Введение к работе
Актуальность работы
Исследование связанных систем со сложной динамикой остается актуальной проблемой радиофизики. Эта проблема является сложной и многоплановой. Она исследовалась в работах В.С.Анищенко, В.В.Астахова, Т.Е. Вадивасовой1, Д.Э. Постнова, А.В. Шабунина, В.Д. Шалфеева, Г.В. Осипова, В.В. Матросова, Б.П. Безручко, Е.П. Селезнева2, СП. Кузнецова, Ж.Т. Жусубалиева , Ю. Майстренко, А. Пиковского, М. Розенблюма, К. Канеко, Ю. Куртца , У. Фойдель, Э. Мозекильде и других авторов. Среди обсуждаемых вопросов можно выделить исследования устройства пространства параметров и картины бифуркаций связанных систем, хаотической синхронизации, мультистабильности, критических явлений с использованием метода ренормализационной группы, анализ различных связанных электронных схем и генераторов и т.д. Эта проблематика имеет как фундаментальное значение для нелинейной динамики, так важна и для приложений в радиофизике, экономике, биофизике (например, для описания взаимодействия нефронов, при исследовании нейросетей) и т.д..
Один из возможных подходов к классификации сложной динамики связанных систем может быть основан на том, какой тип динамики демонстрируют отдельные подсистемы или объединенная система.
Исследование связанных систем с удвоениями периода. Простейший бифуркационный сценарий перехода к хаосу ассоциируется с удвоениями периода. Классической моделью, демонстрирующей такой сценарий является квадратичное логистическое отображение, так что возникает задача исследования связанных таких отображений. Различные аспекты этой задачи (случай идентичных по управляющим параметрам подсистем, случай неидентичных подсистем, мультистабильность и т.д.) подробно обсуждались в литературе. Аналогичный подход применяется и к потоковым системам, описываемым дифференциальными уравнениями. В качестве наиболее популярного примера парциальной подсистемы используется система Рёсслера , исследовались также такие системы, как генератор Анищен-ко-Астахова, Кислова-Дмитриева, разнообразные модели Спротта и др. Однако многие аспекты динамики связанных систем с удвоениями периода еще не получили полного освещения. Так недостаточно исследовано влияние асимметрии связи на динамику составной системы, на устройство про-
1 Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Стрелкова Г.И. Синхронизация регулярных, хаотиче
ских и стохастических колебаний. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2008, 144 с.
2 Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнев Е.П. Мультистабильные состояния диссипативно
связанных фейгенбаумовских систем. // Письма в ЖТФ, 1989, т. 15, № 3, с. 60-64.
3 Жусубалиев Ж.Т., Пахомова Е.П., Чевычелов СЮ. Бифуркация рождения тора в кусочно-импульсных
системах // Системы управления и информационные технологии, 2005, № 3, с. 26-28.
4 Пиковский А., Розенблюм М., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.:
Техносфера, 2003, 496 с.
5 Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Динамика двух неидентичных связанных автоколебательных систем с
удвоениями периода на примере осцилляторов Рёсслера // Известия вузов. Прикладная нелинейная ди
намика, 2006, т. 14, №2, с. 3-15.
странства параметров такой системы, а также на картину мультистабиль-ности.
Исследование связанных систем с бифуркацией Неймарка-Сакера. С бифуркацией Неймарка-Сакера ассоциируется возникновение квазипериодической динамики . При этом в фазовом пространстве потоковой системы из предельного цикла рождается тор. Несмотря на канонический характер этой бифуркации, выбор модели для исследования в виде подходящего отображения не столь тривиален, как в предыдущем случае. Для неавтономных систем в области малых амплитуд воздействия хорошей моделью служат отображения окружности или кольца, но они не применимы в области больших амплитуд, когда наблюдается бифуркация Неймарка-Сакера. С другой стороны, такая бифуркация возможна и в автономных системах. Известно не так много примеров автономных генераторов квазипериодических колебаний с такой бифуркацией. Это, например, специальным образом модифицированный генератор Анищенко-Астахова, или гибрид автогенератора релаксационных колебаний и системы с жестким возбуждением, предложенный А.П.Кузнецовым, С.П.Кузнецовым, Н.В.Станкевич . Для таких систем отображение в сечении Пуанкаре может быть построено только численно. С другой стороны, известно множество примеров простых аналитических, но формальных моделей с бифуркацией Неймарка-Сакера в виде двумерных или трехмерных отображений. Большой список (несколько десятков) можно, найти, например, в монографии и
работах Спротта . В качестве базовой модели в настоящей работе используется двумерное отображение , которое обладает универсальным характером в том плане, что демонстрирует все характерные бифуркации на плоскости своих параметров, в качестве которых выступают след и якобиан матрицы преобразования возмущений. Это отображение, однако, введено формальным образом. Поэтому интересным является вопрос о возможности его радиофизической схемотехнической реализации, как варианта автономного генератора квазипериодических колебаний.
В свою очередь, объединение подсистем может приводить к новому типу поведения. В этом плане вызывают интерес недавно предложенные системы с гиперболическим хаосом на основе связанных осцилляторов. Грубые гиперболические аттракторы до недавнего времени были известны только как искусственные математические конструкции, предложенные в работах Аносова, Плыкина, Смейла-Вильямса. Недавно был развит подход, который позволяет строить системы с гиперболической динамкой на осно-
6 Гукенхеймер Дж., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных
полей. Ижевск: РХД, 2002, 560 с.
7 Kuznetsov А.Р., Kuznetsov S.P., StankevichN.V.. A simple autonomous quasiperiodic self-oscillator// Com
munications in Nonlinear Science and Numerical Simulations, 2010, № 15, p. 1676-1681.
8 Zeraoulia E., Sprott J.. 2-D quadratic maps and 3-D ODE systems, World Scientific Series on Nonlinear
Science, 2010, 356 p.
9 Кузнецов А.П., Кузнецова А.Ю., Сатаев И.Р.. О критическом поведении отображения с бифуркацией
Неймарка-Сакера при разрушении фазовой синхронизации в предельной точке фейгенбаумовского кас
када // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2003, т. 11, № 1, с. 12-18
ве связанных осцилляторов. Так в работе СП. Кузнецова, О.Б. Исаевой и А.Ю. Жалнина обсуждается применимость такого подхода для одной из основных моделей гиперболической теории - известного отображения «кот Арнольда». В то же время вопрос о схемотехнической реализации такой системы до сих пор не обсуждался. Отметим, что отображение «кот Арнольда» - консервативная система. Поэтому представляет интерес исследование отображения, возмущенного таким образом, что оно переходит в класс диссипативных систем, имеющих аттракторы. Соответственно, возникает вопрос об исследовании простейшей диссипативной версии такого отображения.
Цели и задачи работы
Целью настоящей работы являлось выявление особенностей динамики связанных систем с различными бифуркационными сценариями (на основе удвоений периода и бифуркации Неймарка-Сакера) и радиофизическая реализация на основе связанных осцилляторов системы с гиперболическим хаосом, описываемой отображением «кот Арнольда».
Для этого решались следующие задачи.
Исследование модификации картины динамических режимов и мультистабильности в связанных системах с удвоениями периода при введении несимметричной связи.
Исследование картины динамических режимов и мультистабильности в связанных универсальных отображениях с бифуркацией Неймарка-Сакера, и разработка их радиофизической реализации.
Построение радиофизической схемы системы с гиперболической динамикой - «кот Арнольда» - на основе связанных осцилляторов и исследование диссипативные версии такого отображения.
Методы исследования
В ходе выполнения работы был использован широкий набор различных численных методов. Для анализа устройства пространства параметров отображений и потоков использовались методы карт динамических режимов, карт старшего показателя Ляпунова и карт, отображающих спектр ля-пуновских показателей. Последний метод позволяет отследить более высокоразмерные хаос и квазипериодичность. Для анализа систем с несколькими сосуществующими аттракторами предложен метод карт мультистабильности, в рамках которого численно определялось количество сосуществующих аттракторов в каждой точке плоскости параметров. При вариации одного из управляющих параметров использовались метод построения сосуществующих бифуркационных деревьев на одной диаграмме. Строились также бассейны притяжения различных аттракторов. Для радиофизической реализации модельных отображений использовался программный
10 Isaeva О.В., Jalnine A.Yu. and Kuznetsov S.P. Arnold's cat map dynamics in a system of coupled nonauto-nomous van der Pol oscillators III Phys. Rev. E74, 2006, 046207.
пакет электрических схем «Multisim 10.0». С его помощью исследовались осциллограммы, фигуры Лиссажу, фазовые портреты, Фурье-спектры сигналов предложенных схем.
Положения и основные результаты, выносимые на защиту
Карты мультистабильности, как метод, предложенный в работе и апробированный на примере связанных логистических отображений и связанных систем Рёсслера, позволяет выявлять области сосуществования различных динамических режимов в пространстве параметров широкого класса нелинейных систем со сложной динамикой.
При введении асимметрии связи в системах с удвоениями периода, как с дискретным, так и с непрерывным временем происходит сокращение количества сосуществующих аттракторов, а также существенное искажение формы бассейнов притяжения, фрактализация их границ, слияние отдельных частей бассейна в односвязную область.
Для введенной в рассмотрение системы связанных универсальных модельных отображений, демонстрирующих все основные сценарии перехода к сложной динамике, включая удвоения периода и бифуркацию Неймарка-Сакера, в пространстве параметров обнаруживаются области гиперхаоса и трехчастотной квазипериодичности, размер которых сокращается при увеличении степени асимметрии связи.
Универсальное двумерное отображение и система двух связанных таких отображений допускают радиофизическую реализацию в виде схем на основе операционных усилителей, представляющих собой примеры генераторов квазипериодических колебаний.
Система с динамикой на аттракторе, описываемой отображением «кот Арнольда», допускает радиофизическую реализацию на базе двух пар связанных неавтономных осцилляторов Ван дер Поля. В отображении «кот Арнольда» при добавлении диссипативных членов определенного вида с ростом возмущения осуществляется переход от гиперболической динамики Аносова к гиперболическому DA-аттрактору, с последующим его разрушением, возникновением периодической динамики, и, после бифуркации утроения периода, переходом к негиперболическому хаосу.
Аргументированность, обоснованность и достоверность результатов диссертации
Достоверность полученных результатов обусловлена использованием взаимодополняющих методов (построение карт мультистабильности, сосуществующих бифуркационных деревьев, бассейнов притяжения). Дополнительным аргументом достоверности служит также соответствие результатов, полученных численными методами, и результатов моделирования с помощью пакета «Multisim 10.0».
Научная новизна работы
В работе впервые
Проведено комплексное исследование влияния асимметрии связи на картину режимов связанных систем с удвоениями периода, включающее построение карт динамических режимов, карт мультиста-бильности и семейств бифуркационных деревьев. Проведена оценка площади различных листов мультистабильных состояний на плоскости управляющих параметров подсистем.
Построена радиофизическая модель, отвечающая универсальному двумерному отображению, и продемонстрирована ее эффективность, в частности, возможность генерации автономных квазипериодических колебаний.
Исследованы колебательные режимы связанных универсальных двумерных отображений в трех характерных случаях динамики подсистем: удвоения периода, синхронизация 1:3 и квазипериодический режим. Обнаружено уменьшение областей гиперхаоса и трехчастот-ной квазипериодичности при увеличении степени асимметрии связи подсистем.
Предложена радиофизическая реализация связанных универсальных двумерных отображений.
Построена радиофизическая модель, описывающая систему с гиперболической динамикой - отображение «кот Арнольда».
Исследована динамика диссипативно возмущенного отображения «кот Арнольда», обнаружено разрушение гиперболического аттрактора с возникновением простых регулярных колебаний, а также возможность эффекта утроения периода.
Научная и практическая значимость
Полученные в диссертации результаты вносят вклад в понимание взаимосвязи формальных моделей теории динамических систем и теории гиперболического хаоса с реалистичными радиофизическими системами в виде электронных схем. Представленный подход может быть распространен и на другие системы, включая различные варианты двумерных и трехмерных отображений. Результаты, касающиеся систем с асимметричной связью, могут быть важны для приложений, так как в реальных системах случай несимметричной связи представляется достаточно типичным. Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе в рамках курсов по радиофизике и теории колебаний.
Личный вклад
Постановка задач, обсуждение и интерпретация результатов проводилась совместно с соавторами совместных работ и научным руководителем. Автор лично выполнил физико-математическую формализацию задач, программирование задач, разработал новые методики графического представления результатов, провел необходимые численные расчеты, а также
осуществил моделирование динамики электронных схем и обработку данных.
Апробация работы и публикации
Основные результаты работы докладывались на научных конференциях: «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010), XV Всероссийской научной конференции «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2010), II - VI конференциях молодых учёных «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011), международных школах «Хаотические колебания и образование структур» (Саратов, 2007, 2010), международной школе-семинаре «Statlnfo» (Россия, Саратов, 2009).
Частично результаты диссертации получены в процессе выполнения работ, поддержанных АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект № 2.1.1./1738) Минобрнауки РФ и грантом Президента РФ для молодых ученых-кандидатов наук (МК-905.2010.2).
По теме диссертационной работы опубликовано 18 работ, в том числе две статьи в рецензируемом журнале, рекомендованном ВАК, и 16 тезисов докладов.
