Содержание к диссертации
Введение
1 Режим полной хаотической синхронизации произвольной сети взаимодействующих элементов с малым числом степеней свободы 26
1.1 Сети со сложной топологией, состоящие из динамических хаотических систем с дискретным временем (аналитический анализ режима полной хаотической синхронизации) 30
1.2 Сети со сложной топологией, состоящие из динамических хаотических систем с дискретным временем (численное моделирование) 38
1.3 Взаимосвязь главного ляпуновского показателя синхронного многообразия и старшего поперечного трансверсального ляпуновского показателя синхронного аттрактора 43
1.4 Взаимосвязь между различными типами синхронного хаотического поведения в динамических системах с непрерывным и дискретным временем 47
1.5 Спектральный анализ хаотической динамики отображения, построенного как сечение Пуанкаре потоковой системы 56
1.6 Режим полной синхронизации сети, состоящей из слабо неидентичных элементов - нелинейных хаотических систем с непрерывным временем 64
1.7 Сеть со сложной топологией, состоящая из слабо неидентичных систем Ресслера (численное моделирование) 67
1.8 Выводы по первой главе 73
2 Переходные процессы в автономных системах и сетях со сложной топологией, состоящих из хаотических систем с дискретным временем . 77
2.1 Переходные процессы в отображении с периодической динамикой: методика определения длительности переходного процесса 80
2.2 Универсальные закономерности переходных процессов в одномерных отображениях 82
2.3 Универсальные закономерности переходных процессов в двумерных отображениях 92
2.4 Переходные процессы в сети со сложной топологией, состоящей из взаимодействующих отображений: методика определения 123
2.5 Переходные процессы в сети со сложной топологией, состоящей из взаимодействующих отображений: численный эксперимент 125
2.6 Выводы по второй главе 128
3 Режим полной хаотической синхронизации сети со сложной топологией, состоящей из взаимодействующих прост ранственно-распределенных систем 131
3.1 Построение сети со сложной топологией, состоящей из взаимодействующих распределенных пучково-плазменных систем 134
3.2 Устойчивость режима полной хаотической синхронизации сети, состоящей из взаимодействующих распределенных пучково-плазменных систем 139
3.3 Сеть со сложной топологией, состоящая из взаимодействующих диодов Пирса: численное моделирование 146
3.4 Выводы по третьей главе 151
Заключение 153
Список литературы 157
- Сети со сложной топологией, состоящие из динамических хаотических систем с дискретным временем (численное моделирование)
- Режим полной синхронизации сети, состоящей из слабо неидентичных элементов - нелинейных хаотических систем с непрерывным временем
- Универсальные закономерности переходных процессов в одномерных отображениях
- Устойчивость режима полной хаотической синхронизации сети, состоящей из взаимодействующих распределенных пучково-плазменных систем
Введение к работе
Актуальность исследуемой проблемы
Изучение поведения нелинейных динамических систем, способных демонстрировать сложное поведение, уже давно находится в центре внимания исследователей [1-16]. Одной из обширных областей исследования нелинейной динамики является изучение коллективного поведения взаимодействующих нелинейных систем и, прежде всего, проблем, берущих свое начало с работ Гюйгенса 1665 - 1667 годов, связанных с исследованиями явления синхронизации в коллективной динамике [17]. Интерес к изучению этого явления не прекращается и в настоящее время, что определяется важным фундаментальным [11,18-22] и практическим значением (например, в биологических и физиологических [23-28], химических [29], экологических [30], астрономических [31], радиофизических [32-35] задачах, при скрытой передаче информации с помощью хаотических сигналов [36-44], при управлении системами сверхвысокочастотной электроники [45] и т. п.). Первоначально рассматривалась синхронизация периодических колебаний, однако интенсивное развитие теории динамического хаоса [46-51] вызвало новый интерес к проблеме синхронизации автоколебательных систем, демонстрирующих хаотическую динамику [11,32,52-55]. С развитием теории динамического хаоса и хаотической синхронизации было выявлено достаточно большое число различных типов хаотического синхронного поведения связанных динамических систем с потоковым временем: полная синхронизация [56-62], синхронизация с запаздыванием (лаг-синхронизация) [63, 64], обобщенная синхронизация [65, 66], частотная синхронизация [67,68], фазовая синхронизация [69-71], частичная синхронизация [72], проекционная синхронизация [73] и синхронизация времен-
ных масштабов [74-77]. Активно исследуется также неавтономное поведение динамических систем, находящихся под негармоническим (импульсным, квазипериодическим) воздействием [78-80]. Одновременно, проводились исследования хаотической синхронизации в нелинейных системах с дискретным временем (отображениях) [81]. В коллективной динамике связанных отображений принято выделять следующие типы синхронного поведения: сильная синхронизация [полная синхронизация) [82-84], слабая синхронизация [85-87], слабо асинхронная динамика [88,89], обобщенная синхронизация [90,91] а также явления "ридлинга" и "баблинга", связанные с явлением модуляционной перемежаемости "on-off" типа на границе возникновения сильной синхронизации [92,93]. Столь интенсивное развитие данной области нелинейной динамики привело к выходу исследований хаотической синхронизации за рамки рассмотрения двух взаимодействующих систем, и в последние годы акцент наиболее интенсивно ведущихся исследований синхронизации хаоса смещается в сторону изучения больших ансамблей связанных хаотических динамических систем. Исследование особенностей коллективной динамики больших ансамблей связанных хаотических осцилляторов началось с изучения динамики цепочек [94-96] и решеток [97-99] взаимодействующих элементов и постепенно перешло к изучению сетей нелинейных элементов со сложной топологией связей между элементами [100-106]. В настоящее время именно эти объекты -сети хаотических нелинейных элементов со сложной топологией - привлекают наибольшее внимание исследователей, что во многом определяется большим числом объектов в природе и технике, которые можно описать с помощью сетей. Сюда относятся ряд физических [33,107-109] и физиологических систем [110-113], а также объекты нейродинамики [114-119].
Необходимо отметить, что проблема синхронного поведения элементов сложной сети является хотя и далеко не единственной, связанной со сложными сетями, но одной из центральных и активно изучаемых (см., например, [120]). В таких ансамблях нелинейных элементов возможны различные режимы коллективного поведения, демонстрирующего признаки синхронизма - полная синхронизация [120], кластерная синхрониза-
ция [121-124], фазовая синхронизация [125-127]. Под полной хаотической синхронизацией сети понимается такой режим синхронной динамики, когда все элементы демонстрируют идентичное хаотическое поведение. В режиме кластерной синхронизации в сети существуют кластеры из конечного числа элементов, демонстрирующие режим полной синхронизации, в то время как между этими кластерами полная синхронизация отсутствует. В том случае, если число элементов в ансамбле невелико, вместо термина "кластерная синхронизация" обычно используют термин "частичная синхронизация" [88,128-131].
Как правило, в центре внимания исследователей находятся сети, состоящие из идентичных элементов с малым числом степеней свободы. В таких сетях изучены процессы формирования синхронных кластеров [132-134], выявлены условия существования синхронных режимов [135-137], в том числе и в тех случаях, когда структура связей между узловыми элементами сети изменяется с течением времени [103]. Особо следует отметить исследования, посвященные изучению режима полной синхронизации сети: в этой области удалось достигнуть впечатляющих успехов - существует методика определения устойчивости синхронного состояния, позволяющая перейти от анализа сети с большим числом идентичных элементов к рассмотрению, фактически, только одной системы, определяемой узловым элементом сети [101,102].
В то же самое время, несмотря на значительный интерес к проблеме синхронной динамики больших ансамблей элементов со сложной топологией связей и большое число публикаций по данному направлению, утверждать, что в рассматриваемой области все проблемы уже решены, было бы явно преждевременно. Существует большое число вопросов, ответы на которые еще не найдены и решение которых могло бы способствовать значительному продвижению вперед в понимании основных закономерностей и особенностей неавтономного поведения больших ансамблей нелинейных систем, способных демонстрировать сложное поведение.
В первую очередь, необходимо отметить направление исследований устойчивости режима полной синхронизации сетей, состоящих из элемен-
тов с малым числом степеней свободы. Уже проведённые исследования данной тематики в большей степени относились к сетям идентичных конечномерных элементов с непрерывным типом времени [101,102,136,137]. В работах [101,102] для подобных объектов представлен простой метод определения диапазона устойчивости режима полной синхронизации в пространстве управляющих параметров. Однако, идентичность взаимодействующих элементов является весьма сильным ограничением применимости полученных результатов: очевидно, что ни одна реальная сеть не может быть построена из абсолютно идентичных элементов. Одновременно, незаслуженно обойдёнными вниманием оказываются сети, состоящие из систем с дискретным временем (отображений), также являющиеся важными объектами исследований [138,139].
Во-вторых, важной и интересной задачей представляется проблема исследования переходных процессов, приводящих сложную сеть к режиму полной синхронизации. Как правило, при изучении сложного поведения нелинейных динамических систем с дискретным или непрерывным временем, с сосредоточенными или распределенными параметрами, основной интерес исследователей вызывают установившиеся режимы колебаний и то, каким образом происходит смена этих режимов при изменении управ-ч ляющих параметров системы [140,141]. При этом переходные процессы в большинстве случаев рассматриваются как нечто второстепенное, не вызывающее особого интереса. В то же самое время следует отметить, что переходный процесс несет информацию о системе и в ряде случаев оказывается более целесообразным рассматривать поведение системы, находящейся именно в стадии переходного процесса [142-145], а не тогда, когда система вышла на аттрактор. Следует также отметить, что круг задач, примыкающих к исследованию переходных процессов, достаточно широк: это исследование строения бассейнов притяжения сосуществующих аттракторов и их границ в случае мультистабильности [146], изучение явления переходного хаоса [147,148], которое возникает при кризисе хаотического аттрактора [149,150] и которое по своей сути также является переходным процессом, определение времени ожидания изображающей точки в малой окрестности
фазового пространства системы при управлении хаосом [151-153] и т. п. В качестве объектов исследования переходных процессов выбираются, как правило, динамические системы с дискретным временем, в силу того что, с одной стороны, они относительно просты, а с другой стороны, в них имеют место основные нелинейные явления, свойственные потоковым и распределенным динамическим системам.
Кроме того, важным и интересным вопросом является вопрос о возникновении режима полной синхронизации в сети бесконечномерных распределенных систем. Очевидным фактом представляется, что именно бесконечномерные распределенные системы являются наиболее полными и адекватными моделями реальных объектов природы и техники [154]. К распределенным автоколебательным системам относятся оптические квантовые генераторы (лазеры) [155-157], важнейшие функциональные системы живого организма (системы кровообращения, дыхания, речи) [158-162], переменные звезды (цефеиды) [163-165], автокаталитические химические реакции [166-168], и т. п. Кроме того, автоколебательный характер носят некоторые процессы, связанные с сосуществованием различных биологических видов [169, 170]. Как уже упоминалось выше, хаотическая синхронизация в сетях распределенных элементов практически не изучалась, за исключением предельного случая двух взаимодействующих систем [21,171-178]. Однако, поскольку конечномерные системы зачастую являются аппроксимациями бесконечномерных распределенных систем, можно предположить, что и для сети распределенных элементов можно найти некоторые общие закономерности с уже изученными сетями потоков и отображений. Малая изученность данной проблемы определяется, в основном, сложностью самих элементов, образующих сеть. В настоящее время даже теория пространственно-временного хаоса свободной бесконечномерной распределенной динамической системы весьма далека от своего завершения [179].
Тем не менее, подобные исследования синхронизации хаоса в распределенных системах необходимы и актуальны, так как они позволяют лучше понять закономерности явления хаотической синхронизации ансамбля
взаимодействующих систем, выявить общие закономерности и отличия в поведении сетей нелинейных элементов со сосредоточенными и распределенными параметрами, выяснить механизмы перехода от одного типа синхронного поведения к другому в подобных сетях. Эта задача представляет интерес также с точки зрения разработки радиофизических систем сверхвысокочастотного (СВЧ) диапазона, в частности, таких, как нелинейные антенны и системы передачи информации на основе явления хаотической синхронизации [38,180]. Как правило, при анализе устойчивости синхронного состояния модуля антенной решетки используются системы с малым числом степеней свободы - радиотехнические генераторы [181-183], в то время как для сверхвысокочастотных приборов и устройств более адекватно рассматривать пространственно-распределенные системы, такие как лампа обратной волны [184-188], клистронные генераторы [189], гиропри-боры [190,191] и т. п.
Именно на решение упомянутых проблем направлена диссертация, поскольку исследования сложных сетей, состоящих из распределенных или конечномерных систем представляются весьма важными и актуальными как с прикладной [15,38,177,192,193], так и фундаментальной [15,194-196] точек зрения, всё вышеизложенное позволяет считать тему диссертации, посвященной исследованию режимов полной хаотической синхронизации и переходных процессов в системах радиофизики и физической электроники с помощью методов нелинейной динамики, актуальной и важной для современной науки.
Цель диссертационной работы
Целью настоящей диссертационной работы является детальное изучение возникновения синхронизма в коллективной динамике нелинейных автоколебательных систем, демонстрирующих хаотическое поведение, разработка универсального метода диагностики режима полной синхронизации произвольной сети со сложной топологией связей, состоящей из нелинейных хаотических конечно- и бесконечномерных элементов различной при-
роды. Достижение этой цели в диссертационной работе реализуется решением следующих задач.
Исследование режима полной синхронизации в сети произвольной топологии взаимодействующих хаотических отображений; разработка метода главного ляпуновского показателя для рассматриваемой сети.
Выявление связи предложенного метода главного ляпуновского показателя системы взаимодействующих элементов и классической теории трансверсальной устойчивости синхронного состояния.
Сопоставление слабосинхронизированных режимов неавтономной динамики в системах двух связанных нелинейных хаотических осцилляторов с дискретным и потоковым временем.
Изучение режимов полной синхронизации в сложной сети произвольной топологии, состоящей из диссипативно связанных слабо неидентичных хаотических элементов с дискретным и непрерывным временем.
Исследование переходных процессов в эталонных моделях нелинейной динамики, определение времени, необходимого для установления устойчивого синхронного режима в больших ансамблях взаимодействующих систем при фиксированных значениях управляющих параметров и величинах мощности межэлементной связи.
Изучение режима полной синхронизации в сети произвольной топологии бесконечномерных распределенных систем с различными типами межэлементной связи. Создание для сложной сети пространственно распределенных систем метода определения диапазона устойчивости режима полной хаотической синхронизации, аналогичного методу главного ляпуновского показателя для сети со сложной топологией, состоящей из сосредоточенных систем.
Результаты решения данных задач позволяют утверждать, что в диссертационной работе выявлены общие закономерности коллективной динамики и синхронных режимов в сложных сетях (описан единый метод
анализа произвольных сложных сетей, состоящих из конечно- или бесконечномерных элементов), что, как уже отмечалось выше, и является основной целью настоящей диссертационной работы.
В качестве объектов исследований в данной диссертационной работе выбраны динамические системы, являющиеся эталонными в нелинейной динамике (в частности, логистическое отображение, система Ресслера [197]), а также классические системы радиофизики и физической электроники (диод Пирса [198], генератор "Torus" [199]).
Научная новизна
В настоящей диссертационной работе впервые решена задача, имеющая существенное значение для радиофизики и физической электроники. Научная новизна результатов, представленных в диссертационной работе, заключается в установлении основных закономерностей, присущих синхронной динамике больших ансамблей связанных хаотических систем, выработке универсального подхода для диагностики устойчивости режима полной синхронизации произвольных сетей со сложной топологией, состоящих из хаотических бесконечно- и конечномерных элементов, разработке методик по определению длительности переходных процессов систем, находящихся в периодических и хаотических режимах колебаний. В диссертации впервые получены следующие основные результаты.
Разработана методика определения границ диапазона устойчивости режима полной синхронизации сети со сложной топологией, состоящей из хаотических отображений. Показано, что предложенный метод главного ляпуновского показателя хорошо соотносится с классической теорией трансверсальной устойчивости синхронного состояния; для системы двух взаимодействующих отображений главный ляпу-новский и старший поперечный трансверсальный ляпуновский показатели совпадают.
Выявлена взаимосвязь между различными типами синхронной динамики хаотических систем с непрерывным (потоки) и дискретным
(отображения) временем. Показано, что при слабой расстройке управляющих параметров тип поведения связанных отображений, возникающий с уменьшением параметра связи при разрушении полной синхронизации, который считался раньше асинхронным, соответствует фазовой синхронизации потоковых систем и должен рассматриваться как синхронный режим [200-209].
Выявлена связь между спектральными представлениями поведения систем с непрерывным и дискретным типами времени. Показано, что сечение Пуанкаре, используемое для получения отображения возврата, может рассматриваться как своеобразный фильтр низких частот [210].
Изучен режим полной синхронизации сетей слабо неидентичных хаотических конечномерных элементов с непрерывным и дискретным типами времени. Предложена методика, основанная на расчете главного ляпуновского показателя сети, позволяющая диагностировать диапазон устойчивости режима полной хаотической синхронизации в пространстве управляющих параметров сети и величин мощности межэлементной связи [211].
Для сложных сетей, состоящих из конечномерных хаотических элементов с непрерывным и дискретным типами времени показано, что слабая неидентичность элементов так же, как и введение шума небольшой интенсивности в систему, приводит к уменьшению границ диапазона устойчивости режима полной синхронизации сети. При этом существуют некоторые предельные значения границ области устойчивости режима полной синхронизации, при достижении которых дальнейшее увеличение уровня неидентичности элементов (или вводимого в систему шума) не приводит к дальнейшему уменьшению диапазона устойчивости полной синхронизации [212,213].
Разработаны методики определения длительности переходных процессов в автономных динамических системах (отображениях) и в
больших ансамблях хаотических элементов. Выявлен ряд скейлинго-
вых закономерностей (свойств самоподобия), характерных для зависимости длительности переходных процессов от начальных условий в одномерных и двумерных отображениях [145,214-218]-.
Исследованы основные закономерности, присущие переходным процессам больших ансамблей хаотических элементов, находящихся в режиме полной хаотической синхронизации. Показано, что в большой сети со сложной топологией, состоящей из одномерных отображений, переходные процессы демонстрируют один глобальный минимум, определяемый топологией сети при варьировании управляющего параметра в рамках одного динамического режима системы. На границах разрушения режима полной хаотической синхронизации сети длительность переходных процессов резко возрастает.
Исследована полная синхронизация сетей сложной топологии распределенных пучково-плазменных систем сверхвысокочастотного диапазона радиофизической природы - диодов Пирса. Разработана аналитическая методика определения диапазона устойчивости полной синхронизации, основанная на расчете старшего ляпуновского показателя исследуемой сети взаимодействующих через граничные условия элементов [219,220].Показано, что режим полной синхронизации произвольной сети и конечно-, и бесконечномерных элементов может быть описан с помощью одного и того же подхода, основанного на рассмотрении главного ляпуновского' показателя.
Основные результаты диссертации получены автором лично. В большинстве совместных работ автором выполнены все численные и аналитические расчеты. Постановка задач, разработка методов их решения, объяснение и интерпретация результатов были осуществлены совместно с научными руководителями и другими соавторами научных работ, опубликованных соискателем.
Научная и практическая значимость
Научная и практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что полученные в ней результаты выявляют одну из важных закономерностей коллективной динамики нелинейных хаотических систем. Исследование проводилось прежде всего на основе моделей, являющихся базовыми для нелинейной теории колебаний и волн, радиофизики и физической электроники. Поэтому полученные в диссертационной работе результаты имеют общий характер и могут быть перенесены на другие радиофизические (и не только радиофизические, но и иные) системы. Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, позволяют продвинуться в понимании общих закономерностей, присущих режиму полной хаотической синхронизации больших ансамблей нелинейных систем, выявить общие характерные черты синхронизации в конечно- и бесконечномерных динамических системах с непрерывным и дискретным временем. Можно утверждать, что полученные результаты имеют важное фундаментальное значение и позволяют продвинуться в понимании таких проблем, как возникновение полностью идентичной динамики в связанных системах различной природы. Таким образом, результаты проведенных исследований важны для общей теории колебаний и волн.
Вместе с тем, применение предложенного подхода к описанию синхронного поведения взаимодействующих нелинейных систем на основе метода старшего ляпуновского показателя сети позволяет эффективно и с малыми затратами времени численного счета диагностировать режим полной хаотической синхронизации и осуществлять поиск диапазона устойчивости режима полной синхронизации в сети произвольных элементов с единых позиций, что имеет весьма широкую область потенциального применения в различных областях науки и техники. В частности, разработанные методы расчета устойчивости синхронного состояния сети элементов и систем физической электроники могут быть применены для расчета оптимальной конфигурации активных модулей нелинейных антенн.
Результаты диссертации были использованы при выполнении ряда НИР и научных грантов, а также внедрены в учебный процесс в Саратовском
государственном университете на факультете нелинейных процессов и физическом факультете по специальностям "Физика открытых нелинейных систем", "Радиофизика и электроника" и направлению подготовки бакалавров и магистров "Радиофизика". Кроме того результаты, полученные в рамках выполнения настоящей диссертационной работы, частично вошли в монографию "Методы нелинейной динамики и теории хаоса в задачах электроники сверхвысоких частот", в настоящее время издаваемую в издательстве "Физматлит", г. Москва.
Основные результаты, выводы и положения, выносимые на защиту
Для сети со сложной топологией, состоящей из диссипативно связанных слабо неидентичных нелинейных хаотических конечномерных элементов с непрерывным (потоки) и дискретным (отображения) временем, предложен универсальный метод диагностики устойчивости режима полной синхронизации, основанный на расчете главного ля-пуновского показателя по динамике всего одного узлового элемента сети.
Слабая неидентичность элементов сети так же, как и наличие шума слабой интенсивности в системе идентичных элементов, приводит к уменьшению диапазона устойчивости режима полной синхронизации сети. Существуют некоторые предельные значения границ области устойчивости режима полной синхронизации, при достижении которых дальнейшее увеличение уровня неидентичности элементов (или вводимого в систему шума) не приводит к дальнейшему уменьшению диапазона устойчивости полной хаотической синхронизации.
Тип поведения слабо неидентичных связанных систем с дискретным временем, возникающий с уменьшением параметра связи при разрушении режима полной синхронизации, который считался раньше асинхронным, соответствует фазовой синхронизации потоковых систем и должен рассматриваться как синхронный режим.
Сети со сложной топологией, состоящие из динамических хаотических систем с дискретным временем (численное моделирование)
Режимы синхронной динамики сетей находят явные аналогии в ряде биологических и технических объектов. К примеру, возникновение кластерной синхронизации в рядах данных, полученных с коры головного мозга животных "in vitro", соответствует разнообразным нарушениям в жизнедеятельности животного [241, 242]. Кроме того необходимость изучения синхронных режимов сетей также обусловлена активно развивающейся в настоящее время технологией нелинейных антенн [181-183,243]. Построение активного модуля нелинейной антенны проводится на основе сети связанных элементов, демонстрирующих хаотическое поведение [182]. Использование нелинейности элемента активного модуля антенны и введение межэлементных связей являются основополагающими идеями для технологии нелинейных антенн [182]. Полная синхронизация в такой сети, являющейся модулем нелинейной антенны, позволяет реализовать диаграмму направленности заданной формы. Важной проблемой является длительное обеспечение неизменности формы диаграммы направленности под воздействием различных внешних и внутренних шумов. Иными словами, в сети должен наблюдаться один из возможных режимов синхронизации, устойчивый к малым возмущениям.
Как правило, в центре внимания исследователей находятся сети, состоящие из идентичных элементов с малым числом степеней свободы. В таких сетях изучены процессы формирования синхронных кластеров [132-134], выявлены условия существования синхронных режимов [135-137], в том числе и в тех случаях, когда структура связей между узловыми элементами сети изменяется с течением времени [103]. Особо следует отметить исследования, посвященные изучению режима полной синхронизации сети: в этой области удалось достигнуть впечатляющих успехов - существует методика определения устойчивости синхронного состояния, позволяющая перейти от изучения сети с большим числом идентичных элементов к рассмотрению, фактически, только одной системы, являющейся узловым элементом сети [101,102].
С теоретической точки зрения очевидно, что для произвольной сети идентичных элементов всегда существует режим полной синхронизации, при котором все парциальные системы сети будут демонстрировать идентичную динамику, однако, не для любых значений управляющих параметров и межэлементной связи данный режим будет устойчив [69]. Интересной и важной задачей становится проблема определения границ диапазона устойчивости синхронного состояния сети. Необходимо заметить, что традиционные методы расчета границ устойчивости для рассматриваемой проблемы являются практически непригодными [101,244]. Например, стандартная процедура построения карт старших ляпуновских показателей для сложной многомерной сети, которая может содержать несколько десятков тысяч связанных элементов, приведет к необходимости расчета такого же количества старших ляпуновских экспонент, что даже при использовании современной вычислительной техники потребует огромных затрат машинного времени.
Разработанный в настоящее время метод диагностики устойчивости синхронного режима сети, состоящей из любого числа диссипативно связанных идентичных элементов, основан на рассмотрении максимального условного ляпуновского показателя или старшего показателя сети [101, 244]. В таком случае, динамика произвольной сети, состоящей из диссипа-тивно связанных элементов и находящейся в режиме полной хаотической -синхронизации, целиком и полностью определяется поведением свободной системы, являющейся её узлом, поскольку межэлементное взаимодействие в синхронном режиме исчезнет. Данный факт значительно упрощает исследование синхронной динамики сети, поскольку интуитивно понятно, что анализ на устойчивость синхронного состояния будет основываться на изучении поведения свободного элемента, на чем и построена методика, предложенная в работах [101,244]. Однако, задача описания синхронного поведения сети, узловыми элементами которой являются неидентичные системы, принципиально усложняется по сравнению с проблемой синхронизации идентичных систем. Необходимо отметить, что в научной мировой литературе данная проблема практически не рассмотрена. В то же самое время следует признать, что это направление исследований является весьма важным, перспективным и актуальным. Действительно, требование идентичности всех узловых элементов сети в большом ряде случаев является весьма сильным ограничением, и МНОГРІЄ системы в природе и технике, представляющие собой, по сути дела, сети со сложной топологией связей, не удовлетворяют этому требованию. Поэтому вполне очевидно, что необходимо разработать методы и подходы к анализу синхронного поведения сетей, которые бы позволяли учесть неидентичность узловых элементов.
Настоящая глава посвящена описанию результатов исследования явления хаотической синхронизации ансамблей взаимодействующих систем с сосредоточенными параметрами, принадлежащих к двум различным классам - с непрерывным и дискретным временем, иными словами, потоков и каскадов [100,120,139,245]. В главе представлена методика, позволяющая диагностировать устойчивость синхронного состояния сети взаимосвязанных слабо неидентичных осцилляторов. Предлагаемый способ также основан на введении в рассмотрение старшего ляпуновского показателя сети и дальнейшем анализе его поведения. Основной идеей разработанного метода является предположение о тождественности влияния, оказываемого слабой неидентичностью взаимодействующих элементов сети и слабым шумом, вводимым в сеть связанных идентичных элементов [211,212].
Режим полной синхронизации сети, состоящей из слабо неидентичных элементов - нелинейных хаотических систем с непрерывным временем
Приведенные в разделах 1.4-1.5 результаты исследований однозначно демонстрируют весьма тесную связь между классами динамических систем с дискретным и непрерывным временем. В таком случае можно предполагать, что и для сложной хаотической сети, состоящей из неидентичных потоковых систем, может быть предложен простой метод оценки устойчивости режима полной синхронизации, основанный на рассмотрении главного ляпуновского показателя, так же как это было сделано в разделе 1.1 для сети отображений. Данный раздел посвящен описанию подобного метода для сети слабо неидентичных потоковых систем и изложению результатов исследования режима полной хаотической синхронизации такой сети.
Матрица коэффициентов связи G выбирается удовлетворяющей условиям диссипативности (как это было сделано в разделе 1.1). Ещё раз напомним, что при выполнении условия диссипативности все М собственных чисел матрицы Ai ... AM являются действительными, при этом Ai = 0.
Для сложной сети, состоящей из идентичных элементов с непрерывным времени, то есть, gi = g, Мі в работах [101,102,244] был предложен метод, аналогичный разработанному в разделе 1.1 для сети отображений, позволяющий рассчитать диапазон параметра связи т, при котором режим полной хаотической синхронизации системы (1.38) устойчив. Как показано в работе [101], интервал модифицированного параметра связи v устойчивого синхронного режима сети (1.38), состоящей из идентичных систем gf = g, для Mi, может быть определен с помощью анализа всего пары уравнений следующего вида: С = [F(xs,g)-i/H(xs)Jc, где управляющий параметр и однозначным образом связан с управляющим параметром a v = Хга, () - малое отклонение от синхронного состояния xs(), F(-) и Н[-] - матрицы Якоби операторов F(-) и Н[-], соответственно. Очевидно, что синхронное состояние xs() является устойчивым, если малое возмущение Q(i) затухает с течением времени. Охарактеризовать поведение малого возмущения () синхронного состояния xs(t) можно с помощью старшей ляпуновской экспоненты, получаемой численно с помощью алгоритма Бенеттина [250].
В таком случае, очевидно, что при моделировании системы уравнений (1.41) интервал 1 = (i/f, z/ f) значений параметра v, на котором синхронное состояние сети устойчиво, может быть найден таким же образом, как это было описано выше для сетей со сложной топологией, состоящих из систем с дискретным временем (раздел 1.1), посредством вычисления максимальной ляпуновской экспоненты AD(u). Уровень шума D, вводимый в выражения (1.41), моделирует степень неидентичности элементов рассматриваемой сети. Зная критические значения v\ и v% модифицированного параметра связи и, можно рассчитать предельные границы диапазона устойчивости по параметру связи а режима полной синхронизации, а именно - 0"iA2 — V\VL С АДГ = v% 1.7 Сеть со сложной топологией, состоящая из слабо неидентичных систем Ресслера (численное моделирование)
Управляющие параметры элементов (собственные частоты ШІ генераторов) слабо неидентичны и равномерно распределены вблизи среднего значения Q = (uji) = 1 с максимальным отклонением Аи = 0.1. На рисунке 1.8 показана зависимость старшей ляпуновской экспоненты Л от параметра z/, рассчитанная с использованием алгоритма Бенет-тина [250] на основе уравнений (1.40), моделирующих поведение сети, состоящей из связанных идентичных систем Ресслера (собственные частоты всех элементов сети (1.42) равны между собой О = 1). Серым цветом на рисунке 1.8 выделен интервал стабильности Ist, определяющий устойчивый синхронный режим динамики сети.
Для учета слабой неидентичности собственных частот связанных элементов сети было проводено численное моделирование уравнений (1.41), позволившее найти интервал стабильности lj?t. Для вычисления старшей условной ляпуновской экспоненты Л-(г/), характеризующей синхронную динамику сети со слабо неидентичными элементами, в выражения (1.41) вводился шум, моделируемый вероятностным процессом () с равномерным распределением плотности вероятности по интервалу (—1.0; 1.0). Фрагменты зависимости максимальной условной ляпуновской экспоненты AD(v) от параметра и, рассчитанная для сети генераторов Ресслера со слабо неидентичными параметрами и { (пунктирная линия). Значение интенсивности шума D было выбрано как D = 3.5. Также показанны аналогичные фрагменты максимальной условной ляпуновской экспоненты Л(г/) для сети идентичных элементов (сплошная линия). Эти фрагменты выделены нарис. 1.8 врезками, обозначенными символами "а" и "Ь", соответственно. щие динамику синхронного состояния и малых отклонений от него (1.41) приводит к сдвигу границ v±2 диапазона устойчивости синхронного режима lft, уменьшая величину интервала I&. Таким образом, синхронный режим для сети слегка неидентичных элементов является устойчивым на меньшем диапазоне значений параметра связи а, чем для аналогичной сети, состоящей из идентичных элементов.
Для дальнейшего анализа рассматриваемой сети введена характеристика относительной протяженности Ltf/Lst интервала стабильности 1 , где Шг — v2 v\ и Lst = щ — у\. На рисунке 1.10 показана зависимость Lft/Lst от уровня интенсивности шума D, вводимого в уравнения (1.41), моделирующие поведение синхронного состояния сети слабо неидентичных элементов (1.42). Хорошо видно, что при увеличении интенсивности шума D длина интервала L t стремится к своей предельной длине L u которая не зависит от значения D. Аналогично, границы z/f3 и v интервала стабильности lft сходятся к предельным точкам v\ и г/, соответственно. Таким образом, полученный интервал I t параметра v дает оценку диапазона, на котором сеть, состоящая из неидентичных систем Рёсслера, демонстрирует устойчивую синхронную динамику. Необходимо отметить, что найденный интервал lft наблюдается при постепенном увеличении уровня интенсивности шума D до разумных значений порядка D = 10 -f-12. В то же время, предложенная методика может быть применена лишь для слабой неидентичности элементов сети и, соответственно, для относительно малых ин-тенсивностей шума D. К примеру, если интенсивность шума D в выражении для малого отклонения (1.41) слишком велика, амплитуда слагаемого D(t) в (1.41) становится сопоставима по величине с амплитудой сигнала xs{t) в отсутствии шума, и, соответственно, динамика элемента сети может быть практически разрушена шумом, в результате предлагаемая методика будет давать заведомо ложные результаты.
Универсальные закономерности переходных процессов в одномерных отображениях
Данный раздел посвящен описанию исследования переходных процессов в нелинейной одномерной динамической системе с дискретным временем, показаны механизмы, приводящие к усложнению зависимости длительности переходных процессов от начальных условий, а также выявлены скейлинговые закономерности (свойства самоподобия), характерные для переходных процессов.
В настоящем разделе будут описаны результаты исследования переходных процессов на примере классической модели нелинейной динамики — логистического отображения Xn+i = f(xn) = Аж„(1 - хп). (2.2) В главе приведены результаты по изучению зависимости длительности переходного процесса от начальных условий при различных значениях управляющего параметра Л, лежащего в диапазоне от 1 до 3.57. Иными словами, рассматривается область субгармонического каскада. Для определения длительности переходного процесса использовался метод, описанный в предыдущем разделе 2.1. Рисунок 2.1 иллюстрирует зависимость длительностей переходных процессов при значениях управляющего параметра Л, соответствующих случаям, когда в системе реализуется неподвижная устойчивая точка (Л = 2.75, Рис. 2.1, (а)) и устойчивый цикл периода 2 (Л = 3.236, Рис. 2.1, (6)). Как видно из приведенных рисунков, зависимость длительности переходного процесса Т от начальных условий XQ имеет достаточно сложный, "изрезанный" вид. С ростом управляющего параметра Л зависимость T{XQ) закономерно усложняется.
Глобальные минимумы зависимости длительности переходного процесса приходятся на начальные условия хо, совпадающие с точками аттрактора, который существует в фазовом пространстве системы при заданном значении управляющего параметра Л. Иными словами, при значениях параметра Л = 1 3, глобальный минимум зависимости длительности переходного процесса приходится на устойчивую неподвижную точку х = (Л — 1)/Л, являющуюся аттрактором (см. рис. 2.1, (а)). С увеличением параметра Л и потерей устойчивости неподвижной точкой х, глобальные минимумы длительности переходного процесса сначала приходятся на элементы устойчивого 2-цикла (А = 3 -г-1 + л/б), затем на элементы устойчивого цикла периода 4 и т. д. 4)
Так как точки последовательностей {а:г- } 1 , к = 0,1 отображаются за конечное число итераций в неподвижную устойчивую точку ж0) то и в этих точках наблюдаются минимумы длительностей переходных процессов (см. рис. 2.1, (а)), причем Г(жг-+1) = Т{х\ ) + 1. Аналогичная ситуация реализуется и для максимумов длительностей переходных процессов. Таким образом, можно отметить, что для зависимости длительности переходного процесса Т от начальных условий хо в рассматриваемой системе имеет место скейлинг с масштабным коэффициентом Л относительно границ бассейна притяжения аттрактора а; = 0иж = 1 (рис. 2.2, (а)).
С увеличением значения управляющего параметра Л в системе происходит каскад бифуркаций удвоения периода, и зависимость длительности переходного процесса Т от начальных условий XQ усложняется, что обусловлено несколькими факторами. Во-первых, в связи с тем, что появляются неустойчивые циклы, в точках начальных условий хо, совпадающих с элементами этих неустойчивых циклов, длительность переходного процесса бесконечна2. Одновременно, длительность переходного процесса ока х3а исключением случая А = 2, когда х = 0.5 и не существует никаких других точек х, кроме х, таких, что fix) = 2.
Скейлинг зависимости длительности переходного процесса T(XQ) с масштабным коэффициентом Л относительно границы х = 0 бассейна притяжения аттрактора. Область, слева от пунктирной линии "растягивается" в Л раз. После перемасштабирования зависимость длительности переходного процесса повторяет себя, сдвигаясь в область больших значений на 4-1. Случай (а) соответствует значению управляющего параметра А = 2.75, когда в системе реализуется неподвижная устойчивая точка. В случае (6) показан скейлинг для цикла максимальной устойчивости периода два (Л = 3.236). зывается бесконечной и в множестве точек {yf} 1, которые, в силу необратимости отображения (2.2), за конечное число итераций отображаются в элементы неустойчивых циклов. Во-вторых, число последовательностей {х\ } 1 ! и {yf} ] х, элементы которых отображаются за конечное число итераций либо в элементы устойчивых, либо в элементы неустойчивых циклов, возрастает3.
Скейлинг зависимости длительности переходного процесса в окрестности точек границ бассейна притяжения аттрактора имеет место и в том случае, когда в системе реализуются устойчивые 2п-циклы, п = 0,1,... (рис. 2.2, (Ь), 2.3, (а)). Однако, после того, как неподвижная точка х потеряла устойчивость (и появился устойчивый цикл периода 2), в окрестности этой неподвижной неустойчивой точки наблюдается явление скейлин-га с масштабным коэффициентом /J, = f(x), который является мультипликатором этой неподвижной точки (рис. 2.3, (а)).
Понятно, что аналогичные явления будут наблюдаться с увеличением управляющего параметра Л и на базе элементов потерявших устойчивость 27г-циклов, п = О,1,... Таким образом, можно отметить, что с увеличением параметра А зависимость длительности переходных процессов T(XQ) закономерно усложняется (рис. 2.4), причем ответственность за усложнение "несут" появляющиеся в результате каскада бифуркаций удвоения периода элементы неустойчивых 2п-циклов.
Отметим также, что скейлинг зависимости переходных процессов Т(хо), описанный выше, является не единственным. Существует еще один вид скейлинга, обусловленный поведением логистического отображения в критической точке. Зависимости длительностей переходных процессов для циклов максимальной устойчивости подчиняются скейлинговым закономерностям (рис. 2.5) с константами скейлинга а — —2.503 и b = 2, что следует из процедуры ренорм-группового анализа [277].
Итак, на примере логистического уравнения выявлены причины, приводящие к усложнению зависимости длительности переходных процессов от начальных условий при изменении управляющего параметра. Отметим, что проведенное в данном разделе объяснение носит весьма общий характер и может быть расширено на произвольную динамическую систему с дискретным временем, что позволяет утверждать универсальность открытых скейлинговых закономерностей на зависимости длительности переходных процессов от начальных условий в одномерных отображениях.
Устойчивость режима полной хаотической синхронизации сети, состоящей из взаимодействующих распределенных пучково-плазменных систем
Описанная в предыдущем разделе 3.1 сеть, определяемая уравнениями (3.6) с граничными условиями (3.7) - (3.8), характеризуется диссипа-тивной межэлементной связью. В таком случае для произвольной сети идентичных элементов, в независимости от значений управляющих параметров элементов и величины связи между системами, существует синхронное СОСТОЯНИе (ipi(x,t) = (ps(x,t), Pi(x,t) = ps(x}t), Vi(x,t) = Vs(x,t),
\/г) как выделенное решение системы (3.6) с соответствующими граничными условиями (3.7) - (3.8). Если сеть идентичных элементов находится в режиме полной синхронизации, то, в идеальных условиях (при полном отсутствии внешних и внутренних шумов в системе), элементы сети будут демонстрировать идентичное поведение при сколь угодно долгом времени наблюдении. Тем не менее, отнюдь не для любой сети будет наблюдаться режим полной синхронизации, иными словами, лишь для выделенного класса сетей решение ips(x,t),ps(x,t),vs(x,t) будет устойчивым к шумам, неизбежным как в реальных системах, так и при численном моделировании.
В данном разделе описана методика для нахождения диапазона значений параметра связи устойчивого режима полной хаотической синхронизации сети диодов Пирса. Необходимо заметить, что численный расчет даже сравнительно небольшой сети, порядка 102 -і-103 элементов, занимает весьма продолжительное машинное время. Понятно, что при увеличении числа элементов сети будет расти и время, необходимое для численного моделирования. Отметим, что традиционные методы расчета границ устойчивости для рассматриваемой задачи являются практически непригодными. Например, стандартная процедура построения карт пространственных ляпуновских показателей для сети, содержащей порядка десятков тысяч нелинейных распределенных элементов, приведет к необходимости расчета такого же количества старших ляпуновских экспонент, что даже на современной вычислительной технике потребует огромных временных ресурсов. Разработанный метод диагностики устойчивости сети, состоящей из любого числа взаимодействующих идентичных и слабо неидентичных элементов сосредоточенной природы, основанный на рассмотрение старшего ляпуновского показателя лишь одной системы, подробно описан в первой главе настоящей диссертации. На основе этого подхода в настоящем разделе описывается подобный метод, предлагаемый для рассматриваемой сети распределенных пучково-плазменных систем сверхвысокочастотного диапазона, позволяющий провести исследование режима полной хаотической синхронизации сети без численного расчета динамики всех элементов. Итак, обратимся к описанию предлагаемой методики.
В таком случае, линейная устойчивость синхронного состояния целиком определятся зависимостью от параметра связи v главного ляпуновского показателя Л, рассчитанного для малого отклонения с (3.21) - (3.22). Подчеркнем то, что от анализа комплекта из N уравнений (3.15) с соответствующими граничными условиями (3.17) был выполнен переход к расчету всего одной распределенной системы (3.21), (3.22)
К примеру, если матрица коэффициентов связи G не удовлетворяет условиям диссипативности связи и её максимальное и минимальное собственные числа имеют разные знаки, то сеть соответствующей топологии не достигнет режима полной синхронизации, какой бы ни была введенная связь между элементами.
Итак, описан аналитически полученный метод, позволяющий с помощью расчета старшего ляпуновского показателя Л для одного уравнения (3.21) с граничными условиями (3.22), определить диапазоны устойчивости режима полной синхронизации сети, состоящей из диодов Пирса с управляющим параметром Пирса а произвольных топологий, задаваемых с помощью матрицы G.
Отдельно необходимо обсудить понятие ляпуновского показателя для бесконечномерной пространственно-распределенной системы, аналогичного ляпуновской экспоненте для динамических систем с малым числом степеней свободы. Очевидно, что определение усредненной скорости разбе-гания изначально близких состояний (чем, фактически, и является ляпу-новский показатель для систем с малым числом степеней свободы) для описания поведения пространственно-распределенных систем оказывается очень заманчивой и перспективной идеей. Попытки адаптировать и обобщить понятие максимального ляпуновского показателя для анализа динамики распределенных систем, как правило, сводятся в конечном итоге к расчету ляпуновского показателя теми же самыми способами, что и для систем со сосредоточенными параметрами. Один из возможных способов -вычисление старшего ляпуновского показателя по временной реализации, полученной по сигналу, регистрируемому в одной из точек пространства распределенной системы (см., например, работу [299]), точно так же, как это делается для систем со сосредоточенными параметрами [300,301]. В качестве альтернативы можно также рассчитывать спектр ляпуновских показателей, пользуясь алгоритмом Бенеттина [250] и работая с дискретной моделью распределенной системы, которая получается при использовании конечно-разностных методов. В статье [302] на примере лампы обратной волны приведен расчет спектра ляпуновских показателей распределенной системы, предложенный в данной работе метод определения ляпуновских показателей распределенной системы весьма близок к предлагаемой в настоящем разделе методике.
Итак, предлагаемый метод расчета данной характеристики основывается на модификации алгоритма Бенеттина [250,303] для систем с малым числом степеней свободы [285,295,302]. Рассмотрим подробнее, что в дальнейшем понимается под пространственной ляпуновской экспонентой.
