Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Бифуркации, сопровождающие монотонную потерю устойчивости равновесия косимметричной динамической системы 28
1 1. Введение 28
1.2. Метод Ляпунова- Шмидта для уравнения с коеимметрией 30
1.2.1. Постановка задачи и уравнения разветвления 30
1.2.2. Случай общего положения 35
1.2.3. Меюд Ляпунова — Шмидіа в случае двумерного ядра 36
1.2.4. Бифуркации общего положения в системах с коеимметрией 39
1.2.5. Случай полного вырождения линейной части уравнения разветвления 43
1.3. Метод центрального многообразия. Случай двукратного нулевого собственного значения 46
1.3.1. Случай двумерной жордановой клетки. Бифуркация усюй-чивых и неустойчивых дуг 48
1.3.2. Случай общего положения: нет локальных бифуркаций 49
1.3.3. Рождение неустойчивой дуги 50
1.3.4. Рождение пары дуг — устойчивой и неустойчивой 51
1.3.5. Случай двумерного ядра: еедловая бифуркация и бифуркация рождения цикла равновесий из «воздуха» 53
1.3.6. Случай двумерного ядра: бифуркация семейства равновесий, сопровождаемая рождением малой неустойчивой дуги 55
1.3.7. Случай двумерного ядра: ответвление малого цикла равновесий от угловой точки семейства равновесий 57
1.4. Меюд центрального многообразия. Случай трехкратного нулевого собсі венного значения 62
1.4.1. Жорданова клетка. Рождение устойчивой дуги, образованной равновесиями разного типа 62
1.4.2. Двумерное ядро. Бифуркации семейств равновесий, сопровождаемые внутренними бифуркациями 67
1.5. Приложение. Распрямление косиммеїричного векторного поля на
плоскости 81
ГЛАВА II. Бифуркация ответвления цикла в п-пара-метрическом семействе динамических систем с косимметрией 84
2.1. Введение 84
2.2. Постановка задачи 84
2.3. Фазовые портреіьі и перестройка 91
2 3.1. Главные семейства 91
2 3 2. Развитие неустойчивой дуги без ответвления цикла 94
2.3.3. Ответвление предельного цикла от равновесия, раеляющего устойчивую и неустойчивые дуги 9G
2.3.4. Ответвление предельного цикла о г равновесия, разделяющего две устойчивые дуги 101
2.4. Заключение , 106
2.5. Приложение А: Косимметрическая версия теоремы о неявной фупкции
Приложение В: Сводка результатов 113
ГЛАВА III. Ответвление предельного цикла от под многообразия равновесий в системе с мультикосимметрией 114
3.1. Метод Ляпунова — Шмидта 114
3.1.1. Постановка задачи. Основные определения и гипотезы 114
3.1.2. Линеаризованное уравнение 117
3.1.3. Уравнение разветвления циклов 119
3.2. Метод центрального многообразия 131
3 2.1. Постановка задачи 131
3.2.2. Бифуркация областей устойчивости 135
3.2.3. Модельные семейства 138
3.2.4. Ответвление предельного цикла без бифуркации областей уеюйчивоети 140
3.2.5. Огвеївление предельного цикла в случае бифуркации обла-сіей устойчивости 141
3.2.6. Случай общего положения: предельный цикл не ответвляег-
ся, и области усюйчиности не бифурцируют 143
ГЛАВА IV. О бифуркациях равновесий при разруше нии косимметрии динамической системы 145
4.1. Постановка задачи и уравнения разветвления 145
4.2. Случай общею положения 151
4.3. Метод Ляпунова — Шмидча в случае двумерного ядра 155
ГЛАВА V. Об устойчивости граничных равновесий в системах с косимметрией 165
5.1. Обращение теоремы о неявной функции для косиммеїрических систем 167
5 2. Критические случаи устойчивости 170
5.2.1. Критический случай трехкратного нулевого собсгвенного значения
5.2.2. Критический случай двукратного нулевого и просгой пары чисго мнимых собственных значений
5.2.3. Критический случай нулевого и нары чисю мнимых собственных значений (все они просты) 174
5.2.4. Уравнение па центральном многообразии, влияние косимметрии на его ряд тейлора
5.2.5. Критерии устойчивости и модельные системы 178
5,2.6. Устойчивость 180
5 2.7. Неустойчивость 184
ГЛАВА VI Устойчивость стационарного вращения правильного вихревого многоугольника 186
6.1. Введение 18С
6.2. Стационарные движения динамических систем с симметрией 192
6.3. Стационарное вращение сисіемьі точечных вихрей 198
6.3.1, Группа симметрии 201
6.3.2. Усюйчивость правильного вихревого n-уголышка 204
6 3 3. Обоснование законности линеаризации для произвольною 205
п>2,п^7
6.3.4 Устойчивость вихревого семиугольника 209
6.4. Заключение 214
6.5. Дополнение А: Циркулянтные и косо-циркулянтные матрицы 216
6.6. Дополнение В: Парадоксы и недоразумения 218
6.7. Дополнение С: Разложение относительного гамильтониана в окрестности стационарного режима 221
6.8. Дополнение D: Координатная форма записи функции Р, заданной выражением (3.48) 232
ГЛАВА VII. О нелинейной устойчивости правильных вихревых многоугольников и многогран ников на сфере 237
7.1. Введение 237
7.2. Уравнения движения сисіемьі точечных вихрей на сфере 241
7.3. Усюйчивость правильного вихревого п-уголышка 242
7 4 Устойчивость правильных вихревых многогранников 248
7.5. Приложение: Полиномы Рп и Qn Таблицы 2 250
Заключение 270
Литература
- Меюд Ляпунова — Шмидіа в случае двумерного ядра
- Ответвление предельного цикла от равновесия, раеляющего устойчивую и неустойчивые дуги
- Постановка задачи. Основные определения и гипотезы
- Метод Ляпунова — Шмидча в случае двумерного ядра
Введение к работе
Актуальность исследования. В последнее время утверждаются новые направления стратегического развития энергетики1 восточной части России на базе освоения и экспорта топливно-энергетических ресурсов, создания межгосударственной трубопроводной и электросетевой инфраструктуры, В Энергетической стратегии РФ поставлена задача «формирования и развития новых крупных центров добычи нефти и газа в первую очередь в восточных районах России...».2 Ведутся работы над государственной программой развития газовой промышленности в Восточной Сибири и на Дальнем Востоке. На разных стадиях проработки и реализации находятся несколько крупномасштабных энергосырьевых и инфраструктурных проектов, ориентированных на рынки топлива и энергии стран Северо-Восточной Азии. Эти проектные инициативы определили новую стратегическую концепцию —. «восточный вектор энергетической политики России».
В русле этой концепции выполнен ряд прогнозных исследований, посвященных в основном развитию нефтегазовой промышленности и электроэнергетики, обладающих мощным экспортным потенциалом (Институт систем энергетики им. Л.А.Мепентьева СО РАН, Институт нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН, ВНИИГаз, Институт «Энергосетьпроект»). В то же время пока отсутствуют согласованные и системные оценки эффектов долгосрочного развития ТЭК Дальнего Востока, обусловленных реализацией крупномасштабных экспортно ориентированных проектов, формированием комплексной инфраструктуры топливо- и энергоснабжения, стимулированием энергосбережения и использования возобновляемых источников энергии, усилением стандартов воздействия на окружающую среду.
К настоящему времени в России создана и достаточно хорошо апробирована научно-методическая база долгосрочного прогнозирования развития ТЭК страны и его региональных подсистем, в основе которой лежит методоло-
1 Термины «топливно-энергетический комплекс» (ТЭК), «энергетика», «энергетический сек
тор», «энергетическое хозяйство», «системы топливо-, энергообеспечения» в диссертаци
онной работе используются как синонимы.
2 Энергетическая стратегия России на период до 2020 года, утвержденная распоряжением
Правительства РФ от 28 августа 2003 года № 1234-р. С. 61.
4 гия системных исследований в энергетике, а также широкий арсенал формальных средств и методических подходов (Институт энергетических исследований РАН, Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, Институт народнохозяйственного прогнозирования РАН и др.). Вместе с тем в отечественных исследованиях перспектив развития энергетических систем пока не нашли достаточного применения универсальные методы и возможности сценарного прогнозирования. В частности, нуждается в уточнении понятийный аппарат, принципы и методы сценарного анализа в энергетике.
Важный инструмент анализа текущего состояния ТЭК региона - его топливно-энергетический баланс (ТЭБ), который является также основой для формирования прогнозных параметров и показателей развития энергетического сектора региона. Статистическая оценка ТЭБ по регионам РФ в отечественной статистике не ведется. Федеральная служба государственной статистики оценивает только национальный ТЭБ, причем для его составления используется методический подход, сформировавшийся ещё в середине прошлого столетия. Он принципиально отличается от общепризнанной в мире методики МЭА/Евростата3 для составления сводных энергетических балансов, что не позволяет получить корректные оценки ряда важнейших показателей, характеризующих функционирование ТЭК региона. В этой связи разработка ТЭБ региона с использованием принципов и методики МЭА/Евростата является актуальной задачей для прогнозирования развития ТЭК региона.
Все вышесказанное предопределило актуальность, постановку цели и задач диссертационного исследования.
Целью исследования является разработка долгосрочного прогноза ТЭК Дальнего Востока с учетом предпосылок и особенностей социально-экономического развития региона.4
В соответствии с целью в диссертационном исследовании поставлены и решены следующие задачи:
3 МЭА (IEA) — Международное энергетическое агентство Организации экономического сотрудничества и развития (ОЭСР), Евростат (Eurostat) - статистическая служба Евросоюза. ' В диссертационной работе под Дальним Востоком подразумевается территория, объединенная в Дальневосточный федеральный округ (ДФО).
5 изучить и обобщить методы прогнозирования энергетического хозяйства региона, сценарного анализа экономических процессов, разработать методику прогнозирования долгосрочного развития ТЭК региона с учетом принципов и подходов сценарного анализа;
исследовать предпосылки, определяющие направления развития ТЭК Дальнего Востока в долгосрочной перспективе с учетом природно-ресурсных, энергопроизводственных, региональных, национальных, международных факторов формирования энергетической динамики;
разработать производственно-экономическую модель перспективного ТЭБ Дальнего Востока для анализа и оценки показателей альтернативных сценариев долгосрочного развития ТЭК Дальнего Востока;
адаптировать методические принципы МЭА/Евростата к статистической оценке современного ТЭБ Дальнего Востока;
определить в терминах разработанной методики сценарного прогнози-; рования основные факторы, условия и приоритеты развития ТЭК Дальнего Востока в долгосрочной перспективе, сформировать на их основе непротиворечивые, экономически приемлемые сценарии развития ТЭК региона на период до 2030 г.;
реализовать программу имитационных экспериментов на производственно-экономической модели ТЭБ Дальнего Востока для получения набора перспективных оценок основных энергетических, экономических и экологических показателей сценариев развития энергетики Дальнего Востока;
- провести сравнительную оценку альтернативных сценариев развития
ТЭК Дальнего Востока по основным целевым показателям, отражающим
приоритеты в энергетической политике региона.
Объект исследования — топливно-энергетический комплекс Дальнего Востока как совокупность взаимосвязанных нефтяной, газовой, угольной отраслей, электро- и теплоэнергетики. .
Предмет исследования - факторы и условия перспективного развития отраслевых систем топливно-энергетического комплекса региона.
Методологическая и информационная основа исследований. Решение исследовательских задач в диссертации основывается на методологии
6 системных исследований в энергетике, сценарном подходе к изучению перспектив развития экономических и энергетических систем, методах прогнозирования и экономико-математического моделирования.
Теория и методология системных энергетических исследований, долгосрочного прогнозирования энергетики, в том числе применительно к уровню территориальных и отраслевых подсистем созданы и развиваются в трудах Л.С.Беляева, А.А.Бесчинского, В.В.Бушуева. Н.И.Воропая, Ю.Д.Кононова, А.Э.Конторовича, М.И.Краевой, Л.Д.Криворуцкого, ААМакарова, НАМанова, А.М.Мастепанова, Л.А.Мелентьева, А.П.Меренкова, А.С.Некрасова, НАПетрова, Б.Г.Санеева, Ю.В.Синяка, Н.И.Суслова, В.Н.Чурашева и других.
Системное рассмотрение вопросов развития ТЭК Дальнего Востока невозможно без учета сложной проблематики социально-экономического развития России, Дальнего Востока, а также входящих в ДФО субъектов Федерации. Большое влияние на научные взгляды автора оказали труды ученых-экономистов А.ГАганбегяна, П.Я.Бакланова, А.Р.Белоусова, А.Г.Гранберга, Я.Корнаи, В.В.Ивантера, ПАМинакира, Н.Н.Михеевой, В.М.Полтеровича, В.В.Новожилова, С.А.Суспицына, В.И.Сыркина, А.С.Шейнгауза, Ю.В.Яременко.
Представления автора об особенностях функционирования и приорите
тах развития ТЭК Дальнего Востока и его отраслевых систем базируются на
работах и взглядах А.К.Витюка, Е.Н.Галичанина, Н.Д.Гамоли, Э.И.Ефремова,
В.И.Иванова, В.Д.Калашникова, А.Г.Коржубаева, П.А.Коровко, В.П.Ларионова,
В.Н.Минакова, А.Ю.Огнева, НА.Петрова, С.В.Подковальникова,
Ю.Ю.Савельевой, И.В.Садардинова, Б.Г.Санеева, А.Д.Соколова, А.П.Сорокина, В.С.Турецкого, АДФилатовой, Ю.В.Щукина и других специалистов.
Информационной базой исследования послужили данные государственной статистики, программные документы органов исполнительной власти субъектов РФ, материалы представительства Президента РФ в ДФО, разработки профильных академических и проектных институтов, материалы энергетических компаний, публикации по проблемам перспективного развития ТЭК Дальнего Востока и возможному энергетическому сотрудничеству со странами СВА.
Основные научные результаты, полученные в диссертационном исследовании, заключаются в следующем:
7 разработана и апробирована методика сценарного прогнозирования развития ТЭК региона;
разработана динамическая производственно-экономическая модель ТЭБ Дальнего Востока для 2002-2030 гг., включая статистическую оценку топливно-энергетического баланса Дальнего Востока в формате МЭА/Евростата для базовых условий 2002 г.;
обоснованы два альтернативных сценария развития ТЭК Дальнего Востока на период до 2030 г.;
получены количественные оценки в рамках двух сценариев развития ТЭК Дальнего Востока, обусловленные сценарными условиями динамики энергопотребления и энергоемкости регионального продукта, энергосбережения, реализации крупномасштабных проектов экспорта энергоресурсов, развития возобновляемых источников энергии, а также минимизации выбросов вредных веществ в секторе электро-, теплоэнергетики региона. Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем: разработана методика сценарного прогнозирования развития ТЭК региона, основанная на согласовании внешних, внутренних, целевых, инструментальных предпосылок и факторов энергетического развития региона;
разработана и верифицирована динамическая производственно-экономическая модель ТЭБ Дальнего Востока для 2002-2030 гг. с реализацией экспериментальных расчетов на ней;
получены количественные оценки перспективных параметров производства и потребления энергии, энергоемкости, энергосбережения и системных эффектов реализации крупномасштабных проектов в ТЭК Дальнего Востока.
Практическая значимость работы. Разработанные методика прогнозирования регионального ТЭК и динамическая ., производственно-экономическая модель ТЭБ региона могут использоваться для исследования стратегических перспектив развития ТЭК федеральных округов, крупных экономических районов, субъектов РФ.
Полученные прикладные результаты могут быть использованы федеральными и региональными органами исполнительной власти, представи-
8 тельством Президента РФ в ДФО при разработке концепции и/или стратегии развития ТЭК Дальнего Востока, формировании региональной энергетической политики.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы использованы в коллективных монографиях и докладах ИЭИ ДВО РАН, при подготовке прикладных научно-исследовательских работ «Анализ современного состояния и разработка концепции развития минерально-сырьевого комплекса Дальневосточного федерального округа на период до 2020 года», «Оценка условий и направлений развития ТЭК Дальнего Востока на период до 2020 года с учетом вариантов реализации экспорта электрической энергии из ОЭС Востока в энергосистему Китая», а также докладывались и обсуждались На международной конференции «Дальний Восток России: плюсы и минусы экономической интеграции» (Хабаровск, 2003), региональной научно-практической конференции «Стратегия развития Дальнего Востока: возможности и перспективы» (Хабаровск, 2003), российско-китайской конференции молодых ученых и аспирантов (Харбин, 2003), на IV-VI семинарах «East Asia Energy Futures/Asian Energy Security Project» (Ванкувер, 2003; Пекин, 2004, 2005), международной конференции «Энергетическая кооперация в Азии: межгосударственная инфраструктура и энергетические рынки» (Иркутск, 2004), «Тихоокеанском энергетическом форуме» (Владивосток, 2005), всероссийской конференции «Энергетика России в XXI веке: развитие, функционирование, управление» (Иркутск, 2005), международной научно-практической конференции «Проблемы комплексного освоения минерального сырья Дальнего Востока» (Хабаровск, 2005), на VI и VIII краевых открытых конференциях-конкурсах работ молодых учёных Хабаровского края (Хабаровск, 2004, 2006).
Основные положения и результаты диссертационного исследования опубликованы в 12 научных работах общим объемом 5,9 печатных листов. В научных журналах и изданиях из списка ВАК опубликованы 3 работы.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений. Основной текст изложен на 132 страницах, включает 37 таблиц, 6 рисунков. Список использованных источников содержит 234 наименования.
Меюд Ляпунова — Шмидіа в случае двумерного ядра
Мы находимся в ситуации косимметричной версии теоремы о неявной функции [80, 88, 152], из коюрой следует, что равновесие в окрестности точки #о при любом фиксированном Л близком к А() образует однопара-мегрическое подмногообразие. Скажем об этом подробнее.
Уравнение равновесий (1.6) локально эквивалентно уравнению (1.12) [80, 88, 152], которое запишем в виде: PiF{e,\) = Q1 Pi = I-P0. (1.27) Действительно, из заданного уравнения (1.С), очевидно, следует (1.27), а умножая (1.G) на Ь(в,Х) с учетом несимметричного тождества (1.2), приходим к равенству (F(M),o)-(w,b(M)) = 0. (1.28)
Вюрой множитель при в = во, А = Ло равен единице, а значит, не может обращаться в нуль вблизи точки (9Q, XQ). Поэтому ранен нулю первый множитель. Значит, и уравнение (1.6) является следствием уравнения (1.27). Отсюда следуег, чю в некоторой окрестности О, точки (#0, А() равновесия уравнения (1.1) образуют однопарамегрическое семейство, задаваемое разложением в ряд Тейлора 1 52 6 = в0 + ащ + 8ТХ + 2T Vo + Т 0 + jTxx + ... (1.29) Его слагаемые задаю і ся (формулами (1.25) при Жц = щ. Других равновесий в окрестности О, уравнение (1.1) не имеет.
Когда применяется метод Ляпунова — Шмидта, связь уравнения равновесий (1.3) с дифференциальным уравнением (1.1) несущественна. Понято, что одно и то же уравнение равновесий соответствует многим дифференциальным уравнениям, например, Мв = F(9,X), где М — обратимый линейный оператор. Более того, с формальной стороны ничего не изменится, если рассматривать оператор, действующий из Я х R не в Я, а в другое банахово пространство. Отсюда ясно, что строение спектрального подпространства здесь не имеет значения (оно начинает играть существенную роль, когда мы переходим к исследованию устойчивости). Как видно, основные вырождения и задаче о структуре множества равновесий связаны с изменением размерности ядра и, сооїветствспно, уравнения разветвлении. В эюм параграфе рассматриваем случай, когда уравнение разветвления двумерно.
Далее мы будем все - таки рассматривать оператор F : Я х R - Я и предполагать, что ь (0) = 1, то есть базис ядра операюра А допускает биорюгоиальный базис ядра сопряженного оператора. Следующее предложение показывает, что это условие "безобидно" - его можно досіиг-нуіь, переходя к эквивалентному уравнению MF(6,\) = 0 с линейным обратимым оператором М, или, что по сути то же самое, переходя к иному, эквивалентному скалярному произведению.
Предложение 1.2 Пусть А : Н - Н — линейный оператор, и dim кегА = 2, dim кегА = 2. Тогда существует обратимый линейный оператор М такой, что у оператора МА точка 0 — собственное значение индекса 1: v{0) = 1.
Доказательство. Пусть { Д 1}, {Фо, Фі} — базисы сооїветствспно в Щ — кегА и Яр - КегА . Возьмем произвольную еисіему векторов {Фо, Фі} биорштопальную к базису { /Л у1}, так что (і/?г,Ф;) = S1..
Введем обозначение: гп{Фо, Фі} — У- Теперь определим оператор В : Н н- Я следующими требованиями: он переводит Щ в Y, а орюто-нальное дополнение Яц1 в - Y1. При этом на Щ он определяется равенствами ВФг = Ф((г = 0,1), а на Щ1 произвольно, лишь бы В (Я, 1) = Y1, и отображение В : Щ1 - Y1 было обратимо.
Теперь ясно, чю оператор М = В -1 обратим и удовлетворяет но-сіавленньїм условиям. Действительно, кег(МА) — кегА = Ьгп{ір, (р1}, a ker{MA) = ker(A M ) = Lin{M 0, М _1Фі} = Лш{Ф0, Фі}. Условие биортогональности выполнено по построению. Предложение 1.2 доказано. Заметим, что это предложение непосредственно обобщается на случай произвольной размерности ядра кегА.
В обычном изложении метода Ляпунова — Шмидта [12, 27j используются дна [іроизвольньїх проектора — на ядро и на образ линейною оператора А. Они определяются соответствующей биорюгональной системой ковекторов для проектора на ядро и биортогональной сисіемой векторов для проекюра на коядро кегА . Из предложения 1.2 следует, чю при надлежащем определении гильбертова сопряженного оператора любую биорюгональную к кегА систему ковекторов можно превратить в базис коядра, добиваясь при этом, чтобы индекс нулевого собственного значения сіал равен единице, а проектор на ядро стал спектральным.
Ответвление предельного цикла от равновесия, раеляющего устойчивую и неустойчивые дуги
Теорема 1.3 Пусть выполнены все условия теоремы 2,1, кроме пера-венства (1.34), которое заменено равенством (1.42). Тогда, в условиях невырожденности Ai O, Ь002ф0, (1-49) в окрестности точки (9Q, АО) имеют место следующие бифуркации семейств равновесий уравнения (1.1) (см. Рис. 2): а) В случае Ді 0 — столкновение пары семейств равновесий с поJерей их гладкости (угловая точка) (Рис. 2(a)); b) Если Ді 0, b О, где Ь = &002«20(b то происходит двусторонняя бифуркация рождения равновесного цикла из изолированного равновесия (Рис. 2(b)); c) При Ді О, Ь 0 возникает бифуркация "вспыхивающего" равновесия (Рис. 2(c)).
Доказательство. В условиях (1-49) форма / невырожденна, то есть 0 Л3 — невырожденная критическая точка функции Р. Тогда, согласно лемме Морса [7, 60], в некоторой окрестности нуля U С R3 существует такая локальная система координат (УІ,У2ІУІ), Ч1 Уг{) = 0 (г = 1,2,3), и уравнение (1.46) принимает вид: Х\У\ + Х2УІ+ЩУІ = (1-50)
При эюм каждый коэффициент нг (г = 1,2,3) принимает одно из двух значений ±1. Заключения теоремы 1.3 получаем, конкретизируя коэффициенты (1.50) в каждом рассматриваемом случае. Не нарушая общности, будем считать, что величина aim ф 0- Действительно, при Ді ф 0 это достигается заменами переменных: і) когда Й200 — 0,ао2о ф 0, то заменой а -н- р; п) если агоо — «020 = 0) т0 аїю = Ді 0, и достаточно замены а — а, /? - а 4- /3.
Уравнение (1.46) умножаем на 4а20О; отбрасываем сіаршие слагаемые и вводим замену переменых: ai = 2ааооа + оцо/3, А = у/Щ/?, = 2v№ (1-51) В результате получаем уравнение семейства равновесий в виде а[ - sign{Ai)(3J + sign{b)5j = 0. (1.52) В случае Ді 0,6 0 уравнение (1.52) принимает вид -/?? = , (1-53) а его решения а1 = ± $? + А2
В случае с) (Д} 0, Ь 0) получаем уравнение "? + /?? = -«5?, (156) которое при Si — 0 имеет единственное решение ОІІ — А — 0 (Рис. 2(с)3) и не имеет решений, когда tfi 0 (Риг, 2(с)1, 2(с)3). Теорема 1.3 доказана.
Дополнительно к условиям 1)-4) раздела п. 1.2.1 сделаем следуюїдие предположения: a) L : (0,Х) И- Ь(в,Х) — гладкая косиммегрин с векторным параметром А Є Rn\ b) спектр о (А) лежит в замыкании левой полуплоскости. Замеїим, что это предположение используется далее лишь при исследовании устойчивости; c) нулевое собственное значение оператора А двукратно (к = 2).
При исследовании локальных бифуркаций уравнения (1.1) будем при держиваться плана, предложенного в лекциях В.И. Арнольда [2, G].
Затем строим в окрестности точки (#о, Ло) сужение этой системы на ее (2 4- п) — мерное центральное многообразие. Полученная сисіема наследует косиммерию (она тривиальна на х- и -подпространствах, а на у-подиросіранствс представляет собой сужение исходной кооиммегрии па инвариантное центральное подмногообразие) и (см. приложение п. 1.5) приводится заменой переменных к виду: х = О, у = Г{х,у,6), (1.58) 6 = 0, 5 = Х-Х0. (1.59)
Здесь х и у — скалярные функции, а 6 — вектор-функция со значениями в Я". Гладкая функция Г : R2+n - R определена в некоторой окрестности точки 0 Rn. Разлагая ее в ряд Тейлора и оібрасьшая несущественные для дальнейших рассмотрений слагаемые выше третьей степени (кроме ао4ї/4), получаем еисіему х = О, у = Ті{хіУіє\ (1.60) 5 = 0. (LCI) Г\(х,у,є) = ах + рх2 + qxy + ry2 + + «зоя3 + Я2і22/ + а\2ху2 + а0зу3 + a y1 + + e\ + є2у + Є-ІХ + є4х2 + єьху + є0у2 + є7г/ (1.62) Здесь є — (єі,...,Єб) R6 — новый малый векторный параметр, компоненты которого выражаются квадратично или линейно через компоненты старого параметра S.
Постановка задачи. Основные определения и гипотезы
Чтобы получить главные семейства векторных полей осталось провести масппабные замены в системах (2.7)-(2.9) и (2.11) с тем, чтобы по возможности уменьшить число независимых параметров. Слухи о том, что масштабирование позволяет уменьшить количество параметров, несколько преувеличены. На самом деле, можно уменьшить лишь число непрерывных параметров. При эюм обычно оказывается достаточным рассмотреть для некоторых из параметров три значения 0, ±1, либо даже два из них. В итоге, избавляясь от одного непрерывного параметра, приходится рассматривать три или две сисіемьі с числом параметров на единицу меньше. А гели удаётся убрать два параметра, то соответственно получится четыре, шесть или девять различных систем.
Модельные системы (2.7)-(2.9) и (2.11) рассматриваются далее в разделах п. 2.3.2-п. 2.3.4. Из них масштабированием получаются главные системы, для которых исследуются бифуркационные диаграммы. Это позволяет затем прийти к результатам относительно исходной системы (2.1).
Фазовые портреты главного семейства общего положения (2.12), кшда коэффициент х = -1(а)их=1 (Ь). Белыми кружками обозначены устойчивые равновесия, а черными — неустойчивые. приводим ее к виду: х = хр, р = рх. (2.12) Параметр к может принимать два значения: к — ±1. Функция I\(x, р) = х2 — 2кр — интеграл сисіемьі (2.12).
Предложение 2.1 Фазовый портрет системы (2.12) имеет вид, изоб-ражеииый соответственно на Рис. 14(a) для случая х = — 1 и на Рис. Ц(Ь) для значения х = 1.
Рисунок Рис.14 описывает ситуацию, когда, по сути, в системе ничего интересного не происходит. Рис. 14(a) и 14(b) различаюіси тем, что граничное равновесие устойчиво на первом из них и неустойчиво на вшром. Фазовые портреты, приведенные на Рис. 14, входят как составные части в более сложные фазовые портреты, возникающие в дальнейшем.
Действительно, если имеет место противоположное неравенство —2 а\ 0, то выполнения (2.15) добиваемся обращением времени и заменой знаков у переменной х и параметра /?. Равновесие системы (2.14), (2.15) с ненулевым р имеет вид: х = -(3, р = є — аф. Оно существует, когда р 0 и является неустойчивым фокусом. Ему соответствует цикл системы (2.5).
Предложение 2.3 Бифуркационная диаграмма и фазовые портреты семейства (2.14), (2.15), отвечающие её внутренним точкам, имеют вид, указанный на Рис. 16.
Перестройки фазовых портретов, отвечающие переходам через нейтральные кривые, усматриваются на Рис. 16(6). Предложение 2.3 описывает запаздывающую бифуркацию ответвления предельного цикла or семейства равновесий, іочнее — от граничной точки, разделяющей устойчивую и неустойчивую дуги. Неустойчивому фокусу на Рис. 16(6) соответствует предельный цикл системы (2.5). Разумеется, обращением времени, получаем систему в ко юрой происходит рождение устойчивого цикла.
Рождение предельною цикла с запаздыванием, то есть от конца развитой неусюичииой дуі и. Бифуркационная диаграмма (а) и фазовые портреты (Ь) главного сомоипва (2.14), (2.15). Изолированное равновесие на фазовом портрете (Ь) 1 являегся фокусом и отвечает предельному циклу системы (2 5).
Прямая на Рис. 16(a) задаєі ся уравнением /3 = є/а\. Кружки на Рис. 16(6) означают равновесия: белые — устойчивые, а черные - неуешйчи-вые. Устойчивый луч семейсгва равновесий р = 0 о г неустойчивого отделяет граничное равновесие (х ,0).
Перейдем теперь к случаю Do 0. Коэффициент а сисіемьі (2.7) считаем равным нулю, что досгигаеіся заменой (2.2). Пусль при эюм величина Ь ф 0. Обращением времени t - —t, если Ь 0, приходим к случаю 6 0. Маоппабная замена х —У Ь\х, р — —Ьр приводит к следующему главному семейству векторных полей:
Метод Ляпунова — Шмидча в случае двумерного ядра
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение в гильбертовом пространстве Я с вещественным параметром А Є R. Здесь F : Н х R -ї Н — аналитический оператор, допускающий зависящую от А мультикосимметрию С : (0,А) - {Ьі{Є,\),Ь2{6,\),...,Ьк{9,\)), где U (j = 1,2,..., ) -векторные поля, определённые в пространстве Н х R. Эю означает, что для всох В Є Я, X Е R и і = 1,2,... ,к справедливо равенство [80, 88] (F(0,A),MM)) = O. (3.2) Предположим, что уравнение (3.1) при некотором Л = Ли имеет равновесие #о F(0OA„) = O. (3.3)
Заметим, ч іо каждый из линейных функционалов Lot = Ьг(9о,\о) (г = 1,..., к), который отождествляется с век іором в соответствии с каноническим изоморфизмом Рисса, принадлежит ядру оператора AQ, сопряжённого к производной Ао = Ffflo, \))- Для гладкой косиммегрии это следует из равенства [80] F (9, \)Lt(e, A) + F(Bt \)L ;{6, A) = О, (3.4) полученного дифференцированием по переменной 8 тождества (3.2). Таким образом, при условии линейной независимости системы {Loi,Ofc} нуль являєі ся собственным значением оператора AQ кратности не ниже к. Примем следующие гипотезы: НІ. Мультикосимметрия С непрерывна. Н2. о — регулярная точка мультикосимметрии С: векторы L = А( О) о) (г — 1,...,) образуют линейно независимую систему. Её линейную оболочку обозначим через YQ. НЗ. Выполнено условие минимальности вырождения: ядро ker Ff} (6Q,\Q) — YQ. Таким образом, размерность ядра ker J (tfojAo) равна к. Н4. Спектр о(Ац) производной AQ = FQ(6Q, XQ) СОСТОИТ ИЗ нейтрального множества (7о(А)), а также устойчивого J-{AQ) и неустойчивого с+(Ло) спектральных множеств, расположенных соогвеютвенно внутри левой и правой полуплоскостей. Нейтральный спектр O-Q(AQ) СОСТОИТ ИЗ fc-кратного нулевого и пары чисто мнимых ігшц, а о 0 простых собственных значений. Н5. Точки 0, -кіщ — полюса оператора AQ, так что они являются собственными значениями как оператора AQ, так и его сопряжённого AQ.
Роль гипотез Н1-НЗ состоит в том, что рассматривается система общего положения в классе динамических систем с мультикосимметрией. К таким системам применима косим метричная версия теоремы о неявной функции [80, 88, 153]. (Правда, в работах [80, 88, 153] рассматривается случай, когда косимметрия не зависит от параметров. Соответствующее добавление сделано ниже, а также в разделе п. 2.2.5 и в рабоїе [120].) Из этой теоремы следует, что при А = А0 уравнение (3.1) имеет к-параметрическое семейство равновесий, включающее равновесие ва. При эюм в окрестности точки 0о нет иных равновесий. Когда параметр А, изменяясь, пересекает значение Ао, семейство равновесий не исчезает, а лишь слегка деформируется [16, 153].
В данной главе исследована бифуркация ответвления цикла ог к-парамеїрического семейства равновесий при колебательной по і ере устойчивости равновесия во. Случай единственной косимметрии рассмотрен в работах [36, 39, 86, 87, 92, 120], где обнаружен, в частности, эффект затягивания этой бифуркации по параметру.
Гипотеза Н4 используется в полной мере лишь при выводе и исследовании уравнения на центральном многообразии [130]. Для применения метода Ляпунова—Шмидта, вместо гипотезы Н4, достаточно принять менее ограничительную гипотезу: Н4. Спектр (т(А[)) представим в виде: &(AQ) = J-(AQ) U СГО(ЛЦ) U а+(А()), причём нейтральный спектр (TQ(AQ) содержит точку нуль, про стую пару чисто мнимых ±г Ц), UQ 0 собственных значений и не со держит точек ±inu)Q, где п = ±2,±3, При этом размерность ядра кег Ао = к.
В частности, эта гипотеза не исключает существование у оператора Ао чисто мнимого непрерывного спектра и нулевого собственного значения кратности тп к.
Далее, ради краткости изложения, принимается гипотеза Н4. Гипотеза Н5 всегда выполняется в случае конечномерного евклидова пространства Н. Будем разыскивать 2л"-периодические решения линейного дифференциального уравнения: Ти = и0и -Аои = 1. (3 5)
Здесь введено новое время г = u}f)t, а штрих означает дифференцирование по г. Вектор-функция / = /(г) считается заданной и непрерывной. Оператор Т действует в пространстве гладких 2тг-псриодических функций.
