Содержание к диссертации
Введение
1 Динамика пространственно периодических режимов в цепочке осцилляторов с регулярным и хаотическим поведением 15
1.1 Условия существования и устойчивости пространственно периодических режимов в цепочке квазигармонических генераторов 17
1.2 Влияние ангармоничности на структуру разбиения пространства управляющих параметров цепочки генераторов Ван-дер-Поля 28
1.3 Мультистабильность пространственно периодических режимов Вероятность возбуждения различных пространственных мод в зависимости от случайных начальных распределений 36
1.4 Переходы к пространственно-временным режимам с фазовыми дефектами в цепочке генераторов Ван-дер-Поля 42
1.5 Эволюция пространственно периодических режимов в цепочке генераторов с бифуркациями удвоения периода 48
1.6 Выводы по главе 1 60
2 Режимы кластерной синхронизации в автоколебательной среде 62
2.1 Исследуемая модель среды 63
2.2 Режимы частотных кластеров 64
2.3 Эволюция кластерных структур при вариации параметров среды 70
2.4 Синхронизация частотных кластеров во взаимодействующих средах 74
2.5 Кластерная синхронизация и хаос в среде с линейной неоднородностью 80
2.5.1 Линейный анализ устойчивости колебаний в режимах идеальной и неидеальной кластерной синхронизации 91
2.5.2 Скорость перемешивания и коэффициент эффективной диффузии фазы хаотических колебаний в режиме неидеальных кластеров 94
2.5.3 Кластерная синхронизация в среде со случайной неоднородностью 97
2.5.4 Механизм перехода к хаосу при разрушении идеальных кластеров 98
2.6 Выводы по главе 2 106
3 Влияние флуктуации на режимы бегущих волн 108
3.1 Индуцированные шумом переходы между мультистабильными состояниями в дискретной однородной автоколебательной среде 110
3.2 Влияние пространственно-временных флуктуации на распространение импульсов в возбудимой среде 119
3.3 Индуцированный шумом хаос в неоднородной автоколебательной среде 125
3.4 Выводы по главе 3 130
Заключение 132
Литература
- Влияние ангармоничности на структуру разбиения пространства управляющих параметров цепочки генераторов Ван-дер-Поля
- Переходы к пространственно-временным режимам с фазовыми дефектами в цепочке генераторов Ван-дер-Поля
- Синхронизация частотных кластеров во взаимодействующих средах
- Влияние пространственно-временных флуктуации на распространение импульсов в возбудимой среде
Введение к работе
Регулярные, хаотические и стохастические процессы в активных средах в последние десятилетия являются предметом пристального внимания специалистов в различных областях математики, физики, химии, биологии и других наук [1-6]. При моделировании пространственно-временной динамики активных сред обычно используют либо модели, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных, либо ансамбли связанных осцилляторов, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. В последнем случае пространственные координаты являются дискретными, т.е. принимают счетное множество значений, соответствующих нумерации элементов ансамбля. Цепочки и решетки, составленные из большого числа нелинейных элементов с регулярным, хаотическим или стохастическим поведением нашли широкое применение при математическом моделировании физических, оптических и радиоэлектронных распределенных систем [8,12,25,26,86,87,102], а также химических и биологических процессов [1,5,12,27,28,141,146,152]. Нелинейные явления в моделях автоколебательных сред с непрерывными пространственными координатами также достаточно широко изучались. Особенно много работ посвящено таким базовым моделям, как уравнения Гинзбурга - Ландау [6,125,127], Курамото - Сивашинского [5,29,30] и др.
Эффекты полной и частичной синхронизации играют определяющую роль в динамике ансамблей регулярных и хаотических осцилляторов. При изучении пространственно - временного поведения таких систем рассматриваются различные модели : решетки из дискретных отображений, автогенераторов с предельным циклом или хаотическим аттрактором. К настоящему времени достаточно хорошо изучена динамика цепочек из осцилляторов с предельным циклом. Синхронизация колебаний в таких ансамблях осцилляторов -одна из традиционных областей исследований для современной радиофизики. Первые работы в этом направлении известны с середины прошлого века [31] и рассматривали, как правило, задачу частотной синхронизации в цепочке осцилляторов с гармоническим поведением [32]- [35]. В работе [34] было обращено внимание, что в подобных системах возможны режимы с разными фазовыми сдвигами между осцилляторами - то есть сосуществуют разные пространственные моды. Условия существования и устойчивости разных пространственных мод в ансамблях осцилляторов, колебания в которых возникают через бифуркацию Андронова-Хопфа, были получены в квазигармоническом приближении для разных типов связей в работах Эрментроута и Неймарка [36-38,41].
Детальное исследование динамики пространственно однородных и неоднородных волн в цепочке осцилляторов с жестким возбуждением было проведено в работе [39], где основные результаты также были получены в квазигармоническом приближении. Моделирование ангармоничности введением дополнительного слагаемого в уравнение для фазового осциллятора в работе [40] привела к интересному результату - при большой ангармоничности в кольце осцилляторов наблюдалось появление так называемых странных волн. В системе устанавливался режим, разупорядоченный в пространстве, но регулярный во времени. С другой стороны, введенние таким образом ангармоничности носит достаточно искуственный характер. Представляется интересным и важным исследование динамики ансамблей "реальных"регулярных осцилляторов; в которых изначально присутствуют такие явления, как ангармоничность и неизохронность. В рамках диисертационной работы исследуется влияние ангармоничности на режимы фазовых волн в цепочке генераторов Ван-дер-Поля, моделируемых не укороченными, а полными уравнениями.
Пространственно периодические режимы не исчерпывают всего разнообразия структур, которые могут возникать даже в небольших цепочках. Возникает вопрос - насколько типичными являются эти режимы? Будут ли они возникать при случайных начальных условиях из некоторой окрестности однородного состояния В рамках данной диссертационной работы выясняется насколько типичными являются пространственно периодические режимы в одной из базовых систем теории колебаний и волн - цепочке связанных генераторов Ван-дер-Поля.
Вопрос о том, какое состояние неравновесной среды реализуется при конечном превышении порога устойчивости равновесного состояния, интересен для различных областей физики. Сложные пространственно - временные режимы в распределенных системах как правило формируются в результате развития иерархии неустойчивостей при увеличении надкритичности. На начальном этапе их формирования иногда удается выделить два крайних случая, обычно реализующихся в разных системах [56]. В одном из них увеличение надкритичности приводит к усложнению пространственной структуры без существенного усложнения временной динамики. В частности, такой сценарий наблюдается в подогреваемом снизу слое жидкости при больших числах Прандтля. В другом случае сложное временное поведение, в том числе и хаотическое, может возникнуть практически без изменения упорядоченной пространственной структуры, как, например, в цилиндрическом течении Куэтта. При дальнейшем увеличении надкритичности изменения пространственной структуры и временного поведения становятся взаимосвязанными.
В данном контексте представляется важным и интересным рассмотреть, как усложнение временной динамики парциальной ячейки в виде перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода влияет на пространственную структуру фазовой волны распределенной системы, может ли индуцировать хаотическая временная динамика в таких системах пространственный хаос или пространственная периодичность исходных режимов сохраняется.
Эти вопросы анализируются в первой главе диссертации на примере цепочки связанных генераторов Чуа.
Исследование динамики нелинейных распределенных систем представляет собой одно из основных направлений развития теории колебаний и волн. Главным фактором в динамике распределенных автоколебательных систем, который приводит к упорядоченному пространственно - временному поведению, служит синхронизация элементов среды или ансамбля. Эффекты синхронизации в ансамблях автогенераторов и фазовых осцилляторов с локальной связью исследовались в [1,88,89,91,96,105] и многих других статьях и монографиях. Частичная частотно-фазовая синхронизация в цепочках и решетках квазигармонических автогенераторов и фазовых осцилляторов при наличии расстройки собственных частот проявляется в образовании фазовых и частотных кластеров [91,94,95,97,121]. Аналогичным образом частичная фазовая синхронизация приводит к образованию кластеров и в цепочке генераторов спирального хаоса [104]. Большое количество публикаций посвящено исследованию эффектов глобальной и частичной синхронизации, образованию кластеров синхронных состояний и упорядоченных пространственных структур в цепочках и решетках идентичных хаотических автогенераторов и модельных хаотических отображений [100,101,105].
Синхронизация в автоколебательных распределенных системах служит причиной ограничения роста размерности аттракторов [133,134]. С возможностью реализации синхронных режимов с различными фазовыми сдвигами тесно связано явление мультистабильности, т.е. сосуществования множества регулярных и хаотических аттракторов в фазовом пространстве [99]. Муль-тистабильность, в свою очередь, приводит к кризисам аттракторов, фракта-лизации бассейнов притяжения и другим нетривиальным эффектам.
Для распределенных автоколебательных систем также ставились задачи о взаимной и внешней синхронизации. Так, явление вынужденной синхронизации непрерывной автоколебательной среды исследовалось в работе [115].
Взаимная синхронизация во взаимодействующих распределенных системах рассматривалась в работах [114,116,117].
Во втором разделе диссертации рассматриваются особенности динамики режимов частотных кластеров в неоднородной распределенной системе. В качестве модели неоднородной автоколебательной среды используется уравнение Гинзбурга-Ландау. Исследуется взаимная синхронизация кластерных структур в двух взаимодействующих неоднородных средах. Несмотря на обилие литературы, данные задачи еще не ставились.
Исследование влияния флуктуации на нелинейные диссипативные системы является важной и актуальной проблемой современной нелинейной динамики. Шум является принципиально неустранимым явлением в системах самой различной природы: от электронной схемы до живого организма или социальной структуры. Влияние шума на функционирование динамических систем долгое время ассоциировалось с деструктивным воздействием, внесением беспорядка в какой бы то ни было процесс. Во многих ситуациях такое представление о роли шума справедливо, и задача исследователя состоит в выявлении различных свойств зашумленных систем [14-16]. Проблема подавления шумов является актуальной во многих областях науки и техники. Однако исследования последних лет показали, что в нелинейных системах шум может играть и конструктивную роль: воздействие шума может индуцировать новые упорядоченные режимы, приводить к образованию более регулярных структур, вызывать увеличение отношения сигнал/шум и т.д. Другими словами, при определенных условиях, шум может вызывать рост степени порядка в нелинейной системе [158,160].
Примерами такого нетривиального поведения нелинейных систем под воздействием шума являются эффект стохастического резонанса (когда отклик нелинейной системы на слабый внешний периодический сигнал усиливается при увеличении интенсивности шума) и эффект когерентного резонанса (он наблюдается в отсутствие внешнего периодического сигнала и выражается в существовании некоторого оптимального значения интенсивности шума, при котором стохастические колебания в нелинейной системе становятся наиболее близкими к регулярным) [20-23,161]. Понимание особенностей динамики нелинейных систем, находящихся под воздействием флуктуации различной природы, представляет собой актуальную задачу современных исследований и имеют большое фундаментальное и прикладное значение.
Поведение ансамблей нелинейных осцилляторов и нелинейных сред в присутствии флуктуации, в частности, проявление эффекта синхронизации в таких системах, намного сложнее и разнообразнее, чем в конечномерных моделях. Исследования в этом направлении пока еще далеки от своего завершения. Изучение влияния шума на пространственно - распределенные системы ведется с конца семидисятых годов [169,170]. Флуктуации могут индуцировать образование пространственных паттернов, фронтов переключений, фазовые переходы первого и второго рода, неупорядоченные фазовые переходы, поддерживать возникновение и распространение структур (фронтов и импульсов) в возбудимых средах [185,186].
В рамках данной диссертационной работы рассматриваются следующие вопросы :
- исследуется возможность осуществления переходов под воздействием флуктуации между мультистабильными состояниями в виде бегущих волн в цепочке связанных ангармонических осцилляторов,
- изучаются особенности влияния некоррелированных гауссовских флуктуации на процесс распространения импульсов в субвозбудимой среде, моделируемой системой Фитцхью-Нагумо, находящейся под внешним точечным воздействием,
- проводится исследование индуцированной шумом хотической во времени динамики в неоднородной автоколебательной среде.
Целью работы является изучение режимов синхронизации в однородных и неоднородных распределенных автоколебательных системах в виде це -10 почек связанных генераторов, и непрерывных активных сред, исследование влияния временной динамики парциальной ячейки среды на явление муль-тистабильности и эволюцию пространственно - периодических режимов, анализ возможности переключений между мультистабильными состояниями при воздействии шума и индуцированного шумом хаоса в распределенных автоколебательных системах.
Научная новизна работы заключается в том, что впервые были получены следующие результаты:
- Показано, что для цепочки ангармонических осцилляторов характерно явление мультистабильности в виде сосуществующих режимов фазовых волн. Структура пространства параметров представляет собой набор вложенных друг в друга областей, ограниченных как по параметру связи, так и по параметру возбуждения. Выход за границу области существования, если он происходит при больших значениях нелинейности, может приводить к появлению качественно нового режима, при котором в бегущей волне формируется один или несколько фазовых сбоев, движущихся вдоль кольца каждый со своей скоростью.
- Показано, что фазовые волны являются типичными режимами для цепочки локально связанных генераторов Ван-дер-Поля. При задании случайных начальных распределений в окрестности пространственно однородного состояния как правило реализуется один из допустимых пространственно периодических режимов.
- Выяснено, что для цепочек хаотических осцилляторов, моделируемых уравнениями Чуа, строгая пространственная периодичность сохраняется несмотря на бифуркации удвоения периода и рождения тора вплоть до перехода к хаотической временной динамике, после чего пространственные режимы остаются периодическими только в среднем и существуют в широкой области значений управляющих параметров, разрушаясь с развитием вре -11 менного хаоса.
- Обнаружен эффект синхронизации пространственных структур в виде частотных кластеров при взаимодействии распределенных неоднородных автоколебательных систем, описываемых уравнениями Гинзбурга-Ландау.
- Выявлен бифуркационный механизм перехода к хаосу, возникающий при разрушении идеальных частотных кластеров в детерминированной неоднородной автоколебательной среде.
- Установлено, что возникновение хаотической динамики, индуцированное шумом и связанное с разрушением идальных кластеров, обусловлено существованием непритягивающего хаотического множества в окрестности регулярного режима.
- Показано, что в однородной цепочке генераторов Ван-дер-Поля флуктут ации могут индуцировать переходы между сосуществующими структурами, которые имеют односторонний характер: от более коротковолновых режимов к более длинноволновым.
Достоверность полученных результатов подтверждается воспроизводимостью всех численных экспериментов, хорошим совпадением результатов, полученных независимыми численными методами, а также совпадением получаемых в предельных случаях результатов с известными из литературы.
Научно-практическая значимость работы состоит в том, что полученные результаты детального описания режимов и бифуркационных переходов в базовых однородных и неоднородных распределенных автоколебательных системах представляют интерес в радиофизике и электронике и могут найти применение при решении задач, связанных с анализом сложного пространственно - временного поведения прктически значимых распределенных систем и ансамблей. Описанный в работе эффект индуцированных шумом переключений между мультистабильными состояниями в виде фазовых волн может быть применен в решеточных системах для управления
-12 динамическими режимами с помощью шумового воздействия. Результаты, полученные для системы Фитцхыо-Нагумо показывают, что исследование химического состава клеток во многих случаях можно проводить в рамках базовой модели возбудимой среды без привлечения громоздких и детальных уравнений динамики клеток среды [189].
На защиту выносятся следующие основные положения
1. В однородной цепочке генераторов с предельными циклами ангармоничность автоколебаний парциальных ячеек ведет к ограничению областей мультистабильности пространственно периодических режимов в пространстве параметров и возникновению новых режимов в виде волн с фазовыми дефектами, каждый из которых движется со своей скоростью. В фазовом пространстве системы данным режимам соответствует многомерный тор, размерность которого определяется числом фазовых дефектов.
2. Взаимодействующие распределенные неоднородные автоколебательные системы могут демонстрировать эффект синхронизации частотных кластеров. Эффект синхронизации пространственных структур возникает в результате частотной синхронизации соответствующих точек взаимодействующих автоколебательных сред.
3. В неоднородной автоколебательной среде разрушение идеальных кластеров частотной синхронизации, вызванное как изменением управляющего параметра, так и воздействием шума, ведет к возникновению хаотического во времени поведения. Переход к хаосу в детерминированной системе при вариации параметров может происходить в результате жесткой бифуркации, подобной субкритической бифуркации удвоения периода, и сопровождаться перемежаемостью. Возникновение хаотической динамики при воздействии шума связано с существованием не притягивающих хаотических движений в окрестности регулярного режима.
Структура и объем работы. Работа содержит 157 страницу, из них 82 страницы основного текста, 54 страницы иллюстраций и список литературы из 204 наименований на 21 странице.
Краткое содержание работы
Основной текст диссертации состоит из введения, трех глав и заключения. В первой главе рассмотрена динамика пространственно периодических режимов в цепочках квазигармонических, ангармонических и хаотических осцилляторов. Приведен обзор ранее известных результатов, касающихся динамики таких режимов в похожих системах. Оригинальные результаты получены при изучении эволюции режимов фазовых волн в кольце связанных генераторов Ван-дер-Поля и Чуа. Для цепочки генераторов Ван-дер-Поля исследуется влияние ангармоничности на явление мультистабильности пространственно -периодических режимов, рассматривается типичность их появления и закономерности их исчезновения. Для цепочки генераторов Чуа выясняется, как усложнение временной динамики в виде бифуркаций удвоения периода влияет пространственную динамику системы [194,196,200,203]. Во второй главе исследуется формирование и эволюция кластеров частотной синхронизации в неоднородной автоколебательной системе, моделируемой уравнением Гинзбурга - Ландау. На плоскости управляющих параметров строятся области устойчивости режимов с разным числом кластеров. Устанавливается взаимосвязь между формированием режимов неидеальных кластерных структур и развитием временного хаоса. Выясняется механизм возникновения хаоса [192,193,197,199,201,202].
В третьей главе изучается влияние флуктуации на пространственно - временную динамику автоколебательных и возбудимой сред. Исследуются переключения между мультистабильными состояниями в виде режимов фазовых волн под действием внешнего шума в кольце генераторов Ван-дер-Поля. Рассмотрено влияние внешних флуктуации на процесс распространения им -14 пульсов в возбудимой среде, моделируемой системой Фитцхыо-Нагумо, находящейся под внешним точечным воздействием. Описан индуцированный шумом временной хаос в неоднородной автоколебательной среде, моделируемой уравнением Гинзбурга - Ландау [195,196,199,203]. В заключении приведены основные результаты и выводы, полученные в работе.
Апробация работы и публикации Основные результаты диссертационной работы были доложены на научных конференциях: Шестая международная школа «Хаотические автоколебания и образование структур Хаос-2001» (Россия, Саратов),«Нелиненые дни в Саратове для молодых - 2003»(Саратов, 2003), Седьмая международная школа «Хаотические автоколебания и образование структур - Хаос-2004», международная конференция "Physics and Control (PhysCon2005) Санкт-Петербург, Россия,2005. Результаты диссертации неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета, научных семинарах Научно-Образовательного Центра «Нелинейная динамика и биофизика» Саратовского государственного университета, на научном семинаре проф. Л. Шиманского - Гайера (Гумбольдский университет, Берлин, Германия), на научном семинаре проф. Т. Капитаниака (технический университет г.Лодзь, Польша).
По теме диссертации опубликовано 12 работ. Из них 7 статей в рецензируемых журналах, 1 статья в рецензируемых трудах конференций и 3 в тезисах докладов [192-203]. Результаты работы использованы при выполнении гранта РФФИ 00-02-17512-а, CRDF (REC-006), Министерства Образования и Науки (тема "Амплитуда").
Влияние ангармоничности на структуру разбиения пространства управляющих параметров цепочки генераторов Ван-дер-Поля
Построенные области существования и устойчивости пространственно - периодических режимов, имеют место для цепочки осцилляторов с квазигармоническим поведением, описываемых укороченными уравнениями для амплитуд и фаз. Перейдем теперь к анализу поведения исходной цепочки автогенераторов (1.1). Принципиальное отличие между (1.4) и (1.1) заключается в следующем. Состояниям равновесия в фазовом пространстве укороченной системы соответствуют предельные циклы в фазовом пространстве полной системы. При увеличении параметра є в полной системе происходит не только рост амплитуды колебаний, но и изменение их формы, приводящее к генерации новых гармоник в спектре колебаний. Исследуем методами компьютерного эксперемента влияние ангармоничности на пространственно - временную динамику цепочки генераторов Ван-дер-Поля и структуру разбиения пространства параметров на области с характерными режимами. Для наблюдения и графического представления режимов бегущих волн в системе (1.1) удобно использовать сечение Пуанкаре. Значения динамических переменных всех осцилляторов ансамбля {х{\ фиксируются в моменты времени, соответствующие обращению в ноль производной по времени от одной из динамических переменных (например, х\). Таким образом, делаются мновенные "снимки" распределения состояний осцилляторов (т.е. строится профиль бегущей волны) в моменты времени, соответствующие определенной фазе опорного элемента (в нашем случае х\). Изображения характерных пространственно - временных режимов с разными длинами волн показаны на рис.1.2. Нормированные на 7г разности фаз между соседними осцилляторами вдоль цепочки для типичных режимов представлены на рис.1.3.
Пространственно - периодические режимы, приведенные на рис.1.2, не ис -29 Рис. 1.2: Колебательные режимы системы (1.1): пространственно - однородные колебания (а) и режимы бегущих волн, распространяющихся в прямом направлении с длиной волны Л = 30 (Ь), Л = 15 (с), Л = 10 (d), Л = 6 (е) и Л = 5 (f). По оси абсцисс отложены порядковые номера осцилляторов в цепочке (дискретная пространственная координата), на оси ординат - значение динамической переменной данного осциллятора в сечении Х\ = 0. Пунктирной линией на рис.(Ь) показан профиль волны, распространяющейся в обратном направлении.
Распределение разностей фаз соседних осцилляторов вдоль цепочки, (соответствуют режимам с той же длиной волны, представленным на рис.1.2). черпывают всех возможных устойчивых режимов, наблюдающихся в системе (1.1). В частности, возможно существование бегущих волн, у которых амплитуды колебаний и разность фаз между соседними осцилляторами не постоянны вдоль цепочки. Это характерно для тех случаев, когда длина цепочки не кратна длине волны рассматриваемого режима. Например, на рис.1.4 показан профиль режима с четырьмя максимумами (Л = 4), пространственный период у которого равен пятнадцати ячейкам, каждый максимум точно повторяется только через один. В этом случае разность фаз между соседними осцилляторами не одинакова вдоль кольца. Как видно из рис. 1.4, вдоль цепочки наблюдаются четыре сбоя разности фаз. Аналогичная пространственная модуляция имеет место и для амплитуды колебаний.
Вначале проанализируем динамику "простых"фазовых волн в цепочке генераторов Ван-дер-Поля с однородным пространственным распределением амплитуды колебаний и разностей фаз между колебаниями соседних осцилляторов, которые являются устойчивыми при положительных значениях параметра связи.
Рождение представленных на рис. 1.2 пространственно временных режимов происходит на тех же линиях Ъ\- Ъ\ь плоскости управляющих параметров, что и рождение соответствующих им стационарных состояний в укороченных уравнениях (1.4) (см. рис. 1.1). Это естественно, поскольку в момент своего рождения колебания являются гармоническими, а следовательно, достаточно хорошо описываются укороченными уравнениями. Однако, при увеличении параметра є форма колебаний становится ангармонической и в спектре колебаний появляются гармоники на кратных частотах. Таким образом, при удалении от порога возникновения генерации исходная система генераторов Ван-дер-Поля (1.1) начинает вести себя иначе, чем упрощенная модель (1.4). Соответственно, области устойчивости для бегущих волн, представленные на рис. 1.5, качественно отличаются от соответствующих областей, изображенных на рис. 1.1. Для сравнения на рис.1.5 продублированы границы областей 1.1 и 1.5 видно, что в отличие от гармонических осцилляторов, в цепочке описываемыми полными уравненими каждый волновой режим, за исключением пространственно - однородного, имеет конечную область устойчивости. Нижние границы этих областей при малой связи почти совпадают с соответствующими границами для системы (1.4). Расхождение начинается при больших значениях 7 которое особенно хорошо заметно в случае коротковолновых режимов. Рассмотрим, например, границы области устойчивости пространственно - периодического режима с длиной волны Л = 6. До значений коэффициента связи 7 — 0.5 нижняя граница устойчивости рассматриваемого режима в (1.1) почти совпадает с пунктирной линией s . Однако, при сильной связи она существенно отклоняется от прямой линии. Кроме того, область устойчивости рассматриваемого режима является ограниченной сверху. Верхняя и нижняя границы совместно с бифуркационной линией 7 = 0 образуют замкнутую область устойчивости для пространственно - периодического режима с длиной волны Л = 6. На рисунке 1.5 построены области устойчивости в диапазоне значений коэффициента связи 0 f 1, в котором целиком содержатся области устойчивости режимов с длинами волн Л = 5 и Л = 6. Области устойчивости для более длинноволновых режимов выглядят аналогичным образом, но их верхняя и нижняя граница замыкаются при коэффициентах связи больших единицы.
Переходы к пространственно-временным режимам с фазовыми дефектами в цепочке генераторов Ван-дер-Поля
Влияние ангармоничности на динамику цепочки генераторов с предельными циклами приводит не только к изменению структуры разбиения пространства управляющих параметров на области с характерными режимами, но и к возможности возбуждения качественно новых пространственно - временных режимов, которые не наблюдаются в цепочке идентичных квазигармонических генераторов с мягким возбуждений автоколебаний. В параграфах 1.2, 1.3 была рассмотрена динамика однородных бегущих фазовых волн в кольце диссипативно связанных осцилляторов Ван-дер-Поля. Было, в частности, показано, что области устойчивости таких режимов на плоскости управляющих параметров "нелинейность - связь"ограничены. Увеличение значения параметра нелинейности є и выход из области существования исходного режима сопровождается потерей им устойчивости с переходом на режимы с большим пространственным периодом. При значениях є 20 (рис. 1.10) теряет устойчивость однородная бегущая фазовая волна с наибольшим пространственным периодом Л = 30. Дальнейшая динамика системы (1.1) зависит от значения коэффициента связи. При 7 0.42 выход из области существования режима с Л = 30 сопровождется переходом на пространственно-однородный режим с A(fi = 0, устойчивый на всей исследованной плоскости управляющих параметров. Если же 7 0.42, то произойдет переход на новый, раннее не наблюдаемый режим (при этом вместе с ним одновременно сосуществует пространственно-однородный режим). Он по-прежнему будет иметь пространственный период из тридцати осцилляторов, но распределение амплитуд Х{ вдоль цепочки нестационарно, его форма постоянно меняется и не приходит в стационарное состояние даже после очень большого времени установления (рис. 1.12). В распределении разности фаз A pi появляется дефект, который движется по кольцу с постоянной скоростью (рис. 1.11,1.12) . В сечении Пуанкаре возникает предельный цикл, что свидетельствует о наличии в системе (1.1) квазипериодических колебаний. Об этом же свидетельствует "пилообразная"форма АКФ (рис. 1.12). Дальнейшее увеличение значения є приводит лишь к увеличению скорости движения дефекта по кольцу. Скорость движения дефекта вдоль цепочки также растет, если увеличивать значение коэффициента связи. Если начать теперь уменьшать значение параметра нелинейности можно видеть, что нижняя граница области устойчивости нестационарного режима находится значительно ниже верхней границы волны с Л = 30. Другими словами,в конечном интервале значений управляющих параметров эти режимы и пространственно - однородный режим сосуществуют друг с другом.
Выход "снизу"из области устойчивости нестационарного режима сопровождается переходом на стационарную фазовую волну с Л = 30. Область устойчивости нестационарной фазовой волны с одним дефектом показана на рис. 1.10. В системе (1.1) наблюдались и другие нестационарные бегущие волны с двумя и тремя движущимися по кольцу дефектами. Их область устойчивости меньше и гораздо сложнее устроена, чем у режима с одним дефектом. На рис. 1.10 показана область режима с двумя движущимися дефектами(рис.І.ІЗ), возникающего на базе режима с Л = 15.
Таким образом, в системе (1.1), помимо стационарных пространственно - периодических режимов с постоянной разностью фаз между соседними осцилляторами, рост нелинейности приводит к возникновению на базе них нестационарных структур. Нестационарность проявляется в возникновении движущихся фазовых дефектов в распределении разности фаз вдоль цепочки, что приводит к нарушению однородности распространяющейся волны и является следствием возникших в системе (1.1) квазипериодических колебаний.
Возникновение в кольце осцилляторов квазипериодических колебаний вследствие формирования фазовых дефектов было описано в работе [64]. Однако, природа дефекта в описанном выше случае является иной. В рассматриваемой в [64] системе генераторов с жестким возбуждением исходной причиной возникновения дефектов являлась бистабильность каждого элемента ансамбля. В результате разброса по устойчивым состояниям одиночных осцилляторов, в их ансамбле формировались кластеры синхронных синфазных колебаний. Колебания в разных кластерах характеризовались разной амплитудой и частотой. При этом на границе между кластерами наблюдался "сбой фазы". В ансамбле ангармонических осцилляторов Ван-дер-Поля фазовые дефекты возникают в отсутствие частотных и амплитудных кластеров на базе пространственно-периодических режимов. При этом средние амплитуды и частоты во всех осцилляторах ансамбля остаются одинаковыми.
Увеличение длины цепочки приводит к увеличению числа неоднородных режимов. Если цепочка осцилляторов достаточно длинная, то возможно формирование торов высокой размерности, что при наличии небольшого шума приведет к поведению, практически неотличимому от хаотического.
Синхронизация частотных кластеров во взаимодействующих средах
Рассмотрим две среды, взаимодействующие в каждой точке пространства, в следующем виде: at = іші(х)а + 0.5(1 —\а\2)а +діахх + є(Ь —а), (2.9) bt = іш2{х)Ь + 0.5(1 -\Ь\2)Ь + д2Ьхх + є(а-Ь), где а(х, t) и b(x, t)- комплексные амплитуды колебаний первой и второй среды, е- параметр связи, определяющий взаимодействие двух сред в каждой точке. Для обеих систем вычислялась зависимость средней частоты колебаний в каждой точке системы от пространственной координаты х. Здесь ф - мгновенная фаза, ф Є (—со; со), ... означает усреднение.
В отсутствие взаимодействия (б = 0) между автоколебательными системами и в случае, когда парциальная система является однородной при граничных условиях второго рода в ней существует режим стоячей волны. Введение частотной расстройки вызывает изменение фазы колебаний вдоль пространственной координаты х. Если значение А мало, все точки среды продолжают совершать колебания с одной частотой, хотя и не синфазно. Это режим глобальной частотной синхронизации. При дальнейшем увеличении параметра А режим глобальной синхронизации разрушается и наблюдается режим частичной (кластерной) синхронизации. Число кластеров зависит от значения А (при фиксированном д) Как было показано раннее, в зависимости от значения параметра А, можно получить различные строгие (идеальные) и промежуточные (неидеальные) кластерные структуры (рис. 2.6).
На рис. 2.6(a) построены области с качественно отличными кластерными структурами относительно параметра А. Меньшей расстройке соответствует меньшее число кластеров. Малая расстройка соответствует режиму глобальной синхронизации, когда все точки системы колеблются с одинаковыми частотами (область 1 на рис. 2.6а). С увеличением частотного градиента А/1, начиная сАи 0.0045 происходит перестройка пространственной структуры, завершающаяся появлением двухкластерного режима (область 2). Затем, при А « 0.11 в системе возникает трехкластерный режим (область 2). Начиная со значения А « 0.2, трехкластерная структура становится сначала неиде-алыюй, а затем трансформируется в четырехкластерную структуру. Дальнейший рост частотного градиента сопровождается появлением все большего числа кластеров.
Рассмотрим теперь подробно динамику двух связанных автоколебатель ных сред (2.9) в режиме частотных кластеров. Будем исследовать распределение усредненных частот Гі вдоль пространственной координаты в обеих системах в зависимости от значения расстройки 6 = Лі — Лг и параметра связи е. Длина обеих систем была выбрана равной I = 50, а коэффициенты диффузии ді = #2 = 0.9. Фиксируем параметр Лі = 16 и будем изменять значение Лг и параметра связи е. При є = 0 в некоторых пределах изменения Лг в окрестности значения Лг = Лі в обеих средах реализуется одна и та же структура из N = 3 кластеров. При более значительных отклонениях 5 = Лг — Лі число кластеров во второй среде становится N = 2 и N = 4, соответственно при 5 0 и 5 0.
При значении расстройки 6 = —0.08 в системе (2.9) при нулевой связи во взаимодействующих средах установятся идеальные трехкластерные и че-тырехкластерные структуры. При ненулевой связи элементы двух сред стремятся синхронизовать свои колебания на одной частоте. С увеличением связи синхронизовация начинается на участках, где разность между собственными частотами ш\ — а 2 минимальна(при малых х). На первом этапе синхронизации во взаимодействующих средах формируются неидеальные кластерные структуры. Пока связь небольшая число кластеров в обеих системах остается различным (рис.2.7(Ь)(с)). Но начиная с некоторого значения связи зависимости усредненных частот от пространственных координат становятся полностью идентичными (рис.2.7(d)). На последнем этапе синхронизации кластерные структуры в обеих системах похожи на те, которые наблюдаются при значениях параметров : е = 0, Д = 0, когда в обеих средах устанавливался трехкластерный режим. На рис.2.8 на плоскости управляющих параметров 5-е показаны области существования режимов с различным числом кластеров. Карту режимов можно разделить на две области. Первая из них соответствует ситуации, когда в обеих взаимодействующих системах устанавливается режим идеальной трехкластерной синхронизации 3 — 3 (эта область показана серым цветом).
Влияние пространственно-временных флуктуации на распространение импульсов в возбудимой среде
Зафиксируем частотную расстройку А = 0.2 и будем менять коэффициент диффузии среды д. Как уже говорилось, колебания среды при д = 1.0 являются регулярными (квазипериодическими), а при д = 0.85 - хаотическими. На рис.2.19 приведена зависимость старшего ляпуновского показателя динамического режима от управляющего параметра д в интервале значений д Є [0.85, 1.0]. При д = да- 0.93. показатель Аі становится положительным и далее возростает с уменьшением параметра д. Рассмотрим механизм перехода от регулярной динамики к хаотической при вариации параметра д. На рис.2.20 приведены основные характеристики колебаний в точке х = 25 для режима неидеальных кластеров вблизи порога возникновения хаоса (д = 0.92).
Режим, показанный на рис.2.20, соответствует слабому хаосу. Действительно, значение старшего ляпуновского показателя невелико Лі « 0.0003. Из приведенных характеристик можно сделать заключение о жесткой бифуркации предельного множества от регулярного к хаотическому. При этом явление гистерезиса не было обнаружено. Форма колебаний A(t) свидетельствует об эффекте перемежаемости с ламинарными фазами различной длительности, соответствующими близким к гармоническим колебаниям и некоторыми турбулентными всплесками (рис.2.20а). Траектория в проекции A(t),HA(t) вращается в окрестности исчезнувшего цикла, время от времени уходя от него и снова возвращаясь (рис.2.20Ь). В спектре мощности несколько увеличивается пьедистал и появляются четко выраженные спектральные максимумы на субгармонике 0.5AQ и кратных ей частотах (рис.2.20с). Корреляционная функция спадает медленно в соответствии со слабо развитым хаотическим режимом (рис.2.20d). Появление субгармоники основной частоты в спектре флуктуации амплитуды A(t) становится понятным, если рассмотреть последовательность амплитуд Ai(ri) процесса A(t) (рис.2.21а). Можно видеть, что разрушение ламинарной фазы связано с возникновением колебаний удвоенного периода. При этом расхождение значений последовательных амплитуд А\(п + 1) и А\(п + 2) нарастает во времени, а затем этот процесс резко обрывается и колебания снова возвращаются в ламинарную фазу. Модельное отображение последования Ai(n-\-2) = f(Ai(n +1)) позволяет предполагать наличие субкритической бифуркации удвоения периода (рис.2.2lb). Отображение не является строго одномерным, но можно выделить скопление точек в окрестности кривой, для которой тангенс угла наклона касательной в точке пересечения с бисектриссой (неподвижной точке отображения) близок к значению -1. При итерациях изображающая точка уходит от неподвижной точки, по-очереди посещая участки графика слева и справа от неподвижной точки, но она не приходит на предельный цикл удвоенного периода, а попадает на участки отображения, обеспечивающие возврат в окрестность неподвижной точки.
Таким образом, можно предположить, что разрушение идеальных частотных кластеров связано с жесткой бифуркацией предельного множества, подобной субкритической бифуркации удвоения периода в системах конечной размерности. При этом уже существующее в окрестности регулярного аттрактора непритягивающее хаотическое множество становится притягивающим. Такому бифуркационному механизму должна соответствовать жесткая рассинхронизация средних частот элементов среды, принадлежащих одному кластеру. Зависимость разности средних частот в точках х\ = 25 и Х2 = 20 от управляющего параметра д, приведенная на рис.2.22, подтверждает это предположение.
