Содержание к диссертации
Введение
1 Разрушение режима фазовой синхронизации 27
1.1 Общие понятия теории фазовой синхронизации 27
1.2 Разрушение режима фазовой синхронизации двух однона-правленно связанных систем Ресслера 32
1.3 Разрушение режима фазовой синхронизации: аналитическое рассмотрение 38
1.4 Разрушение режима фазовой синхронизации во взаимно связанных осцилляторах 49
1.5 Разрушение режима фазовой синхронизации в связанных хаотических осцилляторах с изначально фазово-некогерентными аттракторами 57
1.6 Выводы по первой главе 64
2 Перемежающееся поведение вблизи границы режима фазовой синхронизации 67
2.1 Перемежающееся поведение при малых частотных расстройках взаимодействующих осцилляторов 69
2.1.1 Примеры динамических систем 76
2.1.2 Соотношение зависимостей средней длительности ламинарных фаз от параметра надкритичности для перемежаемости игольного ушка и перемежаемости типа І в присутствии шума 84
2.2 Распределение длительностей ламинарных фаз при перемежаемости игольного ушка 86
2.2.1 Перемежаемость типа I при наличии шума. Аналитическое рассмотрение 87
2.2.2 Численный анализ распределений длительностей ламинарных фаз при перемежающемся поведении типа игольного ушка 99
2.3 Перемежающееся поведение при больших значениях расстройки собственных частот взаимодействующих осцилляторов 108
2.4 Численное исследование характеристик перемежающегося поведения при больших частотных расстройках 111
2.4.1 Перемежающееся поведение в однонаправленно связанных осцилляторах Ресслера 112
2.4.2 Перемежающееся поведение в однонаправленно связанных генераторах на туннельном диоде 115
2.5 Выводы, по второй главе 121
3 Ляпуновские экспоненты вблизи границы режима хаотической фазовой синхронизации 124
3.1 Об использовании ляпуновских экспонент для определения границы возникновения хаотической фазовой синхронизации 124
3.2 Поведение одного из нулевых показателей Ляпунова вблизи границы режима фазовой синхронизации 134
3.2.1 Докритическая область, є < 0 139
3.2.2 Закритическая область, є > 0 142
3.3 Результаты численного моделирования эталонных динамических систем 145
3.3.1 Отображение окружности 145
3.3.2 Осциллятор Ван дер Поля 152
3.3.3 Системы Ресслера 154
3.4 Локальные ляпуновские экспоненты 158
3.5 Выводы по третьей главе 162
Заключение 164
Список литературы 169
- Разрушение режима фазовой синхронизации в связанных хаотических осцилляторах с изначально фазово-некогерентными аттракторами
- Соотношение зависимостей средней длительности ламинарных фаз от параметра надкритичности для перемежаемости игольного ушка и перемежаемости типа І в присутствии шума
- Перемежающееся поведение при больших значениях расстройки собственных частот взаимодействующих осцилляторов
- Поведение одного из нулевых показателей Ляпунова вблизи границы режима фазовой синхронизации
Введение к работе
Актуальность исследуемой проблемы
Явление фазовой синхронизации, наблюдаемое в системах различной природы [1,2], включая химические, биологические и физиологические, активно изучается в последнее время и вызывает большой интерес исследователей [3-5]. Первоначально рассматривалась синхронизация периодических колебаний, однако интенсивное развитие теории динамического хаоса [6-11] вызвало новый интерес к проблеме синхронизации автоколебательных систем, демонстрирующих хаотическую динамику [3,12-16]. При этом важно отметить, что в русскоязычной литературе под термином "фазовая синхронизация", возникшем достаточно давно, изначально понималось другое явление [17-23], суть которого состоит в следующем: синхронизация генераторов колебаний достигается за счет воздействия на них полученного некоторым способом преобразования фаз этих генераторов, причем генераторы и преобразователи фаз могут быть самой различной природы. Принцип фазовой синхронизации, положен в основу электронных систем фазовой автоподстройки, синхронных машин, систем фазового электропривода и т.д.
В настоящее время в русскоязычной научной литературе [3,13, 24-26] термин "фазовая синхронизация" широко используется и в смысле работ [27-29], в которых рассматривается хаотическая фазовая синхронизация, хотя, конечно, это вносит некоторую путаницу. Поэтому сразу следует отметить, что в настоящей диссертационной работе термин "фазовая синхронизация" используется в том смысле, в котором его трактуют работы [27-31], а именно, когда имеет место захват мгновенных фаз хаотических сигналов, при этом мгновенная фаза может быть введена различными способами.
Колоссальное число систем, как модельных, являющихся эталонными, так и представляющих практический интерес с той или иной точки зрения, были изучены и описаны с позиций фазовой синхронизации. В то же самое время следует отметить, что внимание исследователей, в подавляющем большинстве случаев, уделяется установлению факта существования или отсутствия синхронной динамики, в то время как процессы, происходящие вблизи границы возникновения режима фазовой хаотической синхронизации, исследованы в существенно меньшей степени. Тем не менее, важно подчеркнуть, что понимание подобных процессов позволяет объяснить механизмы, приводящие к установлению синхронного режима, и, несомненно, имеет важное фундаментальное значение для всей теории хаотической синхронизации. Поэтому именно на рассмотрение процессов, происходящих на границе возникновения режима хаотической фазовой синхронизации, исследование характеристик наблюдающихся режимов и выявление механизмов, приводящих к установлению синхронной динамики и направлена настоящая диссертационная работа, содержащая решение нескольких тесно взаимосвязанных друг с другом задач, касающихся поведения связанных хаотических осцилляторов вблизи границы возникновения синхронного режима.
Одной из задач, решенных в рамках настоящей диссертационной работы, является задача исследования различных особенностей разрушения (установления) режима хаотической фазовой синхронизации, в частности, изучение механизмов, обуславливающих переход от режима синхронной динамики к асинхронному поведению в связанных осцилляторах при варьировании параметра связи. Интерес к данной проблеме вызван тем, что в подавляющем большинстве случаев исследователи не делают различий между теми или иными особенностями режима фазовой синхронизации и его установления/разрушения. В качестве исключения следует упомянуть работу [32], где в зависимости от степени когерентности/некогерентиости хаотического аттрактора выделялись различные типы перехода к режиму фазовой синхронизации, а также работу [33], в которой показано, что для систем с относительно большой размерностью фазового пространства разрушение режима хаотической фазовой синхронизации может быть связано с глобальными бифуркациями. В то же самое время, исключение из поля зрения вышеупомянутых особенностей, как это произошло, например, в работе [34], может приводить к неправильной трактовке наблюдаемых явлений [35] и ошибочным выводам. Поэтому выявление причин, приводящих к разрушению (установлению) хаотической фазовой синхронизации, а также исследование характеристик данного типа синхронной динамики имеет важное научное значение.
Другой задачей, решение которой содержится в настоящей диссертационной работе, и которая тесно связана с предыдущей, является изучение статистических характеристик перемежающегося поведения, наблюдаемого ниже границы режима фазовой синхронизации. Наличие перемежающегося поведения характерно для многих нелинейных систем и наблюдается, в частности, при переходе от периодических колебаний к хаотическим [36], вблизи границы возникновения синхронных режимов связанных хаотических осцилляторов [5,37,38] и в целом ряде других случаев [39-41]. Существует определенная классификация перемежающегося поведения, в частности, выделяют перемежаемость типа I-III [36,42], on-off перемежаемость [43], перемежаемость игольного ушка [44].
Из научной литературы известно, что на границе фазовой синхронизации имеет место перемежаемость игольного ушка [44-48]. Однако, следует заметить, что данный тип перемежаемости наблюдается лишь в том случае, когда величина расстройки частот между взаимодействующими хаотическими осцилляторами является достаточно малой. При большой же расстройке параметров статистические характеристики перемежающегося поведения исследованы не были. Более того, не было даже известно, наблюдается ли в этом случае перемежающееся поведение ниже границы режима фазовой хаотической синхронизации. Учитывая, что при исследовании различных особенностей разрушения (возникновения) режима хаотической фазовой синхронизации (глава 1) было установлено, что механизмы, приводящие к разрушению синхронного режима, различны при больших и малых расстройках, следовало ожидать, что и характеристики перемежающегося поведения (если оно имеет место в этом случае) могут быть другими. Очевидно, что данная проблема имеет непосредственное отношение к более точному и полному пониманию процессов, происходящих вблизи границы фазовой синхронизации и, следовательно, необходимость изучения данного вопроса не вызывает сомнений.
Что касается перемежаемости игольного ушка, то и здесь до настоящего времени оставались невыясненные вопросы. Следует отметить, что для описания перемежающегося поведения традиционно используются две основные характеристики — зависимость средней длительности ламинарных фаз от параметра надкритичности и распределение длительностей ламинарных фаз. Для перемежаемости игольного ушка в научной литературе описан закон зависимости средней длительности ламинарных фаз от параметра надкритичности [44,46,49], тогда как аналитический закон распре деления длительностей ламинарных фаз был неизвестен. В то же время, в ряде случаев единственной доступной для анализа характеристикой перемежающегося поведения является именно распределение длительностей ламинарных фаз, поскольку далеко не всегда в эксперименте исследователь может варьировать параметр надкритичности изучаемой системы, и, следовательно, зависимость средней длительности ламинарных фаз не может быть получена [40,41]. В настоящей диссертационной работе впервые удалось получить аналитический вид распределения длительностей ламинарных фаз для перемежаемости игольного ушка.
Еще одним направлением, тесно связанным с исследуемой в диссертационной работе проблемой, является анализ изменений, происходящих в спектре показателей Ляпунова при варьировании управляющих параметров, при котором происходит переход от режима фазовой синхронизации к асинхронной динамике.
Известно, что ляпуновские показатели представляют собой мощный инструмент для анализа сложной динамики системы. Они широко используются для описания поведения сложных систем, являющихся предметом изучения различных областей науки, таких как физика [50], молекулярная динамика [51], астрономия [52], медицина [53], экономика [54] и так далее.
Одним из наиболее значимых приложений показателей Ляпунова является их использование для обнаружения качественных изменений в динамике системы при варьировании управляющих параметров. Например, ляпуновские экспоненты используются для обнаружения перехода от хаотического режима к гиперхаосу [55], для выявления наличия гиперболического аттрактора [50,56], для детектирования обобщенной синхронизации [57,58] или индуцированной шумом синхронизации [59-61], и так далее.
Нулевая ляпуновская экспонента выделяется из спектра ляпуновских показателей, характеризующего динамику системы. Несмотря па то, что эта ляпуновская экспонента может претерпевать изменения (например, становиться отрицательной), когда в системе происходят бифуркации, здесь и далее на всем протяжении диссертационной работы будет использоваться термин "нулевая ляпуновская экспонента" для обращения именно к этому ляпуновскому показателю из всего спектра ляпуповских экспонент, независимо от того до или после точки бифуркации рассматривается поведение системы. Нулевая ляпуновская экспонента соответствует возмущению вдоль траектории в фазовом пространстве и в целом ряде случаев играет важную роль в описании поведения систем. Например, для детерминированного периодического осциллятора этот показатель является наибольшим по величине в спектре ляпуновских экспонент. В таких системах, управляемых внешним сигналом (детерминированным или случайным), старшая условная ляпуновская экспонента (которая является нулевой в автономном случае) может стать отрицательной, что является признаком установления синхронного режима. Нулевой показатель Ляпунова может обозначать наличие специфического режима в динамике системы, такого как неполная индуцированная шумом синхронизация [62]. Считается также, что в связанных хаотических осцилляторах переход нулевой ляпуновской экспоненты в область отрицательных значений тесно связан с установлением режима фазовой синхронизации [32,63]. В то же самое время известно [64,65], что точка, соответствующая установлению режима фазовой синхронизации и момент перехода нулевой ляпуновской экспоненты в область отрицательных значений не совпадают друг с другом и могут в значительной степени различаться. Вопрос о том, как именно связаны изменения, происходящие в динамике взаимодействующих осцилляторов при приближении к границе хаотической фазовой синхронизации, с поведением нулевой ляпуновской экспоненты, нигде до настоящего момента рассмотрен не был и решение данной задачи впервые приводится в настоящей диссертационной работе. Как будет показано в главе 3 диссертации, переход нулевой ляпуновской экспоненты в область отрицательных значений связан с перемежающимся поведением, наблюдающимся вблизи границы хаотической фазовой синхронизации (глава 2), а именно, с наличием ламинарных фаз (участков синхронного поведения для системы связанных осцилляторов). Для детального исследования этого вопроса в диссертационной работе введены в рассмотрение и изучены локальные ляпуновские показатели, отдельно для ламинарных и турбулентных фаз.
Таким образом, на основании вышеизложенного можно сделать вывод о том, что круг вопросов, рассмотренных в диссертационной работе, достаточно широк, а тема диссертационной работы является актуальной и важной для радиофизики, нелинейной динамики и современной теории нелинейных колебаний и волн.
Цель диссертационной работы
Настоящая работа посвящена исследованию процессов, происходящих на границе режима хаотической фазовой синхронизации. Целью настоящей диссертационной работы является детальное изучение поведения хаотических осцилляторов, находящихся вблизи границы установления данного режима синхронной динамики.
Основными вопросами, подробно рассмотренными в диссертационной работе, являются следующие:
• исследование особенностей разрушения/установления режима фазовой синхронизации хаотических осцилляторов при различных значениях частотной расстройки между взаимодействующими подсистемами; • исследование статистических характеристик перемежающегося поведения, наблюдаемого вблизи границы режима фазовой синхронизации при переходе от синхронной динамики к асинхронному поведению;
• изучение возможности использования ляпуиовских экспонент для определения границы возникновения хаотической синхронизации, в частности, исследование вопроса о том, какие изменения происходят в спектре условных ляпуиовских экспонент при переходе через границу фазовой синхронизации и при дальнейшем изменении управляющих параметров;
• изучение поведения нулевого показателя Ляпунова в зависимости от значений управляющих параметров вблизи точки седло-узловой бифуркации;
• исследование локальных ляпуиовских экспонент, рассчитанных по участкам, соответствующим ламинарным и турбулентным фазам.
Исследования, проведенные в рамках настоящей диссертационной работы, направлены на то, чтобы выявить и понять общие закономерности как синхронного поведения, так и поведения вблизи границы установления синхронного режима нелинейных динамических систем, демонстрирующих хаотическую динамику.
Научная новизна
Научная новизна результатов, представленных в диссертационной работе, заключается в установлении механизмов, обусловливающих процессы, происходящие вблизи границы хаотической фазовой синхронизации взаимодействующих связанных хаотических осцилляторов, и детальном анализе различных характеристик данных процессов. Впервые получены следующие научные результаты:
• показано наличие двух сценариев разрушения/установления режима хаотической фазовой синхронизации, реализующихся, как и в случае классической синхронизации периодических осцилляторов, при большой и малой величине расстройки частот взаимодействующих подсистем. Выявлены механизмы этих типов разрушения синхронной динамики [65-67];
• исследованы статистические характеристики перемежающегося поведения на границе режима фазовой синхронизации в обоих случаях. Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что при малой и большой расстройках управляющих параметров реализуются разные типы перемежающегося поведения [68,69];
• выявлены механизмы, приводящие к возникновению перемежаемости типа игольного ушка, наблюдаемой при малых частотных расстройках взаимодействующих осцилляторов ниже границы фазовой синхронизации [68,70]. Впервые получен аналитический вид распределения длительностей ламинарных фаз в зависимости от управляющего параметра для данного типа перемежающегося поведения;
• впервые описано перемежающееся поведение типа кольца, выявлены обуславливающие его механизмы. Исследованы статистические характеристики перемежаемости кольца: аналитически получен закон для зависимости средней длительности ламинарных фаз от параметра надкритичности, а также вид распределения длительностей ламинарных фаз в зависимости от значения управляющего параметра [66,71]; • изучен вопрос об использовании условных ляпуновских экспонент для определения границы возникновения хаотической фазовой синхронизации [72];
• исследовано поведение нулевой ляпуновской экспоненты в окрестности бифуркационной точки, которая в случае связанных хаотических осцилляторов лежит ниже границы режима фазовой синхронизации. Аналитически получены зависимости данного показателя Ляпунова от управляющих параметров как выше, так и ниже точки бифуркации [72]. Построенная теория применима как в случае связанных хаотических осцилляторов, так и для систем со случайным внешним воздействием;
• исследовано поведение локальных ляпуновских экспонент, рассчитанных по участкам синхронного поведения (ламинарным фазам) и интервалам, соответствующим фазовым проскокам (турбулентные фа-зы) [72];
Основу диссертации составляют результаты, полученные лично соискателем. Им выполнены все численные и аналитические расчеты. Постановка задач, разработка методов их решения, объяснение и интерпретация результатов были осуществлены либо лично автором, либо совместно с научным руководителем.
Практическая значимость
Диссертационная работа решает научную задачу, имеющую существенное значение для радиофизики, нелинейной динамики и современной теории колебаний и волн, связанную с выявлением общих закономерностей установления/разрушения синхронного поведения в нелинейных автоколеба тельных системах. В большинстве случаев исследование проводилось на примере эталонных моделей нелинейной динамики, таких как автогенератор Ван дер Поля, система Ресслера, квадратичное отображение и отображение окружности. Так как все рассмотренные модели по своей сути являются базовыми, результаты, полученные в рамках настоящей диссертационной работы, имеют общий характер и могут быть распространены на системы различной природы (радиофизической, биологической, физиологической и т.д.). Полученные результаты позволяют продвинуться в понимании общих закономерностей синхронного поведения связанных динамических систем и выявить механизмы их возникновения. В частности, выявление взаимосвязи между динамикой связанных хаотических осцилляторов вблизи границы возникновения режима фазовой синхронизации и поведением нулевой условной ляпуновской экспоненты имеет важное не только теоретическое, но и прикладное значение, поскольку позволяет адекватно использовать мощный аппарат, связанный с использованием ляпуновских экспонент, при изучении самого широкого круга нелинейных хаотических систем, значения управляющих параметров которых находятся вблизи границы установления синхронного режима.
Понимание механизмов установления/разрушения режима фазовой хаотической синхронизации при различных значениях расстроек управляющих параметров взаимодействующих систем позволило объяснить причины возникновения двух разных типов перемежающегося поведения на границе установления синхронного режима и получить аналитические зависимости для их характеристик. Более того, использованные в рамках диссертационной работы сходства между стохастическими процессами и динамическим хаосом позволяют расширить применимость полученных результатов на широкий класс систем, находящихся под воздействием шумов. Очевидно, что шумы неизбежно присутствуют как при численном модели ровании, так и при проведении экспериментальных измерений. И хотя в ряде случаев влиянием шумов на поведение системы можно пренебречь, роль шумов становится чрезвычайно важной при рассмотрении динамики систем вблизи точек бифуркации. Как следствие, поведение системы в окрестности бифуркационных точек в присутствии шумов может существенным образом отличаться от случая, когда шумы в рассмотрение не принимаются. В частности, известно, что шум существенно изменяет статистические характеристики перемежающегося поведения [70,73,74]. Поэтому несомненно, что выявление особенностей поведения систем, обусловленных шумом, и выяснение, к каким изменениям количественных характеристик (таких, например, как ляпуновские экспоненты) приводит воздействие шума, имеет важное практическое значение.
Результаты, изложенные в диссертационной работе, внедрены в учебный процесс по подготовке специалистов по специальности "Радиофизика и электроника", а также по направлению подготовки бакалавров и магистров "Радиофизика" в ГОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского".
Основные научные положения и результаты, выносимые на защиту
1. Существуют два сценария разрушения/установления режима фазовой синхронизации взаимодействующих хаотических осцилляторов с ярко выраженной основной частотой колебаний. Первый тип разрушения фазовой синхронизации, наблюдающийся при малой расстройке собственных частот взаимодействующих осцилляторов, связан с нарушением общего ритма хаотических колебаний, в то время как аттракторы обеих хаотических систем сохраняют фазовую когерентность, то есть проекция фазовой траектории на некоторую плоскость состояний все время вращается вокруг начала координат, не пересекая и не огибая его. Второй сценарий реализуется при большой величине частотной расстройки и обусловливается потерей фазовой когерентности хаотического аттрактора одного из взаимодействующих осцилляторов.
2. Каждый из сценариев разрушения режима хаотической фазовой синхронизации сопровождается перемежающимся поведением, при этом для малых значений расстройки собственных частот взаимодействующих осцилляторов имеет место перемежаемость игольного ушка, а для больших - перемежаемость кольца.
3. Распределение длительностей ламинарных фаз (участков синхронного поведения) для перемежаемости игольного ушка, наблюдающейся вблизи границы режима хаотической фазовой синхронизации в случае малых значений расстройки основных частот взаимодействующих осцилляторов, подчиняется экспоненциальному закону.
4. Нулевая условная ляпуновская экспонента, характеризующая поведение ведомого хаотического осциллятора, становится отрицательной раньше возникновения режима фазовой синхронизации, при этом отрицательность условной нулевой ляпуновской экспоненты является проявлением синхронизма, наблюдающегося на определенных временных интервалах (ламинарные фазы) вблизи границы установления режима фазовой синхронизации, где полностью синхронный режим еще не установился.
Разрушение режима фазовой синхронизации в связанных хаотических осцилляторах с изначально фазово-некогерентными аттракторами
В разделе 2.1 детально обсуждается вопрос о перемежающемся поведении, возникающем ниже границы фазовой синхронизации в случае малых частотных расстроек между взаимодействующими осцилляторами (так называемая перемежаемость игольного ушка), а затем, в разделе 2.1.1 рассматриваются примеры различных систем, демонстрирующих данный тип поведения. В рамках этих разделов показано, что перемежающееся поведение типа І в закритической области значений управляющих параметров в присутствии шума, имеющее место вблизи точки седло-узловой бифуркации, и перемежаемость игольного ушка, наблюдающаяся в окрестности разрушения режима хаотической фазовой синхронизации при малых значениях частотной расстройки взаимодействующих осцилляторов, фактически, являются одним типом динамики систем, а различие между данными типами перемежаемости заключается только в характере внешнего сигнала (случайное воздействие или хаотический сигнал), воздействующего на систему, в то время как основные механизмы, обуславливающие поведение систем, равно как и характеристики динамики системы, оказываются одними и теми же в обоих случаях.
Следующий раздел 2.2 посвящен распределению длительностей ламинарных фаз при перемежаемости игольного ушка, который до настоящего времени известен не был. В этом разделе аналитически получен вид распределения длительностей ламинарных фаз для перемежаемости игольного ушка, который сопоставлен с результатами численного моделирования поведения эталонных нелинейных систем. Показано, что распределение длительностей ламинарных фаз этого типа перемежающегося поведения удовлетворяет экспоненциальному закону, причем полученное аналитическое выражение находится в очень хорошем соответствии с результатами численного моделирования. В разделе 2.3 рассмотрено перемежающееся поведение при больших значениях расстройки собственных частот взаимодействующих осцилляторов. Для данного типа перемежаемости построена соответствующая теория, выявлен механизм, приводящий к возникновению перемежающегося поведения данного тина, получена теоретическая зависимость средней длительности ламинарных фаз от параметра связи, хорошо согласующаяся с численными данными. Показано, что распределение длительностей ламинарных фаз удовлетворяет экспоненциальному закону. Аналитические соотношения, полученные в рамках данного раздела сопоставлены с результатами численного исследования перемежающегося поведения связанных модельных систем, изложенных в разделе 2.4. В третьей главе диссертационной работы рассматривается поведение ляпуновских экспонент вблизи границы хаотической фазовой синхронизации,- при этом особое внимание уделяется условной нулевой ляпуновской экспоненте. В разделе 3.1 подробно рассмотрен вопрос об использовании ляпуновских экспонент для определения границы режима хаотической фазовой синхронизации. На примере двух однонаправленно связанных осцилляторов Ресслера (1.7) обсуждается проблема взаимосвязи границы возникновения режима фазовой синхронизации на плоскости "расстройка управляющих параметров систем — интенсивность связи" с поведением старших ляпуновских показателей, характеризующих динамику системы. Показано, что ни один из старших показателей Ляпунова не является непосредственно связанным с моментом установления/разрушения синхронного режима. Далее, в разделе 3.2 исследуется поведение нулевой ляпуновской экспоненты в окрестности точки седло-узловой бифуркации при наличии шума, которое представляет собой результат взаимодействия динамических механизмов и случайного влияния на систему. Аналитически получены зависимости ляпуновскои экспоненты от управляющего параметра как выше, так и ниже точки бифуркации. Построенная теория применима как для систем со случайным внешним воздействием, так и в случае связанных хаотических осцилляторов. Справедливость аналитических выражений доказана с помощью численного моделирования некоторых эталонных систем (отображение окружности, неавтономный осциллятор Ван дер Поля, два одно-направленно связазанных осциллятора Ресслера). В разделе 3.3 показано прекрасное соответствие теоретических выводов и результатов, полученных в численном счете. Обсуждается также вопрос о том, каким образом полученные закономерности могут проявляться в других значимых физических условиях. Для объяснения механизмов, обусловливающих переход нулевой ляпуновскои экспоненты в область отрицательных значений, в разделе 3.4 в рассмотрение введены локальные показатели Ляпунова, посчитанные по участкам синхронной динамики (ламинарные фазы) и для турбулентных фаз. Построены распределения локальных ляпуновских экспонент. Показано, что за отрицательность условной нулевой ляпуновскои экспоненты отвечают ламинарные фазы: распределение локальных условных показателей Ляпунова на плоскости "значение условной ляпуновскои экспоненты — длительность фазы" сдвигается в область отрицательных значений, в то время как распределения соответствующих экспонент для турбулентных фаз остается практически симметричным относительно нулевого значения. Отрицательность условной нулевой ляпуновскои экспоненты является проявлением синхронизма, наблюдающегося на определенных временных интервалах вблизи границы установления режима фазовой синхронизации, где полностью синхронный режим еще не установился. В Заключении подведены итоги диссертационной работы, сформулированы основные результаты и намечены направления дальнейших исследований по данной тематике.
Соотношение зависимостей средней длительности ламинарных фаз от параметра надкритичности для перемежаемости игольного ушка и перемежаемости типа І в присутствии шума
Таким образом, при разрушении режима синхронизации осциллятора Ван-дер-Поля внешним гармоническим сигналом (1.10), эволюция аттрактора системы подобна тому, что наблюдается в системе двух связанных осцилляторов Ресслера (1.7) при уменьшении параметра связи є, несмотря на то, что динамика системы Ресслера хаотическая, а колебания в осцилляторе Ван-дер-Поля периодические. Следовательно, можно предположить, что разрушение режима фазовой синхронизации как в одной, так и в другой системах обусловлено одними и теми же механизмами. При этом переход от синхронных колебаний к асинхронной динамике в неавтономном осцилляторе Ван-дер-Поля можно объяснить аналитически с помощью метода комплексных амплитуд.
Хорошо известно [30,94,95], что при малых и больших расстройках частот возникновение режима синхронизации с увеличением параметра связи происходит по-разному. При малых расстройках осуществляется захват частоты автоколебаний автогенератора внешней силой, а при больших — происходит подавление колебаний на собственной частоте генератора и увеличение интенсивности колебаний на частоте вынуждающей силы. При малых величинах параметра нелинейности Л динамика системы (1-Ю) может быть проанализирована с помощью метода медленно меняющихся амплитуд, при этом осуществляется переход к укороченным уравнениям для комплексной амплитуды колебаний. И если при малой частотной расстройке возникновению режима синхронизации соответствует седло-узловая бифуркация на плоскости комплексных амплитуд, связанная с нелокальной бифуркацией рождения предельного цикла из общей сепаратрисы седла и узла, то для больших значений расстройки частот потеря синхронного режима в системе выглядит как последовательность бифуркации Андронова Хопфа неподвижной устойчивой точки и увеличение амплитуды предельного цикла до момента, когда цикл пересекает начало координат (см. более подробно [30,95]). С точки зрения фазовой синхронизации синхронный режим при больших частотных расстройках разрушается именно тогда, когда предельный цикл пересекает начало координат (при малых расстройках разрушение фазовой синхронизации совпадает с моментом, когда происходит седло-узловая бифуркация). В тот момент, когда предельный цикл на плоскости комплексных амплитуд пересекает начало координат, аттрактор, соответствующий поведению системы, перестает быть фазово-когерентным. Таким образом, для случая синхронизации периодических автоколебаний внешним гармоническим воздействием, при больших частотных расстройках разрушение режима фазовой синхронизации эквивалентно разрушению фазовой когерентности аттрактора.
Поскольку использование метода комплексных амплитуд аналогично переходу во вращающуюся систему координат, то механизмы, приводящие к реализации двух различных сценариев разрушения фазовой синхронизации могут быть выявлены при исследовании динамики неавтономной системы на плоскости (х , у ), вращающейся с частотой внешнего воздействия ше относительно начала координат. Такой подход к рассмотрению поведе-. ния системы можно осуществить с помощью преобразования координат
Для рассматриваемого неавтономного генератора (1.10) р = pe(t) В случае малой частотной расстройки {OJQ — ие) в синхронном режиме на вращающейся плоскости (х ,у ) неавтономного осциллятора Ван-дер-Поля будет наблюдаться устойчивый узел (рис. 1.7, а). Как только амплитуда внешнего сигнала оказывается ниже границы фазовой синхрониза ции, происходит локальная седло-узловая бифуркация, связанная с глобальной бифуркацией рождения предельного цикла из петли сепаратрисы, и на вращающейся плоскости (а/, у ) вместо устойчивого узла наблюдается предельный цикл с изначально большой амплитудой (рис. 1.7, б).
При больших значениях расстройки частот {UJQ — ше) предельный цикл на вращающейся плоскости (который может быть "размытым", если параметр Л не достаточно мал) наблюдается как выше, так и ниже границы синхронизации (рис. 1.7, в,г). С уменьшением интенсивности внешнего сигнала амплитуда предельного цикла монотонно растет, а разрушению синхронного режима соответствует такое значение управляющего параметра А, при котором предельный цикл начинает пересекать начало координат (рис. 1.7, г). Когда предельный цикл не охватывает начало координат (см. рис. 1.7, б), в системе наблюдается режим фазовой синхронизации.
Если разрушение фазовой синхронизации в хаотических системах обусловлено теми же механизмами, что и в периодическом осцилляторе под внешним воздействием, то для системы связанных осцилляторов Рессле-ра (1.7) должны получиться те же результаты, что и для осциллятора Ван-дер-Поля под внешним гармоническим сигналом. Поэтому рассмотрим динамику связанных систем Ресслера на вращающейся плоскости, применив преобразование координат (1.11) аналогично тому, как это было проделано для неавтономного генератора Ван-дер-Поля, учитывая, что вместо фазы гармонического сигнала нужно использовать значения фазы ведущей системы Ресслера (р — -fd{t) Результаты, полученные для систем Ресслера (1.7) приведены на рисунке 1.8. При малой расстройке параметров системы (рис. 1.8, а) фазовый портрет синхронизованного ведомого осциллятора в окрестности границы фазовой синхронизации выглядит как зашумленная устойчивая неподвижная точка на плоскости (х ,у ). Этот эффект возникает вследствие того,
Перемежающееся поведение при больших значениях расстройки собственных частот взаимодействующих осцилляторов
При взаимодействии систем с изначально фазово-некогерентными хаотическими аттракторами вопрос о режиме фазовой синхронизации в них более сложен с методологической точки зрения, так как в этом случае, фактически, нельзя напрямую применять ни один из традиционных способов введения фазы для хаотического сигнала, описанных в разделе 1.1 настоящей диссертационной работы. В то же самое время, очевидно, что взаимодействующие осцилляторы даже с фазово-некогрентными аттракторами могут демонстрировать синхронную динамику. В этом случае, как правило, применяется некоторое преобразование координат, описывающих состояние системы, после которого (в новых переменных) аттрактор становится фазово-когерентным, и далее используются уже традиционные методы введения фазы с помощью сечения Пуанкаре, преобразования Гильберта или как угол поворота на одной из плоскостей проекций. В качестве таких преобразований используют различные способы фильтрации временных рядов [2], достаточно сложные нелинейные преобразования [3], но наиболее типичным и часто используемым является переход от векторов состояний X к векторам скоростей х. Достаточно часто на плоскости скоростей хаотический аттрактор автономных систем является фазово-когерентным, тогда как исходный хаотический аттрактор в пространстве состояний системы является фазово-некогерентным.
Справедливости ради, следует также отметить существование и других подходов к описанию синхронного поведения взаимодействующих осцилляторов с изначально фазово-некогерентными хаотическими аттракторами, таких как метод косвенных измерений [98], синхронизация временных масштабов [26,99,100] или синхронизация спектральных компонент [89], а также рассмотрение синхронизации неустойчивых седловых орбит, встроенных в хаотические аттракторы взаимодействующих систем [88,101].
Рассмотрим два взаимно связанных осциллятора Ресслера с позиций, описанных в разделах 1.2 и 1.3. Заметим, что именно эта система исследовалась в работе [32], где были описаны особенности перехода к режиму фазовой синхронизации, связанные со свойствами когерентности аттракторов и положением критических кривых (рис. 1.14).
Значения управляющих параметров системы (1.13) были выбраны такими же как и в работе [32]. В уравнении (1.13) d - параметр связи, ші — 0.98, ш2 = 1.02, параметр а Є [0.15; 0.3] определяет топологию хаотических аттракторов. Известно, что когда а превышает критическое значение ас
Рис. 1,14: Граница режима фазовой синхронизации двух связанных осцилляторов Рес-слера (1.13). Жирная сплошная линия соответствует разрушению синхронного режима, когда оба хаотических аттрактора сохраняют свойство фазовой когерентности как выше, так и ниже границы фазовой синхронизации. Тонкой линией показана граница синхронного режима в том случае, когда разрушение фазовой синхронизации сопровождается потерей фазовой когерентности аттрактора. Смена типов разрушения синхронного режима происходит при а, я 0.205. Аттрактор первой системы Ресслера является фазово-некогерентным в области, показанной серым цветом. Нижняя граница области фазовой некогерентности нанесена пунктирной линией. (aci & 0.186 для wi и 2C2 0.195 для CJ2), хаотический аттрактор автономной системы Ресслера становится некогерентным [32]. Следуя [32], при исследовании фазовой синхронизации систем с изначально спиральными аттракторами, фаза ip(t) определялась как угол поворота ц — arctan(y/±) на плоскости скоростей {х\ у).
Исследовав поведение двух взаимно связанных систем Ресслера (1.13) вдоль границы режима фазовой синхронизации на плоскости (a,d), удалось обнаружить два сценария разрушения синхронного режима, описанные в разделе 1.2. При малых значениях параметра а {а а 0.205) первый сценарий разрушения режима фазовой синхронизации реализуется, когда хаотические аттракторы обеих систем сохраняют свойство фазовой когерентности на плоскости (±, у) как выше, так и ниже границы фазовой синхронизации (рис. 1.14). При а а хаотический аттрактор первой системы становится фазово-некогерентным как только величина связи d оказывается меньше граничного значения, соответствующего порогу установления фазовой синхронизации, при этом аттрактор второй системы остается фазово-когерентным. Заметим, что а а , следовательно, смена типа разрушения синхронной динамики происходит в тот момент, когда обе системы в автономном режиме начинают характеризоваться спиральными аттракторами на плоскости (х,у).
Поведение одного из нулевых показателей Ляпунова вблизи границы режима фазовой синхронизации
В настоящей главе диссертационной работы описаны результаты изучения перемежающегося поведения, наблюдающегося вблизи границы фазовой синхронизации. Наличие перемежаемости характерно для многих нелинейных систем, и наблюдается, в частности, при переходе от периодических колебаний к хаотическим [36], а также вблизи границы возникновения различных режимов хаотической синхронизации связанных осцилляторов [5,37,38,102]. В этом случае ниже границы фазовой синхронизации зависимость разности фаз взаимодействующих осцилляторов от времени Л(/?(і) содержит участки синхронной динамики (ламинарные фазы), прерывающиеся внезапными проскоками (турбулентные фазы), во время которых значение разности фаз изменяется на 27Г1. Существует определенная классификация перемежающегося поведения, в частности, выделяют перемежаемость типа I-III [36,42], on-off перемежаемость [43], перемежаемость игольного ушка [44]. Несмотря на некоторое сходство (наличие во временном ряду двух различных режимов, чередующихся друг с другом), каждый тип перемежаемости обладает своими собственными особенностями и характеристиками (прежде всего, это зависимость средней длительности ламинарных фаз от управляющего параметра и распределение длительностей ламинарных фаз). Причины, приводящие к возникновению перемежающегося поведения каждого типа также различны.
Наличие двух механизмов, обусловливающих разрушение режима хаотической фазовой синхронизации, подробно описанных в главе 1 настоящей диссертационной работы, должно, очевидно, приводить к различным проявлениям этих механизмов в окрестности границы фазовой синхронизации. В частности, можно ожидать, что в зависимости от величины расстройки управляющих параметров взаимодействующих осцилляторов, ниже границы фазовой синхронизации будут наблюдаться два различных типа перемежающегося поведения.
В связи с этим представляется важным и интересным исследовать вопрос о характере перемежающегося поведеріия в двух связанных хаотических осцилляторах вблизи границы фазовой синхронизации при различных значениях расстройки собственных частот взаимодействующих подсистем. Именно этому вопросу и посвящена настоящая глава. В ней будет подробно рассмотрен вопрос о характеристиках перемежаемости на границе режима фазовой синхронизации для двух случаев: когда частотная расстройка взаимодействующих осцилляторов является малой, и при условии, что связанные подсистемы расстроены достаточно сильно по частоте. Структура настоящей главы следующая: в разделе 2.1 детально обсуждается вопрос о перемежающемся поведении, возникающем ниже границы фазовой синхронизации в случае малых частотных расстроек между взаимодействующими осцилляторами, а затем, в разделе 2.1.1, рассматриваются примеры различных систем, демонстрирующих данный тип поведения. Поскольку для перемежаемости игольного ушка закон распределения длительностей ламинарных фаз до настоящего момента известен не был, то следующий раздел 2.2 посвящен именно этой задаче: в подразделе 2.2.1 проводится аналитическое рассмотрение этого вопроса, а полученные теоретические соотношения проверяются на различных модельных системах в подразделе 2.2.2. Наконец, перемежающееся поведение вблизи границы установления режима хаотической фазовой синхронизации при больших значениях расстроек управляющих параметров рассматривается в разделе 2.3 аналитически, а в разделе 2.4 — численно, на примерах связанных осцилляторов Ресслера и генераторов на туннельных диодах, соответственно.
В научной литературе описано существование двух типов перемежающегося поведения для хаотических систем, наблюдающихся при разрушении режима фазовой синхронизации в случае, когда собственные частоты осциллятора и внешнего сигнала отличаются мало [44,48,103], и, соответственно, выделяют два значения параметра связи j\ (Т2, являющиеся характерными точками, разграничивающими различные типы динамики. Ниже границы режима фазовой синхронизации динамика разности фаз Д ) содержит участки синхронной динамики (ламинарные фазы) постоянно прерывающиеся внезапными фазовыми проскоками (турбулентные фазы), в течение которых значение Д () изменяется на 2п. Проанализировав статистику ламинарных фаз, можно заключить, что ниже величины связи о\ (то есть достаточно далеко от границы установления/разрушения режима хаотической фазовой синхронизации G I) наблюдается перемежаемость типа I, для которой имеет место степенной закон Т (сг\ — а) 1 2 для средней длительности ламинарных фаз, в то время как выше критической точки o i обнаруживается режим фазовой синхронизации. Для величины связи а Є ( Ji; сг2) наблюдается сверхдлинное ламинарное поведение (так называемая перемежаемость игольного ушка), характеристики которого существенно отличаются от хорошо известных характеристик перемежаемости типа-І. В предыдущих исследованиях (например, работы [44,48]) показано, что для перемежаемости игольного ушка зависимость средней длительности Г ламинарных фаз от параметра надкритичности {ач — а) выражается законом
