Содержание к диссертации
Введение
1 Взаимосвязь обобщенной и фазовой синхронизации в системе двух однонаправлено связанных хаотических осцил ляторов 18
1.1 Режимы обобщенной и фазовой хаотической синхронизации 18
1.2 Границы обобщенной и фазовой синхронизации в связанных хаотических осцилляторах Ресслера 23
1.3 Расположение границ обобщенной и фазовой синхронизации в однонаправлено связанных генераторах Кияшко– Пиковского–Рабиновича 34
1.4 Влияние степени когерентности аттрактора на установление синхронизации 45
1.5 Выводы по главе 1 49
2 Соотношение обобщенной и фазовой синхронизации в случае воздействия хаотического сигнала на систему с перио дической динамикой 51
2.1 Обобщенная и фазовая синхронизации в случае воздействия хаотического сигнала на систему с периодической динамикой 51
2.2 Практические приложения обобщенной синхронизации 61
2.3 Пути возможного совершенствования способа передачи информации на основе обобщенной синхронизации 66
2.4 Выводы по главе 2 72
3 Поведение показателей Ляпунова при установлении режимов обобщенной и фазовой хаотической синхронизации 74
3.1 Об использовании ляпуновских показателей для определения качественных изменений в поведении систем 74
3.2 Поведение условных показателей Ляпунова вблизи границ возникновения режимов обобщенной и фазовой синхронизации 76
3.3 Оценка старшего условного показателя Ляпунова по временной реализации 79
3.4 Оценка нулевого условного показателя Ляпунова по временному ряду 82
3.4.1 Нулевой условный показатель Ляпунова в модельных периодических системах, находящихся под дей ствием шума 83
3.4.2 Поведение нулевого условного показателя Ляпунова вблизи границы синхронизации периодических систем, находящихся под действием шума 87
3.4.3 Оценка нулевого условного показателя Ляпунова в хаотических системах, находящихся вблизи границы фазовой хаотической синхронизации 92
3.5 Выводы по главе 3 94
Заключение 95
Список литературы 98
- Границы обобщенной и фазовой синхронизации в связанных хаотических осцилляторах Ресслера
- Обобщенная и фазовая синхронизации в случае воздействия хаотического сигнала на систему с периодической динамикой
- Об использовании ляпуновских показателей для определения качественных изменений в поведении систем
- Поведение нулевого условного показателя Ляпунова вблизи границы синхронизации периодических систем, находящихся под действием шума
Введение к работе
Актуальность исследуемой проблемы. Исследование синхронизации хаотических колебаний связанных динамических систем представляется в настоящее время одной из актуальных задач современной радиофизики1. Интерес к этому феномену обусловлен как фундаментальными, так и прикладными аспектами изучения этого вопроса. В частности, хаотическая синхронизация может найти применение при скрытой передаче информации, в физических, физиологических, биологических, химических системах, при управлении хаосом в системах радиофизики и микроволновой электроники и т.д.2 В настоящее время известны различные типы хаотического синхронного поведения связанных нелинейных систем. Это, прежде всего, полная синхронизация, синхронизация с запаздыванием, обобщенная синхронизация, фазовая синхронизация, индуцированная шумом синхронизация и др.
Среди вышеназванных типов хаотической синхронизации особый интерес представляют режимы обобщенной3 и фазовой4 синхронизации. Существует достаточно большое число работ (см., например, работы H.D.I. Abarbanel, S. Boccaletti, L. Kocarev, J. Kurths, U. Parlitz, K. Pyragas, E. Rosa, M. Zaks, Z. Zheng, В.С. Анищенко, В.В. Астахова, Б.П. Безручко, Т.Е. Вадивасо-вой, Д.С. Голдобина, А.А. Короновского, О.И. Москаленко, Г.В. Осипова, А.Н. Павлова, А.С. Пиковского, В.И. Пономаренко, М.Д. Прохорова, М.Г. Ро-зенблюма, Н.Ф. Рулькова, А.Е. Храмова, А.В. Шабунина), направленных на определение факта существования этих режимов, разработку методов их диагностики и анализа, определение количественных и качественных характеристик, выявление механизмов возникновения и изучение эффектов, имеющих место на границах этих режимов. В то же самое время, почти все известные работы посвящены, как правило, изучению этих типов синхронного поведения в отдельности, в то время как вопросы взаимосвязи этих режимов в литературе практически не рассматриваются. Исключение представляют работы А.А. Короновского и А.Е. Храмова с соавторами5, в которых описываются общие подходы к анализу сразу нескольких типов хаотической синхронизации, последовательно сменяющих друг друга при изменении значения параметра связи, при этом каждый тип синхронного поведения рассматривается как
1А.С. Пиковский, М.Г. Розенблюм, Ю. Куртс, Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление,
М.: Техносфера, 2003.
2V.S. Anishchenko et al., Int. J. Bifurcation and Chaos 10 (10) (2000) 2339–2348; А.А. Короновский,
О.И. Москаленко, А.Е. Храмов, Успехи физических наук 179 (12) (2009) 1281–1310.
3N.F. Rulkov, M.M. Sushchik, L.S. Tsimring, H.D.I. Abarbanel, Phys. Rev. E 51 (2) (1995) 980–994.
4В.С. Анищенко,Д.Э. Постнов, Письма в ЖТФ 14 (6) (1988) 569.
5A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, Chaos 14 (3) (2004) 603–610; A.E. Hramov, A.A. Koronovskii,
M.K. Kurovskaya, O.I. Moskalenko, Phys. Rev. E 71 (5) (2005) 056204.
частный случай единого типа синхронной хаотической динамики, названного синхронизацией временных масштабов (спектральных компонент). Однако, вопрос о взаимосвязи различных типов хаотической синхронизации при изменении силы связи и расстройки параметров между взаимодействующими системами, несмотря на всю значимость, до настоящего момента детально не рассматривался. Поэтому настоящая диссертационная работа нацелена на систематическое изучение поведения систем вблизи границ установления режимов фазовой и обобщенной синхронизации и содержит решение нескольких тесно связанных друг с другом задач. В частности, в диссертационной работе большое внимание уделено определению закономерностей поведения границ обобщенной и фазовой хаотической синхронизации при изменении величины параметра связи и расстройки параметров между системам и взаимосвязи между ними. Для этого рассмотрен также вопрос о трансформации спектрального состава сигнала ведомой системы при установлении этих типов хаотической синхронизации.
Режимы обобщенной и фазовой хаотической синхронизации наблюдаются, как правило, в неавтономных (например, находящихся под внешним гармоническим воздействием - режим фазовой синхронизации) и связанных (режимы обобщенной и фазовой синхронизации) хаотических системах. В то же самое время, теоретически не исключена возможность возникновения этих режимов в том случае, когда внешний хаотический сигнал воздействует на систему, демонстрирующую периодическое поведение. В частности, в работе О.И. Москаленко6 показана возможность возникновения фазовой синхронизации в данном случае и установлено, что сценарии перехода к этому режиму оказываются теми же, что и в случае двух связанных хаотических систем. Интерес представляет также режим обобщенной синхронизации в случае воздействия хаотической системы на периодическую. Изучению этого режима и его возможных практических приложений (в частности, для скрытой передачи информации по каналам связи с высоким уровнем шумов) также посвящена настоящая диссертационная работа.
Важную роль при изучении хаотической синхронизации играют показатели Ляпунова. В частности, для однонаправлено связанных хаотических систем известно, что переход условного нулевого показателя Ляпунова в область отрицательных значений предшествует установлению режима фазовой синхронизации7, а отрицательность условного положительного ляпуновского
6О.И. Москаленко, Письма в ЖТФ 33 (19) (2007) 72–79.
7G.V. Osipov et al., Phys. Rev. Lett. 91 (2) (2003) 024101; A.E. Hramov, A.A. Koronovskii, M.K. Kurovskaya,
Phys. Rev. E 78 (2008) 036212.
показателя свидетельствует об установлении режима обобщенной синхронизации в исследуемой системе8. Этот аппарат оказывается эффективным как при изучении динамики связанных хаотических систем, так и при взаимодействии систем, демонстрирующих периодическую и хаотическую динамику. Можно утверждать, что он является универсальным средством для изучения динамики нелинейных систем, представляющих интерес для изучения.
Расчет ляпуновских показателей динамических систем не вызывает большого труда в том случае, когда оператор эволюции системы задан в явном виде: можно получить уравнения в вариациях, описывающие эволюцию малых возмущений, и применить алгоритм Бенеттина с процедурой ортогонализа-ции Грамма-Шмидта. Однако, может возникнуть необходимость, например, при обработке экспериментальных данных, в расчете показателей Ляпунова, когда единственной доступной характеристикой является временная реализация изучаемой системы. В настоящее время известны методы9, позволяющие рассчитать несколько старших показателей Ляпунова по временному ряду, однако, все они не свободны от недостатков и применяются, как правило, для подтверждения наличия хаоса в автономных системах. Применение подобных методов к связанным системам приводит к большим погрешностям расчета, а в большинстве случаев делает точную оценку ляпуновских показателей, представляющих интерес для исследования, и вовсе невозможной. Поэтому в настоящей диссертационной работе большое внимание уделяется также разработке методов оценки условных (нулевого и положительного) показателей Ляпунова по временным данным.
Таким образом, на основании вышеизложенного можно заключить, что изучение взаимосвязи режимов обобщенной и фазовой хаотической синхронизации и поведения показателей Ляпунова вблизи границ этих режимов представляет интерес для современной радиофизики, что делает тему диссертационной работы важной и актуальной.
Цель диссертационной работы. Целью настоящей диссертационной работы является выявление особенностей границ возникновения режимов обобщенной и фазовой синхронизации и поведения показателей Ляпунова вблизи этих границ в однонаправлено связанных потоковых системах, разработка новых методов их анализа и определение взаимосвязи между ними.
Основными вопросами, подробно рассмотренными в диссертационной работе, являются следующие:
исследование особенностей расположения границ обобщенной и фазовой
8K. Pyragas, Phys. Rev. E 56 (5) (1997) 5183–5188.
9A. Wolf et al., Physica D 16 (1985) 285; J.P. Eckmann et al., Phys. Rev. A 34 (6) (1986) 4971–4979.
синхронизации в однонаправлено связанных хаотических осцилляторах при изменении управляющих параметров;
изучение трансформации спектрального состава сигнала ведомой системы при установлении режимов обобщенной и фазовой синхронизации;
исследование возможности установления режимов обобщенной и фазовой синхронизации в случае воздействия хаотического сигнала на генераторы периодических колебаний;
разработка способа скрытой передачи информации на основе обобщенной синхронизации в случае воздействия хаотического сигнала на генераторы периодических колебаний;
разработка методов оценки условных показателей Ляпунова по временной реализации.
Результаты настоящей диссертационной работы позволяют выявить особенности поведения нелинейных динамических систем, находящихся в режимах обобщенной и фазовой синхронизации. Они обладают высокой степенью общности, что дает возможность распространить полученные результаты на широкий класс нелинейных систем различной природы.
Основные положения, выносимые на защиту.
-
В системе двух однонаправлено связанных генераторов Кияшко– Пиковского–Рабиновича в случае относительно больших значений расстройки собственных частот возможно возникновение режима обобщенной синхронизации по сценарию, характерному для относительно слабых значений частотной расстройки: в этом случае режим фазовой синхронизации реализуется также по сценарию захвата частот, однако, в отличие от случая слабых расстроек, его разрушение сопровождается потерей фазовой когерентности хаотическим аттрактором ведомой системы.
-
В случае воздействия внешнего хаотического сигнала на систему с периодической динамикой возможно возникновение режима обобщенной синхронизации, при этом порог возникновения синхронного режима сдвигается в сторону меньших значений параметра связи по сравнению со случаем двух связанных хаотических систем, если в ведомой системе не возбуждается собственная хаотическая динамика; в противном случае поведение границы обобщенной синхронизации аналогично случаю двух однонаправлено связанных хаотических систем.
-
Способ скрытой передачи информации на основе обобщенной синхронизации в случае воздействия внешнего хаотического сигнала на систему с периодической динамикой обладает следующими достоинствами по сравнению с известными аналогами, основанными на использовании обобщенной синхронизации хаотических колебаний: стабильность при неидентичности управляющих параметров генераторов принимающего устройства, высокие устойчивость к шумам и качество передачи информации.
-
Аппроксимация плотности распределения вероятности для разности фаз взаимодействующих хаотических систем, находящихся в режиме фазовой синхронизации, и неавтономных периодических осцилляторов, демонстрирующих синхронное поведение в присутствии шума, закономерностью для квадратичного отображения позволяет оценить величину условного нулевого показателя Ляпунова в закритической области значений управляющего параметра и определить степень синхронности установившегося режима.
Научная новизна. Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в определении закономерностей поведения границ режимов обобщенной и фазовой хаотической синхронизации при изменении величины расстройки параметров между взаимодействующими системам, а также особенностей поведения показателей Ляпунова при установлении этих синхронных режимов.
Впервые получены следующие научные результаты:
Обнаружены особенности в поведении границ режимов обобщенной и фазовой синхронизации в системе двух однонаправлено связанных генераторов Кияшко–Пиковского–Рабиновича. Показано, что в случае относительно больших значений расстройки собственных частот взаимодействующих систем возможно возникновение режима обобщенной синхронизации по сценарию, характерному для относительно слабых значений частотной расстройки.
Исследована трансформация спектрального состава сигнала ведомой системы при установлении режимов обобщенной и фазовой синхронизации. Для изучения проявления режимов обобщенной и фазовой синхронизации на спектральном языке введены в рассмотрение количественные характеристики.
Обнаружена обобщенная синхронизация в случае воздействия внешнего хаотического сигнала на систему с периодической динамикой. Выявлены особенности поведения границы этого режима по сравнению со случаем двух однонаправлено связанных хаотических систем.
Обнаружена возможность использования обобщенной синхронизации в случае воздействия хаотического сигнала на систему с периодической динамикой для скрытой передачи информации. Выявлены принципиальные достоинства предложенного способа скрытой передачи данных по сравнению с известными аналогами.
Предложен способ оценки величины условного нулевого показателя Ляпунова по временному ряду и проведена его апробация как на неавтономных системах, демонстрирующих периодическую динамику, в присутствии шума, так и связанных хаотических системах.
Научная и практическая значимость работы. Диссертационная работа решает научную задачу, имеющую существенное значение для радиофизики, связанную с выявлением общих закономерностей режимов обобщенной и фазовой синхронизации как связанных хаотических систем, так и периодических генераторов, находящихся под внешним хаотическим воздействием. В качестве объектов исследования в диссертационной работе выбраны эталонные модели теории колебаний, демонстрирующие периодическую (например, автогенератор Ван дер Поля) и хаотическую (системы Ресслера, генераторы Кияшко-Пиковского-Рабиновича) динамику. Эти модели хорошо зарекомендовали себя при решении задач радиофизики, теории колебаний и нелинейной динамики, что позволяет утверждать, что результаты, описанные в диссертационной работе, могут быть обобщены на широкий класс нелинейных систем, включая реальные системы радиофизической и физиологической природы. В частности, предложенный метод оценки величины условного нулевого показателя Ляпунова может быть применен для определения степени синхронности режима синхронизации, установливаемого, например, между различными областями головного мозга человека или лабораторных животных.
Кроме того, обнаруженная в рамках диссертационной работы возможность реализации обобщенной синхронизации не только в случае взаимодействия двух однонаправлено связанных хаотических систем, но и при воздействии хаотического сигнала на генераторы периодических колебаний, позволила разработать способ скрытой передачи информации на основе этого явления. В отличие от своего аналога, основанного на режиме обобщенной синхрони-
зации хаотических систем, он позволяет ликвидировать проблему нестабильности способа при неидентичности управляющих параметров взаимодействующих систем, а также повысить устойчивость к шумам и качество передачи информации.
Результаты, изложенные в диссертационной работе, внедрены в учебный процесс по подготовке бакалавров и магистров по направлению “Радиофизика” в ФГБОУ ВПО “Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского”.
Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием строгих математических процедур; известных уравнений, описывающих нелинейные процессы; общепризнанных методов и подходов, апробированных на различных системах и хорошо зарекомендовавших себя при проведении научных исследований; обоснованным выбором параметров численных методов. Достоверность полученных результатов подтверждается их воспроизводимостью, сопоставлением аналитически и численно полученных результатов, совпадением результатов при использовании различных методов диагностики колебательных режимов, а также отсутствием противоречий с известными в научной литературе достоверными общепризнанными результатами.
Личный вклад. Результаты, вошедшие в диссертационную работу, получены автором лично или при его непосредственном участии. В ряде совместных работ автором выполнены все аналитические и численные расчеты. Разработка способа передачи информации на основе обобщенной синхронизации в случае воздействия внешнего хаотического сигнала на генераторы периодических колебаний осуществлялась совместно с А.А. Короновским, О.И. Москаленко, Н.С. Фроловым, А.Е. Храмовым, при этом все численные расчеты получены автором лично. Постановка задач, разработка методов их решения, объяснение и интерпретация результатов осуществлены совместно с научным руководителем.
Апробация работы. Материалы диссертационной работы использовались при выполнении научно–исследовательских работ по грантам Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проекты 12–02–00221–а, 14– 02–31088-мол-а) и Федеральной целевой программы “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009–2013 годы (соглашение № 14.B37.21.1289 от 21 сентября 2012 г., ГК № П586 от 18 мая 2010 г., П2492 от 20 ноября 2009 г.).
Представленные результаты неоднократно докладывались на различных научных конференциях и семинарах и отражены в тезисах докладов: научной школы-конференции “Нелинейные дни в Саратове для молодых” (СГУ,
Саратов, 2011-2012), конференции для молодых ученых “Presenting Academic Achievements to the World” (СГУ, Саратов, 2012), VII Всероссийской конференции молодых ученых “Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика” (СФ ИРЭ РАН, Саратов, 2012), X Международной школы “ХАОС-2013” (СГУ, Саратов, 2010), Международной научно-технической конференции, приуроченной к 50-летию МРТИ-БГУИР (БГУИР, Минск, 2014). Всего 5 публикаций в трудах конференций.
Публикации. Результаты работы опубликованы в центральных реферируемых научных журналах (4 статьи), рекомендованных ВАК РФ для опубликования основных научных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук, а также в трудах конференций (5 статей и тезисов докладов).
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. Она содержит 110 страниц текста, включая 29 иллюстраций. Список литературы содержит 119 наименований.
Границы обобщенной и фазовой синхронизации в связанных хаотических осцилляторах Ресслера
В качестве первого примера, следуя работам [49,94,95], рассмотрим две однонаправлено связанные системы Ресслера:
где параметр є характеризует величину связи между осцилляторами, а = 0.15, р = 0.2, с = 10.0 — управляющие параметры. Параметр иг = 0.95, отвечающий собственной частоте колебаний ведомой системы, был выбран фиксированным, в то время как аналогичный параметр ведущей системы ud менялся в диапазоне [0.8; 1.1], обеспечивая расстройку между взаимодействующими осцилляторами. При выбранных значениях управляющих параметров систем во всем диапазоне изменения параметра Ud аттракторы обеих хаотических систем в отсутствии связи являются фазово-когерентными [49,93].
На рисунке 1.1 показано расположение границ возникновения режимов обобщенной и фазовой синхронизаций, а также линия потери/появления фазовой когерентности двух связанных хаотических осцилляторов (1.10) на плоскости управляющих параметров (ujd-, є). Линия 1 соответствует границе установления режима обобщенной синхронизации, линия 2 - границе установления режима фазовой синхронизации, а линия 3 - границе появления/потери фазовой когерентности хаотическим аттрактором ведомой системы. Порог возникновения обобщенной синхронизации определялся при помощи вычисления условных показателей Ляпунова для системы (1.10) и уточнялся с помощью метода вспомогательной системы (см. раздел 1.1).
Из рисунка видно, что граница режима обобщенной синхронизации при малых расстройках взаимодействующих систем располагается существенно выше, чем при больших значениях частотной расстройки. Кроме того, при достаточно больших значениях расстройки связанных систем значение параметра SGS, отвечающее возникновению режима обобщенной синхронизации, практически не зависит от величины параметра Ud ведущей системы. Причины такого поведения границы обобщенной синхронизации были объяснены в работе [94].
Для определения момента потери/возникновения фазовой когерентности хаотическим аттрактором ведомой системы была вычислена мера когерентности (1.9) при изменении параметра связи. Наличие синхронного режима определялось выполнением условия захвата фаз (1.8). Мгновенная фаза хаотического сигнала вводилась традиционным способом как угол поворота на плоскости (ж,у) (см. соотношение (1.3)), что было возможно сделать благодаря фазовой когерентности хаотических аттракторов.
Нетрудно заметить, что в четком соответствии с результатами работ [49,93] в системе двух однонаправлено связанных систем Ресслера реализуются два сценария разрушения режима фазовой синхронизации. В случае малой расстройки параметров Ud и иг при уменьшении параметра связи є режим фазовой синхронизации разрушается, хотя хаотические аттракторы остаются фазово-когерентными. А при большой отстройке значений управляющих параметров наблюдается следующее: ниже границы фазовой синхронизации хаотический аттрактор ведомой системы Ресслера становится фазово-некогерентным, что и приводит к разрушению режима фазовой синхронизации. Кроме того, как нетрудно видеть из рисунка 1.1, граница обобщенной синхронизации в области относительно больших значений расстройки частот и линии возникновения/потери фазовой когерет-ности хаотического аттрактора ведомой системы оказываются близки к друг к другу.
Исследуем взаимосвязь между режимами обобщенной и фазовой синхронизации, а также возникновением/потерей фазовой когерентности хаотического аттрактора ведомой системы на языке спектральных компонент. Если параметры взаимодействующих систем расстроены достаточно слабо, потери фазовой когерентности хаотического аттрактора не происходит, а режим фазовой синхронизации сопровождается синхронизацией основной спектральной компоненты на частоте ведущей (ведомой) системы (в режиме фазовой синхронизации эти частоты совпадают), а обобщенная синхронизация возникает за счет синхронизации основной спектральной компоненты ведомой системы и ее субгармоник [95,96], что и обусловливает возникновение режима обобщенной синхронизации при больших значениях параметра связи по сравнению с режимом фазовой синхронизации.
Значительно сложнее обстоит дело с областью относительно больших значений расстройки собственных частот взаимодействующих систем. Зафиксируем параметр ведущей системы Ud = 1.00 и исследуем механизмы разрушения фазовой и обобщенной синхронизации на спектральном языке.
В отсутствие связи между системами в виду достаточно хорошей топологии аттрактора в фурье-спектрах обеих систем присутствует одна четко выраженная спектральная компонента. Так как параметры взаимодействующих систем расстроены достаточно сильно, основная частота собственных колебаний ведущей системы fd = ujd/2ir достаточно сильно отличается от основной частоты собственных колебаний ведомой системы fr = ыг/27г, а следовательно захвата этих частот не происходит: при є 0 в фурье-спектре ведомой системы присутствуют два пика, один из которых отвечает частоте fd, а другой — fr. Интенсивность этих пиков определяется параметром связи: чем больше его величина, тем ярче выражен в спектре ведомой системы пик, соответствующий частоте fd и, наоборот, тем меньше интенсивность спектральной компоненты fr. Понятно, что если є достаточно мало, в фурье-спектре ведомой системы преобладает частота fr, в то время как после превышения параметром связи некоторого критического значения ес частота fd станет доминирующей. Эта ситуация проиллюстрирована на рисунке 1.2, где приведены фурье-спектры ведомой системы Ресслера (1.10) при є ес (а) и є ес (б).
Смена интенсивностей спектральных компонент, соответствующих основной частоте ведущей и собственной частоте ведомой систем, была объяснена в работе [95] возникновением режима обобщенной синхронизации в системе (1.10). В то же самое время, очевидно, что появление второй спектральной компоненты в фурье-спектре ведомой системы оказывает также влияние на потерю фазовой когерентности ее хаотического аттрактора. Более того, как видно из рисунка 1.1, границы обобщенной синхронизации и потери фазовой когерентности хаотического аттрактора в исследуемой системе оказываются близкими друг к другу. В частности, при выбранных значениях управляющих параметров (ujd = 1.00) режим обобщенной синхронизации возникает при SQS = 0.111, при єсм = 0.105 аттрактор ведомой системы теряет фазовую когерентность, а при eps = 0.169 реализуется режим фазовой синхронизации. Исследуем вопрос о трансформации спектрального состава сигнала с ведомой системы Ресслера (1.10) при изменении параметра связи и ее взаимосвязи с потерей когерентности хаотического аттрактора и возникновением режима обобщенной синхронизации более детально. Для этого введем в рассмотрение следующие характеристики:
1. зависимость интенсивностей спектральных компонент /г и / в спектре мощности (или фурье-спектре) ведомой системы от параметра связи;
2. доля энергии, приходящейся на спектральные компоненты /г и / j в спектре мощности (или фурье-спектре) ведомой системы, и ее зависимость от параметра связи.
Перейдем к анализу введенных характеристик. Начнем рассмотрение с зависимости интенсивностей спектральных компонент / и /г в спектре мощности ведомой системы от параметра связи. На рисунке 1.3 приведены такие зависимости. Видно, что интенсивности спектральных компонент на частоте ведущей и частоте ведомой систем примерно совпадают при є = єс = 0.096.
Момент совпадения интенсивностей спектральных компонент на частоте ведущей и ведомой систем оказывается близким к моментам потери фазовой когерентности хаотического аттрактора ведомой системы и возникновения обобщенной синхронизации в системе (1.10). Тем не менее, он не совпадает ни с одной из критических точек. Можно говорить, что совпадение интенсивностей четко выраженных спектральных компонент в спектре мощности ведомой системы в случае относительно большой расстройки с ведущей системой является предвестником возникновения обобщенной синхронизации и потери фазовой когерентности хаотического аттрактора. В режиме обобщенной синхронизации интенсивность спектральной компоненты на частоте ведущей системы оказывается больше интенсивности спектральной компоненты на частоте ведомой системы, в то время как до порога возникновения обобщенной синхронизации ситуация диаметрально противоположная.
Обобщенная и фазовая синхронизации в случае воздействия хаотического сигнала на систему с периодической динамикой
Перейдем к рассмотрению вопроса о возможности установления режимов обобщенной и фазовой синхронизации в том случае, когда внешний хаотический сигнал воздействует на систему находящуюся в периодическом режиме. При этом, как и в случае двух связанных хаотических систем, под обобщенной синхронизацией будем понимать установление уникального функционального соотношения (1.1) между состояниями исследуемых систем, а под фазовой синхронизацией — выполнение условия захвата фаз (1.8), введенных в рассмотрение для каждой системы теми же традиционными способами (см. раздел 1.1). Для диагностики обобщенной синхронизации, как и в рассмотренных в главе 1 случаях, будем использовать метод вспомогательной системы [29] и метод расчета условных показателей Ляпунова [56], реализация которых в данном случае останется неизменной. Практически неизменными останутся и критерии наличия обобщенной синхронизации: эквивалентность состояний ведомой и вспомогательной систем или отрицательность старшего условного показателя Ляпунова, который в силу того, что ведомая система находится в периодическом режиме, изначально будет нулевым. Так как переход нулевого показателя Ляпунова в область отрицательных значений предшествует установлению режима фазовой синхронизации (см., например, [49, 61, 63]1), а в области относительно слабых значений расстройки собственных частот оказывается максимально близким к нему, очевидно, что при такой расстройке в случае воздействия хаотического сигнала на систему, находящуюся в периодическом режиме, границы обобщенной и фазовой синхронизации будут практически совпадать друг с другом. При этом понятно, что характеристики ведомой системы также должны оказывать существенное влияние на порог возникновения синхронных режимов. Если в ведомой системе реализуются периодические колебания периода 1 (аттрактором является простой предельный цикл), условие на наличие обобщенной синхронизации будет выполнено автоматически даже в отсутствие связи между системами: состояния ведомой и вспомогательной систем в данном случае не могут быть различными. Интересным представляется вопрос об особенностях этого режима в том случае, если в автономной ведомой системе реализуется периодический режим, отличный от предельного цикла. На изучение этого вопроса и нацелена настоящая глава диссертационной работы.
Коротко обсудим механизмы возникновения обобщенной синхронизации в случае воздействия хаотического сигнала на систему, демонстрирующую периодическое поведение. В работах [46,99] было показано, что в случае взаимодействия двух хаотических осцилляторов, независимо от типа связи (диссипативная или недиссипативная) между ними, возникновение обобщенной синхронизации определяется балансом между подавлением собственной хаотической динамики в ведомой системе и возбуждением хаотических колебаний в ней под действием внешнего сигнала ведущей системы. Понятно, что в рассматриваемом случае “собственная хаотическая динамика” в ведомой системе отсутствует, а следовательно, ведущая система может легко навязать ей свою хаотическую динамику. В этом случае режим обобщенной синхронизации должен возникать при меньших зна-1Этот вопрос будет рассмотрен более детально в третьей главе диссертационной работы. чениях параметра связи по сравнению со случаем двух однонаправлено связанных хаотических систем.
Особого внимания заслуживает вопрос о поведении границы обобщенной синхронизации при изменении параметров ведущей системы. В частности, как было показано в главе 1, для двух однонаправлено связанных хаотических осцилляторов поведение границы обобщенной синхронизации на плоскости параметров “частота ведущей системы — параметр связи” существенным образом отличается от поведения границ других известных типов хаотической синхронизации: в области относительно больших значений расстройки собственных частот порог возникновения синхронного режима практически не зависит от параметров ведущей системы, в то время как в области относительно слабых расстроек порог обобщенной синхронизации в некоторых системах начинает резко расти (см. также работы [76,94,95,100]). Рассмотрим поведение границы обобщенной синхронизации в случае взаимодействия хаотического осциллятора с системой, находящейся в периодическом режиме, на конкретных примерах. Начнем рассмотрение с однонаправлено связанных осцилляторов Ресслера.
Исследуемая модель в безразмерном виде описывается системой дифференциальных уравнений (1.10) с теми же значениями управляющих параметров за исключением параметра а (будем обозначать его аг) для ведомой системы. При выборе управляющего параметра ведомой системы аг = 0.08 в системе реализуется цикл периода 2, аналогично, при аг = 0.09 — цикл периода 4, при аг = 0.094 — цикл периода 8. Параметр ведущей системы ud нужно варьировать в диапазоне от 0.86 до 1.04 для того, чтобы задать расстройку взаимодействующих осцилляторов. Во всем диапазоне изменения параметра Ud ведущая система демонстрирует хаотическую динамику.
На рисунке 2.1 показано расположение границы обобщенной синхронизации системы (1.10) на плоскости управляющих параметров (и ,є). Линия 1 соответствует границе установления режима обобщенной синхронизации при аг = 0.08, линия 2 - при аг = 0.09, а линия 3 - при аг = 0.094. Порог возникновения синхронного режима определялся по моменту перехода нулевого условного показателя Ляпунова в область отрицательных значе ний, а затем уточнялся при помощи метода вспомогательной системы. Из рисунка видно, что чем проще режим, реализующийся в системе, тем ниже пороговое значение параметра связи, соответствующее установлению синхронного режима. Более того, границы возникновения синхронного режима в данном случае проходят значительно ниже аналогичной границы в случае взаимодействия двух связанных хаотических систем (ср. рисунок 2.1 и рисунок 1.1), что подтверждает теоретические рассуждения, приведенные выше. В то же самое время, как и в случае двух связанных хаотических систем, во всех рассмотренных случаях порог возникновения режима обобщенной синхронизации в области относительно больших значений расстройки собственных частот практически не зависит от параметра ведущей системы. Однако, в области относительно слабых значений частотной расстройки наблюдается сильный “провал”, что не характерно для систем, демонстрирующих хаотическую динамику.
Возникновение обнаруженного “провала” можно объяснить следующим образом. Если частота внешнего хаотического воздействия близка к собственной частоте колебаний ведомой системы, происходит захват частот, а следовательно установление фазовой синхронизации. Ведомая система находится в периодическом режиме, поэтому ведущая система может легко навязать ей свою хаотическую динамику. В этом случае границы фазовой и обобщенной синхронизации будут примерно совпадать, а граница обобщенной синхронизации будет демонстрировать “нормальное” поведение2. К аналогичному выводу можно прийти, исходя из теоретических рассуждений, представленных выше. В области относительно слабых значений расстройки собственных частот режиму фазовой синхронизации предшествует переход условного нулевого показателя Ляпунова в область отрицательных значений. Так как этот ляпуновский показатель является старшим для ведомой системы, момент его перехода в область отрицательных значений соответствует порогу обобщенной синхронизации. Понятно, что в области относительно слабых значений расстройки частот взаимодейству-2Под “нормальным” поведением в данном случае понимается рост порогового значения параметра связи, соответствующего установлению синхронного режима, при увеличении величины расстройки между системами. ющих систем эти две границы должны располагаться очень близко друг к другу.
В области же относительно больших значений расстройки собственных частот возникновение обобщенной синхронизации обусловлено другим механизмом. Как и в случае двух связанных хаотических систем, синхронный режим возникает за счет подавления собственной динамики ведомой системы и возбуждением в ней хаотических колебаний под действием ведущей системы.
Об использовании ляпуновских показателей для определения качественных изменений в поведении систем
В настоящей главе диссертационной работы рассмотрим поведение показателей Ляпунова при установлении режимов обобщенной и фазовой хаотической синхронизации. Перед тем как перейти к изложению результатов, полученных в этой области, коротко остановимся на возможных приложениях ляпуновских показателей.
В настоящее время известно, что показатели Ляпунова представляют собой мощный инструмент для анализа сложного поведения систем [57, 58,60,62]. Они используются, в частности, для количественного описания поведения физических, химических, астрономических, медицинских и экономических систем.
Одним из наиболее значимых приложений показателей Ляпунова является их использование для обнаружения качественных изменений в динамике системы при варьировании управляющих параметров. Они используются, в частности, для идентификации перехода между различными режимами (например, от периодических или квазипериодических колебаний к хаотическим [67], от хаотических — к гиперхаотическим [108]), для выяв ления наличия гиперболического аттрактора [60,109], а также для диагностики различных типов синхронизации (см., например, [46,59,88,110,111]).
Поведение потоковой диссипативной системы с размерностью фазового пространства равной N может быть описано при помощи спектра показателей Ляпунова Ai А2 ... XN. Понятно, что если эта динамическая система находится в хаотическом режиме, как минимум один показатель Ляпунова будет положительным в данном случае. Если в системе присутствует только один положительный показатель Ляпунова, говорят, что система находится в режиме хаоса. Если положительных ляпуновских показателей оказывается два и более, то реализующийся в системе режим классифицируют как гиперхаос. Кроме положительных показателей Ляпунова в потоковой динамической системе присутствуют также нулевой (отвечающий за возмущения вдоль траектории в фазовом пространстве системы) и отрицательные ляпуновские показатели, при этом последние отвечают за сближение фазовых траекторий в фазовом пространстве. Для дискретных отображений требования к сигнатуре спектра показателей Ляпунова оказываются менее серьезными: нулевой показатель Ляпунова может вовсе отсутствовать (за исключением квазипериодических режимов), а для одномерных отображений, находящихся в непериодических режимах, отсутствуют также отрицательные ляпуновкие показатели [67].
Для вычисления спектра показателей Ляпунова существуют эффективные методы и подходы. В то же самое время, найти значения ляпуновских показателей аналитически далеко не всегда представляется возможным (только в случае реализации в системе стационарного состояния, реже — периодических колебаний). Если в системе имеют место режимы сложной хаотической динамики (что и является предметом изучения в настоящей диссертационной работе), для нахождения спектра показателей Ляпунова используются численные методы и алгоритмы. Одним из таких подходов является алгоритм Бенеттина, позволяющий достаточно точно рассчитать величину старшего ляпуновского показателя, а для оценки младших показателей Ляпунова используется процедура ортогонализации Грамма-Шмидта [64]. Алгоритм Беннетина с процедурой ортогонализации Грамма-Шмидта является универсальным и может быть использован, в частности, для диагностики различных типов хаотической синхронизации в неавтономных и связанных динамических системах. В частности, при помощи этого алгоритма возможно рассчитать главный ляпуновский показатель и диагностировать возникновение режима полной хаотической синхронизации в двух связанных системах и сложных сетях [112,113]. По моменту перехода одного из положительных показателей Ляпунова в область отрицательных значений возможно детектирование обобщенной синхронизации в связанных системах и сетях [88,114] или индуцированной шумом синхронизации в несвязанных системах, находящихся под действием шума [59,110,111]. Переход нулевого показателя Ляпунова предшествует установлению фазовой синхронизации в неавтономных и связанных хаотических системах [61,63], а для периодических систем в точности совпадает с моментом возникновения синхронного режима.
Рассмотрим поведение спектра показателей Ляпунова при установлении режимов обобщенной и фазовой синхронизации в однонаправлено связанных потоковых системах более детально. Независимо от типа динамики взаимодействующих систем (оказывается она периодической или хаотической) поведение взаимодействующих систем в случае однонаправленной связи между ними может быть описано системой дифференциальных уравнений:
Векторы состояний ведущей и ведомой систем, соответственно; Н и G определяют векторные поля взаимодействующих осцилляторов, gd и gr — векторы параметров, слагаемое Р отвечает за однона правленную связь между системами, а параметр є определяет силу связи между ними.
Как отмечалось в главах 1—2, динамика системы (3.1) может быть охарактеризована при помощи спектра показателей Ляпунова [56]. Если размерности фазового пространства ведущей и ведомой систем равны Nd и Nr, соответственно, спектр показателей Ляпунова системы (3.1) будет содержать Nd + Nr ляпуновских показателей: Ai А2 ... XNd+Nr. В силу однонаправленного характера связи между взаимодействующими системами этот спектр может быть условно разделен на две части: ляпу-новские показатели ведущей системы Xf ... Адг , значения которых не зависят от параметра связи, и ляпуновские показатели ведомой системы Ai ... А у или условные ляпуновские показатели. Поведение ведущей системы, демонстрирующей хаотическую динамику, ничем не отличается от динамики автономной хаотической системы. Если размерность фазового пространства этой системы Nd = 3, в ее спектре присутствует один положительный Af, один нулевой Af и один отрицательный Af ляпуновские показатели. Аналогичная сигнатура спектра показателей Ляпунова присуща автономной ведомой системе с размерностью фазового пространства Nr = 3, если она демонстрирует хаотическую динамику. В случае периодических колебаний автономной ведомой системы Х[ = О, ХГ2Ъ 0.
При увеличении параметра связи є между взаимодействующими системами в случае, если автономная ведомая система демонстрирует хаотическую динамику, происходит последовательный переход в область отрицательных значений сначала нулевого, а затем положительного условных показателей Ляпунова. Для ведомой системы, находящейся в режиме периодических колебаний, нулевой ляпуновский показатель является старшим, а следовательно именно он при увеличении силы связи между системами становится отрицательным. Как отмечалось выше (см. также главы 1—2), переход старшего показателя Ляпунова в область отрицательных значений соответствует возникновению режима обобщенной синхронизации, а отрицательность нулевого ляпуновского показателя является предвестником фазовой синхронизации. Как было показано в главе 2, в случае воз действия внешнего хаотического сигнала на систему, демонстрирующую периодическую динамику, диагностирование как фазовой, так и обобщенной синхронизации может осуществляться по моменту перехода условного нулевого показателя Ляпунова через ноль, если в ведомой системе не возбуждается собственная хаотическая динамика. Следовательно, при изучении поведения взаимодействующих однонаправлено связанных систем важную роль играют старший (положительный или нулевой) и нулевой условные показатели Ляпунова. При этом особо важны абсолютные значения условных (положительного или нулевого) показателей Ляпунова в закритической области значений параметра связи, то есть после перехода этих показателей Ляпунова в область отрицательных значений. Эти величины позволяют оценить степень синхронизации, то есть показать насколько взаимодействующие системы далеки от порога возникновения синхронного режима.
Поведение нулевого условного показателя Ляпунова вблизи границы синхронизации периодических систем, находящихся под действием шума
Применим предложенный в подразделе 3.4.1 метод оценки величины условного нулевого показателя Ляпунова для изучения динамики неавтономных систем, находящихся под действием шума. В качестве объекта исследования выберем классический автогенератор Ван дер Поля, находящийся под внешним гармоническим воздействием, в присутствии шума: ж - (А - х2)х + х = esin(w ) + D(t) (3.13) где А = 0.1 — управляющий параметр, определяющий динамику системы, си = 0.98 и є — частота и амплитуда внешнего воздействия, соответственно, ф) -коррелированный белый шум ((( )) = 0, (( )(т)) = 8(t - г)), D — его интенсивность. Для интегрирования системы (3.13) использовался метод Эйлера с шагом h = 5 х 10-4.
Если шум в системе отсутствует (D = 0), при увеличении амплитуды внешнего воздействия в системе (3.13) изначально нулевой показатель Ляпунова переходит в область отрицательных значений при є = єс = 0.0238, что соответствует установлению синхронизации в исследуемой системе. Наличие шума приводит к сдвигу порога установления синхронного режима в сторону больших значений амплитуды внешнего воздействия (ePS = 0.029 при D = 1), при этом момент перехода условного нулевого показателя через ноль происходит наоборот немного раньше. Эта ситуация проиллюстрирована на рисунке 3.5,а, где приведены зависимости нулевого показателя Ляпунова для системы (3.13) при D = 0 (пунктирная линия) и D = 1 (сплошная линия), рассчитанные при помощи алгоритма Бенетти-на.
Применим метод, изложенный в подразделе 3.4.1, для оценки величины нулевого условного показателя Ляпунова системы (3.13) при D = 1 по временной реализации при є eps. Методика расчета величины показателя Ляпунова в данном случае практически ничем не отличается от алгоритма, описанного выше, за одним из лишь исключением: в качестве анализируемого сигнала в данном случае должна выступать не зависимость динамической переменной х или х от времени t, а зависимость разности фаз (p(t) сигнала2 и внешнего воздействия от времени. В силу того, что неавтономная система находится в синхронном режиме, разность фаз оказывается захваченной (выполняется соотношение (1.8)), а следовательно анализируемый сигнал оказывается ненарастающим по амплитуде.
На рисунке 3.6,а приведена зависимость разности фаз ip(t) неавтономного автогенератора Ван дер Поля от времени при є = 0.043, а на рисунке 3.6,б показана плотность распределения вероятности разности фаз (f(t) при тех же значениях параметров и ее аппроксимация закономерностью (3.9). Поиск значений параметров аппроксимации осуществлялся аналогично описанному в подразделе 3.4.1. Параметр D = Deff = 0.0005 определялся как коэффициент эффективной диффузии фазы в соответствии с соотношением Deff = D2h, где h — шаг интегрирования, D — интенсивность шума, а остальные параметры А = 1.47 х 10-82, = 0.00486, є = 0.029 находились из аппроксимации распределения. Подстановка найденных значений параметров в соотношение (3.10) при х\ = -3, Х2 = - 1 дает величину условного нулевого показателя Ляпунова о = -0.024, что также хорошо согласуется с результатами алгоритма Бенеттина.
Подобная ситуация имеет место во всем диапазоне изменения амплитуды внешнего воздействия є eps, что можно видеть из рисунка 3.5,б, где точками показаны результаты расчета показателя Ляпунова при помощи предложенного алгоритма, сплошной линией — результаты применения алгоритма Бенеттина.
В заключение рассмотрим результаты применения предложенного метода для оценки величины условного нулевого показателя Ляпунова в связанных хаотических системах. Как отмечалось выше, в данном случае нулевой показатель Ляпунова не является старшим, что затрудняет его вычисление по временному ряду при помощи известных методов и алгоритмов. В качестве объекта исследования по-прежнему выберем две од-нонаправлено связанные системы Ресслера (1.10) с теми же значениями управляющих параметров а, р, с, иг и Ud = 0.93. Значение параметра связи выберем равным є = 0.05, что соответствует реализации режима фазовой синхронизации в системе. Также, как и в случае неавтономного автогенератора Ван дер Поля, рассмотренного в подразделе 3.4.2, оценку показателя Ляпунова будем производить по зависимости разности фаз между взаимодействующими системами от времени. Понятно, что в данном случае она также не будет нарастать.
На рисунке 3.7, а приведена зависимость разность фаз однонаправлено связанных систем Ресслера при вышеуказанных значениях управляющих параметров от времени. На рисунке 3.7,б показана плотность распределения разности фаз и ее аппроксимация закономерностью (3.9) при следующих значениях параметров: А = 0.9, = 0.0454, є = 0.005, D = 0.005, определенных аналогично методике рассмотренной в предыдущих разделах. Подстановка найденных значений в выражение для вычисления величины условного нулевого показателя Ляпунова при х1 = -2.0, Х2 = 0.5 позволяет определить величину 0 = -0.0204184, что также хорошо согласуется с результатами работы алгоритма Бенеттина и процедуры ор-тогонализации Грамма-Шмидта (0 = -0.02229). Аналогичная ситуация имеет место при увеличении параметра связи между системами.
