Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Применение матрицанта системы линейного приближения к решению периодической задачи неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром 20
1. Представление матрицанта системы линейного приближения 20
2. Структура решения системы (1.1) в случае, когда нелинейная часть представима в виде произведения матрицы и неизвестного вектора 32
3. Структура решения системы (1.1) в случае, когда нелинейная часть представима в виде суммы вектор-форм по неизвестному вектору и параметру 36
Глава II Периодические решения краевой задачи неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром в случае особого вида начального значения 42
1. Условия существования ненулевых периодических решений исследуемой системы дифференциальных уравнений 42
2. Решение обобщенной периодической краевой задачи неавто номной системы дифференциальных уравнений 62
Глава III. Периодическая краевая задача неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром в случае, когда нелинейная часть системы представима в виде суммы вектор форм
1. Периодическое решение системы в случае, когда порядок нелинейного части выше, чем матрицы системы линейного приближения 74
2. Периодическое решение системы в случае, когда порядок нелинейного части ниже или равен порядку матрицы системы линейного приближения 87
3. Решение обобщенной периодической краевой задачи системы дифференциальных уравнений 97
Заключение 113
Литература
- Структура решения системы (1.1) в случае, когда нелинейная часть представима в виде произведения матрицы и неизвестного вектора
- Структура решения системы (1.1) в случае, когда нелинейная часть представима в виде суммы вектор-форм по неизвестному вектору и параметру
- Решение обобщенной периодической краевой задачи неавто номной системы дифференциальных уравнений
- Периодическое решение системы в случае, когда порядок нелинейного части ниже или равен порядку матрицы системы линейного приближения
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящей работе изучаются неавтономные нелинейные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра, с переменной матрицей системы линейного приближения. Предполагается, что система обладает нулевым решением при любом значении параметра. Краевые условия задаются с помощью векторного функционала, определенного на множестве решений исходной системы. Задачей исследования является поиск условий существования ненулевых периодических решений в окрестности нулевого.
Проблема нахождения периодического решения является одной из центральных проблем качественной теории дифференциальных уравнений. Подобная задача возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических, биофизических, экономических, социальных и других процессов [1, 2, 21, 31, 42, 49-51, 61, 70, 77, 80]. В частности, системы дифференциальных уравнений с переменной матрицей линейного приближения возникают в многоуровневой модели противоопухолевых реакций [24], в балансовых экологических уравнениях [66]. Еще большие трудности появляются при исследовании систем с дополнительно наложенными краевыми условиями. Как, например, при моделировании процесса конкуренции за питательный субстрат между гиперциклами (белковонуклеотидными комплексами), суммарная концентрация которых принята постоянной [64].
Несмотря на то, что изучению периодических решений систем дифференциальных уравнений посвящено большое количество работ, многообразие конкретных систем и значительная сложность проблемы не позволяют пока найти общего подхода к ее решению. Так, мало изученным является вопрос о построении фундаментальной матрицы системы линейного приближения в явном виде в случае, когда матрица линейной части зависит от времени.
Таким образом, задача определения условий существования ненулевых периодических решений системы дифференциальных уравнений с краевыми условиями в рассматриваемом случае представляется весьма актуальной.
Цель работы. Рассматривается система дифференциальных уравнений x = A(t,X)x + f(t,x,X), (0.1) где х - п -мерный вектор, X - т -мерный параметр, матрица A(t,x) и вектор-функция f(t,x,X) непрерывны по совокупности переменных И Ш-периодические по /. Вектор х = 0 является решением системы (0.1) при любом значении параметра X. На множестве решений системы (0.1) за- дан векторный функционал J = |ф(г,хД)сй, |ф(/,0Д)# = а, где Ф(с,х,х) - непрерывная -мерная вектор-функция, а — постоянный к -мерный вектор. Ставится задача определения условий существования ненулевого ю -периодического решения системы (0.1) в окрестности нулевого, при котором векторный функционал J сохраняет постоянное значение а.
Рассмотрим кратко основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.
Основы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений были заложены А. Пуанкаре [60] и A.M. Ляпуновым [41]. Методы исследования колебаний нелинейных систем, основанные на работах Ляпунова и Пуанкаре, сводятся к представлению периодических решений исследуемых систем с помощью степенных рядов, составленных по степеням малого параметра, начальных отклонений, абсолютно и равномерно сходящихся для этих значений на любом заданном конечном промежутке времени. Большой вклад в развитие этих методов внесли А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин [2], Б.В. Булгаков [11], И.Г. Малкин [44], Л.И. Мандельштам [48], Б. Хэссард [77] и другие ученые.
Метод малого параметра Пуанкаре, опирающийся на выделение основной системы с малым параметром и порождающей системы, в которую первая переходит при нулевом значении параметра, применяется во многих исследованиях [8, 43, 76, 85].
Ключевые идеи качественного исследования систем дифференциальных уравнений содержатся в книге В.В. Немыцкого и В.В. Степанова [54].
Открытие А.А. Андроновым [2] и Е. Хопфом [83] бифуркации рождения предельного цикла из состояния равновесия при изменении параметров системы легло в основу целого направления исследований. Е. Хопф в работе [83] устанавливает, что при потере устойчивости особой точки появляется устойчивое периодическое решение (так называемая бифуркация Хопфа). Изучению бифуркации Хопфа для различных систем посвящены работы [50, 53, 67, 77, 86]. Наиболее полно исследованы вопросы существования, устойчивости и бифуркаций периодических решений динамических систем на плоскости в работах А.А. Андронова и его коллег [2-4].
Вопросам бифуркации предельных циклов для различных систем посвящены работы Бобылева Н.А. [5,6], Малышева Ю.В., Захарова В.П. [46, 47], Черкаса Л.А. [78] и других авторов [12, 17, 70, 86]. Остановимся кратко на некоторых полученных результатах. В работе [5] определение условий существования предельного цикла системы обыкновенных дифференциальных уравнений опирается на метод функциона-лизации параметра и построение операторного уравнения, решения которого и позволяют определить наличие изолированных предельных циклов. Апостериорная оценка дает возможность при этом получить еще и локализацию решения. В статье [46] для установления существования предельного цикла используются мешок Бендиксона и обобщенные функции Ляпунова, которые предполагается удовлетворяют некоторым условиям.
Обобщенные функции Ляпунова применяются в ряде работ для нахождения условий существования периодических решений. Так в работе Малышева Ю.В. и Захарова В.П. [47] для построения области, содержащей устойчивый предельный цикл, предлагается математическая процедура посекториального использования нескольких функций Ляпунова. Описанный метод применяется к двумерной автономной системе дифференциальных уравнений. Воскресенский Е.В. [18] использует построение функций Ляпунова для исследования проблемы существования периодических решений у существенно нелинейных дифференциальных уравнений и применяет полученные таким образом результаты к уравнениям, описывающим нелинейные колебания. Функции Ляпунова используются для установления существования и устойчивости решений в работах [45, 55, 90]
Сложность прямой задачи привела к появлению работ, в которых исследуются системы, не имеющие периодических решений. В статьях [82, 89] рассмотрены достаточные условия отсутствия периодических решений в классе систем нелинейных дифференциальных уравнений.
Для качественного исследования систем дифференциальных уравнений применяется локальный метод нелинейного анализа, предложенный А.Д. Брюно [10]. Этот метод состоит в сведении исходной системы с помощью локальной замены к такой системе, которая либо легко интегрируется, либо является более простой. В сложных случаях исследуемая окрестность определенным образом разбивается на куски. Для исследования этим методом требуется определить нормализующее преобразование.
Малкин И.Г. в монографии [44] рассматривает неавтономную систему дифференциальных уравнений с Т -периодической правой частью и скалярным параметром. Ставится задача о существовании Т-периодического решения при малом значении параметра, которая сво-
8 дится к решению недифференциального уравнения. Доказана единственность периодического решения при условии разрешимости этого уравнения и описана процедура получения других уравнений для поиска периодических решений. Также И.Г. Малкиным рассмотрены автономные системы и предложен итерационный алгоритм построения периодического решения для неавтономных систем. Вопросы устойчивости периодических решений исследовались в работе [45].
Для построения периодических решений многими исследователями используется метод итераций. Так в работе [9] итерационный алгоритм применяется к слабовозмущенным автономным нелинейным системам в критических случаях при кратных корнях уравнения для порождающих амплитуд. При этом отыскивается периодическое решение с периодом близким к периоду решения порождающей системы. Лаптин-ским В.Н. в статье [36] рассматриваются уравнения вида x = A(t)X + f(t), (0.2) х = A(t)x + f{t,x). (0.3)
Для уравнения (0.2) решение строится в виде рядов, содержащих целые отрицательные степени параметра. Приводится модифицированный алгоритм построения последовательных приближений для уравнения (0.3), в котором каждое приближение является ю-периодической функцией. Итерационные алгоритмы применяются в работах Бобылева Н.А, [6], Вавилова С.А. и Юхневича СВ. [15,16], а также других авторов [8, 59].
В работе Гребенникова Е.А.и Рябова Ю.А. [22] описаны различные конструктивные методы построения периодических решений, в частности, итерационный метод, метод усреднения, асимптотический метод. Метод усреднения состоит в построении для системы дифференциальных уравнений с помощью некоторого оператора усреднения так называемой усредненной системы. При этом оператор усреднения подбирается таким образом, чтобы исследование усредненной системы оказа- лось проще, чем исходной системы, а получаемое решение мало отличалось от решения исходной системы.
Метод усреднения лег в основу исследований Д. Хейла. В работе [76] им изучены нелинейные дифференциальные уравнения, свойства которых существенно обусловливаются нелинейностью. В частности, им рассмотрена система y = B{t)y + q{t,y,s), (0.4) периодическое решение которой строится методом последовательных приближений, а устойчивость определяется с помощью характеристических показателей.
На принципе усреднения основан и асимптотический метод. Применение асимптотических методов в задаче поиска периодического решения изложено в работе [7] Е.Н. Боголюбовым и Ю.А. Митрополь-ским.
Е.В. Воскресенским в статье [19] описан способ поиска периодических решений методом сравнения. Уравнением сравнения в данной работе является дифференциальное уравнение, не имеющее Т-периодических решений, за исключением состояния равновесия (начала координат). Близость правых частей сравниваемых уравнений порождает существование однотипных решений.
В.А. Плиссом [55, 56] рассмотрены вопросы существования периодических решений и их устойчивость в большом для систем с периодической правой частью. При изучении периодических систем первого и второго порядков используется именно тот факт, что системы имеют указанный порядок, то есть обобщить методы и результаты на системы более высокого порядка нельзя. Для исследования многомерных периодических систем используются признаки существования неподвижных точек топологических преобразований евклидова пространства в себя.
М.А. Красносельский [32-33] сводит проблему существования периодических решений неавтономных систем к проблеме существова-
10 ния неподвижных точек оператора сдвига по траекториям системы. Доказательство существования неподвижных точек опирается на метод направляющих функций, суть которого заключается в построении некоторых функций, заданных в выпуклой области фазового пространства, и последующей оценке вращения векторного поля на границе этой области.
В работах [35, 57] исследуется проблема существования периодических решений матричного уравнения Ляпунова — = h4{t)X + XXB{t) + XF(t). (0.5)
Подолян СВ. в работе [57] использует проекционный метод для получения коэффициентных условий существования и единственности периодического решения.
Лаптинским В.Н. и Титовым В.Л. в работах [37, 71, 72] рассмотрены периодические решения полулинейных дифференциальных систем вида = 4'>*W0. (0-6)
Для системы (0.6) на основе проекционно-функционального метода разработан алгоритм построения со -периодического решения, изучены вопросы локализации этого решения, а также получены эффективно проверяемые условия существования и единственности (о-периодического решения в заданном представлении.
Краевая задача наряду с задачей Коши является одной из основных в теории дифференциальных уравнений. Исследованию разрешимости краевых задач для систем дифференциальных уравнений посвящены работы Бойчука А.А. [8], Ешукова Л.Н. [25], Рудакова В.П [65] и других авторов [28, 81, 84]. Монография Бойчука А.А. [8] посвящена проблемам существования и разработки алгоритмов построения решений линейных краевых задач для слабовозмущенных линейных и нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Краевые условия задают- ся линейным векторным функционалом. В зависимости от конкретного вида функционала рассматриваются двух- и многоточечные, а также широко распространенные периодические краевые задачи. В частности, исследуются системы вида х = 4')* + <р(0, (0-7) х = A(t)x + ф(ї) + zZ(t, х, б), (0.8) х = A{i)x + eAl (t)x + Метод неподвижной точки при нахождении достаточных условий существования периодических решений используется в статьях М.Т. Терехина, Н.В. Ретюнских, В.А. Ковалева, К.В. Бухенского, Е.Ю. Лис-киной, П.С. Ивличева и др. [13, 14, 26, 29, 30, 38, 39, 52, 62, 63, 68, 69, 87, 88]. Для системы дифференциальных уравнений x = A(t,X)x+f{t,x,X) (0.10) Бухенским К.В. в работе [13] с использованием теоремы Боля-Брауэра доказано существование «-периодического решения с начальным зна чением a = (0,...,0,а*) в предположении, что для элементов последнего столбца матрицы A{t,X) справедливо представление а^(а,Х) = ^СуХ) +Oj{x), а вектор-функция f(t,x,X) представима равенст- вом f(t,x,X) = F(t,x,x)x. При том же предположении относительно вектор-функции f{t,x,X) Терехиным М.Т. в работе [69] рассмотрены случаи, когда условия существования ненулевого периодического решения сие- 12 темы (0.10) определяются как свойствами элементов матрицы A(t,X), так и свойствами нелинейных членов системы. Ковалев В.А. в статье [30] рассматривает систему (0.10), в которой матрица A(t,X) есть матрица с доминирующей главной диагональю. Фундаментальная матрица системы линейного приближения записывается в виде матрицанта, заданного рекуррентным соотношением. Строится система приближений, которая определяет оператор. Показано, что для него выполняются условия теоремы Шаудера. В силу полученных оценок из компактного множества приближений выделяется подпоследовательность, предел которой является искомым периодическим решением. В работе [63] Ретгонских Н.В. рассматривает систему дифференциальных уравнений х = (A{t) + B(t, X) + F(t, х, Х))х. (0.11) Показано, что условие ш-периодичности решения системы (0.11) сводится к уравнению вида R(a, Х)а = 0. При дополнительных предположениях относительно структуры столбцов матрицы R(a,X) получены достаточные условия существования периодического решения со специальным видом начального условия. Методика исследования. Для получения достаточных условий существования со -периодических решений используется критерий периодичности лс(со,аЛ)=а. Посредством представления решения через правую часть системы и подстановки его в уравнение, определяющее условие постоянства векторного функционала, поставленная перед исследованием задача сводится к разрешимости системы уравнений с алгебраической главной частью. С учетом свойств формы младшего порядка в этой системе находится точка, в окрестности которой расположена пара начальное значение - параметр, определяющая периодическое решение системы дифференциальных уравнений (0.1). Доказательство теоремы о достаточном условии существования периодического реше- 13 ния проводится методом неподвижной точки оператора. Построение такого оператора осуществляется с помощью разложения функций по формуле Тейлора. Существование неподвижной точки оператора и доказывает наличие ненулевого периодического решения рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, сохраняющего постоянное значение векторного функционала. Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы. Во введении содержатся: обоснование актуальности темы, цель работы, краткий обзор результатов других авторов, методика исследования, краткое содержание работы. Первая глава посвящена построению систем недифференциальных уравнений, которым должна удовлетворять пара начальное значение — параметр, чтобы решение, определяемое этой системой, было со-периодическим решением системы (0.1). В отличие от работы [10] не требуется предварительного преобразования системы (0.1). В сравнении с работами [6, 19, 84, 90] в систему введен параметр, влияющий на поведение решения системы (0.1). В первом параграфе дается определение обобщенной периодической краевой задачи для системы (0.1), а также определение решения этой задачи. Исследуется структура матрицанта системы линейного приближения в зависимости от вида матрицы A(t,x). Доказано, что если матрица A(t,x) представима в виде A(t,X) = ^BXt,X)+o\x\''j, где элементы матрицы В,.((Д) есть формы порядка і относительно компонент вектора X, то матрицант системы линейного приближения имеет вид а'0(х)=Е+г,(а)+4г). (0Л2) элементы матрицы Bt{t,X) - формы порядка і по X, при ie{s,...,q~\) fi,(co,X)sO, а Вч(т,Х)ф0. С помощью построения матричного ряда специ- ального вида получено также представление матрицы, обратной матри-цанту. В 2 рассматривается представление решения системы (0.1) в предположении, что вектор-функция f{t,x,X) представима равенством f{i,x,X) = F(t,x,'k)x. При этом используется метод сведения системы (0.1) к линейной однородной и неоднородной системам, решения которых совпадают с решением исходной системы при начальном значении а. С помощью критерия периодичности *(со,аД)=а из формулы для решения системы (0.1) получается система недифференциальных уравнений, левая часть которой представляет собой произведение матрицы и вектора начального значения. В третьем параграфе структура решения исследуется в предположении, что вектор-функция f(t,x,X) в системе (0.1) представима в виде суммы вектор-форм относительно компонент неизвестного вектора и параметра и бесконечно малой величины более высокого порядка. Приводится алгоритм получения такого представления решения, в котором в явном виде содержится вектор-функция, определяемая нелинейной частью системы и не обращающаяся в нуль в точке г = w. Это позволяет записать недифференциальную систему, связывающее пару: начальное значение - параметр, по которой определяется ненулевое решение поставленной задачи. В отличие от ряда работ [43, 55, 62, 63, 76] в диссертации не предполагается, что фундаментальная матрица системы линейного приближения может быть записана в явном виде. Для ее представления используется матрицант. Такой подход использован в работе [14], однако в ней исследование опирается на предположения о структуре матрицанта, а в нашем исследовании структура матрицанта определяется, исходя из вида матрицы линейного приближения. В отличие от работ [8, 26, 62, 76, 84] матрица линейного приближения зависит от параметра, что позволяет получить новые достаточные условия существования периодических решений. Одновременно с системой (1.1) рассмотрим систему y = A{t,X)y + f(t,x(t,a,X),X). (1.9) Теорема 1.4. Решение t- x = x(t,a,X) системы (1.1) является решением системы (1.9). И обратно: решение y = y(t,a,X) системы (1.9), удовлетворяющее начальному условию у(о,а,Х) = а, является решением системы (1.1) и выполняется равенство y(t,a,X) = x(t,a,X) при любом / из множества [0,ю]. Доказательство. Так как t - х = x(t, a, X) - решение системы (1.1), то при любом / из множества [О, ю] выполняется x(t, a, X) = A(t, X)x(t, a, X) + /(/, x(t, a, X), X). А это и означает, что вектор-функция / -» х = x(t, a, X) является решением системы (1.9). Предположим, что t- y = y(t,a,X), где у(о,а,Х) = а, является решением системы (1.9). Тогда на множестве [0,ш] верно равенство y(t,а, X) = A(t, X)y(t, a, Х) + /(/, x(t,a, X), X). Таким образом, система (1.9) имеет два решения: t- y = y(t,a,X) и t- x = x(tsa,X) с одинаковым начальным значением а. В силу того, что система (1.9) обладает свойством единственности решения, оба решения совпадают на [0,ю] и при любом t из множества [О,со] выполняется y(t,a,\)=x(t,a, k). Теорема доказана. Заметим, что система (1.9) линейная и неоднородная. Тогда ее решение /- ymx(t,a,X) определяется равенством x(t, а, X) = П 0 {Х)а + Q!0 {х)\(а\ {Х)У /fc jcfe, ос, Х\х) (1.10) о в силу того, что матрица О. 0(х) является фундаментальной матрицей соответствующей линейной однородной системы дифференциальных уравнений (1.3) и х(0,осД) = а. Предположим, что на множестве (б) вектор-функция f(t,x,X) представима в виде f(t,x,x)= F(t,x,x)x, где матрица F(t,x,x) определена и непрерывна на (б). Тогда систему (1.1) можно записать в виде х = (А(І, X) + F\t, х, Х))х. Рассмотрим систему y = {A{t,X)+F(t,x(t,a,X),X))y (1.11) Теорема 1.5. Решение t x = x(tta,X) системы (1.1) является решением системы (1.11). И наоборот, решение t- y=y(t,a,x), у(0,а,Х) = а, системы (1.11) является решением системы (1.1) и y(t,a,X) = x{t,a,X) при любом Гє[0,Й ]. Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.4. Перейдем теперь к выяснению структуры решения t -+x = x(t,a,x), являющегося одновременно решением системы (1.11). Теорема 1.6. Пусть вектор-функция f(t,x,X) на множестве в(б) представима в виде f(t,x,X)=F(t,x,X)x, где матрица F(t,x,x) определена и непрерывна на (б), удовлетворяет тождеству F(t,Q, Х) = 0. Тогда решение t - х = x(t, а, X) системы (1.1) можно представить так: х(/,аД)=ф 0( )+Є(ї,аД)}х, (1.12) где Q(t,a,X) -матрица, обладающая следующими свойствами: 1. б(0,аД)=0, 2. lim Q((, а, Х) = 0 равномерно относительно є[0,ю] и Я,еЛ(8). Доказательство. Обозначим фундаментальную матрицу линейной однородной системы (1.11) через У(/,ссД), причем У(о,ссД)=. Так как решением этой системы с начальным значением ее является вектор-функция x(t, а, X), то ее можно представить в виде x(t, а, X) = Y(t, а, х)а. Матрицу Q(t,a,x) введем следующим образом: а(/,ад)=7( ,ад) а;(х). Тогда, очевидно, Q(0,aiX)=E E = 0. Так как 7(/,аД) - фундаментальная матрица системы (1.11), то выполняется Y(t, ее, А,) = (л(г, X) + F(t, x(ty а, Х\ X))Y{t, а, X). Из представления матрицы Q(t,a,X) имеем: Y(t,a,X) = Q 0(x)+ Q(t,a,X). Тогда Q 0(X)+ Q(t,a,X) = (A(t,X)+ F(t,x(t,a,X\X%Q 0(X)+ Q(t,a,X)) = A(t,X)D 0 (X) + Fit, x(t, a,X\ X)Q 0 (X)+ (А(І,Х}+ F(t, x(t, a ,X\x))Q(t, а Д). Так как Cl a(X) - фундаментальная матрица системы х = Л(гД)х( ТО выполняется равенство Cl 0 (х) = A(t, х)С1 0 (х). Следовательно: Q(t,a,X)=(A(t,X)+ F(t,x(t,a,X)iX))Q(t,a,X)+ F{t,x(t,a,X),X)Q a(x). Таким образом, матрица Q(t,a,x) является решением следующего матричного дифференциального уравнения Q = (A(t, X) + F{t, x{t, а, X), X))Q + F{t, x(t, a, X), Xp 0 (X). Так как матрица У(/,аД) является фундаментальной матрицей системы (1.11), то решение последнего уравнения определяется равенством о где С - произвольная постоянная матрица. При / = о имеем Q(0,a,X)=Y(0,a,X)-C = E-C C. Но ранее было установлено, что Q(0,a,X)=0. Значит, С -нулевая матрица. Таким образом, Q(t, а, X) = Y(t, a, XJJV1 fo a, Xpfe, xfc а, Х), Xpl (%)&,. Так как F(t,0,X)=0 и матрица F(t,x,X) непрерывна по всем аргументам, то HmF(t,x,X)=0 равномерно относительно /є[о,со] и ХєА(ь). Из того, что x(tfi,X)=0 и решение x = x(t,a,X) непрерывно по начальному значению, следует, что x(t,a,\)- 0 при а О равномерно относительно /є[0,ш] и ХєЛ(б). Тогда, в силу ограниченности матриц Y(t,a,x), У (/,аД), Пд(Я.) и того, что limF(t1,x(t;,a,X),X) = 0 равномерно относитель но /є[0,со] и ХєА(Ь), получаем, что Нт?(/,аД) = 0. Теорема 2.2. Если для любого X такого, что V) = l, выполняется в(х, ) 0, то в любой окрестности точки у = 0 существует множество, в котором нет решений системы (2.1). Доказательство. Пусть для любого X" такого, что JV = 1, выполняется условие B\X ) Q. Так как В(х) - непрерывная вектор-функция, множество Л = 1 замкнутое и ограниченное, то по теореме Вейерштрас-са существует положительное число р такое, что для любого X", для которого х, 1 = 1, выполняется неравенство ls(x, ] jp. Положим Х = рХ\ где р 0 и 1 1 = 1. Так как в(х) - вектор-функция порядка q, то систему (2.1) можно записать следующим образом: Щг)р +о2у+о2(р )=о. Разделив на р17, получим систему д(я:)+-70г{а)+0{р) = О. Так как Нт э(р)=0, то найдется число р 0 такое, что при любом р- 0 р, где р р , выполняется \о(р\ — . Зафиксируем р р . Тогда величина =— ограничена и lim -02(ja)=O. Поэтому существует такое 5 0, что для любого а, для которого а 5\ справедливо _ —. Следова Рч 3 тельно, для любого a:a 5 выполняется неравенство 1(г)+ 02М+ Щг]- 02НЧ0(р - - = А это зна 47 чит, что при любом Х = рХ и любом а таком, что а 6 имеем О. Следовательно, множество М{ = {(аД):а 6% А, = "рД\р р\ІА, = і} не содержит решений системы (2.1). Теорема доказана. Следствие. Если выполнены условия теоремы 2.2, то в любой окрестности точки у = 0 существует множество, для любой точки у = (аД), а = (0,,..,0,а„), ап #0, которого вектор-функция t-+x = x(t,a,x) не является ненулевым а)-периодическим решением системы (1.1). Доказательство. Из теоремы 2.2 следует существование множества Мх такого, что для всех его точек у = (осД) выполняется То есть, при у є Л/, последний столбец матрицы (x)+o(ja)+oA,j?J в системе (1.12) не обращается в нуль. Следовательно, а = (0,...Дал), где а„ 0, не является решением системы (1.12). Тогда для всех уєМ = {(а,Х):(а,Х)еMt,a = (0,...,0,a„),a, 0} вектор-функция х = x(t, а Д) не является о-периодическим решение системы (1.1) с начальным значением а = (0Д...Даи), ая о. Следствие доказано. Теорема 2.3. Пусть существует вектор X такой, что В\Х )ФО. Тогда в любой окрестности точки у = 0 существует множество, для любой точки у = (осД), а = (0,...Дсс„), а„ 0, которого решение / -» х = x(t, аД) системы (1.1) не является ш-периодическим. Доказательство. Так как по условию В\Х ) 0 и в(х) непрерывная вектор-функция, то существует 5-окрестность точки V, в которой эта вектор-функция также не обращается в нуль. Пусть множество Л = ]Х:Х = X + АХ,\АХ\ 5 1] таково, что при любом XеЛ выполняется В\х) 0. Множество Л замкнутое и ограниченное. Поэтому по теореме Vl = l и Вейерштрасса существует положительно число р такое, что для любого X из множества Л выполняется неравенство \в(м р. Положим А, = рЛ,, где р 0 и ХеА. Тогда система (2.1) приобретет вид В{Х)рд + 02(\а\)+ о2\рх\ч]= 0. Так как множество Л замкнутое и огра 02W j - _ ничейное, то lim—-—— = 0 равномерно относительно ХеА. Разделив на рч, получим систему ЩЪ)+±О2(1а\)+о{{Щ )=0, где ІітОІрІАч )= 0 равномерно относительно ХеА. р- о " і Далее, проводя доказательство, аналогичное доказательству теоремы 2.2, получим, что существуют числа р и 8 такие, что при любом сс:сс 5 и любом ХеА выполняется 5(х)+ 02(а)+ (р / 0 А это значит, что во множестве М = $а,Х):\а\ 5 ,Х=рХ,р р",ХеА] нет решений системы (2.1). Следовательно, при любых (а,Х)еМ последний столбец матрицы В?(Х,)+о(]а)+о[ ч) в системе (1.12) не обращается в нуль, а вектор-функция t- x = x(t,a,%) не является ю-периодическим решение системы (1.1) с начальным значением сх = (0А...,0,а„), а„ 0. Модель боевых действий. Рассмотрим одну из моделей боевых действий, построенных английским математиком и инженером Ф.У. Ланкастером [1]. Пусть в боевых действиях участвуют две противоборствующие стороны х и у. Их численный состав в момент времени / обозначим через x(t) и y(t) соответственно. Предполагается также, что x(t) и y(t) изменяются непрерывно, более того, что они дифференцируемы как функции времени. В настоящем исследовании рассматривается модель, в которой сторона х обладает регулярными частями, а сторона у партизанскими соединениями. Дифференциальные уравнения, выражающие скорость изменения численного состава противоборствующих сторон в зависимости от действия различных факторов имеют вид = -ох(0-Ы )+ ). f (2.16) І = -,у( )-А( М )+ЄМ, где коэффициенты а к с определяют влияние на потери сторон х я у болезней и других факторов, не связанных с непосредственными боевыми действиями, коэффициент Ъ отражает эффективность боевых действий стороны у и определяет потери стороны х непосредственно от боевых действий, аналогично же определяется и коэффициент d. При этом потери регулярных частей стороны х в сражениях пропорциональны только численности партизанских соединений у. Боевые силы партизан численностью y(t), занимая некоторую территорию, остаются невидимыми для противника. И хотя противник держит под огнем эту территорию, он не может знать эффективности своих действий. При этом потери партизанских подразделений у пропорциональны с одной стороны, числу y(t), а с другой - числу x{t) боевых сил противника. P(t) и Q(t) - члены, учитывающие возможность подхода подкреплений к силам х и у соответственно. Предположим, что боевые соединения сторон х и у изолированы от внешней поддержки, то есть члены P{t) и Q(t) тождественны нулю, а коэффициенты a,b,c,d зависят от параметра X є Л (6) = {X: X є Еъ, \к\ 5}, характеризующего внешние влияния, и времени te\02n]. Пусть коэффициенты системы (2.16) определяются соотношениями a = X1smt + XtX2 sin21, b = -X3 cost + \k) +X,2X3](cos/ + 2), с = Хг sin2/-(XjA,2 -8Xj)cos21, d = Xx sin21. (-a -b\ f о Обозначим и = {х,у), A(t,X) L /(f,w,A,) = cj \-dxy) Тогда система (2.16) примет вид u = A{t,X)u + f(t,u,X). (2.17) Матрица A(t,X) и вектор-функция f(t,u,x) непрерывны по совокупности аргументов и 2я-периодические по t, для вектор-функции f(t,u,X) справедливо lim \ - =0 равномерно относительно /є [0,2л] и ХєЛ(б). Для описанной модели боевых действий ставится следующая задача. Пусть в начальный момент времени / = 0 в некоторой местности находятся только партизанские соединения стороны у. Определить условия, при которых партизанские соединения у полностью уничтожат ко времени t = 2% подошедшие регулярные части стороны х, не понеся при этом потери Таким образом, для системы (2.17) выполнены все условия теорем 1.3 и 1.6. Следовательно, по теореме 1.7 для того, чтобы вектор-функция t u = u{t,a,X) была ненулевым 2тг-периодическим решением системы (2.17) с начальным значением а, необходимо и достаточно, чтобы вектор у = (аД), а Ф 0, являлся решением системы Определим условия, при которых последний столбец выделенной матрицы обращается в нуль. Для этого рассмотрим систему Непосредственной проверкой можно убедиться, что при X =(}Л і) в(яг)=0. Причем \х =1. Произведем в системе (2Л8) замену переменных, положив Х = рХ, где Ш Д, Д 1, р 0. Тогда система примет вид В(х)+ — 02 (а)+ 0\рЩ2 )= 0. Разложив вектор-форму В(х) в ряд в окрестности точки Х = Х по формуле Тейлора, получим где v = a.-A . Ранг матрицы Якоби вектор-формы в(х) в точке X =( ,1,- ) равен двум. Тогда по теореме 2.4 система (2Л7) имеет 2я-периодическое решение f - W = M( ,а,Х) с начальным значением а = (о,Й2), определенное на сегменте [о,2я]. И этим устанавливается, что при значении параметра Х = Х партизанские соединения стороны у полностью уничтожают к моменту времени t = 2л пришедшие регулярные войска стороны х, сохраняя при этом свою первоначальную численность а2. Далее будем предполагать, что на множестве D(s0) вектор-функция Ф(г,хД) представимаравенством Ф(/,хД) = Ф(/ДХ)+Ф І(ґД с + 2;Ф,(ЛхД + о(І2рІ}с, (2.19) t=p в котором р 2, элементы матрицы Фр.}{іД) - формы порядка р-\ относительно компонент вектора А,, при любом is {р,...,г -\) элементы матрицы Ф,(г,хД) - формы порядка і относительно компонент вектора г = (хД), Ф,(г,0Д)=0. (О Согласно определению 1.1 при любом А,єЛ(5) ф(гДА,)с# = а. То-гда в силу равенства (2.19) для того, чтобы вектор-функция Сії г- х = х(/,аД) удовлетворяла равенству ф(г,х(/,аД)д)л = а, необходимо о и достаточно, чтобы вектор у = (а, X) являлся решением системы { (/,1) + 25,(/ (/, +0 ) x(t,a,i)dt = 0. (2.20) =р Решение t x = x(t,a,\) системы (1.1) по теореме 1,6 имеет вид x(t, а, A,) = (Op (A.) + (f f а, Х))х, где 1ітб(/,аД) = 0 равномерно относительно /є[0,о)] и ХеЛ(ъ). Снова рассмотрим систему вДх)-а + 4Г)-« + а(у)+«{уГ)=0, (1.16) и исследуем теперь случай a q + l. Если а = д + 1, то положим W = M-a+a(y), оу")=4яГ)-а + уст). Если же a q + l, то Ро(у) = а(у), оу)=ІЦА,) а + о?.ч)-а + о(уст). Таким образом, при a q-b\ систему (1.18) можно записать в виде Л(гМгГ)=. (3-16) где Рп(у) - вектор-форма порядка с относительно компонент вектора у. Теорема 3.8. Пусть при любом у:у = 1 выполняется Ра (у) Ф 0. Тогда существует окрестность точки у = 0, в которой нет решения системы (3.16), за исключением самой этой точки. Доказательство. Положим у = ру, где р 0, у = 1. Тогда система (3.16) преобразуется к виду Проведя доказательство аналогично доказательству теоремы 2.2 получаем, что существует такое число р 0, что при у = ру, где у = 1 и р р (то есть при у р) система (3.16) не имеет ненулевого решения. Теорема доказана. Теорема 3.9. Пусть существует вектор y :jy =l такой, что /Цу ) 0. Тогда в окрестности точки у = 0 есть множество, в котором нет решения системы (3.16). Доказательство. Проведя доказательство аналогично доказательству теоремы 2.3, устанавливаем существование такого множества jy = {y:y = py,p p,Y = y + Ду,Ду) 5 і}, что при yeU система (3.16) не имеет ненулевого решения. Теорема доказана. Замечание. Согласно теореме 1.10 вектор-функция x(t,a,X) является ю-периодическим решением системы (1.1) в рассматриваемом случае тогда и только тогда, когда вектор у = (аД) есть решение системы (3.16). Следовательно, теоремы 3.8 и 3.9 определяют условия, при которых x = x(t,a,X) не является ш-периодическим решением системы (1.1). Как и ранее, получили, что необходимым условием существования ненулевого ш-периодического решения системы (1.1) является наличие такого вектора v : v =1, что выполняется Ра(у )=0. Положим у = pv, р 0, v Д, Д 1. Тогда система (3.16) примет вид М+О(РН)=0, (3.18) где HmO(pv)=0 равномерно относительно Н Д. Пусть существует вектор v :jv I = 1 такой, что Ра{у")=0, причем среди компонент, соответствующих вектору а есть ненулевые. Разложим вектор-функцию Pa(v) в системе (3.18) вряд по формуле Тейлора в окрестности точки v = v : где x = v-v , l (v )J -значение матрицы Якоби вектор-функции P0(v) в точке у = у ,при /є {2,3,..., a} /J\V\T) - вектор-форма і-го порядка по т. Теорема ЗЛО. Пусть ra«,g [pe(v )J=«. Тогда система (1.1) имеет ненулевое со-периодическое решение. Доказательство. Аналогично тому, как проделано в доказательстве теоремы 3.4, определив оператор Г согласно равенству Гт, =-D;]D2x2 -D O-DM -D ofp ), можно показать, что он имеет неподвижную точку т,\ Эта точка и определяет со -периодическое решение системы (1.1). Следовательно, система (1.1) имеет ненулевое о -периодическое решение t- x = x(t,a,X), в котором у = (ссД) определяется равенством у = р(т +v ), где р р - фиксированное, т =(т,\т2 ), к2 Ь -такжефиксированное. Теорема доказана. Пусть rangD\pa(v )\=d n. Повторяя для системы (3.19) преобразования системы (3.7) в аналогичном случае, систему (3.19) запишем так: где Д - dx(n + m) матрица, P0(v\i) - (и- )-мерная вектор-форма порядка ст, по компонентам т, РС1(у ,уФ0. Для системы (3.21) ставится задача - определить условия существования на сегменте [0,2л] ненулевого 2% -периодического решения.Реакция окисления малоновой кислоты броматом может быть представлена в виде трех процессов [21]. Процесс А представляет собой взаимодействии бромат-ионов BrOj, бромид-ионов Вг и малоновой кислоты СНг(СООН)2 с образованием броммалоновой кислоты ВгСН{СООН)г. Процесс В состоит из четырех реакций взаимодействия бромат-иона с церием(Ш) Се3+ и малоновой кислотой при практически полном отсутствии бромид-ионов. Образующийся в результате этого це-рий(ІУ) Се + в процессе С окисляет малоновую и броммалоновую кислоты. Колебания концентраций в реакции начинаются после достижения некоторой величины концентрации броммалоновой кислоты. Реакция описывается следующим набором уравнений: A + Y-J X, Х + 7— - Р, В + Х—k- 2X + Z, 2X—b- A + P,Z—b-+frt где X - бромистая кислота, У - бромид-ион, Z - церий(ІУ), А = В -бромат-ион, Р - гипобромистая кислота HOBr. Обозначим через х, у, z концентрации соответствующих веществ.Структура решения системы (1.1) в случае, когда нелинейная часть представима в виде произведения матрицы и неизвестного вектора
Структура решения системы (1.1) в случае, когда нелинейная часть представима в виде суммы вектор-форм по неизвестному вектору и параметру
Решение обобщенной периодической краевой задачи неавто номной системы дифференциальных уравнений
Периодическое решение системы в случае, когда порядок нелинейного части ниже или равен порядку матрицы системы линейного приближения
Похожие диссертации на Обобщенная периодическая задача нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметром
