Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Автогенератор Ван-дер-Поля и Ван-дер-Поля - Дуффинга: синхронизация внешним гармоническим сигналом, взаимная синхронизация диссипативно связанных систем (аналитический обзор) 17
1.1 Система Ван-дер-Поля под внешним гармоническим воздействием 18
1.1.1 Вывод и анализ укороченного уравнения 19
1.1.2 Метод медленно меняющихся амплитуд для субгармонического резонанса 23
1.1.3 Численное исследование уравнения Ван-дер-Поля: бифуркационный анализ, построение карт динамических режимов 31
1.2 Система Ван-дер-Поля - Дуффинга под внешним гармоническим воздействием 37
1.2.1 Вывод и анализ укороченного уравнения 39
1.2.2 Численное исследование неавтономной системы Ван-дер-Поля - Дуффинга 47
1.3 Синхронизация автогенератора с жестким возбуждением внешним гармоническим сигналом: предшествующие результаты. 49
1.4 Динамика двух связанных осцилляторов Ван-дер-Поля - Дуффинга 54
Выводы 59
Глава 2. Синхронизация в системе с сосуществующими устойчивыми и неустойчивыми предельными циклами: исследование укороченного уравнения 63
2.1 Случай малых амплитуд воздействия 67
2.2 Случай произвольных амплитуд воздействия 70
2.3 Анализ пространства управляющих параметров 74
2.4 Бифуркационный анализ. Построение фазовых портретов 94
Выводы 105
Глава 3. Синхронизация в системе с сосуществующими устойчивыми и неустойчивыми предельными циклами: исследование исходной дифференциальной системы 111
3.1 Особенности построения карт динамических режимов для системы с сосуществующими предельными циклами 111
3.2 Сопоставление значений параметров укороченного уравнения и исходной дифференциальной системы 113
3.3 Построение и анализ карт динамических режимов 116
3.4 Случай импульсного внешнего воздействия 139
Выводы 149
Глава 4. Динамика связанных автогенераторов с сосуществующими устойчивым и неустойчивым циклами и бифуркацией их слияния ... 153
4.1. Вывод и анализ укороченного уравнения 154
4.2 Бифуркационный анализ. Построение фазовых портретов 157
4.3. Исследование полных дифференциальных уравнений 169
4.3.1 Случай идентичных осцилляторов 169
4.3.2 Неизохронный случай 177
4.3.3 Случай неидентичных подсистем 181
Выводы 191
Заключение 195
Литература 198
Список публикаций по теме диссертации 204
- Численное исследование уравнения Ван-дер-Поля: бифуркационный анализ, построение карт динамических режимов
- Бифуркационный анализ. Построение фазовых портретов
- Сопоставление значений параметров укороченного уравнения и исходной дифференциальной системы
- Бифуркационный анализ. Построение фазовых портретов
Введение к работе
Классическая ситуация синхронизации реализуется, когда внешний периодический сигнал действует на автоколебательную систему с устойчивым предельным циклом. В этом случае в фазовом пространстве может возникнуть либо устойчивый тор, который лежит в окрестности этого предельного цикла, либо более сложные циклы на поверхности тора. Первый случай отвечает квазипериодической динамике, а второй - собственно синхронизации.
Простейшим примером является случай гармонического воздействия на систему Ван-дер-Поля [1-18]. Пионерскими работами были исследования самого Ван-дер-Поля [1,3-4] и Эпплтона [2], расширенные и обоснованные с позиций теории нелинейных колебаний Андроновым и Виттом [60]. Изучению системы Ван-дер-Поля и ее модификаций посвящено множество публикаций, которые продолжают появляться по мере развития компьютерных методов, теории и экспериментальной техники. Отметим как экспериментальные работы Hayashi, 1964 [19], Ueda и Akamatsu, 1981 [20], Qin с соавторами, 1989 [21], Herrero с соавторами, 2000 [22], так и теоретические результаты: Cartwright и Littlewood, 1945 [23], Levinson, 1949 [24], Gilles, 1954 [25], Littlewood, 1957 [26], Levi, 1981 [27], El-Addasy, 1985 [28], Hayashi, 1964 [19], Holmes и Rand, 1978 [29], Guckenheimer и Holmes, 1983 [7], Grasman с соавторами, 1984 [30], Aronson с соавторами, 1990 [31], Parlitz, 1987-1993 [32-34], Noris, 1993 [35], Glendinning и Proctor, 1993 [36], Postnov с соавторами, 1999 [37], Иванченко, Осипов и Шалфеев, 2001 [74], Пиковский, Розенблюм и Курте, 2003 [6] и др. Основные «вехи» теоретических исследований: построение укороченных уравнений, получение уравнения фазовой динамики (уравнения Адлера), объяснение на его основе явлений синхронизации и биений (квазипериодических режимов), полный бифуркационный анализ укороченных уравнений, выяснение роли нелокальных бифуркаций и бифуркаций Богданова-Такенса при больших амплитудах воздействия, изучение сильных и слабых резонансов, построение
глобальной бифуркационной картины, выяснение возможных хаотических режимов, различные компьютерные иллюстрации для дифференциальной системы, изучение связанных систем с помощью укороченных уравнений (эффект «гибели колебаний»), а затем связанных дифференциальных систем и их отличий от укороченной системы и т.д.
Можно отметить также и определенный интерес к ситуации импульсного воздействия на систему Ван-дер-Поля (Gonzalez и Piro, 1983 [38], Ding , 1986-1988 [39-42], Glass, 1983 [43], Glass и Sun, 1994 [44], Ullmann и Caldas, 1996 [45], Кузнецов и Тюрюкина, 2001-2004 [46-49]). В последнее время к анализу связанных систем было предложено применить метод карт динамических режимов, который позволяет выяснить интересные аспекты устройства пространства параметров (Кузнецов и Паксютов, 2003 [50]).
На базе системы Ван-дер-Поля можно создать ряд моделей, демонстрирующих новые особенности динамики. Одной из простейших модификаций является система Ван-дер-Поля - Дуффинга. В этом случае в уравнение Ван-дер-Поля добавляется кубический член по аналогии с уравнением нелинейного осциллятора Дуффинга. Это приводит к эффекту неизохронности колебаний, т.е. зависимости периода свободных движений от амплитуды. Учет такой дополнительной (мы будем называть ее также фазовой) нелинейности вызывает определенную модификацию языков синхронизации. Основной язык становится несимметричным и сдвигается вправо по оси частот с ростом параметра нелинейности % (Glenndinning, 1993 [36]). При определенном значении параметра х наблюдается новая бифуркация коразмерности три, когда точка Богданова-Такенса совпадает с точкой сборки и с дальнейшим ростом параметра неизохронности переходит на нижнюю границу языка. В результате этого на плоскости (частотная расстройка - амплитуда воздействия) возникают новые линии нелокальных бифуркаций. Численный анализ дифференциальной системы Ван-дер-Поля -Дуффинга показывает, что за счет влияния дополнительной нелинейности языки субгармонических резонансов начинают перекрываться при меньших
значениях управляющего параметра X, ответственного за бифуркацию Андронова-Хопфа в автономной системе, а их внутренняя структура может быть достаточно сложной, включая хаотические режимы уже при умеренных значениях этого параметра.
Не менее интересная модификация системы Ван-дер-Поля -автогенератор с жестким возбуждением. Эта система в автономном режиме демонстрирует сосуществование устойчивого и неустойчивого предельных циклов и бифуркацию их слияния и исчезновения. Соответственно, в случае внешнего периодического воздействия на такую систему наблюдается ряд новых эффектов, в частности - эффект асинхронного возбуждения, на возможность которого впервые указали Мандельштам и Папалекси еще в 1930-х годах [51,52]. Этот эффект состоит в том, что в системе при достаточно больших амплитудах воздействия возможно появление квазипериодических режимов за порогом бифуркации циклов. В этом случае устойчивый тор в фазовом пространстве возникает не в окрестности устойчивого предельного цикла, а вблизи области сгущения фазовых траекторий. Этот тип возбуждения назван асинхронным, поскольку реализуется при некоторой расстройке от резонансной частоты.* Вслед за авторами [51] ряд исследователей обращался к задаче синхронизации автогенератора с жестким режимом внешним гармоническим сигналом (например, Секерская, 1935 [53], Витт, 1935 [59], Королев и Постников^ 1969-1972 [54-56], Kaiser и Eichwald, 1991 [57,58]).
Методология современной теории колебаний и нелинейной динамики, однако, такова, что постоянное развитие современных компьютерных методов, теории бифуркаций, теории динамического хаоса, появление новых подходов (например, теории катастроф) вновь и вновь вызывают потребность обращаться к тем или иным задачам. Это хорошо видно на примере собственно синхронизации в системе Ван-дер-Поля. Эта задача, которая
Во избежание терминологических недоразумений подчеркнем, что в настоящей работе вслед за [51,52] будем называть асинхронным возбуждением именно эффект квазипериодических режимов за порогом бифуркации слияния устойчивого и неустойчивого предельных циклов.
давно уже является классической, продолжает привлекать внимание исследователей, о чем мы говорили выше.
В настоящей работе будут обсуждены некоторые вопросы теории автогенератора, описываемого уравнением типа Ван-дер-Поля-Дуффинга с сосуществующими устойчивым и неустойчивым предельными циклами и бифуркацией их слияния. Перечислим некоторые из них:
Какова роль фазовой нелинейности (неизохронности) у порога бифуркации слияния циклов?
Каковы возможные «сценарии» слияния языков синхронизации, отвечающих устойчивому и неустойчивому режимам?
Можно ли привлечь интерпретации теории катастроф к анализу такой системы?
Как в деталях устроена область асинхронного возбуждения?
Как соотносится описание системы в терминах укороченных уравнений и дифференциальной системы?
Как проявляется бифуркация слияния циклов в неидентичных связанных системах?
Отметим, что в зависимости от взаимного расположения циклов такая система может быть либо автогенератором с жестким возбуждением, либо системой с ограниченным бассейном притяжения устойчивого предельного цикла. Примечательно, что эти две системы можно рассматривать в рамках одной задачи, проводя численное интегрирование и в прямом, и в обратном времени, и с учетом смены знака параметра связи для случая диссипативно связанных систем*.
Специальное внимание будет уделено случаю импульсного возбуждения. Действительно, исследования показывают, что в случае
Заметим, что ситуации, когда наряду с устойчивым режимом сосуществуют неустойчивые циклы для других систем также привлекали внимание исследователей (например, для системы Лоренца, в контексте интерпретации хаотической синхронизации в терминах неустойчивых орбит, Pikovsky et al., Zaks et a!., подробности см. в [6], для ряда биологических моделей исследования проведены Постновым с соавторами). Мы здесь ограничиваемся системой типа Ван-дер-Поля-Дуффинга, преимущество которой, однако, в том, что она приводится к нормальной форме бифуркации Андронова-Хопфа, что позволяет надеяться на определенную общность получаемых результатов.
коротких и больших по величине импульсов картина синхронизации может быть весьма специфической, требующей самостоятельного изучения [46,47]. При этом роль фазовой нелинейности (неизохронности) оказывается весьма значительной [46,47]. В частности, в существенно неизохронной системе с неустойчивым циклом внешние импульсы могут вызвать эффект стабилизации неустойчивости [48,49]. При этом устойчивый тор в фазовом пространстве появляется в окрестности неустойчивого предельного цикла в автономной системе, а на плоскости амплитуда - период воздействия возникает очень узкая полоса устойчивых квазипериодических и синхронных режимов. Это говорит о том, что и в случае сосуществования устойчивых и неустойчивых циклов случай импульсного возбуждения требует специального изучения.
Таким образом, цель работы состоит в исследовании особенностей синхронизации внешним гармоническим и импульсным сигналами модифицированной системы Ван-дер-Поля-Дуффинга, демонстрирующей сосуществование устойчивого и неустойчивого предельных циклов и бифуркацию их слияния и исчезновения, а также взаимной синхронизации таких подсистем.
Научная новизна работы. В настоящей работе для задачи о синхронизации системы типа Ван-дер-Поля-Дуффинга с бифуркацией слияния и исчезновения циклов впервые показано, что
На плоскости (параметр неизохронности, параметр, управляющий бифуркацией слияния циклов) укороченного уравнения обнаруживаются линии семи основных типов, которые разбивают ее на множество областей, каждой из которых отвечает определенная взаимная конфигурация языков синхронизации устойчивого и неустойчивого режимов.
Движению по этой плоскости отвечает большое количество различных «сценариев» слияния устойчивого и неустойчивого языков синхронизации, однако наиболее типичным из них является слияние через
катастрофу «ласточкин хвост» и определенный набор нелокальных бифуркаций.
В системе с фазовой нелинейностью амплитудный порог асинхронного возбуждения понижается в низкочастотной и повышается в высокочастотной областях (в случае положительных значений параметра неизохронности).
В дифференциальной системе в области супергармонических резонансов две области биений, отвечающие большой и малой амплитудам воздействия, могут объединяться в одну; при этом синхронизации на частоте воздействия соответствуют два «острова».
В дифференциальной системе, описывающей автогенератор с ограниченным бассейном притяжения, области возбуждения за порогом бифуркации слияния циклов представляют собой режимы периода один, окруженные очень узкими областями устойчивых квазипериодических режимов со встроенными языками синхронизации.
В дифференциальной системе даже при больших значениях параметра, ответственного за бифуркацию Андронова-Хопфа, высокочастотная область асинхронного возбуждения сохраняет форму, характерную для укороченных уравнений, а низкочастотная существенно искажена за счет сильного влияния супергармонических резонансов.
В системе с импульсным воздействием, в отличие от случая гармонического возбуждения, с ростом частоты наблюдается не повышение, а понижение амплитудного порога асинхронного возбуждения.
Для системы с импульсным воздействием вблизи высших резонансов асинхронные режимы исчезают за счет возникновения «островов», содержащих области удвоенного периода и хаоса, с последующим поэтапным исчезновением областей высоких периодов. Для двух идентичных диссипативно связанных автогенераторов с ограниченными бассейнами притяжения наблюдается эффект,
аналогичный асинхронному возбуждению в области между линиями нелокальной бифуркации и гибели колебаний. Он имеет место и в неидентичных системах, если один из автогенераторов находится до порога бифуркации слияния циклов.
Достоверность научных результатов подтверждается воспроизводимостью всех численных расчетов, а также хорошим совпадением теоретических и численных результатов и результатов, полученных разными методами.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Четырехпараметрический анализ пространства параметров
укороченного уравнения автогенератора типа Ван-дер-Поля-Дуффинга с
жестким возбуждением в неизохронном случае обнаруживает множество
областей, на которые разбито это пространство. Соответственно, возможно
большое количество «сценариев» слияния языков синхронизации,
отвечающих устойчивому и неустойчивому режимам. Однако для
большинства из них характерным является слияние через катастрофу
«ласточкин хвост» и определенный набор нелокальных бифуркаций.
Для дифференциальных систем типа Ван-дер-Поля-Дуффинга с бифуркацией слияния циклов могут наблюдаться определенные отличия от случая укороченных уравнений. Так, в области супергармонических резонансов две области биений (для больших и малых амплитуд воздействия) могут объединяться в одну. При больших значениях параметра, ответственного за бифуркацию Андронова-Хопфа, высокочастотная область асинхронного возбуждения сохраняет свою форму, а низкочастотная существенно искажена за счет сильного влияния супергармонических резонансов.
В системе с импульсным воздействием в отличие от случая гармонического воздействия наблюдается не повышение, а понижение амплитудного порога асинхронного возбуждения в области больших частот, обусловленное «накопительным» характером действия часто следующих
импульсов. Области асинхронного возбуждения на высших резонансах не содержат квазипериодических режимов вообще, а состоят из островов удвоенного периода.
4. Для двух идентичных диссипативно связанных автогенераторов с ограниченными бассейнами притяжения наблюдается эффект, аналогичный асинхронному возбуждению в области между линиями нелокальной бифуркации и гибели колебаний. Он имеет место и в неидентичных системах, если один из автогенераторов находится до порога бифуркации слияния циклов.
Научно-практическая значимость работы и рекомендации по использованию
Установленное разбиение плоскости (параметр неизохронности,
параметр, управляющий взаимным положением циклов) в определенной мере
дает классификацию возможных сценариев слияния языков синхронизации в
возбуждаемой гармоническим сигналом системе с бифуркацией слияния
циклов. Для практики могут оказаться важными установленные отличия в
поведении такой системы в случае гармонического и импульсного
возбуждения. Полученная картина синхронизации автогенератора с жестким
возбуждением может быть использована для описания динамики других
систем радиофизики и нелинейной динамики. Аналогичным образом
возможно применение результатов анализа диссипативно связанных
автогенераторов, демонстрирующих сосуществование предельных циклов.
Результаты работы используются в учебном процессе на факультете
нелинейных процессов СГУ при чтении курса «Приложения теории
катастроф и бифуркаций». Некоторые иллюстрации вошли в учебное
пособие Кузнецов А.П., Кузнецов СП., Рыскин Н.М. Нелинейные
колебания. М., 2002.
Апробация работы и публикации
Результаты работы были представлены на следующих конференциях: International School for Young Scientists and Students on Optics, Laser Physics and Biophysics, Saratov, October 5-8, 1999; Всероссийская школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 99», Саратов, 26-30 октября, 1999; The International Conference of Chaotic and Stochastic Oscillations «SYNCHRO-2002». Applications in Physics, Chemistry, Biology and Medicine. Saratov, September 22-28, 2002; Всероссийская школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых-2002». Саратов, 30 сентября - 6 октября, 2002; Всероссийская школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2003». Саратов, 8-13 октября, 2003; Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике. Великие Луки, 23-28 августа, 2004; Synchronization in a system with the cycle-collision bifurcation. XXIV annual conference «Dynamic Days 2004». Palma de Mallorca, Spain, September 13-17, 2004; VII Международная школа «Хаотические автоколебания и образование структур» - ХАОС-2004. Саратов, 1-6 октября, 2004; Всероссийская школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2004». Саратов, 2-6 ноября, 2004.
По теме диссертации имеется 11 публикаций (3 статьи в российских рецензируемых журналах, 5 статей в сборниках, 3 тезисов докладов).
Ряд результатов работы получен в рамках грантов РФФИ 03-02-16074 и CRDF REC-006.
Личный вклад автора
В совместных работах автором выполнено программирование всех задач и проведены численные эксперименты. Объяснение и интерпретация полученных результатов проведены совместно с соавторами.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Диссертация содержит 205 страниц текста, включая 85 рисунков и список литературы из 92 наименований на 8 страницах.
Краткое содержание работы
Во введении определяется актуальность работы, формулируются цели исследования, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе обсуждаются различные аспекты синхронизации системы Ван-дер-Поля внешним гармоническим сигналом. Акцент сделан на вопросах, которые обычно недостаточно подробно рассматриваются в обзорных публикациях: картине бифуркаций в укороченной системе с учетом неизохронности, синхронизации на гармониках, включая тонкий бифуркационный анализ вблизи вершины языка синхронизации, глобальной картине бифуркаций на плоскости частота - амплитуда воздействия, синхронизации в автогенераторе с жестким возбуждением, использовании метода карт динамических режимов и т.д. Изложение всех вопросов ведется в рамках единой методологии и системы иллюстраций. Таким образом, это не только аналитический обзор, но и своего рода обобщающее исследование, которое подготавливает основу для дальнейшего анализа.
Во второй главе исследовано пространство параметров укороченного уравнения находящейся под внешним гармоническим воздействием неизохронной системы, в которой возможно сосуществование устойчивого и неустойчивого предельных циклов. Общая картина бифуркаций в такой системе вложена в четырехмерное пространство параметров - безразмерные амплитуда воздействия и частотная отстройка, параметр, отвечающий за взаимное расположение циклов в автономной системе, и параметр фазовой нелинейности. Предложена удобная «стратегия» его исследования - следить за метаморфозами языков синхронизации на плоскости (частота - амплитуда воздействия) при движении по плоскости (параметр неизохронности -параметр, ответственный за бифуркацию циклов).
Представлен анализ пространства параметров с использованием аналитического поиска линий и точек различных бифуркаций, численного поиска линий нелокальных бифуркаций, численного поиска линий,
характеризующих взаимное расположение языков синхронизации, построения на компьютере фазовых портретов в характерных точках. О сложности устройства пространства параметров говорит, например, то, что обнаруживаются три различные линии катастроф «ласточкин хвост», которые могут сливаться и обрываться в некоторых точках, четыре линии, отвечающие слиянию точек Богданова-Такенса и сборок, линии перекрытия языков «сверху» и другие, описанные в тексте диссертации.
Описаны «сценарии» слияния устойчивого и неустойчивого языков синхронизации в изохронном и неизохронном случае и обсуждаются их отличия. Так, в изохронном случае один из них «вытягивается», а другой «сжимается» вдоль оси амплитуды. В момент исчезновения циклов в автономных системах языки сливаются, затем объединенный язык отрывается от оси частот, образуя особенность, известную в теории катастроф как «губы». При этом для некоторого значения параметра, отвечающего за взаимное расположение цикла в автономных системах, все еще сохраняется возможность квазипериодических режимов (явление асинхронного возбуждения). В неизохронном случае картина объединения языков синхронизации гораздо сложнее и может быть различной в зависимости от маршрута движения по плоскости (параметр неизохронности - параметр, ответственный за бифуркацию циклов). В диссертации представлен ряд иллюстраций метаморфоз языков при движении по нескольким таким характерным маршрутам. В частности, показано, что до определенного порогового значения параметра неизохронности слияние устойчивого и неустойчивого языков синхронизации происходит через особенность, известную в теории катастроф как «ласточкин хвост», причем возможна не единственная такая катастрофа. Выше порога катастрофа ласточкин хвост невозможна, а языки могут оказаться объединенными даже в случае, если циклы в автономной системе достаточно далеки друг от друга.
Исследовано также устройство областей асинхронного возбуждения, представлены соответствующие иллюстрации устройства плоскости (частотная расстройка - амплитуда воздействия) в неизохронной системе.
Обсуждаются типичные бифуркации и возможность неустойчивых квазипериодических режимов.
Третья глава работы посвящена численному исследованию дифференциальной системы Ван-дер-Поля - Дуффинга с жестким возбуждением, находящейся под внешним воздействием. Это исследование проводилось методом карт динамических режимов. В начале главы приводятся некоторые общие сведения об используемом методе, описываются его преимущества и недостатки, а также обсуждаются особенности построения карт динамических режимов для систем, демонстрирующих сосуществование предельных циклов.
Представлено значительное количество карт режимов, дающих достаточно подробную картину эволюции областей как устойчивых, так и неустойчивых квазипериодических и синхронных режимов при вариации управляющих параметров. (К четырем перечисленным выше добавляется параметр, ответственный за бифуркацию Андронова-Хопфа в автономной системе.). Исследовались случаи малых и больших значений этого параметра, особое внимание уделено областям квазипериодических режимов, в том числе - за порогом бифуркации циклов в автономных системах (областям асинхронного возбуждения). Показано, что при определенных условиях устройство областей квазипериодических режимов дифференциальной системы может существенно отличаться от аналогичных областей для укороченных уравнений, и обсуждаются эти отличия.
Подробно рассмотрен случай импульсного воздействия на автогенератор с жестким возбуждением. Показано, что сценарий исчезновения областей квазипериодических режимов, наблюдаемых при слиянии циклов в автономной системе, имеет в этом случае некоторые особенности. Они выражаются в специфическом виде зависимости амплитудного порога асинхронного возбуждения от частоты, а также в нехарактерном для случая гармонического воздействия «механизме» исчезновения островов асинхронных режимов для резонансов различного порядка.
В четвертой главе исследуется система двух связанных автогенераторов типа Ван-дер-Поля - Дуффинга, модифицированных таким образом, что каждая из подсистем в автономном режиме демонстрирует сосуществование устойчивого и неустойчивого циклов и бифуркацию их слияния и исчезновения. Для того чтобы можно было наглядно сопоставить полученные результаты с результатами предшествующих работ, за основу взята система двух связанных автогенераторов с ограниченным бассейном притяжения как наиболее естественная модификация системы связанных автогенераторов Ван-дер-Поля - Дуффинга. Случай системы с жестким возбуждением получается при интегрировании в обратном времени с изменением знака константы связи.
Численное исследование уравнения Ван-дер-Поля: бифуркационный анализ, построение карт динамических режимов
Результаты численных исследований системы Ван-дер-Поля, находящейся под внешним гармоническим воздействием, представлены, например, в работах Flaherty и Hoppensteadt, 1978 [38], Parlitz и Lauterborn, 1987 [32]. Наиболее подробное численное исследование неавтономного уравнения (1.1) представлено в работе R. Mettin, U. Parlitz и W. Lauterborn, 1993 [33]. Эта работа интересна прежде всего тем, что в ней обобщены все более ранние результаты численного исследования рассматриваемой системы.
Авторы использовали несколько другую нормировку уравнения (1.1): где d, по терминологии авторов, коэффициент затухания, а - амплитуда внешнего воздействия, со - частота воздействия. Несложно показать, что элементарная замена переменных и параметров переводит уравнение (1.28) в уравнение (1.1).
В работе Perlitz с соавторами [33] рассматривается трехмерное пространство параметров системы. Первая часть посвящена исследованию области субгармонических резонансов (когда частота внешнего воздействия превышает собственную частоту автогенератора), во второй части работы рассматривается область супергармонических резонансов (частота воздействия меньше собственной частоты автономной системы). Необходимо отметить, что при численном исследовании авторы использовали метод, позволяющий точно обнаруживать линии и поверхности бифуркаций в пространстве параметров (так называемый «continuation method»). По сравнению с методом построения карт динамических режимов, это более трудоемкая процедура, однако такой алгоритм гораздо менее чувствителен к начальным условиям и позволяет обнаруживать сосуществующие аттракторы. Подчеркнем, однако, что авторы [33] не рассматривали нелокальные бифуркации в своей работе. Основные результаты численного исследования системы (1.28), полученные в [33] для области субгармонического резонанса, представлены на рис. 1.5 в виде бифуркационных линий на плоскости параметров «частота внешнего воздействия со - амплитуда внешнего воздействия а». Авторы применили следующие условные обозначения: sn(m,n): бифуркация седло-узел, в результате которой седло и узел с числами вращения (m:n) сливаются и исчезают (подробнее о числах вращения см., например, [67]). pd(m,n): бифуркация удвоения периода, в результате которой предельный цикл с числом вращения (m/2:n/2) меняет характер устойчивости, и рождается новый предельный цикл с числом вращения (m:n). sb(m,n): бифуркация потери симметрии, в результате которой два несимметричных предельных цикла с числом вращения (m:n) рождаются из симметричного предельного цикла с числом вращение (m:n), который меняет характер устойчивости (подробнее об этой бифуркации см. [33]). NS: бифуркация Неймарка-Сакера, в результате которой из предельного цикла, меняющего характер устойчивости, рождается инвариантный тор. Эту бифуркацию часто называют бифуркацией Андронова-Хопфа для предельного цикла, а также вторичной бифуркацией Андронова-Хопфа [33]. R(m,n): бифуркация коразмерности 2, называемая авторами «резонанс». В нашей терминологии эта бифуркация задает точки Богданова-Такенса на плоскости параметров (линии в трехмерном пространстве). Эти точки — общие для линий бифуркации Неймарка-Сакера и линий бифуркации седло-узел sn(m,n).
Плоскость параметров (со,а) устроена следующим образом: справа от основного языка синхронизации имеются языки синхронизации более высокого порядка, ограниченные линиями седлоузловых бифуркаций (рис. 1.5, левая колонка). Между языками синхронизации имеются области квазипериодических движений. Основания языков примыкают к оси со, причем с ростом затухания d основания языков сдвигаются в область более низких частот. Уже при d=3.0 видно, что языки субгармонических резонансов начинают перекрываться: языки с нечетным периодом по мере роста d увеличиваются в размерах и покрывают большую часть области ниже бифуркации NS (рис 1.5 б). При d=5.0 перекрытие языков становится еще более заметным. Помимо увеличения ширины языков, происходит изменение их формы: образуются характерные изгибы в области примыкания языков к линии NS.
Обращает на себя внимание особая форма языка 1:3 - он имеет овальную вершину (сравним с результатами раздела 1.1.2) и не примыкает к линии NS, а заходит в область синхронизации 1:1, образуя таким образом область мультистабильности. С ростом d язык синхронизации 1:3 меняет свою форму, однако он не образует характерных для резонансов более высокого порядка изгибов, а вытягивается вдоль линии бифуркации Неймарка-Сакера (рис. 1.5 г).
На рис. 1.5 д показана характерная форма языка синхронизации 1:1. Обращает на себя внимание тот факт, что вблизи точек «резонанса» R( 1,1) (точек Богданова-Такенса) линии бифуркации Неймарка-Сакера проходят внутри языка (см. увеличенную вставку). Эта особенность была предсказана при анализе укороченного уравнения, сравним с рис. 1.1 и 1.2. Анализ глобальных бифуркаций вблизи точек сборок авторы [33] не проводили.
На плоскости параметров (со,а) системы (1.28) наблюдаются каскады удвоения периода. Пример такой области приведен на рис. 1.5 е: внутри языка синхронизации, ограниченного линиями sn(l,6), наблюдается каскад удвоений периода с характерными для него структурами - «crossroad area» и «spring area» (Carcasses и Mira, 1991 [68-70]).
Бифуркационный анализ. Построение фазовых портретов
Обращает на себя внимание особая форма языка 1:3 - он имеет овальную вершину (сравним с результатами раздела 1.1.2) и не примыкает к линии NS, а заходит в область синхронизации 1:1, образуя таким образом область мультистабильности. С ростом d язык синхронизации 1:3 меняет свою форму, однако он не образует характерных для резонансов более высокого порядка изгибов, а вытягивается вдоль линии бифуркации Неймарка-Сакера (рис. 1.5 г).
На рис. 1.5 д показана характерная форма языка синхронизации 1:1. Обращает на себя внимание тот факт, что вблизи точек «резонанса» R( 1,1) (точек Богданова-Такенса) линии бифуркации Неймарка-Сакера проходят внутри языка (см. увеличенную вставку). Эта особенность была предсказана при анализе укороченного уравнения, сравним с рис. 1.1 и 1.2. Анализ глобальных бифуркаций вблизи точек сборок авторы [33] не проводили.
На плоскости параметров (со,а) системы (1.28) наблюдаются каскады удвоения периода. Пример такой области приведен на рис. 1.5 е: внутри языка синхронизации, ограниченного линиями sn(l,6), наблюдается каскад удвоений периода с характерными для него структурами - «crossroad area» и «spring area» (Carcasses и Mira, 1991 [68-70]).
Вторая часть работы [33] посвящена изучению случая супергармонического резонанса. Некоторые результаты представлены на рис. 1.6. При анализе области супергармонических резонансов вместо частоты воздействия со авторы использовали параметр, обратный частоте р = — , пропорциональный периоду внешнего воздействия. Принципиальным отличием случая супергармонического резонанса от субгармонического является то, что языки синхронизации в этом случае ограничены по амплитуде воздействия (см. рис. 1.6, левая колонка). Очевидно, что на плоскости параметров в этом случае есть два типа языков синхронизации: первый тип связан с седлоузловыми бифуркациями с нечетными числами вращения (3:1, 5:1 и т.д.), второй - с четными. В первом случае языки синхронизацию имеют форму, близкую к треугольной (по крайней мере, при малых значениях d). Языки с четными числами вращения не замкнуты, они ограничены линиями бифуркаций потери симметрии sb с четными числами вращения (см. рис. 1.6 б, в). С ростом параметра затухания d устройство языков значительно усложняется. Языки начинают перекрываться, исчезают участки линии бифуркации Неймарка-Сакера между отдельными языками. Появляются дополнительные «острова» синхронизации, ограниченные линиями бифуркаций потери симметрии, а также области удвоений периода.
Области между языками синхронизации периода 1 заполнены языками синхронизации более высокого порядка. На рис. 1.6 г показана область между языками 1:1 и 2:1. Языки имеют характерную форму, некоторые из них содержат области удвоения периода. Увеличенный фрагмент окрестности языка синхронизации 2:1 представлен на рис. 1.6 д. Видно, что даже при относительно небольших значениях параметра затухания (d=1.0) бифуркационная картина в области супергармонических резонансов является довольно сложной. Рис. 1.6 е демонстрирует устройство линии sn(2,l), которая уже при d=1.0 имеет самопересечения.
Численное исследование дифференциальных систем можно проводить различными методами. В настоящее время широкое распространение получил метод карт динамических режимов [9]. Карта динамических режимов представляет собой плоскость управляющих параметров, на которой в ходе численного моделирования разным цветом (или оттенком серого) отмечаются различные по характеру режимы. Его достоинством является то, что «автоматически» оказывается визуализированной вся структура языков синхронизации и их внутреннее устройство (включая каскады удвоений и хаотические режимы). Недостаток - определенная зависимость от начальных условий, что затрудняет анализ мультистабильности. Однако в сочетании с построением фазовых портретов можно получить достаточно определенное представление об устройстве пространства параметров системы.
Карты динамических режимов уравнения Ван-дер-Поля (1.1) при различных значениях параметра X на плоскости управляющих параметров «частота внешнего воздействия со - амплитуда воздействия Ь» представлены на рис. 1.7. В силу особенностей используемого метода мы не можем различить на плоскости параметров область седлоузловой бифуркации 1:1 и область, где происходит бифуркация Андронова-Хопфа (Неймарка-Сакера), так как выше линии бифуркации Андронова-Хопфа в системе также наблюдаются колебания с периодом 1. Однако остальные языки синхронизации четко ограничены. Как было отмечено в работе [33], основания языков сдвигаются влево по мере роста параметра Л. Между основными языками находятся более узкие языки и области квазипериодических режимов. Вообще говоря, языки синхронизации начинаются во всех точках на линии Ь=0, для которых выполняется соотношение со =—О)0(Л). При достаточно малых значениях амплитуды воздействия Ъ квазипериодические режимы могут существовать между отдельными языками. С ростом затухания некоторые из языков начинают перекрываться.
Сопоставление значений параметров укороченного уравнения и исходной дифференциальной системы
Экспериментальные исследования асинхронного возбуждения были проведены Рубчинским в 1934 г. [71]. Результаты его экспериментов в целом подтверждают выводы теории.
Наиболее подробное исследование автогенератора с жестким возбуждением было проведено в работе Секерской, 1935 [53], выполненной под руководством А.А. Витта. Аналитическая часть работы основана на применении метода многих масштабов; автором также было проведено сравнение полученных теоретических результатов с экспериментальными данными.
Автор [53] рассмотрел два основных случая: синхронизацию системы в области, «близкой к резонансу» - когда отстройка частоты внешней силы от собственной частоты системы мала. В этом случае не рассматривались квазипериодические режимы. Второй случай - синхронизация в области, «далекой от резонанса» (большая отстройка): для этого случая рассматривались как периодические, так и квазипериодические режимы.
Для области вблизи резонанса получены условия устойчивости периодического решения. Однако наиболее интересные результаты относятся к областям вдали резонанса. В этом случае, по аналогии со случаем малой отстройки, получены условия устойчивости периодического решения. Для квазипериодических решений также проведен анализ на устойчивость, в том числе - в области асинхронного возбуждения. Для диапазона параметров, при котором в автономной системе сосуществуют предельные циклы, делается вывод о возможности сосуществования устойчивых периодических и квазипериодических решений. Секерская [53] также показала, что для случая асинхронного возбуждения существуют «порог» и «потолок» амплитуд воздействия, при которых могут возникать квазипериодические колебания. Также было отмечено, что для некоторого диапазона параметров (в нашей терминологии - вблизи бифуркации столкновения циклов в автономной системе) для амплитуды внешнего воздействия существует «два этажа», где возможны биения: первый - без «порога», но с «потолком», второй - и с «порогом», и с «потолком». Как видно из уравнения (1.46), все исследования проведены для изохронного случая (фазовая нелинейность, за которую отвечает член (Зх3, отсутствует). Основной иллюстрационный материал, представленный в работе Секерской [53], - резонансные кривые для различных значений параметров системы.
Дальнейшее изучение автоколебательной системы с жестким режимом, находящейся под внешним гармоническим воздействием, было проведено Королевым и Постниковым, 1969-1972 [54-56]. Эти работы интересны главным образом тем, что в них разрабатывается общая теория синхронизации автогенератора с жестким режимом при аппроксимации нелинейной характеристики лампы полиномом степени п. Авторы вывели ряд условий, накладываемых на параметры полинома, при которых в системе реализуются различные колебательные режимы (фактически впервые проведено разбиение плоскости параметров на области периодических и квазипериодических режимов с различным характером устойчивости). Авторы использовали метод медленно меняющихся амплитуд и анализировали укороченные уравнения. Существенно, что в цитированных выше работах исследовался только изохронный случай. Основной метод визуализации результатов - построение резонансных кривых, а также построение плоскостей параметров для некоторых частных случаев. Определенные обобщающие представления изложены в монографиях [5,11].
Несмотря на очевидную значимость полученных авторами [51-56] результатов, их работы все же не дают достаточно полного представления об устройстве многомерного пространства управляющих параметров. В первую очередь это относится к дополнительному параметру - параметру фазовой нелинейности (неизохронности), который даже в случае системы Ван-дер-Поля-Дуффинга дает заметное усложнение картины бифуркаций. Как мы покажем ниже, в случае автогенератора с жестким возбуждением это усложнение гораздо существеннее. В первую очередь это относится к самой конфигурации языков синхронизации, отвечающих соответственно устойчивому и неустойчивому режимам, и картине их слияния по мере вариации управляющего параметра. Весьма существенными элементами этой картины оказываются нелокальные бифуркации, теория которых на момент пионерских работ отсутствовала, а также идея классификации бифуркаций по коразмерности. Наконец, современные компьютерные методы позволят дать соответствующие иллюстрации как для укороченных уравнений, так и для исходных дифференциальных уравнений. Мы покажем, что и идеи появившейся гораздо позднее теории катастроф также могут быть привлечены для описания синхронизации в неизохронном автогенераторе с жестким возбуждением.
Кратко обсудим задачу о взаимной синхронизации двух связанных осцилляторов Ван-дер-Поля и Ван-дер-Поля-Дуффинга. Исследование связанных систем также можно проводить двумя способами: в терминах укороченных уравнений и в терминах полных дифференциальных уравнений. Большинство работ (Aronson, 1990 [31], Poliashenko с соавторами, 1991 [72,73] и др. [74-80]) посвящено изучению динамики системы после проведенного усреднения по времени. Основополагающей и наиболее цитируемой работой является статья D. Aronson, G. Ermentrout и N. Kopell [31]. В ней представлены и объяснены некоторые существенные эффекты, в частности, возможность описания разности фаз осцилляторов с помощью классического уравнения Адлера [61] при диссипативной связи, а также эффект «гибели колебаний», о котором пойдет речь ниже. Фундаментальное обсуждение явлений в связанных укороченных системах и их физических основ можно найти в книге А. Пиковского, М. Розенблюма, М. Куртца [6].
Бифуркационный анализ. Построение фазовых портретов
Рассмотрим случай идентичных осцилляторов (R = r, А =/ ), причем будем учитывать только диссипативную связь. Тогда первые два уравнения системы (1.51) становятся одинаковыми. Поскольку фазы колебаний осцилляторов входят в уравнения только в виде ( рх - ср2), то можно вычесть из третьего уравнения четвертое и получить систему уже из двух дифференциальных уравнений, в которые входит лишь разность фаз осцилляторов
Плоскость параметров (S,ju) этой системы и характерные фазовые портреты, соответствующие различным динамическим режимам системы, показаны на рис. 1.15 [50]. Фазовые портреты построены на плоскости фазо вых переменных (R cos у/ , R sm у/ ). Устройство плоскости параметров систем укороченных уравнений подробно обсуждается, например, в [31,50]. Имеется язык синхронизации, ограниченный линиями седлоузловых бифуркаций. Однако, в отличие от синхронизации внешним сигналом, в задаче о связанных системах возникает новый эффект - гибели колебаний. Он заключается в том, что колебания обоих осцилляторов затухают. При этом реализуется единственная устойчивая неподвижная точка в начале координат (переход через линию бифуркации Андронова-Хопфа, вставки 1-2 рисунка 1.15). Отметим, что эффект гибели колебаний характерен не просто для конкретной системы, а имеет общеколебательное значение [А. Пиковский, М. Розенблюм и Ю. Куртц].
Устройство плоскости параметров «расстройка 5 - параметр связи р исходной дифференциальной системы (1.46) с помощью метода карт динамических режимов изучено в [50]: описаны трансформации плоскости параметров для различных значений X в изохронном и неизохронном случае. Карта динамических режимов для случая A-i=A,2=l и р=0 представлена на рисунке 1.16 [50]. Видно, что помимо основного языка синхронизации появились языки резонансов более высокого порядка, а сам основной язык стал несимметричным. Топология пространства параметров отчасти напоминает картину, которою мы наблюдали при анализе системы укороченных уравнений (4.5). Однако граница области гибели колебаний с ростом X сдвигается вверх. Существенно новый эффект для дифференциальной системы - исчезновение одной (низкочастотной) области гибели колебаний. Введение фазовой нелинейности также модифицирует картину языков. Основные языки удаляются друг от друга. При этом область между основными языками заполняется хорошо выраженными языками более высоких порядков, причем начинает просматриваться линия перекрытия языков синхронизации. Происходит деформация формы языков Арнольда, и внутри них образуются гораздо более сложные структуры.
Итак, задача о системе Ван-дер-Поля, находящейся под внешним гармоническим воздействием, привлекает внимание исследователей с пионерских работ до настоящего времени. Основные «вехи» исследований - построение укороченных уравнений, получение уравнения Адлера, объяснение на его основе явлений синхронизации и биений (квазипериодических режимов), полный бифуркационный анализ укороченных уравнений, выяснение роли бифуркаций Богданова-Такенса и нелокальных бифуркаций при больших амплитудах воздействия, изучение сильных и слабых резонансов, построение глобальной бифуркационной картины, выяснение возможных хаотических режимов, различные компьютерные иллюстрации для дифференциальной системы, изучение связанных систем с помощью укороченных уравнений (эффект «гибели колебаний»), а затем связанных дифференциальных систем и их отличий от укороченной системы и т.д.
На базе системы Ван-дер-Поля можно создать ряд моделей, демонстрирующих новые особенности динамики. Одной из простейших модификаций является система Ван-дер-Поля - Дуффинга. Введение дополнительной кубической нелинейности (фазовой нелинейности или неизохронности) модифицирует устройство языка синхронизации, оказываются возможными новые бифуркации коразмерности три и новые линии нелокальных бифуркаций. Численный анализ исходной дифференциальной системы показывает, что за счет влияния такой нелинейности языки субгармонических резонансов начинают перекрываться при меньших значениях параметра X (ответственного за бифуркацию Андронова-Хопфа), а их внутренняя структура может быть достаточно сложной (включая хаотические режимы), например, уже при А,=1. Не менее интересная модификация системы Ван-дер-Поля - автогенератор с жестким возбуждением. Эта система в автономном режиме демонстрирует сосуществование двух - устойчивого и неустойчивого - предельных циклов и бифуркацию их слияния и исчезновения. В случае внешнего периодического воздействия на такую систему возможен ряд новых эффектов, в частности - эффект асинхронного возбуждения, на возможность которого впервые указали Мандельштам и Папалекси еще в 1930 году. Вслед за ними ряд исследователей обращался к задаче синхронизации автогенератора с жестким режимом внешним гармоническим сигналом. Однако постоянное развитие современных компьютерных методов, теории катастроф и бифуркаций, теории динамического хаоса делают привлекательными новые подходы к этой задаче, нацеленные на детальное изучение устройства пространства параметров системы (которое оказывается четырехмерным за счет дополнительного параметра фазовой нелинейности), интерпретации результатов с использованием теории катастроф и бифуркаций, выяснение возможных «сценариев» объединения языков синхронизации, отвечающих устойчивому и неустойчивому режимам, изучение в дифференциальной системе картины внутреннего устройства областей асинхронного возбуждения (т.е. за порогом бифуркации слияния циклов) и т.д.
