Содержание к диссертации
Введение
1 Влияние выбора структуры модели на работоспособность метода нелинейной причинности по Грейнджеру 16
1.1 Введение 16
1.2 Описание метода 18
1.3 Тестирование на эталонных примерах 20
1.4 Выводы 36
2 Оптимальный подбор параметров прогностической модели в методе нелинейной причинности по Грейнджеру в приложении к сигналам, характеризуемым хорошо выраженными временными масштабами 39
2.1 Введение 39
2.2 Методика исследования работоспособности метода 42
2.3 Численный эксперимент 46
2.4 Выводы 61
3 Исследование эффективности метода нелинейной причин ности по Грейнджеру в случае частичной фазовой синхро низации 65
3.1 Введение 65
3.2 Методика исследования работоспособности метода 68
3.3 Обсуждение результатов з
3.4 Выводы 77
Приложение метода причинности по Грейнджеру к исследова нию изменения архитектуры связей в ЭЭГ у детей, больных ДЦП 80
Заключение Литература
- Описание метода
- Тестирование на эталонных примерах
- Методика исследования работоспособности метода
- Методика исследования работоспособности метода
Описание метода
Простейшая известная эталонная система — логистическое отображение. Она одномерна, имеет один управляющий параметр, квадратичную нелинейность и при этом может демонстрировать сложное поведение [41]. Однако проверка работоспособности метода причинности по Грейнджеру с моделями вида (1.1, 1.2) на связанных логистических отображениях почти бессмысленна: в такой ситуации совместная модель с полиномом второго и любого большего порядка будет точно аппроксимировать оператор эволюции эталонной системы и значения коэффициентов, заложенные в неё при генерации, будут воспроизведены с точностью, определяемою исключительно точностью и вычислений и записи данных. При этом показатель улучшения прогноза будет равен 1, а колебательный режим наблюдаемого временного ряда будет полностью воспроизведён, поскольку оператор эволюции окажется идентичен. Поскольку в данной работе ставится цель проверить чувствительность и специфичность метода в реалистичном случае, когда оператор эволюции изучаемых объектов неизвестен и почти наверняка не может быть записан в виде отображения последования с полиномиальною функцией, был рассмотрен ряд более сложных эталонных связанных систем: связанные отображения окружности, где нелинейная функция имеет вид синусоиды, связанные отображения Икеды и Заславского, для которых одна из переменных считается недоступною измерению (в отображении Заславского нелинейные функции разрывны), а также связанные системы Лоренца.
Одним из важных вопросов является определение наличия и величины запаздывания в связи. Ряд подходов к этому описывается, например, в [42-44]. Поскольку поиск запаздывания в связи представляет отдельную сложную проблему, требующую своих специализированных подходов, далее рассматривалась только ситуация, когда системы были связаны без запаздывания, т. е. в формуле (1.2) в = 0.
Степень полиномиальной функции Р варьировалась от 1 до 6, размерность индивидуальной модели Ds изменялась от 1 до 4, размерность добавки Da — от 1 до 2. Для оценки значимости использовались ансамбли из 100 рядов суррогатных данных и оценивалась 95%-ая квантиль. Связанные отображения окружности
В качестве объекта исследования рассматривались два однонаправлен-но связанные уравнения отображения окружности (1.5). Связь вносилась в виде ksinyn, т.к. переменная в отображении окружности имеет смысл фазы колебаний. Коэффициент связи к варьировался в пределах от 0.002 до 0.12 с шагом 0.002. В каждое отображение добавлялся нормально распределённый динамический шум с дисперсией, равной 0.001. Численным решением получались временные ряд длиною в 4096 точек, переходной процесс предварительно отсекался. Параметры для обоих отображений выбирались таким образом, чтобы при нулевой связи и отсутствии шума они соответствовали хаотическому поведению: Ах = 0.001, Ау = 0, кх = 3.98, ку = 3.88.
В состав отображения окружности входит непрерывная неполиномиальная функция sin(irn). Поскольку она может быть разложена в бесконечный степенной ряд, можно ожидать, что результат работы метода нелинейной причинности по Грейнджеру будет зависеть от степени полиномиальной функции, используемой в модели.
На графиках рис. 1.1 представлены результаты применения метода причинности по Грейнджеру — значения показателя улучшения прогноза в зависимости от уровня связи к. В качестве аппроксимирующих функций использовались полиномы различного порядка от 1 до 6, размерность совместной модели равнялась 2 (Ds = 1, Da = 1)- Видно, что при использовании в качестве аппроксимирующей функции полиномов первого и второго порядков серая и черная линия на графике зависимости Р1{к) (определение наличия связи в верном и неверном направлении) принимают приблизительно одинаковые значения и лежат выше пунктирной линии — 95% суррогатного уровня, это говорит о том, что метод не может различить связь в правильную и неправильную сторону. Использование полиномов более высоких порядков позволяет диагностировать направленную связь в верном направлении, т.к. значения PI, полученные при этом, возрастают с ростом коэффициента связи к, оказываются значимыми и, более того, стремятся к 1. Это можно объяснить тем, что с увеличением степени полиномиальной функции происходит все более точная аппроксимация синусоидальных нелинейностей, включая нелинейность в связи.
Тестирование на эталонных примерах
Использовались 4 набора параметров для системы Рёсслера, при которых старшие ляпуновские показатели ведомой системы принимали значения 0.61, 0.82, 0.13 и 0.124 при нулевом значении коэффициента связи к соответственно. Системы Рёсслера при выбранных параметрах имеют более или менее размытый (в зависимости от величины старшего ляпуновского показателя) пик в спектре на частоте около 0.18 (см. рис. 2.2 (a)-(d)), по которому сложно было определить характерный период Т ведомой системы. Однако его можно вычислить по автокорреляционной функции (см. рис. 2.2 (e)-(h)) как положение первого локального максимума, для систем с і = 0.06, і = 0.08 и і = 0.10 он равен приблизительно 620 отсчётам (6.2 единиц безразмерного времени), для системы с і = 0.12 — 655 отсчётам. Видно, что с увеличением і степень регулярности колебаний в целом
Автокорреляционные функции (a)-(d), спектры мощности (e)-(f), зависимости коэффициента фазовой синхронизации от силы связи (i)-(l) ведомой системы Рёсслера при различных параметрах и величинах старшего ляпуновского показателя Лі. уменьшается, что соответствует более быстрому спаданию корреляции за характерный период. Зависимости значений (2.3, 2.4) от I при различных т и Лі представлены на рис. 2.3, откуда видно, что при I = Т/2 наблюдается чёткий минимум графика функции для большинства значений т. Аналогичный минимум наблюдается при I = Т, хотя он менее выражен. Согласно критерию (2.3) наилучшие результаты метод нелинейной причинности по Грейнджеру демонстрирует при значениях /, лежащих в интервалах от Т/4 до Т/2 и от Т/2 до ЗТ/4 при всех т. По критерию (2.4), учитывающему значимость, такие значения I также являются удачными, но немного лучшие результаты достигаются при малом (но не единичном) I и т близком к половине ха — A, =0.06
Зависимости величины критериев (2.3) и (2.4) от лага модели (измеряется в характерных периодах) при различных дальностях прогноза — (а) и (Ь) соответственно для двух однонаправленно связанных систем Рёсслера (3.1), построенные при использовании моделей с размерностями Ds = 2 и Da = 1 и при аппроксимации функций /ид полиномами общего вида. Рис. 2.4: Зависимости величины критериев (2.3) — (а) и (2.4) — (Ь) от значений дальности прогноза г и лага / (измеряются в характерных периодах) для двух однонаправленно связанных систем Рёсслера (3.1), построенные при использовании моделей с размерностями Ds = 2 и Da = рактерного периода. Те же выводы можно сделать, рассмотрев двумерные зависимости 5і(т, /) и 5 2(г, /) на рис. 2.4, построенные для случая Лі = 0.1. При этом заметно, что оба критерия указывают на очень низкую эффективность метода при дальности прогноза г = 1, особенно при / Т/4, что согласуется с выводами, полученными в [61]. Низкая работоспособность метода при величинах /, кратных Т/2 скорее всего может объясняться большою корреляцией компонент вектора состояния, вследствие чего они несут недостаточно информации о рассматриваемом сигнале. Эта гипотеза подтверждается тем, что для наборов параметров, соответствующих быстрее спадающей за период колебаний автокорреляционной функции, значения/, кратные Т/2, оказываются не столь плохими, как в случае более медленного спадания автокорреляции.
Графики, представленные на рис. 2.3, позволяют сделать вывод о том, что для всех значений г наиболее сильно зависимость критериев (2.3) и (2.4) от значения / выражена при малых значениях старшего ляпуновского показателя, т.е. чем меньше старший ляпуновский показатель, тем важнее для эффективной работы метода нелинейной причинности по Грейнджеру правильный выбор величин /иг.
Следует отметить, что зависимость 5 2(/) при Лі = 0.06 не совсем похожа на аналогичные зависимости при других значениях Лі и лежит существенно ниже для ряда значений /. Подробный анализ зависимостей Р1{к) для этого случая показывает, что это может быть обусловлено высокою степенью синхронизации ведомой и ведущей подсистем (коэффициент фазовой синхронизации порядка 0.7 для большинства значений к), вследствие чего используемые для определения значимости суррогаты, построенные на основе несвязанных систем, не позволяют определить направление связи: связь в обе стороны детектируется как значимая (т.е. метод причинности по Грейнджеру не проходит тест на специфичность), хотя величина РІ в верную сторону больше, чем в неверную.
Аналогичные представленным на рис. 2.3 результаты были получены при других сочетаниях размерности индивидуальной модели Ds и степени полинома Р, в частности, при Ds = 3, Р = 3 и Ds = 2, Р = 2 и при более детальном переборе значений г (с шагом 10 отсчётов, что соответствует примерно 0.016Т).
Выявление зависимости значений представленных критериев от / и г для различных эталонных систем
Общность сделанных выводов подтверждает численный эксперимент с однонаправленно связанными уравнениями двух генераторов Кияшко 52 Характерный период ведомой системы равен примерно 611 точкам (6.11 единиц безразмерного времени). Значения коэффициента связи были ограничены 0.038. Старший ляпуновский показатель для ведомой подсистемы в отсутствие связи составляет Лі = 0.059, что меньше, чем для системы Рёсслера.
Из рис. 2.5 (а), (Ь) видно, что ранее сформулированные выводы подтверждаются. Во-первых, заметны чёткие минимумы зависимостей S\(l) для /, близких к Т/2 и Т. Во-вторых, для / Т/4 работоспособность метода при единичной г существенно ниже, чем при других. В-третьих, кривые S\(l), построенные для не единичных г, пересекаются примерно в одной точке при / немного более Т/4. Значения критерия (2.3) малы в сравнении с 1, поэтому важным также является анализ результатов критерия (2.4), учитывающего значимость. Кривые на графике 5 2(/) имеют менее выраженные минимумы при / = Т/2 и / = Т, чем в случае предыдущей системы, при этом заметно, что метод в целом неплохо работает для любых /иг.
Аналогичные результаты были получены с использованием модели с размерностью Ds = 3 и полиномом степени Р = 2. Полученные результаты подтверждают сделанный ранее вывод, что при наличии одного выраженного характерного масштаба значения / близкие к Т/2 и Т не следует использовать при определении связанности методом причинности по Грейнджеру. 1.0
Зависимости величины критериев (2.3) и (2.4) от лага модели (измеряется в характерных периодах) при различных дальностях прогноза — (а) и (Ь) соответственно для однонаправленно связанных уравнений генераторов Кияшко-Пиковского-Рабиновича (3.2), построенные при использовании моделей с размерностями Ds = 2 и Da = 1 и при аппроксимации функций / и д полиномами общего вида; (с) — спектр мощности ведомой системы, (d) — автокорреляционная функция для ведомой системы, (е) — зависимость коэффициента фазовой синхронизации ведущей и ведомой систем ху от коэффициента связи к. Перейдем к рассмотрению систем, обладающих большим уровнем нелинейности (старший ляпуновский показатель которых варьируется в диапазон от 0.1 до 0.2). Одним из примеров таких систем являются связанные линейной однонаправленной связью уравнения генераторов Анищенко-Астахова [66]:
Методика исследования работоспособности метода
При этом значимые результаты были достигнуты при использовании в работе метода достаточно простых аппроксимирующих функций — полиномов третьей степени размерности два.
Из общих соображений известно, что метод причинности по Грейндже-ру может определять связь в заведомо ложном направлении как существующую и значимую при любой частоте выборки [60]. Однако этот факт не ставит под сомнение выводы данной главы, поскольку рассматривался случай конечной длины наблюдаемых временных рядов с относительно малым числом колебаний — порядка нескольких десятков - сотни, так как такие ряды широко распространены в прикладных задачах, например, в нейрофизиологии. В такой ситуации ожидать определение связи в заведомо неверную сторону как незначимой вполне возможно.
В данной работе рассматривались только однонаправленно связанные системы. Однако продемонстрированая возможность различения направления связи может косвенно свидетельствовать о том, что при двунаправленной связи или в отсутствии оной метод будет способен выявить её наличие или отсутствие даже в режимах, близких к фазовой синхронизации. Этот вопрос, несомненно, нуждается в дополнительном и более тщательном исследовании.
Материалы главы опубликованы в работах [87,88]. Приложение метода причинности по Грейндже-ру к исследованию изменения архитектуры связей в ЭЭГ у детей, больных ДЦП
Метод нелинейной причинности по Грейнджеру активно применяется для поиска связанности между объектами различной природы в физиологии и медицине [14-16]. В данном приложении показаны результаты применения метода для поиска направленной связи между отведениями поверхностной электроэнцефалограммы головного мозга, снятой с детей, страдающих детским церебральным параличём. Детский церебральный паралич представляет собою распространённое нейродегенеративное заболевание и, как правило, является результатом травмы при рождении или в раннем возрасте. Имеется несколько различных форм ДЦП, существенно различающихся по генезису и симптоматике [89]. Общим для всех видов является большая степень уникальности каждого конкретного пациента.
Лечение и реабилитация при ДЦП являются, как правило, симптоматическими: при помощи лекарственной и физиотерапии, лечебной физкультуры и других методов стараются развить у ребёнка компенсаторные механизмы в мозге, позволяющие за счёт активации непоражённых областей частично компенсировать невозможность выполнения поражёнными областями своих прямых обязанностей [90]. При этом часто ДЦП сопровождается другими расстройствами центральной нервной системы такими, как Рис. 4.1: Условная схема расположения электродов поверхностной ЭЭГ. эпилепсия [91]. Лечение носит длительный характер и, фактически, представляет собою адаптацию пациентов к жизни, включая различные формы специализированного обучения [92]. Экспериментальные данные Временные ряды электроэнцефалограммы были предоставлены доктором Клементиной ван Райн из Дондерс института университета города Неймеген (Radboud Univerversiteit Nijmegen), Нидерланды. Данные представляют собой 32-х канальную электроэнцефалограмму (расположение соответствующих электродов показано на рис. 4.1) с частотой дискретизации 1000 Гц. Временные ряды имеют длину 16384 точки. Электроэнцефалограмма снималась у детей 3-8 лет, к которым применялось как медикаментозное, так и процедурное лечение. Измерения проводились как до, так и после лечения, в двух состояниях: с открытыми и с закрытыми глазами. Рассматривался также тестовый набор данных, полученный от здорового взрослого человека.
В работе рассматривались следующие отведения электроэнцефало 82 граммы: F3, СЗ, С4, F4, поскольку они соответствуют сомато-сенсорной и моторной областям коры головного мозга, играющим большую роль в нарушениях при ДЦП. Уникальность представленных данных заключалась в том, что у всех детей поражена была только одна сторона мозга, в результате чего развилась асимметрия возможностей рук: в то время как одна конечность, контролируемая непоражённым полушарием, развивалась и действовала нормально, вторая оказалась слабо задействована. Обусловленная этим асимметрия развития конечностей может, как спонтанно, так и в результате терапии, приводить в таком случае к изменению ролей отдельных отделов мозга. В частности, здоровое полушарие может взять на себя полностью или частично контроль за движением ипсилатеральной конечности, за которую при нормальном развитии отвечает противоположное полушарие неокор-текса. Также возможно усиление межполушарных взаимодействий, что у больных сопровождается совместными синхронными движениями поражённой и непоражённой конечностей. Поэтому анализ связанности между сигналами различных отделов мозга, в том числе межполушарных взаимодействий, может быть полезен для диагностики и выявления эффективности лечения при данной форме ДЦП.
Временной ряд отведения F3, а также его спектр и автокорреляционная функция представлены на рис. 4.2 (а)-(с). Из графиков видно, что присутствует 50 Гц сетевая наводка и низкочастотный тренд, связанный с дыхательной деятельностью. Аналогичные артефакты были обнаружены и для рядов других отведений. Поэтому для дальнейшего исследования необходимо было провести предварительную обработку. Сетевая наводка была устранена при помощи цифрового режекторного фильтра с прямоугольной характеристикой. Низкочастотный тренд был устранён методом скользящего среднего. Обработанный сигнал, а также его спектр и автокорреляцион
Методика исследования работоспособности метода
Разработанные критерии позволили выработать рекомендации к выбору параметров прогностической модели (/иг), представленной в виде отображения последования с полиномиальными функциями (однако применимость критериев не ограничивается только этим классом моделей), для метода причинности по Грейнджеру в случае поиска направленной связи между системами, обладающими ярко выраженными временными масштабами. В качестве эталонных тестовых систем рассматривались связанные однонаправленной связью системы Рёсслера, генераторы Анищенко-Астахова, Кияшко-Пиковского-Рабиновича, генераторы с 1.5 степенями свободы. Параметры осцилляторов подбирались таким образом, чтобы получить хаотические режимы. Было показано, что стоит соблюдать баланс между выбором значений /иг: при малых значениях / удачным оказывается выбор г порядка половины характерного периода системы; в случае же малых г оптимальным оказывается выбор / между четвертью и одной третью характерного периода системы.
Было проведено исследование зависимости работоспособности метода причинности по Грейнджеру от значения старшего ляпуновского показателя ведомой системы. Для связанных однонаправленной связью систем Рёсслера рассматривались 4 набора параметров, при котором старший ляпу-новский показатель системы принимал значения 0.06, 0.08, 0.10, 0.12 соответственно. Было показано, что с увеличением значения старшего ляпуновского показателя зависимость значений критериев от лага модели становится менее выраженной. И даже этом случае критерии позволяют подобрать оптимальные параметры модели, при которых метод причинности по Грейнджеру эффективен. Это было подтверждено на различных эталонных тестовых системах.
В третьей главе диссертации рассматривается важный вопрос работоспособности метода нелинейной причинности по Грейнджеру в случае исследования связанности между системами, находящихся в режиме частичной фазовой синхронизации. В качестве эталонных тестовых систем использовались обладающие ярко выраженным временным масштабам, связанные однонаправленной синхронизующей связью осцилляторы Рёсслера, генераторы Кияшко-Пиковского-Рабиновича. Степень синхронизации систем оценивалась при помощи коэффициента фазовой синхронизации. В результате численного эксперимента было показано, что даже в таких неблагоприятных условиях (вплоть до значения коэффициента фазовой синхронизации 0.95) метод оказывается способен выявить направленную связь при использовании в качестве эмпирической модели отображений последования с полиномиальными функциями. И даже в случае, когда метод утрачивает специфичность, он все равно позволяет определить преимущественное направление связи.
Дополнительно рассматривались различные методы создания суррогатных временных рядов: сохраняющих функцию когерентности сигнала; полученных при помощи случайного задания фаз Фурье образа сигнала; полученных перестановкой частей временного ряда; а также полученных на основе тех же рядов, что и тестировались, но при отсутствии связи. В численном эксперименте с их помощью оценивались доверительные интервалы. Показано, что несмотря на то, что эти суррогаты проверяют различные нулевые гипотезы, они позволяют получить для рассмотренных систем близкие доверительные интервалы, расширяющиеся с ростом значения коэффициента фазовой синхронизации. В «Приложении» показано практическое использование метода причинности по Грейнджеру в приложении к медицинским данным. Было осуществлено исследование изменения направления связей между отведениями электроэнцефалограммы головного мозга детей, страдающих ДЦП. Экспериментальные данные были представлены 32 канальной электроэнцефалограммой с частотой дискретизации 1000 Герц. Данные снимались у детей 3-8 лет. Также рассматривался тестовый набор данных, полученный от взрослого здорового человека.
Результаты, полученные при поиске направленных связей методом причинности по Грейнджеру с использованием полиномиальных моделей, параметры которых подбирались в соответствии с предложениями, изложенными в главе второй, демонстрируют сильную вариативность (рассматривались только значимые на уровне 0.05 результаты, значимость оценивалась с помощью суррогатных временных рядов). Это обусловлено тем, что у пациентов были повреждены различные области коры головного мозга. Тем не менее, можно отметить, что в ряде случаев после лечения у пациентов стала наблюдаться архитектура связей, близкая к архитектуре у здорового испытуемого. Было показано, что в большинстве случаев после лечения появились новые связи. Связи, выявленные при исследовании с открытыми и закрытыми глазами, отличаются.
Суммируя выше сказанное, можно отметить, что основные результаты работы заключаются в следующем: для нелинейных колебательных систем при поиске наличия связи методом причинности по Грейнджеру с использованием в качестве прогностических моделей отображений последования с полиномиальными функциями было показано, что не является обязательным требование, чтобы реконструированная по временным рядам прогностическая модель качественно воспроизводила динамику исследуемого объекта (де 93 монстрировала аттрактор того же типа, что и изучаемая система); разработаны два критерия, позволяющие подобрать параметры прогностической модели в виде отображения последования (лаг и дальность прогноза), один из которых основан на величине средней разницы между значениями показателя улучшения прогноза, полученными при поиске связи в заведомо верном и в заведомо ложном направлениях, по всем допустимым значениям коэффициента связи, а другой — на оценке количества значимых и специфичных результатов; проведено исследование применимости метода нелинейной причинности по Грейнджеру в случае, когда исследуемые объекты находятся в процессе фазовой синхронизации. Показано, что даже при больших (близких к единице) значениях коэффициента фазовой синхронизации между системами, метод позволяет выявить преимущественное направление связи; было показано, что созданные для систем, обладающих ярко выраженными характерными временными масштабами, суррогатные временные ряды, полученные для исследования различных нулевых гипотез, позволяют получить близкие доверительные интервалы, расширяющиеся с ростом степени синхронизованности систем.
В целом, полученные результаты уточняют пределы применимости метода нелинейной причинности по Грейнджеру для определения связанности между системами, обладающими ярко выраженным временным масштабом, что в применении к задаче оценки связанности по экспериментальным временным рядам сложных биологических, радиофизических, климатических систем позволяет рассчитывать на уменьшение числа ошибок в определении связанности как первого (обнаружение ложных связей), так и второго (пропуск действительно существующих связей) рода между их подсистемами. Этого можно добиться, если при использовании метода конструировать эмпирические прогностические модели, тщательно учитывая свойства наблюдаемых сигналов, как это предлагается в данной работе.
