Содержание к диссертации
Введение
1 Метод оценки локальной и глобальной скорости перемешивания хаотических систем 26
1.1 Перемешивание в хаотических системах 27
1.2 Алгоритм оценки степени перемешивания 28
1.3 Примеры 33
1.3.1 Отображения пекаря и ученика пекаря 33
1.3.2 Перемешивание в отображении Эно 37
1.3.3 Перемешивание в системе Чуа 39
1.3.4 Система Лоренца 42
1.3.5 Система Ресслера 46
1.4 Анализ устойчивости алгоритма к вариациям его параметров 51
1.5 Перемешивание и устойчивость динамики непрерывных хаотических систем 51
1.6 Выводы 54
2 Поиск областей плохо прогнозируемого движения нелиней ных систем 56
2.1 Метод обнаружения областей сложного поведения 57
2.2 Примеры применения метода 65
2.2.1 Обнаружение областей неустойчивости 65
2.2.2 Обнаружение внутренних шумов 67
2.2.3 Обнаружение неавтономности динамики 69
2.3 Влияние шумов на устойчивость метода 71
2.3.1 Влияние неточности модели 71
2.3.2 Влияние аддитивных (измерительных) шумов 73
2.3.3 Влияние динамических (внутренних) шумов 73
2.4 Выводы 76
3 Исследование динамики гиперхаотической системы Рёсслера 77
3.1 Области перемешивания и неустойчивости в гиперхаотической системе Рёсслера 78
3.2 Параметризация области сложной динамики 80
3.3 Моделирование и прогнозирование гиперхаотической системы Рёсслера 84
3.4 Выводы 87
Заключение 89
- Алгоритм оценки степени перемешивания
- Перемешивание и устойчивость динамики непрерывных хаотических систем
- Влияние шумов на устойчивость метода
- Моделирование и прогнозирование гиперхаотической системы Рёсслера
Введение к работе
Актуальность работы.
Известно, что динамика нелинейных систем, наблюдаемых в природе, зачастую существенно изменчива и нестационарна (см. например [1-4]). Области устойчивого движения в фазовом пространстве таких систем могут сменяться областями неустойчивого, плохо предсказуемого, за-шумленного или даже случайного движения. Это обстоятельство приводит к затруднению построения адекватных математических моделей поведения наблюдаемых систем и уменьшает дальность прогноза их поведения [5-7], а также является одной из причин того, что получаемые результаты реконструкции1 хаотических систем — модельные уравнения, зачастую значительно не дотягивают по прогностической способности до их предельного времени предсказуемого поведения [15, 16]:
здесь Л - наибольший ляпуновский показатель, aj - эффективное значение дисперсии суммарных шумов всех типов (измерительных, мультипликативных, «незнания» и пр. [15, 17]), и\ - дисперсия наблюдаемой величины.
В более развернутом виде причины трудностей, возникающих при моделировании и прогнозировании хаотических систем можно разбить на два больших класса:
'Этим общепринятым термином (см. например [8-14]) называется процесс построения модели по наблюдаемым ВР.
причины, обусловленные самим характером хаотических систем и
описывающих их уравнений:
- вариациями устойчивости систем к шумовым возмущениям (и их
неустойчивостью в среднем), действием мультипликативных шумов,
вариациями эффективных размерностей [18] и других динамиче
ских, геометрических и информационных характеристик в течение
времени эволюции системы, неавтономностью исследуемой систе
мы;
причины, обусловленные особенностями наблюдения исследуемых
процессов:
- недоступностью тех или иных мод многомерного процесса для
наблюдателя [19, 20], краткостью периода наблюдений [21-24] и
необходимостью их дискретизации [25], действием измерительных
шумов2 [26, 27].
Как видно из этого перечня, вариации тех или иных характеристик динамики наблюдаемых систем составляют достаточно большой круг и источник проблем. Задачу моделирования нелинейных и, в частности, хаотических систем, которая сложна сама по себе ввиду их неустойчивости к шумовым возмущениям, эта вариабельность характеристик динамики усложняет еще больше, поскольку модели должны быть либо достаточно сложными, чтобы описывать все разнообразие наблюдаемых динамических режимов [28], либо представлять собой группу более простых моделей, каждая из которых определена в локальной области фазового пространства и описывает только относительно простую и стационарную динамику на этой области [29]. При использовании моделей второго типа неизбежно возникает вопрос корректного разбиения фазового пространства хаотической системы на области определения локальных моделей, который требует способа обнаружения областей из-
2Которые в квантовых системах могут также воздействовать и непосредственно на наблюдаемую систему.
менчивой и сложно моделируемой динамики. Кроме того, информация о наличии таких областей может быть важна и сама по себе для более полного понимания наблюдаемой динамики.
Именно этими трудностями моделирования и реконструкции хаотических систем и объясняется актуальность выбранной темы диссертационного исследования: реконструкция хаотических систем по наблюдаемым временным рядам и прогноз их поведения - активно развивающаяся область исследований в нелинейной динамике. За последние годы достигнуты значительные успехи и разработано большое число методов реконструкции, направленных на увеличение дальности модельного прогноза (например, [12, 22, 28, 30-33]). Развитие этих методов достаточно быстро выявило ограниченность подходов т.н. "глобальной реконструкции" и в настоящее время другой подход - использование групп локальных моделей вместо одной глобальной модели, параллельно с развитием методов анализа хаотических ВР, набирает все большую популярность ([5, 29, 34-37]). Обоснование его успеха в применении заключается в достаточно сильной вариабельности различных характеристик динамики хаотических систем в фазовом пространстве, о чем было сказано выше. Глобальные модели могут быть слишком грубы, чтобы правильно описывать эти вариации, либо слишком сложны и избыточны в случае, когда они их описывают. В такой ситуации лучшее описание наблюдаемой динамики могут дать группы локальных моделей. В качестве примера успешного применения такого подхода приведем работы [5, 38, 39], общая идея которых состоит в том, что вместо построения одной глобальной модели, описывающей поведение наблюдаемой системы на всем фазовом пространстве, строится группа локальных моделей, каждая из которых построена на специфическом участке фазового пространства и> оптимизирована для конкретного характера наблюдаемой динамики.
Корректное разбиение фазового пространства на области определения локальных моделей основывается на методах обнаружения изменений
каких либо характеристик динамики. К настоящему времени достаточно хорошо разработаны методы определения локального уровня аддитивных шумов [40], локальной устойчивости, определения локальной размерности в специальных случаях [41] и информационной сложности [3, 4, 42]. Однако практически не описаны, например, методы оценки локальной скорости перемешивания фазовых траекторий, методы выявления внутренних шумов, определения размерности колебаний в общем случае. Разработка этих и схожих методов может улучшить понимание хаотических систем и расширить применение концепции локальных моделей при реконструкции этих систем по наблюдаемым ВР.
В качестве примера, демонстрирующего фундаментальные причины появления в фазовом пространстве хаотических систем областей с различной локальной устойчивостью и временем предсказуемости, рассмотрим систему т нелинейных автономных ОДУ
х = f{x) (1)
где xeRm, f: Rm -» Rm.
Предположим, что существует некоторое возмущение (погрешность) є0 в задании начальных условий жо.
Для анализа динамики возмущений, длящихся конечное время At необходимо воспользоваться уравнением
e(t0 + At) = P(x0,At)e0 (2)
где Р(хо, At) - матрица эволюции (tangent propagator) системы (1). Для потоков она определяется следующим образом3:
rtn+At
P(xQ,At) = / J(x(t))dt
J to
где J - Якобиан оператора эволюции системы /(ж).
3Для дискретных отображений Р(хо,к) определяется как произведение Якобианов вдоль траектории: Р(х0, к) = J(o;fc_i) J{xk-2) J{x0).
Положив в (2) tQ — О, модуль погрешности e(t) можно представить в виде
Ф) = IK0II = у/Щ*Щ = s/e0P(xo,t)TP(Xo,t)e0
где символ Т обозначает операцию транспонирования. Тогда эффективную скорость роста возмущений г At — -i In ^— можно определить как
'(є0,ж0) = -In
є0Р(хо,і)тР(х0,і)є0
t \ є0 Єо
Выражение, стоящее под знаком корня можно интерпретировать как частное Рэлея [43]. Его максимальное значение является наибольшим собственным значением матрицы РТР. Представим матрицу Р в виде сингулярного разложения Р = UY,VT, где столбцы матриц U и V содержат левые и правые сингулярные вектора щ и vi, а на диагонали матрицы расположены сингулярные числа ai в порядке убывания. При этом первые сингулярные вектора соответствуют направлению наиболее сильного роста погрешности. Правые сингулярные вектора Vi иногда называют сингулярными векторами «начального времени», а левые {щ) -сингулярными векторами «конечного времени» [44], поскольку vi определены в момент времени t0 и под действием оператора Р поворачиваются и растягиваются (сжимаются) в вектора щ, которые определены в момент времени о + At:
PVi = GiUi
G{ представляют собой коэффициенты изменения длины векторов Vi и
для фиксированных а?о и At определяют конечно-временные ляпунов-
ские показатели
1
\i{x0,At) = — W; (4)
которые, как видно из сопоставления (3) и (4), определяют эффективную скорость роста возмущений, направленных вдоль вектора Vi, на интервале времени At:
e(At) ос eKAt
Важно отметить, что эта формула является грубой оценкой скорости роста, поскольку сами показатели Лг- (как и стг- с vi) вообще говоря зависят от At. Это приводит к ограничениям в интерпретации понятия ляпуновских показателей как эффективной скорости роста возмущений, поскольку в реальных динамических системах,для произвольного At эта скорость не обязана быть и обычно не-является экспоненциальной и постоянной4 [44, 45].
Максимальная экспоненциальная скорость роста определяется показателем Ai(a?o, At) и достигается, когда начальное возмущение єо совмещено с направлением v\. Предел Лх = lim \\{xq, At) называется стар-
At—+оо
шим ляпуновским показателем и существует почти для всех ж и начальных возмущений є0. Остальные аналогичные пределы Л^, і — 2,...,т характеризуют скорость роста возмущений по оставшимся направлениям пространства Rm и совместно с Лі формируют спектр ляпуновских показателей.
Таким' образом, важный для этого диссертационного исследования-вывод из определения ЛЛП состоит в том, что скорость роста каждого фиксированного возмущения зависит от направления этого возмущения. На интервале времени At она будет максимальна тогда, когда направление вектора возмущения совпадает с направлением вектора Vi и минимальна, когда направление возмущения совпадает с направлением vm5. Более того, гиперболические точки в хаотических (гиперболических и часто квазигиперболических) системах обладают устойчивым и неустойчивым многообразиями, на которых случайные возмущения могут как экспоненциально убывать, так и экспоненциально возрастать (рис. 1) [46, 47].
Итак, структура локальной окрестности фазовой точки и направление случайного возмущения определяют скорость роста заданных слу-
'Она является постоянной только для динамических систем с постоянным Якобианом.
5Отметим, что направление vi является направлением скорейшего роста возмущений только для интервала At в целом. В течение эволюции системы внутри этого интервала при непостоянном Якобиане существуют направления максимальной мгновенной скорости роста, отличные от vi.
Рис. 1: Структура локальной окрестности траектории гиперболической точки на аттракторе хаотической системы. Устойчивое (W3) и неустойчивое (Wu) многообразия (по [47]).
чайных возмущений в локальной окрестности, а конечно-временные ля-пуновские показатели (4) позволяют оценить среднее значение скорости роста возмущений на участках аттрактора некоторой конечной длительности.
Дадим иллюстрацию этим положениям на примере широко известной квазигиперболической системы Лоренца. Для этого покажем, что на аттракторе Лоренца существует некоторое распределение времен удвоения возмущения Т26, величины, которая выражается непосредственно в единицах времени и может служить характеристикой свойств предсказуемости хаотических систем [38, 45, 48]. Для этого будем достаточное число раз интегрировать систему Лоренца (1.15) с двух близких начальных условий, первое из которых распределено с естественной инвариантной мерой на аттракторе, а второе представляет собой случайное отклонение на фиксированное расстояние є = 0.5 от первого в произвольном направлении и будем каждый раз фиксировать время удвоения возмущения Гг.
На рис. 2 показана гистограмма времен т2 в линейном (а) и логариф-
6В общем виде величина т2(а:о,єо) - минимальное время, за которое начальное возмущение увеличится в 2 раза вводится как т2(ж0,с0) = min{t| \\ft{x0 + е0) - ft{xo)\\ > 2||є0||}.
мическом (b) масштабе. Из этого рисунка видно, что времена удвоения возмущения т2 распределены по экспоненциальному закону. На аттракторе существуют такие области (с небольшим конечно-временным ЛП Xi(xo,At)) и такие локальные ориентации возмущений (направленные вдоль устойчивого многообразия Ws), что время т2 для них существенно больше среднего значения 0.8 на аттракторе.
600 [
200 |
N
Рис. 2: Гистограмма времени удвоения возмущения в системе Лоренца для случайной орентации возмущений. Линейный (а) и логарифмический (Ь) масштабы.
Конкретное распределение областей быстрого и медленного роста возмущений на аттракторе Лоренца показано на рис. 3. На нем точками отмечены начальные условия, для которых в среднем по изотропиче-ским ориентациям начальных возмущений время удвоения возмущения меньше единицы: т2 < 1. Крестиками показаны начальные условия, для которых т2 > 1.
Достаточно ясно видно, что траектории, на которых возмущения возрастают быстро, сконцентрированы в области перехода между колебаниями вокруг двух неустойчивых стационарных точек, тогда как более регулярное движение вокруг стационарных точек приводит к большему времени удвоения возмущений. Таким образом, можно сделать вывод о
Рис. 3: Фазовый портрет системы Лоренца. Точками показаны начальные условия для траекторий с малым временем удвоения возмущений (т2 < 1); крестиками - начальные условия для траекторий с большим временем удвоения возмущений (т2 > 1).
том, что уже сам характер уравнений рассматриваемой динамической системы определяет существование областей с различной скоростью роста возмущений в фазовом пространстве, а значит и обладающих различной потенциальной предсказуемостью. В этой связи следует отметить работы [45, 49-51], в которых авторы показали, что ЛЛП и характерное время удвоения возмущений на аттракторе не постоянны и могут испытывать достаточно сильные вариации.
Описанный выше эффект вариабельности скорости роста возмущений в зависимости от их направлений обычно сглаживается из-за того, что суммарное распределение векторов возмущений в ходе эволюции ДС относительно изображающей точки почти всегда является изотропиче-ским. Но если в течение времени эволюции системы подбирать направление векторов возмущений некоторым специальным образом (например вдоль быстрейшего или наиболее медленного направления роста возмущений), то среднее время удвоения возмущений Т2 будет значитель-
но отличаться для каждого способа подбора направлений возмущений [44, 45]. На практике такое не изотропическое распределение возмущений может присутствовать в некоторых метеорологических процессах [45].
Для того, чтобы успешно справиться с задачей моделирования сложных и неоднородных систем, в работах [5, 6, 39, 52, 53] были введены новые понятия «русел» и «джокеров». «Джокеры» являются регионами в фазовом пространстве, в которых динамика системы становится плохо предсказуемой, она просто изменяется, усложняется или даже становится вероятностной и случайной. В противоположность джокерам вводится понятие «русла» — области устойчивого, хорошо прогнозируемого движения. В [52] и [5] для описания таких процессов и систем, в фазовом пространстве которых можно выделить эти области, введен новый класс математических моделей — динамические системы с джокерами.
Наиболее очевидная иллюстрация русел в фазовом пространстве -области локального маломодового движения, в которых хороший прогноз обеспечивается простотой модельной функции, или области локальной устойчивости хаотической системы. Отметим некоторые возможные причины появления джокеров в фазовом пространстве [5, 6, 39, 53]:
джокеры могут быть областями локальной неустойчивости хаотической системы, в которых ЛЛП положительны;
джокеры могут быть областями сильной перемешиваемости;
джокеры могут быть областями, в которых проявляется действие локальных случайных возмущений;
джокеры могут быть областями высокомодового движения;
джокеры могут быть областями быстрого движения.
Таким образом, возможно, наиболее благодатную почву для наличия русел и джокеров дают системы связанных осцилляторов с переменной связью и сингулярно возмущенные системы ОДУ. Переменность
связи может сильно изменять локальную размерность и сложность динамических уравнений процессов, а сингулярное возмущение приводит к чередующейся медленно-быстрой динамике [39].
Формальное определение понятия русла, возникающего, например, в областях маломодового движения хаотической системы, состоит в следующем [5]: рассмотрим n-мерное фазовое пространство хаотической системы F. Предположим, что в некоторой локальной области G поведение системы может быть приближенно описано маломодовой моделью F\ с размерностью фазового пространства п\ < п. Если траектория системы в течение времени наблюдения достаточное число раз проходила через область G, можно восстановить пі-мерную функцию F\, определенную в этой области, дающую возможность делать в ней локальный прогноз. С точки зрения построения прогноза важным здесь является то, что поскольку динамика системы в области G более проста, чем во всем фазовом пространстве (в следствие маломодовости), прогноз поведения Пі степени свободы системы с помощью реконструкции функции і7! будет более точен, чем тот же прогноз с помощью реконструкции функции F. Такая область G, допускающая «хороший» прогноз хотя бы некоторых мод хаотической системы, называется руслом (см. [5]).
Существует два основных подхода к обнаружению областей нестационарной или сложной динамики. Первый подход характеризуется анализом некоторых по крайней мере частичных модельных представлений о наблюдаемой динамике и позволяет обнаруживать и локализовывать эти области не только во времени, но и в пространстве состояний [5, 39]. В частности, в работе [5] описан метод, называемый «тест на линейное предсказание», который находит в фазовом пространстве области неустойчивого движения траекторий (джокеров). Суть его сводится к следующему: берется некоторая окрестность точки фазового пространства хг, причем хг не включается в окрестность, и по этой окрестности строится линейный прогноз на время At вперед. Далее по построенному
прогнозу точка хг экстраполируется на время At вперед и оценивается ошибка экстраполяции ег. Меняя базовую точку Х( и анализируя вид зависимости e(t), в фазовом пространстве находят области плохо прогнозируемого движения — джокеров.
Рассмотрим применение этого метода по отношению к системе Рес-слера, находящейся в хаотическом режиме.
Во-первых покажем, что на ее аттракторе могут существовать области локальной устойчивости (русла), в которых все ЛЛП меньше нуля либо относительно невелики и области неустойчивого движения (джокеры), в которых по крайней мере один из ЛЛП положителен и достаточно велик.
На рис. 4 изображена z-компонента системы Ресслера (толстая линия) и локальные ляпуновские показатели7 этой системы (пунктирными линиями: верхний график — максимальный по аттрактору, средний график — нулевой по аттрактору, нижний — минимальный).
Как следует из рисунка, в области z ^> 0 все ЛЛП увеличиваются, указывая на неустойчивый характер движения системы в этой области (в которой, кроме того, наблюдается локальное увеличение размерности динамики системы). Таким образом, эту область следует представлять как джокер.
Результаты применения теста на линейное предсказание для этой системы Ресслера показаны на рис. 5. Тест выявил область джокера, подтвердив сделанное выше предположение о ее наличии.
Альтернативой использованию модельных представлений о наблюдаемых процессах является второй подход, в котором используются различные информационные меры сложности ([55]) или анализ некоторых геометрических характеристик ([56]) наблюдаемых временных рядов. Особенностью этого подхода является необязательность модельного описания наблюдаемой динамики и обнаружение локальных временных
7Локальные ляпуновские показатели вычислялись с помощью решения уравнений в вариациях для векторов возмущений и последующей ортогонализации Грама-Шмидта (см например [54])
Рис. 4: Поведение локальных ляпуновских показателей на аттракторе Ресслера.
областей. Как правило, он менее требователен к качеству и длине наблюдаемых ВР, поэтому его применение лучше отражено в литературе (см. например, [3, 4, 42, 55, 57, 58]).
Почти все методы анализа, работающие с информационными мерами, в качестве базовой процедуры, подготавливающей ВР, используют методы символьной динамики [59-66], которая является средством моделирования динамических систем пространством, состоящим из бесконечных последовательностей абстрактных символов (эффективно представляемых как строки или слова), где каждый символ соответствует некоторому состоянию системы, и оператором сдвига, заданном на этом пространстве и определяющим динамику системы.
і 1 г
_l I I I I I
10 -5 0 5 10 v 15
Рис. 5: Тест на линейное предсказание [5]. Точки соответствуют ошибке c(t) > 0.5 и выявляют область джокера.
Наиболее популярными информационными мерами сложности являются Энтропия Шеннона [59, 65] Нп, которая дает средний объем информации, заключенной в слове длины п\ производной от энтропии Шеннона является условная (или динамическая) энтропия [67]: hn = Нп+\ — Нп которая дает средний объем информации, необходимой для предсказания (п + 1)-го символа по имеющимся п символам последовательности, то есть величина
гп = 1 - hn (5)
определяет среднюю предсказуемость (п + 1)-го состояния по п предыдущим состояниям. В свою очередь предел hn при п —> оо определяет энтропию источника или предельную энтропию h [59], которая может быть интерпретирована как средний объем информации, необходимой
для предсказания следующего символа, если все прошлое известно.
Также достаточно часто используется Энтропия Колмогорова-Синая или метрическая энтропия [65, 66, 68]. Эта величина является супремумом предельной энтропии h по всем возможным разбиениям Р:
HKs = sup h(P) = sup lim hn(P)
Отсюда следует, что эта энтропия не зависит от конкретного способа разбиения Р, кроме того, показано ([59, 66]), что для многих нелинейных систем Hks совпадает с энтропией Лесина, определяемой как сумма положительных ЛП системы. Это означает, что энтропия Hks характеризует динамические свойства систем. Один из лучших алгоритмов вычисления этой энтропии для некоторых ВР приведен в работе [69], в которой также имеются ссылки на альтернативные алгоритмы.
Кроме перечисленных, существуют и другие меры сложности ВР, например, є - энтропия [55, 66], энтропия Реньи [66], так называемые Т - информация и Т - энтропия [59], меры, основанные на диаграммах возврата [56] и другие, более редко используемые меры.
Приведем пример выявления динамики предсказуемости наблюдаемых ВР с использованием информационных мер. В работе [42] авторы исследовали массив наблюдений за температурой воздуха в г. Потсдам (Германия) длиной в 102 года с 1893 по 1994 гг. В первую очередь на массиве наблюдений ввели разбиение (алфавит) из пяти символов: очень холодно, холодно, умеренно, тепло, жарко. Далее была вычислена условная энтропия /ц и средняя вероятность постоянства погоды в течение пяти дней, графики которых показаны на рис. 6. Вычисления производились в двигающемся временном окне длиной 30 лет (« 11000 измерений), при которой измерения могут считаться стационарными.
Как следует из рис. 6, условная энтропия явно уменьшается со временем, что означает увеличение степени постоянства и неизменности температуры. Этот вывод подтверждается растущей кривой вероятности наблюдения пяти одинаковых состояний температуры подряд. Таким
0,405
0,435
YEAR
Рис. 6: Условная энтропия /г4 (пунктирная линия) и средняя вероятность постоянства погоды в течение пяти дней (сплошная линия). Источник: [42].
образом, в течение века измерений обнаружено некоторое растущее постоянство температуры, которое отражает более стабильную климатическую циркуляцию и ведет к потенциально более качественному прогнозу климатических факторов.
Можно обнаружить и другие примеры, когда анализ локальных свойств хаотических процессов позволил углубить их понимание. В частности, в работе [36] авторы исследовали двумерную решетку связанных осцилляторов и показали, что локальная для каждого осциллятора размерность колебаний существенно варьируется от осциллятора к осциллятору и лучший прогноз колебаний строится для осцилляторов с маленькой локальной размерностью колебаний; в работах [70-72] показано, что анализ локальных свойств зашумленных нелинейных процессов может обнаружить предвестники их будущих бифуркаций.
Фундаментальное свойство хаотических систем - перемешивание [73-76], оказывает не меньшее влияние на их наблюдаемую динамику, чем
рассмотренные выше свойства. Перемешивание хаотических траекторий является ключевой особенностью в ряде физических и химических теорий [77-80], а также технических приложений [81-83]. Однако, при столкновении с необходимостью теоретического описания процесса перемешивания в хаотических системах и его экспериментальной оценки, возникают трудности, связанные с невозможностью аналитического или даже численного вычисления оператора Фробениуса-Иеррона [84] для большинства хаотических систем. Для того, чтобы обойти эти трудности, исследователи заменяют оператор Фробениуса-Перрона его конечными марковскими аппроксимациями [85-87] или используют другие методы его оценки [88, 89]. Еще одна фундаментальная сложность использования оператора Фробениуса-Перрона состоит в том, что в негиперболических-хаотических системах не существует стационарной вероятностной меры, не зависящей от начального распределения [84].
Косвенный и зачастую более удобный путь оценки действия перемешивания на динамику рассматриваемой системы состоит в вычислении некоторых величин, которые считаются связанными со свойством перемешивания в системе. Одной из этих величин является энтропия Колмогорова-Синая, положительное значение которой для определенной динамической системы говорит о наличии в ней перемешивания. Такая связь между энтропией Колмогорова-Синая и перемешиванием объясняется тем, что от скорости перемешивания зависит скорость спадания корреляций в системе [90], которую, в свою очередь, можно также связать с ее положительными ляпуновскими показателями [91, 92], которые непосредственно входят в определение энтропии Колмогорова-Синая. Однако, как показано в работе [93], существуют и такие хаотические системы (как, например, двумерные бильярды), которые являются перемешивающими, но имеют нулевую энтропию Колмогорова-Синая.
Еще одна возможность оценить скорость перемешивания в хаотической системе состоит непосредственно в оценке скорости экспоненци-
ального спадания корреляций. Однако, строгая оценка скорости спадания (тсогг — Нк1, где тсогг - время корреляции, а Нк - энтропия Колмогорова-Синая [94, 95]) получена лишь для диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме-А, в остальных случаях может наблюдаться самая различная скорость спадания корреляций [90], что также сильно затрудняет оценку скорости перемешивания.
Цель работы. Цель работы состояла в разработке методов анализа хаотических систем, позволяющих обнаружить в их фазовом пространстве такие участки, динамика системы на которых характеризуется более сложным поведением (например, неустойчивым, многомодовым, зашумленным, неавтономным) по сравнению с остальными областями фазового пространства.
Достижение поставленной цели предусматривало решение следующих задач:
исследования свойства перемешивания траекторий на аттракторе хаотических систем и разработки алгоритма оценки скорости перемешивания; анализа устойчивости алгоритма к изменению его параметров и проверки алгоритма на примере тестовых хаотических систем; выявления качественной взаимосвязи понятий устойчивости траекторий и их перемешивания для этих хаотических систем;
разработки разностного (сравнительного) метода выявления областей сложного поведения в фазовом пространстве хаотических систем и анализа надежности этого метода в условиях действия шумовых возмущений различной природы; исследования преимуществ построения прогноза динамики хаотических систем с использованием предлагаемого метода.
Научная новизна.
Научная новизна работы состоит в следующем:
Предложена полуаналитическая оценка скорости перемешивания
фазовых траекторий на аттракторе хаотической системы. Разработан алгоритм вычисления как локальной, так и средней по аттакто-ру скорости перемешивания фазовых траекторий.
Предложен метод выявления в фазовом пространстве наблюдаемых
ВР областей со сложным поведением траекторий и проведено ис
следование этого метода на устойчивость к шумовым возмущениям;
Практическая значимость.
Результаты, полученные в данной работе, могут быть использованы при исследовании и моделировании сложных нелинейных процессов различной природы.
С помощью разработанных методов может быть осуществлен поиск участков траекторий в фазовом пространстве исследуемых систем, которые соответствуют сложному, зашумленному или непредсказуемому движению. Кроме того, для хаотических систем разработанный метод позволяет оценить перемешиваемость траекторий на аттракторе. Полученные результаты могут быть полезны как при реконструкции нелинейных систем - построении групп локальных моделей, суммарно описывающих наблюдаемую динамику, так и при анализе различных свойств таких систем.
На защиту выносятся:
метод выявления в фазовом пространстве наблюдаемых ВР областей со сложным поведением траекторий нелинейных систем;
полуаналитическая оценка степени перемешивания и алгоритм вычисления локальной, а также средней скорости перемешивания на аттракторе хаотических систем;
результаты применения разработанных методов при анализе и моделировании наблюдаемых нелинейных процессов.
Личный вклад автора.
Личный вклад автора состоит в анализе литературных данных по теме
диссертации, совместной с научным руководителем формулировке задач диссертационного исследования и выборе методов их решения, разработке подходов и написании программ компьютерного моделирования, интерпретации и обработке результатов численных экспериментов.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации были доложены на:
IV международной научно-технической конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2001);
IV международной научно-технической конференции «Перспективные технологии в средствах передачи информации» (Владимир-Суздаль, 2001);
International conference «Progress in nonlinear science», N. Novgorod, 2001 (международной конференции «Прогресс в нелинейной науке», Н. Новгород, 2001);
II всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (Москва, 2004);
VI международной научно-технической конференции «Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии» (Владимир, 2004);
VII международной научно-технической конференции «Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии» (Владимир, 2006);
VIII международной школе «Хаотические колебания и образование структур» (Саратов, 2007);
XIV научной школе «Нелинейные волны - 2008» (Н. Новгород, 2008);
Работы были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (грант 99-02-16625).
По теме диссертационного исследования опубликованы и приняты к печати 12 работ (4 статьи в рецензируемых журналах ВАК, которые включены в общий список литературы под номерами [6,30,101,102], 8 статей в сборниках трудов научных конференций).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех содержательных глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации -108 страниц. В ней содержится 40 рисунков и библиография из 123 наименований на 14 страницах.
Первая глава диссертации посвящена фундаментальному явлению перемешивания фазовых траекторий в хаотических системах и связи этого явления с неустойчивостью динамики хаотических систем. В ней вводится понятие степени перемешивания, описан метод вычисления этой величины, пригодный для исследования как дискретных, так и непрерывных динамических систем. Получены приближенные аналитические оценки динамики перемешивания, одинаково пригодные для этих типов описания динамических систем. Исследована обоснованность полученных оценок при вариациях параметров алгоритма. Работоспособность алгоритма проверяется в численных экспериментах над несколькими известными моделями хаотических систем - отображениями Эно и пекаря, системами Чуа, Лоренца и Ресслера. Результаты исследования перемешивания в этих моделях показывают достаточно хорошее сходство экспериментальных и приближенных аналитических оценок.
Вторая глава диссертации посвящена разработке метода поиска областей фазового пространства нелинейных систем, движение фазовых траекторий на которых плохо прогнозируемо - неустойчиво, зашумлено, неавтономно, многомодово и т.д., по сравнению с движением на остальной области фазового пространства. В главе дается описание метода и примеры его применения для нескольких хаотических систем: генератора Дмитриева-Кислова, KRV-системы и логистического отображе-
ния. Подробно рассмотрено влияние различных шумовых возмущений и априорной неопределенности при использовании этого метода. Показаны возможные преимущества прогнозирования нелинейных систем с помощью группы локальных моделей, области определения которых находятся по описанному методу.
Третья глава диссертации посвящена экспериментальному исследованию гиперхаотической системы Рёсслера, находящейся под воздействием динамического шума, методами, разработанными в первой и второй главах. В главе исследуются перемешивающие свойства системы и параметризуется область неустойчивой динамики и быстрого перемешивания. Описано построение группы моделей, учитывающих динамику системы в соответствующих областях фазового пространства. Показано, что эта группа моделей, будучи более простой, чем глобальная модель системы, построенная на всем фазовом пространстве, обладает не меньшими прогностическими возможностями.
Основные результаты работы суммируются и обсуждаются в заключении.
В приложении кратко описан разработанный автором пакет моделирования и исследования временных рядов, который использовался для численных расчетов при работе над диссертацией.
Алгоритм оценки степени перемешивания
Можно обнаружить и другие примеры, когда анализ локальных свойств хаотических процессов позволил углубить их понимание. В частности, в работе [36] авторы исследовали двумерную решетку связанных осцилляторов и показали, что локальная для каждого осциллятора размерность колебаний существенно варьируется от осциллятора к осциллятору и лучший прогноз колебаний строится для осцилляторов с маленькой локальной размерностью колебаний; в работах [70-72] показано, что анализ локальных свойств зашумленных нелинейных процессов может обнаружить предвестники их будущих бифуркаций. Фундаментальное свойство хаотических систем - перемешивание [73-76], оказывает не меньшее влияние на их наблюдаемую динамику, чем рассмотренные выше свойства. Перемешивание хаотических траекторий является ключевой особенностью в ряде физических и химических теорий [77-80], а также технических приложений [81-83]. Однако, при столкновении с необходимостью теоретического описания процесса перемешивания в хаотических системах и его экспериментальной оценки, возникают трудности, связанные с невозможностью аналитического или даже численного вычисления оператора Фробениуса-Иеррона [84] для большинства хаотических систем. Для того, чтобы обойти эти трудности, исследователи заменяют оператор Фробениуса-Перрона его конечными марковскими аппроксимациями [85-87] или используют другие методы его оценки [88, 89]. Еще одна фундаментальная сложность использования оператора Фробениуса-Перрона состоит в том, что в негиперболических-хаотических системах не существует стационарной вероятностной меры, не зависящей от начального распределения [84]. Косвенный и зачастую более удобный путь оценки действия перемешивания на динамику рассматриваемой системы состоит в вычислении некоторых величин, которые считаются связанными со свойством перемешивания в системе. Одной из этих величин является энтропия Колмогорова-Синая, положительное значение которой для определенной динамической системы говорит о наличии в ней перемешивания.
Такая связь между энтропией Колмогорова-Синая и перемешиванием объясняется тем, что от скорости перемешивания зависит скорость спадания корреляций в системе [90], которую, в свою очередь, можно также связать с ее положительными ляпуновскими показателями [91, 92], которые непосредственно входят в определение энтропии Колмогорова-Синая. Однако, как показано в работе [93], существуют и такие хаотические системы (как, например, двумерные бильярды), которые являются перемешивающими, но имеют нулевую энтропию Колмогорова-Синая. Еще одна возможность оценить скорость перемешивания в хаотической системе состоит непосредственно в оценке скорости экспоненци- ального спадания корреляций. Однако, строгая оценка скорости спадания (тсогг — Нк1, где тсогг - время корреляции, а Нк - энтропия Колмогорова-Синая [94, 95]) получена лишь для диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме-А, в остальных случаях может наблюдаться самая различная скорость спадания корреляций [90], что также сильно затрудняет оценку скорости перемешивания. Цель работы. Цель работы состояла в разработке методов анализа хаотических систем, позволяющих обнаружить в их фазовом пространстве такие участки, динамика системы на которых характеризуется более сложным поведением (например, неустойчивым, многомодовым, зашумленным, неавтономным) по сравнению с остальными областями фазового пространства. Достижение поставленной цели предусматривало решение следующих задач: исследования свойства перемешивания траекторий на аттракторе хаотических систем и разработки алгоритма оценки скорости перемешивания; анализа устойчивости алгоритма к изменению его параметров и проверки алгоритма на примере тестовых хаотических систем; выявления качественной взаимосвязи понятий устойчивости траекторий и их перемешивания для этих хаотических систем; разработки разностного (сравнительного) метода выявления областей сложного поведения в фазовом пространстве хаотических систем и анализа надежности этого метода в условиях действия шумовых возмущений различной природы; исследования преимуществ построения прогноза динамики хаотических систем с использованием предлагаемого метода. Научная новизна.
Научная новизна работы состоит в следующем: Предложена полуаналитическая оценка скорости перемешивания фазовых траекторий на аттракторе хаотической системы. Разработан алгоритм вычисления как локальной, так и средней по аттакто-ру скорости перемешивания фазовых траекторий. Предложен метод выявления в фазовом пространстве наблюдаемых ВР областей со сложным поведением траекторий и проведено ис следование этого метода на устойчивость к шумовым возмущениям; Практическая значимость. Результаты, полученные в данной работе, могут быть использованы при исследовании и моделировании сложных нелинейных процессов различной природы. С помощью разработанных методов может быть осуществлен поиск участков траекторий в фазовом пространстве исследуемых систем, которые соответствуют сложному, зашумленному или непредсказуемому движению. Кроме того, для хаотических систем разработанный метод позволяет оценить перемешиваемость траекторий на аттракторе. Полученные результаты могут быть полезны как при реконструкции нелинейных систем - построении групп локальных моделей, суммарно описывающих наблюдаемую динамику, так и при анализе различных свойств таких систем. На защиту выносятся: метод выявления в фазовом пространстве наблюдаемых ВР областей со сложным поведением траекторий нелинейных систем; полуаналитическая оценка степени перемешивания и алгоритм вычисления локальной, а также средней скорости перемешивания на аттракторе хаотических систем; результаты применения разработанных методов при анализе и моделировании наблюдаемых нелинейных процессов.
Перемешивание и устойчивость динамики непрерывных хаотических систем
Очевидно, что обоснованности оценок скорости перемешивания следует ожидать только при наличии достаточно репрезентативного набора начальных условий Go, выявляющего тонкую структуру аттрактора. Вместе с тем представляет интерес вопрос об устойчивости предлагаемого алгоритма к вариациям размера локальной окрестности Wn. Чтобы ответить на этот вопрос, для отображения Эно была построена гистограмма локальных скоростей Mi для разных размеров локальной окрестности (рис. 1.15а), а также зависимость среднего значения М\ от размера локальной окрестности (рис. 1.15Ь). Из рис. 1.15а видно, что с изменением размера локальной окрестности распределение значений скорости перемешивания Mi претерпевает некоторые изменения, однако эти изменения существенны только для области Mi 0.2 и практически не влияют на среднюю скорость перемешивания Mi, которая, как показано на рис. 1.15Ь, очень слабо реагирует на изменение размера локальной окрестности. Таким образом, алгоритм оценки степени перемешивания проявляет достаточную устойчивость к изменениям размера локальной окрестности. В непрерывных системах возможны различные сочетания локальной скорости перемешивания траекторий и ЛЛП. Приведем два примера, по- казывающих крайние случаи этого сочетания: отсутствие перемешивания и сильно неустойчивая динамика, а также сильное перемешивание и устойчивая динамика. Легко представить устройство локальной области аттрактора, в которой может отсутствовать перемешивание, но динамика системы будет сильно неустойчива. Например, траектории этой области могут двигаться, равномерно разбегаясь в некоторой гиперплоскости, но при этом, в силу отсутствия их пересечений друг с другом2, не будут перемеши- 2В данном случае рассматривается динамика детерминированной системы, в которой шумы или слу- ваться. Схематический пример динамики в такой области приведен на рис. 1.16а, где показана эволюция некоторой окрестности аттрактора, содержащей фиксированное число точек, ближайших к заданной. Эта окрестность (изображенная как окружность) в ходе эволюции увеличивается в размерах, однако все точки, входящие в нее, являются образами точек, входивших в начальную окрестность (эллипс). Напротив, динамика системы может быть устойчивой, но обладающей сильным перемешиванием.
Схематический пример такой динамики показан на рис. 1.16Ь. Ее особенность состоит в сильной локальной вариабельности скорости движения изображающей точки по аттрактору. Это приводит к тому, что более «медленные» точки могут «выпадать» из рассматриваемой окрестности и восполняться в ней образами точек, первоначально не входивших в окрестность. В таком случае перемешивание траекторий на аттракторе может определяеться этим процессом восполнения. В этой главе описан метод оценки скорости перемешивания в хаотических системах и показано его применение при анализе отображений пекаря, ученика пекаря, Эно и систем Чуа, Лоренца и Ресслера. И перемешивание, и ляпуновские показатели являются важными характеристиками хаотических систем, совместно определяющими их время предсказуемости, что особенно ярко проявляется для дискретных отображений типа (1.10) и (1.11-1.12). В непрерывных системах возможны различные сочетания ЛЛП и локальной скорости перемешивания на различных областях атрактора. Совместное влияние на исследуемые процессы этих характерных признаков хаотической динамики во многом определяет сложность анализа хаотических систем. Полученная идеализированная аналитическая оценка динамики степени перемешивания указывает только на экспоненциальный характер ее роста. Будучи весьма точной для отображения Эно и системы Лоренца, она существенно отклоняется от экспериментально полученных значений для системы Чуа и особенно негиперболической системы Ресслера, в которых значительно проявляется описанное в разделе 1.3.3 явление возврата траекторий. Более медленный характер роста степени перемешивания в системе Ресслера (рис. 1.13) может оказаться достаточно общим случаем для систем, имеющих сходное геометрическое строение аттрактора (например, генератор Анищенко-Астахова). Предлагаемый алгоритм оценки скорости перемешивания прост и устойчив к вариациям его параметров (в частности, размера локальной окрестности) и дает обоснованные оценки распределения локальных скоростей перемешивания, в том числе и при изменении характера динамики исследуемой системы. Подтверждением правильности этих оценок могут служить: сам вид распределения, который можно визуализировать для малоразмерных систем (рис. 1.7, рис. 1.10 и рис. 1.14) - положение быстро- и медленно перемешивающих областей аттракторов на них совпадает с интуитивными представлениями о перемешивании; схожесть экспериментальной и полуаналитической оценок изменения средней степени перемешивания M(t) со временем (рис. 1.3 и рис. 1.8); сильная корреляция между средней скоростью перемешивания и старшим ляпу-новским показателем (рис. 1.5). Этот алгоритм может быть полезен при анализе и изучении перемешивания как в непосредственно экспериментальных наблюдениях, так и в математических моделях динамических систем с известным оператором эволюции.
Поиск областей плохо прогнозируемого движения нелинейных систем В этой главе описан разработанный метод решения задачи обнаружения локальных областей пространства состояний со сложным, в смысле трудным для моделирования и прогноза, движением фазовых траекторий, использующий модельные представления о наблюдаемых процессах. В главе рассматриваются следующие причины существования таких областей: Локальная неустойчивость, вызванная вариациями локальных ля-пуновских показателей (ЛЛП) на аттракторе, которые в нелинейных системах не являются постоянными; Локальное действие случайных (шумовых) возмущений, которые локализованы в относительно небольшой области фазового пространства; Влияние на динамику наблюдаемой системы детерминированных процессов, которые могут сводиться к неавтономности каких-либо ее параметров. В части 2.1 описана суть предлагаемого метод поиска и рассмотрены возможные особенности и ограничения его применения, а в части 2.2 приведены примеры работы метода для нескольких хаотических систем. Устойчивость метода к мультипликативным и аддитивным шумам в наблюдаемых процессах, а также погрешностям их модельного описания исследуется в части 2.3. 2.1 Метод обнаружения областей сложного поведения Пусть наблюдению доступен временной процесс y{t) (в общем случае векторный y(t)), генерируемый некоторой нелинейной динамической системой, которая описывается уравнением где А - вектор параметров. Зачастую исследователь не знает точного вида этого уравнения и довольствуется при построении модели наблюдаемого процесса некоторой априорной информацией. При этом, конечно, ключевую роль в успехе моделирования играет полнота и качество этой информации. Будем предполагать, что с достаточной степенью точности модель исследуемой динамической системы можно представить в аддитивном виде: Здесь скобки обозначают операцию скалярного умножения; п - число модельных уравнений; для каждого фиксированного г: - вектор некоторых операторов с операндом y(t), выбранный из априорных соображений; щ - вектор неизвестных параметров (отметим, что если, например, модель (2.1) строится в классе ОДУ, то для каждого і один из элементов вектора F должен быть производной dyi/dt). Наша задача состоит в том, чтобы имея в распоряжении наблюдаемый процесс и его модельные уравнения (с неизвестными коэффициентами) получить сведения об устойчивости и стационарности динамики этого процесса на локальных временных интервалах1.
Влияние шумов на устойчивость метода
Покажем, как на эффективность обнаружения областей сложного по- . ведения нелинейных систем влияют неточности их моделей реконструкции, а также неизбежные шумы в наблюдаемых процессах. Для иллюстрации влияния неточности или неадекватности модели наблюдаемого процесса (2.1) на эффективность обнаружения областей сложного поведения нелинейных систем, была взята избыточная модель первого уравнения KRV-системы (2.7) в виде По сравнению с точной моделью первого уравнения, избыточная модель содержит два лишних слагаемых а ху и а5х2. Далее, с использованием этой модели была проведена процедура предлагаемая процедура с теми же длительностями скользящих окон Ті и Т2, что и в разделе 2.2.2. Для корректности сравнения результатов в данном случае для идентификации локальной области действия мультипликативного шума использовалось то же самое пороговое значение критерия Фишера H(t) 5. Как видно из рис. 2.8, метод по прежнему позволяет уверенно идентифицировать область действия шума. Однако следствием избыточности модели стало появление более плотной и обширной группы точек, соответствующих области неустойчивого движения на верхней границе аттрактора, и плотной группы точек на его нижней границе, которой не существовало при использовании в методе точной модели наблюдаемого прецесса4. На стр. 64 было сделано предположение о том, что следует ожидать устойчивости метода к действию аддитивных шумов, поскольку они приводят к равномерному уширению траектории в оба полупространства от гиперплоскости (2.1) без выделения определенного направления (при их разумной амплитуде, много меньшей амплитуды наблюдаемого процесса). Для того, чтобы проверить это предположение, была проведена процедура поиска области локального действия динамического шума для той же KRV-системы (2.7), с теми же параметрами метода, что и в разделе 2.2.2. Единственное исключение составляла модель, которую можно записать в виде где ь & и з - гауссовые шумы с нулевым средним и среднеквадратичным отклонением а = 0.01 (отношение сигнал/шум « 35 dB). Результаты применения метода представлены на рис. 2.9. Как и следовало ожидать, рисунки 2.6 и 2.9 обнаруживают полное качественное сходство.
Достаточно сильный аддитивный шум не способен заметно ухудшить возможности метода, что позволяет применять его при анализе реальных нелинейных процессов, наблюдаемых в природе. Динамические шумы, в отличие от аддитивных, «включаются» в динамику хаотических систем и могут достаточно сложным образом влиять на эволюцию их траекторий [30, 70, 99, 114, 115]. Для выяснения Поиск локальных областей неустойчивого, сложного или зашумлен-ного движения до сих пор является актуальной задачей анализа наблюдаемых процессов сложной природы. С помощью описанной процедуры он может быть проведен на основе полных или частичных модельных представлений об этих процессах. Простота критерия Фишера и широкие возможности модификации и подстройки метода под конкретные данные позволяют расчитывать на эффективность предлагаемой процедуры для достаточно широкого класса наблюдаемых нелинейных процессов. Как было показано в этой главе, динамика нелинейных систем в их фазовом пространстве существенно неоднородна и вариабельна. Предлагаемый метод поиска областей плохо прогнозируемого движения способен разбить фазовое пространство на области определения локальных моделей и, таким образом, обеспечить возможность использования подходов локальной реконструкции, основное преимущество которых состоит в оптимально сбалансированной сложности наблюдаемого процесса и сложности прогностической модели на каждом локальном участке фазового пространства. Наиболее эффективно процедуры построения группы локальных моделей могут проявиться при исследовании сложных неоднородных, распределенных, многомерных систем или параметрически связанных осцилляторов. Исследование динамики гиперхаотической системы Рёсслера Представляется целесообразным использовать знания о локальной сложности наблюдаемого нелинейного процесса, которые можно получить с помощью описанных методов, в задаче его моделирования и прогнозирования с помощью реконструированной математической модели этого процесса. Поскольку, как показано первых двух главах, характер динамики нелинейной системы может сильно различаться в различных областях фазового пространства, естественным кажется построение различных моделей движения системы для различных участков её фазового пространства. Цель такого подхода состоит в том, чтобы добиться соответствия сложности модели и сложности участка фазового пространства, на котором она строится1.
Эта глава посвящена исследованию гиперхаотической системы Рёсслера [116, 117], находящейся под действием динамического шума с интенсивностью а = 0.25 и описываемой следующим СДУ: Чего лишены, к примеру, подходы глобальной реконструкции, в которых сложность глобальной модели в одних областях может быть избыточна, а в других недостаточна. ОДУ, соответствующее системе (3Л) имеет следующий спектр ляпунов-ских показателей: Эта система была выбрана из-за того, что, как будет показано ниже, ее фазовое пространство можно разбить на две области, динамика системы в одной из которых устойчива и малоразмерна, а в другой более сложна и неустойчива. В то же время, структура и вид гиперхаотической системы Рёсслера позволяет наглядно отобразить процесс ее исследования и моделирования. В части 3.1 определяются области быстрого перемешивания и области неустойчивого движения в системе (3.1), а в части 3.2 с помощью метода обнаружения областей сложного поведения, разработанного в главе 2, показывается, что область неустойчивости и быстрой перемешиваемо-сти успешно идентифицируется описанным в части 2.1 методом. Кроме того, в этой же части проводится параметризация областей относительно простого и сложного движения. В части 3.3 определяется критерий качества реконструкции ДС и сравнивается качество реконструкции наблюдаемого процесса (3.1) двумя моделями: глобальной, которая определена на всем фазовом пространстве системы, и моделью, состоящей из двух наборов уравнений движения, определенных на соответствующих участках-фазового пространства. Вычисление спектра локальных ляпуновских показателей траектории гиперхаотической системы Рёсслера, проведенное с помощью решения уравнений в вариациях для векторов возмущений и ортогонализации Грама-Шмидта, показывает, что траектория теряет устойчивость, когда z - компонента системы становится существенно больше нуля: z » 0 (см. рис. 3.1), а в то время, когда z та 0, ляпуновские показатели невелики и движение по траектории при этом сравнительно устойчиво.
Моделирование и прогнозирование гиперхаотической системы Рёсслера
Основная цель разбиения фазового пространства некоторой системы на группу областей состоит в том, чтобы использовать характерные особенности динамики системы в конкретной области в задаче моделирования или построения прогноза. В случае гиперхаотической системы Рёсслера и двух областей ее фазового пространства, разделяемых гиперплоскостью (3.3), для моделирования этой системы воспользуемся двумя системами уравнений: определенной в области 15ж + у + 202; + 266 0, в построении которой используется тот факт, что переменная z в этой области близка к 0 и ради упрощения модели ей можно пренебречь. Коэффициенты моделей (3.4) и (3.5) определим по наблюдаемым ВР с помощью МНК (см. например [17, 30]) и таким образом получим следующие уравнения для полной системы: Оценим теперь качество прогноза предоставляемого такой составной моделью (3.6)-(3.7), а значит и качество самой модели. Общепринятой характеристикой качества прогноза служит средний квадрат ошибки между наблюдаемым (X) и модельным (Z) процессом: Угловые скобки здесь и далее означают усреднение по ансамблю реализаций. Для того чтобы характеризовать потенциальную предсказуемость, вместо погрешности rj1 удобнее использовать безразмерную характеристику - степень предсказуемости [15, 118]: Степень предсказуемости (3.8) представляет собой коэффициент корреляции между прогнозом и наблюдением спустя время г после начала наблюдения. Эта величина равна единице при г = 0, поскольку начальное значение прогноза Z(0) берется равным Х(0). Если значения X(t) и Z(t) отсчитывать от среднего по ансамблю уровня, то с течением времени величина D будет уменьшаться до нуля. Степень предсказуемости D однозначно связана с абсолютной погрешностью прогноза rj1 следующим образом: Значения D(T), близкие к единице, отвечают удовлетворительному прогнозу, тогда как малые значения D{T) соответствуют несогласованному ходу наблюдения и прогноза.
Время, за которое D(r) падает до уровня 1/2, называется временем предсказуемого поведения. Это время определяется из уравнения: При этом, как можно показать из (3.9), времени предсказуемого поведения трге(і отвечает абсолютная погрешность rf порядка дисперсии наблюдаемого процесса: г]2 ?а X2 Сравним дальность прогноза составной модели (3.6)-(3.7) с дальностью прогноза глобальной моделью, действующей на все фазовом пространстве и основанной на системе (3.4). Вычисление с помощью МНК коэффициентов глобальной модели приводит к следующей системе: Обратимся теперь к рис. 3.7, на котором приведена зависимость степени предсказуемости D от дальности прогноза т для обоих моделей. Видно, что времена предсказуемости обеих модельных систем совпадают, кроме того, сам вид кривых D(r) не позволяет говорить о преимуществе прогнозирования гиперхаотической системы (3.1) той или иной моделью. Таким образом, используя разбиение фазового пространства системы (3.1) на две области с относительно простой и сложной динамикой, проведенное в части 3.2, в этом разделе построена более простая, по сравнению с исходной системой, модель наблюдаемых ВР (3.6)-(3.7) гиперхаотической системы (3.1), обеспечивающая прогноз такого же качества, что и глобальная модель (3.10). Объектом исследования в этой главе являлась гиперхаотическая система Рёсслера под действием внутреннего (динамического) шума (3.1). С использованием методов, разработанных в главе 1, в фазовом пространстве системы (3.1) была выделена область неустойчивости и быстрой перемешиваемости. Дальнейшее исследование этой системы с помощью метода поиска областей сложного поведения, разработанного в главе 2, выявило ту же область и, таким образом, подтвердило надежность разработанного метода. Как правило, разбиение фазового пространства наблюдаемой системы на определенную группу областей, связано с желанием исследователя оптимизировать структуру модельных уравнений без ухудшения качества модели. В этой главе показано, что для гиперхаотической системы (3.1) с параметризованной областью ее сложной динамики, более простая составная модель (3.6)-(3.7), учитывающая локальный характер динамики системы, обладает, тем не менее, прогностическими возможностями того же качества, что и глобальная модель, определенная на всем фазовом пространстве по уравнениям (3.10).
Основные результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть сформулированы следующим образом. 1. Исследовано свойство перемешивания фазовых траекторий на аттракторах хаотических систем. Даны полуаналитические оценки скорости перемешивания на аттракторе. Предложен алгоритм вычисления как локальной, так и средней по аттрактору скорости перемешивания. Получены аналитические (для отображений пекаря и ученика пекаря) и экспериментальные (для отображения Эно и систем Чуа, Ресслера, Лоренца) оценки локальной и средней по аттрактору скорости перемешивания. 2. Показано, что хаотические системы имеют характерные особенности в распределении быстро- и слабо перемешивающих областей на аттракторе, которые связаны с его топологическим строением. Описана связь между явлениями перемешивания, устойчивости хаотической траектории и локальным топологическим строением аттрактора. 3. Разработан метод обнаружения областей плохо прогнозируемого движения нелинейных систем по наблюдаемым временным рядам. Проведено исследование этого метода на устойчивость и надежность обнаружения в условиях действия шумовых возмущений различного типа а также частичной априорной неопределенности модельного описания временных рядов. Выявлены его оптимальные параметры и даны рекомендации к использованию метода в конкретных случаях. 4. Показана возможность использования методов оценки скорости перемешивания и поиска областей плохо прогнозируемого движения в задаче построения группы локальных моделей (локальной реконструкции) хаотических систем, учитывающих особенности динамики систем на конкретных областях фазового пространства.
