Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Абсолютная устойчивость автономных систем управления с одной и со многими нелинейностями 18
1. Алгебраические критерии 18
1.1. Устойчивость автономной системы с одной стационарной нелинейностью 18
1.2. Устойчивость в критическом случае 37
1.3. Устойчивость САУ с изодромной обратной связью 49
1.4. Устойчивость автономной системы со многими нелинейностями 56
2. Частотные условия абсолютной устойчивости САУ .69
1.5. Условия абсолютной устойчивости системы управления 69
Глава 2. Абсолютная устойчивость неавтономных САУ с одной нелинейностью 73
2.1. Устойчивость решений САУ с обратными связями по координате и скорости управляющего органа .73
2.2. Устойчивость САУ с обратными связями по координате, скорости и ускорению управляющего органа 76
2.3. Устойчивость системы управления с нелинейным объектом 79
2.4. Устойчивость системы управления с нелинейным неавтономным объектом 81
Глава 3. Оценка решеїшй и времени переходного процесса систем управления с одной нелинейностью 85
3.1. Оценка решений и времени переходного процесса систем управления с помощью построения 85
3.2. Оценка решений и времени переходного процесса систем управления на основе леммы Гронуолла-Беллмана 90
Заключение 95
Литература 96
Приложения 103
- Устойчивость автономной системы с одной стационарной нелинейностью
- Устойчивость автономной системы со многими нелинейностями
- Устойчивость САУ с обратными связями по координате, скорости и ускорению управляющего органа
- Оценка решений и времени переходного процесса систем управления на основе леммы Гронуолла-Беллмана
Введение к работе
Одной из основных проблем динамики нелинейных систем является проблема устойчивости движения. Математическая теория устойчивости движения динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, была создана А.М.Ляпуновым /36/. Он разработал эффективные методы ее решения, одним из которых является метод функций Ляпунова (Ш). Второй метод А.М.Ляпунова широко применяется при решении многих теоретических и прикладных вопросов устойчивости движения нелинейных систем автоматического управления (САУ). Центральной в методе остается проблема построения Ш с требуемыми свойствами для конкретных нелинейных систем.
Второй метод Ляпунова получил значительное развитие в работах М.А.Айзермана, Е.А.Барбашина, А.К.Бедельбаева, Ф.Р.Гантмахе-ра, Н.П.Еругина, В.И.Зубова, Я.Курцвейля, Н.Н.Красовского, Ж.Ла-Салля, А.М.Летова, С.Лефщеца, А.И.Лурье, И.Г.Малкина, Л.Массера, В.М.Матросова, К.П.Персидского, В.В.Румянцева, Н.Г.Четаева, В.А.Якубовича и др.
Задача об абсолютной устойчивости САУ обобщалась и распространялась на целый ряд более широких и более сложных классов нелинейных систем, и по этим вопросам существует обширная научная литература, а также обзорные статьи /2, 13, 33, 45, 55/.
Исследованию вторым методом Ляпунова нелинейных САУ вида
(B.I)
гдех - П -мерный вектор состояния; Д - постоянная матрица (fixfl); fli - скаляр; о ,р - ft -мерные постоянные векторы; (в) -непрерывная функция, удовлетворяющая условиям
1(0)-0, 0«#6>6Г« К.б*' (к<+=о) (в>2)
О < 6"*^ в{(<8)<: Мб*2 (С = СО/75І, АС <+ -о) (В.З)
{(0) = 0, о< 6ffe) У<оФ07 (в.4)
посвящены многочисленные работы.
Определение В Л /15/. Нулевое решение Х = 0 системы (B.I) называется абсолютно устойчивым в угле [о, kQ » если оно устойчиво в целом при любой непрерывной функции , удовлетворяющей условиям (В.2).
В силу определения В Л класс произвольных непрерывных функций f(б) , удовлетворяющих условиям (В.2), (В.З) и (В.4), соответственно будем обозначать следующими символами
Пусть функция 1ї(х)=??(сЄ4,ос, ..., осп), определенная в фазовом пространстве переменных DQ, осл, ..., а?п, непрерывна в некоторой области <^cR, включающей в себя начало координат, а также обладает непрерывными частными производными по переменным х^, OCj, ..., хп в области В.
В дальнейшем мы будем обозначать определенно положительную функцию Ляпунова через *0(сс)> О , а знакоположительную -ЭДЬс)^о
Сформулируем теоремы Ляпунова об устойчивости движения для
автономной системы
DC = JCCX\ (В.5)
где JC(o) = 0.
Теорема B.I /14/. Если для системы (В.5) существует в области Sd знакооцределенная функция V", полная производная которой по времени 1У t взятая в силу системы (В.5), является знакопостоянной функцией знака, противоположного знаку функции *&, то положение равновесия 0С=О устойчиво в смысле Ляпунова.
Теорема В.2. Если для системы (В.5) существует знакоопреде-ленная функция 2>, полная производная которой по времени в силу системы (В.5) будет также знакооцределенной, знака, противоположного с г?", то положение равновесия ос=о будет асимптотически устойчивым.
Проблема абсолютной устойчивости нулевого решения системы (B.I) впервые была поставлена в работе А.И.Лурье и В.Н.Постникова /34/. Вслед за этим А.И.Лурье /35/ разрешил эту задачу для одного широко распространенного класса регулируемых систем. В этих работах для решения задачи впервые было предложено использовать Ш вида "квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности", где нелинейностью может быть любая кривая, расположенная в первом и третьем квадрантах фазовой плоскости.
Этот путь решения задачи развивался в ряде последующих работ А.М.Летова /28/, И.Г.Малкина /37/, Е.Н.Розенвассера /2/, В.А.Якубовича /2/, С.Лефшеца /32/ и др.
Принципиально другой подход к решению проблемы об абсолютной устойчивости положения равновесия был предложен В.М.Поповым в работах /52, 53/.
Развитию и применению частотного метода В.М.Попова было посвящено значительное количество работ.
В работе /38/ установлена связь между областями абсолютной устойчивости в пространстве параметров для системы третьего порядка.
В работах /38, 39, 41/ выделены широкие классы систем П -го порядка, для которых проблема Айзермана имеет положительное решение. Показано, что критерий В.М.Попова
ftfco)=|^(^au>)W(^ + ^ >о Van (в.б)
где о - конечное действительное число; yfj(iu))- видоизмененная частотная характеристика вида
является лишь достаточным.
Позже Е.С.Пятницкий /56/ установил, что критерий В.М.Попова не является необходимым условием абсолютной устойчивости.
А.И.Лурье /35/, А.М.Летов /28/ исследовали на устойчивость системы прямого и непрямого управления. A.M.Лотовым, Е.Н.Розен-вассером /58, 59/ и Б.Ж.Майгариным /41/ рассмотрены системы управления с жесткими и тахометрическими обратными связями. Ими были получены достаточные условия абсолютной устойчивости на основе второго метода Ляпунова и частотного метода Попова.
Естественно, возникает вопрос исследования систем управления с учетом воздействия на объект и закон управления не только по координате и скорости, но и по ускорению исполнительных органов.
Актуальными остаются также задачи об оценке решений и времени переходного процесса таких систем.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и приложения.
В главе I. состоящей из пяти параграфов, изучается абсолютная устойчивость нулевого решения автономных САУ с одной и со многими нелинейностями, описываемыми системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
"^
В 1.1 рассматривается автономная САУ с одной стационарной нелинейностью вида
(В.8)
>
И = - J] Г) - %ju ~ cjic - d/й, <ХН JU + оіАй + oc3ju = f (б),
где Г) -л-мерный вектор состояния; /( - постоянная вещественная матрица объекта управления порядка ( П * П ); (Ц - координата управляющего органа (УО); -f (<о) - определенная и непрерывная нелинейная характеристика УО, зависящая от вещественной переменной (6 (закона управления); $ , С , CL -Я-мерные постоянные векторы управления по координате, скорости и ускорению УО; сх.,, о^и &ъ -положительные числа, характеризующие инерционность, естественное демпфирование и нагрузочную реакцию УО; р -п-мерный вектор регулятора; С", . - коэффициенты обратных связей по координате, скорости и ускорению УО; 4 (б) удовлетворяет условиям: либо
j(0)=0 , О<<о $&)<№* V6#0> (В.9)
либо
$(0)=0, /^6^ ?/#) А*^ УвФО, (B.I0)
либо
-^ *'-^р « % ve^o, (B.II)
с учетом (В.9) или (В,10).
Вместо системы (В.8) рассматривается эквивалентная система
(В.12)
>
где /J - положительный коэффициент;
эе0 = * + 4
С помощью Ш вида
V*IJTHf| +К^^^^7^^Уз^+^и(б)ОеЫб, (B.I3)
Ун Уд.
>
о, ыоп в - &%п ж&),
>
(В. 14)
У& у?
и с применением5-Цроцедуры /2/ получены достаточные алгебраические условия абсолютной устойчивости нулевого решения системы управления (В.8).
Исследуется система (В.8) в векторно-матричной форме
Э2 = -Вх- И
Построением Ш вида
б*
^(foe,б) = хтНх + р \1(в)ЖСе0с1б
получены достаточные условия устойчивости.
Получены два достаточных условия абсолютной устойчивости соответственно в предположениях:
В качестве примера рассмотрена обобщенная вторая задача Б.В.Булгакова.
Показано, что область абсолютной устойчивости в пространстве параметров цри С >0 шире, чем область с жесткими и та-хометрическими положительными обратными связями.
В 1.2 рассматривается система (В.8) при а= О и в т случае, когда характеристическое уравнение
оШ А + яЕ|
= 0
имеет один простой нулевой корень.
Здесь предполагается, что 4-(бО Є Срі >Л»-j I &i>0 . Эта система путем неособого линейного преобразования приводится к виду
А=-)х-1{ву-в%-с("ул
.(Л s,(i)
р-У ^-У ^,
> (в.16)
- Г fee),
где #-(n-1)-мерный вектор состояния; U - скалярная функция; - Sb(n-гурвицева матрица; %, tf4\ q?\ о ,-(n-l)-мерные постоянные векторы; X V it > А»/5 я.* ft о* » Г- постоянные;
остальные обозначения имеют
прежний смысл, как и в системе (В.8). Построением Ш вида
V-- гтНх + **тН^ + Ц4 + І^і^дігда
+
+
tay* + /5 Uc^aeftdols,
(В. 17)
получены достаточные условия абсолютной устойчивости системы (В. 16) в виде неравенств Сильвестра. Рассмотрен пример. На основе полученных результатов проведены численные расчеты на ЭВМ.
В 1.3 исследуется система с изодромной обратной связью, представленной в виде
і=-/\У1-вш,
ft =-/(ё),
>
(В. 18)
Получены алгебраические достаточные условия абсолютной устойчивости системы (В.18).
В качестве примера рассмотрена вторая задача Булгакова в случае изодромного регулятора.
В 1.4 рассмотрена устойчивость нулевого решения САУ со многими стационарными нелинейностями вида
( /И + Д/W + ( /И =f (б),
>
(В. 19)
-/
u^Cri-RijH -Rift -Rift,
где A , L , D-0^dJi J&i v Lj - постоянные матрицы. I. Вектор-функция
fr«o=
to te.../-c&)
где 4ife) V^m- непрерывные и дифференцируемые нелинейные характеристики исполнительных органов, удовлетворяют условиям
Ї(о)-о,о4%*б731 б Цфо vC (f-ffcj). (в.20)
2. Интеграл
#«0=ГГ(б]Тм(б)с!б
является положительным и расходится при 6-L -» оо V 1ч $ где Т - постоянная симметрическая матрица, Э(б) - переменная матри-
ца вида
Ую-
I I I —
3. Вектор-функция т(ё) вместо (В.20) может удовлетворять
условиям
fro)=o5fTJi2f^fXe V;*0 vC-
(B.2I)
4. Система уравнений (В.19) имеет единственное положение равновесия у) - гц - - q, если параметры системы управления удовлетворяют соотношению
т.е. матрица I/ является определенно положительной. Построением Ш вида
V-(oc^) = Хт й х 4- #е0 ( Нт = Ц = cons-t)
и использованием о -процедуры получена теорема: если существует вещественная определенно положительная матрица Н - п» удовлетворяющая равенству
L = PTH*HP,
и, кроме того, выполняются соотношения (В.22), а также
>о,
ІЙДЧМЛХ
1>о л ls-lal4la >0,
где У , jL3, Ls - постоянные матрицы, определенные через параметры исходной системы, то нулевое решение системы (В.19) абсолютно устойчиво.
В 1.5 решается задача нахождения достаточных частотных условий абсолютной устойчивости нулевого решения системы (В.8) в угле 30,hi Ц при заданной невырожденной матрице А , положительных параметрах(XH,oCz, <%z и числе К*
Частотное условие абсолютной устойчивости системы (В.15) сводится к выполнению неравенства
Л(и>) = І + ОД* + На. О + 1Р>ШМ ? О
(В.23)
V/*o, v«»o.
W(m)=f(BHivju
- передаточная функция линейной части системы (В.23).
При этом прямые, полученные В.М.Поповым (/>(?) и Б.Ж.Май-гариным (/^ > 0) і смещаются налево, если /^>0» Если нарушение условии абсолютной устойчивости В.М.Попова и Б.Ж.Майгарина влечет за собой неустойчивость, то за счет ввода коэффициента обратной связи по ускорению можно добиться устойчивости исходной системы. Тем самым введенная обратная связь Q- /J /Й ) по ус-
корениго дает возможность расширить область абсолютной устойчи- вости системы в пространстве параметров. Это условие является обобщением неравенства В.М.Попова для систем с жесткой обратной связью и неравенства Б.Ж.Майгарина с тахометрической обратной связью. Здесь же получены частотные условия абсолютной устойчивости для систем управления со многими нелинейностями.
В главе 2 изучается абсолютная устойчивость решений неавтономных систем управления с одной нелинейностью.
В 2,1 исследуется система возмущенных уравнений автоматического управления с одной стационарной нелинейностью вида
<*<(1)р + *&)р + <Щр = \, у (в.24)
где ^[б] CJ0>xi.
Условия абсолютной устойчивости системы (В.24) сведены к выполнению неравенств
0*И-ОІш(ҐйЮ»о vt>o,
в предположении, что [-AJ- гурвицева.
В 2.2 рассматривается система типа (В.8) в предположении, что вектор и и скаляры С^ , (I - постоянные, а остальные параметры зависят от времени і. Система приведена к нормальной фор-
е = ^)х-Гъа-'((6-),( (В.25)
где г [б] Є L^^j; U - постоянный вектор. Построением Ш вида
V = хтйх + Ы \ \ Ш мШб,
где ОС - постоянное число; &QHOL = &ап ъе(е) t а переменная матрица rl[ij - непрерывная, ограниченная и дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию
ИМ »0 Ує'ш,оо[
(В.26)
Получено следующее утверждение.
Если матрица D|J:J непрерывна, ограничена, дифференцируема
и имеет место неравенство
PMHftMti4ft]kKko Vh^.Kj,
то для абсолютной устойчивости системы (В.25) в угле L^b^aJ достаточно выполнения условий (В.26) и Ці)»0, где Ш - матрица, выраженная через параметры системы (В.25).
В 2.3 исследуется система управления с нелинейным объектом, зависящим от вектора состояния:
сх=-В[ос]зс-ц|[б],
>
(В.27)
где о[ос] - нелинейная матрица порядка (m*m) объекта управления; U , О -щ-мерные постоянные векторы.
редположении:
Следуя В.И.Зубову, получены достаточные условия устойчивости в предположении:
2)
QfaO fe]
»0,
QM=BT(*]H+HBM {WT~-W-m,{},
При этом область 2) должна содержать начало координат.
В 2.4 рассматривается система управления нелинейным автономным объектом, зависящим от вектора состояния X и времени і :
(В.28)
где b (oC^-tj _ переменная матрица порядка (in х m).
Получены достаточные условия устойчивости системы (В.28).
В главе 3 найдены оценки решений и времени переходного процесса управляемых систем с одной стационарной нелинейностью.
В 3.1 и 3.2 получены оценки решений и времени переходного процесса САУ (В.15) на основе метода Четаева:
(В.29) (В. 30)
и леммы Гронуолла-Беллмана
0Є^ * '-*ifl
** im-,v\-q
чЛ»/"
(В. ЗІ)
І * Л) &>* - «Ml-licit V« d^o//
Рассмотренные параграфы третьей главы иллюстрированы примерами. Основные результаты работы обсуждались:
на УІ Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике (Алма-Ата, 1977);
на Всесоюзной конференции по устойчивости движения, колебаниям механических систем и аэродинамике (Москва, 1978);
на Всесоюзной летней школе по методу функции А.М.Ляпунова и его приложениям (Иркутск, 1979);
на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам в теории сингулярно-возмущенных уравнений (Алма-Ата, 1979);
на ІУ Всесоюзной Четаевской конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Звенигород, 1982);
на семинаре кафедры теории управления Ленинградского ордена Ленина и ордена Красного Знамени Государственного университета им. А.А.^цанова (руководитель член-корр. АН СССР, доктор физико-математических наук, профессор В.И.Зубов);
на семинаре лаборатории обыкновенных дифференциальных уравнений (руководитель - академик АН КазССР, профессор О.А.Жа-утыков).
Устойчивость автономной системы с одной стационарной нелинейностью
В 1.5 решается задача нахождения достаточных частотных условий абсолютной устойчивости нулевого решения системы (В.8) в угле 30,hi Ц при заданной невырожденной матрице А , положительных параметрах(XH,oCz, %z и числе К Частотное условие абсолютной устойчивости системы (В.15) сводится к выполнению неравенства - передаточная функция линейной части системы (В.23).
При этом прямые, полученные В.М.Поповым (/ (?) и Б.Ж.Май-гариным (/ 0) і смещаются налево, если / 0» Если нарушение условии абсолютной устойчивости В.М.Попова и Б.Ж.Майгарина влечет за собой неустойчивость, то за счет ввода коэффициента обратной связи по ускорению можно добиться устойчивости исходной системы. Тем самым введенная обратная связь Q- /J /Й ) по ус 14 корениго дает возможность расширить область абсолютной устойчи- вости системы в пространстве параметров. Это условие является обобщением неравенства В.М.Попова для систем с жесткой обратной связью и неравенства Б.Ж.Майгарина с тахометрической обратной связью. Здесь же получены частотные условия абсолютной устойчивости для систем управления со многими нелинейностями. В главе 2 изучается абсолютная устойчивость решений неавтономных систем управления с одной нелинейностью. В 2,1 исследуется система возмущенных уравнений автоматического управления с одной стационарной нелинейностью вида Условия абсолютной устойчивости системы (В.24) сведены к выполнению неравенств 0 И-ОІш(ҐйЮ»о vt o, в предположении, что [-AJ- гурвицева. В 2.2 рассматривается система типа (В.8) в предположении, что вектор и и скаляры С , (I - постоянные, а остальные параметры зависят от времени і. Система приведена к нормальной фор е = )х-Гъа- ((6-),( (В.25) где г [б] Є L j; U - постоянный вектор. Построением Ш вида V = хтйх + Ы \ \ Ш мШб, где ОС - постоянное число; &QHOL = &ап ъе(е) t а переменная матрица rl[ij - непрерывная, ограниченная и дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию Получено следующее утверждение. Если матрица DJ:J непрерывна, ограничена, дифференцируема и имеет место неравенство то для абсолютной устойчивости системы (В.25) в угле L b aJ достаточно выполнения условий (В.26) и Ці)»0, где Ш - матрица, выраженная через параметры системы (В.25). В 2.3 исследуется система управления с нелинейным объектом, зависящим от вектора состояния: где о[ос] - нелинейная матрица порядка (m m) объекта управления; U , О -щ-мерные постоянные векторы. редположении: Следуя В.И.Зубову, получены достаточные условия устойчивости в предположении: 2) При этом область 2) должна содержать начало координат. В 2.4 рассматривается система управления нелинейным автономным объектом, зависящим от вектора состояния X и времени і : (В.28) где b (oC j _ переменная матрица порядка (in х m). Получены достаточные условия устойчивости системы (В.28). В главе 3 найдены оценки решений и времени переходного процесса управляемых систем с одной стационарной нелинейностью. В 3.1 и 3.2 получены оценки решений и времени переходного процесса САУ (В.15) на основе метода Четаева: (В.29) (В. 30) и леммы Гронуолла-Беллмана Рассмотренные параграфы третьей главы иллюстрированы примерами. Основные результаты работы обсуждались: - на УІ Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике (Алма-Ата, 1977); - на Всесоюзной конференции по устойчивости движения, колебаниям механических систем и аэродинамике (Москва, 1978); - на Всесоюзной летней школе по методу функции А.М.Ляпунова и его приложениям (Иркутск, 1979); - на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам в теории сингулярно-возмущенных уравнений (Алма-Ата, 1979); - на ІУ Всесоюзной Четаевской конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Звенигород, 1982); - на семинаре кафедры теории управления Ленинградского ордена Ленина и ордена Красного Знамени Государственного университета им. А.А. цанова (руководитель член-корр. АН СССР, доктор физико-математических наук, профессор В.И.Зубов); - на семинаре лаборатории обыкновенных дифференциальных уравнений (руководитель - академик АН КазССР, профессор О.А.Жа-утыков).
Устойчивость автономной системы со многими нелинейностями
Теорема B.I /14/. Если для системы (В.5) существует в области Sd знакооцределенная функция V", полная производная которой по времени 1У t взятая в силу системы (В.5), является знакопостоянной функцией знака, противоположного знаку функции &, то положение равновесия 0С=О устойчиво в смысле Ляпунова.
Теорема В.2. Если для системы (В.5) существует знакоопреде-ленная функция 2 , полная производная которой по времени в силу системы (В.5) будет также знакооцределенной, знака, противоположного с г?", то положение равновесия ос=о будет асимптотически устойчивым.
Проблема абсолютной устойчивости нулевого решения системы (B.I) впервые была поставлена в работе А.И.Лурье и В.Н.Постникова /34/. Вслед за этим А.И.Лурье /35/ разрешил эту задачу для одного широко распространенного класса регулируемых систем. В этих работах для решения задачи впервые было предложено использовать Ш вида "квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности", где нелинейностью может быть любая кривая, расположенная в первом и третьем квадрантах фазовой плоскости.
Этот путь решения задачи развивался в ряде последующих работ А.М.Летова /28/, И.Г.Малкина /37/, Е.Н.Розенвассера /2/, В.А.Якубовича /2/, С.Лефшеца /32/ и др. Принципиально другой подход к решению проблемы об абсолютной устойчивости положения равновесия был предложен В.М.Поповым в работах /52, 53/. Развитию и применению частотного метода В.М.Попова было посвящено значительное количество работ. В работе /38/ установлена связь между областями абсолютной устойчивости в пространстве параметров для системы третьего порядка. В работах /38, 39, 41/ выделены широкие классы систем П -го порядка, для которых проблема Айзермана имеет положительное решение. Показано, что критерий В.М.Попова ftfco)= ( au )W( + о Van (в.б) где о - конечное действительное число; yfj(iu))- видоизмененная частотная характеристика вида является лишь достаточным. Позже Е.С.Пятницкий /56/ установил, что критерий В.М.Попова не является необходимым условием абсолютной устойчивости. А.И.Лурье /35/, А.М.Летов /28/ исследовали на устойчивость системы прямого и непрямого управления. A.M.Лотовым, Е.Н.Розен-вассером /58, 59/ и Б.Ж.Майгариным /41/ рассмотрены системы управления с жесткими и тахометрическими обратными связями. Ими были получены достаточные условия абсолютной устойчивости на основе второго метода Ляпунова и частотного метода Попова. Естественно, возникает вопрос исследования систем управления с учетом воздействия на объект и закон управления не только по координате и скорости, но и по ускорению исполнительных органов. Актуальными остаются также задачи об оценке решений и времени переходного процесса таких систем. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и приложения. В главе I. состоящей из пяти параграфов, изучается абсолютная устойчивость нулевого решения автономных САУ с одной и со многими нелинейностями, описываемыми системой обыкновенных дифференциальных уравнений. " В 1.1 рассматривается автономная САУ с одной стационарной нелинейностью вида где Г) -л-мерный вектор состояния; /( - постоянная вещественная матрица объекта управления порядка ( П П ); (Ц - координата управляющего органа (УО); -f ( о) - определенная и непрерывная нелинейная характеристика УО, зависящая от вещественной переменной (6 (закона управления); $ , С , CL -Я-мерные постоянные векторы управления по координате, скорости и ускорению УО; сх.,, о и &ъ -положительные числа, характеризующие инерционность, естественное демпфирование и нагрузочную реакцию УО; р -п-мерный вектор регулятора; С", . - коэффициенты обратных связей по координате, скорости и ускорению УО; 4 (б) удовлетворяет условиям: либо.
Устойчивость САУ с обратными связями по координате, скорости и ускорению управляющего органа
В 2.4 рассматривается система управления нелинейным автономным объектом, зависящим от вектора состояния X и времени і : где b (oC j _ переменная матрица порядка (in х m). Получены достаточные условия устойчивости системы (В.28). В главе 3 найдены оценки решений и времени переходного процесса управляемых систем с одной стационарной нелинейностью. В 3.1 и 3.2 получены оценки решений и времени переходного процесса САУ (В.15) на основе метода Четаева: и леммы Гронуолла-Беллмана Рассмотренные параграфы третьей главы иллюстрированы примерами. Основные результаты работы обсуждались: - на УІ Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике (Алма-Ата, 1977); - на Всесоюзной конференции по устойчивости движения, колебаниям механических систем и аэродинамике (Москва, 1978); - на Всесоюзной летней школе по методу функции А.М.Ляпунова и его приложениям (Иркутск, 1979); - на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам в теории сингулярно-возмущенных уравнений (Алма-Ата, 1979); - на ІУ Всесоюзной Четаевской конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Звенигород, 1982); - на семинаре кафедры теории управления Ленинградского ордена Ленина и ордена Красного Знамени Государственного университета им. А.А. цанова (руководитель член-корр. АН СССР, доктор физико-математических наук, профессор В.И.Зубов); - на семинаре лаборатории обыкновенных дифференциальных уравнений (руководитель - академик АН КазССР, профессор О.А.Жа-утыков). 1.1. Устойчивость автономной системы с одной стационарной нелинейностью I. Уравнения движения. Постановка задачи. Рассматривается автономная САУ (В.8): Структурная схема системы управления (I.I) изображена в приложении I. Предположим, что: 1) непрерывная нелинейная функция 4( о) . Сзо,#Е (приложение 2); 2) система управления (I.I) имеет единственное положение равновесия y = //=e=D. d.2) Задача 1,1. Заданы матрица А объекта управления, параметры управляющего органа j, осг , а3 и число К . Требуется найти условия абсолютной устойчивости нулевого решения системы (I.I) в угле 30,НС. В системе (I.I) последнее уравнение описывает уравнение регулятора, в котором выключающее действие обратной связи осуществляется не только за счет введения в закон регулирования сигналов IJ/u , Гл/и. , пропорциональных координате, скорости регулирующего органа, но также за счет введения сигнала f ai пропорционального ускорению этого органа. В случае, когда ускорение исполнительного органа /28/ достаточно велико, действие обратной связи сводится к ограничению величины аргумента d , благодаря чему регулятор можно считать идеальным (= О) и пользоваться уравнением 2. Условие единственности положения -равновесия системы (I.I). Положение равновесия системы управления (I.I) определяется системой алгебраических уравнений
Оценка решений и времени переходного процесса систем управления на основе леммы Гронуолла-Беллмана
Из главы 2 были сделаны следующие выводы: 1) получены алгебраические достаточные условия устойчивости неавтономной системы автоматического управления с одной стационарной нелинейностью; 2) на основе метода В.И.Зубова "кажущейся линеаризации" получены условия устойчивости неавтономной ОАУ с нелинейным объектом с одной стационарной нелинейностью; 3) получены условия устойчивости САУ с нелинейным неавтономным объектом в области допустимых отклонений начальных данных. систему уравнений (1.17)главы I: Интегрируя неравенства (1.21) от iD до г , получим г?, ехрЦі-Q г у0ехр "#- „). (1-22) где У.=-г;Ч л Ґ -СҐҐЛ- «.23) Полагая X +u=R t в силу (I.I3), имеем (rrV R r;V. (1.24) Используя оценку (1.22) и обозначения (1.23), из (1.24) получим окончательную оценку решений: IIі V0 exp [-(Z Tlf 5»(-4-Q], (1-25) где о Є = і 0 =х&);0=ё#0);і04і, (1.26) о системы (I.I) вдоль интегральной траектории в предположениях (1.3) и (I.I8). 2. Оценка времени переходного процесса систем управления на основе метода Н.Г.Четаева. Определение I.I. /64/. Временем переходного процесса или временем регулирования системы (I.I) называется наименьшее время г (#, ), необходимое для того, чтобы точка Л (эф, дви 89 гаясь по траектории ОС ( , ОС-) системы(I.I), попала в заданную окрестность Цс точки О (О , ..., О ) и при і і(ос?, ) там оставалась. Для того чтобы получить оценки времени переходного процесса системы (I.I), воспользуемся полученной выше оценкой решений (1.25). Для этого положим
