Содержание к диссертации
Введение
1 Вспомогательные результаты и сведения о свойствах решений систем с ударами 32
1.1 Постановка задачи 32
1.2 Существование, единственность и зависимость решений от начальных данных и параметров 46
1.3 Диссипативность виброударной системы и устойчивость ее периодических решений в целом 47
1.4 Структурная устойчивость 57
1.5 Системы с разрывными правыми частями на клеточных комплексах и их алгебраические инварианты 67
2 Негладкость инвариантных многообразий, как причина появления хаотических инвариантных множеств 81
2.1 Бифуркация скольжения 81
2.2 Другие возможности наличия гомоклинической точки 110
2.3 Скольжение в натурных и численных экспериментах 121
3 Асинхронность ударов в окрестности периодического решения 126
3.1 Хаотическая динамика в окрестности стука 126
3.2 Системы, описываемые уравнением Льенара с правой частью большого периода 147
3.3 Случаи единственности периодического решения 177
3.4 Асинхронность, как причина сложной динамики в системах с "мягким" ударом 186
3.5 Численные эксперименты 196
4 Негиперболический хаос в дискретных динамических системах 198
4.1 Негиперболическое скольжение 202
4.2 Пример 216
4.3 Негиперболические гомоклинические точки диффеоморфизмов 220
4.4 Нетрансверсальные гомоклинические точки 229
4.5 Доказательство леммы 4.3.1 237
Заключение
- Диссипативность виброударной системы и устойчивость ее периодических решений в целом
- Системы с разрывными правыми частями на клеточных комплексах и их алгебраические инварианты
- Скольжение в натурных и численных экспериментах
- Негиперболические гомоклинические точки диффеоморфизмов
Введение к работе
Актуальность выбора темы диссертации. Инвариантные множества кусочно-гладких динамических систем, устойчивость соответствующих решений (движений) и механизмы возникновения хаотических колебаний в таких системах относятся к разделам теории дифференциальных уравнений, имеющим непосредственное практическое применение. Тем не менее, круг методов, разработанных для исследования таких задач, на настоящий момент, весьма ограничен. Виброударными системами (ВУС) называют механические системы, совершающие колебательные движения, в процессе которых их отдельные звенья, между которыми имеется зазор, испытывают соударения. Такие системы рассматриваются в задачах расчетов часовых механизмов, нелинейных электрических цепей, передаточных механизмов, демпферов ударного действия, машин для погружения и выдергивания строительных конструкций, разрушения и обработки горных пород, разработки полезных ископаемых и мерзлых грунтов, вибромолотов, шейкеров, роторов с зазорами в подшипниках, расчетов слеминга при качке корабля, взаимодействия колес скоростных поездов с рельсами, колебаний в неоднородной среде, вибродиагностики, позволяющей определить степень износа изделия и т.п. Явление удара часто связано с появлением в динамических системах хаотических колебаний с широким частотным спектром.
В инженерных задачах появление хаоса, как правило, считается неприятным явлением, так как приводит к непредсказуемому поведению решений. Однако, возможно создание таких технических устройств, в которых целенаправленное генерирование хаотических колебаний приведет к улучшению их работы.
Несмотря на потребность прикладной механики и техники в развитии методов исследования инвариантных множеств сильно нелинейных динамических систем, устойчивости их решений и механизмов возникновения хаотических колебаний, а также в исследованиях по анализу конкретных виброударных систем, работы в этих направлениях на настоящий момент еще находятся в начальной стадии, в связи с чем тема диссертации представляется актуальной.
Актуальность разработки теоретических подходов. Особенностью большинства математических моделей ВУС является наличие того или иного условия импульсного типа, затрудняющего применение численных методов. Даже для простейших систем, описываемых в промежутках между ударами линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, при построении приближенного решения могут возникнуть проблемы, связанные с тем, что для определения моментов времени, соответствующих ударам,- приходится решать трансцендентные уравнения. В ряде виброударных систем возникают эффекты, нехарактерные для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, такие, как например, негладкость или даже разрывность интегральных многообразий, соответствующих точкам покоя. Эти явления не позволяют с формальной точки зрения применить основные результаты теории динамических систем, в частности, обосновать возможность применения численных методов и интерпретировать их результаты. Поэтому представляется целесообразным разработать методы, позволяющие выяснить структуру неблуждающих множеств динамических систем, задаваемых негладкими и разрывными отображениями. Также актуальна проблема построения математических моделей систем с ударами, адекватных экспериментальным данным.
История вопросов, затронутых в диссертации. Систематическое изучение виброударных систем началось еще в работах Ньютона и Гука. Ими были предложены простые и удобные в использовании математические модели удара, основанные на законе сохранения импульса и законе сохранения энергии. Эти модели, несмотря на свою простоту, часто дают достаточно точное описание поведения движений ВУС. Более точными являются модель Герца, а также модель, в которой ударное взаимодействие рассматривается как добавление в правую часть обобщенных функций. В дальнейшем, мы будем называть виброударной системой не только механическую систему с соответствующими свойствами, но и ее математическую модель.
К настоящему времени изучены такие свойства решений систем с ударами, как существование, единственность и непрерывность решений по начальным данным и параметрам. Исследовались бифуркации, характерные для такого рода систем. Особый интерес
вызывает проблема наличия хаотических инвариантных множеств у систем с ударами.
Одной из первых теоретических работ по в этой области была статья Холмса (1982), в которой показывалось наличие хаотических инвариантных множеств в системе, описывающей колебания мяча, подскакивающего на гармонически осциллирующей поверхности. Описаны бифуркации, приводящие к возникновению так называемых странных аттракторов. В качестве одной из причин возникновения хаотических колебаний указывалось наличие периодических колебаний, имеющих в некоторый момент времени удар с малым значением компоненты скорости, нормальной по отношению к ограничителю, при условии, что в момент удара сила действует в сторону от ограничителя. Это явление получило название grazing- скольжение (Нордмарк, 1991). Еще одной важной причиной появления странных аттракторов является наличие периодических решений с большим, в пределе бесконечным, числом ударов за период. Это явление получило название стука или бесконечно-ударного режима (в англоязычной литературе - chatter или rattle).
Важным частным случаем ВУС являются биллиарды, то есть системы соответствующие равномерному и прямолинейному движению в промежутках между ударами. В отличие от ВУС общего вида, для биллиардов существует большое количество результатов, описывающих хаотическую динамику систем. В этой связи следует упомянуть работы Синая, Бунимовича, Долгопята и ряда других авторов, связанные с исследованием метрических свойств биллиардов и так называемых кусочно-растягивающих отображений (эргодичность, существование СБР-меры, оценки энтропии и т.п.)
И все же, несмотря на обилие работ по изучаемой теме, оставались открытыми следующие принципиально важные в теоретическом и прикладном отношении вопросы.
-
Существует ли аналитический критерий наличия у ВУС общего вида хаотических колебаний?
-
Применимы ли классические методы хаотической динамики к исследованию ВУС общего вида?
Цели работы. Целями диссертационной работы являются разработка методов исследования инвариантных множеств и бифуркаций сильно нелинейных динамических систем, их апробация на
примере систем с ударами, а также анализ основных свойств инвариантных множеств виброударных систем и механизмов возникновения в таких системах хаотических колебаний. Для достижения данной цели решены следующие задачи.
-
Доказан ряд теорем, предоставляющих достаточные условия наличия хаотического инвариантного множества в виброударных системах общего вида. Изучены несколько неизвестных ранее механизмов появления гомоклинических точек и инвариантных множеств, описываемых "символической динамикой".
-
Изучены основные математические модели виброударных систем и описаны такие их свойства, как диссипативность, конвер-гентность, наличие предельных циклов и т.п.
-
Проведено описание бифуркаций, характерных для ВУС. Показано, каким образом множества неблуждающих точек диффеоморфизма сдвига на период меняются при этих бифуркациях.
-
Исследована локальная структура устойчивых и неустойчивых многообразий ВУС в окрестности периодических решений, в частности, показано, при каких условиях они не являются гладкими.
-
Описаны две причины неустойчивости решений ВУС - обгон и скольжение, первая из которых связана с наличием большого количества ударов за период, а вторая — с наличием удара с малой скоростью. Приведены оценки показателей Ляпунова периодических решений ВУС.
-
Показано, что гиперболические инвариантные множества виброударных систем, так же, как и гиперболические множества гладких динамических систем, структурно устойчивы.
-
Получены коэффициентные условия хаотического поведения решений кусочно-линейной системы, описываемой двумя уравнениями второго порядка.
-
На примере ВУС описан неизвестный ранее механизм появления хаоса в окрестности негиперболической точки покоя.
Новизна и ценность результатов диссертации. Для ВУС общего вида впервые получены аналитически обоснованные достаточные условия существования хаотического инвариантного множества. Гипотезы, выдвинутые ранее на основе результатов численных и натурных экспериментов были обобщены и получили теоретическое подтверждение. Так, например, впервые теоретически
доказано (теоремы 2 и 3), что в окрестности бифуркации скольжения могут возникать "странные аттракторы". В ряде случаев даже удалось получить коэффициентные критерии наличия хаотического инвариантного множества. Так, например, теорема 5 предоставляет условия наличия хаоса в системах с ударами, не требующие априорной информации о наличии периодического решения ВУС с определенными свойствами. Предложены принципиально новые методы оценки показателей Ляпунова двумерных систем. Создан принципиально новый метод исследования динамики в окрестности негиперболической точки покоя; для этого случая предложена принципиально новая модель хаотической динамики. Все основные результаты диссертации снабжены примерами конкретных систем, в которых наблюдаются описываемые явления.
Объем и структура диссертации. Работа содержит 293 страницы машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 412 наименований. Каждая из глав делится на несколько разделов.
Диссипативность виброударной системы и устойчивость ее периодических решений в целом
Демпферы ударного действия просты по конструкции и надежны в работе, особенно для гашения высокочастотных колебаний. По этим причинам их широко применяют в механизмах, приборах и машинах и изучают в традиционных вузовских общетехнических дисциплинах [94]. Как динамические системы с ударами полезно рассматривать также вибрирующие устройства и инструменты для металлообработки, бурения, разрушения и обработки горных пород, разработки полезных ископаемых и мерзлых грунтов, корабли, находящиеся в условиях качки и ударов днища (однокорпусные суда) или соединительного моста (катамараны) о волны и т.п.
Из сказанного выше следует, что в инженерных задачах появление хаотических инвариантных множеств, как правило, считается неприятным явлением, так как приводит к непредсказуемому поведению решений. Однако можно предположить, что возможно создание таких технических устройств, в которых целенаправленное генерирование хаотических колебаний приведет к улучшению их работы. В частности, из работ Ю. С. Осипова [75] и К. В. Фролова [98] следует, что рациональная хаотизация колебаний режущих инструментов на металлообрабатывающих станках приводит к повышению точности изготовления деталей и чистоты их поверхности. Простыми конструктивными средствами можно добиться подобной хаотизации на основе использования эффекта соударения инструмента (например, токарного резца) или узла станка с некоторым упором.
Процессы и явления, эквивалентные виброударным в части математического описания, наблюдаются также в электрических и физических приборах и устройствах, относящихся к нелинейным электрическим цепям, импульсной технике и микроскопии [183]—[185].
Несмотря на потребность прикладной механики и техники в развитии методов исследования инвариантных множеств существенно нелинейных динамических систем, устойчивости их решений (движений) и механизмов возникновения в них хаотических колебаний, а также в исследованиях по анализу конкретных виброударных систем, работы в этих направлениях на настоящий момент еще находятся в начальной стадии.
Актуальность разработки теоретических подходов. Одной из особенностей большинства математических моделей ВУС является наличие того или иного условия импульсного типа, затрудняющего применение численных методов. Даже для простейших систем, описываемых в промежутках между ударами линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, при построении приближенного решения могут возникнуть проблемы, связанные с тем, что для определения моментов времени, соответствующих ударам, приходится решать трансцендентные уравнения. В ряде виброударных систем возникают эффекты, нехарактерные для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, такие, как например, негладкость или даже разрывность интегральных многообразий, соответствующих точкам покоя. Эти явления не позволяют с формальной точки зрения применить основные результаты теории динамических систем, в частности, обосновать возможность применения численных методов и интерпретировать их результаты. До последнего времени не было известно критериев, позволяющих выявить наличие хаотического инвариантного множества у виброударной системы общего вида. Поэтому представляется целесообразным разработать методы, позволяющие выяснить структуру неблуждающих множеств динамических систем, задаваемых негладкими и разрывными отображениями.
Таким образом, достоверный анализ особенностей движений дина мических систем с ударами, их устойчивости, инвариантных множеств и бифуркаций приобретает все более важное значение как для практики машиностроения и приборостроения, так и для теории дифференциальных уравнений.
История вопросов, затронутых в диссертации. Краткие библиографические сведения. Систематическое изучение виброударных систем началось еще в работах Ньютона и Гука. Ими были предложены простые и удобные в использовании математические модели удара, основанные на законе сохранения импульса и (для упругого удара) законе сохранения энергии. Эти модели, несмотря на свою простоту, дают достаточно точное описание поведения движений ВУС Более точными являются модель Герца, а также модель, в рамках которой ударное взаимодействие рассматривается как добавление в правую часть обобщенных функций (см., например [78], [352]). Описание этих моделей приводится ниже. Вместе с тем, даже для простейших примеров систем с одной степенью свободы, описываемых линейным уравнением и ньютоновскими условиями удара, найти решение в аналитическом виде непросто, так как определение моментов времени, соответствующих ударам, связано с решением трансцендентных уравнений. Это обстоятельство серьезно замедляло развитие теории ВУС. Несмотря на это, к началу 80-х годов XX века были получены следующие результаты.
Изложенный в работах [11], [40] материал дает представление о методах расчета простых (одноударных и симметричных двухударных) режимов одномассных и симметричных двухмассных ВУС и правильных режимов одномерных многомассных ВУС. Были намечены точные методы анализа динамики двумерных БУС различной структуры [4], [14], [37], [38], [40], [68]. Выполнены исследования многоударных режимов [385], [386], а также бесконечно-ударных [72], [95], которые называют скользящими или режимами с квазипластическим ударом.
Системы с разрывными правыми частями на клеточных комплексах и их алгебраические инварианты
Неупругий удар, слияние решений. Покажем, что если в исходной (возможно, многомерной) системе (А), заданной уравнениями (1.1.2) и условиями удара 1.1.5, г(р) 1 то единственность решений может нарушаться. С физической точки зрения, это означает, что рассматриваемая материальная точка "прилипает" к ограничителю. Пусть fi(t,z(t), и) 0 на некотором отрезке J = [_,+].
Лемма 1.3.6. Для любого t$ Є [_, t+) найдется такое VQ 0, ч/то для каждого решения z(t) системы (А) с начальными данными a;(to) = XQ, У (to) — УОі удовлетворяющими условию XQ + у VQ, существует, возрастающая последовательность моментов ударов tk —» t Є J и z\(t) 0 для всех t є [ , T].
Доказательство. Возьмем 0 а = — тах{/(, /І)/2, І Є J]. Из вида системы (1.1.2) следует, что если компонента z\ решения z(t) достаточно мала по норме на отрезке ,/, то функция X\(t) удовлетворяет неравенству x\(t) ff(t,z(t), и)/2 —а. Следовательно, на каждом промежутке (tm, tm+i) С J между соседними ударами решения z(t) имеем 0 x\{t) —a(t — tm)2/2 + ym(t — tm). Тогда решения, соответствующие малым значениям VQ, имеют хотя бы один удар на отрезке (tm+i,t+), и моменты ударов удовлетворяют неравенствам tm+i — tm Ъут/oL. Выберем некоторое число р Є (1,1/т). Считаем VQ столь малым, что yi(tm+i - 0) pym. Тогда y(tm+\ — 0) pry(tm - 0) для всех пг, начиная с некоторого номера, который мы можем, не умаляя общности, считать равным 1. Если значение VQ выбрать настолько малым, что t — ti + Зг/і/(а(1 — pr)) t+, очевидно, что zi(t) = 0. Лемма доказана.
При нахождении инвариантного множества динамической системы часто возникает вопрос о его структурной устойчивости. Для диффеоморфизмов замкнутых гладких многообразий и систем обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что достаточным условием структурной устойчивости компактного инвариантного множества является его гиперболичность. Для систем с ударами эта теорема неприменима, поскольку в этом случае отображение сдвига разрывно. В этом разделе мы проверим, что аналог упомянутой выше теоремы о структурной устойчивости имеет место и для систем с ударами.
Однако, структурную устойчивость можно понимать не только как сохранение инвариантных множеств при малых изменениях коэффициентов системы. Как было отмечено выше, имеются различные математические модели удара. Еще один вопрос, рассматриваемый в настоящей главе, состоит в том, при каких условиях инвариантные множества виброударных систем сохраняются при переходе от одной модели удара к другой. Схожие вопросы для различных частных случаев и близких задач рассматривались в работах [24], [42], [57], [78], [119] и [238]. Хотя результаты этого раздела носят в значительной мере технический характер, они могут быть использованы для проверки эффективности численных методов исследования систем с ударами, в частности биллиардов (см. [42], [78], [96], [150], а также ссылки в указанных работах).
Рассмотрим систему (1.1.2) без параметра /І, предполагая, что ее правая часть, непрерывная функция / : Ш2п+1 — Шп периодична по t с периодом Т, С1 гладкая по своим аргументам кроме, возможно, первого.
Фиксируем некоторое значение г Є (0,1]. Пусть Ах - область в Шп, границей которой является С2 - гладкое многообразие М размерности п — 1. Определим на многообразии М единичное нормальное векторное поле Р(Х), направленное внутрь области Ах. Положим Л = Ах х Rn. Мы будем рассматривать два случая: когда М является гладким замкнутым многообразием, а область Ах ограниченна, либо случай Ах = {х Є Шп : Х\ 0} и, соответственно, М = {{0,х2,...,хп)еШп}. Предположим, что система (1.1.2) задана при х є Л, у Є Шп, а при х Є М имеет место удар, задаваемый условиями 1.1.2. Воспользуемся при этом обозначениями, используемыми при формулировке этого условия.
Постановка задачи. Условимся обозначать систему, заданную (1.1.2) и указанными выше условиями удара, символом (D). Отметим, что любая задача Коши для системы (D) с любыми начальными данными x(to) = XQ, у (to) = і/о, о Є К, (хо,уо) Є Л \ ТМ имеет решение. Это решение локально единственно, если XTQ2 + yTQ2 ф 0, так как найдется такое число є 0, что на промежутках (to — ,о) и ( о, о + ) решение рассматриваемой задачи Коши не имеет ударов и, следовательно, совпадает с некоторыми решениями системы (1.1.2).
Введем в рассмотрение функцию X-(s)- такую, что X-(s) — 0 если s 0 или s — 2ео; X-(s) = 1, если 5 е (—ео, 0), и С - гладкую при s 0. Для фиксированного значения г Є (0,1] положим а = — lnr/V. Функцию f(t,x,y) доопределим на множестве R2n+1 \ Л так, чтобы полученная функция оставалась кусочно-гладкой. Пусть \х 0 - большой
Скольжение в натурных и численных экспериментах
Для устойчивого или вполне неустойчивого решения выполнение соотношения (2.1.12) означает, что а\ч 0.
Таким образом, имеется четыре возможных сценария поведения решений в окрестности бифуркации скольжения.
1. Гладкое семейство периодических решений ip(t, pi) существует при /л Є (/і_,/і+) 3 0. Число ударов возрастает на 1 при переходе параметра через бифуркационное значение. Этот случай называется непрерывной бифуркацией скольжения и возникает, когда выполнены неравенства (2.1.6) и (2.1.10). Для систем с одной степенью свободы достаточно предположить, что Ь і 0 и ауі det(A-E) 0.
2. Гладкое семейство периодических решений ip(t, /і) существует при каждом /І Є [0, /І+) (и имеет ровно один удар с малой скоростью на периоде). Эти решения исчезают при прохождении параметра /І через критическое значение. Этот случай, а также иногда и следующий называются разрывной бифуркацией скольжения. Эта бифуркация имеет место при выполнении неравенства (2.1.6) и строгой инверсии (2.1.10) (знак " "меняется на " "). Для систем с одной степенью свободы эти условия эквивалентны неравенствам Ь2 0, а12 det(A - Е) 0.
3. Гладкое семейство периодических решений ip(t, /і) существует при /І Є (д_; 0]. Они не имеют ударов с малой скоростью при /І, отличном от нуля, но значения их первых компонент приближаются к нулю при \х —» 0—. Эти решения также исчезают при прохождении значения /І через ноль. Достаточными условиями для существования такого семейства решений являются (2.1.10) и строгая инвер сия (2.1.6). Для систем с одной степенью эти условия принимают вид Ь2 0, йі2 det(A - Е) 0.
4. Не существует гладкого семейства периодических решений, дающего в пределе удар с нулевой скоростью ни при положительных, ни при отрицательных значениях ц. Достаточными условиями этого сценария являются строгие инверсии неравенств (2.1.6) и (2.1.10) (Ьг 0 и а\2 det(/l — Е) 0) для систем с одной степенью свободы).
Подход к изучаемой проблеме с точки зрения теории бифуркаций был представлен в работе А. П. Иванова [246]. Приведена классификация бифуркаций скольжения для систем с одной степенью свободы.
1. Если а12 0 (zi2 0 в обозначениях цитируемой статьи) то при некотором положительном значении параметра /І один из мультипликаторов рассматриваемого устойчивого периодического решения обращается в единицу при совпадении значения этого решения со значением некоторого неустойчивого решения. При этом устойчивое периодическое решение исчезает, то есть имеет место бифуркация типа седло-узел.
2. Если 2і2 0, то при некотором положительном значении параметра /І один из мультипликаторов заданной устойчивой орбиты обращается в —1 и имеет место бифуркация удвоения периода. При таком сценарии возможно сосуществование нескольких периодических решений, а также наличие странных аттракторов, возникающих в результате каскада бифуркаций удвоения, что и подтверждается дальнейшими результатами этой главы.
Крис Бадд [149] предложил следующую классификацию наблюдаемых типов поведения семейств периодических решений в окрестности бифуркации скольжения. Рассматривалась система, гладко зависящая от параметра d таким образом, что соответствующая производная не обращается в ноль в точке бифуркации. Этот параметр может соответствовать первой компоненте скорости в момент перед ударом. Хотя в указанной статье рассматриваются исключительно системы с одной степенью свободы, схожие явления присутствуют и в системах более высокой размерности.
Большой коэффициент восстановления. Наблюдается появление хаотических инвариантных множеств, соответствующих отрезкам значений параметров, разделенных окнами периодичности (перемежаемость). Кроме того, имеется большое количество неустойчивых периодических решений, не относящихся к упомянутым хаотическим множествам. Также имеется непустой интервал (0, d!) значений параметра, не содержащий периодических окон. Хаотическое инвариантное множество содержится в аттракторе диаметра порядка yd. В работе [150] показывается, что количество неустойчивых периодических решений, не относящихся к этому аттрактору, и соответствующие им показатели Ляпунова имеют порядок In d.
(ii) "Средние" значения коэффициента восстановления. Существует бесконечная последовательность окон периодичности, чередующаяся с отрезками значений параметра, соответствующих хаосу (уже без окон периодичности). Эти окна отличаются друг от друга увеличением периода соответствующего решения на единицу. Длина этих окон убывает геометрически при d —» 0. Это соответствует появлению так называемого стука (см. главу 3 диссертации) в результате каскада бифуркаций скольжения.
Негиперболические гомоклинические точки диффеоморфизмов
Как и в предыдущей главе, мы рассматриваем движение точечной массы под действием нелинейной восстанавливающей силы. В этой главе мы будем считать, что рассматриваемая точка движется по прямой, то есть система имеет одну степень свободы. Будет изучаться так называемая бифуркация стука [397]. При изменении значения параметра системы появляется периодическое решение, имеющее бесконечно много ударов на периоде. При этом для начальных данных из окрестности начала координат может нарушаться свойство единственности решений. Нами будет показано, что при приближении значений параметра к бифуркационному будут возникать отрезки значений параметра, соответствующих наличию у отображения за период, отвечающего виброударной системе, хаотического инвариантного множества. 1. Предполагается, что точечная масса имеет соударения с неподвижным ограничителем. Движение между ударами описывается системой с параметром х = у, У = f(t,x,y,fj). (3.1.1)
Считаем, что правая часть / : М3 — К. ограничена, С2 гладка по своим аргументам на множестве Ш. х Л х /, где Л = {(х,у) : х 0}, / = [0, /І ], /І 0. Предполагаем, что найдется такое Т — Т(ц) 0, непрерывно зависящее от параметра /І, ЧТО f{t + T,x,y,ii) = f{t,x,y,(j,).
Положим /О(І,/І) = /(,0,0,/І). Предполагаем, что найдется такое семейство (/І), определенное для каждого /і Є / и С3 гладко зависящее от аргумента /І, что выполнены условия fo{t(n), /І) = 0, /О((/І), /7,) 0. Везде далее будем считать для удобства, что t{jx) = 0. Этого можно добиться заменой переменных s = t — ї(ц). Считаем, что число корней функции на периоде [0,T(JJ)) конечно и ограничено величиной. не зависящей от /І, причем все эти корни простые. Пусть Т\ = Зі (/І) -наибольший корень функции /(-,/І) на отрезке (0,Т). Обозначим df р(і,/і) = - (,0,0,м). Предположим, что р(0,0)=ро 0. (3.1.2) Система (3.1.1) определена для х 0, а условие удара 1.1.6 в данном случае выглядит следующим образом. A. Пусть z(t) = co\(x(t),y(t)) - решение рассматриваемой системы. Если x(t0) = 0, то y(t0 + 0) = -ry(t0 - 0), где г = г(ц) є (0,1]. B. Если z{to — 0) = 0, /о( о-/ ) 0и tj таково, что fo(t,fi) 0 для любого t Є I = [to, ti], то z()/ = 0. Важным случаем рассматриваемой виброударной системы является следующий: функция / в правой части системы (3.1.1) не зависит от параметра ц, а коэффициент г в условии А равен го + /л для некоторого г0 Є (0,1).
Условимся обозначать систему (3.1.1) с данными условиями удара символом (А). Пусть имеется семейство Т - периодических решений этой системы cp(t,(i) — co\(Lpx(t, /г), (py{t. /л)), непрерывно зависящее от своих аргументов в окрестности любой точки (to, цо), такой, что Px{to Но) Ф 0. Будем предполагать, что найдутся такие /Л_,/І+ Є 1, /Л- ц+, что
Обозначим через z(t,t0,ZQ,fj) решение задачи Коши для системы (А) с начальными данными z(to + 0) = ZQ (при условии, что такое решение однозначно определено в момент t). Для фиксированного решения z(t) = col(./r(t), y(t)) рассматриваемой системы будем называть моментом удара или просто ударом любой корень функции x(t).
Обозначим через 7 С [/І_,/І+] множество значений ц, при которых решение ip(t, /І) не обращается в нуль при t Є [0, Т]. Это множество открыто в топологии отрезка [//_, ц+\. Предположим, что найдутся такие положительные /іо и сг, что выполнено следующее условие:
Не умаляя общности, считаем /ІО = 0. Обозначим г о = г(0). При каждом /І Є 1Z количество ударов решения ip(t, /І) конечно и найдется такое #о 0, что для каждого в Є (0, 9Q) отображение сдвига Sfi,e(zo) — Z{—Q — e,ZQ,ii) непрерывно дифференцируемо по переменной ZQ в окрестности точки z fi — p(—e,fi). Предположим, что Vi6(0,Ti], p(t,0)#0. (3.1.5) Отсюда следует, что решение p(t,Q) обращается в ноль при t = 0. 2. Система (3.1.1) в общем случае нелинейна. Для нее возможно существование хаотических инвариантных множеств, не связанных с ударом, то есть соответствующих решениям, первые компоненты которых положительны в любой момент времени. Тем не менее, условия удара могут служить причиной возникновения хаоса даже в случае, когда сама по себе система (3.1.1) имеет устойчивое в целом периодическое решение.
Ясно, что для каждых to, х0 и уо, удовлетворяющих условию (к,Щ,Уо) ЄЖ х Л, решение z(t) — col(x(t),y(t)) системы (А) с начальными данными x(to) = XQ, у (to) = уо определено и продолжимо единственным образом на луч [о,+оо). Что касается существования, единственности и продолжимости решения в сторону убывания времени, эти свойства имеют место до тех пор, пока решение z(t) не обратится в нуль.
Фиксируем такие числа в, а 0, такое компактное множество Do, являющееся замыканием окрестности точки z g, что независимо от выбора ZQ Є DQ, Г Є (0, а) решение z(t,9,ZQ,n) имело бы фиксированное число N моментов удара на отрезке [О, Т — в], причем вторые компоненты этих решений ни в одной из точек удара в ноль не обращаются.
Фиксируем значение параметра \і Є (0, а). Рассмотрим семейство S e отображений сдвига для системы (А), определяемое формулой Sfi,e(zo) — Z(T — 0, — 0,zo,fi). Все отображения S g, соответствующие малым неотрицательным значениям в и фиксированному \х Є 1Z, сопряжены между собой. Точками разрыва будут прообразы оси Оу. Обозначим точки, в окрестности которых отображение 5о,м непрерывно, но не гладко, через Г. Этим точкам соответствуют решения, обращающиеся в нуль в некоторый момент времени t Є [0,Т).
Лемма 3.1.1. Пересечение множества Г с малой окрестностью начала координат есть график С1 - гладкой функции х = 7(ї/) = -%о/(9/о(0, /І))(1 + о(1)), у 0 (3.1.6) (см. рис. 2.1.2). Доказательство похоже на доказательство леммы 2.1.2. Те решения, которые обращаются в нуль в точках отрезка [—0,0], остаются равными нулю и при t = 0. В малой окрестности точки t = 0 представим /о( , А ) = /о(0, А ) + o(t).
Пусть z{t) = (x(t),y(t)) - такое решение системы (А), что z(t0) = 0 для некоторого to Є [0, Ті]. Если LQ достаточно мало, функция x(t) не имеет нулей на отрезке [0, to)- В противном случае существуют последовательности моментов — 0 и t\ Є (0,tg), такие, что решения () с начальными данными ( о) = Мь( о) = обращаются в нуль в момент времени tf (рис. 2.1.3).
Отметим, что для любого к из условия Xk(t) = Vk{t) = 0 следует, что Xk(t) = fo(t, р). Поэтому для любого решения моменты ударов не имеют предельных точек , таких, что /о(і ,/І) 0 и, кроме того, Xfc(tg) = /O(Q,/J.) 0. Предположим, не умаляя общности, что Xk(t) 0 на отрезке ( ,ід). Существует бесконечная последовательность моментов t\ Є (i,g), таких, что &() = 0 и Xk(t) 0 на отрезках ( 2- о) Тогда х ъ) 0- Отсюда и из вида системы (3.1.1) следует, что Xjt(i) /0(0,0) 2/(2 0), если к достаточно велико, а Ц, соответственно, достаточно мало. Найдутся такие моменты времени з [i&i, 2] что %(t$) /о(0, 0)/(2ро)- Но это противоречит тому, что ж( ) = 0, t\ — t\ — 0, а модули вторых производных X).(t), соответствующие большим значениям /с, не превосходят значений
