Содержание к диссертации
Введение
1 Синхронизация и фазовая мультистабильность во взаимодействующих бистабильных системах с удвоением периода 15
1.1 Введение 15
1.2 Исследуемая система связанных бистабильных отображений . 17
1.3 Синфазная синхронизация хаоса 20
1.4 Бифуркационные механизмы разрушения полной синфазной синхронизации хаоса 28
1.5 Бифуркационные механизмы формирования мультистабильности в окрестности синфазного подпространства 35
1.6 Полная противофазная синхронизация 38
1.7 Формирование мультистабильности в окрестности антисимметричного подпространства 46
1.8 Выводы 55
2 Управляемая противофазная синхронизация хаоса 58
2.1 Введение 58
2.2 Управляемая противофазная синхронизация хаоса 59
2.3 Бифуркационный механизм потери управляемой противофазной синхронизации хаоса при симметричной дополнительной обратной связи 68
2.4 Влияние асимметрии дополнительной управляющей связи на бифуркационный механизм потери противофазной синхронизации хаоса 75
2.5 Эволюция структуры бассейна притяжения хаотического аттрактора с увеличением асимметрии управляющей связи 87
2.6 Выводы 98
Полная и частичная синхронизация хаоса в цепочке связанных бистабильных систем с удвоением периода 101
3.1 Введение 101
3.2 Полная и обобщенная хаотическая синхронизация в системе трех взаимодействующих кубических отображений 102
3.2.1 Исследуемая система. Виды синхронных режимов и их устойчивость 102
3.2.2 Бифуркационный анализ разрушения полной синхронизации 105
3.2.3 Формирование режимов частичной синхронизации 108
3.3 Режим объединенного хаотического аттрактора 114
3.4 Формирование режимов частичной синхронизации 116
3.5 Вывод 117
Параметрически индуцированная стохастическая синхронизация 122
4.1 Введение 122
4.2 Исследуемая система 124
4.3 Управление динамикой переключений с помощью периодической силы 125
4.4 Шумовое управление динамикой переключений 128
4.5 Выводы 134
Заключение 136
Литература 139
Благодарности 154
- Бифуркационные механизмы формирования мультистабильности в окрестности синфазного подпространства
- Влияние асимметрии дополнительной управляющей связи на бифуркационный механизм потери противофазной синхронизации хаоса
- Исследуемая система. Виды синхронных режимов и их устойчивость
- Управление динамикой переключений с помощью периодической силы
Введение к работе
Синхронизация автоколебаний - одно из фундаментальных нелинейных явлений в естествознании. Исследование синхронизации в ансамблях взаимодействующих систем с периодическим, квазипериодическим и хаотическим поведением на протяжении многих лет является актуальной задачей радиофизики [1]- [7]. Изучение эффектов синхронизации, условий и механизмов их возникновения в базовых моделях нелинейной динамики имеет большое фундаментальное и прикладное значение не только для современной радиофизики, но и многих других областей науки.
В последние десятилетия особенно интенсивно проводились исследования явления синхронизации хаоса и в этом направлении достигнут довольно высокий уровень понимания, существенный вклад в который внесли работы Т. Yamada, Н. Fujisaka [59], А.С. Пиковского [60,66], СП. Кузнецова [62,63], B.C. Афраймовича, Н.Н. Веричева, М.И. Рабиновича [64,98], В.Д. Шалфеева [5], В.Н. Белых, B.C. Анищенко, Т.Е. Вадивасовой [91]- [97], Д.Э. Постнова [18]-[21], М.А. Сафоновой, А.С. Дмитриева, СО. Старкова, Б.П. Безручко, Е.П. Селезнева, В.И. Пономаренко, Ю.Л. Майстренко, М. Hasler, Т. Kapitaniak, В.И. Некоркина, L.Pecora, Т. Carroll [65], Н. Рулькова [81], П.С. Ланда [7], Ю.И. Неймарка, М. Розенблюма, J. Kurths, Г. Осипова, М. Закса, В.Б. Казанцева. P.Grassberger, P. Ashwin [67,68], E.Ott [42], Y.-C. Lai, С Grebogi [47], J. Alexander, J. Yorke, L. Kocarev.
Согласно наиболее часто встречающейся в литературе [14]- [21] концепции, синхронизация хаоса, имеющий место при взаимодействии идентичных хаотических осцилляторов, состоит в том, что с ростом связи временные ре- ализации соответствующих динамических переменных парциальных систем полностью повторяют друг друга без какого-либо сдвига во времени. Т.е. осцилляторы колеблются «синфазно». В работах [22]- [25] предложено обобщение классических представлений о синхронизации как о захвате или подавлении частот на случай взаимодействия осцилляторов в режиме спирального хаотического аттрактора. Рассматриваются случаи взаимной и вынужденной синхронизации хаоса, в том числе синхронизации хаоса гармонической внешней силой. В [26]- [28] в рамках классического подхода к явлению синхронизации развивается представление о захвате фаз хаотических осцилляторов. Кроме того, в работах некоторых авторов под синхронизацией хаотических автоколебаний понимается возникновение функциональной взаимосвязи между мгновенными состояниями парциальных систем (обобщенная синхронизация) [29]- [31].
Среди различных видов синхронизации взаимодействующих хаотических систем наиболее простой является полная синхронизация хаоса [59], [61], [63], [64], [65]. Она наблюдается в полностью идентичных связанных системах и характеризуется полным совпадением состояний систем во времени. Подобное поведение является довольно типичным и встречается в системах самой различной природы, причем не только в ансамблях с небольшим числом взаимодействующих элементов, но и в пространственно распределенных системах. Например, пространственно однородные хаотические колебания наблюдались в реакции Белоусова - Жаботипского [56]- [58]. Начиная с 1990 года к задачам, связанным с явлением полной синхронизации хаоса, появился повышенный интерес, который был вызван работой Л. Пекора и Т. Керролла [65]. В статье была высказана идея о возможности использования явления полной синхронизации хаоса для создания систем скрытой передачи информации.
Для данного типа синхронизации хаоса были выявлены условия возникновения и типичные бифуркационные механизмы потери синхронизации, обнаружены эффекты «пузырения» аттрактора и «изрешечивания» бассейнов притяжения, сопровождающие процесс потери синхронизации. Для связанных систем с бифуркациями удвоения периода было установлено, что потеря синхронизации хаоса и формирование фазовой мультистабильности происходит в результате последовательности одинаковых бифуркаций на базе одного и того же семейства седловых циклов, расположенных в симметричном подпространстве полного фазового пространства связанных систем [66], [70], [81], [82]. Например, в работе [82] было продемонстрировано, что потеря фазовой синхронизации начинается с седло - узловой бифуркации неустойчивого цикла, встроенного в хаотический аттрактор. Бифуркация основного седлового цикла, встроенного в хаотический аттрактор, приводит к потери грубости и возникновению пузырящегося поведения. В результате возникает специфический режим перемежаемости. В работе [70] показано, что субкритическая бифуркация «вил» седловой точки встроенной в симметричный хаотический аттрактор индуцирует изрешечивающий переход. Явление изрешече-вания бассейна притяжения хаотического аттрактора подробно изучается в работах [70]- [80].
Не смотря на достаточно детальное изучение явлений полной синхронизации хаоса и фазовой мультистабильности в связанных системах с бифуркациями удвоения периода, ряд вопросов остается не исследованным в полной мере. В основном данные явления исследовались во взаимодействующих системах с одним состоянием равновесия.
Однако имеется достаточно важный класс бистабильных систем, обладающих симметрией относительно преобразования координат (/ : х «-» —ж), применительно к которым явление полной синхронизации хаоса и фазовой мультистабильности исследовано значительно хуже. Примерами таких систем является ряд хорошо известных базовых моделей нелинейной динамики - одномерное дискретное кубическое отображение, двумерное дискретное отображение Холмса, осциллятор Дуффинга, генератор Чуа. Подобные би-стабильные системы широко использовались, например, при изучении эф- фекта стохастического резонанса [121,122], при исследовании вынужденной и взаимной синхронизации времен переключений между бистабильными состояниями. В подобных системах существует два симметричных подпространства. Поэтому для таких систем возможны два вида полной синхронизации хаоса, каждому из которых соответствует движение в своем симметричном подпространстве. Движения в первом из них соответствуют режиму полной синфазной синхронизации, а во втором - режиму полной противофазной синхронизации [89]. Более развитой является фазовая мультистабилыюсть.
На сегодняшний день является важным и актуальным исследование эффектов синхронизации в таких взаимодействующих бистабильных системах с удвоением периода. Их поведение является более сложным и разнообразным, по сравнению со связанными системами, имеющими одно состояние равновесия. Системы с подобным поведением интересны не только с фундаментальной, но и с прикладной точки зрения: при разработке новых методов скрытой передачи информации. По сравнению с взаимодействующими системах с одним состоянием равновесия, для связанных бистабильных систем с удвоениями периода плохо изучены вопросы управляемой синфазной и противофазной синхронизации хаоса, задачи реализации того или иного режима синхронизации в зависимости от типа связи.
Известно, что устойчивые и грубые режимы полной синхронизации хаоса во взаимодействующих системах с одним состоянием равновесия могут быть реализованы только при определенных типах связи выше некоторого порогового значения. Часто, независимо от величины коэффициента связи в системе существуют синхронные хаотические движения, которые являются неустойчивыми к несимметричным возмущениям. В этих случаях в системе можно осуществить переход из режима несинхронных хаотических колебаний к режиму синхронизации, используя методы управления хаосом [37]- [45]. Под управлением хаосом обычно понимают целенаправленное воздействие на систему. С его помощью различные непритягивающие предельные множества можно превратить в устойчивые по определенным собственным направлениям.
Не выявлены бифуркационные механизмы формирования симметричных хаотических предельных множеств, соответствующих режимам противофазной синхронизации, и возможные бифуркационные сценарии потери противофазной синхронизации хаоса во взаимодействующих бистабильных системах. Не рассматривались режимы полной и частичной синхронизации в цепочках бистабильных систем с удвоением периода. Не ставилась задача о синхронизации времен переключения между бистабильными состояниями методами управления хаосом.
Сформулированные выше вопросы и проблемы определили цель диссертационной работы, которая заключается в изучении эффектов синхронизации и фазовой мультистабильности во взаимодействующих бистабильных системах с удвоением периода.
Приоритетными задачами являются:
Изучение полной синфазной и полной противофазной синхронизации хаоса в диффузионно связанных кубических отображениях.
Исследование бифуркационных механизмов потери управляемой противофазной синхронизации хаоса.
Изучение полной и частичной синхронизации хаоса в цепочке связанных бистабильных систем с удвоением периода.
Исследование стохастической синхронизации переключений между бистабильными состояниями в связанных осцилляторах Дуффинга при внешнем периодическом и шумовом воздействии с помощью периодической модуляции параметра связи.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы.
В первой главе рассматриваются явления полной синхронизации и фазовой мультистабильности во взаимодействующих одномерных кубических.
Исследование динамики двух диффузионно связанных бистабильных отображений с бифуркациями удвоения периода показало, что их поведение является более сложным и разнообразным, по сравнению с взаимодействующими системами, не обладающими указанной симмерией. В них наблюдаются явления полной синфазной и полной противофазной синхронизации, более развитая фазовая мультистабильность. Здесь имеет место уже не одно, а четыре различных семейства мультистабильных регулярных и хаотических состояний. Два из них формируются в окрестности синфазного, симметричного подпространства, и еще два - в окрестности противофазного подпространства. Последовательности бифуркаций, которые ведут к появлению мультистабильных состояний в окрестности противофазного подпространства, несколько отличаются от бифуркационных сценариев формирования мультистабильности в окрестности синфазного подпространства.
Вторая глава посвящена исследованию возможностей осуществления управляемых переходов к режимам противофазной синхронизации хаоса и выявлению бифуркационных механизмов стабилизации симметричных хаотических множеств в трансверсальных направлениях. С этой целью используется метод управления с помощью дополнительной обратной связи. Рассмотрено несколько способов управляющего воздействия на исходную систему, а именно, однонаправленного и взаимного воздействия между подсистемами. Выявлены существенные различия в бифуркационных механизмах стабилизации синхронных противофазных движений при первом и втором способе управления. Обнаружен новый бифуркационный сценарий потери полной противофазной синхронизации хаоса. В результате проведенных исследований установлено, что в двух диффузионно связанных бистабильных отображениях устойчивый режим полной противофазной синхронизации хаоса можно обеспечить, используя методы управления хаосом, а именно, с помо- щыо дополнительной управляющей связи.
Третья глава посвящена исследованию бифуркационного механизма разрушения режима полной синхронизации хаоса и механизмов образования режимов частичной синхронизации регулярных и хаотических колебаний в кольце из трех кубических отображений с симметричной диффузионной связью.
В ходе исследования было обнаружено, что в кольце из трех кубических отображений в зависимости от величины связи существуют как режимы полной синфазной синхронизации хаоса, при которых колебания во всех трех осцилляторах идентичны, так и режимы частичной синхронизации, когда колебания в двух осцилляторах идентичны друг другу, а в третьем отличаются от первых двух. Исследование бифуркационного механизма разрушения режима полной синхронизации хаоса показало, что потеря трансверсальной устойчивости синхронным хаотическим аттрактором происходит в результате вырожденной бифуркации прорыва, при которой сразу два трансверсальных показателя Ляпунова становятся положительными. Эта бифуркация предваряется серией вырожденных бифуркаций удвоения периода седловых периодических орбит основного семейства, результатом которых является формирование в аттракторе областей локальной трансверсальной неустойчивости, что в свою очередь приводит к негрубости режима хаотической синхронизации.
В главе показывается, что режимы частичной синхронизации хаоса являются одновременно и режимами обобщенной хаотической синхронизации.
В четвертой главе проводятся исследования системы связанных биста-бильные осцилляторов в виде стохастических осцилляторов Дуффинга под внешним периодическим воздействием. Численные исследования системы показали, что при высокочастотной модуляции параметра связи, в системе наблюдается полная синфазная синхронизация процессов переключений между двумя хаотическими аттракторами. Для различной интенсивности шума по- строены области существования режима синхронизации. Результаты исследования показывают что размер области уменьшается с ростом шума и увеличивается с ростом амплитуды и частоты модуляции параметра связи. Для оценки регулярности в поведение связанных систем использовалась функция когерентности.
Основные результаты диссертационной работы сформулированы в заключении.
Материалы диссертации изложены на 154 страницах, содержат 49 рисунков и список цитированной литературы из 150 наименований.
Научная новизна результатов работы заключается в следующем: установлено, что динамика диффузионно связанных кубических отображений в противофазном подпространстве (х = —у) имеет существенные отличия от динамики в синфазном подпространстве: бифуркации удвоения орбит в трансверсалыюм направлении к подпространству {х = —у) происходят раньше, чем бифуркации удвоения орбит в тангенциальном направлении; вследствие этого в диффузионно связанных дискретных бистабильных отображениях устойчивыми могут быть только периодические орбиты, у хаотического предельного множества трансверсальныи ляпуновскии показатель всегда будет больше нуля и режимы собственной противофазной синхронизации хаоса наблюдаться не могут; на плоскости управляющих параметров области устойчивости регулярных синхронных противофазных режимов разделены областями неустойчивости последних; показано, что во взаимодействующих бистабильных системах потеря режима полной синфазной синхронизации хаоса, которому соответствует объединенный синхронный хаотический аттрактор в подпространстве х = у, ведет к появлению режимов полной противофазной синхронизации, что соответствует образованию предельных множеств в антисимметричном подпространстве х = —у; установлено, что в двух диффузионно связанных бистабильных отоб- ражениях устойчивый режим полной противофазной синхронизации хаоса можно обеспечить, используя методы управления хаосом, а именно, с помощью дополнительной управляющей связи; обнаружен новый бифуркационный сценарий потери синхронизации, а именно, показано, что при небольшой асимметрии управляющих воздействий на подсистемы бифуркационный сценарий, в результате которого режим противофазной синхронизации хаоса становится негрубым, существенно отличается от уже известных сценариев; показано, что в кольце из трех кубических отображений режим частичной синхронизации хаоса соответствует режиму обобщенной синхронизации, когда колебания в двух осцилляторах идентичны друг другу, а в третьем связаны с ними через некоторую детерминированную функцию; показано, что параметрическая накачка на элемент связи в двух взаимодействующих осцилляторах Дуффинга иод внешним периодическим воздействием в присутствие шума приводит к взаимной синхронизации процессов переключений между двумя бистабильными хаотическими аттракторами.
Достоверность научных результатов работы подтверждается использованием при численных расчетах отработанных численных методов и стандартных программ, а также их воспроизводимостью. Результаты проведенных экспериментов соответствуют теоретическим предпосылкам и исследованиям, проводимых по смежным работам.
Положения и результаты, выносимые на защиту:
Выход из режима управляемой противофазной синхронизации хаоса происходит по тому же бифуркационному сценарию, что и разрушение синфазной синхронизации в системах с диффузионной связью: через последовательность бифуркаций удвоения периода и субкритической бифуркации вил.
Асимметрия управляющей связи существенным образом меняет сценарий разрушения противофазной синхронизации, который в этом случае происходит через последовательность седло - репеллерной и транскритической бифуркации. При сильной асимметрии связи эта последовательность бифуркаций приводит к явлению изрешечивания бассейна притяжения синхронного хаотического аттрактора.
Научно-практическая значимость результатов. В работе выполнено исследование, относящееся к фундаментальным вопросам современной радиофизики и нелинейной динамики. Научно-практическая значимость состоит в том, что полученные результаты детального описания режимов и бифуркационных переходов в базовых моделях нелинейной динамики представляют интерес в радиофизике и могут найти применение при решении задач, связанных с анализом сложных и практически важных систем и ансамблей хаотических генераторов. Полученные результаты также могут быть использованы при создании радиофизических устройств, в которых используются эффекты синхронизации и методы управления хаотическими колебаниями. Описанные в работе эффекты и новые бифуркационные механизмы имеют методическое значение и могут быть использованы в курсах лекций по теории синхронизации и теории динамического хаоса.
Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались на конференции «CHAOS'01» (Саратов, 2001), конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2003), конференции «CHAOS'04» (Саратов, 2004), конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2005), а также на научных семинарах лаборатории нелинейной динамики СГУ.
Исследования, проведенные в ходе выполнения диссертационной работы были частично поддержаны грантами РФФИ 00-02-17512-а и CRDF REC-006.
Материалы диссертационной работы обсуждались на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ. По теме диссертации опубликовано 8 работ (4 статей и 4 тезисов докладов).
Бифуркационные механизмы формирования мультистабильности в окрестности синфазного подпространства
Сравнивая (1.6) и (1.7) видно, что тангенциальный и трансверсальный показатель Ляпунова связаны выражением: и отсюда видно, что для малой положительной связи (0 7 0-5) трансверсальный Ляпуновский показатель значительно меньше, чем тангенциальный показатель Ляпунова. Следовательно, любое периодическое движение в симметричном подпространстве устойчиво в трансверсальном направлении. Хаотические колебания в симметричном подпространстве также будут устойчивы, но при значениях связи выше некоторого порогового значения.
Рассмотрим теперь бифуркации синфазных синхронных режимов системы (1.1) в зависимости от параметров а и 7- Как отмечалось ранее, соответствующие орбиты в синфазном симметричном подпространстве формируются на базе точек Сої и Со2, которые симметричны друг другу по отношению к замене переменных хп - уп. Это дает возможность ограничиться изучением только одного семейства режимов. Рассмотрим, например, семейство орбит, сформированных в окрестности точки Сої В системе связанных отображений при вариации управляющих параметров наблюдается каскад бифуркаций удвоения периода на базе орбиты. В результате в ее окрестности в синфазном симметричном подпространстве х = у формируется хаотический аттрактор, соответствующий режиму полной синфазной синхронизации хаоса.
На рисунке 1.1 на плоскости управляющих параметров показаны бифуркационные линии IQI, IQ2, ІОЗ, /О4, при пересечении которых синфазные, симметричные орбиты Сої, 2Соі, 4Соі и 8Соі претерпевают бифуркации удвоения периода. В результате данные орбиты становятся седловыми и в их окрестности появляются устойчивые периодические орбиты удвоенного периода, также располагающиеся в симметричном подпространстве х = у. В непосредственной окрестности линии Zo4 происходит переход к хаотическим колебаниям. В закритической области, до линии /QS В симметричном подпространстве существуют многоленточные хаотические аттракторы 2NАоі, для которых наблюдаются бифуркации слияния лент. Выше линии Zo5 существует одноленточный хаотический аттрактор AQI. Напомним, что в синфазном подпространстве х = у существует еще один одноленточный хаотический аттрактор (AQ2). На линии Z06 происходит объединение хаотических множеств, сформированных на базе орбит Сої и Сог с образованием объединенного синхронного хаотического аттрактора. В области существования одноленточного синхронного хаотического аттрактора на плоскости управляющих параметров наблюдаются окна устойчивости синфазных симметричных орбит различных периодов. Расположение периодических орбит Сої, 2Соі и 4Соі представлено на рисунке 1.2 для значений параметров а = 3.65, 7 = 0.15. Симметричное подпространство обозначено на этом рисунке штриховой линией.
Таким образом, в системе (1.1) в зависимости от значений управляющих параметров имеют место различные регулярные и хаотические синфазные синхронные режимы, отвечающие устойчивым периодическим орбитам и хаотическим аттракторам, расположенным в симметричном подпространстве х = у полного фазового пространства связанных системы. Значения параметра а, при которых происходят бифуркации синхронных режимов, полностью совпадают с соответствующими значениями параметра индивидуальной системы. Режим полной синхронизации хаоса наблюдается не при любых значениях коэффициента связи. Устойчивый и грубый режим существует только выше некоторого порогового значения параметра 7- При уменьшении параметра связи происходит потеря режима синхронизации хаоса. Этот процесс происходит довольно сложным образом. Рассмотрим его более детально. Зафиксируем значение параметра а = 3.4 и исследуем поведение системы в зависимости от коэффициента связи 7 в интервале значений от 0 до 0.5.
При значениях коэффициента связи больше 0.15 наблюдается устойчивый и грубый режим синхронизации хаоса. При задании начальных условий в окрестности синфазного, симметричного подпространства фазовые траектории достаточно быстро выходят на хаотический аттрактор AQ\. Разность значений переменных (хп — уп) за небольшое число итераций монотонно затухает до нуля. Малые деформации системы (например, воздействие шума малой интенсивности или введение небольшой расстройки между параметрами) качественно не меняют характер движений и фазовая траектория остается в малой окрестности симметричного подпространства.
В интервале значений 7 от 0.145 до 0.15 продолжает существовать режим синхронизации хаоса. Однако, здесь появляются начальные условия, стартуя с которых изображающая точка вначале уходит от симметричного подпространства, а затем возвращается в его окрестность и притягивается к AQ\. Ниже значения 7 = 0.15 режим синхронизации становится негрубым. При плавном уменьшении коэффициента связи в слабо неидентичных подсистемах или при слабом шумовом воздействии хаотический аттрактор AQI плавно «разбухает», возникает режим перемежаемости. Такой режим называется «пузырящимся» поведением или «пузырением» аттрактора. В отсутствие флуктуации в идентичных подсистемах переходные процессы перемежающейся синхронизации завершаются установлением синхронных хаотических колебаний вплоть до 7 = 0.145.
Влияние асимметрии дополнительной управляющей связи на бифуркационный механизм потери противофазной синхронизации хаоса
Таким образом, после бифуркации «вил» на линии Ij в системе возможны противофазные колебания. Первая бифуркация на линии IQ и наличие встроенного в хаотическое множество репеллера С00 также не вызывает в системе пузырящегося поведения. Оно появляется здесь, также как и в предыдущем случае, после бифуркаций еще нескольких периодических орбит. Таким образом, хотя внутри хаотического аттрактора появляются «дефектные точки», из окрестности которых траектории выбрасываются в сторону от симметричного подпространства, в эксперименте за конечное, хотя и продолжительное время наблюдения ( 107 итераций), подобные всплески не наблюдаются. Пузырящееся поведение появляется в системе уже после того, когда другие рассмотренные в работе орбиты 2NCoi потеряли устойчивость в нормальном к симметричному подпространству направлении. Размеры образованного при введении шума малой интенсивности пузырящегося аттрактора определяются расположением точек седловой орбиты 2CQI, которые расположены на его границе. Это свидетельствует о том, что орбита 2CQI И ее многообразия играют существенную роль в формировании пузырящегося аттрактора. Дальнейшее уменьшение связи усиливает пузырение аттрактора, что проявляется в учащении всплесков во временной реализации хп — уп и увеличении их «амплитуды». Последнее объясняется тем, что при уменьшении связи точки орбиты 2CQI расходятся от симметричного подпространства. Учащение выбросов, по-видимому, связано с увеличением числа «дефектных точек» в аттракторе Лої, что означает превращение в репеллеры все большего числа встроенных периодических седловых орбит и уширение «клювов», опирающихся на эти орбиты, по которым траектория покидает симметричное подпространство.
На рис. 1.5 построена зависимость «толщины» хаотического аттрактора (то есть max:rn — уп\) от коэффициента связи при значении параметра а = 3.4. Поведение системы исследовалось на очень длительном временном интервале ( 107 итераций). Из рисунка видно, что существенное развитие процесса пузырения аттрактора связано с бифуркациями седловых орбит 2Coi — 8Coi.
Таким образом, для связанных идентичных кубических отображений исследован механизм потери полной синфазной синхронизации хаоса с точки зрения бифуркаций седловых циклов. Показано, что при выходе из области синхронизации происходит последовательность мягких бифуркаций определенного семейства седловых циклов 2NCoi, которое формирует «скелет» хаотического аттрактора. Потеря устойчивости симметричного хаотического множества в трансверсалыюм направлении начинается с бифуркации седло-вой точки Сої- Потеря трансверсальной устойчивости у одной седловой периодической орбиты встроенной в хаотический аттрактор, не приводит сразу же к развитому пузырению хаотического аттрактора. Эффект пузырения усиливается после бифуркаций седловых циклов более высокого периода. Бифуркация седлового цикла (2(), расположенного вне симметричного подпространства, после которой он превращается в устойчивый цикл, индуцирует в системе изрешечивающий переход.
Хорошо известно, что для взаимодействующих систем с бифуркациями удвоения периода типичным является не только явление полной синхронизации хаоса, но и явление фазовой мультистабильности. Для взаимодействующих систем с одним состоянием равновесия были выявлены бифуркационные механизмы потери полной синхронизации хаоса и формирования мультистабильности, установлено, что в основе этих двух процессов лежит один и тот же бифуркационный механизм. Для взаимодействующих бистабильных систем с бифуркациями удвоения периода наблюдается большее разнообразие эффектов. Здесь помимо полной синфазной синхронизации хаоса, могут существовать режимы полной противофазной синхронизации хаоса. Формирование фазовой мультистабильности происходит не только в окрестности синфазного, симметричного подпространства, но и в окрестности противофазного, симметричного подпространства. Формирование мультистабильных состояний в окрестности синфазного подпространства происходит таким же образом, как и во взаимодействующих системах с одним состоянием равновесия. Поэтому мы не будем здесь останавливаться на детальном описании формирования мультистабильности. Ограничимся кратким представлением бифуркационного сценария возникновения нескольких устойчивых периодических орбит, который схематично показан на рис. 1.6.
При значениях коэффициента связи правее бифуркационной линии її на плоскости управляющих параметров на рис. 1.1, в симметричном подпространстве системы наблюдаются либо устойчивые периодические орбиты ниже линии Z04), либо хаотические аттракторы (выше линии )- Кроме того, в синфазном подпространстве имеются седловые периодические орбиты, на базе которых при уменьшении коэффициента связи в результате последовательности бифуркаций и появляются различные мультистабильные состояния. На рис. 1.6а изображен случай, когда в системе наблюдается устойчивый цикл периода 4 (4Coi) и седловые циклы периода один и два (Сої и 2Соі), лежащие в симметричном подпространстве. С уменьшением 7 ПРИ пересечении линии її второе собственное значение седловой точки Сої выходит за единичную окружность через -1. Орбита Сої становится репеллером и в ее окрестности, вне синфазного подпространства рождается седловой цикл 2С1 (рис. 1.66). При пересечении линии І2 старшее собственное значение данного седлового цикла входит в единичную окружность через +1. В его окрестности мягко рождается пара седловых, симметричных друг другу циклов периода два: 2С[1 и 2СІ1, цикл 2С1 становится устойчивым (рис. 1.4в). Таким образом, в области значений параметров, ограниченной линиями /о25 оз 2 и 1%, в фазовом пространстве системы сосуществуют два устойчивых цикла периода два и четыре. С дальнейшим уменьшением параметра связи, бифуркацию удвоения в трансверсальном направление претерпевает симметричный седловой цикл 2С на линии 1%. В его окрестности вне симметричного подпространства появляется седловой цикл 4С2 (рис. 1.4г). Далее также как и в предыдущем случае происходит субкритическая бифуркация вил, в результате которой он становится устойчивым. Таким образом происходит увеличение числа сосуществующих мультистабильных состояний.
Чем ближе значение параметра а к линии критических значений /о4 тем больше седловых циклов существует в симметричном подпространстве и тем больше мультистабильных состояний возникает на базе каждого из них. В результате при слабой связи становится все больше и больше одновременно сосуществущих регулярных аттракторов. В закритической области значений параметров описанные каскады бифуркаций на базе симметричных седловых циклов приводят не только к появлению новых несинфазных видов колебаний, но и к потери полной синхронизации хаоса.
Исследуемая система. Виды синхронных режимов и их устойчивость
Из сравнения карт динамических режимов на рис. 1.9, 1.11, 1.13 видно, что имеются области значений параметров, где листы ANSI, ANS2 и ANS3 перекрываются. То есть в фазовом пространстве системы одновременно сосуществуют аттракторы различных семейств. Также из сравнения карт режимов видно, что лист ANS3 занимает наименьшую область на плоскости параметров. А лист ANSI, напротив, - наибольшую область. Область муль-тистабильности ограничена нижним краем листа ANSI. Наибольшее число сосуществующих аттракторов наблюдается при малой связи в окрестности точки перехода к хаосу в индивидуальной системе.
Таким образом, в системе связанных идентичных кубических отображений в окрестности антисимметричного подпространства при изменении управляющих параметров системы наблюдается процесс формирования фазовой мультистабилыюсти. В фазовом пространстве системы одновременно сосуществуют различные регулярные и хаотические аттракторы.
Проведено исследование динамики двух диффузионно связанных биста-бильных отображений с бифуркациями удвоения периода. Показано, что их поведение является более сложным и разнообразным, по сравнению с взаимодействующими системами, имеющими одно состояние равновесия. При взаимодействии парциальных бистабильных систем, находящихся как в регулярных, так и хаотических режимах поведения, наблюдаются явления полной синфазной и полной противофазной синхронизации, а также явление фазовой мультистабилыюсти, которое является более развитым, по сравнению с взаимодействующими системами с одним состоянием равновесия. Здесь наблюдается уже не одно, а четыре различных семейства мультистабильных регулярных и хаотических состояний. Два из них формируются в окрестности синфазного, симметричного подпространства, и еще два - в окрестности противофазного подпространства. Последовательности бифуркаций, которые ведут к появлению мультистабильных состояний в окрестности противофазного подпространства, несколько отличаются от бифуркационных сценариев формирования мультистабилыюсти в окрестности синфазного подпространства.
В диффузионно связанных кубических отображениях наблюдаются режимы полной синфазной синхронизации хаоса, которым соответствуют хаотические аттракторы, расположенные в симметричном подпространстве х = у. Потеря синхронизации хаоса обусловлена бифуркациями основного семейства седловых периодических орбит, встроенных в синхронный хаотический аттрактор. Цепочки бифуркаций на базе этих орбит ведут не только к потери полной синфазной синхронизации хаоса, но и к формированию мультистабильных состояний в окрестности синфазного, симметричного подпространства. Во взаимодействующих бистабильных системах потеря режима полной синфазной синхронизации хаоса, которому соответствует объединенный синхронный хаотический аттрактор в подпространстве х = у, ведет к появлению режимов полной противофазной синхронизации, что соответствует образованию предельных множеств в антисимметричном подпространстве х = —у.
Динамика диффузионно связанных кубических отображений в противофазном подпространстве (х = —у) имеет существенные отличия от динамики в синфазном подпространстве: бифуркации удвоения орбит в транс-версальном направлении к подпространству (х — —у) происходят раньше, чем бифуркации удвоения орбит в тангенциальном направлении. На плоскости управляющих параметров области устойчивости регулярных синхронных противофазных режимов разделены областями неустойчивости последних.
Проведен анализ устойчивости синхронных противофазных движений и найдена связь между тангенциальным и трансверсальным показателем Ля -57 пунова. Показано, что в антисимметричном подпространстве трансверсально устойчивыми могут быть только периодические орбиты. У хаотического предельного множества трансверсальный ляпуновский показатель всегда будет больше нуля. Поэтому в диффузионно связанных дискретных бистабильных отображениях режимы собственной противофазной синхронизации хаоса наблюдаться не могут.
Управление динамикой переключений с помощью периодической силы
Среди методов управления синхронизацией хаоса широко используется однонаправленное воздействие в совокупности с дополнительной обратной связью, при этом одна из подсистем становится управляющей, а вторая - управляемой, так называемая «master - slave system». Для такого взаимодействия между подсистемами впервые было продемонстрировано явление противофазной синхронизации хаоса в работе [89]. Однако, бифуркационный механизм противофазной синхронизации хаоса при таком однонаправленном воздействии до сих пор не исследован. Как будет показано ниже, в этом случае бифуркационный механизм существенно отличается от случая симметричного управляющего воздействия на подсистемы, рассмотренного в предыдущем разделе. Для того чтобы выявить и наглядно проиллюстрировать бифуркационный механизм потери противофазной синхронизации хаоса в однона-правлено взаимодействующих подсистемах, потребовалось проследить за изменениями бифуркационного сценария при плавном увеличении асимметрии управляющей связи между подсистемами: от взаимного, симметричного взаимодействия к однонаправленному воздействию одной системы на другую.
Рассмотрим систему двух взаимодействующих кубических отображений в виде где 5 - параметр асимметрии дополнительной управляющей связи. Здесь также как и в предыдущем разделе будем исследовать процесс потери противофазной управляемой синхронизации хаоса как в случае уменьшения, так и в случае увеличения коэффициента г.
Определим область устойчивости синхронных противофазных хаотических движений для системы (2.6) по параметру г. Устойчивость хаотического предельного множества в нормальном направлении к противофазному симметричному подпространству определяет трансверсальный показатель Ляпунова. Для системы с асимметричным управляющим воздействием (2.6) выражение для трансверсального показателя Ляпунова имеет вид:
На рис. 2.8 построена зависимость трансверсального показателя Ляпунова от параметра г, при фиксированном значении параметра асимметрии связи 5 = 0.9. Значения других параметров системы соответствуют (при г = 0) режиму несинхронного объединенного хаотического аттрактора, а именно, а = 3.8, 7 = 0.04.
Сравнивая область устойчивости с симметричным случаем, можно заключить, что с введением асимметрии связи, область устойчивости (область отрицательных значений ляпуновского трансверсального показателя, у которой граничные точки перехода значений ляпуновского показателя через ноль соответствуют точкам бифуркации прорыва) смещается в сторону более отрицательных значений параметра г и становится шире. В симметричном случае бифуркации прорыва происходят при значениях г равных -0.7475 и -0.2525, а в асимметричном случае (6 = 0.9) при значениях г равных - 0.7915 и -0.2605. При 5 = 0.9 область устойчивости расширилась на Ar = 0.0359.
Исследуем поведение основного семейства седловых периодических орбит, встроенных в синхронный хаотический аттрактор, при выходе из области противофазной синхронизации хаоса, причем как с увеличением, так и с уменьшением параметра г, зафиксировав параметр асимметрии связи д = 0.9. При увеличении параметра г орбиты Сю, 2Сю, 4Сю, 8Сю, не меняя своих координат, претерпевают бифуркации удвоения периода в трансвер-сальном направлении при значениях г = —0.2862454, -0.2774312, -0.2798463, -0.2787813, соответственно.
Также как и в симметричном случае, потеря устойчивости режима хаотической управляемой синхронизации начинается с бифуркации неподвижной точки Сю. При г = —0.2862454 ее второе собственное значение становится равным -1. Происходит бифуркация удвоения периода. В результате Сю превращается в репеллер, и в его окрестности вне антисимметричного подпространства мягко рождается седловая орбита удвоенного периода 2С\0. С увеличением г точки этой орбиты плавно расходятся от антисимметричного подпространства. На рис. 2.9 показана бифуркационная диаграмма на базе орбиты Сю- Теперь в малой окрестности репеллера Сю имеются начальные условия, стартуя с которых фазовые траектории уходят из окрестности противофазного симметричного подпространства в сторону седловой орбиты 2Сю- Седловая орбита 2С0 и ее неустойчивые многообразия ограничивают область вблизи антисимметричного подпространства, которую траектории не могут покинуть. После этой бифуркации в рассматриваемой системе может наблюдаться пузырящееся поведение, индуцированное шумом малой интенсивности. При дальнейшем увеличении параметра г происходят бифуркации удвоения седловых циклов с более высокими периодами 2Сю, 4Сю и 8Сю, встроенных в хаотический аттрактор. Их вторые собственные значения выходят за единичную окружность через -1. В результате они становятся репеллерами и в их окрестностях вне антисимметричного подпространства мягко рождаются седловые циклы удвоенных периодов. С увеличение г точки седловых циклов плавно расходятся от антисимметричного подпространства. Пузырящееся поведение становится более развитым. Однако без внешнего шума, также как в системе с симметричным управляющим воздействием, после переходных процессов наблюдаются синхронные противофазные хаотические колебания. На рис. 2.10 показана бифуркационная диаграмма на базе орбиты периода два 2Сю Далее при г = —0.2605 происходит бифуркация прорыва. За точкой бифуркации, при малой надкритичности наблюдаются режимы перемежаю -79 щейся синхронизации, когда интервалы синхронного поведения чередуются случайным образом с интервалами нарушения синхронизации. С увеличением надкритичности длительность синхронных фаз уменьшается, и в системе наблюдаются несинхронные хаотические колебания. Этому режиму соответствует хаотический аттрактор, включающий в себя синхронное хаотическое множество. Однако при дальнейшем увеличении управляющего параметра хаотический режим сменяется периодическими движениями. При г = —0.2313 происходит седло-узловая бифуркация. В области хаотического аттрактора, в окрестности седлового цикла 4( рождается пара периодических орбит - устойчивый цикл 4Си и седловой цикл 4CS. После этой бифуркации, в системе наблюдается устойчивая орбита периода четыре - цикл АСи.
