Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Каскад с марковскими быстрыми движениями 20
1. Постановка задачи 20
2. Формулировка результатов 22
3. Свойства оператора условного математического ожидания 27
4. Разложение невязок 29
5. Доказательство теоремы 2.1 и дополнений 2.1, 2.2 31
6. Доказательство теоремы 2.3 и дополнения 2.3 33
7. Теорема Крамера с двумя невязками 36
8. Доказательство теоремы Крамера 38
Глава 2. Инвариантные меры на гиперболическом аттракторе 43
1. Динамические системы Перрона-Фробениуса 43
2. Гиперболический атлас, листы и следы 47
3. Слоистые функции и оператор взвешенного сдвига 52
4. Инвариантные меры и вероятностные теоремы на гиперболическом аттракторе 58
5. Гладкая зависимость инвариантной меры от параметра 60
6. Операторы Перрона-Фробениуса 65
Глава 3. Построение сильно инвариантного конуса в пространстве слоистых функций 73
1. Свойства образов листов 73
2. Свойства образов следов 75
3. Перемешивание следов 78
4. Стандартное представление образов следов 81
5. Инвариантный конус в пространстве слоистых функций 84
6. Доказательство теоремы 2.5.3 91
Глава 4. Каскад с быстрыми гиперболическими движениями 97
1. Определение каскада с быстрыми гиперболическими движениями 97
2. Слоистые функции на косых следах 101
3. Асимптотическая теорема 106
4. Доказательство асимптотической теоремы 111
5. Вероятности больших уклонений 121
Глава 5. Свойства оператора взвешенного сдвига 125
1. Свойства образов косых листов 125
2. Свойства образов косых следов 132
3. Простейшие свойства пространства слоистых функций и оператора взвешенного сдвига 137
4. Перемешивание косых следов 143
5. Доказательство теоремы 4.2.5 147
6. Доказательство теоремы 4.5.1 153
Литература 160
- Свойства оператора условного математического ожидания
- Инвариантные меры и вероятностные теоремы на гиперболическом аттракторе
- Инвариантный конус в пространстве слоистых функций
- Простейшие свойства пространства слоистых функций и оператора взвешенного сдвига
Введение к работе
Данная работа посвящена методу усреднения в динамических системах с медленными и перемешивающими быстрыми движениями, в которых быстрые движения образуют либо эргодическую цепь Маркова, либо детерминированный каскад с гиперболическим аттрактором. Ее итоговый результат можно сформулировать одним предложением: доказано существование крамеровских асимптотик для вероятностей больших уклонений от усредненного движения и найдена аналитическая процедура для их вычисления.
Оказалось, что порождаемые такими системами полугруппы и возмущения полугрупп операторов взвешенного сдвига обладают рядом неожиданных и удивительных свойств. Самое важное из этих свойств, позволяющее получать очень сильные вероятностные теоремы, — это существование асимптотического разложения возмущенной полугруппы по степеням малого параметра на отрезках времени, обратно пропорциональных малому параметру. А самое удивительное — это форма указанного асимптотического разложения. В частности, каждый его коэффициент является суммой четырех разнотипных слагаемых, и эти слагаемые нужно находить как решения четырех уравнений совершенно различной природы.
По сути дела, один и тот же результат (крамеровские асимптотики) получен для двух типов систем. В них медленные движения происходят в области евклидова пространства и определяются векторным полем, зависящим от медленной и быстрой переменных. Быстрые же движения в первом случае образуют цепь Маркова на абстрактном вероятностном пространстве (с дискретным временем), а во втором случае — каскад, обладающий гиперболическим перемешивающим аттрактором. Однако не вызывает сомнений, что основной метод доказательства может иметь гораздо более широкий круг применений. В частности, с его помощью уже получены (но не вошли в диссертационную работу) аналогичные результаты для стохастических процессов с быстрыми диффзионными движениями.
Опишем в самых общих чертах, не приводя никаких точных формулировок, основные понятия и идеи этой работы.
Свойства оператора условного математического ожидания
Данная работа посвящена методу усреднения в динамических системах с медленными и перемешивающими быстрыми движениями, в которых быстрые движения образуют либо эргодическую цепь Маркова, либо детерминированный каскад с гиперболическим аттрактором. Ее итоговый результат можно сформулировать одним предложением: доказано существование крамеровских асимптотик для вероятностей больших уклонений от усредненного движения и найдена аналитическая процедура для их вычисления.
Оказалось, что порождаемые такими системами полугруппы и возмущения полугрупп операторов взвешенного сдвига обладают рядом неожиданных и удивительных свойств. Самое важное из этих свойств, позволяющее получать очень сильные вероятностные теоремы, — это существование асимптотического разложения возмущенной полугруппы по степеням малого параметра на отрезках времени, обратно пропорциональных малому параметру. А самое удивительное — это форма указанного асимптотического разложения. В частности, каждый его коэффициент является суммой четырех разнотипных слагаемых, и эти слагаемые нужно находить как решения четырех уравнений совершенно различной природы.
По сути дела, один и тот же результат (крамеровские асимптотики) получен для двух типов систем. В них медленные движения происходят в области евклидова пространства и определяются векторным полем, зависящим от медленной и быстрой переменных. Быстрые же движения в первом случае образуют цепь Маркова на абстрактном вероятностном пространстве (с дискретным временем), а во втором случае — каскад, обладающий гиперболическим перемешивающим аттрактором. Однако не вызывает сомнений, что основной метод доказательства может иметь гораздо более широкий круг применений. В частности, с его помощью уже получены (но не вошли в диссертационную работу) аналогичные результаты для стохастических процессов с быстрыми диффзионными движениями.
Опишем в самых общих чертах, не приводя никаких точных формулировок, основные понятия и идеи этой работы.
Пусть в динамической системе медленные движения происходят со скоростью порядка единицы, а быстрые со скоростью порядка І/є. Сущность метода усреднения состоит в отбрасывании быстрых движений при изучении медленных. Дело в том, что медленное движение часто удается представить в виде суммы быстрых, но малых по амплитуде колебаний, и гладкого усредненного движения, определяющего некоторую динамическую систему на пространстве медленных переменных. Эта динамическая система называется усредненной. В ней отсутствуют быстрые переменные, и ее изучать легче, чем исходную. Обосновать метод усреднения — это значит доказать, что истинное медленное движение в каком-либо смысле мало отличается от усредненного. Обычно вопроса, как построить усредненную систему, не возникает. Как правило, на фазовом пространстве быстрых движений имеется естественная инвариантная мера, а вся процедура усреднения сводится к вычислению интегрального среднего по этой мере от векторного поля, определяющего медленные движения. Однако имеется один важный класс динамических систем, составляющий исключение из этого правила. Это гиперболические системы, на фазовом пространстве которых изначально не задана никакая инвариантная мера, а ее построение является отдельной нетривиальной задачей.
Существуют два основных типа оценок погрешности метода усреднения. В первом случае оценивается просто максимум осциллирующей составляющей медленного движения для всех или большинства начальных условий. При этом длина отрезка времени, на котором рассматриваются траектории, может быть либо фиксированной, либо асимптотически расти вместе с убыванием малого параметра е. По-видимому, первая попытка математически строгого доказательства оценки такого типа была предпринята Фату [69]. Общие идеи, касающиеся дифференциальных уравнений с быстро осциллирующей правой частью, восходят к монографиям Крылова и Боголюбова [50, 51]. Завершенную форму они приобрели в работах Гих-мана [41], Красносельского и Крейна [48].
Затем стали изучать системы с быстрыми и медленными движениями, в которых быстрые движения чаще всего происходили на торе и были условно-периодичны. Первая работа такого рода принадлежит Боголюбову и Зубареву [27]. Впоследствии эти исследования получили бурное развитие благодаря усилиям Митропольского, Самойленко [28, 29, 54], Волосова и Моргунова [40], а также многих других авторов. Выдающиеся результаты для гамильтоновых систем, близких к интегрируемым, были доказаны Колмогоровым [47], Арнольдом [3], а затем уточнены Нехороше-вым [57] и Лошаком [52, 79].
Системы общего вида с резонансами изучали Аносов [1], Касуга [74], Арнольд [4], Нейштадт [55, 56], Бахтин [5, 6, 7], Лошак [68]. Для них типичный результат таков: погрешность метода усреднения на конечном отрезке времени по порядку не превосходит е& //І для всех начальных условий за исключением множества меры ft. Эту меру можно выбирать произвольно, а положительное число S определяется системой, причем для большинства (в некотором метрическом смысле) систем можно взять S = 1/2 [56, 5, 6]. Это утверждение может быть дополнено и уточнено в случае одно- и двухчастотных систем [4, 55, 7, 27]. Например, в одно-частотной системе общего положения погрешность усреднения имеет порядок є1/4 для всех начальных условий, кроме множества меры порядка у/є [7]. Если же частота не обращается в нуль, то погрешность не превосходит є для всех начальных условий [27].
Оценки второго типа носят вероятностный характер. Они применяются к системам, в которых быстрые движения обладают сильными стохастическими свойствами. Оказывается, в этом случае разность между истинным и усредненным движениями не просто мала, но еще удовлетворяет центральной предельной теореме со среднеквадратичным отклонением порядка у/є. А вероятность отклонения порядка є , где 8 1/2, будет экспоненциально малой. Опишем эти результаты более подробно.
Первопроходцами в этой области были Вентцель и Фрейдлин с их основополагающей монографией "Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений" [32]. Они изучали вероятностные характеристики различных типов поведения траекторий в ситуации, когда медленное движение подвергается малой диффузии. Для этого ими был создан универсальный метод функционала действия на пространстве траекторий, который оказался применим к очень широкому кругу задач. Более того, по-видимому все (иных я просто не знаю) опубликованные до сих пор работы о больших уклонениях в принципе усреднения опираются именно на этот метод.
Не вдаваясь в детали, скажем, что он позволяет найти саму усредненную траекторию (как наиболее вероятную), а также, что самое интересное, для любого наперед заданного непрерывного пути вычислить асимптотику вероятности того, что движение будет происходить в малой трубчатой окрестности этого пути. Причем путь не обязательно должен быть фиксирован при стремлении к нулю малого параметра є. Разность между указанным путем и усредненной траекторией (а также размер трубчатой окрестности) можно пронормировать множителем є , где S Є [0,1/2). Иными словами, можно получить асимптотику вероятности любого типа движения в є6 -окрестности усредненного.
Инвариантные меры и вероятностные теоремы на гиперболическом аттракторе
Существование гиперболического топологически перемешивающего аттрактора равносильно существованию гиперболического перемешивающего атласа. Геометрически это утверждение почти очевидно. Действительно, если 21 — гиперболический атлас, то аттрактор получается как пересечение множеств S" (Wa), п N. Наоборот, если Н — гиперболический аттрактор, то для построения гиперболического атласа нужно взять у Н такую малую инвариантную окрестность W, что S(W) содержится строго внутри W, и построить такой набор достаточно мелких карт х:Щ х 5 - W, чтобы S(W) покрывалось областями вида х(Щ х В ), и при этом образы пространств № и R были бы достаточно близки к соответствующим подпространствам Т и Т (где и — какая-нибудь точка аттрактора, лежащая вблизи от х(в ХЩ))- Если аттрактор вдобавок перемешивающий, то в качестве ф можно взять все карты х Є 21, для которых пересечение х(В" хВ)пЯ непусто. Однако строгое изложение этих конструкций было бы, по-видимому, неоправданно громоздко, и мы его опустим. Тем более, что на самом деле нам требуется лишь наличие гиперболического перемешивающего атласа, а сам аттрактор не нужен.
Определение 3. Листом будем называть любое вложенное подмногообразие Г - Wa размерности dim К", которое локально (в окрестности каждой своей ТОЧКИ) изображается в некоторой гиперболической карте х Є 2t в виде графика {(х,?/(х)) х Є U} С BJf х Bg некоторой функции t/(x), которая удовлетворяет неравенству d$/(x)/dx в. Если указанный график изображает все Г, то есть Г = {х{х,у(х)) х t/}, то пару (у(х),х) будем отождествлять с листом Г и писать Г (г/(х),х). Если еще множество U, являющееся областью определения функции у, совпадает с BJ , то лист Г (у, х) назовем стандартным.
Условие, наложенное на производную от у(х), означает, что направление касательного пространства к листу мало отличается от направления неустойчивых подпространств Т. В следующих двух утверждениях доказывается, что отображение S растягивает лист (с коэффициентом растяжения не меньше (а + Ь)-1 в х-направлении), сохраняя ограничение на производную от у(х). Утверждение 1. Если V = (V VJ,) — вектор из (х,у)-пространства, а V = (К К ) — его образ под действием отображения (1), то в условиях (2) для любого п [в,в 1] из неравенства \\Vy\\ rj\\Vx\\ вытекают \\V \\ »7ІІКІІ « ПК И ( + )-41 11- В частности, если \\Vy\\ 6\\VX\\, то Условимся говорить, что лист Г" является подмножеством Sn(T), и писать Г С S"(Г) лишь в том случае, когда существует такое множество G С Г, которое Sn гомеоморфно отображает на Г . Это условие принимается для того, чтобы при возможном самопересечении Sn(r) лист Г не мог "перескочить" с одной ветви S"(Г) на другую. Обозначим через В(хо,г) открытый шар с центром XQ и радиусом г, лежащий в М". Утверждение 2. Пусть задан лист Г (y(x),x)t где х &U = В(хй,г), и для некоторой карты у? Є 21 определена точка {х 0іу 0) = (х )-1 &п Х(жо»у{хо))-Если UJ/QH 5, то однозначно определяется лист Г" ( {х ), ), являющийся подмножеством S"(Г), для которого у (х 0) = ї/d, а і изменяется в области U = В(х 0, г/(а + Ь)п) ПВ . В частности, если r/(a + b)n 12, то лист Г стандартен. Доказательство. Пусть 7г — проектирование произведения Ru х К на первый сомножитель. По предыдущему утверждению отображение a; (x) = 7ro(x )-1oS"ox(x,y(a;)) (3) локально диффеоморфно и растягивает векторы по крайней мере в (а+Ь) п раз. Для любой точки Xі Є V рассмотрим путь х\ = х 0 + t(x — х 0), t Є [0,1]. При малых t для него однозначно восстанавливается прообраз относительно отображения (3) — гладкий путь х(, выходящий из хц. Очевидно, \\xt — хо (о + Ь)пх — х 0. Поэтому на самом деле xt восстанавливается для всех t Є (0,1]. Определим функцию у (х ) формулой В силу предыдущего утверждения dj/ (x )/dx U в. Поэтому график функции у (х ) не выходит за пределы произведения Bg х BJ . Определение 4. Следом будем называть пару (Г, Ф), состоящую из листа Г и гладкой вещественнозначной функции Ф на нем. Скажем, что след финитен, если функция Ф финитна (то есть ее носитель лежит строго внутри Г). Носителем следа назовем носитель Ф. Два финитных следа (Г, Ф) и (ІЛФ ) эквивалентны, если функции Ф и Ф отличны от нуля лишь на пересечении ГПГ, а там они совпадают. След (Г ,Ф ) является сужением следа (Г,Ф) (обозначение (Г Ф ) С (Г,Ф)), если Г1 С Г и функция Ф на Г" совпадает с Ф . След (Г Ф ) является образом следа (Г,Ф) под действием отображения 5 (обозначение (Г",Ф ) = 5(Г,Ф)), если Г = S(T) и Ф = Ф о S. Если Г (у(ж), х) то переменную х можно рассматривать как координату на Г. Поэтому можно считать, что Ф = Ф(х) является функцией с той же областью определения U, что и у у(х). Полезно (но не обязательно) воспринимать Ф как плотность некоторой меры по отношению к риманову объему на Г. В связи с этим мы часто будем называть Ф плотностью. Определение 5. Две формальные линейные комбинации финитных следов 2, с» (ГІ, Ф ) и Ylj dj (Ij Ф ) назовем эквивалентными, если существуют такие глад- кие функции Фу с носителями В Ті П Г-, ЧТО С Фі = Ylj Фу И Cj$j = J2i ij Это определение позволяет расширить понятие следа (Г, Ф) и в качестве листа Г рассматривать не вложенное, а лишь иммерсированное многообразие (то есть позволить ему самопересекаться). Таким может оказаться, например, образ листа Г под действием S". В случае иммерсированного листа Г финитный след (Г,Ф) можно корректно отождествить с некоторой суммой обычных финитных следов, причем последняя определяется с точностью до эквивалентности. В частности, для 5"(Г, Ф) это можно сделать так: найти сумму І(ГІ,Ф») (Г,Ф) с очень мелкими листами ТІ, а затем положить 5П(Г,Ф) 5П(Г,-,Ф ). Договоримся весовой функцией (или просто весом) называть любую гладкую функцию J, определенную на многообразии касательных к \Ущ подпространств размерности k = dimT,JJ. Касательная к Wgj плоскость размерности к общего положения может быть задана в гиперболической карте значениями переменных х, у и р — dy/dx (где р — матрица). Таким образом, при записи в карте вес «7 является функцией от х, j/, р. Сразу отметим, что нас будет интересовать его поведение лишь в области р в. На каждом листе Г вес J определяет функцию, значение которой в каждой точке равно значению J на касательном пространстве к Г в этой точке. Эту функцию тоже будем обозначать J. Произведением весовой функции и следа будем считать след J (Г, Ф) = (Г, ЛФ). Определим отображение SJ множества следов в себя формулой SJ(Ty$) = 5(Г, 7Ф). Если последний след самопересекается, то его нужно отождествить с эквивалентной суммой обычных следов. Поскольку Wgi — риманово многообразие, на каждом касательном к нему подпространстве L размерности к = dimT J индуцируется евклидова структура. Величину, обратную модулю якобиана отображения евклидовых пространств dS : L — dS(L), назовем канонической весовой функцией. Можно сказать, что каноническая весовая функция — это величина, обратная коэффициенту растяжения Л-мерных объемов при отображении S. Если весовая функция J каноническая, след (Г Ф ) = SJ(r ), а Ф — плотность некоторой меры по отношению к риманову объему на листе Г, то тогда Ф автоматически является плотностью соответствующей меры на Г , индуцированной отображением S. Именно это свойство выделяет каноническую весовую функцию среди прочих.
Инвариантный конус в пространстве слоистых функций
Рассмотрим не одно отображение S : W — W, обладающее гиперболическим аттрактором, а целое семейство Sz, зависящее от конечномерного параметра г. Мы всегда будем считать, что все члены семейства обслуживает один и тот же гиперболический перемешивающий атлас Й, и что Sz удовлетворяет определениям 2.1 и 2.2 равномерно по z (то есть при одних и тех же атласах й, 05 и числах а, 6, 0, по). Это условие мало ограничительное, потому что если отображение Szo удовлетворяет этим определениям, то можно добиться, чтобы оно им удовлетворяло и при всех близких значениях z, лишь немного увеличив числа о, Ь. В частности, оно автоматически выполняется, если область изменения z достаточно мала.
Вместо одной весовой функции J тоже пусть будет целое семейство Jz, а вместо одного оператора взвешенного сдвига — семейство Az = JZS . Все операторы Az действуют на одном и том же пространстве слоистых функций РРЯ, которое не зависит от z.
Теорема 3.6 утверждает, что для каждого z существуют слоистая функция hz Є jri,N-2 линеиный функционал vz : fN-2 1 -ft и число Аг, для которых Azhz = еА hz, і/гоЛг= ех uz, vz(hz) = 1, а последовательность е пХ А" сходится к проектору Az = vz(-)hz. Тогда при каждом z определяется Sz -инвариантная мера \iz на W по формуле fw f dfi2 = vz(fhg). Пусть Sz и Jz гладко зависят от z. Спрашивается, будут ли гладко зависеть от параметра hz, vz, \г и цг Сразу скажем, что мы получим положительный ответ на этот вопрос. Перепишем форулу (4.1):
Оказывается, если / Є Cn+2(W) и n N — 3, то этот предел сходится в пространстве С" (z) функций параметра z, и потому цг (/) имеет гладкость не ниже п по z. Однако этот ответ далеко не так очевиден, как представляется с первого взгляда. Казалось бы, если оператор Аг гладко зависит от 2, то теорема о неявной функции позволяет то же самое сказать об hz, Лг и vz. Но все дело в том, что семейство Az, как это ни странно, не дифференцируемо по z в обычном смысле. А если д Є Т, то семейство Агд не дифференцируемо в Тм\
Поясним характер возникающих трудностей на сходном примере. Ситуация примерно такая же, как и с пространствами гладких функций. Если функция двух переменных f(x,y) Є Сп(Ш х Ш), то отсюда вовсе не следует, что соответствующее параметрическое семейство }х функций от одной переменной у (где fx (у) = f(x, у) ) дифференцируемо зависит от і в С" (М). Но это семейство будет дифференцируемо в пространстве СП-1(М), дважды дифференцируемо в Cn_2(R) и т. д. Строго говоря, последнее утверждение тоже неверно, если дифференцировать fx как параметризованную кривую в Cn l (Н.). Оно было бы верным, если бы областью изменения у служило компактное многообразие. А в случае у Є М можно лишь утверждать, что при каждом фиксированном у существует производная от /е(у) по х, и эта производная, рассматриваемая как функция от у, лежит в C"-1(]R).
Ничуть не лучше обстоят дела с семейством слоистых функций fz — Агд. Если д Є Тп, то несложно показать, что функция f z, определяемая равенством f z(T,Ф) = 1Агд(Г,Ф)/с1г, принадлежит jn»+i,«-i что функция /", определяемая равенством /"(Г, Ф) = d?Azg(r )/dz2, принадлежит Р+2 9-2 и т д JJ0 это не означает даже, что семейство Д дифференцируемо в И-1» -1 или дважды дифференцируемо в рр+2л 2. Чтобы его продифференцировать, нужно вначале подставить аргумент (Г, Ф). Поэтому для доказательства гладкой зависимости меры \іг от параметра приходится применять довольно длинный обходной маневр.
Предположим все-таки, что семейство /г Є TV4 непрерывно дифференцируемо по z в Р+ХЛ-І} дважды непрерывно дифференцируемо в +2 -2 и т. д. Хотя на самом деле эти предположения не выполняются, они позволяют отвлечься от специфики семейств слоистых функций и получить нужные результаты в абстрактном виде. А затем можно отдельно проверить, что все абстрактные рассуждения и формулировки остаются в силе и для семейств слоистых функций, формально удовлетворяющих более слабым предположениям. Перейдем к определениям. Фильтрованным банаховым пространством назовем такую конечную последовательность вложенных банаховых пространств Т = Та Э Fa+1 Э Э Ть, для которой выполнено условие монотонности норм: при каждом вложении норма вектора не возрастает. Подразумевается, что нормы в этих пространствах определены независимо и не обязательно получаются друг из друга при помощи индуцирования. Для краткости фильтрованное банахово пространство будем обозначать одной буквой Т. Если вектор v 7у, то будем говорить, что он имеет порядок г, а его норму в этом пространстве обозначать \\v\\r. Типичными примерами фильтрованных банаховых пространств являются совокупность пространств конечно-гладких функций на многообразии W: С = C(W) Э С1 (W) Э Э Cn(W), а также, что нам более интересно, совокупность пространств слоистых функций Тп,х Э Тп 1,2 Э Э Тх п х. Фильтрованное пространство Т порождает сопряженное фильтрованное банахово пространство Т = {?ь) Э Э (Та) . Если линейный функционал v {Fr) , то его норму в этом пространстве обозначим i/r. Фильтрованный конус в пространстве Т = Та Э D Ть — это набор конусов К — АС" Э Если заданы два фильтрованных пространства Т\ = Т Э D Т\ и Ті = 2 Э D Т\, то линейным отображением порядка г О из Т\ в назовем такое отображение А, которое линейно и непрерывно переводит каждое пространство Тк т в J-:к (при a k k + r b). Множество всех линейных отображений А: Т\ —V Ті порядка г обозначим С{Т\,Тъ). В случае Т\ — Тъ — Т будем называть А Є СГ{Т,Т) линейным оператором порядка г. Определим норму 1г на Ст {Тх,? ) как Каждое линейное отображение А порядка г можно рассматривать и как линейное отображение порядка г + к (при г + к Ь — а). Поэтому последовательность ( 1, 2) = ь-(. 1 ).7 ) D D (/1, 2) тоже образует фильтрованное банахово пространство. Правда, здесь требуется оговорка. Дело в том, что ненулевое отображение А Ст{Т\,Тг) может оказаться нулевым в Cr+k(T\,Ti). Это произойдет в том случае, если А переводит пространство Т +т+к в нуль, а Т\ г не в нуль. Поэтому, вообще говоря, вложение С ( ь г) в r+ ( 1, 2) не инъективно. Впрочем, для нас это не играет никакой роли. Пусть z — конечномерный параметр, изменяющийся в некоторой области М стандартного евклидова пространства. Определение 1. Кваэидифференцируемым (кваэигладким) семейством векторов порядка г назовем такое параметрическое семейство vz Є Тт, которое к раз непрерывно дифференцируемо в каждом пространстве Тг к (конечно, если последнее определено). Аналогично, кваэидифференцируемым (квазигладким) семейством линейных функционалов порядка г назовем такое параметрическое семейство uz Є {Tr) , которое к раз непрерывно дифференцируемо в каждом пространстве ( ",+ ) (если последнее определено). Семейство Аг Є СТ{Тх г) назовем кваэидифференцируемым, если оно к раз непрерывно дифференцируемо в каждом пространстве Ст+к ( 1, 2 ).
Простейшие свойства пространства слоистых функций и оператора взвешенного сдвига
В этом параграфе мы детально исследуем перемешивающие свойства отображения S, для которого выполняется генеральное соглашение из 2.2.
Гомотопиеи стандартных листов назовем любую деформацию стандартных листов rt (y ,x)i зависящую от одномерного параметра t [0,1]. Если Г — гомо-топия, то листы Г0 и Гі назовем гомотопными. Очевидно, гомотопность стандартных листов Го и Гі равносильна тому, что они отвечают одной и той же карте х» то есть Го (уо,х) и Гі {уі,х}- Параметр t одномерен, поэтому если Г - v, то вектор v тоже одномерен. Если листы Г0 и Гі соединяются гомотопиеи Г4 - V, то этот факт будем записывать так: (Г0,Гі) - v.
Лист G С W% назовем стандартным листом ранга п, если лист Sn(G) (у,х) стандартен и у(Щ) С Щ. Заметим, что из-за последнего условия понятие стандартного листа нулевого ранга оказывается более узким по сравнению с просто стандартным листом. Два стандартных листа Go и G% ранга п назовем сопряженными, если множества Sn(G0) и Sn(Gi) являются гомотопными стандартными листами. Утверждение 1. Если множество G = {х{х,у(х)) \ х Є U С Щ} является стандартным листом ранга п, то диаметр U не превосходит 12(а + 6)п. Доказательство. Пусть Sn(G) (у1,Xі)- Возьмем точку XQ Є U, для которой выполняется равенство Sn о х(хо, у(хо)) = х" (0, у (0)). Тогда в силу утверждения 2.2.2 все U содержится в окрестности х0 радиуса 6(а + b)n. О Для стандартного листа Г (у,х) определим множество Г = {х(х у(х)) I х г}. Аналогично, если G — стандартный лист ранга п и Sn(G) = Г (у,х) то через G обозначим такое подмножество G, что Sn(G ) = Г . Утверждение 2. Если п так велико, что (а + Ь) п 7, то для любого стандартного листа Г и точки w Є Г 5 найдется такой стандартный лист G ранга п, для которого w Є G и G С Г. Доказательство. Найдем карту х Є 21, для которой Sn(w) 6 х (В" хВ ). В силу утверждения 2.2.2 существует такой стандартный лист Г (у , ), что Sn{w) Є Г С 5"(Г). Тогда автоматически S"(w) Є Г (1) и у (В?) С В$. Осталось положить G = S n (Г) П Г. Определение 1. Пусть G — некоторое подмножество листа Г. Стандартным покрытием ранга п множества G назовем такой набор Q = {G\,..., Gm } стандартных листов ранга п, что каждая точка из G лежит в некотором G , а каждое Gi лежит в Г. По утверждению 2 при всех достаточно больших п для любого стандартного листа Г существует стандартное покрытие ранга п множества Г 5). Основные комбинаторно-геометрические аспекты перемешивания следов описываются в следующей теореме. . Для всякого г 0 найдутся такие большие числа Сг, Мг, пг, что для любых двух стандартных листов Го, 1\ и произвольного натурального п пг а) существует такое стандартное покрытие Q = {Gi,...,Gm} ранга п мно жества IQ , что для каждого G,- найдется сопряженный ему стандартный лист G ранга п, лежащий в Г[ , причем во-первых S"(G0,Sn(G)} r(l-b)n/W, (1) а во-вторых, на каждый стандартный лист G ранга п, лежащий в Гг , приходится не более МТ из множеств G\t ..., Gm\ б) если к тому же (5П( ),Ф0 = (SJ)n(Gi,l) и (Sn(G), b) = (SJ)n(G,l), то справедлива оценка вирФ Cr inf Ф. Доказательство первой части теоремы разобъем на несколько шагов. A) Существует такое щ = щ(г), что если Г% (yi,Xi) — стандартный лист, то найдется стандартный лист l\ (уі,Хі) У которого Г\ С Sni (Г{г ), а график у\ пересекается с В, х В]. Действительно, выберем такое большое щ, что г(а + Ь) щ 7. Возьмем карту Х\ Є 21, для которой точка (хі)-1 о Sni о х\ (0 У\(0)) лежит в В" хВ , Осталось провести через эту точку график отображения ух : Щ — BJ, для которого i = {Xi(Х У\(Х))} С 5п1(Гі ). Существование такого графика обеспечивает утверждение 2.2.2. Б) Если П2 достаточно велико, то для любой карты х S в стандартного листа Г] (уі,Хі) существует такой стандартный лист Тг - {уі,Х)г что Гі С Sni+n (Г[ ). Здесь 93 — набор карт из определения 2.2.2 перемешивающего атласа. Достаточно выбрать любое п%, которое больше числа п0 из определения 2.2.2, и для которого (а + Ь) П2 2. Возьмем лист Гі (f/i Xi) из предыдущего пункта. По определению перемешивания существует точка w Є Хі(Щ х В]), для которой Snt (w) є х(Щ х BJ). Рассмотрим взаимное расположение в карте xi изображения точки w и графика отображения у\, а также взаимное расположение в карте х их образов под действием (х)-1 Sni о х\. Несложные геометрические соображения (с использованием утверждений 2.2.2 и 2.2.1 при п = в 1) показывают, что образ графика у\ определяет некоторый стандартный лист Г\ (уі,х)- н и будет искомым. B) Существуют такие натуральные числа п3 = п3(г) и т — т(г), что ка ждой паре стандартных листов Го, П и точке го Є Гц можно сопоставить гомотопию Г {Уі,х) для которой Это сопоставление можно организовать таким образом, что число различных гомотопий Tt, соответствующих разным точкам to Є Г0 , не превосходит т. Возьмем такое большое пг из предыдущего пункта, что (а + Ь) Пі 7, и положим п3 = Пі + П2. В силу пункта 6) определения 2.2.2 для любой точки w Г,, найдется такая карта х Є что Sna (to) Є х(Щ х В ). В силу утверждения 2.2.2 существует стандартный лист Го (уів,х) для которого S""(to) Го С Пз(Г0). Возьмем стандартный лист Г\ (у\,х) из пункта Б) и определим гомотопию УІ = (1—t)yv+tyi. Она и будет искомой. В силу ограниченности линейных размеров множества 5Пз (Г0) и конечности атласа Ш число различных листов Го, построенных подобным образом для всех точек го Г0 , на самом деле конечно. Их количество может быть оценено некоторым числом тпг, не зависящим от Го. В каждой карте %ЄШ выберем по одному листу Гі (уі,х) из пункта Б), и каждый лист Г0 соединим гомотопией с соответствующим Г\. Таких гомотопий будет столько же, сколько и листов Го .
Рассмотрим построенную гомотопию Г . Напомним, что по определению листы Г0 и Гі плавные, то есть удовлетворяют оценкам (2.3.4). Поэтому существует такое не зависящее ни от каких листов положительное число С", что для каждой гомотопий Tt из пункта В)
Возьмем любое гц, удовлетворяющее неравенству (о + Ь) пл 7, и положим п = щ + п4. Для каждой точки w Є Го найдем карту х Лля которой Sn(w) Є хЧї х В ). Построим в этой карте гомотопию стандартных листов П (у ,Х ) Для которой Sn(w) Є Г и Г С 5 (1/). Нетрудно видеть, что существование такой гомотопий вытекает из утверждений 2.2.1 и 2.2.2. Число различных гомотопий Г для всех w Є Го конечно в силу ограниченности линейных размеров множества 5"(Го) и конечности гиперболического атласа. Занумеруем все эти гомотопий индексом і и переобозначим на Г,,- (у«,хі)
