Содержание к диссертации
Введение
1. Предельный переход по вязкости в однородной краевом задаче дяя линеаризованной системы уравнении Ііавье-Стокса 32
1 .Линеаризованная система уравнений Кавье-Стокса с оператором первого порядка, характеристики которого не выходят из заданной трёхмерной области 32
2. Вывод основной априорной оценки 34
3 ДІрсдельїшй переход в задаче с оператором первого порядка, характеристики которого не выходят из заданной области 36
4.Пространство функций, имеющих квадратично суммируемую полную производную 39
5.Корректная постановка вырожденной задачи и формулировка результатов в случае, когда характеристики оператора первого порядка не выходят из заданной трёхмерном области 46
6. Краевая задача для системы Навье-Стокса в ненилицдрической области 51
7.Вывод априорной оценки для полной производной функции скорости 65
8. Предельный переход и формулировка основных результатов .для краевой задачи в области тока по заданному вектору 68
2. Пространство іоупкиий, квазипормировапное относительно протекающего еолепоцдального поля 76
1.Допустимость области 76
2.Определения и основные свойства пространств функций, квазннормированных относительно протекающего солепои- далького поля 87
3 . Доказательство полноты введённых квазшюрмированных пространств 95
4.Доказательство существования аппроксимирующих последовательностей для элементов введённых квазинормированных пространств 101
3. Об исчезающей вязкости в линеаризованной задаче протекания несжимаемой жидкости 114
1.Линеаризованная задача протекания несжимаемой жидкости 114
2.Априорные оценки 116
3.Предельный переход по вязкости в пространстве, определяемом как замыкание линеала гладких сТункций по квазинорме 134
4. Предельный переход по вязкости в допустимой области, когда выделенные части границы при пересечении обра зуют криволинейные двугранные углы 142
4. Существование и асимптотика по вязкости слабых решений системы уравнений Навье-Стокса с условием регулярного проскальзывания вдоль твёрдой части границы 147
1.Слабое решение системы Навье-Стокса с условием регулярного проскальзывания вдоль части границы 147
2.Асимптотическое представление слабого решения систе мы уравнений Навье-Стокса с условием регулярного проскальзывания, заданного на всей границе 163
3.Слабое решение задачи протекания для системы Навье- -Стокса в цилиндрической области с условием регуляр ного проскальзывания вдоль твёрдых стенок 165
4.Асимптотическое представление слабого решения задачи протекания для системы Навье-Стокса в цилиндрической области 173
5.Оценка остаточного члена 177
5. Существование слабых решений задачи протекания и их асимптотическое представление в областях, имеющих у выхода форму сопла и раструба 187
1.Определение слабого решения задачи протекания с условием регулярного проскальзывания вдоль твёрдых стенок 187
2.Построение финитного соленоидального продолжения с границы, имеющей двугранные углы 190
3.Теорема существования слабого решения 195
4.Асимптотическое представление слабого решения в области с соплом 201
5 Оценка остаточного члена 210
6.Асимптотическое представление слабого решения в области с раструбом 234
7.Оценка остаточного члена 252
Литература
- Вывод основной априорной оценки
- Краевая задача для системы Навье-Стокса в ненилицдрической области
- Доказательство полноты введённых квазшюрмированных пространств
- Предельный переход по вязкости в допустимой области, когда выделенные части границы при пересечении обра зуют криволинейные двугранные углы
Введение к работе
Математические проблемы, возникающие при изучении движения вязкой несжимаемой жидкости, имеют актуальное значение как в теоретическом плане, так и при исследовании конкретных моделей, используемых в механике, физике и других естественных науках для описания реальных процессов. В настоящее время гидродинамика представляет собой обширную и стремительно развивающуюся отрасль знаний, в которой находят своё применение многие разделы математики. Вместе с тем, гидродинамика постоянно служит источником оригинальных задач, несущих в себе новые математические идеи и открывающих перспективы дальнейших путей развития математики. В качестве подтверждающих примеров можно указать обзоры [54] , [72] и монографию [32] , близкие по тематике к данной работе. Однако, имея в качестве исходного материала одни и те же модели, математика и гидродинамика сильно разнятся в методах и целях исследования. Так, подавляющее число математических моделей в гидродинамике представляют собой системы дифференциальных уравнений в частных производных с разного рода дополнительными условиями. И если специалистов в области механики жидкости и газа интересуют, в основном, конкретный вид и конкретные свойства функций, удовлетворяющих исходной системе, то математики обращаются к ним с позиций развития общих методов исследования таких систем.
Особенно ярко это различие проявляется в подходах к решению систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера, наиболее часто используемых для описания гидродинамических процессов. В основной массе работ по гидродинамике, берущих за основу, системы уравнений Навье-Стокса и Эйлера, стремятся исходя из конкретных данных максимально упростить исходную систему, чтобы затем можно было в какой-либо форме описать искомое решение. При этом специалисты в области гидродинамики с той или иной мере опираются, или должны опираться, на известные общие свойства решений систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера, как и на способы нахождения таких решений.
Естественно, разработка общих методов исследования относится к области математики. Можно с полной уверенностью сказать, что хотя для систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера уже изучены многие аспекты теории, но запросы механики намного опережают сегодняшние возможности математики. Причём, как отмечено в [129] , хотя физическая модель, приводящая к уравнениям Навье-Стокса является наиболее простой из всех, описывающих движение жидкости с учётом диссипации, математическое изучение этих уравнений очень непросто и требует всей мощи современного функционального анализа.
Поэтому, наверное, в таком большом количестве работ по гидродинамике единственный способ исследования заключается в эмпирическом упрощении исходной задачи с последующим поиском приближённых решений. Безусловно, как можно убедиться по известной монографии [33] , таким способом были решены многие важные задачи и получены очень интересные результаты, но эти результаты нельзя поставить в заслугу математике.
Тем не менее, с позиций современной теории дифференциальных уравнений в частных производных уже изучены многие вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. Определяющие аспекты математической теории движения вязкой несжимаемой жидкости изложены в монографии О.А.Ладыженской [40] . Ей, её коллегам и ученикам В.А.Солонникову, К.К.Головкину и другим принадлежат основополагающие результаты в исследовании уравнений Навье-Стокса.
Разумеется, свой вклад в развитие теории уравнений Навье--Стокса и Эйлера внесли многие специалисты как в нашей стране, так и за рубежом. Но поскольку в цитированной монографии [ 0] содержится достаточно обширный список литературы по данному вопросу, а также раскрыта роль классиков этого направления, то укажем лишь на работы, не вошедшие в список литературы к [ 0J К числу монографий, не вошедших в [ /0] из-за более позднего выхода в свет, относятся [} 4, il, 88, 1Z9J В то же время, обращение к системам уравнений Навье-Стокса и Эйлера, опробывание на этих системах разрабатываемых методов, содержится у многих других авторов, например, [49 Я 2, 2 Ъу кЬ, k5-k§, 5Z-53, 52, 63-64, 81-83,. 95, ЮЗ, 105, 111],
Ещё большее различие в подходах между специалистами в области гидродинамики и математики обнаруживается в исследовании явления пограничного слоя, малой или исчезающей вязкости.
Теория пограничного слоя занимает во многих отношениях ведущее положение в механике жидкости и газа. Изучению разнообразных течений, при которых возникает явление пограничного слоя, посвящено огромное количество работ, как можно судить по обзорам [54 72,] или монографиям С 51 9 72. Специалистами в области гидродинамики описано большое количество пограничных слоев, при этом широко используется понятие уравнения пограничного слоя.
В математике тоже существует обширная теория, использующая термины "пограничный слой","уравнение пограничного слоя" и т.п. Её признание в качестве самостоятельной математической теории произошло около 1950 года после выхода в свет работ А.Н.Тихонова [89-91] И.С.Градштейна [ 16 - і & J и других ав торов, начавших рассматривать в качестве самостоятельного объекта исследования дифференциальные уравнения с малыми параметрами при старших производных. В последующие годы эта теория получила широкое развитие в трудах советских и зарубежных специалистов. Свидетельством тому являются обзорные статьи и монографии 18-10, Z5-27, 53, 9Zy 34 1,
Наибольший интерес и развитие в последние годы получило исследование асимптотических свойств решений дифференциальных уравнений в частных производных с малыми параметрами при старших производных, что тоже сводится, в конечном счёте, к пограничным слоям и уравнениям пограничных слоев. Яркие результаты в этой области принадлежат многим известным математикам ["7, 10, 24,34-35,52,,59, 65-67, GZ-69 77 0,109,115,1211.
Но если рассмотреть пограничные слои и уравнения пограничных слоев, используемые в гидродинамике для описания реальных явлений в вязкой несжимаемой жидкости, то с математической точки зрения в подавляющем большинстве случаев они не будут пограничными слоями или уравнениями пограничных слоев для системы уравнений Навье-Стокса. Как отмечено в [51] единственным видом пограничной функции в математическом смысле этого слова, извлекаемой из системы уравнений Навье-Стокса, является линейная. Для логарифмического погранслоя уже, по-сушеству, используется нелинейная зависимость тензора напряжений от тензора скоростей деформации.
Тем более, существуют частные примеры, когда при стремлении вязкости к нулю в пределе не получается движение идеальной жидкости. Ссылки на соответствующую литературу и обзор других "расхождений" между гидродинамикой и математикой содержится в 1151.
Во многих случаях уравнения пограничных слоев, используе мых в механике жидкости и газа, представляют собой просто модификации систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера в тонком слое. Широкий спектр таких задач представлен в [ 96] „
Конечно, такой подход оправдан во многих конкретных ситуациях, если теоретические результаты удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Но все-таки задачей математики является дедуктивное исследование системы уравнений Навье-Стокса при стремлении параметра, характеризующего вязкость, к нулю.
В первую очередь это нужно для того, чтобы специалисты в области гидродинамики точно знали, какие свойства решений следуют из исходной модели, если в качестве такой модели принята начально-краевая задача для системы уравнений Навье--Стокса. И если эти свойства не согласуются с реальными процессами, то надо вносить изменения в исходную модель, а не "подправлять" процесс дедуктивного вывода эмпирическими соображениями, как это зачастую делается (например [1Z3]).
В данной работе с теоретических позиций рассматривается вопрос о поведении решений системы уравнений Навье-Стокса при стремлении параметра, характеризующего вязкость, к нулю.
Первый результат общего характера, абстрагированный от физических задач, принадлежит по этому вопросу О.А.Ладыженской, указавшей на возможность предельного перехода по вязкости в двумерной задаче Коши ( ГЗб] ). В последующем разными авторами с помощью разных подходов j3 93, №4 110 - Щ Jj?- -Іі8.; J2,5о iZ6J доказано, что когда для системы уравнений Навье-Стокса задаётся только начальное условие, а под областью определения решения понимается всё пространство (двух и большего числа измерений), то решения системы уравнений Навье-Стокса сходятся к решению соответствующей начальной задачи ,для системы уравнений Эйлера. В большинстве случаев, при этом, речь идёт о сходимости сильного (или даже классического) решения на некотором отрезке времени, не зависящим от вязкости.
Гораздо сложнее проблема становится, когда решение системы уравнений Навье-Стокса ищется в ограниченной области и помимо начального условия требуется, чтобы решение на границе области удовлетворяло определённым краевым условиям.
Сравнительно много результатов по этой проблеме получено для систем уравнений с двумя независимыми пространственными переменными, моделирующих движение вязкой несжимаемой жидкости. Наиболее полный обзор известных, дедуктивно обоснованных фактов о поведении решений двумерных задач теории пограничного слоя содержится в [74]. Этой же теме посвящены работы 1 3 6 6Zt 34-85, 86- 8F, 93,9&7JM, П67 J2.3-JM, lZ f-Ъ
Кроме того, как приложение развиваемых общих методов, результаты для. двумерных задач содержатся в
О.А.Ладыженской [40, 42.] исследован вопрос о поведении решений линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса с любым числом пространственных переменных вида при стремлении "О - - О.
Для похожих уравнений в [73] построено асимптотическое разложение волновых движений вязкой жидкости со свободной границей.
Что касается трёхмерных задач для систем уравнений, содержащих конвективные члены, то до последнего времени о их реше ниях при стремлении коэффициента вязкости к нулю ничего конкретно не было известно, кроме того что всё множество решений при і) - 0 остаётся ограниченным в L2 .
В первую очередь такое положение вещей связано с тем, что для полной нелинейной системы уравнений Навье-Стокса не доказано существование единственного сильного решения соответствующей краевой задачи на заранее обусловленном отрезке времени [0,Т]. Решение существует либо локально, причём интервал разрешимости пропорционален коэффициенту вязкости i)y либо при выполнении определённых условий, ставящих значения начального поля скоростей и массовых сил в зависимость от величины "Л .
Обойти эту трудность пытались многими способами, в том числе изменением исходного предположения о характере зависимости тензора напряжений от тензора скоростей деформации 37,39-40, 50, 6&-Н, 7?-73] и др., но особых сдвигов в изучении проблемы исчезающей вязкости это не принесло.
В этом отношении более эффективным оказался подход, описанный В.П.Масловым в его монографии [58.] (см. также [57] ) где при помощи модификации начально-краевой задачи за счёт задания в специальном виде начального условия, строится асимптотическое представление изучаемой задачи по параметру \1
В недавно опубликованных работах К.Асано 93 10 0"\ с помощью оригинальной методики, основанной на обращении оператора, сопоставляемого системе уравнений Эйлера, исследуются вопросы разрешимости и асимптотики по вязкости полной системы уравнений Навье-Стокса, рассматриваемой в полупрост -ранстве с условиями прилипания на твёрдой границе и при условии аналитичности всех входящих в задачу известных функций. Утверждается о сходимости решений системы уравнений Навье-Стокса к системе уравнений Эйлера и приводится сответ-ствующая асимптотическая формула. Справедливость своих рассуждений автор выводит из применимости к рассматриваемой задаче абстрактной теоремы Коши-Ковалевской.
Т.Като принадлежит условный результат о сходимости слабого решения Хопфа для системы уравнений Навье-Стокса к гладкому решению системы уравнений Эйлера. В качестве условия для решения У системы уравнений Навье-Стокса требуется выполнимость соотношения где _Q - область определения решения, юг - размерность исходного пространства (fiJ2,J).
В первых трёх главах данной работы объектом изучения является линеаризованная система уравнений Навье-Стокса вида где і) - малый параметр, характеризующий вязкость, о — = (, 4 А) = (ф, 4 , /з) - из вестные трёхмерные соленоидальные вектор-функции. Областью задания системы (I)- -(2), а значит и её решения V (Vj z s)y считается ограниченная область _Q С jf{, с границей S при 1 [0,Т}у где Т = oomt.
Вывод основной априорной оценки
Математические проблемы, возникающие при изучении движения вязкой несжимаемой жидкости, имеют актуальное значение как в теоретическом плане, так и при исследовании конкретных моделей, используемых в механике, физике и других естественных науках для описания реальных процессов. В настоящее время гидродинамика представляет собой обширную и стремительно развивающуюся отрасль знаний, в которой находят своё применение многие разделы математики. Вместе с тем, гидродинамика постоянно служит источником оригинальных задач, несущих в себе новые математические идеи и открывающих перспективы дальнейших путей развития математики. В качестве подтверждающих примеров можно указать обзоры [54] , [72] и монографию [32] , близкие по тематике к данной работе. Однако, имея в качестве исходного материала одни и те же модели, математика и гидродинамика сильно разнятся в методах и целях исследования. Так, подавляющее число математических моделей в гидродинамике представляют собой системы дифференциальных уравнений в частных производных с разного рода дополнительными условиями. И если специалистов в области механики жидкости и газа интересуют, в основном, конкретный вид и конкретные свойства функций, удовлетворяющих исходной системе, то математики обращаются к ним с позиций развития общих методов исследования таких систем. Особенно ярко это различие проявляется в подходах к решению систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера, наиболее часто используемых для описания гидродинамических процессов. В основной массе работ по гидродинамике, берущих за основу, системы уравнений Навье-Стокса и Эйлера, стремятся исходя из конкретных данных максимально упростить исходную систему, чтобы затем можно было в какой-либо форме описать искомое решение. При этом специалисты в области гидродинамики с той или иной мере опираются, или должны опираться, на известные общие свойства решений систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера, как и на способы нахождения таких решений. Естественно, разработка общих методов исследования относится к области математики. Можно с полной уверенностью сказать, что хотя для систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера уже изучены многие аспекты теории, но запросы механики намного опережают сегодняшние возможности математики. Причём, как отмечено в [129] , хотя физическая модель, приводящая к уравнениям Навье-Стокса является наиболее простой из всех, описывающих движение жидкости с учётом диссипации, математическое изучение этих уравнений очень непросто и требует всей мощи современного функционального анализа.
Поэтому, наверное, в таком большом количестве работ по гидродинамике единственный способ исследования заключается в эмпирическом упрощении исходной задачи с последующим поиском приближённых решений. Безусловно, как можно убедиться по известной монографии [33] , таким способом были решены многие важные задачи и получены очень интересные результаты, но эти результаты нельзя поставить в заслугу математике. Тем не менее, с позиций современной теории дифференциальных уравнений в частных производных уже изучены многие вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. Определяющие аспекты математической теории движения вязкой несжимаемой жидкости изложены в монографии О.А.Ладыженской [40] . Ей, её коллегам и ученикам В.А.Солонникову, К.К.Головкину и другим принадлежат основополагающие результаты в исследовании уравнений Навье-Стокса. Разумеется, свой вклад в развитие теории уравнений Навье--Стокса и Эйлера внесли многие специалисты как в нашей стране, так и за рубежом. Но поскольку в цитированной монографии [ 0] содержится достаточно обширный список литературы по данному вопросу, а также раскрыта роль классиков этого направления, то укажем лишь на работы, не вошедшие в список литературы к [ 0J К числу монографий, не вошедших в [ /0] из-за более позднего выхода в свет, относятся [} 4, il, 88, 1Z9J В то же время, обращение к системам уравнений Навье-Стокса и Эйлера, опробывание на этих системах разрабатываемых методов, содержится у многих других авторов, например, [49 Я 2, Ещё большее различие в подходах между специалистами в области гидродинамики и математики обнаруживается в исследовании явления пограничного слоя, малой или исчезающей вязкости. Теория пограничного слоя занимает во многих отношениях ведущее положение в механике жидкости и газа.
Изучению разнообразных течений, при которых возникает явление пограничного слоя, посвящено огромное количество работ, как можно судить по обзорам [54 72,] или монографиям С 51 9 72. Специалистами в области гидродинамики описано большое количество пограничных слоев, при этом широко используется понятие уравнения пограничного слоя. В математике тоже существует обширная теория, использующая термины "пограничный слой","уравнение пограничного слоя" и т.п. Её признание в качестве самостоятельной математической теории произошло около 1950 года после выхода в свет работ А.Н.Тихоно ва [89-91] И.С.Градштейна [ 16 - і & J и других ав- торов, начавших рассматривать в качестве самостоятельного объекта исследования дифференциальные уравнения с малыми параметрами при старших производных. В последующие годы эта теория получила широкое развитие в трудах советских и зарубежных специалистов. Свидетельством тому являются обзорные статьи и монографии 18-10, Z5-27, 53, 9Zy 34 1, Наибольший интерес и развитие в последние годы получило исследование асимптотических свойств решений дифференциальных уравнений в частных производных с малыми параметрами при старших производных, что тоже сводится, в конечном счёте, к пограничным слоям и уравнениям пограничных слоев. Яркие результаты в этой области принадлежат многим известным математикам ["7, 10, 24,34-35,52,,59, 65-67, GZ-69 77 0,109,115,1211. Но если рассмотреть пограничные слои и уравнения пограничных слоев, используемые в гидродинамике для описания реальных явлений в вязкой несжимаемой жидкости, то с математической точки зрения в подавляющем большинстве случаев они не будут пограничными слоями или уравнениями пограничных слоев для системы уравнений Навье-Стокса. Как отмечено в [51] единственным видом пограничной функции в математическом смысле этого слова, извлекаемой из системы уравнений Навье-Стокса, является линейная. Для логарифмического погранслоя уже, по-сушеству, используется нелинейная зависимость тензора напряжений от тензора скоростей деформации.
Краевая задача для системы Навье-Стокса в ненилицдрической области
Но если рассмотреть пограничные слои и уравнения пограничных слоев, используемые в гидродинамике для описания реальных явлений в вязкой несжимаемой жидкости, то с математической точки зрения в подавляющем большинстве случаев они не будут пограничными слоями или уравнениями пограничных слоев для системы уравнений Навье-Стокса. Как отмечено в [51] единственным видом пограничной функции в математическом смысле этого слова, извлекаемой из системы уравнений Навье-Стокса, является линейная. Для логарифмического погранслоя уже, по-сушеству, используется нелинейная зависимость тензора напряжений от тензора скоростей деформации. Тем более, существуют частные примеры, когда при стремлении вязкости к нулю в пределе не получается движение идеальной жидкости. Ссылки на соответствующую литературу и обзор других "расхождений" между гидродинамикой и математикой содержится в 1151. Во многих случаях уравнения пограничных слоев, используе- мых в механике жидкости и газа, представляют собой просто модификации систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера в тонком слое. Широкий спектр таких задач представлен в [ 96] „ Конечно, такой подход оправдан во многих конкретных ситуациях, если теоретические результаты удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Но все-таки задачей математики является дедуктивное исследование системы уравнений Навье-Стокса при стремлении параметра, характеризующего вязкость, к нулю. В первую очередь это нужно для того, чтобы специалисты в области гидродинамики точно знали, какие свойства решений следуют из исходной модели, если в качестве такой модели принята начально-краевая задача для системы уравнений Навье--Стокса. И если эти свойства не согласуются с реальными процессами, то надо вносить изменения в исходную модель, а не "подправлять" процесс дедуктивного вывода эмпирическими соображениями, как это зачастую делается (например [1Z3]). В данной работе с теоретических позиций рассматривается вопрос о поведении решений системы уравнений Навье-Стокса при стремлении параметра, характеризующего вязкость, к нулю. Первый результат общего характера, абстрагированный от физических задач, принадлежит по этому вопросу О.А.Ладыженской, указавшей на возможность предельного перехода по вязкости в двумерной задаче Коши ( ГЗб] ). В последующем разными авто рами с помощью разных подходов j3 93, №4 110 - Щ Jj?- -Іі8.; J2,5о iZ6J доказано, что когда для системы уравнений Навье-Стокса задаётся только начальное условие, а под областью определения решения понимается всё пространство (двух и большего числа измерений), то решения системы уравнений Навье-Стокса сходятся к решению соответствующей начальной задачи ,для системы уравнений Эйлера.
В большинстве случаев, при этом, речь идёт о сходимости сильного (или даже классического) решения на некотором отрезке времени, не зависящим от вязкости. Гораздо сложнее проблема становится, когда решение системы уравнений Навье-Стокса ищется в ограниченной области и помимо начального условия требуется, чтобы решение на границе области удовлетворяло определённым краевым условиям. Сравнительно много результатов по этой проблеме получено для систем уравнений с двумя независимыми пространственными переменными, моделирующих движение вязкой несжимаемой жидкости. Наиболее полный обзор известных, дедуктивно обоснованных фактов о поведении решений двумерных задач теории пограничного слоя содержится в [74]. Этой же теме посвящены работы 1 3 6 6Zt 34-85, 86- 8F, 93,9&7JM, П67 J2.3-JM, lZ f-Ъ Кроме того, как приложение развиваемых общих методов, результаты для. двумерных задач содержатся в О.А.Ладыженской [40, 42.] исследован вопрос о поведении решений линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса с любым числом пространственных переменных вида при стремлении "О - - О. Для похожих уравнений в [73] построено асимптотическое разложение волновых движений вязкой жидкости со свободной границей. Что касается трёхмерных задач для систем уравнений, содержащих конвективные члены, то до последнего времени о их реше- ниях при стремлении коэффициента вязкости к нулю ничего конкретно не было известно, кроме того что всё множество решений при і) - 0 остаётся ограниченным в L2 . В первую очередь такое положение вещей связано с тем, что для полной нелинейной системы уравнений Навье-Стокса не доказано существование единственного сильного решения соответ ствующей краевой задачи на заранее обусловленном отрезке вре мени [0,Т].
Решение существует либо локально, причём интервал разрешимости пропорционален коэффициенту вязкости i)y либо при выполнении определённых условий, ставящих значения начального поля скоростей и массовых сил в зависимость от величины "Л . Обойти эту трудность пытались многими способами, в том числе изменением исходного предположения о характере зависимости тензора напряжений от тензора скоростей деформации и др., но особых сдвигов в изучении проблемы исчезающей вязкости это не принесло. В этом отношении более эффективным оказался подход, описанный В.П.Масловым в его монографии [58.] (см. также [57] ) где при помощи модификации начально-краевой задачи за счёт задания в специальном виде начального условия, строится асимптотическое представление изучаемой задачи по параметру \1 В недавно опубликованных работах К.Асано 93 10 0"\ с помощью оригинальной методики, основанной на обращении оператора, сопоставляемого системе уравнений Эйлера, исследуются вопросы разрешимости и асимптотики по вязкости полной системы уравнений Навье-Стокса, рассматриваемой в полупрост- ранстве с условиями прилипания на твёрдой границе и при условии аналитичности всех входящих в задачу известных функций. Утверждается о сходимости решений системы уравнений Навье-Стокса к системе уравнений Эйлера и приводится сответ-ствующая асимптотическая формула. Справедливость своих рассуждений автор выводит из применимости к рассматриваемой задаче абстрактной теоремы Коши-Ковалевской. Т.Като принадлежит условный результат о сходимости сла бого решения Хопфа для системы уравнений Навье-Стокса к глад кому решению системы уравнений Эйлера. В качестве условия для решения У системы уравнений Навье-Стокса требуется выполнимость соотношения
Доказательство полноты введённых квазшюрмированных пространств
Конечно, кагс при линеаризации полной нелинейной системы уравнений Павье-Стокса, так и при приведении системы с неоднородными краевыми условиями к системе с однородными условиями, в уравнении (I) появляются другие члены, кроме тех, что записаны в правой части (I). Но так как все они не вносят дополнительных трудностей в исследование, а нам важно выяснить принципиальные свойства решений, то в уравнении (I) оставлены лишь члены определяющие основные характеристики решения. В дальнейшем, при изучении линеаризованной задачи протекания предполагается, что грани ид S области Q разбита па три поверхности SA Sz S3 причём поверхности Sj и S3 меяду собой не соприкасаются, так что на SA п О при всех іє[0?Т] на Sz 8-П О при всех { [0,Т] S3 . Ш-ъ 0 при всех і є [ОТ]. Иными словами, граница области (Q не совпадает целиком с характеристической поверхностью для уравнения Іі і Уй»7»0 первой главы доказано, что решения системы уравнений (1)-(2) слабо схо.дятся к обобщённому решению системы (10) с соответствующим условием в том случае, если краевая подача .Для системы (1)-(2) сформулирована не во всей цилиндрической области (Цгр а в некоторой её подобласти, построенной так, чтобы поверхность выхода характеристик из трёхмерного объёма образовывала характеристическую глперповорхгюсть для уравнения (10) в четырёх-мерном пространстве. При отом возникла необходимость в доказательстве существования и единственности решения краевой задачи для системы (1)-(/.) в повиливдрической области. Теорию решения краевых задач для нестационарных уравнений в нецилиндрических областях нельзя признать достаточно разработанной, хотя к настоя- щему времени появилось уже немало работ, посвященных подобным вопросам. Так, в частности, и для систем уравнений Навье--Стокса и Эйлера имеются доказательства существования решения в специальных фуикциопальных пространствах при различных понятиях слабого и обобщённого решения [310 10Z, J06 Ю?У В 6 предлагается свой способ доказательства существования решения для системы уравнений (1)-(2) в том случае, когда граница области определения решения изменяется с течением времени по известному закону. Затем для решения системы (ї)-(2) в четырёхмерной облас ти ft /,, гтница которой состоит из характеристических гиперповерхностей з /ft для уравнения (10), доказывается априорная оценка „ / /7р, которач даёт возможность обосновать предельный переход по 1? - О от решения исходной краевой задачи к специальным образом сформулированной вырожденной задаче для системы вица (7). Главы II и III посвящены исследованию задачи протекания сформулированной традиционным образом в цилиндрической области, то есть в нашем случае, исследованию задачи (1)-(4) с тем условием па функцию о (ос 4) о котором шла речь выше.
В качество аппарата исследования применяются квазинорми-рованные пространства, введённые с использованием полной производной но вектору S. Вся глава II посвящена определению и описанию свойств таких пространств. Кроме того в I главы II излагается универсальный способ построения для пространств соленоидальных функций аппроксимирующих последовательностей гладких функций. Вопрос об аппроксимации неизбежно встаёт при введении новых функциональных пространств, йиу уделено достаточно внимания в исследованиях разных авторов, начиная с С 6J . Для пространств солепоццаяьише функций птот вопрос, кромп [5] глубоко изучался в LZ9-30, 43-44,55-56, 813. Формулировка и доказательство приводимой в I главы II леммы .1.1 явились результатом привлечения для пространств соленоидальных функций основных идей, с помощью которых подобны!! вопрос решён в С і 2. ] . Глава III посвящена непосредственному исследованию решении задачи (1)-(4) при 9 0 в том случае, когда Кроме введённых квазипормированных пространств, в исследовании существенным образом использованы новые априорные, о це шеи для задачи (1)-(4),(12): Их выводу носвящён 2 из главы Щ. Ключевым звеном для всей цепочки оценок из 2 является вывод неравенства (14) на границе области. Оно получено с помощью своеобразного приёма, который может оказаться полезным во многих других случаях, когда иные способы вывода аиряоных оценок не приводят к успеху. Б 3,4 па основе оценок (13)-(14) из множества решений {Vv} у 0 задачи (1)-(4),(12) выделяются подпоследовательности \У "-} слабо сходящиеся к некоторым функциям if 5 2)=4 2,... принадлежащим определённым квазинормировапным пространствам . В терминах введённых квазинормироваиных пространств формулируется обобщённая постановка начально-краевой задачи для линеаризованной системы уравнений Эйлера. Доказывается, что её решение единственно и что все функции 2f& Ь-1 2 ... ей удовлетворяют. Откуда, так же как в главе I, делается вывод, что решения задачи (I) - (4), (12) при т) - о слабо сходятся к решению вырожденной задачи в L?(l) при каждом te[0 T] причём слабо сходится в пространстве L ($ ) ДЛя Л1бой подобласти „Q отделённой от S к полной производной по вектору ,5 от решения вырожденной задачи. Устанавливается, что в том случае, когда 5, с S? образуют при пересечении ненулевой двугранный угол, нигде не разворачивающийся до 180, любая гладкая функция, удовлетворяющая задаче протекания для линеаризованной системы уравнений Эйлера в классическом смысле, будет и решением обобщённой начально-краевой задачи, то есть будет слабым пределом решения задачи (D--(4), "(12). В главах ІУ и У рассматривается полная нелинейная система уравнений Навье-Стокса
Предельный переход по вязкости в допустимой области, когда выделенные части границы при пересечении обра зуют криволинейные двугранные углы
Предлагаемая в данной работе постановка привлекательна тем, что она позволяет в ряде случаев дать асимптотическое представление слабого решения системы уравнений Навье-Стокса через систему уравнений Эйлера, а отсюда, кроме всего прочего, следует, что два возможных решения исходной задачи в определённом смысле мало отличаются между собой. Правда, те определения слабого решения системы уравнений Навье-Стокса, которыми обычно пользуются, обладают рядом недостатков, затрудняющих проведение выкладок при доказательстве справедливости асимптотического представления. Причины этого подробно обсуждаются в I главы ІУ, где затем предлагается новый способ определения слабого решения, в некоторых отношениях более удобный по сравнению с ранее известными. Этот способ в равной мере пригоден для краевых задач любого типа, поэтому определение в I главы ЇУ сформулировано так, что подходит как к первой краевой задаче, так и ко второй, и, конечно, к той нестандартной задаче, для которой впоследствии строится асимптотическое представление. Граница S области О предполагается состоящей из О гладких частей {S,A d = i... О которые могут соединяться друг с другом как гладким образом, так и образовывать при пересечении двугранные углы, обращенные своими рёбрами во вне области О. Пусть множество {S((} j , D в силу каких-либо сооб- районнії разбито на два подмножества {S;} [=і т S;1. т b различающихся характером поведения ftyiiK- В дальнейшем, при выполнении па отдельных участках границы условий (22)-(23), говорится, что гддкость дцоль этих участков рс.гулятпо проскальзывает, а условия вида (22)-(23) называются условиями регулярного проскальзывания. о Пусть J((#T) - подпространство шупкпий из Lz(( r)} принадлежащих J(Q) при почти всех І [О Т] Обозначим через J ($т S± ,...,Sm) подпространство соленоидальиых функций из Wz (6? Г) І удовлетворяющих условию: если Uj %rA/" Sm);ro ПРИ жжіфу] Ujs=0.y Ы, т, а через НК г пространство H -J Sj )() j(&T).. Слабым решением задачи (18)-(23) называется функция qfe j-j1 0 которая для всех Фб / / удовлетворяет неравенству ЛєЛ&р) такая функция If существует. В 2 рассмотрен случай, когда вся грани]сі о ненрони- Ц юма для жидкости и вдоль S жидкость регулярно проскальзы вает.
Доказано, что тогда все слабые решения системы уравне ние Навье-Стокса, определяемые посредством неравенства (24), отличаются от решения начально-краевой задачи дугя системы уравнении Эйлера па величину OCW) в норме LZ(Q) на протяжении всого интервала изменения пероменноіі -Ь в котором существует гладкое решение задачи (5)-(6). В 3,4,5 рассматривается задача протекания вязкой не-с;;аімаемой жидкости сквозь цилнндрическую область, у которой образующая перпендикулярна основаниям, представляющим из себя плоские области. Одно основание, через которое по предположению жидкость втекает в Q обозначено о боковая поверхность обозначена S? а .другое основание, через которое жидкость вытекает из Q обозначено S3. Для системы уравнений Кавье-Стокса (18)-(19) задаются значения вектора скорости на Sj на S и начальное значение скорости в каждоії точке из 2 те (L 1Ъ СІ - известные трёхмерные вектор-функини. Что же касается иепропнщемого участка границы, то иред1полагаегся, В о для-зачади (18),(19),(27)-(31) устанавливается существовании слабого решения, определяемого посредством интегрального неравенства, аналогично тому, как было определено слабое решение однородной краевой задачи. Доказательство существования решения задачи с неоднородными краевши условиями (27),(28) проводится при помощи сведения этой задачи к задаче с однородными краевыми условиями. Для отого строится солепоидальпая функция, удовлетворяющая условиям (--7), (28) и (30). Необходимость особого постіюеїшя такой (Тушении вызвана тем, что общий способ из [40]. не обеспечивает достаточной гладкости такой функции в связи с наличием двугранных углов мегщу выделенными частями границы. В !; 4,5 доказывается, что каждое слабое решение задачи (18),(13),(27)-(31) мошю представить в виде произвольных областях ещё далека до своего окончательного ранения. Для существования гладкого решения от входящих г. задачу (3/2)-(35) известных функций требуется выполнимость ряда условий согласования, зависящих от формы области. Причём эти условия не имеют универсальной формулировки, подходящей к областям различной формы. В связи с отим в дайной работе существование гладкого решения задачи (32)-(35) принимается в качестве исходного условия. В ряде случаев, и в частности, при тех предположениях о форме области, которые приняты в 3,4,5 главы IT, конкретные условия на известные функции, при которых задача (32)--(35) имеет гладкое решение, можно определить в соответствии с методикой из [Zl ГД0» кроме того, содержится библиография по данному вопросу и раскрыты ключевые аспекты проблемы. Как ото обычно имеет место при выводе асимптотических представлений, вся сложность доказательства его справедливости заключается в оценке остаточного члена п(х {). Этому посвящен 5 главы ІУ. Одним из принципиальных условий, выполнение которого необходимо для справедливости асимптотического представления, яшшется ограничение снизу на нормальную компоненту вектор-функции JL(X.}). То есть П-оІ(3!,і) ї А, (36) где величина Д конструктивно оценивается исходя из .данных задачи. В главе 7 изучается движение вязкой несжимаемой жидкости сквозь области болей произвольной формы, чем это допускалось условиями главы IV. Предполагается, что поверхности SI п S3 -плоские, расположенные на конечном, ненулевом расстоянии друг от друга, не обязательно параллельные между собой, а поверхность соединяет oi и 53 так» что все вместе они образуют замкнутую односвязную поверхность S=SdU Szu s3, не имеющую самопересечений и ограничивающую со всех сторон трёхмерную область Q . S1 с Sp и $ с S при соединении друг с другом образуют ненулевые криволинейные двугранные углы, нигде не развёртывающиеся до 180.
С этими предположениями о форме области рассматривается задача (18), (19), (27)-(31), для которой устанавливается существование слабого решения, определяемого посредством интегрального неравенства. Доказательство существования решения задачи (18), (19), (27)-(31) так же проводится путём сведения её к задаче с однородными краевыми условиями. Но только в данном случае построить функцию, сводящую задачу с неоднородными краевыми условиями к задаче с однородными условиями, гораздо сложнее, чем в главе ІУ. В связи с этим в 2 выделено построение гладкого финитного соленоидального продолжения с границы, имеющей двугранные углы. Самому доказательству существования решения задачи (18), (19), (27)-(31) и формулировке соответствующих результатов посвящен 3. . В 4,5 показано, что если криволинейный двугранный угол между S3 и So является тупым, а известные функции djj jb СІ,4 удовлетворяют некоторым дополнительным условиям, то каждое слабое решение задачи (18), (19), (27)-(31) можно представить в виде где и - гладкое решение вырожденной задачи (32)-(35), р - - функция погранслоя вблизи линии пересечения S П S-з ЯТ - функция погранслоя вблизи S /О(х ) - остаточный член, ограниченный в L, (.Q ) при всех і из интервала существования решения задачи (32)-(35). Бект op-функции погранслоя Р vicJL строятся в явном виде. Как независимые пространственные переменные, так и компоненты вектор-пункций Р и zJ L (а также Ю ) выражаются в декартовой системе координат (0d 3Cz X ) у Для которой S3 расположена на координатной плоскости, эс? О Х3 а ось сс направлена во внутрь Q. , Вектор-функция Р строится с использованием разработанного в 2 главы У способа построения финитного соленоидально-го продолжения, как соленоидальная вектор-функция, компенсирующая невязку сі - U на расстоянии Ц г) от f) S3 где & СОП4І. Кроме уравнения СІІЛІ Р 0 не требуется, чтобы вектор-функция Р удовлетворяла ..другим дифференциальным соотношениям.
