Введение к работе
Актуальность темы. В работе рассматриваются два тесно связанных между собой круга задач, относящихся к прямым и обратным задачам динамики управляемых систем с распределенными параметрами. Под прямыми задачами здесь понимаются задачи, в которых требуется найти управления, обеспечивающие определенное качество движения динамической системы или ее состояний. Под обратными задачами здесь понимаются задачи, в которых по наблюдаемым движениям динамической системы требуется определить априори неизвестные управления или какие-либо параметры системы, соответствующие наблюдаемому движению (такие задачи являются, как правило, некорректными).Эти задачи имеют своим источником многочисленные проблемы практики, они находят все более широкое применение при решении различных научно-технических и народно-хозяйственных проблем. Это связано с расширяющимися возможностями более адекватного моделирования реальных процессов, а также с разнообразием и глубиной теоретических разработок.
Актуальность этих задач, их большой теоретический интерес и прикладное значение обеспечили интенсивное развитие. теории оптимального управления и теории- обратных и некорректных задач. Существенный вклад в становление и развитие теории оптимального управления внесли Понтрягин Л.С, Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф., Красовский Н.Н., Осипов Ю.С., КуржанскийА.Б., Субботин А.И., Габасов Р., Дубовицкий А.Я., Завалищин СТ., Кириллова Ф.М., Крязкимский А.В., Милютин А.А, Никольский М.С., Петров Н.Н., Петросян Л.А., Пшеничный Б.Н., Тихомиров В.М., Ченцов А.Г.,Черноусько Ф.Л. и другие авторы. Задачи управления в системах с распределенными параметрами активно разрабатывались в работах Бутковского А.Г.,Васильева Ф.П., Егорова А.И., Литвинова В.Г., Лурье К.А., Плотникова В.И., Райтума У.Е., Сиразетдинова Т.К. и
многих других авторов. Из зарубежных авторов различными аспектами задач управления активно занимались Айзеке Р., Балакришнан А., БеллманР., Бенсусан А., Брайсон Д., Варга Дж., Калман Р.Е., Лейтман Дж., Ли Э.Б., Лионе Е.Л., Маркус Л., Рассел Д., Сеа Ж., Фатторини X., Флеминг В., Фридман А., Хо Ю-Ши, Янг Л.
Существенный вклад в становление и развитие теории обратных и некорректных задач внесли Тихонов А.Н., Иванов В.К., Лаврентьев М.М. Различные аспекты втих задач активно разрабатывались в работах Алифанова О.М., Аниконова Ю.Е., Арсенина В.Я., Артюхина Е.А., Бакушинского А.Б., Бухгейма А.Л., Васильева Ф.П., Васина В.В., Гапоненко Ю.Л., Гласно В.Б., Гончарского А.В., Крутько П.Д., Марчука Г.И., Морозова В.А., Никитенко Н.И., Приленко А.И, Романова В.Г, Румянцева СВ., Степанова В.В., Страхова В.Н., Тананы В.П., Яголы А.Г, Яхно В.Г. Из зарубежных авторов отметим Брокета Р., Бэнкса X., Кюниша К., Латтеса Р., Лионса Ж.Л., Месаровича М., Сильвермана Л., Уайта Л.
В настоящее время по теории оптимального управления, обратным и некорректным задачам имеется весьма обширная литература. Однако нельзя утверждать, что она охватывает все стороны рассматриваемого направления в математике. Оно продолжает интенсивно развиваться как в теоретическом, так и в прикладном аспектах.
Первый круг вопросов, которые рассматриваются в диссертации, связан с корректностью задач оптимального управления системами с распределенными параметрами. Эти вопросы примыкают к исследованиям в теории экстремальных задач при приближенно заданных исходных данных. Некоторые исследования в этом направлении для динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, рассматривались в работах Васильева Ф.П., Дончева А.Л., Кирилловой Ф.М., Габасова Р., Петрова Н.Н., Кряжимского А.В., Сатимова Н.Ю., аналогичные вопросы для задач оптимального
управления, описываемых системами с распределенными параметрами, изучались в работах Васильева Ф.П., Егорова А.И., Латтеса Р., Лионса Ж.Л., Потапова М.М. Золеззи Т. и других авторов. В данной диссертации продолжается это направление исследований. Вопросы корректности рассматриваются для классов задач, в которых управляемая система описывается параболическими, гиперболическими, эллиптическими краевыми задачами при вариации начальных и граничных данных, правой части уравнения и коэффициентов соответствующего эллиптического оператора в их естественных пространствах (в которых формулируются соответствующие теоремы существования и единственности решения краевых задач). Предварительно исследуется характер зависимости обобщенных слабых решений краевых задач при вариации указанных параметров системы ( некоторые из полученных здесь. утверждений имеют самостоятельный интерес для теории дифференциальных уравнений с частными производными). Особенность изучаемых в диссертации задач состоит в выборе классов задач оптимального управления , в составе варьируемых параметров и способах их варьирования.
Второй круг вопросов, которые рассматриваются в диссертации, связан с решением обратных задач динамики управляемых системам с распределенными параметрами в классе конечношаговых динамических регуляризирующих вольтерровых алгоритмов. Отметим, что постановки и методы решения обратных задач динамики, как правило, имеют программный (статический или апостериорный) характер, когда алгоритмы решения обратных задач обрабатывают известную информацию целиком, без учета ее динамики во времени. При этом среди методов решения обратных задач широкое применение находят методы теории программного оптимального управления или методы решения экстремальных задач. Однако во многих инженерных и научных разработках возникает необходимость осуществлять восстановление
неизвестных характеристик интересующих нас явлений в динамике — синхронно с развитием этих явлений, или, как Иногда говорят, в реальном времени. При этом информация о данных для расчета может поступать только по ходу процесса и зависеть в настоящем от того, как проводилось восстановление интересующих нас характеристик в прошлом. С подобными задачами приходится сталкиваться в механике управляемого полета, при создании технологических и производственных процессов, в проблемах оперативной обработки информации и многих других областях. Эти задачи можно трактовать как задачи о позиционном динамическом восстановлении неизвестных характеристик (или управлений) динамической .системы в темпе реального времени на основании поступающих в процессе движения данных о системе.
Поясним на содержательном уровне некоторые характерные моменты постановок задач о позиционном динамическом восстановлении неизвестных характеристик управляемых динамических систем. Искомые алгоритмы решения обратных задач динамики (с расчетом на возможность их практической реализации) должны строиться в классе позиционных конечношаговых алгоритмов, т.е. таких алгоритмов, которые учитывают поступающую текущую информацию о системе лишь в конечном числе узлов времени из заданного отрезка времени наблюдения, обрабатывая ее между узлами. Искомые алгоритмы должны быть динамическими, т.е. должны восстанавливать искомые характеристики в темпе реального времени, используя входную, информацию о системе по ходу процесса в соответствующие текущие узлы времени. Другим важным свойством алгоритма восстановления является его регуляризируемость, т.е. при малой погрешности в поступающих данных о системе и достаточно малом расстоянии между моментами поступления информации погрешность восстановления искомой характеристики должна быть малой. Еце одним важным свойством
алгоритма является его вольтерровость. Свойство вольтерровости алгоритма решения обратной задачи приобретает принципиальное значение, когда речь заходит об использовании решения обратной задачи в системах обратной связи, в системах автоматического регулирования, во всех ситуациях, в которых восстанавливаемые параметры тут же должны использоваться в'процессе.
Вопрос о построении позиционных динамических регуляризирующих вольтерровых алгоритмов решения обратных задач динамики для управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, был поставлен в докладе 1). В статье 2) приведены соответствующие алгоритмы восстановления минимального по норме управления в случае измерения полного вектора состояния конечномерной системы. Некоторые общие постановки задач и подходы к их решению рассматривались в 3). Найденный подход широко применялся при исследовании различных классов обратных задач динамики.
Те.постановки задач, о которых идет речь, а также методы решения 'задач с идейной точки зрения примыкают к теории позиционных дифференциальных игр, развитой Н.Н.Красовским и его школой. Подход к решению задач основан на сочетании методов теории позиционного управления и методов решения некорректных задач. Суть этого подхода состоит в следующем. Исходной динамической системе сопоставляется
-
Осипов Ю.С., Кряжимский А.В. Метод позиционной регуляризации в задаче о построении движения // Аннотации докладов V Всесоюзного съезда по теорет. и прикл. механике. Алма-Ата: Наука Каз.ССР, 1981, с.214.
-
Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. О моделировании, управления в динамической системе // Изв. АН СССР. Техн.киб-ка, 1983, N2,с.51-60.
-
Осипов Ю.С, Кряжимский А.В. О динамическом решении операторных уравнений // ДАН СССР, 1983. т.269. N3, с.552-556.
специальным образом сконструированная управляемая динамическая система-модель. Управление этой системой-моделью осуществляется позиционным способом по принципу обратной связи в дискретной по времени схеме. По существу здесь идет речь о позиционном способе управления моделью, известном в теории позиционного управления как способ управления с поводырем 1). Оказывается, что для достаточно широкого круга задач саму систему-модель и закон управления ею можно выбрать так, что реализация стратегии управления будет в определенном смысле приближать искомые неизвестные характеристики в исходной системе, а сам алгоритм построения реализации стратегии будет удовлетворять условиям, о которых говорилось выше. Идея построения подходящего закона управления моделью заложена в известном способе экстремального сдвига 1), который локально регуляризируется одним из известных в теории некорректных задач методом 2), 3) (например, методом сглаживающего функционала 2)). Рассматриваемые обратные задачи здесь фактически сводятся к прямым задачам теории позиционного управления системой-моделью, в которых требуется найти приемлемую стратегию управления.
Некоторые постановки обратных задач динамики и подходы к построению позиционных динамических методов их решения для систем с распределенными параметрами обсуждались в докладе Ю.С.Осипова "Управление и моделирование в многомерных системах" на общем собрании Отделения механики и процессов управления АН СССР в ноябре
-
Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
-
Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректны? задач.. М.: Наука, 1979.
3) Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных,
некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.
1984 года. Далее эти подходы развивались в работах самого Ю.С.Осипова, а также в работах В.И.Максимова, А.В.Кима и автора настоящей диссертации. В.И.Максимов и А.В.Ким занимались обратными задачами динамики для некоторых классов систем параболического типа. В данной работе рассматриваются задачи для классов систем параболического, гиперболического и эллиптического типов, причем основное внимание уделяется построению чисто позиционных динамических алгоритмов решения обратных задач, которые не используют информации о предыстории измерешій движения динамической системы.
Цель работы. Цель работы состоит в исследовании корректности задач оптимального управления системами параболического, гиперболического и эллиптического типов при варьировании основных параметров этих систем (начальных и граничных данных, правой части уравнения и коэффициентов эллиптического оператора) в их естественных пространствах.
Следующей и основной целью является разработка и обоснование чисто позиционных конечношаговых динамических регуляризирующих вольтерровых алгоритмов решения обратных задач динамики восстановления неизвестных параметров в системах с распределенными параметрами, описываемых различными классами параболических, гиперболических и эллиптических краевых задач.
Методы исследования. Методы исследования опираются на концепции и подходы теории позиционного управления и теории некорректных задач. Систематически используются понятия и методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, приближенных методов решения уравнений, математической теории оптимальных процессов, теории расширения экстремальных задач, функционального анализа и линейной алгебры.
Научная новизна. Полученные в диссертации результаты дополняют существующую теорию оптимального управления системами с распределенными параметрами некоторыми новыми утверждениями о влиянии возмущений исходных данных и параметров систем на решение задачи оптимального управления, а также утверждениями о расширении экстремальных задач для систем эллиптического типа. Для широкого класса обратных задач динамики управляемых систем с распределенными параметрами построены конструктивные позиционные динамические алгоритмы решения. Среди полученных результатов отметим следующие.
1. Исследована корректность задач оптимального управления для
достаточно широкого класса систем с распределенными параметрами,
описываемых краевыми задачами параболического, гиперболического и
эллиптического типов, при возмущении основных параметров систем
(начальных и граничных данных, правой части уравнения и
коэффициентов эллиптического оператора) в их естественных
пространствах. Для некорректных задач указаны методы регуляризации
и способы построения сильно сходящихся минимизирующих
последовательностей.
2. Указан способ интегрального представления G-пределышх
эллиптических операторов по соответствующим мерам-управлениям и на
его основе построено корректное расширение задачи оптимального
управления коэффициентами эллиптического оператора при задании
"слабой" топологии на коэффициентах.
3. Для классов систем о распределенными параметрами, описываемых
линейными и нелинейными краевыми задачами параболического и
гиперболического типов, построены конструктивные конечношаговые
чисто позиционные динамические регуляризирующие вольтерровы
алгоритмы восстановления неизвестных распределенных и граничных
управлений, « также коэффициентов эллиптического оператора в этих
системах. Указаны оценки точности алгоритмов. Рассмотрены варианты
задач восстановления по результатам неполного измерения состояний систем (при точечных измерениях и измерениях конечного отрезка ряда Фурье).
4. Указаны способы конечномерной аппроксимации задач
динамического восстановления, основанные на аппроксимации исходной
динамической системы конечномерными динамическими системами методом
Галеркина и методом' прямых. Приведены условия одношаговой
регуляризации и оценки точности алгоритмов восстановления.
5. Построены динамические регуляризирующие алгоритмы
восстановления местоположения и интенсивностей возмущений в
системах параболического и гиперболического типов. Приведены
некоторые условия восстановления местоположения источников в
метрике Хаусдорфа.
6. Предложены динамические регуляризирующие алгоритмы
восстановления управлений в системах, описываемых гиперболическими
вариационными неравенствами.
7. При введении фиктивного времени разработаны динамические
регуляризирующие алгоритмы восстановления значения эллиптического
оператора по приближенно заданному аргументу и восстановления
эллиптического оператора (или его коэффициентов) по его заданному
значению.
Теоретическая и практическая значимость работы. Изложенные в диссертации методы и установленные результаты могут служить основой для дальнейших разработок в оптимальном управлении и обратных задачах динамики. Построенные алгоритмы решения обратных задач могут использоваться при решении конкретных, задач как в динамических, так и в апостериорных постановках. Возможно использование материалов диссертации в специальных курсах по оптимальному управлению и обратным задачам.
//
Апробация работы. Результаты диссертации докладывалиоь и обсуждались на IV и VII Всесоюзных конференциях "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутск-1986, Рига-1989). Всесоюзной научно-технической конференции "Актуальные проблемы моделирования и управления системами с распределенными параметрами" (Одесса-1987), Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление" (АшхаОад-1990), Всесоюзной школе-семинаре "Математическое моделирование" (Ижевск-1990), VII Всесоюзной конференции "Управление в механических системах" (Свердловск-1990)» Всесоюзной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" (Волгоград-1990), Международной конференции "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" (Москва-1991), на семинарах академика Ю.С.Осипова в Институте математики и механики УрО АН России, на семинарах в Физико-техническом институте им. А.Ф.Иоффе АН России, Институте механики АН Украины, Московском государственном университете, Киевском госуниверситете.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ 1 - 20 ]. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором самостоятельно.
Структура и объем работы, диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 209 наименований. Общий объем работы составляет 331 страницу.
