Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Бифуркации малых решений операторных уравнений 12
1.1. Вспомогательные сведения 12
1.2. Функционализация параметра в задаче на собственные значения 21
1.3. Функционализация параметра в задаче о бифуркации малых решений 32
1.4. Доказательства основных утверждений 45
Глава 2. Локальные бифуркации динамических систем 62
2.1. Локальные бифуркации коразмерности один 62
2.2. Бифуркация двукратного равновесия 73
2.3. Локальные бифуркации вынужденных колебаний 85
2.4. Локальные бифуркации автоколебаний 93
2.5. Бифуркации в дискретных динамических системах 100
Глава 3. Анализ устойчивости бифурцирующих решений 112
3.1. Вспомогательные утверждения 112
3.2. Устойчивость решений в задаче о бифуркации двукратного равновесия 115
3.3. Устойчивость вынужденных колебаний 119
3.4. Устойчивость бифурцирующих решений
в дискретных системах 121
Заключение 124
Литература
- Функционализация параметра в задаче на собственные значения
- Доказательства основных утверждений
- Локальные бифуркации вынужденных колебаний
- Устойчивость вынужденных колебаний
Введение к работе
В качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений одними из основных являются вопросы о бифуркациях, т.е. вопросы о перестройках фазовых портретов системы при переходе параметров через критические значения. Точкам бифуркации в практических задачах отвечают критические нагрузки в проблемах устойчивости, критические скорости в задачах возникновения волн, критические значения параметров в задаче о возникновении автоколебаний и другие. Теоретическое и компьютерное исследование бифуркаций динамических систем представляет собой важную задачу.
Особый интерес вызывают локальные бифуркации, происходящие в окрестностях особых точек динамической системы. Здесь возможны различные сценарии: бифуркации двукратного равновесия, вынужденных колебаний, автоколебаний, ограниченных решений, инвариантных торов, удвоения периода и др.
Вопросам изучения теоретических и прикладных аспектов различных бифуркаций посвящена обширная литература, восходящая к работам Л.Эйлера, К.Якоби, И.А.Вышнеградского и др. Основы современной теории бифуркации были заложены в работах А.М.Ляпунова [25] и А.Пуанкаре [29].
Существенный вклад в развитие теории бифуркаций динамических систем внесли А.А.Андронов, В.И.Арнольд, Дж.Гукенхеймер, М.Т.Тере-хин, Ф.Холмс, Э.Хопф, Л.П.Шильников, В.И.Юдович и др. (см. [1]-[4], [7], [9], [15], [2б]-[28], [31], [32], [34]-[39], [45], [47], [48], [53]).
В настоящее время теория бифуркаций - одна из наиболее развитых ветвей общего нелинейного анализа. В ней последовательно и достаточно полно изучены многие типы бифуркаций. В теории бифуркаций разработан ряд эффективных методов исследования, таких как метод Ляпунова-Шмидта, метод нормальных форм Пуанкаре, метод инвариантных многообразий и др.(см. [2], [7], [28], [34]). Эти методы позволили про вести детальное исследование многих задач о признаках бифуркации, о приближенном построении бифурцирующих решений, о получении их асимптотик, анализа устойчивости и др.(см. [12], [15], [20], [46], [51]).
Специфика задач о бифуркациях динамических систем состоит в том, что эти задачи содержат параметры и бифурцирующие решения обычно существуют при неизвестных априори значениях параметров. При этом, как правило, эти решения образуют непрерывные (по параметрам) ветви, а при фиксированном значении параметра решения могут образовывать связные континуумы. Это снижает эффективность многих, в особенности, приближенных методов исследования.
Для исследования задач с параметрами М. А.Красносельский [15] предложил метод функционализации параметра, суть которого состоит в том, что параметры задачи заменяются некоторыми специально сконструированными функционалами. Это позволяет переходить от задач с конти-нууами решений к эквивалентным в естественном смысле задачам с изолированными решениями. Метод функционализации параметра показал свою эффективность при решении задач о периодических решениях автономных систем, о бифуркации Андронова-Хопфа, о возмущении спектра линейных операторов и др.
Дальнейшее развитие метода функционализации параметра представляет собой важную задачу.
В диссертации разработаны теоретические аспекты метода функционализации параметра в задаче о локальных бифуркациях динамических систем и даны его приложения.
В работе предложен новый метод исследования задач о локальных бифуркациях динамических систем, основанный на конструировании специальных функционалов и позволяющий проводить детальное исследование задачи. Разработана общая схема конструирования линейных функционалов, позволяющая переходить от уравнений с параметрами к эквивалентным уравнениям без параметров и с изолированными решениями. Предложенный метод позволил получить новые достаточные признаки локальных бифуркаций динамических систем, разработать итерационную процедуру построения бифурцирующих решений, получить асимптотические формулы для решений и соответствующих значений параметров, исследовать тип бифуркации, разработать новую схему исследования устойчивости решений бифуркационных задач.
В заключении сформулированы выводы об основных результатах работы.
Функционализация параметра в задаче на собственные значения
В задачах теории бифуркации существенное значение имеет поведение собственных значений операторов линеаризованной задачи при значениях параметров в окрестности точки бифуркации (на это указывают уже общие теоремы о точках бифуркации: см. теоремы 1.1 и 1.2).
В этом параграфе изучается задача построения собственных значений и собственных векторов линейных операторов, зависящих от параметра. А именно, рассматривается линейный вполне непрерывный оператор Л(Х), действующий в гильбертовом пространстве Н и зависящий от скалярного параметра Л. Пусть выполнены условия: 1 оператор Л (А) непрерывно дифференцируемо (по норме операторов) зависит от Л; 2 оператор AQ = A(\Q) имеет простое вещественное изолированное собственное значение цо Пусть ео - соответствующий собственный вектор оператора А$: А$е$ = //обо. В соответствии с теорией возмущения линейных операторов [11], [23] при А близких к Ао оператор А{\) имеет простое собственное значение /i(A), причем (і(Х) - непрерывно дифференцируемая функция и /І(АО) = Но, а соответствующий собственный вектор е(А) также можно выбрать из условия непрерывной дифференцируемости, причем е(Ао) = ео. Ниже приводится схема приближенного построения собственного значения //(А) и соответствующего собственного вектора е(А).
Вопросам приближенного построения собственных значений линейных операторов, зависящих от параметров, посвящена обширная литература [11], [23], [24]. Здесь приводится схема, основанная на идеях К-метода функционализации параметра (см. п. 1.1.2).
Без ограничения общности, можно считать,что /J,Q ф 0. Так как собственное значение //(А) оператора А(Х) является непрерывно дифференцируемой функцией, то выполняется равенство: /І(Л) = //0 + //1-(А- Ао) + е(А - А0), (1.18) где e(h) = o{h) при h - 0. Функцию Д(Л) = цо + ц\ (А — Ло) назовем главной асимптотикой собственного значения /х(Л) оператора А(Х). Основной целью нижеприводимых построений является нахождение главной асимптотики.
Обозначим через Щ одномерное подпространство, содержащее вектор ео- Подпространство Щ будет собственным подпространством оператора Ао, отвечающим собственному значению но Так как цо является изолированным собственным значением вполне непрерывного оператора Ао, то согласно спектральной теории линейных ограниченных операторов [11] пространство Н может быть представлено в виде Н — HQ ф Н, где Но - указанное выше одномерное подпространство, а # - дополнительное к Щ инвариантное для AQ подпространство. При этом спектр а оператора Ао представим в виде о = о\ (J X2, где и\ = {fio}5 а (72 = сг\ 7і - спектр оператора AQ: Н — Н. В частности, цо . а(Ао : Н - Н) и, следовательно, существует ограниченный обратный (А0 - Hoi) 1 : Н - Н.
Сопряженный оператор AQ = A (\Q) также имеет простое собственное значение /1о, которому отвечает собственный вектор до : А до = родовспомогательные утверждения Лемма 1.1. Пусть до - собственный вектор оператора AQ: А до = /logo- Тогда для любого и Є Н выполняется равенство (#o w) = 0 Доказательство. Пусть v Є Я0. Тогда (v,g0) = —(v, А 0до) = —(A0v,g0). Mo Mo Отсюда {v,g0) (Aov,g0) = 0 или Mo (W-ЛК 0) = 0. (1.19) Так как /ІО сг(Д): Я0 - Я0), то для любого и Є Я0 уравнение (/І0/ — Ло)г = w имеет единственное решение v Є Я0: і = (ц І — AQ) 1U. Отсюда и из равенства (1.19) получим требуемое соотношение (до, и) = 0. Следствие 1.2. Пространство Я0 мооюет быть определено равенством Н = {х: хеН, (х,д0) = 0}. Лемма 1.2. Имеет место соотношение (ео,до) Ф 0 Доказательство. Очевидно, до ф 0. Предположим противное, т.е. (ео, go) = 0. Тогда gol-Ho- В соответствии с леммой 1 имеем до-LH0. Отсюда и из равенства Я = HQ ф Я0 получим #о = 0- Полученное противоречие завершает доказательство леммы.
Ниже будем считать, что собственные векторы ео и до операторов Ао и AQ нормированы исходя из соотношений: 1Ы1 = 1, (ео,0 ) = 1. (1-20) Возможность такой нормировки следует из леммы 1.2. Определим действующие в пространстве Я операторы PQX = ( ,0о)ео, Л = (/ - Р0)я. (1.21)
Лемма 1.3. Операторы PQ : Н -+ HQ и Р : Н Н являются операторами проектирования. При этом операторы PQ и Р коммутируют с Ао, т.е. выполняются равенства РоАо = AQPQ и РАо — AQP . Доказательство. Очевидно, что оператор Ро действует из Я в Яо- Докажем, что Ро является оператором проектирования, т.е. Р02 = Ро- Имеем в силу (1.20) и (1.21):
Доказательства основных утверждений
Имеем при малых \\h\\: F(x+h,X)-F(x,X) = A(X)(x+h)-fio{x+h,g0)(x+h)-(A(X)x-fi0(x,g0)x) = = А{Х)х + A(X)h - iio((x,go) + (Л, go))(x + h) - А(Х)х + ц0(х,д0)х = = A(\)h - /io(h,g0)x - fi0(x,go)h - i2Q(h,g0)h. Отсюда, оставляя только линейные по h слагаемые, получим производную Фреше (1.31): F x{x, X)h = A(\)h - fi0(h, g0)x - ц0(х, go)h. Доказательство леммы 1.6 Оператор Fx(eo,\o), определенный равенством (1.32): Fx(e0, X0)h = A0h - /20(h, g0)e0 - fi0h. (1.72) является фредгольмовым. Это следует из того, что оператор AQ является вполне непрерывным и /іо Ф 0. Для его непрерывной обратимости достаточно доказать, что из равенства F x(eo, \)h = 0 следует h = 0. Пусть при некотором h Є Н выполняется равенство Fx(e0,X0)h = 0. (1.73)
Представим h в виде суммы h = h0 + h, где h0 Є Н0, h Є Я0. При этом (см.(1.21)): h0 = P0h = {h,g0)eo, h = Ph = (1- P0)h = h-(h,go)eo. Имеем из (1.72) и (1.73): Aoh - fi0(h, go)eo - fi0h = 0 (1.74) или проектируя это уравнение на подпространства HQ и Н, получим (1.75) Aoh0 - iio{h, до)ео - /І0/І0 = 0, A0h-/ioh0 = 0.
Так как Aoho = /ІО О, ТО Ho(h,go)eo = 0, следовательно (h,go) = 0. Из второго уравнения системы (1.75) получим (Ао — HoI)h = 0. Оператор (Д) — цоі) : Н - Н обратим , значит h = 0. Отсюда и из равенства (h,go) = 0 следует (ho, до) = 0. Так как ho Є Щ , то ho = Сово и, следовательно, (ho, до) = (Сово, до) = 0. Тогда Со = 0, т.е. ho = 0. Таким образом h = 0, т.е. оператор Fx(eo,\o) обратим. Лемма 1.6 доказана. Доказательство леммы 1.7 Вычислим значение Гаг при любом х Є Н. Пусть х = і (ео, Ло)/г; отсюда h = Гх. По заданному х найдем h. Имеем Aoh - А о(Л, до)е0 - fioh = х. (1.76)
Проектируя h и х на подпространства if о и #» получим h = / о + /і0 и я = #0 + х. Равенство (1.76) равносильно системе (1.77) Aoh - /і0(/г, до)е0 - Voho = хо, A0h-noh0 = х. Так как Aoho = /хо о, то —fio{h,go)e0 = #о или учитывая равен ство (h,go) = 0, получим -/хо(Л(ь0о)ео = #о- Пусть /i0 = С0е0. Тогда (ho, до) = (Соео, о) = Со- Следовательно, я0 = -С0//оео, т.е. Л0 = жо С другой стороны, из второго равенства системы (1.77) получим h = (Ло — цо1) 1х. Таким образом, Гх = ho + h = х0 + (Ло — [ioI) lx. Но Лемма 1.7 доказана.
Первое утверждение теоремы о сходимости итераций (1.34) будет доказано, если показать, что при малых А — Ао в некотором шаре Т(ео, SQ), 0 60 1, для уравнения (1.30) выполнены все условия модифицированного метода Ньютона-Канторовича с возмущениями (см.п. 1.1.3). Уравнение (1.30) представим в виде G(x) + W(x,\) = 0, (1.78) где G(x) = А(Хо)х - /10(х, д0)х, (1.79) W(x, А) = [Л(А) - А(Х0]х. (1.80)
В силу леммы 1.5 оператор G(x) дифференцируем на любом шаре T(eQ,6o), его производная Фреше равна G (x)h = A0h - fi0(h, д0)х - ц0(х, go)h, (1-81) где Ао = І4(ЛО). При х = ео оператор (1.81) принимает вид G,(e0)h = A0h - fi0(h, до)є0 - fi0h (1.82) и является в силу леммы 1.6 непрерывно обратимым. Оператор (1.81) удовлетворяет условию Липшица \\G (x)-G (y)\\ L\\x-y\l х,уЄТ(е0,50), (1.83) 0743 где для константы L нетрудно получить оценку L 2/ІО#О
Таким образом, условия 1 — 3 метода Ньютона - Канторовича выполнены.
Так как G(eo) = Аово — й)ео = 0, то г/о = 0 в условии (1.12) метода Ньютона-Канторовича. Поэтому существование единственного решения х {\) уравнения (1.30) в шаре Т(ео,6о) и сходимость итераций (1.34) будут установлены, если показать, что числа ао 0 и qo 0 из условий (1.13) и (1.14) в нашем случае будут достаточно малыми при Л близком к Ао и х близком к ео- Так как а0 = sup \\YW{x, А) Г sup р(А) - Л(А0)] = х-е0К 5о, х - е0К 5о, А-АоКй A-AoK 5i = Г(1 + ад sup Л(А)-Л(Ао) A-Ao Ji и оператор А(\) непрерывно зависит от А, то число ао будет сколь угодно малым при малых 5\. Далее, так как W(x, А) - W(y, А) = И(А) - А(\о)](х - у), то число до также будет малым при малых 5\. Таким образом все условия 1 — 5 модифицированного метода Ньютона - Канторовича с возмущениями для уравнения (1.78) в шаре Т(ео, го), где го = т[1 \/1 ZboLcto] выполнены и, следовательно, итерации (1.34) сходятся к решению х (Х) уравнения (1.30).
Локальные бифуркации вынужденных колебаний
Рассмотрим теперь динамическую систему, описываемую неавтономным уравнением x = f(x,t,X), xGRN,XeR\ (2.40) где вектор-функция f(x, t, А) является гладкой no х и А, непрерывной и Г-периодической по t. Будем считать, что система (2.40) определена при A — Ao S. Пусть выполнено условие /(0, і, Л) = 0, т.е. система (2.40) при всех Л имеет нулевое решение.
Значение До параметра Л называют точкой бифуркации выиуснсдеиных колебаний системы (2.40), если существует последовательность Лп — До такая, что при Д = Дп уравнение (2.40) имеет ненулевое Т-периодическое решение х = xn(t), причем тахгсп(і) - 0 при п — со.
Примеры задач, приводящие к понятию бифуркации вынужденных колебаний, будут даны ниже. Обозначим через U(x, Д) оператор сдвига (см. [14]) за время Т по траекториям системы (2.40). Каждое решение хо уравнения x = U(x,\) (2.41) задает начальное значение Т-периодического решения уравнения (2.40). Обратно, если x(t) - это Т-периодическое решение уравнения (2.40), то вектор хо = х(0) является решением уравнения (2.41). Поэтому задача о бифуркации вынужденных колебаний системы (2.40) равносильна задаче о бифуркации малых ненулевых решений операторного уравнения (2.41). Через A(t, Д) обозначим матрицу Якоби правой части системы (2.40), вычисленную в точке х = 0, т.е. A(t, Д) = / (0, t, Д). Тогда система (2.40) может быть представлена в виде х = A{t,\)x + a(x,t,\), хе RN, (2.42) где а(х, t, Д) удовлетворяет соотношению а(М,А) п lim max " v,/ , л = 0. INHo o t T, INI А-АоЮ Наряду с (2.42) рассмотрим также линейную систему x = A(t,X)x. (2.43) Пусть V(X) - оператор сдвига за время Т для системы (2.43); оператор V(X) линеен и может быть получен из фундаментальной матрицы решений системы (2.43). А именно, пусть X(t, А) - фундаментальная матрица решений системы (2.43), т.е. X(t, А) - это решение задачи Коши = Л( ,А)Х, Х(0) = 7; (2.44) тогда V(X) = Х(Т,Х). Оператор V(X) называют также матрицей мо-нодромии, а ее собственные значения - мультипликаторами системы (2.43). Оператор U(x,X) можно(см.[14]) представить в виде: U(x, A) = V(X)x + v(x, А), (2.45) где v(x, X) - нелинейный оператор такой, что max ф,А) = о(И) (2.46) А-Ао ) при \\х\\ - 0.
Вопросы представимости оператора U(x, X) в виде (2.45) рассматриваются ниже в и.2.3.5. Таким образом, задача о бифуркации вынужденных колебаний системы (2.42), а значит и системы (2.40), сводится к эквивалентной задаче о бифуркации малых ненулевых решений операторного уравнения x = V(\)x + v(x,\). (2.47)
Уравнение (2.47) является уравнением вида (1.38). Поэтому метод, приведенный в первой главе, может быть практически без изменений перенесен и на задачу о бифуркации вынужденных колебаний системы (2.40). Приведем кратко основные результаты, получаемые при этом.
Рассмотрим сначала вопрос о необходимых и достаточных условиях бифуркации вынужденных колебаний.
В случае, когда матрица монодромии V(XQ) не имеет собственного значения 1, значение До не может быть бифуркационным. Этот факт следует из теоремы 1.1. Поэтому необходимым условием бифуркации вынужденных колебаний является условие 1 Є r(V(Ao)), т.е. 1 является собственным значением матрицы V(XQ).
Пусть выполнено условие U1: матрица V(XQ) имеет простое собственное значение 1. Несложно показать, что верна Лемма 2.1. Условие U1 равносильно тому, что линейная система (2.43) при X = До имеет единственное (с точностью до сомиооїсителя) ненулевое Т-периодическое решение. Пусть єо - собственный вектор матрицы (До), соответствующий собственному значению 1, ео = 1.
Достаточное условие бифуркации вынужденных колебаний системы (2.40) может быть получено из следствия 1.1 теоремы 1.2. Обозначим через /J,(X) существующее при Д близком До простое собственное значение матрицы V(X) такое, что /І(ДО) = 1. Теорема 2.5. Пусть /І (ДО) ф 0. Тогда До является точкой бифуркации вынужденных колебаний системы (2.40). Из теоремы 1.6 может быть получено и другое достаточное условие бифуркации. Пусть до - собственный вектор транспонированной матрицы V (До), соответствующий собственному значению 1 и такой, что (ео,0о) = 1 Пусть наряду с U1 выполнено условие
Устойчивость вынужденных колебаний
Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости решений в задаче о бифуркации вынужденных колебаний системы ж = A(t,\)x + a(x,t,\), xeRN, (3.15) с Т - периодической по t правой частью (см. п. 2.3.1). Пусть для системы (3.15) выполнены условия теоремы 2.7, при этом пусть нелинейность а(х, t, Л) для простоты является квадратичной по х: а{цх, , Л) = /і2а(ж, t, Л).
В этом случае в силу теоремы 1.10 система (3.15) как при Л Ао, так и при Л Ао имеет бифурцирующие решения. Рассмотрим вопрос об их устойчивости. Условия неустойчивости Обозначим через V(X) матрицу монодромии линейной системы х = A(t, \)х. Так же, как и теорема 3.7, доказывается
Теорема 3.9. Пусть в условиях теоремы 2.7 матрица V(XQ) имеет хотя бы одно собственное значение fio такое, что /ІО 1. Тогда бифурцирующие решения системы (3.15) неустойчивы при всех малых
Матрица (Ло) в силу условий теоремы 2.7 имеет простое собственное значение 1. Пусть все остальные собственные значения матрицы V(XQ) по абсолютной величине меньше единицы. Для бифурцирующих решений x(t) уравнения (3.15), существующих при Л Ло и при Л Ло и соответствующих значений Л параметра Л могут быть получены асимптотические формулы (см. теоремы 1.8 и 2.7).
Аналогом теоремы 3.8 является Теорема 3.10. Пусть все мультипликаторы линейной системы ti = A(t,X)h (3.16) по абсолютной величине меньше единицы. Тогда при малых є 0 бифурцирующие решения xe{t) системы (3.15) являются неустойчивыми. Если хотя бы один мультипликатор системы (3.16) по абсолютной величине превосходит единицу, то при малых є 0 бифурцирующие решения хє(і) системы (3.15) асимптотически устойчивы. Приведенное утверждение является следствием того, что при бифуркации вынужденных колебаний между нулевым и бифурцирующими решениями системы (3.15) с квадратичной нелинейностью а(х,Х) происходит "обмен"характером устойчивости. Частный случай
В приложениях теорема 3.10 требует вычисление матрицы монодро-мии V(X) системы (3.16), что является в общем случае непростой задачей. Для приближенного вычисления матрицы V(X) и ее собственных значений могут быть использованы методы малого параметра, усреднения и др.(см., например, [30]).
Укажем один из способов решения указанной задачи для системы вида x = A(\)x + a(x,t,\), (3.17) т.е. для системы (3.15) в случае, когда матрица A(t,X) не зависит от времени t. В этом случае матрица монодромии V(A) представима в виде V(X) = етл \ (3.18)
Матрица А (До) имеет простое нулевое собственное значение; пусть ео -соответствующий собственный вектор, а до - собственный вектор сопряженной матрицы Л (До), отвечающий нулевому собственному значению. Непосредственный подсчет (аналогичный тому, что был приведен в п.2.5.4) показывает, что верно равенство (V (\o)e0,go) = T(Af(\0)e0,go). Тогда из теоремы 1.4 получим, что собственное значение /л(Х) матрицы монодромии V(X), близкое к 1, представимо в виде (Д) = 1 + Т(А (До)е0,д0)(Х - До) + о(Д - До).
Положим о = {А (Хо)ео,до). Верна Теорема 3.11. Пусть выполнены условия теоремы 2.7 для системы (3.17). Тогда бифурцирующие решения x(t, X) системы (3.17) будут асимптотически устойчивы, если о(Х — До) 0 и неустойчивы, если о(Х — До) 0.
Пример 3.2. Рассмотрим для иллюстрации уравнение (2.56). Число о для этого уравнения было вычислено в п. 2.3.6: о = о- Пусть, например, p(t) = cos21. Б этом случае іро 0 и, следовательно, бифурцирующие решения уравнения (2.56) при А 1 будут асимптотически устойчивыми, а при А 1 неустойчивыми.
В этом параграфе рассматривается дискретная динамическая система (2.85): xk+1 = f{xk, Д), = 0,1,2..., (3.19) где f(x, А) - оператор, гладко зависящий от х Є Н и Л Є R1. Основные понятия, относящиеся к дискретным системам, приведены в п.2.5.
Рассмотрим вопрос об устойчивости бифурцирующих решений системы (3.19) в задачах о р - бифуркации в условиях теорем 2.8 и 2.9. Устойчивость неподвижных точек
Пусть для системы (3.19) выполнены условия теоремы 2.8. Так как задача о точках 1 - бифуркации сводится к задаче о бифуркации малых решений операторного уравнения (2.88): х = А(Х)х + а(х,Х), (3.20) то вопрос об устойчивости бифурцирующих точек равновесия системы (3.19) может быть решен тем же, предложенным в п. 3.1, методом. Этот метод в предположении, что нелинейность а(ж, Л) является квадратичной по х, приводит к следующим утверждениям.
Теорема 3.12. Пусть р(А(Хо)) 1. Тогда бифурцирующие решения системы (3.19) неустойчивы при всех Л близких к XQ. Положим & = (а(ео, Ао),0о). Теорема 3.13. Пусть матрица A(XQ) имеет простое собственное значение 1, а остальные его собственные значения по абсолютной величине меньше 1. Пусть о 0; тогда бифг;рцирующие решения системы (3.19) устойчивы при X Ло и неустойчивы при X XQ. Если Dice о 0, то решения устойчивы при X XQ и неустойчивы при Х XQ.
