Введение к работе
Актуальность темы определяется важностью явлений, возникающих при динамических бифуркациях в присутствии шумов. Практически это неисследованная область нелинейной динамики. Изучение явлений, которые возникают при быстрых переходах в хаотических системах, в сущности только еще начинается, что подтверждается материалами как российских, так и международных конференций и симпозиумов.
Динамические бифуркации и влияние шумов на закономерности бифуркационных переходов изучались в работах [1], [2]. Различные аспекты шумового воздействия на нелинейные динамические системы рассматривались в работе [3]. Наибольшее внимание было уделено затягиванию времени пребывания возле неустойчивого состояния, а также явлению гистерезиса при циклическом прохождении через точку бифуркации [4].
Попытки описать явление затягивания при воздействии шумов были предприняты сравнительно недавно. В работе [2] были рассмотрены как качественные, так и некоторые количественные характеристики явления. В наиболее обстоятельном исследовании [1] были получены асимптотические (по малому параметру ц = t^/tj <<1, где ti - характерное время динамической системы, а t-2 - характерное время изменения параметров системы) выражения для времени затягивания при циклическом изменении управляющего параметра, анализ проводился преимущественно на примере логистического отображения. Было установлено, что при больших скоростях перехода время затягивания становится зависимым от уровня шумов, роль которых играли ошибки округления при численном моделировании нелинейных процессов.
Отличительная особенность динамических бифуркаций по сравнению с квазистационарньгми бифуркациями состоит в том, что конечное состояние слабее подвержено влиянию шумов. Если при квазистационарном изменении параметра шум оказывает
превалирующее действие и конечные состояния бифуркационной системы равновероятны, то при динамических же бифуркациях выбор конечного состояния происходит преимущественно под действием динамических (а не шумовых) факторов. В отсутствие шумов конечное состояние бифуркационной системы с переменным управляющим параметром становится полностью предсказуемым. Это дает основание говорить о нарушении вероятностной симметрии при динамических бифуркациях. Явление нарушения вероятностной симметрии и составляет предмет изучения в данной работе. Указанная особенность динамических бифуркаций представляется довольно естественной, однако лишь в недавней работе [5] она была подвергнута детальному анализу. В данной диссертации сделан новый шаг в этом анализе. В работе проведено разграничение динамических и шумовых (стохастических) режимов в бифуркационной системе, а также установлены зоны притяжения конечных состояний на оси начальных условий. Исследование структуры зон притяжения привело к неожиданным результатам. Само начальное состояние, а точнее его удаление от точки бифуркации, определяет "выбор" одного из двух альтернативных состояний. Таким образом, при динамических бифуркациях возникает естественный " фактор преимущества".
Таким образом, проблема, которой посвящена данная
работа, лежит на пересечении двух актуальных проблем
современного естествознания: проблемы нарушения
вероятностной симметрии и проблемы предсказуемости в нелинейных системах при наличии шумов.
Целью исследований явилось детальное изучение свойств динамических бифуркаций, в том числе:
- анализ нового явления динамического нарушения
вероятностной симметрии в бифуркационных системах;
анализ явления гистерезиса при динамических бифуркациях в условиях шумов;
- выявление роли начальных условий и шума на конечное
состояние бифуркационной системы;
- исследование корреляционных связей между шумом и
ошибкой прогноза в нелинейных хаотических системах.
Для достижения поставленных целей путем численного моделирования решались следующие задачи:
-
Установление границы между динамическим и стохастическим сценариями бифуркационного перехода путем численного анализа особенностей динамических бифуркаций, обусловленных конечной скоростью изменения управляющего параметра и наличием шумов.
-
Определение зон притяжения конечных состояний на оси начальных условий, и выяснение существования естественного "фактора преимущества", который связан с внутренними механизмами или состоянием системы.
-
Анализ явления гистерезиса при зашумленных динамических бифуркациях.
-
Установление зависимости параметров петли гистерезиса от скорости изменения управляющего параметра и от уровня шума. Определение границы возникновения и разрушения гистерезиса и его связь с предсказуемостью конечных состояний.
-
Изучение корреляционных связей между шумом и ошибкой прогноза в хаотических системах.
Научная новизна результатов полученных в диссертации заключается в следующем:
обнаружено, что динамические бифуркации сопровождаются явлением нарушения вероятностной симметрии конечных состояний, т.е. допускают предсказуемость конечных состояний;
впервые установлено, что момент исчезновения гистерезиса определяет границу между динамическим и стохастическим сценариями;
обнаружена новая важная особенность динамических бифуркаций - существование тонкой структуры зон притяжения конечных состояний, зависящей от уровня шумов и от скорости изменения управляющего параметра;
- установлена не известная ранее корреляционная связь между шумом и ошибкой прогноза в хаотических системах. Научная и практическая ценность работы:
-
Закономерности, выявленные на логистической, а также на синусной модели и полученные для неадиабатических бифуркационных переходов, могут служить прототипом бифуркационных явлений в задачах нелинейной динамики, а также в других областях физики (фазовые переходы, поляризационная бистабильность в лазерах, параметрические генераторы), химии (автокаталитические реакции), биофизики и биологии (развитие популяций, различные формы нарушения симметрии).
-
Закономерности, выявленные при периодическом изменении управляющего параметра, могут послужить основой нового метода измерения внутреннего шума в бифуркационных системах.
-
Эффект запаздывающих корреляций может быть использован для измерения ряда характеристик хаотических систем: внутреннего шума, ляпуновского показателя, времени предсказуемости, определение которых обычно сопряжено с большими трудностями.
На защиту выносятся следующие положения:
-
Явление нарушения вероятностной симметрии конечных состояний при быстрых бифуркационных переходах.
-
Определение границы между динамическим (предсказуемым) и стохастическим (вероятностным) сценариями бифуркационного перехода.
-
Выявление и определение структуры зон притяжения конечных состояний при динамических бифуркациях в присутствии шумов.
-
Метод измерения внутренних шумов в бифуркационных системах по размеру петли гистерезиса.
-
Выявление запаздывания корреляций между шумом и ошибкой прогноза.
Личный вклад автора. Результаты, изложенные в диссертации, получены автором самостоятельно или на равных
правах с соавторами. Автору принадлежат разработки моделей для численных экспериментов, методик обработки данных, создание программного обеспечения для исследований динамических бифуркаций, анализ полученных результатов и построение теоретических моделей для их объяснения.
Апробация. Результаты, включенные в диссертацию, докладывались и обсуждались на семинарах в ИКИ РАН, МПГУ, ИРЭ РАН, на третьей технической конференции по нелинейной динамике и полному спектральному анализу [Third Technical Conf. on Nonlinear Dynamics (CHAOS) and Full Spectrum Processing, Mystic, July 10-14, Connecticut, USA (1995)], на международной конференции по применению компьютерной алгебры в математическом образовании ( International Derive and TI-92 Conference, Computeralgebra in Matheducation,Bonn,1996).
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 6 печатных работах, которые приводятся в списке цитируемой литературы.
Структура и объем диссертации
