Введение к работе
Актуальность задачи
В численных и натурных экспериментах для огромного количества самых разнообразных динамических систем, начиная с простейших моделей с дискретным временем (отображений) и заканчивая распределенными системами, наблюдается переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода С появлением работ Фейгенбаума1 стало ясно, что проблема описания перехода к хаосу имеет не только качественный, но и количественный аспект. Системы, описываемые различными математическими моделями (дискретные отображения, дифференциальные уравнения, уравнения с запаздыванием и т.д.), различной физической природы (радиофизические, оптические, биологические и др.), если они относятся к одному определенному классу универсальности, вблизи порога хаоса демонстрируют свойства скейлинга, характеризующиеся одинаковыми универсальными скейлинговыми константами. Теоретическим инструментом для анализа таких свойств является метод ренормализа-ционной группы (РГ), впервые привнесенный в нелинейную динамику М. Фейгенбаумом в контексте перехода к хаосу через удвоения периода и затем развитый многими другими авторами в приложении к разным классам универсальности2.
Чтобы распространить концепцию универсальности и скейлинга на реальные системы или наблюдать скейлинговые закономерности в физическом эксперименте, необходимо учитывать влияние неизбежно присутствующего шума. Проблема изучения воздействия шумов на различные системы традиционно является одной из центральных в радиофизике, не только не утратившей своей актуальности, но привлекающей все большее внимание в связи с обнаружением новых явлений в системах с детерминированным хаосом и шумом3. Таким образом, логичной и своевременной является постановка вопроса, касающегося влияния шума на критическую динамику, связанную с различными классами универсальности.
В этом контексте решение проблемы требует соответствующей разработки РГ анализа. Для типа критичности, изученного Фейгенбаумом, такой подход был развит в работах Кратчфилда с соавторами и Шраймана с соавторами4. Как показано этими авторами, чтобы наблюдать каждый следующий уровень удвоения периода, необходимо уменьшать интенсивность шума на фактор /if = 6.61903... - универсальную константу, ответственную за скей-
' Feigenbaum M.J. // J. StaL Phys., 1978, vol.19, №1, p.25-52, Feigenbaum MJ. II J. Slat. Phys., 1979, vol.21, №6,
p.669-706; Фейгенбаум M II УФН, 1983, т.141, №2, стр 343-374.
* Chang S.J., Wortis M., Wright J.A. II Phys. Rev. A, 1981, vol.25, №5, p.2669-2684, Ни В , Rudnik J. II Phys. Rev.
Lett., 1982, vol.48, №24, p 1645-1648, Shenker S J // Physica D, 1982, vol.5, p 405-411; Feigenbaum M.J., Kadanoff
L.P., Shenker S J. II PhyslcaD, 1982, vol.5,p.370; Rand D, Osthmd S., SerhnaJ, SiggiaED.///'A)« Rev. Leu, 1982,
vol.49, №2, p.132-135.
3 Pflcovsky A, Rosenbhm) M, Kurths J. Synchronization Cambridge, 2001, 411 p; Аншцеихо B.C, Астахов B.B.,
Вадивасова T.E, Нейман А.Б, Стрелкова Г И., Шиманский-Гайср Л Нелинейные эффекты в хаотических и
стохастических системах. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003,544 стр
' Crutchfield J.P, Nauenberg М„ Rudnik J. II Phys Rev Lett, 1981, vol 46, №14, p 933-935; Shraunan В., Wayne
C.E., Martin P.C II Phys. Rev. Lett, 1981, vol.46, №14, р.935|Й39_
f ' KA
, - »Pr
линговые закономерности, связанные с влиянием шума в фейгенбаумовском классе универсальности Были предприняты аналогичные исследования и получены константы скейлинга для перемежаемости5 и квазипериодической динамики6 в диссипативных системах, а также для удвоений периода7 и разрушения КАМ-тора* в гамильтоновых системах Стоит отметить, что константа Кратчфилда и Шраймана fif, по-видимому, имеет более фундаментальное значение, поскольку появляется в задачах о квантовом хаосе как константа перенормировки постоянной Планка при изучении свойств квантовой системы, демонстрирующей переход в классическом пределе к системе с удвоениями периода9
В контексте многопараметрического анализа перехода к хаосу, критичность определенного типа может иметь место на некоторых поверхностях, кривых или точках в пространстве параметров. РГ анализ - неоценимый инструмент для поиска, изучения и классификации критических ситуаций. Их коразмерность определяется числом соответствующих неустойчивых собственных векторов линеаризованного уравнения РГ В последнее время было обнаружено множество типов критического поведения, связанных с удвоениями периода, каждый из которых допускает описание в духе теории Фейгенбаума10 Если сценарий Фейген-баума является типичным однопараметрическим феноменом, то эти новые типы поведения наблюдаются при вариации двух и более параметров Часть из них встречается в одномерных отображениях, а некоторые характерны лишь для многомерных систем Таким образом, возникает проблема исследования воздействия шума на системы, демонстрирующие эти многопараметрические варианты перехода к хаосу.
Объектами исследования будут служить одномерные отображения и системы связанных отображений. К настоящему времени отображения" стали популярными и эффектными моделями для исследования различных радиофизических систем и систем другой природы, таких как, например, нелинейный колебательный контур12; модель Улама, предложенная для объяснения механизма стохастического ускорения космических частиц Ферми13; кольцевой оптический резонатор со средой с фазовой нелинейностью, возбуждаемый лазером14; колеба-
5 Hirsch J.E, Huberman В A, Scalapino D J // Phys Rev A, 1981, vol.25, p 519; Hirsch J E, Nauenberg M., Scalap-
inoD.J UPhys. Lett. A, 1982, vol.87, p.391; Eckmami JP, Thomas L, Wittwer P. IIJ Phys A, 1981, vol 14, p.182-
190
6 Hamm A, Graham R. II Phys. Rev. A, 1992, vol 46, №10, p 6323-6333.
7 Gy6rgyi G., Tishby N. II Phys Rev Lett, 1987, vol 58, №6, p 527-530
* Gyargyi G., Tishby N. II Phys. Rev. Lett., 1989, vol 62, №4, p.353-356
' Graham R II Phys Rev Lett, 1989, vol 62, №15, p 1806, Grempel D R , Fishman S , Prange RE// Phys Rev Lett,
1984, vol.53, №13, pp. 1212-1215.
10 Kuznetsov A P, Kuznetsov S P., Sataev I.R. II Physica D, 1997, vol 109, p 91-112.
" Неймарк Ю.И Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний М " Наука, 1972
12 Безручко Б П., Прохоров М Д, Селезнев Е.П //Письма в ЖТФ, 1994, том 20, вып. 11, стр 78-82
13 Лихтенберг А, Либерман М Регулярная и стохастическая динамика. М ' Мир, 1984
" Ikeda К, Daido Н, Akimoto О IIPhys Rev Lett, 1980, vol45,№9, р 709-712
тельные химические реакции ; динамика биологических популяпий и т.д. Благодаря методу сечений Пуанкаре отображения применяются и для анализа радиофизических систем, описываемых дифференциальными уравнениями (например, генератор с инерционной нелинейностью16 и др). Мы будем использовать одномерные отображения достаточно общего вида, допускающие разложение в ряд Тейлора. В зависимости от числа членов, оставленных в разложении, возникают одно-, двух- и трехпараметрические модели. Они оказываются достаточно универсальными, что находит свое выражение в картине колебаний, бифуркаций и перехода к хаосу, описываемых ими. Модели демонстрируют легкоузнаваемые "объекты" на плоскости параметров (точки сборки, линии складок, линии удвоений, каскады бифуркаций, известные как crossroad area "композиции" бифуркаций" и т.д). Сценарии перехода к хаосу для такой многопараметрической системы отображений могут быть классифицированы по числу существенных параметров (коразмерности), как и в теории бифуркаций, причем, первую "строку" в такой классификации занимает однопараметрический сценарий Фейгенбаума. При этом увеличение числа учтенных членов ряда Тейлора приводит к увеличению числа экстремумов отображения, возникновению точек перегиба, что является весьма существенным в классификации сценариев (типов критического поведения) на пороге хаоса10 Рассмотрены также модели в виде связанных логистических отображений и дифференциальная система связанных неавтономных нелинейных осцилляторов
Дель работы состоит в исследовании влияния шума и выявлении связанных с ним свойств универсальности и скейлинга для динамических систем, которые характеризуются наличием перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода.
Научная новизна работы
Предложен численный метод, позволяющий определять скейлинговые константы шума для отображений с удвоениями периода, принадлежащих различным классам универсальности, и допускающий обобщение на многомерный случай. Метод имеет то преимущество, что собственно уравнение РГ решать не требуется; при этом получаемая точность приемлема для компьютерных (а, тем более, натурных) иллюстраций свойств скейлинга на большом количестве уровней иерархии.
Даны иллюстрации масштабного самоподобия (скейлинга) в присутствии шума для одномерных отображений с одним, двумя и тремя управляющими параметрами. Продемонстрирован скейлинг на бифуркационных деревьях, графиках ляпуновского показателя, картах ляпуновского показателя.
" Feneffi A, Rahman NK. // Chem Phys., 1988, vol 119, p275-288, Kuramote Y II Spnnger series m Synergetics,
Springer, Berlin, 1984, vol 19, p 130
1 Аншцевко В С Сложные колебания в простых системах М Наука, 1990,312 стр
" Mira С , Carcasses 1 Illnt.J о/Bifurcation and Chaos, 1991,vol 1,№3, p641-655
Развит ренорм групповой анализ влияния шума на бикритическое поведение системы двух связанных логистических отображений с однонаправленной связью. Найдена новая универсальная постоянная Ця = 2.713695..., определяющая правило пересчета интенсивности шума во второй подсистеме
Показано, что пространство управляющих параметров связанных неидентичных логистических отображений характеризуется наличием критических точек коразмерности два (так называемый С - тип критичности), которые представляют собой концевые точки фейгенбаумовских линий Также отмечено определенное сходство между сложным устройством дискретной (два связанных неидентичных квадратичных отображения) и потоковой (два связанных неидентичных осциллятора Дуффинга под внешним гармоническим воздействием) систем.
Представлены иллюстрации скейлинга на картах ляпуновского показателя для двух связанных идентичных квадратичных отображений под воздействием шума с двумя разными типами связи- диссипативным и инерционным. Показано, что в этом случае связанных подсистем константой перенормировки интенсивности шума является универсальная постоянная Кратчфилда и Шраймана Цг, которая была предложена для одного автономного отображения4.
Достоверность научных выводов работы подтверждается согласованностью и воспроизводимостью всех данных, а также хорошим совпадением результатов, полученных методом ренормализационной группы и компьютерными иллюстрациями масштабного подобия (скейлинга).
Основные положения, выносимые на зашиту 1 Результаты работы выявили количественные закономерности, связанные с воздействием шума на системы с хаотической динамикой вблизи различных типов точек перехода к хаосу через удвоения периода Системы, описываемые двух- и трехпараметри-ческими отображениями с шумом, вблизи соответствующих критических точек перехода порядок-хаос демонстрируют свойство самоподобия (скейлинга) на бифуркационных деревьях, графиках и сечениях пространства параметров в виде карт ляпуновского показателя с константами цг = 8 2439, ц? = 10 0378, цв = 11 5937, ответственными за пересчет амплитуды шума. 2. Результаты полученного в работе ренормгруппового анализа для системы двух связанных отображений с однонаправленной связью в присутствии шума показывают, что характерному для такой системы случаю бикритической динамики отвечает новая
универсальная постоянная цв - 2.713695..., определяющая правило пересчета интенсивности шума. 3. Устройство пространства управляющих параметров двух неидентичных связанных логистических отображений характеризуется наличием критических точек коразмерности два, известных как С - тип критичности. Для идентичных связанных логистических отображений с шумом пространство управляющих параметров (параметр нелинейности, константа связи, амплитуда шума) демонстрирует свойство скейлинга. Научно-практическая значимость работы. Рекомендации по использованию научных выводов
Результаты работы, связанные с возможностью вычисления констант шума с помощью предложенного численного метода, открывают перспективы по исследованию влияния флуктуации и демонстрации скейлинговых свойств для типов критической динамики, как связанных с переходом к хаосу через последовательность удвоений периода, так и для других известных сценариев.
Результаты ренормгруппового анализа бикритичности дают возможность количественного описания влияния шума на связанные системы различной природы с однонаправленной связью. Можно ожидать, что для оставшихся за рамками настоящей работы типов критичности на пороге перехода порядок-хаос также возможно ренормгрупповое описание, учитывающее влияние шума.
Установленное свойство скейлинга в системах с шумом и найденные константы шума позволяют оценивать число удвоений, для которых традиционная картина перехода к хаосу окажется разрушенной. В тоже время можно рекомендовать проведение специальных экспериментов, нацеленных на проверку обнаруженных закономерностей, которые требуют, однако, использование специальных генераторов шума с регулируемым его уровнем.
Результаты исследования системы неидентичных связанных отображений и связанных нелинейных осцилляторов выявили тонкую картину бифуркаций в области сосуществования двух разных сценариев перехода к хаосу - через каскад бифуркаций удвоения периода и через разрушение квазипериодического режима. Обнаружено, что такой переход в связанных системах может ассоциироваться с типом критичности, известным, как С - тип. В силу универсальности, присущей критической динамике, следует ожидать, что в системах различной природы с подобным типом связи может наблюдаться аналогичная картина бифуркаций, включая соответствующую тонкую картину на глубоких уровнях иерархии в непосредственной окрестности критической точки.
Результаты работы использованы в учебном процессе на факультете нелинейных процессов Саратовского госуниверситета.
Апробация работы и публикации Результаты работы были представлены на VI международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоно-сов-99" (Россия, Москва, 1999), международной школе для молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике (Россия, Саратов, 1999), VII Всероссийской школе -семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (Красновидово Московской области, 2000), международной межвузовской конференции "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ" (Россия, Саратов, 2001), четвертом международном симпозиуме по классической и небесной механике (Россия, Великие Луки, 2001), IX международном симпозиуме "Nonlinear dynamics and complex systems" (Республика Беларусь, Минск, 2001), шестой международной школе "Хаотические автоколебания и образование структур" (Россия, Саратов, 2001), международной конференции по синхронизации хаотических и стохастических колебаний (Приложения в физике, химии, биологии и медицине) "Synchro-2002" (Россия, Саратов, 2002), ежегодных Всероссийских научных школах - конференциях "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (Саратов, 1998, 1999, 2000, 2001, 2003), конференциях молодых ученых и аспирантов научно-образовательного центра "Нелинейная динамика и биофизика" СГУ (Саратов, 2002,2003,2004).
По теме диссертации имеется 17 публикаций (5 статей в российских и зарубежных реферируемых журналах, 7 статей в сборниках трудов научных конференций, 5 тезисов докладов).
Результаты работы получены в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (№ 96 - 15 - 9692, 97 - 02 - 16414, 00 - 02 - 17509, 03 - 02 - 16074, в том числе персонального гранта для молодых исследователей № 01 - 02 - 06388, Американского фонда гражданских исследований и развития CRDF (№ REC - 006), Эйлеровой программы (совместно с группой профессора А Пиковского, университет Потсдама, Германия), Министерства общего и профессионального образования (№ 97 - 0 - 8 3 - 8 8), Федеральной целевой программы "Интеграция" (№ 696 3, проект А0057) и фонда некоммерческих программ "Династия" при содействии Международного центра фундаментальной физики в Москве.
Личный вклад автора В совместных работах автором выполнено программирование всех задач и проведены численные эксперименты Формулировка поставленных задач, выбор моделей, а также объяснение и интерпретация полученных результатов проведено совместно с научным руководителем и соавторами. В работе [5] автору принадлежит п 5
Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, 3-х глав и заключения. Работа содержит 158 страниц текста, включая 70 рисунков, 3 таблицы, список литературы из 109 наименований на 11 страницах.
