Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Исследование неавтономной динамики автогенератора хаотических колебаний с 1.5 степенями свободы на примере схемы Чуа под внешним периодическим воздействием 12
1.1 Описание экспериментальной реализации автогенератора и соответствующей математической модели 13
1.2 Экспериментальное исследование синхронизации генератора Чуа внешним гармоническим сигналом 17
1.2.1 Методика проведения эксперимента 18
1.2.2 Экспериментальное наблюдение различных путей разрушения режима синхронизации 23
1.3 Исследование влияния параметров наклона кусочно-линейной В АХ на динамику неавтономного генератора Чуа 28
1.4 Неавтономная динамика генератора под гармоническим внешним воздействием в случае несимметричной ВАХ 35
1.5 Динамика генератора Чуа под внешним периодическим многочастотным воздействием: эксперимент и численное моделирование 37
1.5.1 Случай гармонического воздействия с нелинейными искажениями 37
1.5.2 Случай импульсного периодического воздействия 40
1.6 Выводы 43
Глава 2. Исследование динамики однонаправлено связанных генераторов хаоса при наличии фильтра в канале связи 46
2.1 Синхронизация в системе двух однонаправлено связанных генераторов Чуа 46
2.2 Моделирование ограничения полосы пропускания канала связи посредством фильтра нижних частот 53
2.3 Экспериментальное исследование динамики связанных через фильтр автогенераторов в зависимости от частоты среза фильтра и параметра связи 57
2.4 Численное исследование динамики хаотических автогенераторов, связанных через фильтр нижних частот 64
2.5 К вопросу об объяснении явления мультистабильности в диссипативно связанных автоколебательных системах 74
2.6 Выводы 81
Глава 3. Взаимно связанные генераторы хаоса: эксперимент и численные характеристики синхронизации 83
3.1 Численные характеристики синхронизации 83
3.1.1 Функция подобия. Перемежающаяся /ag-синхронизация 84
3.1.2 Фазовые характеристики синхронизации 86
3.1.3 Спектральные характеристики синхронизации 92
3.2 Динамика взаимно связанных генераторов Чуа с учетом ограничения полосы пропускания канала связи 96
3.2.1 Динамика идентичных взаимно связанных генераторов в случае частотной анизотропии канала связи 100
3.2.2 Динамика идентичных взаимно связанных генераторов в случае амплитудной анизотропии канала связи 107
3.3 Экспериментальное исследование особенностей синхронизации взаимно связанных генераторов Чуа в присутствии ФНЧ в канале связи 108
3.4 Выводы ПО
Заключение 113
Библиографический список 115
- Экспериментальное исследование синхронизации генератора Чуа внешним гармоническим сигналом
- Случай гармонического воздействия с нелинейными искажениями
- Моделирование ограничения полосы пропускания канала связи посредством фильтра нижних частот
- Функция подобия. Перемежающаяся /ag-синхронизация
Введение к работе
Хаотическая динамика систем с небольшим числом степеней свободы привлекает внимание исследователей из различных областей знаний. Данный интерес вызван тем, что нетривиальное поведение относительно просто устроенных детерминированных систем во многих случаях позволяет объяснить различные феномены, ранее считавшиеся шумовыми. Открытие детерминированного хаоса дало значительный импульс развитию синергетики и нелинейной динамики [1-11].
Одним из актуальных направлений исследований, связанных с анализом поведения систем, демонстрирующих хаотическое поведение, является изучение коллективной динамики двух или более элементов. В области радиофизики подобные исследования традиционно ведутся с позиций концепции синхронизации [12-18], и полученные фундаментальные результаты позволяют все глубже понимать закономерности динамики связанных хаотических систем. Более того, такие исследования имеют интересные практические приложения, в частности в области создания коммуникационных систем, использующих динамический хаос для передачи информации [19-33].
Основными можно назвать два направления данной деятельности: использование генераторов хаоса оптического диапазона для передачи информации, в том числе по широко используемым оптоволоконным линиям связи [34-38], а также создание радиотехнических решений, использующих хаотический сигнал в качестве несущей в высоко- и сверхвысокочастотном диапазонах [39-43].
С точки зрения передачи информации представляет интерес использование источников детерминированного хаотического сигнала как в передатчике, так и в приемнике. В этом случае важнейшим условием является наличие синхронизации между генераторами хаоса с обеих сторон канала связи.
Весьма широк круг работ, в которых авторы обращаются к изучению динамики модельных систем со связанными генераторами хаоса, исследуя синхронизацию в зависимости от параметров парциальных систем, силы связи между системами, интенсивности шума в канале связи, как численно, так и экспериментально [10,13-18,44-63]. Число работ, учитывающих эффекты фильтрации при передаче хаотического сигнала, остается небольшим [64-71]. Однако, фильтрацию следует отнести к наиболее существенным факторам, оказывающим влияние на качество передачи информации с использованием динамического хаоса. В общем случае, искажения сигнала в канале связи представляют собой совокупность амплитудно- и фазочастотных преобразований. Поэтому канал можно моделировать с помощью некоторого эквивалентного фильтра.
Тот факт, что фильтрация влияет на свойства и характеристики хаотического сигнала и структуру его аттрактора в фазовом пространстве отдельно взятой динамической системы, сегодня не вызывает сомнений. Так, например, известно, что при линейной фильтрации размерность хаотического аттрактора растет [72,73], а топологическая энтропия остается инвариантной [74].
В работе [65] при изучении синхронизации связанных хаотических систем назначение фильтра заключалось в ограничении полосы сигнала, либо для исключения из спектра несущей нежелательных компонент.
С практической точки зрения выделяют подходы [19,64,69,70], позволяющие в разной степени компенсировать искажения сигнала в канале связи или бороться с последствиями фильтрации.
Таким образом, необходимость учитывать искажения, возникающие при передаче сигналов очевидна. При этом вопрос о том, как именно влияют фильтрующие свойства канала на динамику связанных систем, остается открытым.
Цель диссертационной работы состоит в определении основных закономерностей динамики автогенераторов хаотических колебаний, связанных через канал с ограниченной шириной полосы пропускания, используя в качестве модели канала фильтр нижних частот, в натурном радиофизическом и численном экспериментах.
Достоверность научных результатов
Достоверность научных выводов работы подтверждается воспроизводимостью результатов натурных экспериментов, соответствием экспериментальных данных результатам компьютерного моделирования, согласованностью результатов с общими закономерностями поведения неавтономных автоколебательных систем, а также с результатами, полученными другими авторами, использованием хорошо апробированных методик численного эксперимента.
Научная новизна
Основные результаты диссертации являются новыми и получены впервые. В частности:
При исследовании синхронизации генератора Чуа внешним периодическим сигналом впервые в эксперименте и численно детально исследовано влияние изменения наклона рабочего участка и асимметрии кусочно-линейной вольт-амперной характеристики нелинейного элемента схемы.
Для неавтономной схемы Чуа выявлено изменение границ областей периодических колебаний и бифуркаций удвоения периода на плоскости управляющих параметров «основная частота - амплитуда» внешнего воздействия в зависимости от наличия в его
спектре гармоник основной частоты.
Проведено сравнение картины синхронизации автогенератора Чуа гармоническим и импульсным воздействием, выявлена зависимость структуры областей синхронизации от направления действия импульсов.
. Впервые экспериментально и численно исследована система связанных через фильтр нижних частот автогенераторов хаоса, изучена зависимость динамических режимов от характеристик канала связи.
. При рассмотрении однонаправленно связанных через фильтр нижних частот генераторов Чуа впервые обнаружено, что при определенных параметрах цепи связи в ведомой системе устойчиво реализуются колебания малой амплитуды, которые в конечном диапазоне изменения силы связи и частоты среза фильтра сосуществуют с колебаниями, типичными для парциального генератора.
. На примере генератора Чуа и системы Ресслера показано, что введение диссипативной связи может переводить автогенератор с фазокогерентным хаотическим аттрактором в режим жесткого возбуждения, а наличие фильтра нижних частот в цепи связи увеличивает вероятность реализации и степень устойчивости в ведомой системе режима вынужденных колебаний с малой амплитудой.
. Исследованы аспекты динамики взаимно связанных генераторов, взаимодействующих через канал, обладающий анизотропными свойствами, то есть различной пропускающей способностью в разных направлениях, в частности, при различной ширине полосы пропускания и различных степенях ослабления сигнала. Практическая значимость
Практический интерес может представлять возможность управления мультистабильностью в автогенераторе Чуа с помощью внешнего многочастотного воздействия.
Результаты, полученные при рассмотрении динамики связанных через фильтр автоколебательных систем, представляют интерес для широкого круга исследователей, занимающихся вопросами создания коммуникационных систем, использующих динамический хаос, в условиях ограниченной полосы пропускания канала связи.
С практических позиций полезно знать общие закономерности взаимодействия нелинейных динамических систем, связанных через фильтр, в том числе в ситуациях, когда элемент с фильтрующими свойствами является неотъемлемой частью некоторой интегральной системы и несет в ней функциональную нагрузку, как, например, это происходит в нейрокомпьютерах, реализующих модели распознавания или автолокализации образа по принципу Гроссберга [75].
Результаты работы использованы при выполнении госбюджетной НИР (номер госрегистрации - 01.2003.15224). Исследования, проведенные в данной работе, поддержаны грантами Министерства образования РФ (Е02-3.5-149), научной программы "Университеты России" (УР.01.01.051), Американского Фонда Гражданских Исследований (CRDF REC-006).
Личный вклад автора
Автором были поставлены все описанные в работе натурные радиофизические эксперименты и проведены соответствующие измерения; разработаны компьютерные программы и проведено численное моделирование. Постановка задач, а также объяснение и интерпретация результатов проведены совместно с научным руководителем.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 126 страниц текста, включая иллюстрации. Список литературы на 11 страницах включает 160 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во Введении обоснована актуальность темы диссертационной работы и сформулированы ее цель, научная новизна и практическая значимость. Приводятся положения, выносимые на защиту, а также сведения об апробации результатов.
В первой главе описан используемый в работе экспериментальный макет генератора Чуа и его математическая модель. Проведено экспериментальное исследование синхронизации автогенератора внешним гармоническим сигналом для различных сочетаний параметров, управляющих автономной динамикой схемы Чуа. Для проверки корректности постановки радиофизического эксперимента исследованы сценарии разрушения режима синхронизации при малых амплитудах внешнего воздействия и установлено их соответствие известным теоретическим представлениям. Изучена зависимость динамики неавтономного генератора Чуа от параметров вольт-амперной характеристики нелинейного элемента: наклона рабочего участка и степени симметрии. Показано, что изменение наклона рабочего участка ВАХ приводит к существенному и закономерному изменению структуры областей синхронизации генератора периодическим сигналом на плоскости управляющих параметров «частота - амплитуда» внешнего воздействия. Карты динамических режимов для аттракторов, одновременно реализующихся в фазовом пространстве генератора, идентичны только в случае полной симметрии ВАХ. Нарушение симметрии фазового пространства за счет сдвига ВАХ
нелинейного элемента вдоль оси напряжений приводит к изменению бифуркационных значений управляющих параметров внешнего воздействия для каждого из аттракторов, одновременно реализующихся в автономной системе. Становится возможной ситуация, когда при одних и тех же значениях управляющих параметров вокруг одной из неподвижных точек в фазовом пространстве реализуется предельный цикл, а вокруг другой — хаотический аттрактор. В численном эксперименте показано, что к подобной же мультистабильности приводит и обогащение спектра внешнего сигнала гармониками основной частоты.
Экспериментально и численно продемонстрирована возможность синхронизации автогенератора хаотических колебаний униполярным импульсным периодическим воздействием через подавление хаоса. Для случая периодической динамики генератора выявлены различия в структуре областей синхронизации и хаоса на плоскостях управляющих параметров при изменении направления действия импульсов.
Вторая глава посвящена исследованию динамики однонаправленно связанных автогенераторов хаоса. Прежде всего, экспериментально показано, что в случае, когда канал связи не ограничен по полосе пропускания, в системе связанных генераторов Чуа устанавливается режим полной хаотической синхронизации. Далее рассматривается модель канала связи с ограниченной полосой пропускания, построенная на основе фильтра нижних частот, в присутствии которого полная синхронизация ведущей и ведомой систем невозможна. Обнаружено, что в фазовом пространстве однонаправленно связанных через ФНЧ генераторов Чуа в конечном диапазоне изменения параметра связи и частоты среза фильтра в ведомой системе реализуется новый тип мультистабильности, не наблюдавшийся в автономном генераторе и состоящий в одновременном сосуществовании двух аттракторов разных характерных геометрических размеров.
В численном эксперименте показано, что данный тип мультистабильности демонстрируют и системы Ресслера, находящиеся в режиме ленточного хаоса и связанные через ФНЧ. Отмечено, что эффект не зависит от типа и порядка ФНЧ. Описанные во второй главе исследования позволили заключить, что в основе обнаруженной мультистабильности лежит диссипативный характер связи, изменяющий структуру фазового пространства парциальной системы. Оказалось, что диссипативный механизм внешнего воздействия приводит к возможности жесткого возбуждения колебаний ведомой системы, что ведет к сосуществованию в ее фазовом пространстве двух устойчивых предельных множеств вблизи отдельно взятой неподвижной точки.
Третью главу составляют исследования системы взаимно связанных автогенераторов с фильтрами нижних частот в прямой и обратной цепях связи, каждая из
которых характеризуется своими полосой пропускания и степенью ослабления сигнала.
В численном эксперименте было проведено сравнение некоторых характеристик синхронизации применительно к системам с фильтром в цепи связи. Наиболее продуктивными оказались индекс синхронизации, рассчитанный как средняя когерентность фаз, минимум функции подобия, а также, в ряде случаев, функция когерентности и вычисляемая на ее основе степень синхронизации.
При моделировании динамики идентичных взаимно связанных через ФНЧ генераторов были рассмотрены два варианта анизотрипии канала связи: по ширине полосы пропускания (частотная) и по степени ослабления сигнала (амплитудная). В обоих случаях исследование проводилось на основе карт динамических режимов, построенных на плоскости управляющих параметров, характеризующих связь.
Показано, что область синхронизации хаоса с высокой средней когерентностью фаз реализуется в весьма ограниченном диапазоне изменения параметра связи. При большой величине последнего данная область ограничена эффектом сосуществования синхронного хаотического аттрактора с периодическими режимами, а также эффектом гибели колебаний. При малых связях область синхронных хаотических режимов вытесняется различными режимами периодических и несинхронных хаотических колебаний. Кроме того, выявлено значение частоты среза, начиная с которого область синхронной хаотической динамики существует в заметных пределах изменения параметров связи, характеризующих ослабление сигнала в прямом и обратном направлениях.
С учетом закономерностей, полученных при численном моделировании, был поставлен натурный радиофизический эксперимент, в результате которого на плоскость управляющих параметров, характеризующих канал связи, были нанесены границы основных колебательных режимов и линии бифуркаций. Сравнение результатов численного и натурного экспериментов выявило их качественное соответствие с учетом слабой неидентичности парциальных генераторов.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.
Основные положения, выносимые на защиту
В неавтономном генераторе Чуа при смещении вольт-амперной характеристики нелинейного элемента вдоль оси напряжения, а также при обогащении спектра внешнего периодического сигнала гармониками основной частоты проявляется мультистабильность, в результате которой границы областей синхронизации и линии бифуркаций на картах динамических режимов, построенных на плоскости управляющих параметров «основная частота - амплитуда» внешнего воздействия существенно отличаются для каждого из сосуществующих в фазовом пространстве предельных циклов, а сами карты приобретают гистерезисный характер.
В системе однонаправленно связанных генераторов Чуа и систем Ресслера, находящихся в режиме хаотических колебаний с ленточным, фазокогерентным аттрактором, в присутствии фильтра нижних частот в цепи связи в конечном диапазоне изменения параметра связи и частоты среза фильтра реализуется новый тип мультистабильности, не проявляющийся в фазовом пространстве парциального генератора и состоящий в сосуществовании двух аттракторов, которым соответствуют колебания разных амплитуд: нормальной и малой. В режиме винтового хаоса мультистабильность указанного типа не наблюдается. Эффект, в целом, не зависит от типа и порядка ФНЧ.
В основе мультистабильности, обнаруженной в автогенераторах с 1.5 степенями свободы, однонаправленно связанных через фильтр, лежит диссипативный характер связи, изменяющий структуру фазового пространства парциальной системы. При определенных значениях управляющих параметров парциального генератора диссипативный механизм внешнего воздействия приводит к возможности жесткого возбуждения колебаний, что ведет к сосуществованию в фазовом пространстве ведомой системы двух устойчивых предельных множеств в окрестности отдельно взятой неподвижной точки.
В системе двух хаотических генераторов, взаимно связанных через ФНЧ, область синхронизации хаоса с высокой средней когерентностью фаз реализуется в весьма ограниченном диапазоне силы связи. При больших связях область фазовой синхронизации ограничена эффектом сосуществования синхронного хаотического аттрактора с периодическими режимами, а также эффектом гибели колебаний. При малых связях область синхронных хаотических режимов вытесняется различными режимами периодических и несинхронных хаотических колебаний. Существует также значение частоты среза, начиная с которого область синхронной хаотической динамики реализуется в конечных пределах изменения параметров связи, характеризующих ослабление сигнала в прямом и обратном направлениях.
Апробация работы и публикации
Основные результаты диссертационной работы докладывались на 11-й Всероссийской школе-конференции «Нелинейные волны-2002» (г. Н.Новгород, 2002 г.), на 4-ой Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых и студентов «Современные проблемы радиоэлектроники» (Красноярск, 2002 г.), на VI научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (г. Н.Новгород, 2002 г.), на Международной конференции "Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations -SYNCHRO-2002", на XLI международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2003 г.), на IX Всероссийской школе-семинаре «Физика и применение микроволн» (г. Звенигород, 2003 г.), на научных школах-конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (г. Саратов, 2003, 2004, 2006 гг.), на VII Всероссийской научной конференции студентов-радиофизиков (г. Санкт-Петербург, 2003 г.), на XII научной школе «Нелинейные волны - 2004» (г. Н.Новгород, 2004 г.), на IX Всероссийской школе-семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» (г. Звенигород, 2004 г.), Всероссийских научно-технических конференциях молодых ученых и студентов «Современные проблемы радиоэлектроники» (Красноярск, 2006, 2007 гг.), на I и II Конференциях молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (г. Саратов, 2006, 2007 гг.), на IX и XI International School for Young Scientists and Students on Optics, Laser Physics & Biophysics (2005, 2007 гг.), а также на научных семинарах НОЦ «Нелинейная динамика и биофизика» СГУ.
По теме диссертации опубликовано 18 работ в центральной печати (3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК [142-144], 11 статей в сборниках трудов конференций [145-155], 4 тезисов докладов [157-159]).
Экспериментальное исследование синхронизации генератора Чуа внешним гармоническим сигналом
Поскольку автономная динамика генератора Чуа обладает большим разнообразием реализующихся в ней явлений нелинейной динамики, практической значимостью может обладать вопрос о влиянии внешнего воздействия на динамику генератора, включая динамику связанных систем. Так как система Чуа существенно мультистабильна даже в автономном случае и имеет большое число управляющих параметров, то методически правильным подходом к исследованию ее динамики под внешним многочастотным, в том числе хаотическим, воздействием является поэтапное усложнение внешнего воздействия, начиная с одночастотного гармонического.
Хорошо известно, что при воздействии на автоколебательную систему внешним сигналом возможно возникновение явления синхронизации. Следуя книге [12], «явление синхронизации состоит в том, что несколько искусственно созданных или природных объектов, совершающих при отсутствии взаимодействия колебательные или вращательные движения с различными частотами, при наличии подчас весьма слабых взаимодействий начинают двигаться с одинаковыми, кратными или соизмеримыми частотами, причем устанавливаются определенные фазовые соотношения между колебаниями и вращениями». Синхронизация автоколебательных систем внешним сигналом рассматривается при этом как частный случай.
Хотя детали установления, эволюции и разрушения синхронных режимов в автоколебательных системах под гармоническим воздействием при изменении амплитуды и частоты внешнего воздействия подробно исследованы теоретически [13,102], экспериментальные работы, посвященные данному вопросу, остаются редкими вообще, и для генератора Чуа в частности.
В данной части работы проведено экспериментальное исследование синхронизации автогенератора Чуа внешним гармоническим сигналом для различных сочетаний параметров, управляющих автономной динамикой системы (1.1). Получены экспериментальные результаты, демонстрирующие различные пути разрушения синхронных режимов колебаний. На рис. 1.3 представлена блок-схема экспериментальной установки. Гармонический сигнал с генератора 1 поступает на усилитель мощности 2, который имеет низкое выходное сопротивление. Затем сигнал поступает в цепь индуктивности макета генератора Чуа 3, на Y-вход осциллографа 4, на вход вольтметра 5 и частотомера 6. На вход X осциллографа подается сигнал, снятый с конденсатора С]. На экране осциллографа появляются фигуры Лиссажу, с помощью которых происходит визуальная идентификация колебательных режимов. На рис. 1.4 представлены фигуры Лиссажу или проекции фазового пространства неавтономного генератора для различных амплитуд и частот внешнего воздействия. Для определения режима в случае, когда фигура замкнута, отдельно подсчитывается число максимумов фигуры в направлении осей X и Y. Отношение полученных чисел и есть величина, определяющая тип периодических колебаний. Например, режим колебаний, изображенный на рис. 1.4, а, где на один период внешнего воздействия приходится один период собственных колебаний системы, будем обозначать (1:1). Режим на рис. 1.4, б - (1:2), на рис.1.4, в представлен режим (2:4), являющийся удвоением на базе (1:2). Если фигура незамкнута, то режим непериодический. Если фигура Лиссажу представляет собой проекцию тора, то это означает, что режим квазипериодический (рис. 1.4, г,д). Если режим не имеет четкой структуры тора, а движение изображающей точки на экране осциллографа носит, в основном, случайный характер, то можно предположить, что режим является хаотическим. Дополнительным доводом в пользу такого вывода может служить обнаружение на плоскости управляющих параметров или бифуркационной диаграмме сценария перехода к хаосу. Фигура Лиссажу, соответствующая хаотическому режиму на базе режима синхронизации (1:2), представлена на рис.1.4, е.
На рис. 1.5 изображена экспериментально полученная карта динамических режимов на плоскости «частота - амплитуда внешнего гармонического воздействия» для случая синхронизации генератора Чуа, находящегося в режиме периодических колебаний на основной частоте (/?-1.75кОм (рис.1.1, a), R2=\.62KOM (рис.1.1, в)). На ней отмечены границы наиболее крупных областей синхронизации и окон периодичности. Перекрывающиеся области свидетельствуют о наличии мультистабильности, то есть режим, реализующийся при амплитуде и частоте внешнего сигнала из области перекрытия, зависит от направления изменения параметров воздействия. В областях синхронизации (1:2) и (2:3) наблюдается каскад бифуркации удвоения периода, ведущий к возникновению хаоса по сценарию Фейгенбаума [103,104]. В области малых амплитуд внешнего воздействия между областями синхронизации расположены области квазипериодических режимов. Квазипериодическими также являются режимы, находящиеся выше области (1:1). Сама эта область разделена областью непериодических колебаний, в которой реализуется аттрактор типа двойного завитка. То есть, такое устройство карты динамических режимов характерно именно для генератора Чуа.
Случай гармонического воздействия с нелинейными искажениями
Будем рассматривать динамику системы под внешним негармоническим воздействием, один период которого представлен на рис. 1.13, а. Отношение длительности искаженного участка с положительным наклоном к длительности исходного примем за параметр нелинейности внешнего воздействия к. При к— 1.0 такой сигнал совпадает с гармоническим, а при к = 2.0 превращается в сигнал, в котором гармоническая функция имеет скачок фазы с л/2 до Зл/2. Физический смысл имеют значения параметра 0 к 2. Выбор такого типа воздействия обусловлен возможностью его реализации в натурном эксперименте. Спектр сигнала представлен на рис. 1.13,6. Поскольку данный сигнал является периодическим, то спектр состоит из набора эквидистантных по частоте гармоник.
Для данного случая были построены карты динамических режимов для «симметричных» аттракторов, на которых был отмечен эффект смещения бифуркационных линий аналогично рассмотренному ранее случаю. При последовательном добавлении высших гармоник внешнего воздействия эффект сохраняется. Таким образом, можно сделать вывод о том, что «расслоение» карт динамических режимов, в основе которого лежит мультистабилыюсть, проявляется при наличии в спектре внешнего воздействия второй гармоники, добавление следующих гармоник только усугубляет данный эффект.
Таким образом, появляется возможность только с помощью внешнего воздействия, не изменяя параметров схемы, добиваться ситуации, когда в фазовом пространстве будут на базе исходных симметричных аттракторов сосуществовать аттракторы различных типов, подобно тому, как это получалось при нарушении симметрии ВАХ.
Сигналы, представляющие собой последовательности прямоугольных импульсов, широко используются в различных задачах. Со спектральной точки зрения такие сигналы выделяются среди остальных медленно убывающей амплитудой гармоник основной частоты. Представляет определенный интерес вопрос о том, какова специфика поведения нелинейной динамической системы под внешним воздействием данного типа.
Так, в работах Кузнецова А.П. с соавторами был рассмотрен вопрос об особенностях неавтономной динамики осцилляторов Ван дер Поля [118] и Ван дер Поля — Дуффинга [119] под воздействием последовательностей 5-импульсов. В работе [120] под указанным типом воздействия рассматривалась система Ресслера, и было показано, что динамика неавтономной системы существенно зависит от направления действия импульсов, а именно воздействие, расположенное в плоскости предельного цикла, дает картину синхронизации в целом схожую с классической. Воздействие, направленное перпендикулярно плоскости предельного цикла, дает существенно отличающуюся картину синхронизации.
В настоящей работе было проведено экспериментальное исследование синхронизации генератора Чуа периодической последовательностью униполярных импульсов конечной длительности. Исследование проводилось путем построения карт динамических режимов на плоскости «частота следования - амплитуда» импульсов при их фиксированной длительности. Исследование проводилось для двух базовых режимов колебаний автономной системы: периодического и хаотического с аттрактором типа Ресслера.
В случае импульсного воздействия на генератор, находящийся в режиме хаотических колебаний, при некоторых значениях параметров внешнего воздействия в неавтономной системе происходит установление режимов периодических колебаний. Данные колебательные режимы характеризуются рациональным отношением основной частоты колебаний генератора к частоте следования импульсов (т:п) и значительной амплитуде воздействия представляют собой режимы синхронизации через подавление хаоса [15]. Если генератор находится в режиме периодических колебаний и амплитуда воздействия мала, то можно говорить о синхронизации в классическом понимании.
Поэтому в случае численного моделирования схемы с импульсным воздействием в качестве базового был выбран режим колебаний, аттрактор которого топологически соответствует наблюдаемому в эксперименте (хаос типа Ресслера), что предполагает сопоставление с экспериментом на качественном уровне.
Сравнивая карты с рис. 1.15, а и рис. 1.15, б качественно, нетрудно заметить основные области синхронизации (1:1) и (1:2), а также характерную расщепленную структуру языка синхронизации (1:1). Резонансы высоких порядков, присутствующие на численной карте, являются достаточно тонкими и в эксперименте практически недостижимы. Отметим также, что структура карты динамических режимов в этом случае далека от классических представлений о картине синхронизации на плоскости управляющих параметров «частота-амплитуда» внешнего периодического сигнала. С целью сравнения обратимся к результатам, полученным для синхронизации генератора Чуа, изначально находящегося в режиме периодических колебаний. Карты динамических режимов для случаев внесения периодического импульсного воздействия длительностью т=0.4 в первое, второе и третье уравнение системы (1.2) представлены на рис. 1.15, в,г,д соответственно. Сопоставляя данные карты можно заключить, что направление вектора внешнего импульсного воздействия по отношению к аттрактору в фазовом пространстве системы является своего рода управляющим параметром. При малой амплитуде импульсов наблюдается классическая структура языков синхронизации, одинаковая для всех направлений действия силы. Различия возникают с определенной величины F и становятся наиболее заметными в области больших амплитуд, сравнимых с размахом собственных колебаний автономной системы. Основным предметом исследования первой главы служила неавтономная схема Чуа с разными типами внешнего воздействия — от простейшего гармонического до импульсного многочастотного.
Отметим сразу, что автономная схема Чуа хорошо изучена и описана в литературе [76-78], и также известны принципиальные особенности синхронизации автогенератора внешним периодическим сигналом [44,121,122]. Именно эти обстоятельства позволили выполнить корректную постановку эксперимента в данной работе, протестировать радиофизический макет, а также настроить макеты парциальных генераторов для проведения последующих экспериментов со связанными системами.
Так, в результате исследования генератора под внешним гармоническим воздействием были получены карты динамических режимов на плоскости управляющих параметров «частота - амплитуда» гармонического сигнала. Изображенная на них структура языков синхронизации и областей хаотической динамики повторяется в натурном и численном экспериментах и хорошо согласуется с классическими представлениями. Экспериментальное наблюдение сценария разрушения режима синхронизации при малых амплитудах воздействия, а также возможность получать в эксперименте до трех бифуркаций удвоения периода при переходе к хаотическим колебаниям свидетельствуют о высокой точности измерений и их достоверности. Данная серия экспериментов служит, в определенном смысле, калибровкой и лежит в основе всех последующих результатов.
Самостоятельный интерес представляет группа результатов, касающихся влияния вида вольт-амперной характеристики нелинейного элемента в схеме генератора на его неавтономную динамику. Показано, что изменение наклона рабочего участка ВАХ приводит к существенному и закономерному изменению структуры областей синхронизации генератора периодическим сигналом на плоскости управляющих параметров «частота - амплитуда» внешнего воздействия. При увеличении наклона обнаружен переход от режима периодических колебаний к хаотической динамике через каскад бифуркаций удвоения периода, когда на карте динамических режимов внутри областей синхронизации открываются области хаоса. Все это позволяет рассматривать данный наклон как важный управляющий параметр в экспериментах с неавтономным генератором.
Моделирование ограничения полосы пропускания канала связи посредством фильтра нижних частот
Поскольку сигнал между передатчиком и приемником часто преодолевает значительные расстояния через среду или протяженные линии передач, то они, несомненно, вносят свой вклад в ослабление и искажение сигнала. Проекция фазового портрета ведущей системы, находящейся в режиме «двойного завитка» (а), и проекции аттрактора в совместном фазовом пространстве на плоскости «VCi2-Vc22»(6-e) и «VCi i-VC2i» (ж,з) для различных значений параметра связи. моделировать линию передач является использование фильтров. Остановимся на простейшем - фильтре нижних частот первого порядка.
Принципиальная схема фильтра нижних частот первого порядка (а), его АЧХ (б) и ФЧХ (в) для различных частот среза. Принципиальная схема генераторов Чуа, однонаправленно связанных через фильтр нижних частот (г). Как показано ранее в главе 1, основная частота безразмерной системы близка к 3. Из данных рисунков видно, что на этой частоте при д=10 (то есть при превышении частоты среза фильтра основной частоты колебаний больше чем в три раза) влиянием фильтра на амплитуду основной гармоники можно пренебречь, но его влияние на ее фазу оказывается существенным. Данное соображение оказывается важным при рассмотрении вопроса о динамике ведомой системы в случае, когда сигнал ведущей искажается фильтром нижних частот. В данной главе и далее наклоны ВАХ нелинейного элемента на рабочем участке были выбраны следующим образом: а/= «2 =-1.15 (наклоны центральных сегментов), bi = b2 — -0.5 (наклоны боковых сегментов).
Оставшиеся параметры можно разделить на две группы: параметры ось 2, Рі, Рг управляющие режимами генераторов, и параметры є и ц, характеризующие канал связи. Для экспериментального исследования влияния фильтрации в канале связи на динамику однонаправленно связанных генераторов расстроим их по сопротивлению R1 и R2: /?/=1.792 кОм, /?2=1.753 кОм. При данных значениях параметров парциальные системы без связи генерируют хаотические колебания, которым в фазовом пространстве соответствуют ленточные хаотические аттракторы. Основная частота колебаний генераторов составляет 5.75 кГц для ведущего и 5.93 кГц для ведомого генератора. В процентном отношении расстройка по частоте составляет 2.8%.
Генераторы связаны однонаправленно через RC-фильтр нижних частот первого порядка. Линейная частота среза такого фильтра равна fc = и определяет 2TZR rC г ширину полосы пропускания фильтра. Значение сопротивления R/ было выбрано фиксированным и равным 150 кОм, а емкость С/ изменялась в диапазоне от 35 пФ до 320 пФ. Следовательно, частота среза фильтра в эксперименте изменялась от 3.3 кГц до 30.3 кГц, то есть от половины основной частоты до частоты пятой гармоники.
На основании структуры фазовых портретов делались выводы о наличии синхронизации между генераторами, ее типе и степени. На рис.2.6 приведена полученная диаграмма для максимальной амплитуды колебаний напряжения Vc22 в ведомой системе Vosc = Vosc\e,f ). Сила связи в эксперименте введена в безразмерном виде как (2.9) Rl+Re и может интерпретироваться как степень ослабления сигнала в канале связи. Сила связи, заданная согласно (2.9), позволяет естественным образом интерпретировать ее величину: при отсутствии связи, т.е. при больших значениях Re, параметр е стремится к нулю, а когда связь максимальна (при малых значениях Re), величина е стремится к 1.
На данной диаграмме можно выделить несколько областей изменения параметров, в Рис.2.6. Экспериментальная диаграмма зависимости максимального значения амплитуды колебаний Vosc, В, возникающих в ведомой системе, от линейной частоты среза fc, кГц фильтра и параметра связи е. Серым цветом отмечена область мультистабильности, наблюдаемой в эксперименте. Пунктиром отмечена амплитуда сосуществующего аттрактора. Точками отмечены сочетания е nfc, для которых на рис.2.7 приведены фотографии экспериментально полученных фазовых портретов ведомой системы. которых реализуется различная динамика ведомой системы. Для удобства сравнения фазовых портретов, которые получаются при разных значениях управляющих параметров, характерные пары значений (e,fc) на диаграмме с рис.2.6 отмечены черными точками и пронумерованы римскими цифрами I-V.
В области малых е, т.е. слабых связей, синхронизация между ведущей и ведомой системами отсутствует, и амплитуда колебаний ведомой системы близка к амплитуде колебаний автономной системы. Для точки I (см. рис.2.6) из данного диапазона на рис.2.7, а представлена фотография экрана осциллографа, на котором отображена проекция аттрактора ведомой системы на плоскость «Vc22-Vc2i», а на рис.2.7, б -проекция совместного фазового пространства ведомой и ведущей систем на плоскость «Vci2-Vc22»- Данная проекция, имеющая вид равномерно заполненного параллелограмма, свидетельствует об отсутствии синхронизации.
При увеличении значений е амплитуда колебаний ведомой системы резко уменьшается, причем, данный эффект присутствует в широком диапазоне изменения частоты среза фильтра. На рис.2.7, в представлен характерный фазовый портрет колебаний в ведомой системе, соответствующий точке II с рис.2.6. Между колебаниями ведомой и ведущей систем при таких значениях управляющих параметров устанавливается режим фазовой синхронизации (рис.2.7, г). При значениях е 0.3 на рассматриваемой плоскости параметров (e,fc) возникает область мультистабильности (выделена серым цветом на рис.2.6). Данная область характеризуется сосуществованием в ведомой системе двух аттракторов с разными амплитудами. Амплитуда сосуществующего аттрактора отмечена на диаграмме пунктиром. Соответствующие точкам III и IV (рис.2.6) фазовые портреты приведены на рис.2.7, д,е и рис.2.7, ж,з. Из них можно сделать вывод, что оба режима - это режимы фазовой синхронизации. Данная область имеет максимальную ширину при малых е и сужается с увеличением силы связи. В ходе эксперимента наблюдалось, что при меньших силах связи аттрактор с большей амплитудой обладает меньшим бассейном притяжения, чем аттрактор с малой амплитудой, поскольку на него становится сложнее попасть при перестройке управляющих параметров {е,/с) и нарушение плавности изменения частоты среза приводит к смене динамического режима ведомой системы.
Функция подобия. Перемежающаяся /ag-синхронизация
Чтобы охарактеризовать степень синхронизации, предлагается использовать характеристику, называемую минимумом функции подобия к [131]. Она вводится следующим образом: K = minTG(T), (3.2) где G(x) - функция подобия: \2\ где т - время задержки между двумя реализациями. Если к= 0, то в одной из связанных систем наблюдается полное повторение колебаний другой, но со сдвигом т по времени. Если х = 0, синхронизация полная.
В работе [132] более подробно исследован процесс перехода связанных систем от режима фазовой синхронизации к режиму синхронизации с задержкой, обнаружено, что данный переход сопровождается, так называемой, перемежающейся /« -синхронизацией. Особенность перехода состоит в том, что в некотором диапазоне значений параметра связи в разности между реализациями, одна из которых сдвинута на время т относительно второй, можно условно вьщелить два типа фаз: длительные ламинарные, при которых эта разность близка к нулю, и короткие всплески - турбулентные фазы, при которых разница между реализациями велика. Данное явление в литературе связывают также с on-off перемежаемостью [133]. В работе [134] экспериментально исследованы различные режимы синхронизации однонаправленно связанных генераторов Чуа, когда ведущий генератор демонстрировал хаотические колебания различного типа, а ведомый находился в различных режимах: от устойчивой точки до хаотического аттрактора типа «двойного завитка». В работе продемонстрированы пути перехода от полной к фазовой синхронизации при изменении параметра связи.
В настоящей работе при рассмотрении хаотических автогенераторов, связанных через фильтр нижних частот, как отмечено ранее, имеет смысл рассмотреть возможность существования режима синхронизации с задержкой. Для ц = 30 на рис.3.2 представлены проекции совместного фазового пространства для различных величин є на плоскость (xj, Х2) (левый столбец), на рисунках из среднего столбца представлена зависимость х (ґ+т) от xj(t), видно, что при больших є большую часть времени изображающая точка проводит вблизи диагонали, что говорит о почти полной идентичности двух временных рядов, о чем свидетельствуют рисунки из правого столбца, на которых приведена зависимость разности двух сигналов xi(t)-X2(t+x) от времени. Амплитуда и длительность всплесков данной функции уменьшаются с увеличением силы связи, и можно сказать что, начиная со значений Б = 4, в системе устанавливает режим синхронизации с задержкой. Из приведенных рисунков также следует вывод о том, что увеличение є не ведет к уменьшению х, и, в отличие от случая, рассматриваемого в работе [131], система связанных автогенераторов не стремится к режиму полной синхронизации.
Таким образом, можно сделать вывод, что в системе двух однонаправленно связанных через фильтр нижних частот генераторов Чуа при частоте среза, как минимум, в десять раз превышающей основную частоту колебаний генераторов, возможно существование режима синхронизации с задержкой, длительность которой определяется параметрами фильтра.
Для анализа режимов фазовой синхронизации часто рассчитывают дисперсию мгновенной разности фаз, разность основных частот [13]. Дисперсия может быть определена в виде Яф=(дф?)-(Дф;)2, (3.4) где Дф, - мгновенное значение разности фаз колебаний в ведомой и ведущей системах в /-ый момент времени, угловые скобки означают усреднение по общему числу отсчетов временного ряда. Дисперсия разности фаз равна нулю в случае полной или lag-синхронизации, когда разность фаз между колебаниями связанных систем постоянна, и отлична от нуля в остальных случаях. Фазовая синхронизация, как правило, характеризуется относительно малой дисперсией разности фаз. Кроме того, при установлении когерентного режима в связанных нелинейных системах разность фаз не обязательно постоянна, но ограничена и может колебаться во времени.
Диаграмма зависимости дисперсии разности мгновенных фаз колебаний от параметров [І И Є представлена на рис.3.3. Каждая точка данной зависимости рассчитана для генераторов, стартующих с фиксированных начальных условий, поэтому на диаграмме хорошо заметна граница, на которой происходит скачок величины DA .
Естественно, что форма данной границы на плоскости (є, ц) в области мультистабильности будет отличаться для разных начальных условий. Представленный случай является наиболее характерным среди случайного набора начальных условий. Нужно отметить, что аттрактор малой амплитуды тоже является фазокогерентным, то есть для него понятие фазы так же является корректным.
Не являясь строгой количественной характеристикой, функция D& позволяет, тем не менее, проводить качественный сравнительный анализ динамики ведомой системы при изменении управляющих параметров є, я. Так, заметно, что при малых связях и частотах среза фильтра дисперсия DA велика (светлые области на диаграмме рис.3.3), а наблюдение за фазовым пространством говорит об отсутствии синхронизации в данных областях. Наличие на диаграмме четкой границы свидетельствует об изменении фазовых соотношений между сигналами ведомой и ведущей систем при переходе из одной области управляющих параметров в другую. В частности, такому переходу может соответствовать изменение типа синхронизации либо степени когерентности колебаний. Черная область диаграммы (Dx стремится к нулю), где связь велика, а влияние фильтра мало, соответствует относительно хорошей фазовой синхронизации генераторов.
Другой количественной характеристикой степени синхронизации между связанными автогенераторами, рассчитываемой на основе мгновенной разности фаз колебаний, является индекс синхронизации У? [135]. Данный индекс определяется как 6.00 5.00 1 ш Щ ц 4.00 1 3.00-] 2.001 1.00 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00
Величина R известна в литературе как средняя когерентность фаз [136]. Как отмечено в работе [135], с точки зрения анализа фазовой синхронизации расчет индекса R дает результаты подобные тем, что получаются при вычислении индексов, основанных на энтропии Шеннона и условной вероятности [137]. Максимальное значение индекса R равно единице и соответствует идеальной фазовой синхронизации, распределение разности фаз при этом имеет вид 8-функции Дирака. Минимальное значение индекса R равно нулю, что достигается в случае, когда разность фаз распределена равномерно в интервале [0; 2я]. В работе [135] отмечено, что, поскольку распределение фаз отдельно взятого генератора не является равномерным, то и распределение разности фаз колебаний связанных систем также не является равномерным, что ведет к систематическому завышению индекса синхронизации.
Строго говоря, следует различать понятия когерентности и синхронности колебаний. Так, например, в работе [138] показано, что расчет индекса синхронизации и наблюдение за разностью фаз колебаний двух несвязанных идентичных систем Ресслера свидетельствует о высокой степени когерентности двух генераторов, однако, вследствие отсутствия связи синхронизации между системами нет. Такое расхождение связано со слабым перемешиванием в фазовом пространстве рассматриваемых систем.
Поскольку генератор Чуа в режиме ленточного хаоса также является достаточно слабо перемешивающей системой, то для получения достоверных сведений о значениях характеристик синхронизации их следует рассчитывать по длинным временным рядам.
Длина временного ряда выбиралась таким образом, чтобы при рассмотрении слабо расстроенных, несвязанных генераторов Чуа тот или иной индекс синхронизации был близок к величине, соответствующей отсутствию синхронизации. Так, например, длина ряда для расчета индекса R была выбрана таким образом, чтобы упомянутая раньше ошибка оценки синхронности колебаний была близка к нулю.
