переменных х, у, t, и¹, и². Именно эта группа G рассматривается далее всюду в главах 2-4. Изучаются свойства группы G: определяются ее инварианты первого и второго порядка и операторы инвариантного дифференцирования, которые даются теоремой 2.1.1 и леммой 2.1.1.

Во втором параграфе устанавливаются важные для дальнейшего тождества и связи между дифференциальными инвариантами группы G (леммы 2.2.1-2.2.3). Они используются далее для доказательства теоремы о базисе ( 2.3), для построения группового расслоения ( 2.4), а также для получения и применения нового дифференциального тождества (в 3.3, гл. 4).

Введение

В третьем параграфе доказана важная теорема 2.3.1 о конечном базисе дифференциальных инвариантов группы G. Она определяет, какие именно инварианты группы G образуют ее (конечный) базис дифференциальных инвариантов, и является центральной при построении группового расслоения.

В четвертом параграфе формулируется некоторый общий достаточный признак автоморфности системы дифференциальных уравнений относительно допускаемой группы (лемма 2.4.1). С помощью этого признака и теоремы 2.3.1 о базисе построено групповое расслоение относительно группы G для широкого класса дифференциальных уравнений с произвольным переменным коэффициентом (параметром) и²(х, у) (леммы 2.4.2-2.4.5, теоремы 2.4.1, 2.4.2). Причем оно построено в явном виде.

В пятом параграфе перечисляются классические линейные и нелинейные дифференциальные уравнения математической физики с произвольным переменным (или постоянным) коэффициентом (параметром) и²(х,у) и их обобщения, которые содержатся в этом классе уравнений.

В третьей главе доказано новое свойство группового расслоения и получено новое дифференциальное тождество в качестве результатов группового анализа, вьшолненного в главе 2.

В первом параграфе показано, что с помощью некоторых замен зависимых переменных разрешающая система RE группового расслоения для широких классов уравнений может быть приведена к системе более компактной и обладающей некоторыми "хорошими" свойствами (симметрической, полулинейной, содержащей скалярные уравнения с одинаковой главной частью) (леммы 3.1.1-3.1.3).

Во втором параграфе доказано, что разрешающая система RE группового расслоения каждого дифференциального уравнения Е из широкого класса {Е}' (содержащего перечисленные в 2.5 уравнения математической физики) обладает следующим свойством. Для системы RE существует так называемая пара Лакса, или представление Лакса (леммы 3.2.1, 3.2.2, теоремы 3.2.1, 3.2.2). Представление Лакса построено в явном виде, т. е. получены явные формулы для операторов L, А пары Лакса.

В третьем параграфе получено новое дифференциальное тождество для скалярной функции и(х, у) (теорема 3.3.1). Оно содержит и связывает между собой лапласиан и модуль градиента функции. Это тождество найдено с помощью установленных (в 2.2) связей между дифференциальными инвариантами группы G. Из него получены интегральные тождества и интегральные формулы. Эти результаты применяются в гл. 4 по двум направлениям: 1) для определения функционалов в обратных задачах; 2) для преобразования ряда нелинейных уравнений математической физики в другие, более простые или обладающие специальными интересными свойствами.

Четвертая глава посвящена приложениям результатов предложенного группового подхода к конкретным дифференциальным уравнениям математической физики с произвольным переменным коэффициентом (параметром) и²(х, у).

В первом параграфе получены уравнения, оценки и формулы, дающие некоторое новое описание двумерной (прямой и обратной) кинематической задачи сейсмики (геометрической оптики) и позволяющие сводить к ним эту задачу. При этом поставлены и исследованы не рассматриваемые ранее вопросы в классической прямой кинематической задаче. В том числе, построено групповое расслоение уравнения эйконала (0.3) в пространстве (t, х, у, г, п²), выявлено скрытое наличие представления Лакса (теоремы 4.1.1, 4.1.2, п. 4.1.14), получены оценки и теоремы сравнения для геометрического расхождения лучей (теоремы 4.1.4-4.1.6), показана возможность преобразования уравнения эйконала (0.3) в классические обыкновенные дифференциальные уравнения (теорема 4.1.3) и другие результаты. Показана возможность трансформации обратной кинематической задачи к прямой задаче для разрешающей системы группового расслоения и для других систем, получены формулы для определения различ-

Введение

ных функционалов в обратных задачах (п. 4.1.12, теоремы 4.1.10, 4.1.11), ряд результатов в одномерной прямой и обратной кинематической задаче (леммы 4.1.2, 4.1.3, теоремы 4.1.12, п. 4.1.13).

Во втором параграфе рассматривается ряд нелинейных уравнений в частных производных: уравнение характеристик волнового уравнение {(и*)² + (и_у)²}/п²(х,у) = (u_t)², уравнение {(и_х)² + (и_у)²}/п²(х,у) = <р{и), обобщающее уравнение эйконала. Построено групповое расслоение этих уравнений в пространстве (x,y,t,u,n²), доказано существование представления Лакса у разрешающей системы (теоремы 4.2.2, 4.2.4). Доказана возможность преобразования этих уравнений в классические обыкновенные дифференциальные уравнения (теоремы 4.2.1, 4.2.3). Эти преобразования порождаются множеством дифференциальных инвариантов группы G. Данные результаты представляют собой распространение и обобщение аналогичных результатов, полученных в 4.1 для уравнения эйконала, как в исходных независимых переменных, так и в групповых (лучевых) переменных , т = и, р = щ. Кроме того, найдены дифференциальные преобразования, переводящие решения некоторых квазилинейных уравнений эллиптического типа, а также гармонические функции, в гармонические функции (теоремы 4.2.5, 4.2.6).

В третьем параграфе рассматривается двумерное волновое уравнение с переменной скоростью распространения волн с(х, у) (линейное и нелинейное). Построено его групповое расслоение, найдено представление Лакса для разрешающей системы (теоремы 4.3.1, 4.3.3). Разрешающая система приведена к симметрической или полулинейной форме (теорема 4.3.2.). Показано, что обратная задача для (линейного) волнового уравнения может быть преобразована в прямую задачу для разрешающей (квазилинейной) системы (первого порядка), оператор которой явно задан (теорема 4.3.4). Получены формулы для определения различных функционалов в локальных обратных задачах для линейного и нелинейного волнового уравнения (п. 4.3.5).

В четвертом параграфе найдено несколько семейств новых точных частных решений двумерного волнового уравнения Ди/п²(х, у) = и_и и эллиптического уравнения Аи/п²(х, у)+ u_zz = 0, в частности, уравнения Лапласа, в том числе в элементарных функциях (теоремы 4.4.3-4.4.5). Они найдены с помощью предложенного подхода, сочетающего групповое расслоение в пространстве (х,у, t, и¹ = и, и² = п²) и метод дифференциальных связей. Кроме того, дано описание класса функционально-инвариантных решений двумерного волнового уравнения в терминах группового расслоения (теоремы 4.4.1, 4.4.2, лемма 4.4.1).

В пятой главе рассматриваются некоторые неклассические постановки: прямые и обратные задачи для уравнения смешанного типа; дискретные обратные задачи об определении параметров и координат произвольного множества точечных источников.

В первом параграфе дается корректная формулировка неклассической прямой задачи для уравнения смешанного типа вида (0.8) в неограниченной области (полосе (0.9)) с условием наклонной производной на одной из границ полосы. Для нее доказана теорема единственности 5.1.1 в классе K{z) С С([0, h)) П C([h, Я]).

Во втором параграфе получено интегральное представление решения u(z, ) прямой задачи (с доказательством теоремы существования) в виде интеграла Фурье через фундаментальные системы решений двух уравнений Штурма — Лиувилля (теорема 5.2.1). Рассматривается частный случай K(h+0) ф 0, K{h—0) ф 0, когда коэффициент K(z) всюду отличен от нуля и испытывает скачок при переходе через точку z = h.

В третьем параграфе для иллюстрации этого представления рассматривается случай уравнения Лаврентьева — Бицадзе, когда K{z) = sgn (z — h) — ±1.

В четвертом параграфе сформулированы и исследованы постановки обратных задач для уравнения смешанного типа в случае K(h + 0) ф 0, K{h — 0) ф 0, доказаны теоремы единственности и дан способ решения этих задач.

Введение

В пятом параграфе доказана теорема 5.5.1 об интегральном представлении решения прямой задачи в общем случае, когда допускается обращение в нуль коэффициента K(z) в точке z = h с одной или с обеих сторон. Доказательство существенно использует асимптотические формулы R.E. Langer'a [288]. Найденное представление одновременно дает доказательство существования решения прямой задачи в общем случае. Даны формулировка, доказательство теорем единственности и способ решения обратных задач в общем случае поведения K(z) в точке z = h.

В шестом параграфе рассмотрены дополнительные прямые и обратные задачи с другими граничными условиями, другой информацией в обратных задачах и случай, когда области гиперболичности и эллиптичности меняются местами.

В седьмом параграфе дается физическая интерпретация и поясняется происхождение рассмотренных в 5.1-5.6 прямых и обратных задач для уравнения смешанного типа.

Во второй части пятой главы ( 5.8—5.11) рассматриваются дискретные обратные задачи об определении произвольного множества точечных источников по суммарному полю.

В восьмом параграфе приводится форма решения прямой задачи — суммарного поля, порождаемого произвольным множеством точечных источников — которое используется в обратных задачах. Даются некоторые вспомогательные геометрические построения.

В девятом параграфе доказана основная лемма 5.9.2, дающая оценку количества нулей обобщенного полинома F_n(x) = Ylk=i^aki>k{x), фк{х) = {(х — х^)² + г²}¹/², на оси —со < х < со. Лемма получена с помощью применения результатов из теории чебышевских систем функций (Г-систем). Получена теорема единственности для обобщенных полиномов Fn(x) указанного вида об определении его параметров N, Хк, Гк (теорема 5.9.1).

В десятом параграфе дана постановка дискретных обратных задач об определении координат и параметров произвольного множества точечных источников в трехмерном пространстве в трех вариантах — нестационарном, стационарном и статическом. Доказаны теоремы единственности обратных задач, для нестационарной задачи предложен некоторый способ ее решения. Также получены оценки количества нулей суммарного поля и(х, у, z, t) и и(х, у, z) на плоскости наблюдения 2 = 0.

В одиннадцатом параграфе обсуждаются возможные области применения данных постановок дискретных обратных задач.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В приложении 1 приводятся ограничения на переменный коэффициент (параметр) в виде дифференциальных уравнений, которые необходимы в силу определяющих уравнений алгебры Ли основной группы, допускаемой уравнениями: волновым, Гельмгольца, эйконала, при вычислении группы в пространстве (x,v} = и).

В приложении 2 вычислена основная группа, допускаемая волновым уравнением с переменной скоростью распространения волн с(х,у) и c(x,y,z) в пространствах {x,y,z,t,v} = и,и² = 1/с²) и (х,у,t,v},u²).

В приложении 3 вычислена основная группа, допускаемая уравнением Гельмгольца с переменным коэффициентом п²(х,у) и n²(z,y,z) в пространствах (x,y,t = к²,и¹ = и,и² = п²), (х,у,и\и²), (x,y,z,u^x,u²).

В приложении 4 вычислена основная группа, допускаемая уравнением эйконала {(т_х)² + (т_у)²}/п²(х,у) = 1 в пространствах (х,у,и^х = т,и² = п²) и {x,y,t,u^l — т,и² = п²).

Диссертационная работа выполнена в Новосибирском государственном университете и в Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН.

Основные применяемые обозначения и термины группового анализа. Задача группового расслоения (краткое описание)

Мы будем использовать следующие обычные термины и символы (см. [189, 192, 196]) группового анализа: G — локальная группа Ли точечных преобразований пространства Z = X х U; X — пространство независимых переменных х = (х1, х2,..., хп); U — пространство зависимых переменных и = (и1, и2,..., ит); Uk — к-ое продолжение пространства U — это пространство векторов и с коорди к натами и[ І2шшЛ (символами частных производных функций и1 порядка к), где индексы значения 1,...,т. Т. е. и есть упорядоченный набор всех частных производных от функ к ций и1 порядка к; Zk — к-ое продолжение пространства Z, общий вектор z этого пространства есть набор к dim V — размерность конечномерного пространства V; D — оператор полного дифференцирования (это векторный оператор с компонентами )», г = 1,...,п, действующий на функции от вектора z); оо X = г(х,и) г—г + т]к(х,и) —j; — (инфинитезимальный) оператор любой однопарамет рической подгруппы G\ группы G; G — продолженная группа fc-ого продолжения (это группа продолженных преобразований к пространства Z, когда в Z действует группа G); по известным [189, 9; 192, 4] рекуррентным явным формулам с помощью операторов Di по координатам , т]к оператора X; для к = 1 и к = 2 это формулы (2.9), (2.10) прил. 2; Jk = Jk{x,u) — (скалярный) инвариант группы G. Это скалярная функция такая, что для любого преобразования х = f(x,u), и = д(х,и) группы G справедливо тождество Jk(x ,u ) = Jk{x,u); J = (J1, J2,..., J" T ) — универсальный инвариант группы G. Это набор функционально независимых скалярных инвариантов группы G, через которые с помощью функциональных операций можно выразить любой ее инвариант. Здесь и = n+m = dim Z, г — ранг группы G (отображения = (С,т]к), см. [196, с. 10; 192, с. 324]); Jk = Jkiz) — (скалярный) дифференциальный инвариант группы G к-то порядка. Это J — множество всех дифференциальных инвариантов группы G. Каждый дифференци оо альный инвариант А;-ого порядка является также дифференциальным инвариантом (к + а) -ого порядка при любом а 1; АІ — оператор инвариантного дифференцирования. Это оператор вида переводящий любой дифференциальный инвариант порядка к в дифференциальный инвариант порядка А;+1. Известно [192, с. 314, 325], что для любой группы G существует п = dimX (т. е. г = 1,..., п) линейно независимых операторов А\, Аг,..., Ап инвариантного дифференцирования. При этом число я конечно. 1.2.2. Задача группового расслоения Опишем кратко задачу группового расслоения, следуя работам Л. В. Овсянникова [191; 192, 25, 26; 196, 6] и цитируя почти дословно. Система дифференциальных уравнений называется автоморфной относительно группы преобразований G, если любое ее решение и получается из одного ее фиксированного решения подходящим преобразованием группы G. Автоморфные относительно G системы обозначаются символом AG. Согласно теории группового анализа [192, 26], автоморфная система порядка к и ранга рк с необходимостью должна иметь вид системы дифференциальных уравнений где J = (J1, J") есть разбиение универсального дифференциального инварианта J соответ к к ствующего значению ранга рк, т. е. J состоит ровно из / скалярных инвариантов, ip — произвольная функция. К системе (1.2.1) добавляются уравнения относительно искомых ср, выражающих условия совместности уравнений (1.2.1). При каждом конкретном выборе такого набора функций (р получаем одну конкретную Л(?-систему.

Причем всегда рк п = dim X. Достаточные признаки автоморфности системы (один из них, полезный для наших задач, сформулирован явно в п. 2.4.1 гл. 2) требуют знания базиса группы G. Автоморфные AG-системы можно строить независимо от задачи группового расслоения какого-то уравнения (системы) Е, допускающего группу G. Действие группы G, допускаемой исходным дифференциальным уравнением Е, на множестве SE всех решений и уравнения Е приводит к разбиению (расслоению) этого множества на классы Gu эквивалентных решений. Говорят, что решения щ и и-х эквивалентны относительно G, если щ переводится в U2 с помощью некоторого преобразования из G. Существование этого расслоения приводит к следующей задаче группового расслоения. Дана система (уравнение) Е и допускаемая ею группа G; требуется получить описание каждого отдельного класса Gu и множества SE/G всех классов эквивалентности решений на языке дифференциальных уравнений. Эта задача была поставлена Софусом Ли и была исследована его учеником Е. Vessiot в 1904 г. [310]; затем, по выражению Л. В. Овсянникова [192, с. 310], она была "прочно забыта". Оказалось, что всякая система Е с помощью допускаемой ею группы G может быть представлена равносильным образом в виде объединения двух систем дифференциальных уравнений: автоморфной системы AG и разрешающей системы RE. Это представление называется групповым расслоением системы Е относительно допускающей группы G и символически записывается в виде Равносильность здесь означает, что существует взаимно однозначное отображение множества всех решений системы AG U RE на множество SE. Автоморфная система описывает отдельные классы Gu, а разрешающая система RE дает описание множества SE/G всех классов Gu.

В итоге интегрирование уравнения (системы) Е сводится к последовательному интегрированию систем RE и AG, что может оказаться более простой задачей. При этом автоморфная система AG необходимо должна иметь вид соотношений (1.2.1), связывающих дифференциальные инварианты группы G, и ранг рк = п = dim X. В систему AG входят некоторые неизвестные функции ip из (1.2.1), которые и должны определяться из разрешающей системы RE. Уравнения системы RE получаются как условия совместности уравнений систем AG и Е. Система Е записывается при этом в виде соотношений между дифференциальными инвариантами группы G. Порядок к ЛЄ-системьі группового расслоения заранее неизвестен. Эффективное решение этой задачи требует знания (конечного) базиса дифференциальных инвариантов группы G. Равносильность представления (1.2.2) проявляется следующим образом. По любому решению ip системы RE можно найти решение АС?-системы, которое является решением исходного уравнений Е. Обратно, для любого решения и Є SE найдется функция р, являющаяся решением системы RE, и с найденной р данное решение и Є SE является решением AG-системы.

Основные тождества и связи между дифференциальными инвариантами группы G. Связь группы G с дифференциальной геометрией

Приведем схему предлагаемого группового подхода и одновременно сопоставим ее с содержанием диссертации в главах 1-4, т. е. опишем логическую структуру этой ее части. Для простоты изложения допустим, что и1, и2 — скаляры, но та же схема справедлива и для векторов и1, V?. 1. Исходному дифференциальному уравнению (системе) EQ р-го порядка относительно и(х), которое всегда можно записать в виде где р 1, q 0 — целые числа, х = (а;1,а;2,... ,хп) — независимые переменные, и — р набор частных производных искомой функции и (и — решение прямой задачи, например, поле колебаний) порядка р, а = а(х) — произвольный переменный параметр (заданный в прямой задаче и искомый в обратной задаче, например, коэффициент (характеристика среды) или правая часть (источник поля)), Т— некоторая заданная функция, сопоставляется дифференциальное уравнение (система) Е віща относительно двух равноправных зависимых переменных и1, и2, где и1 = и, и2 = а. Причем функция Т в (1.3.1) и (1.3.2) одна и та же; L — соответствующий дифференциальный оператор, действующий соответственно на (и, а) и (и1, и2). Очевидно, такой переход всегда можно сделать. Этот шаг не требует каких-либо вычислений и доказательств и носит, по-существу, методологический характер. Однако он важен по причинам, поясненным выше в п. 1.1. Параметр и2 = а(х), вообще говоря, может удовлетворять некоторым условиям в виде дифференциальных уравнений, например, не зависеть от одной или нескольких скалярных переменных из набора х. (В диссертации и в работах [157-173, 292, 293] такую роль играет условие и2 = 0, т. е. и2 = и2(х,у)). Мы можем считать эти условия на а(х) 1) либо как уже содержащиеся в записи системы L[u, а] = 0 (соответственно в Liu1, и2] = 0) в качестве ее части, либо 2) как присоединяемые к этой системе в качестве дополнительных уравнений. В данном параграфе для большей компактности изложения принимается первая точка зрения. Заметим, что даже при линейном (относительно и(х)) дифференциальном операторе L (например, в случае линейного волнового уравнения (1.1.8) или (1.1.12) и уравнения Гельм-гольца (1.1.14)) дифференциальный оператор L, действующий на и1, и2, может быть нелинейным. Т. е., дифференциальные уравнения (1.3.1) и (1.3.2) различны, хотя и связаны между собой. Это соответствует тому известному факту, что обратная задача может быть нелинейной (и, как правило, является таковой) и для линейного уравнения вида (1.3.1). 2. Определяется (вычисляется) локальная группа Ли G точечных преобразований пространства (а:, 1, 2) = (х,и), где и = (и1,и2), допускаемая уравнением (1.3.2). Эти координаты г(ж, и), rf(x,u), вообще говоря, могут зависеть как от конечного числа г независимых параметров аі,а2,...,аг, так и от произвольных функций f(x,u). Если X зависит от произвольной функции /, то группа G содержит бесконечную подгруппу (и сама является бесконечной) — в этом случае алгебра Ли операторов X = Xf имеет бесконечномерный базис. При каждом выборе / получаем оператор X однопараметрической подгруппы G\(f) группы G . Этот этап (вычисление группы преобразований пространства (ж, и1, и2)) выполнен для уравнений: волнового, Гельмгольца и эйконала в форме (1.3.2) в прил. 2-4. Во всех случаях основная группа содержит бесконечную подгруппу G с алгеброй Ли операторов X вида (1.1.18). "Бесконечность" группы G дает хорошие возможности для группового анализа уравнения (1.3.2). Система (1.3.3), как правило, является переопределенной (см. [196, с. 13]) и в силу этого расщепляется на множество отдельных уравнений по некоторым переменным — координатам вектора z. Это обстоятельство позволяет найти общее решение (x,rf) системы (1.3.3), к что и сделано в прил. 2-4 для уравнений: волнового, Гельмгольца, эйконала. По алгебре Ли операторов X (по набору (\7 )) однозначно строится группа G (ее преобразования х = f(x,u), и = д(х,и)) как решение уравнений Ли [97-99, 189-192, 196, 197, 281-283]. Заметим, однако, что всюду ниже для наших целей вид преобразований группы G не требуется знать — достаточно определить операторы X. Дело в том, что используемые критерии инвариантности различных объектов (функций, уравнений) относительно преобразований G записываются в терминах операторов X, X.

Разрешающие системы группового расслоения как новый класс дифференциальных уравнений, допускающих представление Лакса. Построение парылакса в явном виде

Доказательство. С помощью непосредственного вычисления находим, что, если операторы АІ (г = 1,2,3) определены равенствами (3.1.6), где, однако, функции u i,w2,w4 произвольны, т. е. необязательно удовлетворяют уравнениям (3.1.2)-(3.1.4), то для любой гладкой функции ip(t,x2,x3) имеют место тождества Здесь всюду в фигурных скобках содержатся левые части уравнений (3.1.2)-(3.1.4), (3.1.7). Кроме того, согласно лемме 3.1.1 равенство (3.1.7) является следствием равенств (3.1.2)-(3.1.4). Поэтому коэффициенты при различных производных функции р равны нулю тогда и только тогда, когда функции u i, w2,w4, фигурирующие в определении (3.1.6) операторов АІ, и функция Я удовлетворяют уравнениями (3.1.2)-(3.1.4). Отсюда получаем лемму 3.2.1. Таким образом, операторы L, А, В дают так называемую L-Л-В-триаду для системы (3.1.2)-(3.1.4). Это понятие введено С. В. Манаковым [137] и обобщает понятие L-A-пары Лакса, или представления Лакса. Из леммы 3.2.1 в силу уравнения (3.1.5) следует Теорема 3.2.1. Пусть линейные дифференциальные операторы L и А, действующие на функции от х2,х3г определены равенствами (3.2.1)-(3.2.3). Для выполнения условия коммутации вида Теорема 3.2.1 дает представление Лакса, т. е. операторы L и А со свойством (3.2.4), для системы Яц, квазилинейных уравнений вида (3.1.2)-(3.1.5). Система Дц,, как и система R (замечание 2.4.4), недоопределена: она содержит четыре уравнения относительно пяти функций wi,w2,w3,w4,H. Поэтому Я определяет целое семейство систем, содержащих произвольную функцию. Соответственно формулы (3.2.1)-(3.2.3) определяют целое семейство L-A-nap, дающих представление Лакса для соответствующих систем вида Я . Например, можно произвольно задать одну из функций H.uii или соотношение между ними вида J-(t,X2,X3, H,wi,w-2,W3,Wi) = О, что соответствует заданию дифференциального уравнения Е из класса {Е} вида где F — произвольная гладкая функция. Более общий класс {Е} можно построить как объединение уравнений следующих видов: где Fj — произвольные гладкие функции. Задавая F и Fj и подставляя соответствующие соотношения между функциями H,Wi в систему R вида (3.1.2)-(3.1.5), мы получаем из R или Лщ конкретную разрешающую систему RE = REW с соответствующей L-Л-парой в терминах функций H,Wi для конкретного дифференциального уравнения Е С {Е} . Используя замену переменных вида (3.1.1), из формул (3.2.1)-(3.2.3) получим выражения тех же операторов L, А для систем R и RE в терминах функций Vi, h. Аналогично с помощью замены (3.1.22) из формул (3.2.1)-(3.2.3) получим операторы L, А пары Лакса в терминах функций U1, Н для системы Ru віща (3.1.23)-(3.1.27) и для разрешающей системы REu, определенной в следствии 3.1.3. Тем самым мы доказали, что имеет место Теорема 3.2.2. Разрешающая система RE группового расслоения любого дифференциального уравнения Е из определенного выше класса {Е} относительно группы G с операторами (2.1.1), построенная выше, допускает представление Лакса с L-A-парой, построенной по формулам (3.2.1)-(3.2.3).

Система RE и равенство (3.2.4) равносильны. В гл. 4 приводятся операторы L, А, дающие представление Лакса для конкретных разрешающих систем RE группового расслоения ряда классических дифференциальных уравнений математической физики. Как известно [96, 134, 241, 289, 307], если линейные дифференциальные операторы L, А образуют пару Лакса, т. е. справедливо операторное равенство (3.2.4), то "временная" (по переменной і) эволюция оператора L носит изоспектральный характер. Отсюда в силу теоремы 3.2.2 получаем Следствие 3.2.1. Пусть RE — разрешающая система группового расслоения уравнения Е из класса {Е} и L, А — соответствующая L-A-napa Лакса для системы RE, построенная по формулам (3.2.1)-(3.2.3). Пусть в начальный момент t — to функция ф(і,хі,Х2) удовлетворяет уравнению с некоторым значением параметра А, и ее эволюция во "времени" t описывается уравнением удовлетворяет уравнению (3.2.5) с тем оке значением X. Следствие 3.2.2. Для любых трех гладких функций Ф(Ь,х,у) = (p(t, х2,Хз), иг(і,х, у), и2 — п2(х,у) (п ф 0), где Х2 = и1, хз = и\, имеет место тождество где в выражении для L вида (3.2.1), (3.2.3) (или в терминах функций /і, и»; H,Ul) функции Н, Wi(h,Vi,Ul), определенные формулами (3.1.34) (или (2.4.8)-(2.4.12)), удовлетворяют системе Rw(R, Ry) Это утверждение вытекает из формул (2.2.1), (2.2.17), (2.4.24), (2.4.25), (3.1.6), в силу которых ВІФ = Ацр (і = 1,2), и из равенств (2.2.15), (2.2.16), (3.2.1). Аналогично лемме 3.2.1 доказывается следующее утверждение, дающее матричный аналог L-A-B-тршды, определенной в лемме 3.2.1. Лемма 3.2.2. Система двух уравнений (3.1.2), (3.1.3) относительно функций vj\, w2, W\ является необходимым и достаточным условием для выполнения равенства Справедливо тождество имеющее векторную (дивергентную) форму и равносильное тождеству которое имеет векторную (дивергентную) форму Если не предполагать наличия свойства g(x,y) ф 0 в D, то (3.3.1) принимает вид {gAg - [( )2 + Сделаем несколько замечаний и отметим некоторые следствия из теоремы 3.3.1. 1. Функции и т п могут также зависеть от третьей независимой переменной t, которая явным образом не входит в тождества (3.3.1)-(3.3.5) и играет для них роль параметра. Из тождеств (3.3.3) и (3.3.5), в частности, следует, что, если функция и зависит от третьей переменной t, а функция п не зависит от t, т. е. и = u(x,y,t), п = п(х,у), то выражения в левой части (3.3.3) и (3.3.5) также не зависят от t. 2. Тождество (3.3.1) или (3.3.2) содержит одну скалярную функцию и(х, у), а тождество (3.3.3) или (3.3.5) — две скалярные функции и(х, у) и п(х, у). Заметим также, что, в то время как выражения в левой части тождеств (3.3.1) и (3.3.5) определяются двумя функциями и(х,у) (или и(х,у, )) и п(х,у), выражения в правой части этих тождеств определяются только одной функцией п(х,у). 3. Тождество (3.3.3) можно записать в виде 4. Из тождества (3.3.1) следует, что векторное поле, образованное вектором Глава 3. Разрешающие системы группового расслоения 5. Как отмечено в п. 2.2.3, функция К(х,у) в тождестве (3.3.3), определяемая формулой (3.3.4), является гауссовой кривизной поверхности в трехмерном евклидовом пространстве с линейным элементом (римановой метрикой) dr2 = n2(x,y)(dx2 + dy2). Это устанавливает связь тождеств (3.3.1)-(3.3.6) с дифференциальной и римановой геометрией. Доказательство теоремы 3.3.1. Тождество (3.3.3) получается с помощью преобразования (и при этом — упрощения) равенства (2.2.11). Полагая в равенстве (2.2.11) и1 = и(х, у, ), и2 = (п)2 = п2(х, у), рассматривая t как параметр и учитывая, что J4 = h, J7 = /, J11 = К, запишем (2.2.11) в виде

Преобразования некоторых нелинейных дифференциальных уравнений с произвольным переменным коэффициентом (параметром) к классическим обыкновенным дифференциальным уравнениям с помощью группового подхода.Групповое расслоение и представление Лакса

Пусть функции v(x, у, t), U1(x, у, t), U2(x, у, t), h(x, у, t), ё(х, у, t) определены равенствами Теорема 4.2.1. Пусть в некоторой окрестности П точки M(x,y,t) функция и(х, у, t) удовлетворяет условиям теоремы 3.3.1 и уравнению (4.0.3) и в точке М якобиан J — d(ttu,ut)/d(t,x,y) = ихщу — UyUn ф 0. Тогда в некоторой окрестности точки М функ-циии1(х,у,і), U2(x,y,t) удовлетворяют уравнению а функции v(x, у, t) и s(x, у, t) — уравнениям где К(х,у) определена формулой (3.3.4), а линейный оператор В определен равенством Доказательство. Из тождеств (2.2.2)-(2.2.4) при и1 = и, и2 = n2, J = щ в силу J7 = (щ)2, J6 = (ut)2/U2, J8 = utv следуют равенства получаем (4.2.3) для U = U2,a затем (4.2.4), (4.2.5) и (4.2.3) для U = U1. Поэтому из теоремы 4.2.1 получаем Следствие 4.2.1. Пусть функция и(х, у, t) удовлетворяет уравнению (4.0.3) и другим условиям теоремы 4-2.1. Пусть функции v(t,r,p), Ul{t,r,p), U2(t,T,p), h{t,r,p), s(t,r,p) определены равенствами (4.2.1) и Тогда функции t/1(f,r,p), U2(t,T,p) вида (4.2.2), (4.2.6) образуют фундаментальную систему решений обыкновенного (по t) линейного дифференциального уравнения второго порядка функция s(t,T,p) удовлетворяет уравнению PuKKamust + s2 = —К(х,у), а функция v(t,r,p) удовлетворяет уравнению где {v,t} — так называемый дифференциальный инвариант (производная) Шварца уравнения (4.2.7). Теорема 4.2.2. Пусть функция функции u(x,y,t), п(х,у) удовлетворяют уравнению (4.0.3) и другим условиям теоремы 4-2-1 и функции v, U1, U2, h определены равенствами (4.2.1), (4.2.6). Тогда в некоторой окрестности точки M(t,r,p), где т = и, р = щ функция v(t,r,p) удовлетворяет квазилинейному волновому уравнению Уравнение (4.2.9) допускает представление Лакса с данной парой L,A. То есть, для выполнения условия коммутации вида [L,d/dt — А] = 0, где [, ] — коммутатор, необходимо и достаточно, чтобы функция v, входящая в определение L и А, удовлетворяла уравнению (4.2.9). Для систем (4.2.10) и (4.2.11) пара Лакса L,A получается отсюда при замене w\ = (U2)-2, v = UXJU2. Система {{их)2 + (иу)2}/п2 = (ut)2, utt = v(t,u,ut) является автоморфной системой AG, а уравнение (4.2.9) и каждая из систем (4.2.10), (4.2.11) —разрешающей системой RE группового расслоения уравнения (4.0.3) относительно группы G преобразований пространства х,у, і, и1 = и, и2 = п2 с операторами (2.1.1). Доказательство следует непосредственно из теорем 2.4.1, 3.2.1 и леммы 3.2.1 при подстановке в систему R вида (2.4.17)-(2.4.20) (или в системы Rw, Ru п. 3.1.1, 3.1.2) и формулы (3.2.1)-(3.2.3) равенств х2 = т, х3 = р, v\ = w\ = v, v3 = w3 = p2. Теорема 4.2.3. Пусть функция u(x,y,t) удовлетворяет условиям теоремы 4.2.1 с заменой уравнения (4.0.3) на уравнение (4.0.4), где р(и) — произвольная дважды дифференцируемая функция.

Пусть функции v, U1, U2, h как функции x,y,t определены по формулам (4.2.1). Тогда в некоторой окрестности точки М функция U2(x,y,t) удовлетворяет уравнению R2U+К(x,y)U = 0, а функция U1(x,y,t) —уравнению R2Ul+K(x,y)U1+aRU1 + f3 p = 0, где R = {ip(u)}-ll2A2, а величины а, (3 являются рациональными функциями ip, ри, рии U1, U2 вида и всюду р = р(и), р = щ. Функция s(x,y,t) = h — v?u/2 удовлетворяет уравнению A2s + s2 — —К(х,у). При (р = т2 а и /3 не зависят от U2 (имеем 5 = 0), а при кр = const а = (3 = 0. В случае р = 1 (уравнение эйконала) функции U1, U2, h, v удовлетворяют уравнениям (4.2.3), (4.2.4), (4.2.5) соответственно с заменой всюду оператора В на А2, которые являются аналогами уравнений (4.1.25) -(4.1.27) в пространстве х, у, t. вытекающих из тождеств (2.2.2)-(2.2.4) при и1 = и, и2 = п2, J = щ в силу J7 = р(и), J6 = cp{u)/U2, При замене t,x,y — t,r,p, где г = и, р = щ и преобразовании (4.2.6) получаем Следствие 4.2.2. Пусть функция и(х, у, t) удовлетворяет уравнению (4.0.4) и другим условиям теоремы J .2.3. Пусть функции v, Ul, U2, h определены равенствами (4.2.1), (4.2.6). Тогда имеет место утверждение, получаемое из теоремы 4-2.3 заменой всюду символов R на R, А2 на А2, и на т, щ на р, v, U, Ul, U2, h на v, U, Ul, U2, h соответственно, где В случае (/3=1 (уравнение эйконала) имеем А2 = д/дт и получаем уравнения (4.1.25)-(4.1.27). Теорема 4.2.4. Пусть функции u(x,y,t), п(х,у) удовлетворяют уравнению (4.0.4) и другим условиям теоремы 4-2.3, и функции v, U2, h определены равенствами (4.2.1), (4.2.6). Тогда в некоторой окрестности точки M(t,r,p) функция v(t,r,p) удовлетворяет квазилинейному уравнению где а функции v, U2 удовлетворяют эквивалентной системе uh = A2U2/U2 + ifr/2. Пусть линейные дифференциальные операторы L, А определены равенствами (4.2.12), где полагаем Уравнение (4.2.13) допускает представление Лакса с данной парой L, А. То есть, для выполнения условия коммутации вида [L, d/dt — А] = 0 необходимо и достаточно, чтобы функция v, входящая в определение L и А, удовлетворяла уравнению (4.2.13). Для системы (4.2.14) пара Лакса L, А получается отсюда при замене w\ = (С/2)-2, Н — A2U2/U2 + pT/(2 p). Система {(их)2 + (иу)2}/п2 = р(и), utt = v(t,u,ut) является автоморфной системой AG, а уравнение (4.1.13)или система (4.1.14) — разрешающей системой RE группового расслоения уравнения (4.0.4) относительно группы G преобразований пространствах,у,t,ux — и,и2 = п2 с операторами (2.1.1).

Доказательство следует непосредственно из теорем 2.4.1, 3.2.1 и леммы (3.2.1) при подстановке в систему R вида (2.4.17)-(2.4.20) (или в системы Д„, Ry п. 3.1.1, 3.1.2) и формулы (3.2.1)-(3.2.3) равенств х2 — т, хз = р, v\ — u»i = v, из = wz = {т). Теорема 4.2.5. Пусть функция и(х, у) удовлетворяет уравнению Аи = аи?{и1 + и1}, (4.2.15) где а, /3 — некоторые вещественные числа (—оо а оо, —со (3 со), и удовлетворяет условиям теоремы 3.3.1 в некоторой области D. (Если /3 О, записываем (4.2.15) в виде и Аи = ад). Тогда в D функция g удовлетворяет уравнению {g&g — (g2. + g%)}/2 — ag3ul3 1(aul3+l +/3) = 0. Если, кроме того, g(x,y) ф О в D, то функция g удовлетворяет уравнению (1/2)Д hxg—agu,3 1(au0+1+p) = 0, а функция р(х, у) = In yju2 + и2—avP+l /((3+1) при ІЗ ф — 1 и функция (в случае (3 = —I) ф(х,у) = In {(г + и /и2"} являются гармоническими в D и, в частности, Д /? = 0, Аїр = 0. При а ф 0 уравнение (4.2.15) является нелинейным для любого (3. В случае (3 = 0 функция g удовлетворяет уравнению {g&g — (g2 + gl)}/2 — Q?g3 = 0, не содержащему в явном виде и(х,у), а если g ф 0 в D — уравнению (1/2)Д1пд — a2g = 0, и функция (р(х, у) = In yju2 + и у — аи(х, у) является гармонической функцией в D. В случае а = (3 = 0 получаем Следствие 4.2.3. Пусть и(х,у) — гармоническая функция в некоторой области D. Тогда функция д(х,у) = и2. + и2 удовлетворяет уравнению gAg — (g2 + g2) = 0. Если, кроме того, и2 + иу ф 0 в D, то функция является гармонической в области D, и Д1п j grad u = 0 в D. Следствие 4.2.3 для случая g ф 0 можно получить другим способом, используя свойство аналитических функций комплексного переменного z = х + гу (г — мнимая единица). Поскольку гармонические функции обладают частными производными всех порядков, то, выбирая ip(x, у) = In grad и\ снова за исходную гармоническую функцию с помощью формулы вида (4.2.16) мы можем рекуррентным образом строить новые гармонические функции по заданной гармонической функции и(х,у). Следующее утверждение, вытекающее из (3.3.1), показывает, что класс U функций и(х, у), для которых функция ip(x,y) вида (4.2.16) — гармоническая, является более широким, чем класс гармонических функций и(х,у) со свойством g ф 0.

Похожие диссертации на Дифференциальные инварианты и спектральный метод в прямых и обратных задачах с переменными коэффициентами

Задачи идентификации коэффициентов многомерных параболических уравненийБаранов Сергей Николаевич

Задачи идентификации коэффициентов многомерных параболических уравнений с условиями переопределения, заданными на различных гиперплоскостяхПолынцева Светлана Владимировна

Некоторые задачи идентификации коэффициентов полулинейных параболических уравненийФроленков Игорь Владимирович

Непрерывные решения эллиптических систем на плоскости с сингулярными коэффициентами и краевых задачТунгатаров, Алиаскар

О краевых задачах с импульсными коэффициентамиШабров, Сергей Александрович

К Lp-теории эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентамиДудкина Анна Александровна

Изучение спектральных характеристик одной несамосопряженной задачи с гладкими коэффициентамиГаджиева Тамила Юсуповна

Изучение спектральных характеристик одной несамосопряженной задачи с негладкими коэффициентамиЖвамер Карван Хама Фарадж

Линейный и нелинейный анализ некоторых задач теории аэроупругости при малом коэффициенте демпфированияТолбей Анна Олеговна

Асимптотическое решение сингулярно возмущённых линейно - квадратичных задач оптимального управления с разрывными коэффициентамиНгуен Тхи Хоай