Содержание к диссертации
Введение
1. Явление буферности в уравнениях с полутора степенями свободы 9
1.1. Постановка задачи 9
1.2. Доказательство существования и устойчивости вращательных периодических решений 11
1.3. Существование и устойчивость колебательных периодических решений 17
1.4. Численные исследования 21
2. Высокочастотные автоколебания в уравнениях с запаздыванием 25
2.1. Постановка задачи 25
2.2. Линейный анализ 28
2.3. Существование периодических решений 31
2.4. Исследование устойчивости 35
3. Высокомодовые аттракторы обобщенного уравнения Свифта-Хоэнберга 46
3.1. Общая постановка проблемы 46
3.2. Локальная постановка задачи 49
3.3. Исследование устойчивости 52
3.4. Фрагменты численного анализа 58
4. Высокомодовые аттракторы уравнения Свифта-Хоэнберга с квадратичной нелинейностью 60
4.1. Постановка задачи 60
4.2. Локальная постановка задачи 62
4.3. Исследование устойчивости 64
4.4. Численные исследования 69
Заключение 75
Цитированная литература 76
Публикации по теме диссертации 77
- Доказательство существования и устойчивости вращательных периодических решений
- Существование периодических решений
- Локальная постановка задачи
- Исследование устойчивости
Введение к работе
Актуальность темы
В диссертационной работе рассматриваются специальные алгоритмы исследования феномена буферности в приложении к различным задачам, начиная от моделей из механики до моделей из математической физики.
О феномене буферности принято говорить в случае, когда в фазовом пространстве некоторой динамической системы при подходящем выборе параметров можно гарантировать сосуществование любого фиксированного числа однотипных аттракторов (состояний равновесия, циклов, торов и т.д.).
Впервые этот феномен был отмечен еще в работах Витта 1, однако точная математическая постановка и соответствующий аналитический аппарат был разработан гораздо позднее в работах Колесова Ю.С., Мищенко Е.Ф., Колесова А.Ю., Розова Н.Х.2'3
Понятие «буферность» предполагает наличие некого бифуркационного процесса, в результате которого происходит неограниченное увеличение числа сосуществующих аттракторов. Упомянутый процесс характерен, главным образом, для систем с распределенными параметрами, хотя может наблюдаться и в системах с конечным числом степеней свободы.
Зачастую, реализация в системе феномена буферности приводит к сильному усложнению динамики системы с изменением параметров. В таких системах возникают так называемые диссипативные структуры, т.е. устойчивые самоподдерживающиеся образования с характерными пространственно-временными формами. Подобные структуры представляют интерес для исследователей, изучающих вопросы происхождения жизни, проблемы пред-биологической эволюции и морфогенеза, они также могут быть интересны в связи с изучением законов популяционной динамики и т. д. Следует отметить, что для возникновения подобного феномена система с необходимостью должна быть открытой, а ее математическая модель — нелинейной.
хВитт А.А. Распределенные автоколебательные системы // Журн. технич. физ. 1934. — Т. 4, № 1. — С. 144-157.
2Мищенко Е. Ф., Садовничий В. А., Колесов А. Ю., Розов Н. X. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. - М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2005.
3Колесов А. Ю., Розов Н. X. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2004. - 408 с.
Цель работы
Целью предпринятых автором исследований являлись разработка, адаптация и применение универсальных асимптотических методов анализа динамических систем различной природы, позволяющих получить строгие аналитические результаты о реализации в изучаемых системах феномена буферное.
Методы исследований
В диссертационной работе используются специальные асимптотические методы для исследования быстро осциллирующих устойчивых режимов. В их основе лежит классический метод нормальных форм и так называемый метод самоподобия, сущность которого поясняется в тексте диссертационной работы.
Положения, выносимые на защиту
Для уравнения с полутора степенями свободы были проведены исследования, позволяющие обосновать утверждение о реализации гамиль-тонового сценария буферности. То есть показано, что при подходящем выборе параметров в его фазовом пространстве существует любое наперед заданное конечное число устойчивых периодических решений как вращательного так и колебательного типа.
Для дифференциально-разностного уравнения второго порядка, описывающего работу RCL-генератора с запаздыванием в цепи обратной связи показано, что с увеличением параметра запаздывания происходит каскад бифуркаций, в результате которых может сосуществовать сколь угодно большое количество устойчивых циклов.
Для специальных обобщений уравнения Свифта-Хоэнберга с граничными условиями типа Дирихле установлено, что при увеличении длины промежутка изменения пространственной переменной и при фиксированной достаточно малой надкритичности количество сосуществующих устойчивых состояний равновесия у этих краевых задач неограниченно растет.
Научная новизна
Научная новизна результатов диссертационной работы состоит в том, что феномен буферности был обнаружен для нового класса краевых задач и динамических систем с запаздыванием. Эти результаты представляются новым и интересным дополнением уже существующих на данный момент исследований, посвященных феномену буферности.
Теоретическая и практическая ценность
Работа носит теоретический характер. Методы, применяемые в в данной работе, могут быть использованы в дальнейших исследованиях сложного поведения нелинейных краевых задач и систем дифференциально-разностных уравнений, связанного с мультистабильностью.
Материал диссертации представляет интерес для специалистов в области дифференциальных уравнений, нелинейной динамики и хаоса. Работа может быть востребована во многих отечественных и международных математических центрах, где ведутся исследования, связанные с дифференциальными уравнениями и их приложениями.
Апробация результатов
Основные результаты работы докладывались на научном семинаре, проводимом научно-образовательным центром ЯрГУ "Нелинейная динамика" , а также на семинаре кафедры дифференциальных уравнений МГУ в октябре 2009, и обсуждались на научных конференциях:
Воронежская математическая школа Крейна, январь 2008 года;
III Международная конференция, посвященная 85-летию Л.Д. Кудрявцева, март 2008;
61-ая научно-техническая конференция студентов, магистрантов, и аспирантов, посвященная 1000-летию Ярославля, апрель 2008;
Международная конференция научно-образовательных центров, посвященная 10-летию программы BRHE в октябре 2008 года;
Всероссийская выставка научно-технического творчества молодежи НТТМ-2009, 24-27 июня;
6) Семинар кафедры дифференциальных уравнений механико-
математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова "Качественная
теория дифференциальных уравнений" , Москва, 9 октября 2009 г.
XLVIII Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 10-14 апреля 2010;
Nonlinear Dynamics on Networks, Киев, июль 5-9 2010;
9) Research group "Dynamics and synchronization of complex systems",
Research Seminar, Humboldt-Universitat zu Berlin, October 11, 2010.
First German-Russian Interdisciplinary Workshop on the Structure and Dynamics of Matter, Berlin, October 18-20, 2010.
Всероссийский конкурс научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках всероссийского фестиваля науки, РГСУ, Москва, сентябрь 24, 2011.
Исследования по теме диссертационной работы были отмечены дипломом за победу во Внутривузовском конкурсе инновационных проектов аспирантов и студентов по приоритетным направлениям науки и техники "Молодежь и наука" 2009, медалью "Лауреат ВВЦ" Всероссийской выставки научно-технического творчества молодежи НТТМ-2009, а так же дипломом за первое место во Всероссийском конкурсе научно-исслеовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках Всеросий-ского фестиваля науки по направлению "Дифференциальные уравнения и функциональный анализ" 2011.
Публикации
Результаты диссертации опубликованы в 10 работах, из них 4 статьи в научных журналах списка ВАК и 6 тезисов докладов, 2 из них опубликованы в тезисах международных конференций.
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Диссертация содержит 17 рисунков. Общий объем диссертации составляет 79 страниц.
Доказательство существования и устойчивости вращательных периодических решений
Сначала изучим вопрос о существовании у уравнения (1.1.1) вращательных периодических движений с положительными скоростями х. Если учесть в (1.2.8) отброшенные слагаемые порядка є и применить к получившейся системе теорему о неявной функции по переменным 2о,о в точке z0 = ip0tP, о = о,р или z0 = (pitP, о = о,Р, то каждое решение (1.2.9) порождает при достаточно малых є 0 решение {zp (є),р (є)): zp (0) = щ# или pitP, р (0) = о,р исходной системы (1.2.5). В окрестности разрушившихся сепаратрисе при е ф 0 возникают устойчивые периодические решения вращательного и колебательного типов
Для исходной задачи (1.1.1) полученный результат означает, что вращательные периодические движения рождаются парами в результате бифуркации типа седло-узел в окрестности разрушившегося сепаратриссного контура автономной системы х + sin ж = 0 (на рисунке обозначен пунктиром). 1.3. Существование и устойчивость колебательных периодических решений
Теперь перейдём к вопросу о существовании колебательных эллиптических периодических решений у рассматриваемой системы. Воспользуемся тем фактом, что при є — 0 система обладает семейством колебательных решений, задающихся равенствами х = 2arcsin (ksn(up/u , А;)), х = 2ксп((р/си, к), (1.3.1) где к Є (0,1) - произвольный параметр, пременная 0 up 27Г (mod 2тг) меняется по закону ф = со, частота со — и (к) определяется той же формулой, что и в (1.2.12), а в эллиптическом синусе и косинусе подчёркнута явная зависимость от к. Стандартным образом, произведя замену х = у, z = vt, перейдём от исходного уравнения к трёхмерной системе; затем выполним в получившейся системе замену переменных (х,у) —» (к, up).
Что же касается полученных нами результатов, то они восходят к известной теореме Пуанкаре (см. [9]), которая утверждает, что в окрестности резонансной периодической орбиты невозмущенной гамильтоновой системы при малых возмущениях и при некоторой общности положения возникает не менее двух грубых периодических решений: одно седлового типа, а другое - эллиптическое.
С точки зрения приложений наиболее интересен случай, когда существует единственный устойчивый периодический режим амплитуды порядка единицы. Это значило бы, что при наличии подходящего начального толчка двигатель раскручивает маятник.
Решение с произвольными начальными условиями из области притяжения устойчивого цикла(отмечен пунктиром) через некоторое время начнет описывать траекторию неотличимую от траектории цикла. Все, что предшествует этому моменту -переходный процесс. На практике стараются сократить его длительность.
Поскольку процесс раскрутки стартует с произвольных начальных условий, для этого требуется некоторое время, которое составляет так называемый переходный процесс. Длительность переходного процесса может ока заться вполне ощутимой. Казалось бы естественным, что уменьшение параметра трения є О при фиксированных прочих параметрах должно приводить к увеличении добротности системы. Но, как мы увидим дальше, в действительности этого не происходит: излишняя добротность в данной механизме приводит к нестабильной работе системы.
Как мы уже обсуждали в самом начале, рассмотренным нами уравнением маятникового типа с периодическим внешним воздействием описывается, к примеру, взаимодействие синхронного двигателя и маятника, и можно было бы ожидать, что уменьшение параметра трение приведёт к уменьшению длительности переходного процесса. Но в действительности этого не происходит, а возникает явление буферности: в зависимости от выбора начальных условий могут реализовываться различные устойчивые периодические движения из достаточно большого потенциального их запаса. Таким образом, излишняя добротность приводит к нестабильной работе системы, поскольку неизвестно заранее на какой именно устойчивый режим она выйдет при очередном запуске.
Возникновению этого явления сопутствуют каскады бифуркаций типа седло-узел и сложная динамика, связанная с разрушением сепаратрисных петель или контуров. Последнее обстоятельство, в частности, служит причиной того, что время выхода системы на тот или иной устойчивый периодический режим может быть достаточно большим, т. е. наблюдается так называемый переходной хаос.
Существование периодических решений
Ясно, что проблема существования основного цикла (2.2.6) с требуемыми свойствами может быть локальной только при дополнительном предположении о малости длины интервала (9Q,6Q). При фиксированном а последнее имеет место, если к —» ко, где ко = у/1 — OJQ, так как в этом случае ш± —» шо, а значит, и в — 6+ — 0 при любом фиксированном п. Поэтому всюду ниже считаем, что в уравнении (2.1.9) к = к0 + є, 0 1. (2.3.1)
Следуя [11], для того чтобы придать изложенным формальным построениям строгий смысл, будем считать, что в (2.3.1), (2.3.4) параметры є,5 удовлетворяют неравенствам 0 є єо, -А+(е) 5 Д_(е), (2.3.11) где Q 0 фиксировано и достаточно мало, а функции Д±(є) заимствованы из (2.3.3). Лемма 2.1. При выполнении условий (2.3.1), (2.3.4) и при 6сех ,й, удовлетворяющих неравенствам (2.3.11), уравнение (2.1.9) имеет жспонен циалъно орбиталъно устойчивый цикл х = XQ(T, Є, 5), dr/dt = соо(є, S), (2.3.12) XO(T,,S)\5 A±{)= 0; ц(,тД±(є)) = w±(e), (2.3.13) где 2ir—периодическая no г функция хо(т,є,5) и частота со о(є, 5) раскладываются в ряды (2.3.5), (2.3.6), сходящиеся равномерно по 5 из любого фиксированного отрезка [ М2]С(-Д ,Д ). (2.3.14) Сформулированная лемма представляет собой один из вариантов классической бифуркационной теоремы Андронова-Хопфа, а ее справедливость вытекает из результатов монографии [93], в которой упомянутая теорема распространена на уравнения с запаздыванием. В частности, в [93] в случае уравнений с аналитическими нелинеиностями доказана сходимость рядов вида (2.3.5),(2.3.6). Отметим, что в нашей ситуации эти ряды сходятся лишь на отрезках (2.3.14), а не на самом интервале (—Д+(є), А_(е)). Связано это с тем, что в общем случае фигурирующая в (2.2.6) функция хо(т, 9) не является гладкой по 9 вплоть до значений 9 = в$ (при в Є%±0 она имеет особенности вида у/в — 6Q и \[Щ—9 соответственно). Что же касается частоты щ{9\ то се производная по 9 заведомо существует и в точках 9 — 9Q.
Отметим, что, в силу равенств (2.3.13), (2.3.17) и (2.3.18), циклы (2.3.20) обладают требуемыми свойствами (2.2.13) хп(т,в±(є),є) = 0, ип{В±{є),є) = и±{е), а значит, являются искомыми. Заметим, что поскольку параметры є и в независимы, то при фиксированном є 0 и при в — оо количество сосуществующих циклов (2.3.20) неограниченно увеличивается (имеет порядок у/є в). При этом, однако их состав постоянно обновляется, так как каждый цикл "живет" лишь в ячейке (2.3.19). Тем самым, при В — оо наблюдается бесконечная последовательность бифуркаций их рождения и смерти.
Доказательство. Для обоснования этого факта фиксируем произвольно номер п 1 (случай п = 0 уже рассмотрен) и, считая параметр 0 меняющимся на отрезке (2.4.4), выполним в уравнении (2.1.9) замену времени т = cun(0,e)t, а затем линеаризуем его на периодическом решении (2.3.20). Заменяя в получившемся линейном уравнении запаздывание в на правую часть формулы (2.3.16), приходим к уравнению 0JQU + ащй + и — F ((k0 + є)х0(т — h))(k0 + є)и(т — h — 2ттп), (2.4.5) где h = (00 + 6y/i)un(e,6), (2.4.6) UJQ — UJQ(,S), XQ(S,5) - функции, фигурирующие в (2.3.12), а параметр 5, принимающий, напомним, дискретные значения 5п(0, є), для удобства будем считать непрерывно меняющимся на некотором отрезке [ b L концы которого удовлетворяют неравенствам (35).
Обращаем внимание, что при А = \ уравнение (2.4.9) представляет собой уравнение в вариациях на экспоненциально орбитально устойчивом цикле (2.3.12). Поэтому все его мультипликаторы (за исключением простого единичного) по модулю меньше единицы. Тем самым, значение А = 1 заведомо является корнем одного из уравнений (2.4.11). Ясно также, что интересующий нас цикл (2.3.18) будет экспоненциально орбитально устойчивым, если, во-первых, этот корень единственный и простой; во-вторых, все уравнения (2.4.11) не имеют корней, принадлежащих множеству {А С : Л 1, А ф 1}. (2.4.12) Последнее же условие заведомо выполняется, если при всех А из множества (2.4.12) и при значениях параметра 8 из рассматриваемого отрезка каждый мультипликатор и(А, є, S) уравнения (2.4.9) удовлетворяет оценке \и(А,є,6)\ 1. (2.4.13) Итак, наша задача сводится в первую очередь к проверке неравенств (2.4.13) для мультипликаторов вспомогательного уравнения (2.4.9), которое уже не содержит сколь угодно большого запаздывания. Соответствующий анализ разобьем на два этапа. На первом этапе положим в (2.4.9) є = 0. В результате в силу (2.4.6) приходим к уравнению с постоянными коэффициентами cjQU + auJou + и = — к0Аи(т — а), (2.4.14) для которого выполнение условий (2.4.13) означает принадлежность полуплоскости ReA 0 всех корней характеристического уравнения с Л2 + аи;0 Л + 1 = -коАе аХ. (2.4.15) Далее, для того чтобы убедиться в требуемом свойстве корней этого уравнения, подставим в него Л = іиз, где из Є R, из ф 0, и возьмем модули от левой и правой частей получившегося соотношения. В результате приходим к равенству a;0V - I)2 = 3(И2 - 1), (2.4.16) которое заведомо невозможно при \А\ 1. Если же \А\ = 1, то из (2.4.16) с необходимостью следует, что из = ±1. И наконец, остается заметить, что корни А = ±г уравнение (2.4.15) имеет только в случае А = 1.
Проделанный анализ показывает, что при значениях параметра А из множества (2.4.12) у уравнения (2.4.15) нет корней на мнимой оси. А отсюда, следует, что при всех интересующих нас А его корни расположены так же, как и при А — 0, т.е. имеют отрицательные действительные части. Тем самым, для завершения проверки условий (2.4.13) остается рассмотреть случай, когда независимо друг от друга є —» 0 и А — 1.
Итак, для мультипликаторов и(А, є, 6) уравнения (2.4.9) при всех значениях параметра А из множества (2.4.12) установлены оценки (2.4.13). Главная трудность преодолена, однако, для завершения следует еще убедиться в простоте корня А = 1 соответствующего уравнения (2.4.11). С этой целью заметим, что из простоты единичного мультипликатора уравнения (2.4.9) при А = 1 вытекает существование у него при всех Л, близких к единице, простого мультипликатора v = v0(A,e, 6), щ(1,є,6) = 1.
Локальная постановка задачи
Ясно, что проблема существования основных диссипативных структур (3.1.7) с нужными свойствами (3.1.3) может стать локальной только при дополнительном предположении о малости длины интервала (//_(), и+ (є)), что эквивалентно малости параметра є. Таким образом, при нахождении состояний равновесия (3.1.7) будем считать, что 0 «1, v=l + 6y/e, J (-1,1), (3.2.1) где параметр 5, имеющий порядок единицы, отвечает за изменение v на требуемом интервале (І _(Є),І/+(Є)). Для отыскания диссипативных структур краевой задачи (3.1.4), (3.1.5) при условиях (3.2.1) воспользуемся аналогом стандартного одночастотного метода [1], т.е. подставим в (3.1.4), (3.1.5) ряд по целым степеням \/є вида w = \/єгюі(х) + ew2(x) + e3/2wz(x) + ..., u i(x) = osmx, (3.2.2) где o неизвестная "амплитуда". Приравнивая затем коэффициенты при є и 3/2 в левой и правой частях получившегося выражения, для нахождения W\ и гиз приходим к краевым задачам: -(1 + d2xfw2 = О, w2\x=o,, = d2xw2\x=0,w = О, (3.2.3) -(1 + d2x)wz = {б2 - 1)«л - awl «Ы =о, = &М = , = 0. (3.2.4) Из краевой задачи определяем, что w2 имеет вид W2 = 6 sni Ям (3.2.5) где вещественная постоянная i, как и аналогичная ей постоянная о из (3.2.2), пока произвольна. Учитывая вид w2 и что d2w2 + dxw2 = 0, убеждаемся, что условие разрешимости второй из приведенных краевых задач имеет вид (з-2-6 Фигурирующее в (3.2.1) ограниченгие \5\ 1 на параметр 5" позволяет найти из уравнения разветвления (3.2.6) амплитуду Подставляя ее в равенства для w\, полностью определяем первый член ряда (3.2.2). Что же касается следующей амплитуды 1? то она находится из условия разрешимости аналогичной (3.2.3), (14) краевой задачи для WA{X), причем, для нее получается уже линейное неоднородное уравнение вида af oi = А так как в дальнейшем явная формула для і нам не потребуется, то вычисление правой части ср этого уравнения опустим. Отметим только, что описанный алгоритм отыскания коэффициентов ряда (3.2.2) продолжается неограниченно, причем аддитивная добавка k-i sin х, возникающая на fc-ом шаге, определяется через шаг из условия разрешимости краевой задачи для wk+2(x).
Наличие многообразия (3.2.10) позволяет свести проблему поиска интересующих нас состояний равновесия к аналогичной одномерной задаче. Действительно, опираясь на стандартную технику построения нормальных форм, нетрудно убедиться, что после нормировок /у/ё — , et — t уравнение на указанном многообразии записывается в виде f = (1 - 52) + а Є + гП«, є, 8). (3.2.11) Здесь Q, - гладкая по совокупности переменных , у/є, 8 скалярная функция, удовлетворяющая тождеству П(0,є,8) = 0. Как и отмеченное выше аналогичное свойство функции Ф, данное равенство означает, что точке = 0 на многообразии (3.2.10) отвечает состояние равновесия w = 0 исходной задачи (3.1.4). Добавим еще, что в силу инвариантности последней относительно замены w — —w функции Ф, Q являются нечетными по . На завершающем этапе обоснования введем в рассмотрение укороченную нормальную форму и заметим, что двум экспоненциально устойчивым ее состояниям равновесия = ±о( ) в полном уравнении (3.2.11) отвечают аналогичные состояния равновесия = ±М): «0, ) = &№, (є, 1) = «є,-1) == 0 (последние два тождества - следствия того факта, что при 8 = ±1 в уравнении (3.2.11) происходят бифуркации типа вилки, в результате которых и возникают эти состояния равновесия).
Возвращаясь к интересующей нас проблеме, подставим найденные чуть выше положения равновесия = ±(, 8) в (3.2.10). В результате получим требуемые диссипативные структуры (3.2.8). Остается добавить, что асимптотическое представление (3.2.2) для WQ{X, 8, є) вытекает из гладкости многообразия (3.2.10) и правой части уравнения (3.2.11) по у/є, а тождества (3.2.9) - из свойств (е, ±1) = 0 функции (є, 8). Теорема 3.3 доказана.
Отметим, что, как следует из равенств (3.2.9), состояния равновесия (3.2.12) обладают свойствами w\\v=VHe)/n2 = w \u=u±{e)/n2 = 0, т.е. возникают из нуля при v = и±(є)/п2. Заметим еще, что поскольку в данной теореме параметры є и и независимы, то при фиксированном 0и при v — О количество сосуществующих диссипативных структур (3.2.12) неограниченно увеличивается (имеет порядок \Jejv). При этом их состав постоянно обновляется, так как каждая пара состояния равновесия (3.2.12) "живет" лишь в своей ячейке (3.1.9). Тем самым, при v О наблюдается бесконечная последовательность бифуркаций их рождения и смерти.
Доказательство. Фиксируем произвольно номер п и линеаризуем краевую задачу (3.1.4) на состоянии равновесия w = и)\(х, v, є). Подчеркнем, что случай w — w2(x, и, є) не нуждается в отдельном рассмотрении, так как w2 переходит в w\ либо после замены 7г—х — х (при п — 2к — 1, к — 1,2,...), либо в результате замены w —» —w (при п = 2к, к = 1,2,...). Выполним, далее, в получившейся линейной краевой задаче замену пх —» х и будем искать ее решения в форме Эйлера, т.е. в виде w = h{x) exp(Ai). В результате для определения h{x) и возможных значений Л Є С приходим к спектральной задаче (1 + (1 + 6y/e)%)2h + (є + f (w0(x,5,)))h = АЛ, (3.3.3) h\x=o = / х=п7г = %h\x=a = d2xh\x=nir = 0, (3.3.4) где WQ{X,5, Є) - функция из (3.1.7), а параметр 5 задан равенством 8 = 5п(и,є)(см. (3.2.13)). Итак, проблема устойчивости пары состояний равновесия (3.2.12), (3.2.13) свелась к анализу расположения спектра задачи (3.3.3), (3.3.4). В связи с этим обратим внимание, что в силу самосопряженности фигурирующего в левой части уравнения (3.3.3) дифференциального оператора этот спектр состоит из счетного числа действительных собственных значений.
Для удобства параметр z (принимающий, напомним, дискретные значения ±к/п, к = 0,1,...) будем здесь считать меняющимся непрерывно на некотором отрезке \z\ ZQ, где ZQ О достаточно мало. То же самое относится и к параметру 6: считаем, что он независимо от п,є, v непрерывно меняется на отрезке [6\, 62] (см. (3.3.1)). Из очевидной связи краевых задач (3.3.3), (3.3.4) и (3.3.9),(3.3.8) следует, что проблема устойчивости диссипативных структур (3.2.12), (3.2.13) сводится к асимптотическому вычислению собственных значений задачи (3.3.9),(3.3.8) стремящихся к нулю при e,z — 0. Подведем итог. Как следует из проделанного анализа, интересующие нас критические собственные значения задачи (3.3.3), (3.3.4) являются собственными значениями матриц Ак = А(е, z, 6)\z=k/ntS=6nw к = 0 ±:L - ±ко (3.3.20) где ко - целая часть UZQ. Заметим, далее, что поскольку при значениях v из отрезка (3.1.9) автоматически выполняется неравенство S2(u, є) 1/3, то все эти матрицы оказываются гурвицевыми. Исключение составляет только матрица (3.3.20) с номером к = 0, одно собственное значение которой отрицательно, а другое равно нулю. Однако при обратном переходе от задачи (3.3.9), (3.3.8) к (3.3.3), (3.3.4) нулевое собственное значение пропадает, так как в силу (3.3.10), (3.3.6) и (3.3.17) ему отвечает нулевая собственная функция. Теорема 3.7 доказана.
Исследование устойчивости
Доказательство. Фиксируем произвольно номер п и линеаризуем краевую задачу (4.1.1) на состоянии равновесия w = iu (:r,i/, є). В силу существующей между w и w2 симметрии случай w = w2(x, v, є) не нуждается в отдельном рассмотрении. Выполним, далее, в получившейся линейной краевой задаче замену пх — х и будем искать ее решения в форме Эйлера, т.е. в виде w = h(x)exp(Xt). В результате мы приходим к следующей спектральной задаче -(1 + (1 + 6y/e)d%)2h Л-eh- dx{Wlh) = Xh, (4.3.3) h\x=0 = h\x=mr = d2xh\x=0 = d2xh\x=n7r = 0, (4.3.4) где wo(x, 5,є) - функция из (4.1.4), а параметр 6 задан равенством S = 5п(и, )(см. (4.2.13)). Итак, проблема устойчивости пары состояний равновесия (4.2.12), (4.2.13) свелась к анализу расположения спектра задачи (4.3.3), (4.3.4). В связи с этим обратим внимание, что в силу самосопряженности фигурирующего в левой части уравнения (4.3.3) дифференциального оператора этот спектр состоит из счетного числа действительных собственных значений. Наряду с задачей (4.3.3), (4.3.4) введем в рассмотрение вспомогательную краевую задачу -(1 + d2xfh = Xh, Іг\х=0,пж = dlh\x=0,nn = О, получающуюся из исходной при є = 0. Ее собственные значения имеют вид \{z) = -(1 - z2)2, z = т/п, т = 1,..., (4.3.5) а отвечающие им собственные функции задаются равенствами w = sm(mx/n),m 0. Из формул (4.3.5) вытекает, что равномерно по п все пределы при є — 0 собственных значений задачи (4.3.3), (4.3.4) лежат на полуоси (—сю, 0]. Однако, в силу того, что А(,г)г=і = 0, заведомо существуют и так называемые критические точки спектра, стремящиеся к нулю при є — 0,п —» со. Ясно, что именно от их знаков зависит в конечном итоге устойчивость интересующих нас состояний равновесия.
Из очевидной связи краевых задач (4.3.3), (4.3.4) и (4.3.9), (4.3.8) следует, что проблема устойчивости диссипативных структур (4.2.12), (4.2.13) сводится к асимптотическому вычислению собственных значений задачи (4.3.9),(4.3.8) стремящихся к нулю при s,z —» 0. Действительно, предположим, что мы уже нашли одно из таких собственных значений Л = \{z,8,e) : \z\ z0,Se [61,62], А(0Д0) = 0 (4.3.10) и ему отвечает собственная функция с компонентами hj(x,z,8,e), j = 1,2, для которых в силу (4.3.7) справедливы равенства вида h\{x, z, 8,0) = sin ж, Ji2(x,z,5,0) = icosa;. Тогда продолжая h\ с отрезка 0 х 7Г на всю ось х по закону нечетности и 27г-периодичности, а / 2 - по четности И 27Г-периодичности, получим набор критических собственных значений Л = X(z,8,e)\z=±k/ntS=,5n(u,e), k = 0,l,...,k/n z0 (4.3.11) исходной задачи (4.3.3), (4.3.4) и соответствующий набор собственных функций h = (h\(x,z, 5, є) cos zx — h,2(x,z, 6, є) sin zx) . (4.3.12) \ / z=±k/n,S=5n(i/,e) При є = z — 0 краевая задача (4.3.9), (4.3.8) распадается на две независимые краевые задачи -(1 + dlfhx = А/іі, /ііж==о,7г = fyi\\x=o, ,4 3 13. Ч1 + dl)2h2 = \h2, dxh2\ x=o,n = f%hi\x=0tir каждая из которых имеет простое нулевое собственное значение с собственными функциями hi(x) = sinx и Щ{х) = cos а: соответственно. Остальные же собственные значения задач (3.12) являются отрицательными. Обозначим через L дифференциальный оператор, порожденный левыми частями уравнений (4.3.9) в пространстве L2([0,TT];R2) (область определения Е — W%([0,7г]; В?) этого оператора состоит из вектор-функций colon(/ii; Л2)) удовлетворяющих граничным условиям (4.3.8)).
Итак, проблема устойчивости состояний равновесия (4.2.12), (4.2.13) свелась к исследованию знаков собственных значений матрицы А{є,г,8), что, в свою очередь, требует знания нескольких членов ее тейлоровского разложения по у/є и z.
Из тейлоровского разложения (4.3.18) вытекает отрицательность trA при любом фиксированном 8 Є (—1,1) и при всех достаточно малых є 0,\z\. Поэтому в анализе нуждается только знак функции z 2 det Л. Но при 8 Є [5і, 52] в силу выбора Si, 82 (см. (4.3.1)) первое слагаемое в квадратных скобках из формулы (4.3.19) положительно, что влечет неравенство z 2 det Л 0 при всех є, \z\ С 1. Подведем итог. Как следует из проделанного анализа, интересующие нас критические собственные значения задачи (4.3.3), (4.3.4) являются собственными значениями матриц Ак = Л(є, z, 8)\z=k/n 5n{v , к = 0, ±1,..., ±к0, (4.3.20) где &о - целая часть UZQ. Заметим, далее, что поскольку при значениях v из отрезка (4.1.6) автоматически выполняется неравенство S2(u, є) 1/3, то все эти матрицы оказываются гурвицевыми. Исключение составляет только матрица (4.3.20) с номером к = 0, одно собственное значение которой отрицательно, а другое равно нулю. Однако при обратном переходе от задачи (3.3.9), (4.3.8) к (4.3.3), (4.3.4) нулевое собственное значение пропадает, так как в силу (4.3.10), (4.3.6) и (4.3.17) ему отвечает нулевая собственная функция. Теорема 3 доказана.
Следует отметить, что отрезки (3.3.2), как и исходные интервалы (3.1.9), с ростом п начинают пересекаться во все большем числе. А это значит, что при любом фиксированном достаточно малом є 0 и при и — 0 наряду с ростом общего числа сосуществующих диссипативных структур (3.2.12), (3.2.13) неограниченно увеличивается и количество устойчивых среди них. Точнее говоря, теорема 3 гарантирует сосуществование порядка (#2 — 6і)/(2у/й) устойчивых состояний равновесия. Тем самым, установлено, что при v — 0 в рамках краевой задачи (4.1.1) реализуется хорошо известное явление буферности.
