Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Сложная динамика систем связанных необратимых отображений с удвоениями периода 17
1.1. Динамика однонаправленно связанных необратимых систем 17
1.2. Динамика взаимно связанных необратимых систем 18
1.3. Основные идеи ренормгруппового анализа критической динамики 23
1.4. Результаты точного ренормгруппового анализа критического поведения типа FQ 26
1.5. Приближенный ренормгрупповои анализ критического поведения типа FQ 30
1.6. Поиск критической точки FQ как предела последовательности PDT-точек 33
1.7. Метод приравнивания мультипликаторов 36
1.8. Иллюстрации скейлинга в критической точке типа FQ 39
1.9. Исследование устройства пространства параметров в зависимости от коэффициентов связи 43
1.10. Исследование критической динамики системы связанных логистических отображений при различных параметрах связи 54
1.11. Исследование критической динамики связанных отображений косинуса при различных параметрах связи 60
1.12. Критическая динамика цепочки однонаправленно связанных необратимых отображений 70
1.13. Выводы 81
Глава 2. Сложная динамика систем связанных обратимых отображений с удвоениями периода 83
2.1. Введение 83
2.2. "Естественный" переход к обратимым системам 83
2.3. Исследование критической динамики системы связанных отображений Эно 87
2.4. Диссипативно связанные обратимые отображения 92
2.5. Бикритическое поведение в системе диссипативно связанных отображений Эно 94
2.6. Критическая динамика системы диссипативно связанных отображений Эно 99
2.7. Иллюстрации скейлинга в критической точке FQ системы диссипативно связанных отображений Эно 102
2.8. Области квазипериодических движений на границе областей устойчивой неподвижной точки и неустойчивости по Лагранжу 113
2.9. Выводы 120
Глава 3. Критическая динамика типа FQ в моделях, описывающих радиофизические системы 121
3.1. Введение 121
3.2. Критическая динамика в системе диссипативно связанных неавтономных нелинейных осцилляторов 121
3.2.1. Неавтономный осциллятор Дуффинга как модельная система 121
3.2.2. Неавтономные осцилляторы Дуффинга с диссипативной связью 124
3.2.3. Критическая динамика типа FQ в системе диссипативно связанных неавтономных осцилляторов Дуффинга 129
3.3. Критическая динамика связанных неавтономных нелинейных колебательных контуров 142
3.3.1. Одномерное отображение, описывающее динамику нелинейного колебательного контура с внешним воздействием 142
3.3.2. Критическая динамика в системе несимметрично связанных неидентичных одномерных мультимодальных отображений 144
3.3.3. Возможность реализации синхронных режимов в случае "антисимметричной" связи 3.41Критическая динамика диссипативно связанных отображений Икеды 156
3.4.1. Автономное отображение Икеды 156
3.4.2. Диссипативно связанные отображения Икеды как система, приближенно описывающая поведение связанных неавтономных осцилляторов 159
3.4.3. Критическое поведение в системе диссипативно связанных отображений Икеды 162
3.5. Критическая динамика в системе диссипативно связанных генераторов Чуа 169
3.5.1. Колебательный контур с кусочно-линейным резистором как пример автоколебательной системы, демонстрирующей бифуркации удвоения периода 169
3.5.2. Критическое поведение коразмерности 2 в диссипативно связанных системах Чуа 174
3.5.3. Критическое поведение типа FQ как феномен коразмерности 3 в связанных системах Чуа 180
3.6. Выводы 182
Заключение 184
Список использованной литературы
- Основные идеи ренормгруппового анализа критической динамики
- Исследование критической динамики системы связанных отображений Эно
- Неавтономные осцилляторы Дуффинга с диссипативной связью
- Критическая динамика в системе диссипативно связанных генераторов Чуа
Введение к работе
Актуальность работы. Одной из особенностей нелинейных колебательных систем является возможность реализации в них нетривиального непериодического режима, называемого обыкновенно динамическим, или детерминированным хаосом [1-5]. Этот режим характеризуется неустойчивостью по Ляпунову траекторий, устойчивых по Пуассону, что приводит к возникновению чувствительной зависимости от начальных условий [1], означающей, что наличие малой ошибки в начальных условиях идентичных в остальном систем приводит через некоторое время к существенному различию в их динамике. Это говорит о принципиальной непредсказуемости поведения таких систем на достаточно больших отрезках времени несмотря на то, что система является динамической и описывается полностью детерминированными уравнениями.
При переходе от регулярного поведения к хаотическому при изменении параметров колебательной системы усложнение ее динамики обычно происходит постепенно и подчиняется определенным закономерностям, совокупность которых называется обычно сценарием перехода к хаосу. Состояние, пограничное между регулярным и хаотическим поведением, называется критическим состоянием, а динамика, которую демонстрирует находящаяся в нем система - критической динамикой. Пространство параметров в окрестности критического состояния и существующий у системы, находящейся в этом состоянии, аттрактор обладают, как правило, самоподобными, или скей-линговыми свойствами, т.е. воспроизводят свою структуру при изменении масштаба в определенное число раз. Коэффициенты самоподобия (константы скейлинга) являются уникальными для каждого типа критического поведения. Математическим аппаратом, объясняющим основные закономерности критического поведения нелинейных систем, является метод ренормализаци-онной группы [6-7], аналогичный по своей идее ранее применявшемуся в теории фазовых переходов, квантовой теории поля и др. (Заметим, что сами термины критические явления, скейлинг и т.д. заимствованы из теории фазо-
вых переходов.) Поиск новых типов критического поведения и их анализ является важной задачей теории колебаний и нелинейной динамики, поскольку развивает представления о свойствах хаоса и перехода от порядка к хаосу, а также способствует классификации нелинейных динамических систем по типам поведения.
Отметим, что критическое поведение обладает свойством универсальности. Это означает, что идентичное критическое поведение наблюдается в целом классе "однотипных" систем. При этом устройство пространства параметров системы, в областях, далеких от критической точки, может и различаться, однако вблизи критической точки система отчасти "теряет" индивидуальность и динамика различных систем становится одинаковой, определяемой свойствами данного типа критического поведения. По этой причине один и тот же тип критического поведения может наблюдаться (и действительно наблюдается) в большом числе конкретных систем радиофизики, оптики, химической кинетики и т.д.
В период становления основных принципов нелинейной динамики было выявлено три сценария перехода к хаосу: через каскад бифуркаций удвоения периода, через разрушение квазипериодических движений и через перемежаемость, причем каждый из них допускает ренормгрупповое описание.
Первым из обнаруженных и наиболее известным сценарием является переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода, с которым ассоциируется фейгенбаумовское критическое поведение [6-11]. Простейшей системой, демонстрирующий данный тип критичности, является одномерное необратимое логистическое отображение. В свое время Фейгенбаумом [9-10] при помощи ренормгруппового анализа было доказано, что каскад бифуркаций удвоения периода с такими же закономерностями и соответствующее критическое поведение наблюдаются во всех одномерных необратимых отображениях, имеющих квадратичный максимум. Позднее такое поведение было обнаружено т и в большом количестве обратимых отображений и систем, описываемых дифференциальными уравнениям (в отображениях Эно [12],
Икеды [13], системах Лоренца [14], Ресслера [15] и др.), классических моделях радиофизики (осцилляторы Дуффинга и Ван-дер-Поля-Дуффинга с внешним воздействием и др.), а также реальных физических системах (радиофизический генератор с инерционной нелинейностью [16], генератор Ки-слова-Дмитриева [17], оптический кольцевой резонатор с внешней накачкой [13], различные сверхвысокочастотные генераторы (см., например, [18-20]) и т.д.).
Другой широко распространенный сценарий перехода к хаосу — переход через разрушение квазипериодических движений - типичен для автоколебательных систем, находящихся под внешним воздействием. При этом из существующего предельного цикла (неподвижной точки в случае систем с дискретным временем) рождается тор (инвариантная кривая), динамика на котором может быть как квазипериодической, так и периодической. В пространстве параметров при этом возникает область квазипериодической динамики, внутри которой существуют области периодической динамики (называемые языками синхронизации, или языками Арнольда), структура и расположение которых подчиняются строгим закономерностям, изученным в "классическом" случае В.И. Арнольдом [21]. По мере роста амплитуды воздействия эти области увеличиваются и начинаются перекрываться, что приводит к возникновению хаотической динамики. Ситуация на пороге хаоса при этом также является критической и допускает ренормгрупповое описание, а пространство параметров вблизи точки перехода к хаосу обладает скейлинговы-ми свойствами (см. [22-27]).
В настоящее время типов критического поведения известно значительно больше, чем сценариев перехода к хаосу, причем поиск новых типов критичности успешно продолжается. Например, наряду с фейгенбаумовскими удвоениями периода существуют и нефейгенбаумовские [28-33], характеризующиеся другими константами скейлинга и др. Возможна определенная классификация типов критического поведения на пороге хаоса по числу существенных параметров, необходимых для их наблюдения, или, с теорией
бифуркацией, по величине коразмерности (см., например, [34]). В этом контексте переход к хаосу по фейгенбаумовскому сценарию, например, характеризуется одним существенным параметром и поэтому имеет коразмерность один.
Весьма интересной, однако, представляется ситуация "взаимодействия" двух различных сценариев перехода к хаосу, например, удвоений периода и разрушения квазипериодических движений. Заметим, что в очень большом числе динамических систем эти сценарии наблюдаются в различных областях пространства параметров, "не взаимодействуя" при этом друг с другом и не образуя новых типов критичности. (Например, в пространстве параметров "эталонного" для сценария разрушения квазипериодичности синус-отображения окружности внутри языков Арнольда наблюдаются фейгенбау-мовские удвоения.) Поясним, как может возникнуть более интересная ситуация. Пусть нелинейная система имеет две существенных переменных. Тогда с одной из них может ассоциироваться удвоение периода, а с другой - рождение квазипериодического режима. Варьируя параметры системы, можно прийти к ситуации сосуществования двух указанных сценариев в окрестности новой критической точки. Возможность существования такой критической точки была установлена в [35], а соответствующий тип критичности был назван FQ (от F - Feigenbaum, Q - Quasiperiodicity). По-видимому, наиболее простой системой, в которой наблюдается этот тип поведения, является система неидентичных несимметрично связанных логистических отображений [35]. Другой тип критического поведения, возникающий "на стыке" удвоений периода и касательной бифуркации, был обнаружен и исследован в [36-37].
Следует заметить, что большая часть работ, в которых исследуется динамика связанных систем, посвящена изучению синхронизации в идентичных или почти идентичных системах, как правило, с симметричной связью. Так, весьма подробно исследована синхронизация колебаний в двух идентичных системах с симметричной связью (см., например, монографии [38-40]), в ча-
стности, вопросы существования и устойчивости синхронного режима ([41-49]), при котором динамика подсистем полностью идентична, в т.ч. устройство бассейна притяжения этого режима; механизмы его разрушения [50-62] (например, потеря устойчивости в трансверсальном направлении , "изрешечивание" бассейна притяжения (так называемый риддлинг)); возможность существования в таких системах несинхронных режимов, отличающихся наличием фазового сдвига между траекториями подсистем (так называемая фазовая мультистабильность) и их эволюция при изменении параметров [63-67] и т.п. Такие исследования проведены как с помощью аналитического и численного анализа динамики модельных систем, так и в физическом эксперименте (см., например, [42]). Не менее обширна литература, посвященная анализу динамики в цепочках, решетках и более сложных структурах, состоящих из идентичных подсистем ([68-86]). В них обнаружены и подробно исследованы явления кластеризации, возникновения и распространения волн, возникновения пространственно-временного хаоса. Существует и ряд работ, посвященных анализу критической динамики идентичных связанных систем ([87-90]).
В то же время с точки зрения исследования критического поведения наибольший интерес представляют, видимо, именно неидентичные связанные системы. Так, в [91] в системе однонаправленно связанных логистических отображений было обнаружено отличное от фейгенбаумовского критическое поведение, возникающее при последовательном выводе каждой из подсистем на порог хаоса, а в уже упоминавшейся системе связанных неидентичных логистических отображений был обнаружен [35] тип критического поведения FQ, характеризующийся наличием в сколь угодно малой окрестности критической точки как фейгенбаумовских удвоений периода, так и перехода к хаосу через разрушение квазипериодических движений.
Чрезвычайная важность свойства универсальности состоит в том, что оно существенно облегчает интерпретацию результатов исследования динамики реальных физических систем, позволяя использовать полученные при изуче-
ний более простых моделей сведения об основных особенностях нелинейной динамики этих систем. В то же время хотя общие свойства систем (например, устройство пространства параметров) описываются моделями достаточно хорошо, при таком подходе следует все же соблюдать осторожность, поскольку переход от описываемых обратимыми уравнениями реальных систем к модельным, являющимся, как правило, необратимыми отображениями, всегда происходит в некотором приближении.
Это особенно важно при исследовании поведения системы вблизи перехода к хаосу, в частности, ее критической динамики. Известно, что далеко не все типы критичности имеют столь широкий класс универсальности как фей-генбаумовский. Так, многие нефейгенбаумовские удвоения периода и соответствующее им типы критического поведения могут существовать только в необратимых одномерных отображениях, разрушаясь при переходе к более реалистичным обратимым системам или оказываясь возможными как феномены более высокой коразмерности (см., например, [92-93]). Таким образом, весьма важно определить своего рода "емкость" класса универсальности и величину коразмерности для вновь обнаруженного типа критического поведения. Это позволяет сделать правильные предположения о возможности его наблюдения в тех или иных системах. Проводимый обыкновенно при исследовании критического поведения ренормгрупповой анализ определяет общие условия реализации данного типа (так, бикритическое поведение [91] реализуется в однонаправленно связанных системах с удвоениями периода, так называемое трикритическое [28] - в одномерных бимодальных отображениях и т.д.) и его полную коразмерность, однако не дает ответа на вопрос, реализуется ли это поведение, например, в аналогичных по свойствам потоковых системах. Для этого необходимо исследовать критическую динамику в конкретных системах. В то же время закономерности, отвечающие за сохранение либо разрушение критического поведения при переходе в более широкий класс систем носят, как правило, общий характер, поэтому если критическое поведение данного типа обнаружено в некоторой системе, то с большой ве-
роятностью оно будет реализовываться и в других системах данного класса. Верно, по-видимому, и обратное утверждение. Таким образом, вопрос о возможности существования обнаруженного в модельной системе типа критического поведения в других, более реалистичных системах, допускающих, в частности, и экспериментальную реализацию, представляет большой интерес и предмет специального исследования.
В настоящей работе исследовалась критическая динамика в неидентичных связанных системах с удвоениями периода в контексте возможности реализации критического поведения FQ, сочетающего сценарии перехода к хаосу через удвоения периода и через разрушение квазипериодического режима. Наряду с дальнейшим исследованием критической динамики двух связанных логистических отображений, существенное внимание уделено вопросу о возможности существования этого типа критичности и его свойствах, включая величину коразмерности, в системах других классов — связанных обратимых отображениях и связанных дифференциальных системах, таких как отображения Эно, отображения Икеды, неавтономные осцилляторы, модели возбуждаемых нелинейных колебательных контуров и электронные схемы Чуа.
Целью работы являлось обнаружение, идентификация и исследование критической динамики модельных и радиофизических неидентичных связанных систем с удвоениями периода, для чего решались задачи изучения устройства пространства параметров исследуемых систем, поиска в них критической точки и определения ее коразмерности с помощью численных методов, исследования самоподобных свойств пространства параметров в окрестности критической точки и существующего в ней критического аттрактора.
Основным методом исследования являлся вычислительный эксперимент, заключавшийся как в непосредственном моделировании поведения системы, так и в исследовании ее критической динамики и свойств скейлинга.
Достоверность полученных результатов подтверждается воспроизводимостью всех численных экспериментов, хорошим совпадением результатов,
полученных независимыми численными методами, а также совпадением получаемых в предельных случаях результатов с известными из литературы. Научная новизна работы заключается в том, что впервые
проведен приближенный ренормгрупповой анализ критического поведения неидентичных связанных систем с удвоениями периода,
исследованы трансформации устройства пространства параметров систем связанных необратимых отображений с несимметричной связью при изменении величины констант связи, в частности, показано, что реализация критического поведения типа FQ возможна лишь при различных знаках констант связи,
установлено, что при больших по абсолютной величине отрицательных значениях одного из параметров связи системы неидентичных связанных логистических отображений бассейн притяжения критического режима имеет сложную структуру
показано, что в случае прямой замены логистических отображений в канонической модели, демонстрирующей критическое поведение типа FQ, отображениями Эно с сохранением вида связи реализуется "псевдокритическая" точка, окрестность которой не обладает свойством самоподобия,
обнаружено критическое поведение типа FQ в системе связанных обратимых отображений Эно, указан тип связи, при котором такое поведение наблюдается на плоскости управляющих параметров подсистем, т.е. имеет коразмерность, равную двум,
продемонстрирована самоподобная структура критического аттрактора и пространства параметров в окрестности критической точки в системе связанных отображений Эно,
описаны особенности устройства пространства параметров в системе связанных отображений Эно по сравнению со связанными логистическими отображениями,
обнаружено критическое поведение типа FQ в системах, допускающих радиофизическую интерпретацию: связанных одномерных мультимодаль-
ных отображениях, описывающих динамику неавтономных нелинейных колебательных контуров, связанных неавтономных осцилляторах Дуф-финга и связанных системах Икеды, связанных электронных схемах Чуа,
обнаружено, что в связанных неидентичных автоколебательных потоковых системах критическое поведение типа FQ как феномен коразмерности два не реализуется,
с помощью метода карт ляпуновских показателей исследована критическая динамика системы, состоящей из трех однонаправленно связанных логистических отображений с использованием модели сигнала, отвечающего движению по двухмасштабному канторову множеству. Научно-практическая значимость полученных результатов состоит в
том, что детально исследована критическая ситуация на пороге хаотического режима нелинейных систем, в которой сосуществуют два известных сценария перехода к хаосу - через удвоения периода и через разрушение квазипериодического режима. Осознание этого типа критичности как типичного феномена для связанных систем существенно упрощает интерпретацию результатов, относящихся к другим примерам радиофизических систем и моделей. В сочетании с его обнаружением в ряде обратимых отображений и систем, описываемых дифференциальными уравнениями, открывается возможность для экспериментального наблюдения этого типа критичности. Созданные в процессе работы комплексы программ и алгоритмы могут быть использованы при исследовании критической динамики различных нелинейных систем. Они также используются в учебном процессе на факультете нелинейных процессов в Саратовском государственном университете. На защиту выносятся следующие основные положения: 1. Критическое поведение типа FQ, характерными особенностями которого являются наличие в произвольно малой окрестности критической точки перехода к хаосу как по сценарию Фейгенбаума, так и через разрушение квазипериодических движений, а также наличие скейлинга (самоподобия) в пространстве параметров и фазовом пространстве с
соответствующими универсальными константами, является типичным феноменом сложной динамики неидентичных связанных систем с удвоениями периода. Оно обнаружено в системах теории колебаний и радиофизики: в связанных отображениях Эно; одномерных мультимо-дальных отображениях, описывающих динамику неавтономных нелинейных колебательных контуров; неавтономных осцилляторах Дуф-финга; системах Икеды; электронных схемах Чуа.
Критическое поведение типа FQ возникает только при различном направлении связи между подсистемами, т.е. при различных знаках констант связи. Структура бассейна притяжения критического состояния этого типа усложняется с увеличением амплитуды связи, что приводит к его разрушению при достаточно большой амплитуде связи.
Коразмерность (число собственных направлений скейлинга в пространстве параметров) критической динамики FQ зависит от типа систем и характера связи. Для связанных обратимых отображений и неавтономных осцилляторов критическое поведение типа FQ реализуется как феномен коразмерности два при условии диссипативности связи. В случае нарушения диссипативности связи на плоскости параметров подсистем наблюдается "псевдокритическая" точка, окрестность которой не обладает свойством самоподобия. В автономных автоколебательных системах реализация критического поведения типа FQ как феномена коразмерности два невозможна даже в случае чисто диссипа-тивной связи между подсистемами. Реализация этого типа критического поведения в таких системах возможна лишь как феномен коразмерности три.
Структура и объем работы.
Работа содержит 205 страниц, из них 108 страниц основного текста, 74 страницы иллюстраций и список литературы из 192 наименований на 18 страницах.
Краткое содержание работы.
Основной текст диссертации состоит из введения, трех глав и заключения. В первой главе рассмотрена критическая динамика в системах неидентичных связанных необратимых отображений с удвоениями периода. Приведен обзор ранее известных результатов, касающихся критической динамики неидентичных связанных логистических отображений и ее ренормгруппового анализа, а также обзор существующих методов анализа критической динамики отображений. Оригинальные результаты получены при анализе критической динамики в цепочке однонаправленно связанных логистических отображений и воздействия фрактального сигнала на логистическое отображение, а также при исследовании поведения системы связанных необратимых отображений в зависимости от значений констант связи.
Во второй главе рассмотрена критическая динамика в системах диссипа-тивно связанных обратимых отображений с удвоениями периода. Показано, что реализующееся в системах необратимых связанных отображений критическое поведение типа FQ может наблюдаться и в связанных обратимых отображениях при условии введения чисто диссипативной связи. В противном случае наблюдение этого типа критичности как явления коразмерности 2 невозможно.
В третьей главе исследована критическая динамика в связанных системах, допускающих радиофизическую интерпретацию, причем рассмотрены системы, относящиеся к различным классам динамических систем: необратимым и обратимым отображениям, неавтономным и автономным потоковым системам. Показано, что в то время как критическая динамика в системах первых трех типов качественно не отличается от критической динамики в модельных системах, в связанных автономных потоковых системах реализация критического поведения типа FQ возможна лишь как феномен коразмерности три. Этот факт обоснован теоретически и подтвержден с помощью численных расчетов.
В заключении приведены основные результаты и выводы, полученные в работе.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации представлялись на ежегодных конференциях "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (1998-2004 гг.), на VII Всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (Красновидово, 2000 г.), международной конференции "Progress in Nonlinear Science", посвященной 100-летию А.А. Андронова (Н.Новгород, 2001 г.), IX международной конференции "Nonlinear Phenomena in Complex Systems" (Минск, 2001 г.), XI международной школе-семинаре "Новые информационные технологии" (Судак, 2003), международных конференциях "Foundations and Advances in Nonlinear Science" (Минск, 2003, 2004 гг.), международной конференции "Хаос-2004" (Саратов, 2004 г.), на конференциях НОЦ "Нелинейная динамика и биофизика" Саратовского госуниверситета и научных семинарах базовой кафедры динамических систем СГУ. Частично результаты диссертации получены в процессе выполнения работ по грантам РФФИ № 03-02-16192 и №97-02-16414; ФЦП "Интеграция" №696.3 и №А0057 и Американского фонда гражданских исследований и развития (CRDF) REC-006, а также во время визитов в группы профессора С.-Ю. Кима (университет Кангвон, Республика Корея) и профессора Э. Осбалдестина (университет Портсмута, Великобритания).
По результатам диссертации опубликовано 15 работ, из них статей в рецензируемых журналах - 5, статей в сборниках - 6, тезисов докладов - 4. В работах, выполненных в соавторстве (за исключением [180]), лично соискателем осуществлены все численные эксперименты, совместно с соавторами разработаны методы исследования и осуществлена интерпретация результатов. В работе [180] лично соискателем получены результаты, относящиеся к исследованию динамики связанных логистических отображений и отображений Эно.
Основные идеи ренормгруппового анализа критической динамики
Изложим основные идеи этого метода в приложении к анализу критической динамики двумерных систем с дискретным временем. Пусть задано двумерное отображение хп+\=Л(ХпУп), yn+i=go(xn n). (1 -4)
Проведем некоторую линейную замену переменных так, чтобы двукратно проитерированное отображение было наиболее близко к исходному по форме. При этом существует система координат, в которой такая замена имеет диагональный вид: х— х/а, у— уф. (1.5)
Обычно такая система координат называется скейлинговой, поскольку в ней самоподобные (скейлинговые) свойства аттрактора проявляются при пересчете масштаба непосредственно по осям координат.
Тогда оператор эволюции системы за два шага дискретного времени примет вид (1.6) yn+2=gi(x„yn)=Pgo(fo(xJao JP),go(xJayjp)). Повторяя данную процедуру для отображения (1.6), можно получить оператор эволюции системы за четыре шага дискретного времени и т.д. Таким образом, функции, описывающие эволюцию системы за 2п+х шагов, можно определить с помощью рекуррентного соотношения: fn+\(xy)=afn(fn(x/a.y/$),gn(x/ay/$y), gn+\(xj )=Pgn(fn(x/aj /P),gn(x/ay/p)), называемого ренормгрупповым (РГ) преобразованием.
Фактически (1.7) является отображением в функциональном пространстве. Каждому типу критического поведения соответствует неподвижная сед-ловая точка (или седловой цикл) этого отображения, при этом (в случае неподвижной точки) оператор эволюции системы за 2"+1 шагов переходит в оператор эволюции за 2" шагов при некоторой перенормировке переменных, что приводит к самоподобному поведению системы. Сами функции в этом случае являются решениями функционального уравнения Лху)= Мх/ау/рЫх/ауф)), g(x ) g(Kx/a ),g(x/a )). Условие нормировки обычно записывается в виде /0,0)=1, g(0,0)=l. (1.9) Масштабные константы аир, также определяющиеся при решении (1.8-1.9), определяют самоподобное устройство аттрактора рассматриваемой системы в критической точке.
Поведение системы в пространстве параметров в окрестности критической точки определяется эволюцией малого возмущения решения уравнения (1.8), т.е. спектром собственных чисел линеаризованного РГ-преобразования. Вводя малое возмущение в решение, соответствующее неподвижной точке РГ-преобразования, можно записать /п(ху)=Аху)+ып(ху), gn(xy)=g(xj)+Vn(xy), где є«1 - малый параметр, ип{ху) и v„(xy) — малые возмущения после и-й итерации отображения (1.7). Подставив (1.10) в (1.7) и линеаризовав по параметру є, получим отображение, описывающее эволюцию малых возмущений: можно получить следующую задачу на собственные значения линеаризованного ренормгруппового преобразования (1.11):
Полученные таким образом собственные числа 8 определяют эволюцию возмущений, направленных вдоль соответствующих собственных направлений в функциональном пространстве. Существенные собственные числа (т.е. превышающие единицу по абсолютной величине и не связанные с инфините-зимальными заменами переменных) являются, следовательно, масштабными факторами скейлинга вдоль соответствующих направлений в пространстве параметров исходного отображения (1.4), а их количество определяет полную коразмерность соответствующей критической точки, т.е. минимальное число параметров, необходимое для наблюдения данной точки в типичном случае в произвольной системе. Если же рассматривается ограниченный класс систем, то коразмерность критической точки может быть меньше полной, поскольку соответствующие некоторым существенным собственным числам собственные направления в функциональном пространстве (т.е. определенные возмущения решения системы (1.8)) оказываются невозможными в данном классе систем.
Рассмотрим теперь т.н. универсальное отображение хп+\=Лхп Уп) yn+\=g{xnyn), (1.14) где функции /и g являются решениями системы (1.11). Если точка (х ,у ) является его неподвижной точкой, то точка (х /а, у /р) принадлежит циклу периода 2 того же отображения и т.д. Таким образом, отображение (1.14) имеет циклы (неустойчивые) всех периодов 2к, причем их мультипликаторы равны мультипликаторам неподвижной точки. Эти мультипликаторы являются универсальными для данного типа критичности, и мультипликаторы циклов конкретной системы в соответствующей критической точке обыкновенно быстро сходятся к ним с увеличением периода цикла.
Приведем результаты, полученные при применении метода ренормгруппового анализа к критическому поведению типа FQ ([35, 97-99]).
Представляя входящие в уравнение (1.8) функции в виде разложения в ряд по ортогональным полиномам, можно получить систему нелинейных алгебраических уравнений, определяющих коэффициенты разложения, которую можно решить численно (например, методом Ньютона).
Исследование критической динамики системы связанных отображений Эно
Последовательность значений параметров сходится к той же точке, что и последовательность PDT-точек (кс= 1,99681..., Лс=1,372575...), но значения мультипликаторов и констант скеилинга не являются близкими к характер ным для типа FQ. Некоторые значения мультипликаторов являются ком плексными, причем можно заметить, что они соответствуют как раз тем пе риодам, на которых последовательность PDT-точек является немонотонной.
При меньших значениях параметра диссипации Ъ последовательность PDT точек является монотонной, однако определяемые при помощи метода приравнивания мультипликаторов значения констант скеилинга в пространстве параметров не демонстрируют сходимости к универсальным значениям, а колеблются около них, при этом "амплитуда" этих колебаний тем больше, чем больше Ь, и увеличивается с увеличением периода цикла.
Таким образом, полученные результаты показывают, что существует не-которая предельная "псевдокритическая" точка, к которой сходится последо вательность PDT-точек (и, видимо, последовательность точек с любыми другими фиксированными мультипликаторами), но устройство плоскости параметров в ее окрестности не обладает свойством самоподобия, характерным для "настоящих" критических точек.
Для иллюстрации этого на рис. 2.5а приведено устройство плоскости параметров в окрестности этой точки системы (2.2), а на рис. 2.56 - аналогичная область в окрестности точки FQ системы (1.6). Видно, что для системы (2.2) форма области устойчивости цикла периода 16 и образующихся на его базе языков синхронизации существенно отличается от формы остальных языков, в то время как у системы (1.6) области устойчивости всех циклов имеют единообразную форму.
Таким образом, в системе связанных отображений Эно (2.2) тип критичности FQ не наблюдается, хотя и имеется сходимость PDT-точек к некоторой предельной "псевдокритической" точке, окрестность которой не обладает, как видно из приведенных иллюстраций, свойством самоподобия. По-видимому, это связано с наличием у соответствующего типу FQ ренормгруп-пового уравнения трех собственных значений [35, 97-99], два из которых (5i=6,32631925... и 52=3,44470967...) отвечают за эволюцию возмущений, направленных вдоль соответствующих направлений на плоскости управляющих параметров подсистем, а третье (53—1,900071670...) в системе (1.6) не оказывает влияния на динамику в силу внутренней симметрии системы. Введение "второго измерения" в парциальные подсистемы нарушает эту симметрию, что приводит к разрушению типа критичности FQ как феномена коразмерности 2 и, как следствие, невозможности наблюдать его на плоскости управляющих параметров подсистем системы (2.2).
Зададимся вопросом: возможно ли вообще наблюдать критическое поведение типа FQ в обратимых отображениях? Поскольку ренормгрупповое преобразование (1.11) в соответствующей типу FQ неподвижной точке имеет три собственных числа, то полная коразмерность критической точки FQ рав на трем (см. раздел 1.5), поэтому при введении в систему (2.2) определенного возмущения такое критическое поведение можно будет наблюдать как феномен коразмерности 3. Такого рода исследование для необратимых систем было проведено в [35,99], где в систему связанных логистических отображений типа (1.3) было дополнительно введено линейное по переменной возмущение. Однако, во-первых, для четырехмерной системы численный поиск ($ критической точки коразмерности 3 представляет большие вычислительные сложности, а во-вторых, полученную систему сложно будет интерпретировать как систему связанных отображений.
Существует, однако, и другой способ, позволяющий наблюдать критическое поведение типа FQ в обратимых связанных системах как феномен коразмерности 2 (т.е. на плоскости управляющих параметров парциальных подсистем). Для этого связь между ними должна быть введена особым образом. Рассмотрим этот вопрос более подробно.
В [73] было показано, что по отношению к ренормгрупповому преобразо ванию произвольная связь (с небольшим коэффициентом) между парциальными подсистемами может быть представлена в виде комбинации связей двух типов: диссипативнои и инерционной. Если парциальные подсистемы имеют вид xn+i=J{xn) и yn+\-g(yn) (где хп и уп могут быть и векторами), то система с диссипативнои связью имеет вид xn+\=Axn)-Cx(g(yn)-j{xn)), yn+i=g(yn}-C2(Axn)-g(yn)), а с инерционной хп+1 =Ахп)-С\ (уп-х„), (2.5) yn+i=g(yn)-C2(xn-yn). В работах [35, 97-99] было показано, что критическое поведение типа FQ как феномен коразмерности 2 можно наблюдать в системах с чисто диссипа тивнои связью. (Можно заметить, что система (1.3) фактически является та ф кой системой, т.к. может быть приведена к виду (2.4) заменой параметров. гф Введение второй переменной в парциальные системы сделало связь не чисто диссипативной.)
Сконструировав из автономных отображений Эно систему типа (2.4) и произведя замену параметров так, чтобы при Ь=0 система переходила в (13) с теми же константами связи, получим
Неавтономные осцилляторы Дуффинга с диссипативной связью
Динамика такого осциллятора как под гармоническим, так и под импульсным воздействием хорошо исследована многими авторами (см., например, [123-130]). Также было как теоретически ([113-115]), так и экспериментально ([116]) исследовано поведение системы двух однонаправленно связанных неавтономных осцилляторов и продемонстрировано бикритическое поведение в таких системах.
В нашей работе в качестве автономной системы используем осциллятор Дуффинга под периодическим импульсным воздействием 00 л x + yx + x + fix3 = V Ab{t ). (3.1)
Выбор именно импульсного воздействия обусловлен тем, что в этом случае система (3.1) допускает сведение к двумерному отображению Икеды с помощью метода медленно меняющихся амплитуд (см. [130]), следовательно, система связанных осцилляторов может быть при определенных условиях сведена к системе связанных отображений Икеды, что будет показано далее. Кроме того, использование импульсного воздействия несколько уменьшает затраты машинного времени в численном эксперименте.
Традиционно при изучении неавтономных осцилляторов ([123-130]) исследуется устройство плоскости параметров "амплитуда - частота внешнего воздействия". Для системы (1) оно обладает всеми характерными для подобных систем свойствами (см. рис.3.1). В частности, в некоторых диапазонах значений частоты внешнего воздействия при увеличении его амплитуды наблюдается переход к хаосу через фейгенбаумовский каскад бифуркаций удвоения периода.
В то же время интересно исследовать, как меняется структура этой плоскости в зависимости от остальных параметров. На рис. 3.2 приведены сечения пространства параметров плоскостями "параметр нелинейности - частота внешнего воздействия", "параметр диссипации - частота внешнего воздействия" и "параметр нелинейности - амплитуда внешнего воздействия". Видно, что из четырех имеющихся параметров фактические только один частота внешнего воздействия — является "выделенным и определяет возможность реализации перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода. Остальные же три параметра с точки зрения анализа сценария перехода к хаосу являются взаимозаменяемыми, поскольку с изменением любого из них наблюдаются удвоения периода (если частота внешнего воздействия принимает соответствующее значение); следовательно, любой из них можно использовать в качестве бифуркационного.
При дальнейшем исследовании в качестве в качестве бифуркационного параметра будем использовать амплитуду внешнего воздействия А. Заметим, что аналогичные результаты можно получить и используя в качестве бифуркационного один из "внутренних" параметров осциллятора, например, параметр нелинейности.
Сконструируем систему с диссипативной связью, используя в качестве подсистем неавтономные осцилляторы Дуффинга (3.1). Как известно, дифференциальное уравнение второго порядка (3.1) может быть записано как система двух дифференциальных уравнений первого порядка: х = у, о з \Г" лиг 27ШЧ (3.2) у + уу + х + $х" = Л8(/ ).
Тогда систему диссипативно связанных осцилляторов можно получить, записав две системы типа (3.2) и добавив в каждое уравнение член, пропорциональный разности соответствующих переменных. Проделав такую операцию, получим систему диссипативно связанных неавтономных осцилляторов Дуффинга: x = у + C(w - х), У = -УіУ-х- х3+С(у-у)+ X8(f- ), и = у + (л;-и), (3-3) v = -y2v-«-P2«3+5( v)+ У Л5(Г——), со или, возвращаясь к более привычному виду двух связанных дифференциальных уравнений второго порядка, 00 л х + у1х + + Р,х3+2С(;с-м) + С(у1+С +)( - /)= У Xd(t——), "Г Ш (3-4) и + у2й + w + Р2М + 25(" - ) + Я(Уг + с + #)(w - ) = А 5(/ ) «ti «о
Интересно отметить, что в такой записи наблюдается некоторая "симметрия" коэффициентов связи и диссипации, выражающаяся в появлении коэффициентов вида у+С+В, что вполне соответствует термину "диссипативная" в названии связи.
При дальнейших исследованиях зафиксируем параметры диссипации обеих подсистем 71 2=0,2 и частоту следования импульсов со=2. На рис. 3.3 приведено устройство плоскости параметров (куА) при различных параметрах связи, а на рис. 3.4. - плоскости параметров (РьРг).
Хотя наличие обширной области устойчивости цикла периода 3 в непосредственной близости от области критической динамики затрудняет исследование структуры пространства параметров, тем не менее можно видеть, что при относительно небольших значениях констант связи оно весьма похоже на характерное систем с бикритическим поведением и с критическим поведением типа FQ (рис. 3.3а, 3.4а и 3.3в,г, 3.4в соответственно), что особенно хорошо заметно на увеличенных фрагментах вблизи критической точки (см. рис. 3.5 и 3.6 соответственно). При увеличении констант связи (рис.3.3.б,д, 3.4.б,г) эта структура разрушается. Можно предложить следующее объяснение этому феномену.
Критическая динамика в системе диссипативно связанных генераторов Чуа
Сходимость констант скейлинга на плоскости (х,и) несколько хуже, одна че ко получающиеся значения достаточно близки к характерным для типа кри тичности FQ константам скейлинга а—1,900071670... и Р=—4,00815849..., a соответствующее константе а собственное направление также демонстрирует сходимость. Заметим, что эти результаты весьма похожи на полученные для системы диссипативно связанных отображений Эно (см. раздел 2.7). Для более точной оценки положения критической точки и удовлетвори тельной оценки констант скейлинга в пространстве параметров применим % метод приравнивания мультипликаторов. Значения параметров, соответст вующие точкам равенства мультипликаторов циклов периодов п и 2п, а также значения мультипликаторов в этих точках приведены в таблице 3.5, а получаемые значения констант и направлений скейлинга - в таблице 3.6.
Последовательность значений параметров сходится к той же точке (Хс=5,30863..., Лс=5,32300...), что и последовательность PDT-точек, а значения констант скейлинга близки к характерным для типа FQ.
К тому же пределу сходится и последовательность точек, в которых значения мультипликаторов равны универсальным значениям Ці= -1,057149... и і2—1,579739...(см. таблицу 3.7).
В целом сходимость оценочных значений констант скейлинга в пространстве параметров к характерным для типа FQ значениям хуже, чем, например, для системы диссипативно связанных отображений Эно (2.6). Это объясняет ся несколькими причинами. Во-первых, необходимость заменять некоторые аналитические вычисления численными3 приводит к нарастанию погрешности вычислений, что в свою очередь приводит к уменьшению максимального периода цикла, для которого еще удается найти, например, PDT-точку. Соответственно уменьшается длина полученной последовательности и точность определения констант скейлинга.
Во-вторых, исследование приходится проводить при меньших значениях параметров связи, поскольку при их увеличении (например, до "классических" значений В=0,375, С—0,25) структура пространства параметров искажается (см. рис. 3.3). Это также приводит к ухудшению качества сходимости, т.к. наблюдающийся при нулевых константах связи фейгенбаумовский тип критичности при введении малой обратной связи сохраняется как промежуточная асимптотика, а реализующийся в действительности тип критичности наблюдается лишь на достаточно глубоких уровнях (т.е. для циклов достаточно больших периодов).
В заключение раздела покажем, что пространство параметров в окрестности найденной критической точки и существующий в этой точке аттрактор действительно обладают свойствами скейлинга с константами, характерными для типа критичности FQ.
Для иллюстрации скейлинга в окрестности критической точки в пространстве параметров необходимо перейти в скейлинговую систему координат, связанную с "естественными" координатами соотношением (1.42), при этом координаты критической точки Хс и Ас и коэффициент наклона к2 можно приближенно оценить из результатов, полученных в результате применения метода приравнивания мультипликаторов (см. табл. 3.5 и 3.6). Несколько последовательных уровней скейлинга приведены на рис. 3.8. Видно, что структура пространства параметров достаточно хорошо воспроизводится на все более глубоких уровнях разрешения, причем качество совпадения улучшается с увеличением периодов рассматриваемых циклов. стность критической точки в пространстве параметров имеет самоподобную структуру.
Перейдем теперь к рассмотрению самоподобных свойств аттрактора. На рис. 3.9 изображены вид аттрактора системы (3.4) и соответствующего стробоскопического отображения в критической точке FQ (в проекциях на различные координатные плоскости). Вид аттрактора стробоскопического отображения хорошо совпадает с видом аттрактора системы диссипативно связанных отображений Эно (ср. с рис. 2.11), демонстрируя почти линейную структуру на плоскости "одноименных" переменных разных подсистем и "Эно-подобную" структуру на плоскости переменных, относящихся к одной подсистеме.
Последовательные уровни скейлинга на проекциях аттрактора на плоскости (х,и) и {х,у) приведены на рис. 3.10 и 3.11 соответственно. Видно, что качественно вид аттрактора совпадает на различных уровнях разрешения, количественное же совпадение улучшается при рассмотрении более глубоких уровней. Наблюдаемое на последних из представленных фрагментах искажение формы аттрактора обусловлено, по-видимому, недостаточно точным определением критических значений параметров и большой длительностью переходного процесса. Заметим также, что изменение масштаба, например, по оси абсцисс на последнем фрагменте составляет величину порядка 10"5, что на два порядка меньше расстояния между ближайшими к центру скейлинга элементами аттрактора цикла максимального периода, который удалось найти (см. таблицу 3.2).
Таким образом, как пространство параметров в окрестности критической точки, так и существующий в ней аттрактор системы диссипативно связанных осцилляторов Дуффинга с внешним воздействием (3.4) обладают свойством скейлинга с характерными для критического поведения типа FQ константами.
